La recta numérica Representación de enteros en la recta

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(1)

OPERATORIA CON NUMEROS NEGATIVOS

María Lucía Briones Podadera

Profesora de Matemáticas

Universidad de Chile.

(2)

CONJUNTO Z DE LOS NUMEROS ENTEROS.-

Representación gráfica del conjunto Z.-

| | | | | | | | | | | | | | | | | | 8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

Todos los números que quedan a la izquierda del 0 se llaman números negativos y los que

quedan a la derecha, se llaman números positivos.-

Relación de orden: Un numero a es menor que otro b si a está a la izquierda de b .-

Valor absoluto: El valor absoluto de +10 es 10 y el valor absoluto de -10 es también 10.

Por definición el valor absoluto de un número entero es el número sin el signo.

El valor absoluto se indica colocando el número entre 2 barras. Asi, | -10 | se lee.”El valor

absoluto de -10 es 10 “. Por definición, | 0 | es 0. En general,

El valor absoluto de +a es a y el valor absoluto de -a es a.-

Opuestos: Dos números son opuestos si tienen distinto signo pero el mismo valor

absoluto. Ejemplo: +3 y -3 son números opuestos. Lo mismo para –a y +a.

Ejercicios:

Ejemplo: Una ganancia de $ 20 se expresa como + 20 y una pérdida de $20 sería -20.-

1) 550m sobre el nivel del mar--- 2) 30m bajo el nivel del mar---

3) 273º bajo cero--- 4) 100º sobre cero---

5) Hace 5 años = -5 ¿Qué significaría +7?--- ¿-4?---¿+3?---

6) 2 pasos hacia atrás---¿Qué significaría +5? ¿-3? ¿+1? ¿0?

---

7) ¿Cuál es el valor absoluto de -4 _________ +4_________ -7__________ +6_________

(3)

8) ¿Cuál es el opuesto de +8 _____; -12 _____; +p _____; -a _____?

ADICION DE LOS NUMEROS ENTEROS.-

Suma de enteros de igual signo.-

( -3 ) + ( -4 ) = -7 ( +3 ) + ( +4 ) = +7

| | | | | | | | | | | | | | | | | | -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

Para sumar 2 enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le

coloca el signo común.-

Suma de enteros de signo contrario.

Representaremos cuanto nos queda al sumar ( +9 ) + ( -3 ) = ( +6 )

| | | | | | | | | | | | | | | | | | -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11

Vemos que nos cae la segunda flecha frente al punto ( +6 ) y ese es el resultado.

Ahora haremos el gráfico para ( -9 ) + ( +3 ) = ( -6 )

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Vemos que la 2ª flecha llega al punto ( -6 ) el cual es el resultado. Luego concluimos que:

Para sumar enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le

coloca el signo del entero de mayor valor absoluto.-

Resolver las siguientes sumas:

a) ( +8 ) + ( -5 ) = b) ( -7 ) + ( -1 ) = c) ( -10) + ( +15 ) =

(4)

Resuelve las siguientes adiciones en el Conjunto Z de los Números enteros:_

a) +5 + +9 = a) -15 + +12 =

b) +3 + +8 = b) 10 + -7 =

c) +7 + +12 = c) +8 + -15 =

d) -5 + -2 = d) -4 + +10 =

e) -7 + -3 = e) -9 + +7 =

f) -2 + -4 = f) -12 + 15 =

g) 0 + +8 = g) -14 + 12 =

h) -5 + 0 = h) 15 + -17 =

i) +4 + +2 + +5 = i) 14 + -14 =

j) -1 + -3 + -2 = j) -24 + 24 =

k) 8 + 10 + 12 = k) -32 + 15 =

l) 0 + -3 + -2 = l) +27 + -30 =

a) -15 + 18 = i) 26 + -15 =

b) 27 + +32 = j) -17 + 42 =

c) -25 + +70 = k) 0 + -15 =

d) +48 + -20 = l) 14 + -25 =

e) -63 + -72 =

f) -5 + +6 =

g)- - 257 + +257 =

(5)

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN Z.-

1) Propiedad de Clasura: La suma de 2 números enteros es un número entero.-

Si a, b ∈∈∈∈Z ⇒⇒⇒⇒ a + b Z

2) Es conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.

Si a, b ∈∈∈∈ Z, a + b = b + a

3) Es asociativa: No importa el orden en el cual se agrupen los sumandos. La suma no cambia.

Si a, b, c ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ ( a + b ) + c = a + ( b + c )

4) Está provista de un elemento Neutro: En este caso es el 0. Si este elemento neutro lo sumamos con cualquier elemento perteneciente a Z, no lo altera.

Si a, 0 ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a + 0 = 0 + a = a

5) Inverso Aditivo: A todo número entero a se puede asociar su opuesto –a tal que entre los dos suman el elemento neutro.

Si a ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0

Suma reiterada de enteros: Sumar varios enteros es agregar el primero al segundo, al resultado obtenido agregar el tercero y así sucesivamente.

Ejemplo:

( +5 ) + ( -2 ) + ( +4 ) + ( -1 ) se sumaría así:

( +5 ) + ( -2 ) = ( +3 ) ; ( +3 ) + ( +4 ) = ( +7 ) ( +7 ) + ( -1 ) = ( +6 )

(6)

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.-

Definición:

Restar dos números a y b es determinar un tercer número x que sumado con b dé a.-

Ejemplo numérico: 9 porque 4 + 5 = 9 -_ 5

4

x = 4 b = 5

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10

a = 9 Este gráfico en la recta numérica, pertenece a la resta propuesta arriba.-

Los signos en la resta en Z.

