CALDAS
Facultad de Ingenier´ıa
Ingenier´ıa Electr´
onica
PROYECTO FINAL DE CARRERA
Caracterizaci´
on de celdas metamateriales para
aplicaciones en antenas.
Autores: ´
Alvaro Alejandro Boh´
orquez Camacho
Sebasti´
an L´
opez Agudelo
Director: Carlos Arturo Su´
arez Fajardo
Grupo de radiaci´on electromagn´etica y comunicaciones ´opticas GRECO
aplicaciones en antenas.
´
Alvaro Alejandro Boh´
orquez Camacho
Sebasti´
an L´
opez Agudelo
Tesis o trabajo de grado presentado como requisito para optar al titulo de: Ingeniero Electr´onico
Director:
Ph.D. Carlos Arturo Su´arez Fajardo
L´ınea de Investigaci´on:
Metamateriales de ´ındice de refracci´on cero Grupo de Investigaci´on:
Grupo de Radiaci´on Electromagn´etica y Comunicaciones ´Opticas
Universidad Distrital Francisco Jos´e de Caldas. Facultad de Ingenier´ıa
Agradecemos a la universidad por la formaci´on e infraestructura que nos ha brindado durante estos cinco a˜nos de estudio, al Grupo de Radiaci´on Electromagn´etica y Comunica-ciones ´Opticas de la Universidad Distrital por la financiaci´on recibida para el desarrollo de nuestro trabajo, en especial a nuestro director Carlos Su´arez por el apoyo brindado durante este proceso de investigaci´on, su inter´es y sus consejos sin los cuales habr´ıa sido imposible culminar este trabajo.
A nuestras familias, padres, abuelos, hermanos y dem´as familiares cuyo consejo y apoyo incondicional en todos los aspectos a lo largo de la carrera nos han motivado a seguir adelante cada vez que se han presentado dificultades, su ayuda y acompa˜namiento hicieron posible la culminaci´on de nuestros estudios y fueron siempre la motivaci´on para cumplir con este logro tambi´en de ellos.
A nuestros amigos que nos acompa˜naron a lo largo de estos a˜nos, e hicieron mas amena nuestra estancia en esta instituci´on y a todos los que en alg´un momento de esta carrera nos mostraron su apoyo en el objetivo de nuestro desarrollo profesional.
Resumen
El requerimiento de antenas cada vez m´as peque˜nas y directivas ha hecho que se nece-siten alternativas para su dise˜no convencional; Agrupaciones de parche, bocinas, reflectores parab´olicos, entre otros, se han usado tradicionalmente dentro de la banda X para cumplir con el requerimiento de directividad con la limitante de sus grandes dimensiones el´ectricas y perfiles robustos. Diversas t´ecnicas como los lentes diel´ectricos se han usado para mejo-rar la ganancia de estas antenas, particularmente las bocinas, sin embargo, estos resultan robustos y no consiguen mejorar en gran medida dicho par´ametro. Como alternativa se han venido desarrollando a lo largo de los ´ultimos a˜nos los lentes metamateriales. Estos lentes basados en las propiedades inusuales de materiales con respuestas el´ectricas y magn´eticas negativas no encontradas en la naturaleza, pueden presentar ´ındices de refracci´on cercanos a cero, negativos, control exacto del ´ındice a lo largo del lente, entre otras, que han abierto la posibilidad de controlar la radiaci´on electromagn´eticas de las antenas reduciendo su tama˜no y perfil, y manteniendo e incluso mejorando los valores asociados a la eficiencia de radiaci´on. En el presente trabajo de grado, se propone una lente basada en el concepto de indice de refracci´on cercano a cero NZI (por sus siglas en ingles Near Zero Index), que permita aumentar la ganancia de una antena mediante el colimado de las ondas radiadas por la antena en la banda mencionada. Para lograr esto se recurre a un simulador electromagn´etico para realizar diversas simulaciones, en el que se caracteriza en primera instancia la unidad constitutiva de los metamateriales, los meta-´atomos o celdas unitarias. Luego para extraer los par´ametros constitutivos (permitividad, permeabilidad, ´ındice de refracci´on e impedancia caracter´ıstica) correspondientes a cada celda unitaria se desarroll´o un c´odigo basado en Retrieval Method propuesto por Smith en [1] para llevar a cabo una breve clasificaci´on de los metamateriales seg´un sus propiedades, as´ı mismo, se toma como metodolog´ıa para encontrar la celda necesaria para construir una lente y cumplir con los objetivos planteados en la secci´on correspondiente. Tras escoger la topolog´ıa de la celda unitaria, se simula la lente para parametrizar en conjunto con la antena, valores como la distancia focal de la lente, n´umero de capas necesarias, periodicidad entre capas, entre otros. Por ´ultimo se fabrica el lente con mejor respuesta en simulaci´on y se caracteriza junto con la antena, en impedancia mediante el VNA y en diagrama de radiaci´on mediante la c´amara anecoica.
Para finalizar se muestran los resultados obtenidos en la pr´actica para el conjunto lente-antena fabricado, tales como un aumento de la ganancia de 5.84dB, la reducci´on del ancho del haz en casi la mitad de su valor original, entre otros.
