Teoría Microeconómica
Irán Apolinar Peredo Cortes
Índice general
1. Juegos estáticos con información completa 5
1.1. Estrategias estrictamente dominadas . . . 5
1.2. Equilibrio de Nash . . . 7
1.3. Ejercicios Resueltos . . . 8
2. Estructuras de Mercado 11 2.1. Monopolio . . . 11
2.1.1. Perdida de Eciencia Económica . . . 12
2.2. Oligopolio . . . 14
2.2.1. La Paradoja de Bertrand . . . 14
2.2.2. Productos diferenciados . . . 15
2.2.3. Modelo de Ciudad Lineal con costos de transporte cuadráticos 16 2.3. Ejercicios resueltos . . . 19
Introducción
Casi todos los acontecimientos de nuestra vida cotidiana esta relacionada con la toma de decisiones, estas son tomadas por ejemplo en las relaciones de pareja al decidir en que lugar se va a cenar o que película se verá, en el trabajo establecemos decisiones a n de maximizar los benecios tanto propios como empresariales, en el ambiente escolar, etc. Toda toma de decisiones involucra diferentes tipos de actores y diferentes tipos incentivos o metas, sin embargo cabe destacar que cada individuo tiene por lo general una meta la cual es la más deseable y, para lograrlo establece una estrategia para lograr dicho objetivo, precisamente eso es lo que estudia la Teoría de los Juegos. La Teoría de Juegos desde ahora abreviada TJ para algunos es la parte de las mate-máticas que se encarga del estudio de la toma de decisiones de los individuos dentro de un sistema, en este sentido la TJ tiene grandes aplicaciones en diferentes disci-plinas tales como las ciencias políticas, la psicología y la economía, es precisamente ésta sobre la que exacerbaremos en el presente documento.
¾ Qué es un Juego ?
Un juego es una representación formal de una situación donde existen individuos los cuales tienen estrategias interdependientes y que ademas cada combinación de estrategias ejecutadas se le retribuyen en un cierto valor de utilidad. Los juegos bi-personales pueden ser representados de una forma cómoda de la forma estratégica o normal mediante una matriz binaria donde generalmente las las le corresponde a las estrategias del jugador 1 y las columnas al jugador 2. De igual forma cada intersección de estrategias proporciona un nivel de utilidad donde el primer número le corresponde al jugador 1 y el segundo al jugador 2. Como veremos más adelante un juego puede ser expresado de la forma extensiva lo cual será necesario cuando analicemos juegos de más de una tirada. Los juegos pueden clasicarse como juegos de información completa, incompleta, de estrategias puras o estrategias mixtas, entre los más comunes.en el Capitulo 1 analizaremos los juegos estáticos con información completa, es decir, aquellos juegos donde los conjuntos de información son del do-minio publico, ademas se dice que son estáticos porque ambos jugadores eligen sus estrategias simultáneamente.
Capítulo 1
Juegos estáticos con información
completa
Deniciones básicas
Un juego esta formado por I jugadores i, denotaremos a Hi como el conjunto de
información del jugador i, A son las posibles acciones del juego y C(H) ⊂ Aes el
conjunto de acciones posibles con el conjunto de informaciónH. Una estrategia para el jugadories una funciónsi:Hi → Adonde si ∈Si.Si es el conjunto de todas las
estrategias puras del jugadori, de igual forma tiene una función de pagos ui{·}. Por
tanto un juego de forma normal ΓN tiene puede representarse como:
ΓN = [I,{Si}, ui{·}]
Denotamos al producto cartesiano∏i∈ISicomoS, a los elementos enS les
llamare-mos perl de estrategias puras, es decir,s1 puede ser reescrito como(s∗i |s−i) donde
si es la estrategia llevada acabo por el jugador i ys−i es el conjunto de estrategias
del resto de los jugadores.
