Tema 02 – Álgebra

T2 – Álgebra

1. Resuelve la ecuación x4 _-5x2 _{+4 = 0.}

2. Resuelve la ecuación x3 _{+ x}2 _{-4x + 4 = 0.}

3. Resuelve la ecuación x−1

x+3

= 2 y comprueba las soluciones obtenidas.

4. Resuelve la ecuación √x − 1

+1 = x-2 y comprueba las soluciones obtenidas.

5. Resuelve la ecuación 4x_-9.2x _{+8 = 0.}

6. Resuelve la ecuación log(x-3)+logx = log(4x) y comprueba las soluciones obtenidas.

7. Resuelve la ecuaciónx4 _-17x2 _{+16 = 0.}

8. Resuelve la ecuaciónx3 _{- 6x}2 _{+11x -6 = 0.}

9. Resuelve la ecuación 2x

x−2

+

6x2

x2₋₄ y comprueba las soluciones obtenidas.

10. Resuelve la ecuación √x + 4 + √x − 1 = 5 y comprueba las soluciones obtenidas.

11. Resuelve la ecuación 2x+4_-8x _{= 0 y comprueba las soluciones obtenidas.}

12. Resuelve la ecuación log(4-5x)+log(2x-2) = log(2x-x2_{)+1 y comprueba las soluciones obtenidas.}

13. Resuelve la ecuación3√x2_{− 1+ 1 = x y comprueba las soluciones obtenidas.}

14. Resuelve el sistema de ecuaciones

{ 5𝑥+1= 25𝑦+1

log(x2_{+ y) − log(x − 2y) = 1}

15. Resuelve el sistema de ecuaciones

{_{log x − log y = 1}3x + 2y = 64

16. Resuelve el sistema de ecuaciones :

{ 3𝑥+ 7𝑦= 16 3𝑥−1_{− 7}𝑦+2_{= −340}

17. Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6€ por el total de las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invitan, debiendo aumentar su aportación en 0,80 € cada uno. ¿Cuántos amigos son?

18. Un grupo de amigas suben al autobús y pagan 10€ por el total de los billetes. Como dos no tienen dinero, las demás deben pagar 0,25€ más de los que les correspondería a cada una. ¿Cuántas amigas son? ¿Cuánto paga cada una?

19. Un técnico informático espera obtener 360€ por la reparación de varios equipos. El técnico se da cuenta de que cuatro ordenadores no tienen posible reparación y, para obtener el mismo beneficio, aumenta en 4,50€ el precio que va a cobrar por un equipo reparado. ¿Cuántos ordenadores tenía al principio? ¿A qué precio cobrará finalmente cada reparación?

dinero tiene cada uno de ellos utilizando el método de Gauss.

21. Halla un número de tres cifras sabiendo que su suma es 12, que la cifra de las unidades es igual a la semisuma de las cifras de las centenas y de las decenas, y que, por ultimo, el número que resulta al invertir las cifras del buscado es 198 unidades más pequeño que éste.

22. Resuelve la inecuación 2x2_{-16x+24 < 0}

23. Resuelve la inecuación x−3 2 −

x−2 8 ≤

x 2

24. Resuelve la inecuación x−1

x−3 > 0

25. Resuelve la inecuación 5x−2

Solución de los ejercicios

1. Resuelve las siguiente ecuación: x4 _-5x2 _{+4 = 0}

Solución:

Se efectúa el cambio de variable z = x2 _{obteniendo la ecuación: z}2 _{-5z+ 4 = 0} Se resuelve la ecuación anterior:

z =

2 6 1 5 2

5 

=

2 3 5

=    4 1

Luego las soluciones de la ecuación original son:

x =  1= 1 y x =  4= 2

2. Resuelve las siguiente ecuación: x3 _{+ x}2 _{-4x + 4 = 0}

Solución:

Hay que encontrar las raíces del polinomio del primer miembro, pero estas raíces, si son enteras deben dividir al término independiente, luego pueden ser 1, 2 y 4. Comprobamos el valor numérico del polinomio en estos números:

13 _{+ 1}2 _{– 4.1 + 4}  ₀ (-1)3 _{+ (-1)}2 _{– 4.(-1) + 4 = 0}

El valor x = -1 es una raíz aplicamos la regla de Ruffini para factorizar:

1 1 -4 4

-1 -1 0 4

1 0 -4 0

La expresión que queda como cociente es

La factorización es x2_{-4 que es una diferencia de cuadrados que factoriza como suma por} diferencia:

x3 _+x2_{-4x+4 = (x+1)(x}2_{-4) = (x+1)(x-2)(x+2)} Luego las soluciones son: x1 = -2, x2 = -1 y x3 = 2

3. Resuelve las siguiente ecuación y comprueba las soluciones obtenidas:

𝐱−𝟏 𝐱+𝟑= 2

Solución:

Pasamos al primer miembro los términos necesarios para igualar la ecuación a cero:

0 2 3 + x

1

-x _{ }

Reducimos a común denominador:

0 3 + x

3) 2(x -1

-x  _{ }

0 3 + x

6 -2x -1

-x _{ }

0 3 + x

7

--x _

Multiplicamos ambos miembros por el denominador: -x-7 = 0  x = -7

Comprobamos que x = -7 es solución de la ecuación de partida:

3 + 7

-1 --7

=

4 --8

= 2

2 x 1 1

x    Solución:

Se aisla el radical en el primer miembro: 3

x 1

x  

Se elevan ambos miembros al cuadrado para eliminar el radical:





3) x ( 1

x    x –1 = x2_-6x+9

Se obtiene la ecuación de segundo grado: x2_{-7x+10 = 0 con soluciones:}

x =

2 40 49

7 

=

2 3 7

=    5 2

Se comprueba que x = 2 no es una solución válida, siéndolo sólo x = 5.

5. Resuelve la ecuación: 4x_-9.2x _{+8 = 0}

Solución:

Expresamos las potencias con la misma base y exponente para poder efectuar un cambio de variable:

22x _-9.2x _{+8 = 0}

Efectuamos el cambio de variable y = 2x_{: y}2 _{-9y +8 = 0}

Obteniendo una ecuación de 2º grado con soluciones: y =

2 32 81

9 

=

2 7 9

=    8 1

Hallamos los valores: 8 = 2x ₂3 _{= 2}x _{x = 3} 1 = 2x_{ 2}0 _{= 2}x_{ x = 0}

6. Resuelve la ecuación: log(x-3)+logx = log(4x)

Solución:

Como la suma de logaritmos es el logaritmo del producto: Log[(x-3).x] = log(4x)

Eliminado logaritmos en ambas expresiones:

(x-3).x = 4x  x2_{-3x = 4x  x}2_{-7x = 0  x (x-7) = 0  x =}    7 0

 La solución x = 0 no es válida pues sólo existen logaritmos de números positivos.  La solución x = 7 si es válida.

7. Resuelve la ecuación: x4 _-17x2 _{+16 = 0}

Solución:

Se efectúa el cambio de variable z = x2 _{obteniendo la ecuación: z}2 _{-17z+ 16 = 0} Se resuelve la ecuación anterior:

z = 17±√289−64₂ = 17±15₂ = {16 1

Luego las soluciones de la ecuación original son: x = √1 = 1 y x = √16 = 4.

Luego las soluciones son: x1 = -1, x2 = 1, x3 = -4 y x4 = 4.

Solución:

Hay que encontrar las raíces del polinomio del primer miembro, pero estas raíces, si son enteras deben dividir al término independiente, luego pueden ser 1, 2 y 3, 6. Comprobamos el valor numérico del polinomio en estos números:

13 _-6.12 _{+11.1 -6 = 0}

El valor x = 1 es una raíz aplicamos la regla de Ruffini para factorizar:

1 -6 11 -6

1 1 -5 6

1 -5 6 0

La expresión que queda como cociente es x2 _{-5x+ 6 = 0} Se resuelve la ecuación anterior:

z = 5±√25−24 2 =

5±1 2 = {

3 2

Luego las soluciones son: x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 3

9. Resuelve las siguiente ecuación y comprueba las soluciones obtenidas:

𝟐𝒙 𝒙−𝟐

+

𝟑𝒙 𝒙+𝟐=

𝟔𝒙𝟐 𝒙𝟐_−𝟒

Solución:

Reducimos a común denominador, que es x2_-4:

2x. (x + 2) (x − 2). (x + 2)+

3x. (x − 2) (x + 2). (x − 2)=

6x2

x2_{− 4}

Como tenemos el mismo denominador, queda: 2x.(x+2) + 3x(x-2) = 6x2

Que desarrollando y reordenando queda: -x2 _{-2x = 0} _{-x(x+2) con soluciones x}

1 = -2 y x2 = 0

Comprobamos que x2 = 0 es solución de la ecuación de partida:

0

−2+

0

2=

0 −4

No siéndolo x1 = -2.