Agradecimientos V
Resumen VII
1 Introducci ´on 11
1.1 Planteamiento del problema y justificaci´on . . . 11
1.1.1 Planteamiento del problema . . . 11
1.2 Justificaci´on . . . 12
1.3 Pregunta de Investigaci´on, Hip´otesis y Objetivos . . . 13
1.3.1 Pregunta de investigaci´on . . . 13
1.3.2 Hip´otesis . . . 13
1.3.3 Objetivos . . . 14
1.4 Metodolog´ıa . . . 14
1.5 Organizaci´on del trabajo de grado . . . 15
2 Marco Te ´orico y Estado del arte 17 2.0.1 L´ıneas de transmisi´on en tecnolog´ıa Microstrip . . . 17
2.0.2 Antenas de parche microstrip . . . 18
2.0.3 Antenas de bocina piramidal . . . 21
2.0.4 Metamateriales . . . 23
2.1 Estado del arte . . . 41
2.1.1 Lentes de ´ındice cercano a cero . . . 42
3 Metodolog´ıa 45 3.1 Estudio de celdas unitarias metamateriales . . . 45
3.1.1 Alambre . . . 47
3.1.2 Split Ring Resonator . . . 51
3.1.3 Metamateriales que presentan un ´ındice de refracci´on negativo . . . . 62
3.1.4 Resonadores El´ectricos de Campo Acoplado (ELC) . . . 71
3.2 An´alisis y dise˜no de la lente, la antena b´asica y del conjunto antena tipo lente 106 3.2.1 Dise˜no de antena b´asica tipo parche microstrip y simulaciones de an-tenas de Bocina . . . 106
4 Resultados de la investigaci ´on y an´alisis 145
5 Conclusiones 163
2-1. L´ınea Microstrip. . . 17
2-2. Antena Microstrip. . . 19
2-3. Alimentaci´on en inserci´on. . . 21
2-4. Esquema general antena bocina piramidal. . . 22
2-5. Bocina Piramidal a)Plano E b)Plano H . . . 22
2-6. Clasificaci´on de los materiales seg´un sus par´ametros constitutivos. . . 24
2-7. Modelo de Lorentz-Drude para metales. . . 26
2-8. Reflectancia modelo Lorentz-Drude. . . 26
2-9. Efecto Doppler . . . 29
2-10. Efecto Vavilov-Cerenkov . . . 30
2-11. Paso de un rayo a trav´es de dos medios diferentes. . . 31
2-12. . . 32
2-13. Arreglo peri´odico de alambres que produce un plasmon a baja frecuencia. . . 33
2-14. Split Ring Resonator y sus relaciones b´asicas . . . 34
2-15. Efecto de un material con ´ındice de refracci´on cero (ZIM), en el proceso de colimado de una onda . . . 37
3-1. Condiciones de frontera . . . 46
3-2. Celda unitaria compuesta por un alambre. . . 47
3-3. Condiciones de Frontera Alambre . . . 48
3-4. Magnitud Par´ametros S celda alambre . . . 48
3-5. Fase Par´ametros S celda alambre . . . 49
3-6. Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 49
3-7. Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 50
3-8. ´Indice de refracci´on de la celda . . . 50
3-9. Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 51
3-10. Tipos de SRR . . . 52
3-11. Condiciones de frontera para la celda SRR . . . 52
3-12. Magnitud Par´ametros S celda SRR . . . 53
3-13. Fase Par´ametros S celda SRR . . . 53
3-14. Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 54
3-15. Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 54
3-17. Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 55
3-18. Variaci´on de S11 vs W para la celda SRR . . . 56
3-19. Variaci´on de S11 vs g para la celda SRR . . . 57
3-20. Variaci´on de S11 vs c para la celda SRR . . . 57
3-21. Variaci´on de S11 vs d para la celda SRR . . . 58
3-22. Diferentes tipos de metamateriales magn´eticos. . . 58
3-23. SRR de anillos separados. . . 59
3-24. Magnitud Par´ametros S celda SRR de anillos separados . . . 59
3-25. Fase Par´ametros S celda SRR de anillos separados . . . 60
3-26. Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 60
3-27. Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 61
3-28. ´Indice de Refracci´on de la celda . . . 61
3-29. Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 62
3-30. Celda de ´ındice negativo compuesta por un SRR y un alambre . . . 63
3-31. Magnitud Par´ametros S celda SRR + alambre . . . 63
3-32. Fase Par´ametros S celda SRR + alambre . . . 64
3-33. Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 64
3-34. Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 65
3-35. ´Indice de Refracci´on de la celda . . . 65
3-36. Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 66
3-37. Celda DNG con geometr´ıa en Z . . . 67
3-38. Condiciones de frontera para la celda Z . . . 67
3-39. Magnitud Par´ametros S celda z . . . 68
3-40. Fase Par´ametros S celda z . . . 68
3-41. Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 69
3-42. Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 69
3-43. ´Indice de Refracci´on de la celda . . . 70
3-44. Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 70
3-45. Diferentes tipos de ELC . . . 71
3-46. Celda ELC 1 . . . 72
3-47. Efecto del aumento de w en el par´ametro s11 . . . 73
3-48. Efecto del aumento de g en el par´ametro s11 . . . 73
3-49. Efecto del aumento de l en el par´ametro s11 . . . 74
3-50. Magnitud Par´ametros S celda ELC 1 . . . 75