1.1. Estrategias estrictamente dominadas
Dentro del estudio de la teoría de juegos como ya hemos observado es fundamental siempre establecer como decisión la mejor estrategia de tal forma que obtengas el mejor pago posible. Como en todo conjunto de estrategias existen algunas que son obviamente estrategias desechables, en el sentido de que siempre hay estrategias que indudablemente son mejores que esa. Cuando en un juego encontramos este tipo de estrategias diremos que es una estrategia dominada ya sea de manera estricta o de manera débil.Para ejemplicar esto supóngase dos estrategias puras por ejemplosˆi
y˜si, se dice ques˜i esta dominada estrictamente si:
ui(ˆsi|s−i)> ui(˜si |s−i)∀s−i∈S−i
6 CAPÍTULO 1. JUEGOS ESTÁTICOS CON INFORMACIÓN COMPLETA
Si la desigual no es estricta diremos que es débilmente dominada. Usando esta re-gla podemos resolver un juego mediante la eliminación de estrategias estrictamente dominadas, utilizaremos el siguiente ejemplo para mostrar el uso de la eliminación de estrategias estrictamente dominadas como método de solución de un juego de la forma normal.
Ejemplo 1.1 El dilema del prisionero. Consideremos una situación donde existen dos acusados de un robo, ambos son aislados y listos para el interrogamiento. Cada jugador tiene un el siguiente conjunto de estrategias puras Si ={confesar, no
con-fesar}. El juego se puede expresar de la forma normal mediante la siguiente matriz binaria:
No Confesar Confesar No Confesar -2,-2 -10,-1
Confesar -1,-10 -5,-5
Cada casilla de la matriz representa los pagos ui{·} de cada jugador (prisionero),
generalmente el jugador 1 le corresponden las estrategias de las (horizontal) y a al jugador 2 las columnas (vertical); por ejemplo, la casilla arriba-izquierda donde el jugador 1 decide no confesar y el jugador 2 decide igualmente no confesar forma un perl de estrategias puras s1 ={No Confesar, Confesar} los respectivos pagos son
uij ={−2,−2}. Cabe destacar que por convención se le asigna al jugador 1 el pago
de la izquierda y al 2 el de la derecha.
El juego anterior nos dice que si el jugador 1 conesa tendrá -1 día de libertad (1 día de encierro) o -5 días dependiendo de la acción del jugador 2. De la misma forma el jugador dos tendrá -2 o -10 días de libertad si se queda callado y dependerá de lo que decida el jugador 1. La forma de obtener la solución de este juego mediante la eliminación de estrategias estrictamente dominadas consiste en lo siguiente: para el jugador 1 la estrategia confesar domina estrictamente a no confesar y dado que
−1>−2 y−5>−10 , podría ser escrito de esta forma:
u1 ={Confesar | s−i } >u1 ={ No Confesar | s−i}
Donde s−i contiene a las estrategias del jugador 2 las cuales son Confesar o No
Confesar. Dado que el jugador 1 es un agente maximizador elimina la estrategia No confesar, por lo que el juego se convierte en:
No Confesar Confesar Confesar -1,-10 -5,-5
1.2. EQUILIBRIO DE NASH 7
decir,−5>−10, es decir:
u2 ={Confesar |s−i}>u2={No confesar | s−i }
Por tanto el jugador 2 elimina la estrategia de No Confesar, al nal solo queda la solución del juego con el perl de estrategia puras {Confesar, Confesar} donde a cada uno le corresponden -5 días de libertad. Por una parte cabe destacar que en este tipo de juegos asumimos una cierta racionalidad de los jugadores, es decir, ambos suponen que su compañero de juego es racional en el sentido que siempre busca el máximo nivel de utilidad posible. Por otra parte es de señalar que la solución del juego no es la mejor para ellos en conjunto, es decir, el perl de estrategias {No Confesar, No Confesar} les brinda un mayor nivel de utilidad. Esta es una característica importante de los juegos No Cooperativos, podemos armar que los equilibrios no son siempre socialmente óptimos, sin embargo si signica la mejor respuesta de cada jugador ante la estrategia seleccionada por el resto de los jugadores asumiendo que es racional en el sentido antes expuesto.