10. Resuelve las siguiente ecuación y comprueba las soluciones obtenidas:

√𝐱 + 𝟒 + √𝐱 − 𝟏 = 𝟓

Solución:

Se pasa uno de los radicales al segundo miembro:

√x + 4 = 5 − √x − 1

Se elevan ambos miembros al cuadrado para eliminar los radicales:

(√x + 4)2= (5 − √x − 1)2 x + 4 = 25 + x − 1 − 10√x − 1

Volvemos a dejar el radical en el primer miembro, simplificamos y elevamos al cuadrado:

10√x − 1 = 20√x − 1 = 2 x-1 = 4  x = 5 Que se comprueba que es una solución válida.

Solución:

Expresamos ambos miembros como potencias de∫ la misma base: 2x+4 _{= 2}3x

Luego los exponentes han de ser iguales: x+4 = 3x  2x = 4  x = 2

Que es una solución válida.

12. Resuelve las siguiente ecuación y comprueba las soluciones obtenidas: log(4-5x)+log(2x-2) = log(2x-x2₎₊₁

Solución:

Como la suma de logaritmos es el logaritmo del producto y 1 es el logaritmo de 10: log[(4-5x).(2x-2)] = log[10.(2x-x2_)]

Eliminado logaritmos en ambas expresiones: (4-5x).(2x-2) = 10.(2x-x2₎

Desarrollando ambas expresiones y pasando todos los miembros al primer término: 8x-8-10x2_{+10x = 20x-10x}2 _{-2x = 8}  _{x = -4}

Que es un solución no válida pues sólo existen logaritmos de números positivos. No existe pues solución de la ecuación.

13. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas:

√𝐱𝟐_{− 𝟏} 𝟑

+ 𝟏= x

Solución:

Se despeja el radical dejándolo en el primer miembro:

√x2_{− 1} 3

= x −1

Se elevan ambos miembros al cubo para eliminar radicales:

( √x3 2_{− 1 )}3_{= (x − 1)}3_{ x}2_{-1 = (x-1)}3

Lo pasamos todo al primer miembro y aplicamos la igual notable de diferencia de cuadrados para sacar factor común (x-1):

x2_{-1 - (x-1)}3 _{= 0  (x-1)(x+1) - (x-1)}3 _{= 0  (x-1)[(x+1)-(x-1)}2_{] = 0} Desarrollamos y simplificamos la expresión del corchete: (x-1)[x+1-(x2_{-2x+1)] = 0}  _(x-1).(-x2_{+3x) = 0}

Sacando nuevamente factor común queda la expresión: -x.(x-1).(x-3) = 0

Luego las soluciones son: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3.

Todas son soluciones válidas, ya que es una raíz de índice impar.

14. Resuelve el sistema de ecuaciones

{ 𝟓

𝒙+𝟏_{= 𝟐𝟓}𝒚+𝟏

𝐥𝐨𝐠(𝐱𝟐_{+ 𝐲) − 𝐥𝐨𝐠(𝐱 − 𝟐𝐲) = 𝟏}

Solución:

         1 2y 2 x 2 5 5 10 log 2y -x y x log _          2 2y 1 x 10 2y -x y x2          1 2y x 10 2y -x y x2

Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación:

10 2y -1 2y y 1

(2y 2 _

 

 ) _

(2y+1)2_{+y = 10}  _4y2_{+1+4y+y = 10}  _4y2_{+5y-9 = 0}

Con soluciones: y = 8 144 25 5 -   = 8 -513

=    1 9/4

-Sustituyendo en la ecuación x = 2y+1:

y1 =

4 -9

; x1 = 1

2 -9_

=

2 -7

y2 = 1; x2 = 2y2+1= 3 Siendo ambas válidas.