3-51. Fase Par´ametros S celda ELC 1 . . . 75
3-52. Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 76
3-53. Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 76
3-54. ´Indice de Refracci´on de la celda . . . 77
3-55. Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 77
3-57. Efecto del aumento de a en el par´ametro s11 . . . 79
3-58. Efecto del aumento de g en el par´ametro s11 . . . 79
3-59. Efecto del aumento de Lc en el par´ametro s11 . . . 80
3-60. Magnitud Par´ametros S celda ELC 2 . . . 81
3-61. Fase Par´ametros S celda ELC 2 . . . 81
3-62. Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 82
3-63. Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 82
3-64. ´Indice de Refracci´on de la celda . . . 83
3-65. Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 83
3-66. Celda ELC 3 . . . 84
3-67. Efecto del aumento de a en el par´ametro s11 . . . 85
3-68. Efecto del aumento de w en el par´ametro s11 . . . 85
3-69. Magnitud Par´ametros S celda ELC 3 . . . 86
3-70. Fase Par´ametros S celda ELC 3 . . . 86
3-71. Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 87
3-72. Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 87
3-73. ´Indice de Refracci´on de la celda . . . 88
3-74. Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 88
3-75. Celda ELC 4 . . . 89
3-76. Efecto del aumento de a en el par´ametro s11 . . . 89
3-77. Efecto del aumento de g en el par´ametro s11 . . . 90
3-78. Efecto del aumento de w en el par´ametro s11 . . . 90
3-79. Magnitud Par´ametros S celda ELC 4 . . . 91
3-80. Fase Par´ametros S celda ELC 4 . . . 91
3-81. Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 92
3-82. Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 92
3-83. ´Indice de Refracci´on de la celda . . . 93
3-84. Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 93
3-85. Celda ELC 5 . . . 94
3-86. Efecto del aumento de a en el par´ametro s11 . . . 95
3-87. Efecto del aumento de g en el par´ametro s11 . . . 95
3-88. Efecto del aumento de w en el par´ametro s11 . . . 96
3-89. Efecto del aumento de l2 en el par´ametro s11 . . . 96
3-90. Magnitud Par´ametros S celda ELC 5 . . . 97
3-91. Fase Par´ametros S celda ELC 5 . . . 97
3-92. Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 98
3-93. Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 98
3-94. ´Indice de Refracci´on de la celda . . . 99
3-95. Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 99
3-97. Efecto del aumento de r en el par´ametro s11 . . . 100
3-98. Efecto del aumento de g en el par´ametro s11 . . . 101
3-99. Efecto del aumento de w en el par´ametro s11 . . . 101
3-100.Magnitud Par´ametros S celda ELC 6 . . . 102
3-101.Fase Par´ametros S celda ELC 6 . . . 102
3-102.Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 103
3-103.Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 103
3-104.´Indice de Refracci´on de la celda . . . 104
3-105.Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 104
3-106.S11 antena de parche dise˜nada . . . 107
3-107.S11 antena de parche optimizada . . . 108
3-108.Antena de parche . . . 108
3-109.Diagramas de la antena de parche . . . 109
3-110.Campo El´ectrico de la antena de parche . . . 109
3-111.Campo El´ectrico de la antena de parche . . . 110
3-112.Efecto de la variaci´on de L en S11 . . . 110
3-113.Efecto de la variaci´on de W en S11 . . . 111
3-114.Efecto de la variaci´on de w0 en S11 . . . 111
3-115.Antena de parche 2 . . . 112
3-116.Diagramas de la antena de parche . . . 113
3-117.S11 antena de parche lambda cuartos 1 . . . 113
3-118.Antena de parche de lambda cuartos 2 . . . 114
3-119.Diagramas de la antena de parche . . . 114
3-120.S11 antena de parche lambda cuartos 2 . . . 115
3-121.Bocina Piramidal en banda X . . . 116
3-122.Bocina Piramidal en banda X simulada . . . 116
3-123.Bocina Piramidal en banda X simulada . . . 117
3-124.Magnitud de S11 de la bocina simulada . . . 117
3-125.Conjunto Antena y Lente 1 . . . 118
3-126.S11 antena y lente 1 . . . 119
3-127.Diagrama de radiaci´on en ganancia . . . 119
3-128.Conjunto Antena y Lente 2 . . . 120
3-129.S11 antena y lente 2 . . . 120
3-130.Diagrama de radiaci´on en ganancia . . . 121
3-131.Conjunto Antena y Lente 3 . . . 121
3-132.S11 antena y lente 3 . . . 122
3-133.Diagrama de radiaci´on en ganancia . . . 122
3-134.Conjunto Antena y Lente 4 . . . 123
3-135.S11 antena y lente 4 . . . 123
3-137.Conjunto Antena y Lente 5 . . . 124
3-138.S11 antena y lente 5 . . . 125
3-139.Diagrama de radiaci´on en ganancia . . . 125
3-140.Conjunto Antena y Lente 6 . . . 126
3-141.S11 antena y lente 6 . . . 126
3-142.Diagrama de radiaci´on en ganancia . . . 127
3-143.Ganancia en funci´on del numero de celdas . . . 128