+

5 - +3 = +2

+

5 - -3 = +8

-5 - +3 = -8

-5 - -3 = -2

LA RESTA SE CONVIERTE EN SUMA CAMBIÁNDOLE EL SIGNO AL SUSTRAENDO.-

Ejercicios:

a) -3 - -2 = _____ k) -3 - 5 = _____ b) 2 - 3 = _____ l) -2 - 8 = _____ c) -6 - -3 = _____ m) 6 - -3 = _____ d) -4 - -20 = _____ n) 5 - -7 = _____ e) 5 - 5 = _____ o) -4 - -2 = _____ f) -9 - -8 = _____ p) 8 - 6 = _____ g) 8 - -2 = _____ q) -3 - 2 = _____ h) -10 - -5 = _____ r) 5 - -4 = _____ i) 7 - 2 = _____ s) 9 - -7 = _____ j) -4 - 12 = _____ t) -1 - -3 = _____

Ley de precedencia: Si en una expresión Aritmética existen multiplicaciones y divisiones,

sumas y restas, se calculan primero las multiplicaciones y divisiones y después las sumas y

(7)

Ejercicios:

a) -3 - -2 =

b) 2 - 3 =

c) -6 - -3 = k) -3 - +2 =

d) -4 - .20 = l) 2 + -3 =

e) 5 - 5 = m) -6 - +3 =

f) -9 - -8 = n) -4 + 20 =

g) 8 - -2 = ñ) 6 + -6 =

h) -10 - -5 = o) -9 - +8 =

i) 7 - 2 = p) -10 - +5 =

j) -4 - 12 = q) 7 + -2 =

r) -3 - -5 = Resolver paréntesis negativos.-

s) -2 - 8 = 1) 3 - ( 4 - 8 ) =

t) 6 - -3 = 2) 5 - ( 2 - 3 ) =

u) -4 - -2 = 3) 18 - ( 7 + -5 ) =

v) +8 - +6 = 4) 124 - ( 12 + -2 ) =

w) -3 - +2 = 5) ( 36 + 12 ) - (18 + -5 ) =

y) 5 - -4 = 6) ( 428 - 400 ) - ( 15 + -2) =

(8)

Otros ejercicios de resta en Z.-

a) +5 - +9 = a) -15 - +12 =

b) +3 - +8 = b) 10 - -7 =

c) +7 - +12 = c) +8 - -15 =

d) -5 - -2 = d) -4 - +10 =

e) -7 - -3 = e) -9 - +7 =

f) -2 - -4 = f) -12 - 15 =

g) 0 - +8 = g) -14 - 12 =

h) -5 + 0 = h) 15 - -17 =

i) +4 - +2 - +5 = i) 14 - -14 =

j) -1 + -3 + -2 = j) -24 - 24 =

k) 8 - 10 + 12 = k) -32 - 15 =

l) 0 + -3 - -2 = l) +27 - -30 =

a) -15 - 18 = i) 26 - -15 =

b) 27 - +32 = j) -17 - 42 =

c) -25 - +70 = k) 0 - -15 =

d) +48 - -20 = l) 14 - -25 =

e) -63 - -72 =

f) -5 - +6 =

g)- - 257 + +257 =

(9)

EJERCICIOS SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PARÉNTESIS.-

1) 3 – ( 4 – 8 ) = 11) ( +5 ) – ( +3 ) – ( +9 ) – ( -5 ) =

2) 5 – ( 2 · -3 ) = 12) ( 0 ) – ( +4 ) + ( +6 ) – ( -2 ) =

3) 18 – ( 7 + -5 ) = 13) ( +2 ) + ( +7 ) + ( +0 ) – ( -1 ) =

4) 124 – ( 12 · -2 ) = 14) ( +8 ) – ( +9 ) + ( -3-) – ( -3 ) =

5) ( 36 + 12 ) – ( 18 + -5 ) = 15) ( +9 ) – [ ( -7 ) – ( -1 ) – ( -2 ) + ( -5 ) ] =

6) ( 428 – 400 ) – ( 15 · 2 ) = 16) ( +3) – [ ( +4 ) – ( +8 ) – ( -6 ) + ( +1) ] =

7) 316 – ( 3 · 2 · -5 ) = 17) ( 0 ) – [ ( +6 ) – ( -5 ) + ( -7 ) – ( -9 ) ] =

8) ( 518 · 2 ) – ( 270 – 0 ) = 18) ( -4 ) – [ ( -8 ) + ( -7 ) – ( -3 ) – ( +2 ) ] =

9) ( 276 . –1 ) – ( 42 · -1 ) = Desde el 15 al 18, transfórmese primero el

10) ( 124 – 2 ) · -3 + -( 18 · -2 ) = sustraendo del 2º grupo, es decir, todo lo que

11) ( +5 ) – ( +3 ) – ( +9 ) – ( -5 ) = está dentro del paréntesis cuadrado [ ] es

12) ( 0 ) – ( +4 ) + ( +6 ) – ( -2 ) una suma.

