El trabajo persistente
caracteriza al “Usachino”
Una Soluci ´on de la Pep 1 de ´
Algebra II
M ´odulo Basico
Profesor Ricardo Santander Baeza
Departamento de Matem ´atica y Ciencia de la Computaci ´on Universidad de Santiago de Chile
15 de mayo del 2014
1
Si consideramos la matriz A definida por
A
=
x
+
2
4
8
16
32
2
x
+
4
8
16
32
2
4
x
+
8
16
32
2
4
8
x
+
16
32
2
4
8
16
x
+
32
Determine el conjunto
S
=
{
x
∈
R
|
A
∈
U
(
M
R(5
))
}
Soluci ´on
Debemos determinar el conjunto
S
=
{
x
∈
R
|
A
∈
U
(
M
R(5
))
}
Entonces conforme a nuestros protocolos
x
∈
S
⇐⇒
x
∈
R
∧
A
∈
U
(
M
R(5
))
⇐⇒
x
∈
R
∧
det
(A)
6
=
0
⇐⇒
x
∈
R
∧
det
x
+
2
4
8
16
32
2
x
+
4
8
16
32
2
4
x
+
8
16
32
2
4
8
x
+
16
32
2
4
8
16
x
+
32
6
=
0
det
(A) =
det
x
+
2
4
8
16
32
2
x
+
4
8
16
32
2
4
x
+
8
16
32
2
4
8
x
+
16
32
2
4
8
16
x
+
32
(l
1→
l
1−
l
5)
(l
2→
l
2−
l
5)
=
(l
3→
l
3−
l
5)
(l
4→
l
4−
l
5)
det
x
0
0
0
−
x
0
x
0
0
−
x
0
0
x
0
−
x
0
0
0
x
−
x
2
4
8
16 x
+
32
=
x
4det
1 0 0
0
−1
0 1 0
0
−1
0 0 1
0
−
1
0 0 0
1
−1
2 4 8 16 x
+
32
(l
5→
l
5−
2l
1)
=
x
4det
1 0 0
0
−1
0 1 0
0
−1
0 0 1
0
−
1
0 0 0
1
−1
0 4 8 16 x
+
34
=
x
4det
1 0
0
−
1
0 1
0
−1
0 0
1
−1
4 8 16 x
+
34
(l
4→
l
4−
4l
1)
=
x
4det
1 0
0
−
1
0 1
0
−1
0 0
1
−1
0 8 16 x
+
38
=
x
4det
1
0
−1
0
1
−1
8 16 x
+
38
(l
3→
l
3−
8l
1)
=
x
4
det
1
0
−1
0
1
−1
0 16 x
+
46
=
x
4det
1
−1
16 x
+
46
=
x
4(x
+
62
)
Luego, retomamos nuestro an ´alisis y obtenemos que
x
∈
S
⇐⇒
x
∈
R
∧
x
4(x
+
62
)
6
=
0
⇐⇒
x
∈
R
∧
x
6
=
0
∧
x
6
=
−62
⇐⇒
x
∈
(
R
− {−62,
0}
)
2
Dado el sistema de ecuaciones lineales
−
x
1+ (
1
+
λ
)x
2+ (
2
−
λ
)x
3+
λ
x
4=
3
λ
x
1−
x
2+ (
2
−
λ
)x
3+
λ
x
4=
2
λ
x
1+
λ
x
2+ (
2
−
λ
)x
3+
λ
x
4=
2
λ
x
1+
λ
x
2+ (
2
−
λ
)x
3−
x
4=
2
(1)
Determine el siguiente conjunto
S
=
{λ
∈
R
|
(
1
)
no tiene soluci ´on}
Soluci ´on
Etapa 1. Debemos determinar el conjunto
S
=
{λ
∈
R
|
(
1
)
no tiene soluci ´on}
Etapa 2. Gesti ´on de la informaci ´on. Aplicamos el teorema del rango y,
El sistema lo escribimos en su notaci ´on matricial
−1 1+λ 2−λ λ λ −1 2−λ λ λ λ 2−λ λ λ λ 2−λ −1
x1 x2 x3 x4
=
3 2 2 2
Estudiamos la matriz ampliada asociada al sistema
(A|B) =
−1 1+λ 2−λ λ | 3 λ −1 2−λ λ | 2 λ λ 2−λ λ | 2 λ λ 2−λ −1 | 2
entonces
−1 1+λ 2−λ λ | 3 λ −1 2−λ λ | 2 λ λ 2−λ λ | 2 λ λ 2−λ −1 | 2
(l1→ −l1)
1 (−1−λ) λ−2 −λ | −3 λ −1 2−λ λ | 2 λ λ 2−λ λ | 2 λ λ 2−λ −1 | 2
(l3→l3−l2) (l4→l4−l2)
1 (−1−λ) λ−2 −λ | −3 λ −1 2−λ λ | 2 0 λ+1 0 0 | 0 0 λ+1 0 −1−λ | 0
(l4→l4−l3)
1 (−1−λ) λ−2 −λ | −3 λ −1 2−λ λ | 2 0 λ+1 0 0 | 0 0 0 0 −1−λ | 0