3-144.Aumento de la ganancia en funci´on de la distancia . . . 128
3-145.Magnitud de S11 en funci´on de la distancia . . . 129
3-146.Aumento de la ganancia de un lente de 2 capas respecto a la distancia entre estas . . . 130
3-147.Magnitud de S11 en funci´on de la distancia . . . 130
3-148.Aumento de la ganancia en funci´on del numero de capas . . . 131
3-149.Magnitud de los par´ametros S de la nueva celda . . . 132
3-150.Fase de los par´ametros S de la nueva celda . . . 132
3-151.Magnitud de los par´ametros S de la celda final . . . 133
3-152.Fase de los par´ametros S de la celda final . . . 133
3-153.Parte real de la permitividad y la permeabilidad . . . 134
3-154.Parte imaginaria de la permitividad y la permeabilidad . . . 134
3-155.´Indice de Refracci´on de la celda . . . 135
3-156.Impedancia caracter´ıstica de la celda . . . 135
3-157.Diagramas del lente de doble cara de 4 capas . . . 136
3-158.Diagramas del lente de doble cara de 4 capas . . . 136
3-159.Diagramas del lente de doble cara de 4 capas con separaci´on de 15mm . . . . 137
3-160.Diagramas del lente de doble cara de 4 capas con separaci´on de 15mm . . . . 138
3-161.Magnitud de los par´ametros S del conjunto lenta + antena con diel´ectrico entre capas . . . 138
3-162.Diagramas del lente de doble cara de 4 capas con separaci´on de 15mm y diel´ectrico entre estas . . . 139
3-163.Diagramas del lente de doble cara . . . 139
3-164.Campo El´ectrico del conjunto lente + antena de 4 capas separadas por diel´ectrico140 3-165.Conjunto lente y bocina simulados . . . 141
3-166.Conjunto lente y bocina simulados . . . 142
3-167.Magnitud de S11 para el conjunto lente y bocina simulado . . . 143
4-1. Antenas de parche fabricadas . . . 145
4-2. Magnitud de S11 antenas de parche fabricadas . . . 146
4-3. Diagramas de radiaci´on del parche inset feed . . . 147
4-4. Ganancia vs frecuencia para la antena de parche . . . 148
4-6. Lente fabricado . . . 150
4-7. Bocina Piramidal en banda X caracterizada . . . 152
4-8. Magnitud de S11 de la bocina simulada . . . 153
4-9. Ganancia vs Frecuencia de la antena de referencia y la bocina . . . 154
4-10. Bocina Piramidal en banda X caracterizada . . . 154
4-11. S11 simulado vs medido de la bocina piramidal en banda X . . . 155
4-12. Montaje realizado para las mediciones . . . 156
4-13. Diagramas de radiaci´on del conjunto lente y antena medidos . . . 157
4-14. Magnitud de S11 para el conjunto lente y bocina medido . . . 158
4-15. Ganancia vs frecuencia del conjunto antena con y sin lente medido . . . 159
4-16. Aumento de la Ganancia vs frecuencia del conjunto antena y lente medido . 159 4-17. Conjunto antena y lente simulado vs medido . . . 160
3-1. Dimensiones de la celda simulada. . . 67
3-2. Dimensiones de la celda simulada. . . 74
3-3. Dimensiones celda ELC 2 . . . 80
3-4. Dimensiones celda simulada . . . 86
3-5. Dimensiones simuladas de la celda 4 . . . 90
3-6. Dimensiones de la celda simulada . . . 97
3-7. Dimensiones celda simulada . . . 102
3-8. Resumen extracci´on de par´ametros celdas caracterizadas . . . 105
3-9. Dimensiones de una antena microstrip a 9.4GHz . . . 106
3-10. Dimensiones del parche optimizado . . . 107
3-11. Par´ametros de radiaci´on . . . 109
3-12. Dimensiones del parche alimentado por transformador de lambda cuartos 1 . 112 3-13. Dimensiones del parche alimentado por transformador de lambda cuartos 2 . 112 3-14. Par´ametros de radiaci´on . . . 115
3-15. Par´ametros de radiaci´on . . . 115
3-16. Dimensiones de la bocina piramidal . . . 116
3-17. Par´ametros de radiaci´on . . . 117
3-18. Dimensiones de la celda impresa por ambas caras . . . 133
3-19. Par´ametros de radiaci´on . . . 137
3-20. Par´ametros de radiaci´on . . . 140
3-21. Par´ametros de radiaci´on . . . 142
4-1. Resumen de las caracter´ısticas de impedancia de las antenas de parche fabricadas147 4-2. Calculo de la ganancia de la antena de parche . . . 148
4-3. Potencia recibida de la antena de parche con y sin lente . . . 151
4-4. Ganancia de la bocina medida . . . 153
1.1.
Planteamiento del problema y justificaci ´on
1.1.1.
Planteamiento del problema
En el transcurso de los a˜nos, el dise˜no de aplicaciones en las bandas X (8-12GHz) y primordialmente en la banda milim´etrica (30GHz – 300GHz) ha sido dedicado en su mayor´ıa al campo militar, as´ı como en sistemas de detecci´on, sistemas de radar y la radioastronom´ıa; sin embargo, debido al agotamiento del espectro disponible, las condiciones de propagaci´on y el gran ancho de banda en este rango de frecuencias, ha abierto la posibilidad de implementar nuevas soluciones y servicios, convirti´endose en una excelente opci´on para otros sectores como el comercial, las redes inal´ambricas, la telefon´ıa celular, entre otras.