Elimina todos los paréntesis en los siguientes ejercicios:

1) a) +( v + x + y + z ) b) a +( b + c ) c) p +( q – r )

2) a) a +( b – c + d – e ) b) ( u + v ) + ( - x + y – z )

3) a) -( m + n ) b) - ( p – q + r ) c) -( - a + b – c )

4) a) x –( y + z ) b) x –( y – z ) c) x –( - y – z )

(10)

MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS.-

Para multiplicar dos números enteros, nos regiremos por la regla de los signos de un producto.

El producto de dos enteros de igual signo es positivo.

El producto de dos enteros de distinto signo es negativo.

+ · + = +

- · - = +

+ · - = -

- · + = -

Ejercicios: Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a) -5 · -3 = _____ l) -3 · 5 = _____ b) 8 · 2 = _____ m) -2 · 8 = _____ c) -4 · -3 = _____ n) 6 · -3 = _____ d) -10 · -20 = _____ o) 5 · -7 = _____ e) 9 · 5 = _____ p) -4 · -2 = _____ f) -4 · -8 = _____ q) 8 · 6 = _____ g) -6 · -2 = _____ r) -3 · 2 = _____ h) -5 · -5 = _____ s) 5 · -4 = _____ i) -2 · -2 = _____ t) 9 · -7 = _____ j) 7 · 12 = _____ u) 4 · -2 = _____ k) -4 · -11 = _____ v) -1 · -3 = _____

(11)

Más ejercicios de multiplicación de enteros.

a) -5 · 2 · -5 · 1 = _____ b) -4 · -2 · 10 · -1 = _____ c) -5 · -3 · 2 · -1 = _____ d) -2 · -2 · -2 · -2 = _____ e) -3 · -3 · -3 · -1 = _____ f) -2 · -10 · 5 · -1 = _____ g) 4 · -2 · 1 · -1 = _____ h) -1 · -1 · -1 · -1 = _____ i) -2 · 2 · -2 · -2 = _____ j) -3 · -3 · 2 · 2 = _____ k) 4 · -4 · -4 · -1 = _____ l) -10 · -10 · 10 · -10 = _____

Completa las tablas:

· -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

· 5 2 -3 8 10 -12 9 -8 a

b a · b | a | | b | (a + b) (a – b)| (a : b)

Resolver:

(12)

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Z.-

1) Propiedad de clausura: El producto de dos números enteros es un entero.

Si a,b ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a b Z

2) Es conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

Si a, b ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a · b = b · a

3) Es asociativa: En una multiplicación en que intervienen 3 o más enteros, el modo de agruparlos no altera el producto.

Si a, b, c ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a · ( b · c ) = ( a · b ) · c

3) Está provista de un elemento neutro.- En este caso es el 1. Si multiplicamos por 1 cualquier elemento del conjunto, éste no cambia.

Si a, ( +1 ) ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a · ( +1 ) = ( +1 ) · a = a

5) Propiedad multiplicativa del 0.- Todo elemento de Z multiplicado por 0 es = 0

Si a, 0 ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a · 0 = 0 · a = 0

6) Propiedad distributiva con respecto a la adición.- Por la derecha y por la izquierda.

Si a, b, c ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ ( a + b ) · c = ac + bc

Si a, b, c ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ c · ( a + b ) = ac * bc

7) Propiedad distributiva con respecto a la sustracción.- Solamente por la derecha

(13)

LA DIVISIÓN EN Z.-

Múltiplo de un entero: es el producto de él por cualquier número entero distinto de 0-

En el conjunto Z la división es posible solamente si el dividendo

es múltiplo del divisor. La división por 0 no existe porque no es posible.

Aquí también ocuparemos la regla de los signos de un cuociente.

El cuociente de dos enteros de igual signo es positivo.

El cuociente de dos enteros de distinto signo es negativo.

+ : + = +

- : - = +

+ : - = -

- : + = -

Ejercicios de aplicación.-

( +8 ) : ( +4 ) = _____ ( -7 ) : ( -1 ) = _____ ( -9 ) : ( +3 ) = _____ ( +5 ) : ( -5 ) = _____ ( +6 ) : ( -2 ) = _____ ( 0 ) : ( +2 ) = _____ (-15 ) : ( -5 ) = _____ ( -4 ) : ( -2 ) = _____

Resuelve los siguientes ejercicios, respetando prioridad de operaciones y paréntesis.

1) 4 : -4 + 8 – [ - ( 4 + 2 · -8 ) ] =

2) -5 + 5 : -5 · -1 – [ -3 + ( 2 · -1 + 8 ] =

3) 4 · -3 - 12 - 8 + 9 · -2 =

4) 5 - -2 + 3 · -8 · -15 · 0 + -9 =

5) 6 - -3 + -2 - -8 + 2 =

6) -7 : -1 + 2 : -2 - 8 · -4 =

7) - { - [ - ( 2 – 4 ) . 3 - 5 + 2 ] } =

(14)

9) 4 · -2 · -2 + 8 – 3 + 2 – 1 =

10) 2 : -2 + 3 : -3 - -2 – [ -3 ( 3 – 3 ) + 8 – -8 ] =

11) ( -45 + 60 + 15 ) : -5 =

12) ( 54 – 81 –27 ) : 9 =

13) 8 + 2 – 3 + 8 · -4 – 2 · -2 =

PROBLEMAS.-

1) Si a es menor que b en 3 unidades, b es mayor que c en 8 unidades y c es –3.