15. Resuelve el sistema de ecuaciones

{_{𝐥𝐨𝐠 𝐱 − 𝐥𝐨𝐠 𝐲 = 𝟏}𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 = 𝟔𝟒

Solución:

Aplicamos la propiedad de la diferencia de los logaritmos es el logaritmo del cociente y que 1 es el logaritmo de 10:

{

3x + 2y = 64

log (x

y) = log 10

{3x + 2y = 64_{x = 10y}

Sustituyendo en la 1ª ecuación: 30y + 2y = 64  32y = 64  y = 64

32 = 2 x = 10.2 = 20

Siendo una solución válida.

16. Resuelve el sistema de ecuaciones :

{ 𝟑𝒙+ 𝟕𝒚= 𝟏𝟔 𝟑𝒙−𝟏_{− 𝟕}𝒚+𝟐_{= −𝟑𝟒𝟎}

Solución:

Aplicando las propiedades de las potencias queda el sistema:

{

3𝑥_{+ 7}𝑦_{= 16}

3𝑥

3 − 49.7

𝑦_{= −340}

Restando de la 1ª ecuación la 2ª multiplicada por 3 y despejando en la expresión obtenida e Igualando exponentes ya que ambas potencias tiene la misma base: 148.7y _{= 1036}  ₇y ₌ 1036

148 = 7  y = 1

Despejando x en la 1ª ecuación y aplicando las propiedades de las potencias: 3x _{+7 = 16}  ₃x _{= 9}  ₃x _{= 3}2 _{x = 2}

Quda x = 2, y = 1 que es una solución válida.

17. Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6€ por el total de las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invitan, debiendo aumentar su aportación en 0,80 € cada uno. ¿Cuántos amigos son?

Sea x el número de amigos, por lo tanto cada uno debe pagar 6

x euros. Como sólo pagan x-2: (x − 2). (6

x+ 0,8) = 6

Efectuando el producto indicado y despejando en la expresión obtenida:

6 + 0,8x −12

x − 1,6 = 6 6x + 0,80x

2 _{–12–1,6x = 6x}  _0,80x2_{–1,6x–12 = 0}  _x2_{–2x–15 = 0} Se resuelve la ecuación anterior:

x = 2±√4+60

2 = 2±8

2 = { 5 −3

Las soluciones son: x1 = -3 (que no sirve) y x2 = 5. El número de amigos es 5.

18. Un grupo de amigas suben al autobús y pagan 10€ por el total de los billetes. Como dos no tienen dinero, las demás deben pagar 0,25€ más de los que les correspondería a cada una. ¿Cuántas amigas son? ¿Cuánto paga cada una?

Solución:

Sea x el número de amigas. Cada una debería pagar

x 10

€. Como dos no pagan queda:

(x-2) (

x 10

+ 0,25) = 10  (x-2)(10+ 0,25x) = 10x  10x+0,25x2_{-20-0,5x = 10x} Reordenamos monomios y multiplicamos por 4:

0,25x2_{-0,5x-20 = 0  x}2_{-2x-80 = 0}

Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado:

x =

2 0 3 4

2  2

=

2 218

=   

8 10

-Las soluciones son: x1 = -8 (que no sirve) y x2 = 10.

Son 10 amigas y cada una paga

10 10

+0,25 = 1,25€.

19. Un técnico informático espera obtener 360€ por la reparación de varios equipos. El técnico se da cuenta de que cuatro ordenadores no tienen posible reparación y, para obtener el mismo beneficio, aumenta en 4,50€ el precio que va a cobrar por un equipo reparado. ¿Cuántos ordenadores tenía al principio? ¿A qué precio cobrará finalmente cada reparación?

Solución:

Sea x el número de ordenadores que se tienen al principio. Por cada uno, el técnico piensa cobrar 360

x 􏱾 euros. Sin embargo, finalmente solo reparará x-4. Se verifica que:

(360

x + 4,5) . (𝑥 − 4) = 360 360 − 1440

x + 4,5𝑥 − 18 = 360 4,5x

2 _{-18x-1440 = 0}

Se resuelve la ecuación anterior: x = 18±√324+25920

9 =

18±162 9 = {

20 −16

Las soluciones son: x1 = -16 (que no sirve) y x2 = 20. El número inicial de ordenadores era 20.

20. Sabemos que la suma del dinero que poseen tres amigos es de 33€, si sabemos que el primero tiene 2€ más que el segundo y entre ambos el doble de lo que tiene el tercero. Halla cuánto dinero tiene cada uno de ellos utilizando el método de Gauss.

