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DERIVADAS

Si, en las propiedades de un espacio vectorial, en cambio de un campo Kse usa un anillo unifero, entonces a la estructura resultante se llama un módulo sobre A. En ellos los conjuntos unitarios con elemento no cero del grupo abeliano, digamosV, no son linealmente independientes. Es decir que av = 0 (con v 6= 0) no implica necesariamente a = 0. Puede pues esperarse que siV es un A−módulo yA no es un campo, entonces V no necesariamente tenga bases sobre A. Esto muestra una de varias diferencias entre espacios vectoriales y módulos. Aqu´ı nosotros encontramos de manera natural esta estructura por lo cual debemos mencionarla pero su estudio minucioso esta reservado para otro curso más adelante (Teor´ıa categórica de módulos).

Mientras no se diga otra cosa los anillos aqu´ı mencionados ser´an con-mutativos y un´ıferos (con m´odulo multiplicativo) y para un anilloM, denotaremos poru(M) el subgrupo multiplicativo de las unidades de M.

Si, en el concepto de K−álgebra,Kse reemplaza por un anillo entonces la estructura resultante aun se llama un álgebra pero agregaremos “modular”, en caso que deba resaltarse que no hay espacio vectorial. Mientras no se diga lo contrario en esta parte A−álgebra significará A−álgebra modular y M será un anillo un´ıfero. Note el siguiente hecho:

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6.1 Proposición. SeaA un subanillo de un anillo M, entonces M es una A−álgebra tomando como multiplicación por escalar la del anillo M 2

Derivadas

6.2 Definici´on. Sea N un anillo y M un subanillo de N. Una derivada D : M → N es un homomorfismo de grupos tal que D(xy) =xD(y) +yD(x) 2

Damos a continuaci´on las propiedades b´asicas deD:

6.3 Proposici´on. SeaD:M →N una derivada. Entonces:

1. D(1) = 0

2. si m∈u(M)→D(1/m) =−(1/m2_)D(m)

3. si m∈u(M) yD(m) = 0→D(1/m) = 0

4. D(m/r) = rD(m)−mD(r)

r2 (r∈u(M))

5. ∀n∈Z, D(xn) =nxn−1D(x)

Demostraci´on: 1. Puesto que 12 = 1→D(1) =D(1) +D(1) as´ı que D(1) = 0. 2. Puesto que mm−1 = 1 entonces D(mm−1) = 0 y por tanto D(m−1) =−m−2_{D(m). 3. Es evidente de 2. En cuanto a 4 y 5} funcionan como en el c´alculo y quedan como ejercicio 2

Con relaci´on a lo que sucede en c´alculo, que las constantes “salen de la derivada” varias cosas hay que hacer notar:

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Demostraci´on: Que kerD es un subgrupo aditivo es evidente y por la derivada del producto es evidente tambi´en que si D(a) = 0 y D(b) = 0→D(ab) = 0 2

Se tiene pues que M es un ´algebra modular sobre kerD. Veamos que los elementos de kerDjuegan el papel de constantes:

6.5 Proposici´on. Sea D : M → N una derivada y m ∈ M. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i. ∀a∈M, D(ma) =mD(a).

ii. m∈kerD.

Demostraci´on: Sim∈kerD, entoncesD(ma) =mD(a) +aD(m) = mD(a). Suponga ahora que ∀a ∈ M, D(ma) = mD(a). Entonces mD(a) = D(ma) = mD(a) +aD(m). Por tanto aD(m) = 0. En particular, cuandoa= 1 se recibe que D(m) = 0 2

Note la fuerza de la proposición precedente: interna o externamente los únicos que pueden servir de escalares son los elementos de kerD. En efecto suponga queM es un K−módulo. Sea Ke ={k.1|k∈K}. EntoncesKe es isomorfo aK ykm= (k.1)m. Se identifica puésk con k.1 y se tiene que:

6.6 Corolario. Si ∀k ∈ K,∀m ∈ M, D(km) = kD(m), entonces K⊆kerD 2

6.7 Definici´on. Llamamos a kerDelanillo de los escalares de D o de las constantes de M relativas a D. Lo denotaremos por K o porKD cuando se requiere enfatizar la derivada D 2

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D(M, N) = {D:M →N |Des una derivada}

Entonces:

6.8 Proposici´on.

i. si m∈M yD∈D(M)→mD∈D(m).

ii. siD1, D2 ∈D(M) entonces D1−D2 ∈D(M).

iii. D(M) es un m´odulo sobre M, subm´odulo deNM .

Demostraci´on: Demostramos ii) los otros dos quedan como ejercicio.