Calcula a + b + c.

2) Pericles, general orador y político Ateniense, vivió entre los años 499 y 429 A.C.

Sófocles, poeta trágico Griego, vivió entre los años 496 y 405 A.C. Calcula cuántos

años vivió cada personaje; quién es mayor y quién murió antes.

3) Pitágoras, filósofo y matemático Griego, nació el año 582 A.C. Dibuja una línea de

tiempo indicando el año de nacimiento de los 3 personajes nombrados en 2) y 3)

¿Quién es el mayor?

4) Sócrates, filósofo Griego, nació el año 470 A.C. y murió 69 años más tarde. Calcula

el año de su muerte, ubícalo en la línea del tiempo y contesta entre cuales de los

(15)

Otros ejercicios de prioridad de las operaciones en Z.-

Si a = 4, b = -16 c = -20, calcula:

a) a + ( b + c ) =

b) a · b + c

c) a · c + b =

(16)

Resolver los paréntesis y reducir los términos semejantes en los ejercicios siguientes:

Recordar cuando sea el caso, la propiedad distributiva de la multiplicación.

1) 246 + ( 172 + 54 ) = 2) 438 + ( 327 – 38 ) =

3) 8a + ( 3b – 6a ) = 4) ( 7x – 2y ) + 5y =

5) 7a + ( 5b + 2a ) + ( a – 7b ) = 6) 364 – ( 64 – 215 ) =

7) 745 – ( 163 + 245 ) = 8) 9x – ( 6x + 7 ) =

9) 12m – ( 5 + 9m ) = 10) ( x + 5y ) – ( x + 4y ) =

11) ( 3p – 7q ) – ( 2p – 8q ) = 12) ( 6a + 3b ) – ( 5a + 4b ) =

13) ( 15c – 16d ) – ( 20c + d ) =

14) 28a - ( 35a - 23b ) + 45b – ( 21b – a ) + 6a =

15) 31x – ( 42y – 52z ) + 9y – ( 30x – 51z ) + 8z – ( 11z – 33y ) =

16) 25 – ( 5a - 8 ) + ( 6a + 7 ) – ( a + 20 ) =

(17)

19) 35x – ( 40y – 59z + 41x ) – ( 60z – 7x – 41y ) =

20) ( 7a - 2b ) – [ ( 3a - c ) – ( 2b – 3c )] =

21) ( x + y – 1 )·4 =

22) a( x + y ) + b( x – y ) =

23) 10 – 6( x – 5y ) + 2( 3x – 5 + 14y ) =

24) 9[ 8 ( 2a - 3b ) + ( 12a + 23b ) ] =

(18)

(19)

CONJUNTO Z DE LOS NUMEROS ENTEROS.-

Representación gráfica del conjunto Z.-

| | | | | | | | | | | | | | | | | | 8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

Todos los números que quedan a la izquierda del 0 se llaman números negativos y los que

quedan a la derecha, se llaman números positivos.-

Relación de orden: Un numero a es menor que otro b si a está a la izquierda de b .-

Valor absoluto: El valor absoluto de +10 es 10 y el valor absoluto de -10 es también 10.

Por definición el valor absoluto de un número entero es el número sin el signo.

El valor absoluto se indica colocando el número entre 2 barras. Asi, | -10 | se lee.”El valor

absoluto de -10 es 10 “. Por definición, | 0 | es 0. En general,

El valor absoluto de +a es a y el valor absoluto de -a es a.-

Opuestos: Dos números son opuestos si tienen distinto signo pero el mismo valor

absoluto. Ejemplo: +3 y -3 son números opuestos. Lo mismo para –a y +a.

Ejercicios:

Ejemplo: Una ganancia de $ 20 se expresa como + 20 y una pérdida de $20 sería -20.-

1) 550m sobre el nivel del mar + 550 2) 30m bajo el nivel del mar - 30

3) 273º bajo cero - 273 4) 100º sobre cero + 100º

5) Hace 5 años = -5 ¿Qué significaría +7? 7 años despuès ¿-4? Hace 4 años¿+3? 3 años +

6) 2 pasos hacia atrás - 2¿Qué significaría +5? ¿-3? ¿+1? ¿0?

5años hacia adelante ; Hace 3 años; 1 año más; Hoy mismo

7) ¿Cuál es el valor absoluto de -4 4 ; +4 4 ; -7 7 ; +6 6 ; 0 0 ;

(20)

8) ¿Cuál es el opuesto de +8 -8 ;de -12 +12; de +p -p ;de -a +a ?

ADICION DE LOS NUMEROS ENTEROS.-

Suma de enteros de igual signo.-

( -3 ) + ( -4 ) = -7 ( +3 ) + ( +4 ) = +7

| | | | | | | | | | | | | | | | | | -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

Para sumar 2 enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le

coloca el signo común.-

Suma de enteros de signo contrario.

Representaremos cuanto nos queda al sumar ( +9 ) + ( -3 ) = ( +6 )

| | | | | | | | | | | | | | | | | | -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11

Vemos que nos cae la segunda flecha frente al punto ( +6 ) y ese es el resultado.