Este tipo de aplicaciones en las bandas mencionadas requieren del dise˜no de antenas con altas prestaciones y tama˜no reducido. Como soluci´on a este problema se est´a investigando en el dise˜no de lentes planos basados en meta-superficies, mediante los cuales se logra mejorar el comportamiento de par´ametros como la ganancia, el ancho de banda y el nivel del l´obulo principal a secundario, como consecuencia del incremento en el rendimiento y eficiencia de la antena. Por esto se prev´e que en el futuro los lentes basados en meta-superficies ser´an una parte esencial de la antena, mediante los cuales se puede reducir adicionalmente la secci´on recta radar y el acoplamiento entre elementos para el caso de las agrupaciones, as´ı como definir su polarizaci´on.
Fuera del campo particular de las antenas, la investigaci´on en metamateriales ha venido aumentando en la ´ultima d´ecada debido a las propiedades inusuales que estos presentan, im-posibles de encontrar en la naturaleza tales como ´ındices de refracci´on negativos, o cercanos a cero, as´ı como respuestas puramente el´ectricas o magn´eticas y absorbentes electromagn´ eti-cos perfectos, entre otros, las cuales plantean interesantes y novedosas aplicaciones tales como la fabricaci´on de super-lentes que superen las limitaciones impuestas por la longitud de onda, colimado y control de la forma de onda, capas de invisibilidad entre otros [2] [3] [4], convirti´endose en un tema de investigaci´on de gran relevancia en la actualidad.
GRECO posee las l´ıneas de investigaci´on en el desarrollo optimizado de elementos radiantes y en aplicaciones de meta-materiales para el dise˜no de dispositivos pasivos de microondas y antenas; en este proyecto se pretende caracterizar el comportamiento de diversas celdas uni-tarias sobre sustratos Microstrip para aplicaciones en banda X, para posteriormente aplicar este estudio en el dise˜no y caracterizaci´on de una lente meta-superficie para que en con-junto con una antena b´asica, permita el dise˜no y caracterizaci´on de una antena tipo lente que mejore concretamente el par´ametro de la ganancia, sin alterar su comportamiento en impedancia, como es el caso de la adaptaci´on.
1.2.
Justificaci ´on
El advenimiento del est´andar 5G para telefon´ıa m´ovil exige el desarrollo de la tecnolog´ıa en las bandas X y milim´etricas que permita lograr los objetivos propuestos en el mismo, lo cual ha impulsado la investigaci´on en el dise˜no de dispositivos como antenas, dispositivos pasivos de microondas y dem´as sistemas que hacen parte del mismo, tema que ha sido objeto de estudio del grupo GRECO. Por otra parte, teniendo en cuenta que el grupo GRECO posee las l´ıneas de investigaci´on en el desarrollo optimizado de elementos radiantes y en aplicacio-nes de meta-materiales para el dise˜no de dispositivos pasivos de microondas y antenas; en este proyecto se pretende caracterizar el comportamiento de diversas celdas unitarias sobre sustratos Microstrip para aplicaciones en banda X, para posteriormente aplicar este estudio en el dise˜no y caracterizaci´on de una lente meta-superficie para que en conjunto con una antena en banda X, permita el dise˜no y caracterizaci´on de una antena tipo lente que mejore concretamente el par´ametro de la ganancia, sin alterar los otros par´ametros b´asicos de la misma, como es el caso de la adaptaci´on.
Justificaci ´on Acad´emica
Recientemente, la comunidad cient´ıfica a nivel mundial est´a trabajando un nuevo cam-po de investigaci´on en el ´area del electromagnetismo aplicado, basado en el control de las propiedades electromagn´eticas de ciertas estructuras peri´odicas artificiales conocidas como meta-superficies y a este respecto, el grupo GRECO de la Universidad Distrital ha adelan-tado investigaci´on en este tipo de estructuras para aplicaciones en filtros [5] [6] y en antenas [7], sin embargo, los desarrollos en este tema asociados con el mejoramiento de par´ametros en las antenas es muy precaria al interior del grupo, es por esto que se propone este trabajo de investigaci´on como una estrategia que permita profundizar m´as en el tema.
Justificaci ´on Econ ´omica.
eficiencia de radiaci´on implica una reducci´on de costos en potencia transmitida y es por ello que una aplicaci´on de los metamateriales usados como lente electromagn´etica es confinar las ondas radiadas por una antena en ´areas reducidas, logrando as´ı incrementar su ganancia. Por otra parte, el uso de superficies reflectoras de grandes dimensiones (parab´olicas) o lentes robustas y complicadas elaboradas en materiales diel´ectricos inciden considerablemente en el costo de los sistemas que hacen uso de ellos, aspecto que mejora ostensiblemente mediante el uso de antenas tipo lente.
1.3.
Pregunta de Investigaci ´on, Hip ´otesis y Objetivos
1.3.1.
Pregunta de investigaci ´on
¿C´omo mejorar la ganancia de una antena mediante un conjunto integrado por una antena b´asica convencional y una lente meta-superficie, para aplicaciones en la banda X?.
1.3.2.