(D1−D2)(a+b) =D1(a+b)−D2(a+b) =D1(a)+D1(b)−D2(a)−D2(b)

= (D1−D2)(a) + (D1−D2)(b).

As´ı mismo

(D1−D2)(ab) =D1(ab)−D2(ab) =aD1(b)+bD1(a)−(aD2(b)+bD2(a))

=aD1(b) +bD1(a)−aD2(b)−bD2(a)

=a(D1−D2)(b) +b(D1−D2)(a).

Se tiene pues que D1−D2 es una derivada 2

Anillo Algebr´aico

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6.9 Proposici´on. SeaD:M →N una derivada, conM algebraico. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i. Des lineal sobre U(M) y kerDes un campo.

ii. kerD=U(M).

Demostraci´on: i) → ii): Se tiene que si D es lineal sobre U(M) entoncesU(M)⊆kerD. Ahora si kerD es un campo, kerD⊆ U(M) as´ı queU(M) = kerD. Por lo dem´as ii)→ i) es evidente 2

Derivadas Algebr´aicas

6.10 Definici´on. Sea M un dominio algebraico. Una derivada D:M →N se dice algebraica si kerD=U(M) 2

EquivalentementeDes algebraica si es una derivada lineal sobreU(M) y kerD es un campo.

6.11 Ejemplo. Las derivadas sobre los polinonios. K[x] es un do-minio algebraico y admite derivadas algebraicas siKes un campo con caracter´ıstica 0. Un ejemplo es la derivada corriente Dx:K[x]→K[x] conDx(Paixi) =P(i.ai)xi−1. Si, por el con-trario,χ(K) =pentoncesDxxp = 0 y comoxpno es invertible en K[x] entonces kerDx no es un campo y Dx no es algebraica. Es claro queD:K[x]→K[x] es algebraica si y s´olo si i) (D(p(x)) = 0↔P(x)∈K y ii)D(kp(x)) =kp(x),∀k∈K, ∀p(x)∈K[x]). Es claro que siχ(K) =p entonces la primera propiedad falla.

Para definir una derivada algebraica D : K[x] → K[x] es suficiente definirla sobre una base. Pero puesto que{1, x, x2_{, x}3_{, ...}}_{es una base} de K[x] sobre K, D(1) = 0, para completarla es suficiente definir D(x), puesto queD(xn) est´a definido porD(x). Mas aun tenemos una f´ormula precisa aplicando las propiedades de la derivada algebraica:

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As´ı que si definimos D(x) =p(x) tenemos

D(q(x)) =p(x)Dx(q(x))

Este ejemplo ilustra que, sobre los polinomios, las derivadas algebraicas est´an determinadas por (y determinan) un polinomio que es la imagen del generador x.

Si DA, en cambio de D, denota el conjunto de las derivadas alge-braicas, junto con la derivada 0, entonces el resultado se extiende a lo siguiente:

6.12 Proposici´on.

i. p(x)Dx :K[x]→K[x] es una derivada, para cadap(x)∈K[x] y es algebraica siχ(K) = 0 y p(x)6= 0.

ii. φ:K[x]→ DA(K[x]), dada por p(x) 7→ p(x)Dx, es un isomor-fismo de K-espacios vectoriales.

iii. φ de ii, se extiende a un isomorfismo de K-´algebras tomando (p(x)Dx)(q(x)Dx) = (p(x)q(x))Dx.

Demostración: ii. [φ(p(x) +q(x))](r(x)) = (p(x) +q(x))Dxr(x) = p(x)Dxr(x) + q(x)Dxr(x) = [φ(p(x)) + φ(q(x))](r(x)). As´ı que φ(p+q) = φ(p) +φ(q). Se vé fácilmente que φ(kp(x)) = kφ(p(x)). Además, si φ(p(x)) = 0, entonces p(x)Dxx = 0. Luego p(x) = 0. As´ı que φes 1−1. Ahora bien, siD es una derivada sobreK[x], entonces D(x)∈K[x] y obviamente φ(D(x)) =D. Lo cual concluye ii.

iii. Esto es obvio puesto que el producto en DA(K[x]) = DxDx = D1(x)Dx.D2(x)Dx =D1(x)D2(x)Dx es el producto inducido porφ, es decirD1D2 =φ(φ−1(D1).φ−1(D2)) el cual, como es sabido, es el ´unico que hace de φun isomorfismo de la estructura multiplicativa.