Ahora haremos el gráfico para ( -9 ) + ( +3 ) = ( -6 )

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Vemos que la 2ª flecha llega al punto ( -6 ) el cual es el resultado. Luego concluimos que:

Para sumar enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le

coloca el signo del entero de mayor valor absoluto.-

Resolver las siguientes sumas:

(21)

Resuelve las siguientes adiciones en el Conjunto Z de los Números enteros:_

a) +5 + +9 = +14 a) -15 + +12 = -3

b) +3 + +8 = +11 b) 10 + -7 = +3

c) +7 + +12 = +19 c) +8 + -15 = -7

d) -5 + -2 = -7 d) -4 + +10 = +6

e) -7 + -3 = -10 e) -9 + +7 = -2

f) -2 + -4 = -6 f) -12 + 15 = +3

g) 0 + +8 = +8 g) -14 + 12 = -2

h) -5 + 0 = -5 h) 15 + -17 = -2

i) +4 + +2 + +5 = +11 i) 14 + -14 = 0

j) -1 + -3 + -2 = -6 j) -24 + 24 = 0

k) 8 + 10 + 12 = +30 k) -32 + 15 = -17

l) 0 + -3 + -2 = -5 l) +27 + -30 = -3

a) -15 + 18 = +3 i) 26 + -15 = +11

b) 27 + +32 = +59 j) -17 + 42 = +25

c) -25 + +70 = +45 k) 0 + -15 = -15

d) +48 + -20 = +28 l) 14 + -25 = -11

e) -63 + -72 = -135

f) -5 + +6 = +1

g)- - 257 + +257 = 0

h) ( 49 + 27 ) + -10 = +66

(22)

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN Z.-

3) Propiedad de Clasura: La suma de 2 números enteros es un número entero.-

Si a, b ∈∈∈∈Z ⇒⇒⇒⇒ a + b Z

4) Es conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.

Si a, b ∈∈∈∈ Z, a + b = b + a

3) Es asociativa: No importa el orden en el cual se agrupen los sumandos. La suma no cambia.

Si a, b, c ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ ( a + b ) + c = a + ( b + c )

4) Está provista de un elemento Neutro: En este caso es el 0. Si este elemento neutro lo sumamos con cualquier elemento perteneciente a Z, no lo altera.

Si a, 0 ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a + 0 = 0 + a = a

5) Inverso Aditivo: A todo número entero a se puede asociar su opuesto –a tal que entre los dos suman el elemento neutro.

Si a ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0

Suma reiterada de enteros: Sumar varios enteros es agregar el primero al segundo, al resultado obtenido agregar el tercero y así sucesivamente.

Ejemplo:

( +5 ) + ( -2 ) + ( +4 ) + ( -1 ) se sumaría así:

( +5 ) + ( -2 ) = ( +3 ) ; ( +3 ) + ( +4 ) = ( +7 ) ( +7 ) + ( -1 ) = ( +6 )

Ejercicio: Dibuja una recta numérica y en ella suma : ( -7 ) + ( +3 ) + ( +5 ) + ( -4 ) = -3

-7 -4

(23)

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.-

Definición:

Restar dos números a y b es determinar un tercer número x que sumado con b dé a.-

Ejemplo numérico: 9 porque 4 + 5 = 9 -_ 5

4

x = 4 b = 5

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10

a = 9 Este gráfico en la recta numérica, pertenece a la resta propuesta arriba.-

Los signos en la resta en Z.

+

5 - +3 = +2

+

5 - -3 = +8

-5 - +3 = -8

-5 - -3 = -2

LA RESTA SE CONVIERTE EN SUMA CAMBIÁNDOLE EL SIGNO AL SUSTRAENDO.-

Ejercicios:

a) -3 - -2 = -1 k) -3 - 5 = -8 b) 2 - 3 = -1 l) -2 - 8 = -10 c) -6 - -3 = -3 m) 6 - -3 = +9 d) -4 - -20 = +16 n) 5 - -7 = +12 e) 5 - 5 = 0 o) -4 - -2 = -2 f) -9 - -8 = -1 p) 8 - 6 = +2 g) 8 - -2 = +10 q) -3 - 2 = -5 h) -10 - -5 = -5 r) 5 - -4 = +9 i) 7 - 2 = +5 s) 9 - -7 = +16 j) -4 - 12 = -16 t) -1 - -3 = +2

Ley de precedencia: Si en una expresión Aritmética existen multiplicaciones y divisiones,

sumas y restas, se calculan primero las multiplicaciones y divisiones y después las sumas y

(24)

Ejercicios:

a) -3 - -2 = -1

b) 2 - 3 = -1

c) -6 - -3 = -3 k) -3 - +2 = -5

d) -4 - 20 = -24 l) 2 + -3 = -1

e) 5 - 5 = 0 m) -6 - +3 = -9

f) -9 - -8 = -1 n) -4 + 20 = +16

g) 8 - -2 = +10 ñ) 6 + -6 = 0

h) -10 - -5 = -5 o) -9 - +8 = -17

i) 7 - 2 = +5 p) -10 - +5 = -15

j) -4 - 12 = -16 q) 7 + -2 = +5

r) -3 - -5 = +2 Resolver paréntesis negativos.-

s) -2 - 8 = -10 1) 3 - ( 4 - 8 ) = +7

3 - (-4 )

t) 6 - -3 = +9 2) 5 - ( 2 - 3 ) = +6

5 - ( -1 )

u) -4 - -2 = -2 3) 18 - ( 7 + -5 ) = +16

18 - ( +2)

v) +8 - +6 = +2 4) 124 - ( 12 + -2 ) = +114

124 - ( +10)

w) -3 - +2 = -5 5) ( 36 + 12 ) - (18 + -5 ) = +35

48 - ( +13)

y) 5 - -4 = +9 6) ( 428 - 400 ) - ( 15 + -2) = +15

28 - (+13)

z) -1 - -3 = +2 7) ( 518 - 2) + ( 270 - 0 ) = +786

(25)