Hip ´otesis
Diversas propuestas se han venido usando para el colimado de las ondas electromagn´ eti-cas provenientes del campo cercano de las antenas, como lo son el uso de materiales diel´ ectri-cos a modo de reflector, ampliamente utilizados en las antenas parab´olicas, tambi´en se han usado lentes diel´ectricos con perfiles parab´olicos e hiperb´olicos en bocinas para el mismo fin. En el caso de los reflectores parab´olicos la colimaci´on se basa en la igualdad de cami-nos reflejados desde el iluminador, hacia el reflector para lograr un frente de onda plano, mientras que, en el caso de los lentes diel´ectricos, se basan en un concepto similar al de las lentes ´opticas para convertir un conjunto de rayos provenientes de la fuente primaria, en rayos paralelos a la salida [7].
colimado de las ondas de una manera m´as simple debido a que no hay que variar la celda con el prop´osito de ir cambiando el ´ındice a lo largo de la meta-superficie, este enfoque es el que se abordar´a en este trabajo.
1.3.3.
Objetivos
Objetivo General
Caracterizar los par´ametros constitutivos, par´ametros S e ´ındice de refracci´on de di-versas geometr´ıas de celdas metamaterial sobre sustratos microstrip para aplicaciones en banda X.
Objetivos Espec´ıficos
Modelar mediante simulaci´on el comportamiento electromagn´etico (par´ametros cons-titutivos, par´ametros S e ´ındice de refracci´on) de 10 tipos de estructuras peri´odicas diferentes tanto para las celdas unitarias como para las agrupaciones.
Dise˜nar, construir y caracterizar un prototipo de alguna de las celdas caracterizadas para operar en una frecuencia dentro de la banda X.
Dise˜nar, construir y caracterizar un prototipo de antena microstrip para operar en el mismo ancho de banda de operaci´on que la lente construida en el objetivo anterior.
Dise˜nar, construir y caracterizar en impedancia (VNA) y diagrama (c´amara semiane-coica), un prototipo de antena tipo lente usando una agrupaci´on de alguna de las celdas caracterizadas y la antena b´asica dise˜nada en el objetivo anterior para operar en una frecuencia dentro de la banda X, tal que presente una ganancia m´ınima de 3dBi por encima de la ganancia del parche b´asico.
1.4.
Metodolog´ıa
La metodolog´ıa implementada durante el desarrollo del trabajo de grado fue la siguiente:
Fase 1: Investigaci´on y caracterizaci´on de meta-materiales Actividades:
Investigaci´on sobre metamateriales, tecnolog´ıas de fabricaci´on, par´ametros fundamen-tales y estado del arte.
Dise˜no, selecci´on y simulaci´on de celdas meta-materiales con ´ındice cercano a 0.
Selecci´on de la mejor celda para su implementaci´on como lente mediante criterios como el ´ındice de refracci´on, la resonancia en la frecuencia deseada entre otros.
Fase 2: Dise˜no de una antena Microstrip Actividades:
Dise˜no de una antena Microstrip en banda X a una frecuencia de resonancia de apro-ximadamente 9.4GHz, que cumpla una impedancia de entrada de 50 ohms, as´ı como un S11 por debajo de -15dB en la frecuencia de resonancia.
Simulaci´on de la antena dise˜nada, correcci´on de posibles errores y ajuste param´etrico para obtener los resultados del ´ıtem anterior.
Fabricaci´on y caracterizaci´on en impedancia de la antena mediante un VNA, compa-raci´on y an´alisis respecto los obtenidos en la simulaci´on.
Caracterizaci´on en diagrama de radiaci´on y ganancia mediante la c´amara anecoica, comparaci´on y an´alisis con los resultados obtenidos en la simulaci´on.
Fase 3: Construcci´on del lente de ´ındice de refracci´on cercano a cero Actividades:
Dise˜no del lente de ´ındice cercano a cero mediante el concepto de la periodicidad y homogeneidad del meta-material.
Simulaci´on del lente y determinaci´on de sus propiedades mediante los par´ametros S y par´ametros constitutivos extra´ıdos.
Simulaci´on del conjunto lente con la antena para comprobar el efecto de colimado de las ondas electromagn´eticas, determinaci´on del n´umero de capas necesarias para el aumento deseado en la ganancia.
Medici´on en la c´amara anecoica del conjunto antena-lente para comprobar el aumento de la ganancia, an´alisis y comparaci´on con los resultados obtenidos mediante simula-ci´on.
1.5.
Organizaci ´on del trabajo de grado
El segundo cap´ıtulo introduce al lector en la teor´ıa b´asica relacionada con los metama-teriales y su estado del arte. En el primero se expone brevemente las l´ıneas de transmisi´on microstrip, las antenas de parche y los par´ametros importantes de las antenas de bocina. Se profundiza en la definici´on, clasificaci´on y principios b´asicos de los metamateriales as´ı como la extracci´on de par´ametros constitutivos para su uso en aplicaciones espec´ıficas.
El tercer cap´ıtulo presenta la metodolog´ıa seguida en el proyecto, en esta se desarrolla los estudios, an´alisis y simulaciones llevadas a cabo durante el proceso de investigaci´on; Se exponen las simulaciones de diferentes antenas, celdas metamateriales y prototipos de lentes desarrollados.
En el cuarto cap´ıtulo se exponen los resultados obtenidos tras la caracterizaci´on del prototipo de antena seleccionada y fabricada, as´ı como de la metasuperficie, y del conjunto antena-lente fabricado. Es en esta secci´on donde se determinan los par´ametros S, los diagra-mas de radiaci´on y ganancia en la c´amara anecoica. Se contrastan los resultados pr´acticos con los resultados producto de las simulaciones para demostrar el efecto descrito en el tercer cap´ıtulo.