1.2. Equilibrio de Nash
En un Equilibrio de Nash (EN) la estrategia elegida por cada jugador es la mejor respuesta a las estrategias del resto del resto de los jugadoress−i. Es decir: Un
perl de estrategias s= {s1, s2, ..., sI} constituye un EN en estrategias puras para
un juegoΓN = [I,{Si}, ui{·}]para todoi= 1, ..., I
ui{s∗i|s−i} ≥ui{si|s−i}∀s∗i ∈Si
Ejemplo 1.2 La batalla de los Sexos. Supóngase que tenemos el siguiente proble-ma: Ale y Fabi son una pareja que tienen gustos muy diferentes sin embargo siempre preeren estar juntos a estar separados. Ahora bien, Ale quiere salir el n de semana con sus amigos y le gustaría que Fabi lo acompañace. De igual forma Fabi quiere salir con Ale a algún Antro pero sin la compañía de los amigos de Ale. La matriz de pagos es la siguiente:
Antro Amigos Antro 2,1 0,0 Amigos 0,0 1,2
Donde nuevamente las las son para el jugador 1, en este caso Fabi y las columnas para Ale. Si Ale decide ir al antro a Fabi le conviene también ir al antro ya que su ganancia es de 2. Si ale decide ir con sus amigos a Fabi no le queda más remedio que acompañarlo ya que1>0aunque el preferiría que ella eligiera ir con sus amigos
8 CAPÍTULO 1. JUEGOS ESTÁTICOS CON INFORMACIÓN COMPLETA
1.3. Ejercicios Resueltos
Problema 1
Considera el juego bilateral resumido por la siguiente tabla de pagos. ¾Qué
estrate-R S T
A 3,0 2,2 1,1 B 4,4 0,3 2,2 C 1,3 1,0 0,2
gias del juego sobreviven la eliminación iterativa de estrategias dominadas? Calcula los equilibrios de Nash en estrategias puras.
Solución De entrada observamos queAdomina de manera estricta aC, yRdomina de manera estricta a T. Soobreviven a la eliminacion iterativaA, B, R yS. Existen 2 Equilibrios de Nash,A, S yB, R.
Problema 2
Dos individuos negocian sobre cómo repartirse 1 Peso. Cada individuo i= 1,2
in-troduce en un sobre cerrado su propuestaγi sobre cuánto desea conseguir. A
conti-nuación, un interventor externo abre los sobres y ejecuta el siguiente reparto:
• Siγ1+γ2≤1,da a cada individuo la cantidad de γi+1−γ12−γ2.
• Siγ1+γ2>1ningún individuo revise nada
(1) Dibuja la función de pagos del individuo 1 si el 2 propone γ2 = 0. Dibuja la
función de pagos del 1 si el 2 proponeγ2 = 12
(2) Representa la correspondencia de mejor respuesta del individuo 1 para cual-quier posible propuesta del 2.
(3) Encuentra los equilibrios de Nash en estrategias puras (Sugerencia: dibuja en el mismo gráco las dos correspondencias de mejor respuesta).
Solución:
• Si γ2 = 0, la función de pagos de 1 es 1+2γ1 si γ1 ≤ 1. y 0 en otro caso. Si
γ2 = 12, la unción de pagos es 1+24γ1 siγ1≤ 12 y 0 en otro caso.
• si γ2 = 1, cualquier valor en [0,1] es mejor respuesta. si γ2 < 1 la mejor
respuesta es1−γ2.
• Es fácil ver queγ1 =γ2= 1 es un equilibrio, tambien lo es cualquier
1.3. EJERCICIOS RESUELTOS 9
B C
A x,3 a, b B −1, d e,0
Problema 3 (15 puntos)
Dado el siguiente juego estratégico Six >−1, a < e, b <3yd >0encontrar el o los
equilibrios de Nash en estrategias puras.