La parte iya fue tocada arriba 2

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algebraica. De hecho sim no es una unidad de M entonces tampoco lo esmp, porque de otra manerampy= 1 lo cual es imposible. Ahora, obviamente,D(mp_{) = 0 y ker}_D _{no es un campo. As´ı que, como para} un dominio algebraicoM,χ(M) =χ(U(M)), entonces se tiene

6.13 Proposici´on. Si M es un dominio algebraico con carater´ıstica finita entonces no tiene derivadas algebraicas 2

En adelante cuando se traten derivadas algebraicas estar´a impl´ıcito que los dominios son de caracter´ıstica 0.

Fuente de una Derivada

6.14 Definici´on. Si Des una derivada sobre K[x] entonces D(x) se llamar´a la fuente de D 2

La fuente de Des útil para definir derivadas con caracter´ısticas espe-ciales, por ejemplo con imágenes de un grado m´ınimo predeterminado. Tal es al caso de x2Dx, cuyas imágenes son 0 o polinomios de grado mayor o igual que 2.

Los factores (polinomios) lineales tienen una caracterizaci´on por deri-vadas que ahora extendemos.

Elementos D-Lineales

Sea D : M → M una derivada álgebráica, con M un dominio de factorización única. Denotaremos porK aU(M).

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En particular todo elemento de kerD = U(M) es D−lineal. Los co-mentarios sobre la construcción de derivadas sobre polinonios mues-tran que los de K pueden bien ser los únicos elementos D−lineales. Por ejemplo x2Dxp(x) = k ∈ K sucede únicamente si p(x) ∈ K y k = 0. En general encontrar los elementos D−lineales es equivalente a resolver la ecuaciónD(y) =k parak∈K. Como 1 genera a K ini-ciemos con solucionarD(y) = 1. Es evidente quey /∈K. Si conocemos una solución de D(y) = 1 entonces D−1(1) =y+K. Por lo demás:

6.16 Proposici´on.

i. 1(∈K) admite una antiderivada ⇔ cualquier unidad la admite.

ii. Sea ζ es una antiderivada de 1. Entonces: m es un elemento D−lineal↔m=kζ+r conk, r∈K 2

Las antiderivadas algebraicas de 1 son elementos especiales. Note, para comenzar, que para un dominio M,M ⊆F(M), donde F(M) denota el campo de las fracciones de M. As´ı pues si ζ ∈ M entonces K(ζ) existe como subcampo de F(M). Se tiene m´as a´un que K ⊆K(ζ)⊆ M ⊆ F(M). Naturalmente si ζ es algebraico sobre K, entonces, si gr(Ir(ζ, K)) =ntodav´ıa se tiene la igualdad

K(ζ) ={p(ζ)|p(x)∈K[x]}={p(ζ)|p(x)∈K[x] ygr(p)≤n}

Regresando a lo mencionado tenemos:

Derivaci´on y Trascedencia

6.17 Proposici´on. SeaN un dominio extensi´on de K. Si ζ es alge-braico sobreKyD:N →M es una derivada conU(N)⊆kerD entoncesD(ζ) = 0.

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6.18 Proposici´on.

i. SeanK, N como en 6.17 y seaα∈N. Si existe D:N →M con U(N)⊆kerD yD(ζ)6= 0 entonces ζ es trascendente sobre K.

ii. Si ζ es trascendente sobre K, entonces en K[ζ] existe exacta-mente una derivadaDcuyo m´odulo de constantes esK y con i-magen deζigual a 1. Es la ´unica derivada enK[ζ] conD(K) = 0, cuyos elementos D−lineales son de la forma kζ+r conk, r∈K. Ninguna derivada algebraica sobreK[ζ] se extiende aK(ζ).

Demostraci´on: Bajo las hip´otesis dadas K[ζ] ∼= K[x], por ende la ´

unica derivada en menci´on es D(P

aiζi) = P

iaiζi−1. Por tanto las derivadas son de la formap(ζ)Dζ 2

Como ejemplo deM 6=K[x] considere comoM a la K−´algebra de las funciones anal´ıticasf :R→R, yD la derivada corriente. R[x] es una

sub´algebra de M sobre R, pero cl´aramente f(x) = ex no esta en la

sub´algebra generada por {1, x} sobre R. Es decir que no es un

poli-nomio sobre R.

Note c´omo 1 determina siempre el comportamiento deK como imagen de una derivada.

6.19 Proposici´on. Si D:M →M es una derivada K−lineal (K = U(M)) entonces, K ⊆ImD⇔1∈ImD 2

Evaluaciones

6.20 Definición. Sea M un álgebra sobre K. Una función E:KxM →K se dice una evaluación deM en K s´ı

E1. Para cada a∈K, Ea :M → K dada porEa(m) =E(a, m), es un morfismo de anillos.