Otros ejercicios de resta en Z.-

a) +5 - +9 = -4 a) -15 - +12 = -27

b) +3 - +8 = -5 b) 10 - -7 = +17

c) +7 - +12 = -5 c) +8 - -15 = +23

d) -5 - -2 = -3 d) -4 - +10 = -14

e) -7 - -3 = -4 e) -9 - +7 = -16

f) -2 - -4 = +2 f) -12 - 15 = -27

g) 0 - +8 = -8 g) -14 - 12 = -26

h) -5 + 0 = -5 h) 15 - -17 = +32

i) +4 - +2 - +5 = -3 i) 14 - -14 = +28

j) -1 + -3 + -2 = -6 j) -24 - 24 = -48

k) 8 - 10 + 12 = +10 k) -32 - 15 = -47

l) 0 + -3 - -2 = -1 l) +27 - -30 = +57

a) -15 - 18 = -33 i) 26 - -15 = +41

b) 27 - +32 = -5 j) -17 - 42 = -59

c) -25 - +70 = -95 k) 0 - -15 = +15

d) +48 - -20 = +68 l) 14 - -25 = +39

e) -63 - -72 = +9

f) -5 - +6 = -11

g)- - 257 + +257 = 0

h) ( 49 + 27 ) - -10 = +86

(26)

EJERCICIOS SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PARÉNTESIS.-

1) 3 – ( 4 – 8 ) = +7 11) ( +5 ) – ( +3 ) – ( +9 ) – ( -5 ) = -2

3 - ( -4 ) 5 - 3 - 9 + 5

2) 5 – ( 2 · -3 ) = +11 12) ( 0 ) – ( +4 ) + ( +6 ) – ( -2 ) = + 4

5 - ( -6 ) - 4 + 6 + 2

3) 18 – ( 7 + -5 ) = +16 13) ( +2 ) + ( +7 ) + ( +0 ) – ( -1 ) = +10

18 – ( +2) 2 + 7 + 1

4) 124 – ( 12 · -2 ) = +148 14) ( +8 ) – ( +9 ) + ( -3-) – ( -3 ) = -1

124 - ( -24 ) 8 - 9 - 3 + 3

5) ( 36 + 12 ) – ( 18 + -5 ) =+ 35 15) ( +9 ) – [ ( -7 ) – ( -1 ) – ( -2 ) + ( -5 ) ] = 48 - ( +13)

6) ( 428 – 400 ) – ( 15 · 2 ) = -2 16) ( +3) – [ ( +4 ) – ( +8 ) – ( -6 ) + ( +1) ] = 0

28 - ( +30) 3 - [ 4 - 8 + 6 + 1 ]

7) 316 – ( 3 · 2 · -5 ) =+346 17) ( 0 ) – [ ( +6 ) – ( -5 ) + ( -7 ) – ( -9 ) ] = -13

316 - ( -30) - [ 6 + 5 - 7 + 9 ]

8) ( 518 · 2 ) – ( 270 – 0 ) = +766 18) ( -4 ) – [ ( -8 ) + ( -7 ) – ( -3 ) – ( +2 ) ] = +10

1.036 - ( + 270 ) -4 - [ -8 - 7 + 3 - 2 ]

9) ( 276 . –1 ) – ( 42 · -1 ) = Desde el 15 al 18, transfórmese primero el

10) ( 124 – 2 ) · -3 + -( 18 · -2 ) = -330 sustraendo del 2º grupo, es decir, todo lo que 122 · - 3 + - ( - 36)

- 366 + +36 está dentro del paréntesis cuadrado [ ] es 11) ( +5 ) - ( +3 ) - ( +9) - ( -5 ) = -2

5 - 3 - 9 + 5 una suma 12) ( 0 ) – ( +4 ) + ( +6 ) – ( -2 ) = +4

- 4 + 6 + 2

Elimina todos los paréntesis en los siguientes ejercicios:

1) a) +( v + x + y + z ) b) a +( b + c ) c) p +( q – r )

v + x + y + z a + b + c p + q - r

2) a) a +( b – c + d – e ) b) ( u + v ) + ( - x + y – z ) a + b - c + d – e u + v -x + y - z

3) a) -( m + n ) b) - ( p – q + r ) c) -( - a + b – c ) - m – n - p + q – r a – b + c

4) a) x –( y + z ) b) x –( y – z ) c) x –( - y – z ) x – y – z x – y + z x + y + z

(27)

MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS.-

Para multiplicar dos números enteros, nos regiremos por la regla de los signos de un producto.

El producto de dos enteros de igual signo es positivo.

El producto de dos enteros de distinto signo es negativo.