Solución
Capítulo 2
Estructuras de Mercado
2.1. Monopolio
Se le denomina Monopolio a aquella estructura de mercado donde solo existe un competidor (1 empresa) desde el punto de vista de la teoría de los juegos, es un juego con un jugador donde tiene libertad de imponer estrategias en un juego estático. Las reglas de este juego puedes ser descritas como:
(1) Derecho exclusivo de venta (Poder de Mercado)
(2) Selecciona el precio que maximice su utilidad (a la Bertrand)
(3) Restricciones tecnológicasC(q) y cunductas de consumo dadas p=D−1(q)
Dentro de las causas comunes que brindan el Poder de mercado a un monopolista son la existencia de Economías de escala (costos marginales constantes ante incremen-tos en la producción), tácticas estratégicas (discriminación de precios) o fusiones. Otra característica de esta estructura de mercado son las barreras de entrada las cuales pueden ser exógenas como la tecnología utilizada por el monopolista o ma-terias primas limitadas y endógenas que son medidas estratégicas realizada por el monopolista. Denominemos aqm =D(p) la función de demanda de un monopolista,
denominemos a su función inversap=D−1(qm) (de manera indistinta se puede
uti-lizar la notaciónp=p(qm)), denominemosC(q) a los costos de producirq unidades de producto. Asumimos que la función de demandaD(p)es continua y diferenciable
tal que D′(qm)< 0, el monopolista maximiza sus benecios seleccionando un nivel
de pm, es decir:
m´ax
p Π
m =pD(p)−C(D(p)) (2.1)
Las condiciones de primer orden están dadas por: ∂Πm
∂p =p ∂D(p)
∂p +D(p)−
∂C(D(p))
∂D(p)
∂D(p)
∂p = 0 (2.2)
=
[
p−∂C(D(p)) ∂D(p)
] ∂D(p)
∂p +D(p) = 0 (2.3)
12 CAPÍTULO 2. ESTRUCTURAS DE MERCADO
A partir de una manipulación de la ecuación (3) encontramos el Indice de Lerner dividiendo toda la ecuación porp obtenemos:
[
p−∂C(D(p)) ∂p
]
1
p =− D(p)
∂D(p)
∂p
1
p (2.4)
o
pm−C′(D(p))
pm =
1
ε (2.5)
Donde ε=−D′pm/D denota la elasticidad de la demanda ante el precio de mono-poliopm, por otra parteqm ≡D(pm) denota la producción del monopolio, podemos
reescribir la condición de primer orden como una igualdad entre el ingreso marginal y el costo marginal:
IM(qm)≡p(qm) +p′(qm)qm=C′(qm) (2.6)
El termino p′(qm)qmrepresenta una un "markup"(margen) que gana el monopolista en su decisión de producción y que hace que p ̸= C′(D((pm)). La ecuación (5) es
conocida como el índice de Lerner que el el ratio que nos muestra la proporción que representa la diferencia entre el precio de monopolio y los costos marginales con respecto a los precios y esto es igual a inverso de la elasticidad de la demanda.
2.1.1. Perdida de Eciencia Económica
Como ya hemos echo notar la existencia de un monopolio genera distorsiones en los precios pagados por los consumidores, dichas distorsiones pueden expresarse como el margen obtenido por el monopolista, la perdida de eciencia económica (Deadweight Welfare Loss) el cual puede ser expresado como:
DW L=
∫ qc
qm
[p(q)−c′(q)]dq >0 (2.7)
El área comprende la intersección de las curvasp(q)yc′(q)(función de demanda y de
costo marginal) los cuales están limitados por las cantidadesqm yqc, este ultimo es la cantidad producida en competencia perfecta. Los excedentes tanto del consumidor como del productor están dados por:
ECm=
∫ qm
0
[p(q)−p(qm)]dq (2.8)
EPm=
∫ qm
0
[p(qm)−C′(qm)] (2.9)
2.1. MONOPOLIO 13
Figura 2.1: Como observamos a diferencia del análisis de competencia perfecta, el monopolio maximiza su utilidad cuando el costo marginal es igual al ingreso marginal, a este nivel selecciona qm que es la cantdada que maximiza sus benecios, la gran diferencia es que el ingreso marginal no es igual a el precio.