Solución:

       2z = y + x 2 y = x 33 = z + y x

Reordenamos miembros obteniendo:

      0 = 2z - y + x 2 = y - x 33 = z + y x

Restamos a la 2ª y 3ª filas la 1ª:

      33 - = 3z 31 - = z -2y 33 = z + y x

Obteniendo un sistema triangular del cuál despejamos las soluciones. z = 11

-2y-11 =-31  -2y = -20  y = 10 x+10+11 = 33  x = 12

Por lo tanto x = 12€ y = 10€ y z = 11€.

21. Halla un número de tres cifras sabiendo que su suma es 12, que la cifra de las unidades es igual a la semisuma de las cifras de las centenas y de las decenas, y que, por ultimo, el número que resulta al invertir las cifras del buscado es 198 unidades más pequeño que éste.

Solución:

Suponiendo que las cifras del número son [xyz] (100x+10y+z) al invertir las cifras obtenemos un nuevo número [zyx] (100z+10y+x), obtenemos el sistema:

{

x + y + z = 12 𝑧 =𝑥+𝑦

2

100z + 10y + x = 100x + 10y + z − 198

{

x + y + z = 12 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0 99z − 99x = −198

{

x + y + z = 12 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0

x − z = 2

Restamos la 1ª y 2ª filas:

{−3z = −12

x − z = 2 { z = 4 x − 4 = 2{

z = 4 x = 6

Despejando en la 1ª ecuación: 6+y+4 = 12  y = 2

Por lo tanto el número es 624.

22. Resuelve la inecuación 2x2_{-16x+24 < 0}

Resolución:

Para resolver inecuaciones de segundo grado se calculan las raíces de ecuación asociada:

2x2_{-16x+24 < 0}  _x2_{-8x+12 < 0} x =

2 8 4 64

8 

= 2 16 8 =      2 6 2 4 8

obteniendo x = 2 y x = 6.

Representamos en la recta real las soluciones encontradas y estudiamos el signo de la expresión 2x2_{-16x+24 = 2(x-2).(x-6) en cada uno de los intervalos formados:}

- Si x < 2 (x-2).(x-6) > 0 - Si 2 < x < 6 (x-2).(x-6) < 0 - Si x > 6 (x-2).(x-6) > 0

23. Resuelve la inecuación:

𝐱 − 𝟑

𝟐 −

𝐱 − 𝟐

𝟖 ≤

𝐱 𝟐

Resolución:

Hallamos el común denominador: 4𝑥−12

8 −

𝑥−2 8 ≤

4𝑥 8

Consideramos sólo los numeradores: 4x-12-x+2  4x  -x  10  x  -10 Luego la solución es [-10, +)

24. Resuelve la inecuación 𝐱−𝟏

𝐱−𝟑 > 0

Solución:

Resolvemos la inecuación averiguando cuando es positivo el cociente dado:

  

  0 3 -x

0 1 -x

ó   

  0 3 -x

0 1 -x

Para resolverlos debemos hallar las soluciones de cada inecuación por separado. La solución de cada sistema es la intersección de las soluciones.

  

  3 x

1 x

 (1, )(3, )

Es decir el intervalo (3,) tal como se ve en la figura.

  

  3 x

1 x

 (-,1)(-,3) Es decir el intervalo (- , 1).

Por lo tanto la solución completa es la unión de las soluciones de los dos sistemas (-, 1)(3,)

25. Resuelve la inecuación:

𝟓𝐱−𝟐 𝟐𝐱+𝟏 0

Solución:

Resolvemos la inecuación averiguando cuando es positivo el cociente dado:

{5𝑥 − 2 ≤ 0 2𝑥 + 1 ≤ 0 o {

5𝑥 − 2 ≥ 0 2𝑥 + 1 ≥ 0

Para resolverlos debemos hallar las soluciones de cada inecuación por separado. La solución de cada sistema es la intersección de las soluciones.

{5𝑥 − 2 ≤ 0

2𝑥 + 1 ≤ 0 (−∞,

2

5] ∩ (−∞, − 1 2) Es decir el intervalo (−∞, −1

2)

{5𝑥 − 2 ≥ 0 2𝑥 + 1 ≥ 0 [

2

5, ∞) ∩ ( − 1 2, ∞) Es decir el intervalo [2

5, ∞) .

Por lo tanto la solución completa es la unión de las soluciones de los dos sistemas:

(−∞, −1 2) ∪ [

2 5, ∞)