+ · + = +

- · - = +

+ · - = -

- · + = -

Ejercicios: Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a) -5 · -3 = +15 l) -3 · 5 = -15 b) 8 · 2 = +16 m) -2 · 8 = -16

c) -4 · -3 = +12 n) 6 · -3 = -18

d) -10 · -20 = +200 o) 5 · -7 = -35

e) 9 · 5 = +45 p) -4 · -2 = + 8

f) -4 · -8 = +32 q) 8 · 6 = +48

g) -6 · -2 = +12 r) -3 · 2 = - 6

h) -5 · -5 = +25 s) 5 · -4 = -20

i) -2 · -2 = + 4 t) 9 · -7 = -63

j) 7 · 12 = +84 u) 4 · -2 = - 8 k) -4 · -11 = +44 v) -1 · -3 = + 3

a) 2 · -3 · 5 = -30

b) 4 · 6 · -1 = -24

c) -2 · -5 · -3 = -30

d) -4 · -3 · -2 = -24

e) 2 · 0 · -8 = -16

(28)

Más ejercicios de multiplicación de enteros.

a) -5 · 2 · -5 · 1 = +50 b) -4 · -2 · 10 · -1 = -80

c) -5 · -3 · 2 · -1 = -30

d) -2 · -2 · -2 · -2 = +16

e) -3 · -3 · -3 · -1 = +27

f) -2 · -10 · 5 · -1 = -100

g) 4 · -2 · 1 · -1 = + 8

h) -1 · -1 · -1 · -1 = + 1

i) -2 · 2 · -2 · -2 = -16

j) -3 · -3 · 2 · 2 = +36

k) 4 · -4 · -4 · -1 = -64

l) -10 · -10 · 10 · -10 = -10.000

Completa las tablas: En el segundo cuadro, todo se rellena como en el del ejemplo.

· -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 +9 +6 +3 0 -3 -6 -9

-2 +6 +4 +2 0 -2 -4 -6

-1 +3 +2 +1 0 -1 -2 -3

0 0 0 0 0 0 0 0

1 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3

2 -6 -4 -2 0 +2 +4 +6

3 -9 -6 -3 0 +3 +6 +9

· 5 2 -3 8 10 -12 9 -8 a 5a 2a -3a 8a 10a -12 a 9a -8a b 5b

a·b 5a · b | a | 5| a| | b | 5 |b| ( a + b) 5(a + b) (a – b)| 5(a – b) a : b 5(a : b)

Resolver:

(29)

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Z.-

4) Propiedad de clausura: El producto de dos números enteros es un entero.

Si a,b ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a b Z

5) Es conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

Si a, b ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a · b = b · a

3) Es asociativa: En una multiplicación en que intervienen 3 o más enteros, el modo de agruparlos no altera el producto.

Si a, b, c ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a · ( b · c ) = ( a · b ) · c

6) Está provista de un elemento neutro.- En este caso es el 1. Si multiplicamos por 1 cualquier elemento del conjunto, éste no cambia.

Si a, ( +1 ) ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a · ( +1 ) = ( +1 ) · a = a

5) Propiedad multiplicativa del 0.- Todo elemento de Z multiplicado por 0 es = 0

Si a, 0 ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ a · 0 = 0 · a = 0

8) Propiedad distributiva con respecto a la adición.- Por la derecha y por la izquierda.

Si a, b, c ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ ( a + b ) · c = ac + bc

Si a, b, c ∈∈∈∈ Z ⇒⇒⇒⇒ c · ( a + b ) = ac * bc

9) Propiedad distributiva con respecto a la sustracción.- Solamente por la derecha

(30)

LA DIVISIÓN EN Z.-

Múltiplo de un entero: es el producto de él por cualquier número entero distinto de 0-

En el conjunto Z la división es posible solamente si el dividendo

es múltiplo del divisor. La división por 0 no existe porque no es posible.

Aquí también ocuparemos la regla de los signos de un cuociente.

El cuociente de dos enteros de igual signo es positivo.

El cuociente de dos enteros de distinto signo es negativo.

+ : + = +

- : - = +

+ : - = -

- : + = -

Ejercicios de aplicación.-

( +8 ) : ( +4 ) = +2 ( -7 ) : ( -1 ) = +7 ( -9 ) : ( +3 ) = -3 ( +5 ) : ( -5 ) = -1 ( +6 ) : ( -2 ) = -3 ( 0 ) : ( +2 ) = 0

(-15 ) : ( -5 ) = +3 ( -4 ) : ( -2 ) = +2

Resuelve los siguientes ejercicios, respetando prioridad de operaciones y paréntesis.

1) 4 : -4 + 8 – [ - ( 4 + 2 · -8 ) ] = -5

2) -5 + 5 : -5 · -1 – [ -3 + ( 2 · -1 + 8 ] = -7

3) 4 · -3 - 12 - 8 + 9 · -2 = -50

4) 5 - -2 + 3 · -8 · -15 · 0 + -9 = -2

5) 6 - -3 + -2 - -8 + 2 = +17

6) -7 : -1 + 2 : -2 - 8 · -4 = +38

7) - { - [ - ( 2 – 4 ) . 3 - 5 + 2 ] } = +3

(31)

9) 4 · -2 · -2 + 8 – 3 + 2 – 1 = +22

10) 2 : -2 + 3 : -3 - -2 – [ -3 ( 3 – 3 ) + 8 – -8 ] = -16

11) ( -45 + 60 + 15 ) : -5 = -6

12) ( 54 – 81 –27 ) : 9 = -6

13) 8 + 2 – 3 + 8 · -4 – 2 · -2 = -21

PROBLEMAS.-

5) Si a es menor que b en 3 unidades, b es mayor que c en 8 unidades y c es –3. c = -3

Calcula a + b + c. a + b + c =

b = - 3 + 8 = 5

2 + 5 + -3 = 4

a = 2

6) Pericles, general orador y político Ateniense, vivió entre los años 499 y 429 A.C.