2.0.1.
L´ıneas de transmisi ´on en tecnolog´ıa Microstrip
La tecnolog´ıa microstrip es un tipo de l´ınea de transmisi´on fabricada sobre l´aminas de circuitos impresos (PCB), ampliamente utilizada en la industria moderna debido a su f´acil fabricaci´on e integraci´on a componentes pasivos y activos de microondas. Esta consiste en dos capas de material conductor separadas entre s´ı por una capa de sustrato diel´ectrico [8]. Sus principales ventajas frente a otras l´ıneas de transmisi´on son la f´acil creaci´on de componentes de microondas tales como antenas, acopladores, divisores, filtros entre otros, componentes que dependiendo de la frecuencia de dise˜no pueden ocupar peque˜nas dimensiones y bajo peso. A continuaci´on, se muestra un esquema de la secci´on transversal de una t´ıpica l´ınea microstrip:
Figura 2-1: L´ınea Microstrip.
Se puede considerar que sobre la l´ınea microstrip el modo de propagaci´on es cuasi-TEM [9]. Una de las principales desventajas de esta tecnolog´ıa radica en las bajas potencias que puede manejar y las p´erdidas m´as elevadas frente a otro tipo de tecnolog´ıas, adem´as es bien sabido que la l´ınea microstrip es un medio dispersivo y que suelen existir p´erdidas por radiaci´on. La velocidad y la constante de propagaci´on se pueden expresar como:
vp =
c
√
e
β =k0
√
e (2-2)
Dondee es la constante diel´ectrica efectiva de la l´ınea microstrip. Esta constante depende
de la constante diel´ectrica del sustrato, su espesor, el ancho del conductor y la frecuencia. La constante diel´ectrica efectiva de una l´ınea microstrip es aproximadamente:
e =
r+ 1
2 +
r−1
2
1
p
1 + 12h/W (2-3)
Dadas las dimensiones de la l´ınea microstrip, la impedancia caracter´ıstica se calcula como:
Z0 = 60 ln 8h W + W 4h
para W/h≤1
120π
√
e[W/h+1,393+0,667 ln(W/h+1,444)] para W/h≥1
(2-4)
Para una impedancia caracter´ıstica Z0 dada y una constante diel´ectrica r la relaci´onW/h
se puede calcular como:
W h =
8eA
e2A−2 para W/h <2
2
π
h
B −1−ln(2B −1) + r−1
2r
i n
ln(B−1) + 0,39− 0,61
r
o
para W/h >2
(2-5)
Donde
A= Z0 60
r
r+ 1
2 +
r−1
r−1
0,23 + 0,11
r
B = 377π 2Z0
√
r
La atenuaci´on debida a las p´erdidas en el diel´ectrico se halla como:
αd=
k0r(e−1 tanδ)
2√e(r−1)
Np/m (2-6)
Finalmente, la constante de atenuaci´on debida a las p´erdidas en el conductor se calcula como:
αc=
Rs
Z0W
Np/m (2-7)
DondeRs =
p
ωµ0/2σ es la resistencia superficial del conductor.
2.0.2.
Antenas de parche microstrip
mismo en algunas aplicaciones comerciales y gubernamentales tales como radio comunica-ciones y comunicacomunica-ciones inal´ambricas se requieren especificaciones parecidas. De esta forma las antenas microstrip por su bajo perfil, la frecuencia de resonancia, polarizaci´on, diagrama de radiaci´on e impedancia presentan una buena opci´on de implementaci´on. Algunas de sus desventajas est´an asociadas a su baja eficiencia, baja potencia, alto factor de calidad Q, baja pureza de polarizaci´on, anchos de banda m´ınimos entre otros.
Las antenas de Microstrip consisten en una tira met´alica delgada (t<<λ0) ubicada a una
fracci´on de longitud de onda (h<<λ0, usualmente 0.003λ0 ≤ h ≤ 0.05λ0) por encima del
plano de tierra. Los parches microstrip son dise˜nados para que el m´aximo del diagrama de radiaci´on sea normal al parche (antena broadside). Para los parches rectangulares la longi-tud L del elemento es usualmente λ0/3 < L < λ0 /2. El parche y el plano de masa est´an
separados por un substrato diel´ectrico, el cual presenta constantes diel´ectricas entre 2,2 ≤
r ≤ 12.
Para aplicaciones en antenas se prefieren los sustratos delgados con constantes diel´ectricas bajas pues se consigue mejor eficiencia y mayores anchos de banda a expensas del tama˜no de la antena (incrementa), sin embargo, existe un compromiso entre tama˜no y eficiencia seg´un la aplicaci´on que se desee. A continuaci´on, se muestra la topolog´ıa b´asica de una antena parche cuadrado microstrip.
Figura 2-2: Antena Microstrip.