máximo benecio del monopolista esta dado por:
m´ax
p Π
m =p−ϵp−p−ϵc (2.10)
∂P im
∂p = (1−ϵ)p
−ϵ−ϵcp−ϵ−1 (2.11)
= p
−ϵ
p−ϵ−1 =
−ϵc
1−ϵ ⇒p
m= ϵc
ϵ−1 (2.12)
sustituyendo el valor de pm en la ecuación de demanda obtenemos la demanda del monopolista:
D(p) =p−ϵ =
( ϵc ϵ−1
)−ϵ
=qm (2.13)
El indice de Lerner está dado por:
p−c p =
ϵc ϵ−1 −c
ϵc ϵ−1
(2.14)
=
ϵc−c(ϵ−1)
ϵ−1
ϵc ϵ−1
(2.15)
= 1
14 CAPÍTULO 2. ESTRUCTURAS DE MERCADO
2.2. Oligopolio
2.2.1. La Paradoja de Bertrand
Consideremos el siguiente modelo oligopolístico propuesto por Joseph Bertrand (1883), dicho modelo propone la existencia de dos empresas (Duopolio) en un mercado.En este juego asumimos que los bienes producidos por las empresas son bienes sustitutos perfectos en las funciones de utilidad de los consumidores. Las funciones de demanda pueden ser expresadas comoQi =Di(pi, pj), asumimos queD(·)es continua y
estric-tamente decreciente para todap tal queD(p)>0, ambas empresas tienen retornos
constantes a escala y los mismos costosc >0, por unidad producida, asumimos que
D(c) ∈ [0,∞). Para este modelo cada empresa i ∈ I selecciona una precio p tal que maximice su utilidad. Un perl de estrategias en este juego puede ser descrito comop={pi|p−i}, Bertrand supone que una sola empresa podría satisfacer toda la
demanda de mercado.La función de benecios de la empresa ipuede ser expresada como:
Πi(pi.pj) = (pi−c)Di(pi.pj) (2.17)
Donde la demanda de la rmai, denotada por Di esta dada por:
Di(pi.pj) =
Dpi if pi < pj,
1
2Dpi if pi =pj,
0 if pi > pj.
Lo anterior implica que la demanda del jugador i, Di abastece todo el mercado
cuando establece un precio más bajo que su competidor, en el segundo caso ambas empresas se reparten la mitad de la demanda total cuando sus precios son iguales y por ende la empresa i tiene benecios nulos cuando su precio es mayor que el precio de su competidor. Bertrand sostiene la existencia de la siguiente paradoja: ambas empresas intentan jar un preciop que maximice sus benecios, sin embargo siempre existe la posibilidad de que ante un preciopi> cla empresajpueda imponer
un preciopj+αtal queα <(pi−c). Para la empresaila mejor respuesta a la empresa
ise da cuando pi=c, por tanto en el equilibriopi =pj =c. Es decir la paradoja se
basa en:
m´ax
pi
Πi(pi.pj) = (pi−c)Di(pi.pj)⇐⇒pi =pj =c⇒Πi(pi.pj) = 0 (2.18)
Es decir, en el intento de maximizar los benecios, el único equilibrio se da cuando el precio es igual a los costos marginales y por ende al igual que en competencia perfecta los benecios son nulos.
2.2. OLIGOPOLIO 15
2.2.2. Productos diferenciados
Suponga dos funciones inversas de demandapi =D−i 1(Qi), en este caso romperemos
el supuesto propuesto por Bertrand de productos homogéneos para introducir pro-ductos diferenciados con un cierto grado de sustitución, las funciones lineales pueden expresarse como:
p1 =M−Ql−βQ2 (2.19)
p2 =M−Q2−βQ1 (2.20)
DespejandoQ1 de la ecuación (1.3) obtenemos:
Q1 =M−βQ2−p1 (2.21)
DespejandoQ2 de (1.4) y sustituyendo en (1.5) obtenemos las funciones de demanda
D1(p1, p2) =Q1.