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Dada una evaluaci´on E :K×M →K, si no hay posibilidad de error se escribe m|_a un cambio deE(a, m) 2

Con la notaci´on precedente se tiene pues las igualdades

(m+n)|a=m|a+n|a; (m−n)|a=m|a−n|a;∀k∈K, k|a=k,∀a∈K

Por ejemplo si M =K[x] se tiene una función de evaluación tomando K×K[x]→K, (a, p(x))7→ p(a) que es conocida como la evaluación en a.

Pongamos ahora juntos los conceptos de derivaci´on y evaluaci´on :

Algebras Valuadas con Derivaci´on

6.21 Definici´on.

i. Un álgebra valuada es una dupla (M, E) donde M es un do-minio algebraico (y por ende un álgebra sobre K = U(M)) de factorización única y E :K×M →K es una evaluación.

ii. En un ´algebra valuada, “a” se dice un cero dem si m|_a = 0

iii. m se dice un elemento E−lineal si es irreducible y tiene ceros en K 2

Recuerde que si m = xn1₁ . . . xnt_t es la descomposición de m en fac-tores irreducibles entoncesxi se dice de multiplicidadni en la descom-posición de m. La generalización del caso corriente del efecto de la derivada sobre la mutiplicidad es como sigue:

6.22 Proposici´on. Suponga que U(M) es denotado porK y que:

i. M es un dominio algebraico.

ii. m es un elemento deM con un factor no trivial (no unidad) a, de multiplicidad n >1.

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Entonces, para cualquier derivada algebraicaD :M → M no nula, a es un factor no trivial deD(m).

Demostraci´on: Note que potencias enteras de no unidades son no unidades. Suponga que m = anb con 1 < n < χ(M). Si D es una derivada algebraica sobreM, no nula entonces

D(m) =an−1(nD(a) +aD(b))

y el par´entesis no puede ser 0 puesto que mno es una unidad. As´ı que an−1 es un factor no trivial de D(m) 2

El parecido deD con la derivada del c´alculo empieza a ser aparente:

6.23 Proposici´on. Si D(m) = D(n) y existe a ∈ K tal que m|a = n|a→n=m.

Demostraci´on: D(m−n) = 0→m−m=k∈K →m|_a−n|_a=k luegok= 0 ym=n 2

6.24 Proposición. En un álgebra valuada con derivación algebraica, existe a lo más un elementom tal queD(m) = 1 y m|₀= 0

Demostración: Suponga que existemtal queD(m) = 1. Sim|0 = 0 hemos terminado. Sim|0 =a6= 0, entoncesm−a=m sirve y según se vio arriba es único 2

Una aplicaci´on de derivaci´on de polinomios es la que sigue

6.25 Proposici´on. Seap(x)∈K[x]de grado n, m´onico e irreducible y suponga quen1 6= 0 en K. Entonces la multiplicidad de p(x) es 1(M(p) = 1), es decir que en cualquier campo de rotura de p(x) todas sus ra´ıces son distintas.

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6.26 Corolario. Suponga que χ(K) = 0. Sea P(x) ∈ K[x]. Si existe una extensi´on M de K en donde p(x) tiene un cero de multiplicidad mayor que 1, entonces p(x) no es irreducible en K[x] 2

6.27 Corolario. Sea p(x) ∈ _Q[x] (respectivamente R[x]). Si p(x)

tiene un cero multiple en C, entonces es factorizable en Q[x]

(respectivamente en R[x]) 2

Problemas Suplementarios

1. Use evaluaciones para demostrar, de nuevo, que Si D:M →M es algebraica, D(m) = 1 y m|0 = 0 entonces{1, m, m2, . . .} es linealmente independiente sobre K. Cuales de las hip´otesis se pueden omitir o cambiar para obtener la misma conclusi´on.

2. D´e ejemplos de funciones de evaluaci´on distintas de las dadas en el texto.

3. Caracterice las derivadas que preservan el producto.

4. Decida si el subdomino M de R generado por Q∪ {x,e} es un

dominio algebraico. Caracterice sus derivadas y sus derivadas algebraicas.

5. Decida (cuidadosamente) si las derivadas direccionales del c´alculo son derivadas, como se han expuesto en este cap´ıtulo. Cuales de ellas son algebraicas y cuales no.

6. Haga el desarrollo de derivadas cambiando en la definici´on el codominio a D:M →N en dondeM es un subdomino de N.

7. SiM es un dominio de caracter´ısticap,caracterice las im´agenes de las derivadas D:M →M.

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9. D´e un ejemplo de derivada D:R→R, no cero con kernel Q.

10. D´e ejemplo de polinomios irreducibles de multiplicidad distinta de 1.

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