Sófocles, poeta trágico Griego, vivió entre los años 496 y 405 A.C. Calcula cuántos

años vivió cada personaje; quién es mayor y quién murió antes.

Perícles vivió 70 años. Murió antes que Sófocles

Sófocles vivió 91 años. Es el mayor de todos estos genios.

7) Pitágoras, filósofo y matemático Griego, nació el año 582 A.C. Dibuja una línea de

tiempo indicando el año de nacimiento de los 3 personajes nombrados en 2) y 3)

¿Quién es el mayor? Pitágoras.

|______|______|______|______|______|______|______|______|______|______|______| 582 499 496 470 429 405 401

8) Sócrates, filósofo Griego, nació el año 470 A.C. y murió 69 años más tarde. Calcula

el año de su muerte, ubícalo en la línea del tiempo y contesta entre cuales de los

(32)

Otros ejercicios de prioridad de las operaciones en Z.-

Si a = 4, b = -16 c = -20, calcula:

a) a + ( b + c ) =

4 + ( -16 + -20) = 4 + ( -36 ) = -32

c) a · b + c 4 · -16 + -20

-64 + -20 = -84

c) a · c + b =

4 · -20 + -16

-80 + -16 = -96

d) b · c + a · b =

-16 · -20 + 4 · -16

(33)

Resolver los paréntesis y reducir los términos semejantes en los ejercicios siguientes:

Recordar cuando sea el caso, la propiedad distributiva de la multiplicación.

1) 246 + ( 172 + 54 ) = 472 2) 438 + ( 327 – 38 ) = 727

246 + 172 + 54 438 + 327 - 38

3) 8a + ( 3b – 6a ) = 2a + 3b 4) ( 7x – 2y ) + 5y = 7x + 3y

8a + 3b - 6a 7x – 2y + 5y

5) 7a + ( 5b + 2a ) + ( a – 7b ) = 10a – 2b 6) 364 – ( 64 – 215 ) = 515

7a + 5b + 2a + a - 7b 364 -64 + 215

7) 745 – ( 163 + 245 ) = 337 8) 9x – ( 6x + 7 ) = 3x - 7

745 - 163 - 245 9x - 6x - 7

9) 12m – ( 5 + 9m ) = 3m - 5 10) ( x + 5y ) – ( x + 4y ) = y 12m - 5 - 9m x + 5y - x - 4y

11) ( 3p – 7q ) – ( 2p – 8q ) = p + q 12) ( 6a + 3b ) – ( 5a + 4b ) = a - b

3p - 7q - 2p + 8q 6a + 3b - 5a - 4b

13) ( 15c – 16d ) – ( 20c + d ) = -5c – 17d

15c - 16d - 20c - d

14) 28a - ( 35a - 23b ) + 45b – ( 21b – a ) + 6a = 47b

28a - 35a + 23b + 45b - 21b + a + 6a

15) 31x – ( 42y – 52z ) + 9y – ( 30x – 51z ) + 8z – ( 11z – 33y ) = x + 100z

31x - 42y + 52z + 9y - 30x + 51z + 8z - 11z + 33y

16) 25 – ( 5a - 8 ) + ( 6a + 7 ) – ( a + 20 ) = 20 25 - 5a + 8 + 6a + 7 - a - 20

17) x3 + y2 – ( 3x3 – 2y2) + ( y2 – x3 ) – ( 4y2 – 6x3 ) = 3x3

x3 + y2 – 3x3 + 2y2 + y2 - x3 - 4y2 + 6x3

18) 6a - ( 7a + 3b – 5c ) + ( a + 4b – 3c ) = b + 2c

(34)

19) 35x – ( 40y – 59z + 41x ) – ( 60z – 7x – 41y ) = x + y - z

35x - 40y + 59z - 41x - 60z + 7x + 41y

20) ( 7a - 2b ) – [ ( 3a - c ) – ( 2b – 3c )] = 4a - 2c

7a - 2b - [ 3a - c - 2b + 3c ]

7a - 2b - 3a + c + 2b - 3c

21) ( x + y – 1 )·4 = 4x + 4y - 4

22) a( x + y ) + b( x – y ) = ax + ay +bx - by

23) 10 – 6( x – 5y ) + 2( 3x – 5 + 14y ) = 58y

10 - 6x + 30y + 6x - 10 + 28y

24) 9[ 8 ( 2a - 3b ) + ( 12a + 23b ) ] =

9[ 16a - 24b + 12a + 23b ]

9[ 28a - b]

252a - 9b

25) 12a [ a – 3( 2a - b ) – 4( 3a + 2b )] – ( -17 ) = 12a [ a - 6a +3b - 12a - 8b ] + 17

12a [ -17a - 5b ] + 17

Figure

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