Q1=M−β[M−βQ1−p2]−p1
=M−βM +β2Q1+βp2−p1
= M
1 +β + β
1−β2 ·p2−
1
1−β2 ·p1=D1(p1, p2)
La respectiva función de benecios esta determinada por:
Π1(p1, p2) = (p1−c)D(p1p2) (2.22)
= (p1−c)
[ M
1 +β + β
1−β2 ·p2−
1 1−β2 ·p1
]
(2.23)
Derivando la ecuación (1.7) respecto ap1 i despejando obtenemos:
m´ax
p1
Π1 = ∂Π
1
∂p1
= M
1 +β −
2p1
1−β2 +
c
1−β2 +
βp2
1−β2 = 0 (2.24)
=M(1−β)−2p1+c+βp2 = 0 (2.25)
La función de reacción de la empresa 1 R(p2) puede ser expresado como:
p1 =R(p2) =
1
2[M(1−β) +c+βp2] (2.26)
Dado que en equilibrio (EN)p∗1 =p∗2, es decir:
p∗−βp
∗
2 =
M(1−β) +c
2 (2.27)
p∗ [
1−β 2
]
= M(1−β) +c
2 (2.28)
p∗ = M(1−β) +c
16 CAPÍTULO 2. ESTRUCTURAS DE MERCADO
2.2.3. Modelo de Ciudad Lineal con costos de transporte cuadráti-cos
El modelo de ciudad lineal con costos de transporte cuadráticos en este caso obedecen al análisis de la teoría de la localización iniciada por Von Thünen en 1826 con su modelo del lugar central, este modelo se desarrolla bajo la misma premisa: costos de transporte.
Supuestos:
• Los consumidores de encuentran distribuidos uniformemente dentro de un cier-to espacio lineal, es decir esta distribuido desde0asta 1.
• Existen dos empresas localizadas a lo largo del segmento.
• Los productos que ofrecen las empresas son idénticos excepto por la localización de la empresa.
• El costo marginal es constante e idéntico para ambas empresas C′(q) = c1 =
c2= ˜c.
• Cada consumidor compra una única cantidad de producto.
Como veremos tanto la utilidad de los consumidores como la utilidad de las empresas dependen en una primera etapa de la localización de estas, en una segunda etapa una ves encontrada la localización optima inicia la elección de precios en el cual retornaremos al concepto de equilibrio de Nash.
Existen i...n consumidores, el consumidor i esta localizado a una cierta distancia x∈[0,1]. La función de utilidad de del consumidor representativo esta dada por:
Uij =r−pij−tx2ij (2.30)
Donde:
• r: es el precio de reserva,
• pj: es el preció del producto de la empresaj,
• xij: distancia entre la localización del consumidor i y la localización de la
empresaj en el segmento,
• tconsto de transporte por unidad de distancia.
Lo anterior implica si los costos de trasporte son cuadráticos que, los costos de trasporte en el que incurre el consumidor se consume en la empresa 1 estarán dados portx2 y en los que incurre si consume en la empresa 2 seránt(1−x)2, el coste total
del producto para al consumidor está dado por su precio más su costo de transporte, es decir, para la empresa 1p1+tx2y de igual manerap2+t(1−x)2para el consumidor
2.2. OLIGOPOLIO 17
Figura 2.2: En este modelo las el objetivo de las empresas en encontrar la localización optima la cual debe ser capas de maximizar sus benecios dependiendo de las estra-tegias de la otra empresa. Como veremos este modelo también rompe la paradoja de Bertrand.