(l1→l1+l3)
1 0 λ−2 −λ | −3 λ −1 2−λ λ | 2 0 λ+1 0 0 | 0 0 0 0 −1−λ | 0
(l2→l2−λl1)
1 0 λ−2 −λ | −3 0 −1 (2−λ)(λ+1) λ+λ2 | 2+3λ 0 λ+1 0 0 | 0 0 0 0 −1−λ | 0
Siλ=−1 entonces
(A|B) ∼
1 0 −3 1 | −3 0 −1 0 0 | −1 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 | 0
Siλ6=−1 entonces
(A|B) ∼
1 0 λ−2 −λ | −3 0 −1 (2−λ)(λ+1) λ+λ2 | 2+3λ
0 1 0 0 | 0
0 0 0 1 | 0
(l2→l2+l3)
1 0 λ−2 −λ | −3 0 0 (2−λ)(λ+1) λ+λ2 | 2+3λ
0 1 0 0 | 0
0 0 0 1 | 0
Siλ6=2 entonces hay soluci ´on ´unica pues,
(A|B) ∼
1 0 λ−2 −λ | −3 0 0 1 λ
λ−2 |
2+3λ (λ−2)(λ+1)
0 1 0 0 | 0 0 0 0 1 | 0
Siλ=2 entonces no hay soluci ´on pues,
(A|B) ∼
1 0 λ−2 −2 | −3 0 0 0 6 | 8 0 1 0 0 | 0 0 0 0 1 | 0
(l2→l2−6l4)
1 0 λ−2 −2 | −3 0 0 0 0 | 8 0 1 0 0 | 0 0 0 0 1 | 0
Y 2∈S. Por tanto
3 SiW={p(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3∈R
3[x]|a0+2a1−a2+a3=0∧a0+a1+a2+2a3=0}entonces demuestre que
W≤R3[x]
En efecto, en primer lugar observamos que,
p(x) =0+0x+0x2+0x3∈R3[x]∧0+2·0−0+0=0∧0+0+0+2·0=0
Luego, p(x) =0+0x+0x2+0x3∈WyW6=∅
Ahora, podemos usar la t ´ecnica del subespacio generado para intentar verificar, siWes o no un subespacio. En consecuencia
p(x)∈W ⇐⇒ p(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3∈R3[x] ∧ [a0+2a1−a2+a3=0∧a0+a1+a2+2a3=0] ⇐⇒ p(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3∈R3[x] ∧ a0a0++2a1a1+−a2a2++2a3a3 == 00 (∗)
Ahora, debemos resolver el sistema(∗), para concluir nuestro trabajo, usando por ejemplo el teorema del rango. As´ı que,
1 2 −1 1 1 1 1 2
(l2→l2−l1) 01 −12 −12 11 (l2→ −l2) 10 12 −2−1 −11 (l1→l1−2l2) 10 01 −23 −13
Ahora retornamos a nuestro proceso y obtenemos que
p(x)∈W ⇐⇒ p(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3∈R3[x] ∧ a0=−3a2−3a3∧a1=2a2+a3
⇐⇒ p(x) = (−3a2−3a3) + (2a2+a3)x+a2x2+a3x3; a2∈R∧a3∈R
⇐⇒ p(x) =−3a2+2a2x+a2x2−3a3+a3x +a3x3; a2∈R∧a3∈R ⇐⇒ p(x) =a2(−3+2x+x2) +a3(−3+x+x3); a2∈R∧a3∈R
⇐⇒ p(x)∈ *
−3+2x+x2
| {z }
∈W
,−3+x+x3
| {z }
∈W
+
As´ı que,
4 Si A= (a
ij)∈MR(n)entonces demuestre que
A∈U(MR(n)) =⇒
(
adj(A)∈U(MR(n))
∧
(adj(A))−1= (det(A))−1·A
En efecto,
En primer lugar, debemos recordar que tenemos una poderosa herramienta que relaciona: Una matriz cuadrada con su adjunta y su determinante, y esta es
A· Adj(A) = det(A)·In
En segundo lugar, recordamos tambi ´en que
A∈U(MR(n))⇐⇒det(A)6=0
Por tanto, combinando la informaci ´on obtenida conseguimos que:
1 det(A) ·A
· Adj(A) = In
Finalmente de la definici ´on de matriz inversa, cuando existe, sigue que
Adj(A)∈U(MR(n)) ∧ (Adj(A))−1=
1 det(A)·A