El problema se puede plantear de la siguiente forma: la empresa debe seleccionar una localización la cual debe ser la mejor para el consumidor representativo, si la empresa 2 seleccionase localizarse en la zona periférica le permitiría a la empresa 1 localizarse de tal forma que le robe todo el mercado, es decir,la mejor estrategia para la empresa representativa debe estar iniciada por colocarse exactamente a la misma distancia que su competidor con respecto al consumidor representativo. Si el consumidor esta a la misma distancia de ambas empresas su utilidad es indiferente de la empresa a la que compre, es decir:
Ux,1 =Ux,2
Lo anterior implica:
r−p1−tx2 =r−p2−t(1−x)2 (2.31)
p1+tx2 =p2+t(1−x)2 (2.32)
p1+tx2 =t−2xt+x2t+p2 (2.33)
x= p2−p1 2t +
1
2 =D(p1, p2, t) (2.34)
Una ves seleccionada la localización optima de las empresas estas maximizan su utilidad en función del comportamiento estratégico de su rival, es decir, dependiendo del precio que este seleccione, el problema formal es el siguiente:
m´ax
p1
Π = (p1−c)
(
p2−p1
2t +
1 2
)
(2.35)
∂Π
∂p1
= p2−2p1+t+c
2t (2.36)
2p1
2t =
p2+c+t
2t (2.37)
p∗1 = p2+c+t
18 CAPÍTULO 2. ESTRUCTURAS DE MERCADO
Al igual que en el modelo de Bertrand el equilibrio se obtiene cuando p1 = p2, es
decir:
p1−
p2
2 =
c+t
2 (2.39)
p∗ (
1−1 2
)
= c+t
2 (2.40)
=
c+t
2 2−1
2
(2.41)
p1=p2=p∗ =c+t (2.42)
Sustituyendo la ecuación (1.42) en (1.35) obtenemos:
Π1= Π2=
t
2 (2.43)
El modelo de ciudad lineal con costos de transporte en este caso cuadráticos nos permiten al igual que en el caso anterior romper la paradoja de Bertrand ya que a pesar de tener bienes homogéneos los costos de transporte hacen que el precio de equilibrio no sea c, sino c+t, es decir, por arriba del costo marginal. Otro punto
interesante sería suponer si los precios estubieran dados, caso de las farmacias u otras empresas las cuales deben dar el mismo precio, es implicaría que p1 =p2 entes del
proceso de maximización, es decir dada la ecuación (1.34) obtenemos que:
x1=x2 =
1
2 (2.44)
En cambio si permitimos a las empresas en la primera etapa seleccionar su ubicación y en la segunda seleccionar su precio, permite obtener benecios positivos y precios por encima del costo marginal. Un dato interesante es saber como cambia la elasticidad de la demanda de alguna de las empresas, la elasticidad puede ser calculada de la siguiente forma:
x=D(p1, p2, t) =
p2−p1
2t +
1
2 (2.45)
∂D(p1, p2, t)
∂t · t D(p1, p2, t)
= −(p2−p1) 2t2 ·
t
p2−p1
2t +
1 2
(2.46)
=
−(p2−p1)
2t p2−p1+t
2t
(2.47)
= 2p1p2−p21−p22+t(p1−p2) =ϵDt1 (2.48)
2.3. EJERCICIOS RESUELTOS 19
plantear sus estrategias en la elección de precios dependiendo de la sensibilidad de la demanda.
∂ϵD1
t
∂t =p1−p2 = 0 syss p1 =p2 (2.49) >0 syss p1 > p2 (2.50)
<0 syss p1 < p2 (2.51)
Lo anterior implica que cuando ambos precios son iguales (Equilibrio de Nash) la elasticidad distancia-demanda permanece constante, sabemos que la empresa preere producir en los tramos más elásticos a medida que la empresa esta más alejada del consumidor representativo, es decir, le gustaría a la empresa que sus benecios incrementaran independientemente de la distancia, pero como vimos, si no esta en el equilibrio de Nash sus benecios son 0.
2.3. Ejercicios resueltos
Problema 1
Un monopolista tiene una función de costos marginales C′ = ˜c(costo marginal constante), calcular el preció de monopolio pm, la cantidad demandada qm y el indice de Lerner para las funciones de demanda inversas D−1(p) = α −βqδ y D−1(p) =a−blnq.
m´ax
p Π
m = (p−c)
( α−p
β )1
δ (2.52)
∂Πm
∂p =−
1
δβ (
α−p β
)1 δ−1
(p−c) +
( α−p
β )1
δ
= 0 (2.53)
( α−p
β )1 δ = 1 δβ (
α−p β
)1 δ−1
(p−c) (2.54)
α−p β =
1
βδ(p−c) (2.55)
α−p β −
p βδ =−
c
βδ (2.56)
δ(α−p)−p=−c (2.57)
δp+p=c+δα (2.58)
pm = c+δα
δ+ 1 ⇒q
m = α
β + (
c+δα δ+ 1
)1
δ 1