Las ecuaciones para obtener el ancho de una antena de parche microstrip eficiente son:
W = 1 2fr
√
µ00 r
2
r+ 1
= υ0 2fr
r
2
r+ 1
Donde υ0 es la velocidad de la luz en el espacio vac´ıo. La longitud del parche se calcula a
partir de
L= 1
2fr √
ref f √
µ00
−2∆L (2-9)
donde ∆L es la extensi´on de la longitud
∆L
h = 0,412
(ref f+ 0,3)(Wh + 0,264)
(ref f−0,258)(Wh + 0,8)
(2-10)
y ref f es la constante diel´ectrica efectiva:
ref f =
r+ 1
2 +
r−1
2 [1 + 12
h W]
−1
2 (2-11)
La impedancia en el borde del parche viene dada por:
Rin =
1 2(G1±G12)
(2-12)
DondeG1 viene dado por:
G1 = 1 90 W λ0 2
, W λ0
1 120 W λ0 2
, W λ0
(2-13)
Y G12 se puede calcular como:
G12=
1 120π2
Z π
0 "
sin(k0W
2 cosθ)
cosθ
#2
J0(k0Lsinθ) sin3θdθ (2-14)
DondeJ0 es la funci´on de Bessel de primera especie de orden cero. Generalmente el valor de
G12 es peque˜no comparado con el de G1.
Figura 2-3: Alimentaci´on en inserci´on.
La impedancia de la antena microstrip con alimentaci´on en inserci´on ser´ıa:
Rinset =Rincos2
π
Ly0
(2-15)
De esta forma se puede despejar el valor de y0 conociendo la impedancia del parche sin
inserci´on Rin, y la impedancia deseada Rinset. Finalmente, solo es necesaria una l´ınea de
transmisi´on de impedancia Rinset para alimentar la antena.
2.0.3.
Antenas de bocina piramidal
Figura 2-4: Esquema general antena bocina piramidal.
Las dimensiones de apertura ´optima relacionan el punto focal donde el error de fase es cero y vienen dadas por:
a1 = p
3λρ2 (2-16)
b1 = p
3λρ1 (2-17)
Para construir f´ısicamente una antena piramidal las dimensiones ρe y ρh deben ser
iguales, la relaci´on con respecto a la dimensi´on de la apertura y la gu´ıa de onda viene dada como:
ρe = (b1−b) r
(ρe
b1
)2− 1
4 (2-18)
ρh = (a1−a) r
(ρh
a1
)2− 1
4 (2-19)
Finalmente, la directividad de la antena piramidal viene dada por
Dp =
πλ2
32abDEDH (2-20)
donde DE y DH son las directividades en cada uno de los cortes y depende de la potencia
radiada y del vector m´aximo de radiaci´on.
DE =
4πUmax
Prad
DH =
4πUmax
Prad
(2-21)
2.0.4.
Metamateriales
La permeabilidad magn´etica µ y la permitividad el´ectrica son las magnitudes f´ısicas que caracterizan la propagaci´on de una onda electromagn´etica en la materia, estas se relacio-nan junto con la frecuenciaωy vector de ondakde la OEM en la ecuaci´on de dispersi´on 2-22, que modela el comportamiento de la onda dentro del medio. Tanto la permeabilidad como la permitividad denominadas par´ametros constitutivos se combinan en producto para definir el ´ındice de refracci´onη como se observa en la ecuaci´on 2-23, este, se asocia a la capacidad que tiene el material para propagar la onda electromagn´etica y la desviaci´on que introduce, de tal forma que, entre m´as alto η, m´as lenta la propagaci´on y m´as alta la desviaci´on que introduce el medio.
ω2
2ijµij −k 2δ
ij +kikj = 0 (2-22)
η2 =µ (2-23)
Considerando un medio is´otropo la ecuaci´on de dispersi´on toma la siguiente forma:
k2 = ω
2
c2η
2 (2-24)
< 0 y µ < 0 o > 0 y µ > 0, en el caso que dichos par´ametros tengan signos opuestos, el ´ındice de refracci´on toma valores imaginarios y el medio aten´ua la onda de acuerdo al factor de atenuaci´on. El objetivo con este trabajo de grado es abordar los medios que poseen simult´aneamente < 0 y µ < 0 (no existentes en la naturaleza) y que se han denominado metamateriales, materiales zurdos, o left handed materials (LHM) [10].
Figura 2-6: Clasificaci´on de los materiales seg´un sus par´ametros constitutivos.
La figura 2-6 muestra una clasificaci´on de los medios seg´un los valores de y µ co-rrespondientes a los ejes x y y respectivamente. La mayor parte de los materiales is´otropos existentes en la naturaleza poseen valores de permeabilidad y permitividad positivos y ma-yores a la unidad, estos se encuentran localizados en el primer cuadrante, a este pertenecen la mayor´ıa de los diel´ectricos para los cuales >0 yµ > 0.
de electrones dentro de un medio. Las expresiones para la permitividad y la permeabilidad seg´un el modelo de Lorentz-Drude se expresan como:
(ω) = 1− ω
2
p
ω2−jγω (2-25)
µ(ω) = 1− ω
2
p −ω02
ω2−ω2
0 +jγω
(2-26)
Donde ω, ω0, γ, ωp son la frecuencia de la OEM incidente, su frecuencia de resonancia, el
factor de disipaci´on y la frecuencia de plasma respectivamente. Este modelo se basa en el estudio de la materia condensada, la cual puede ser descrita como un compuesto de bloques elementales, pero se comporta de acuerdo con su propia din´amica simplificada. Este tipo de composici´on ocurre en metales y se conoce como plasmon. Una oscilaci´on colectiva de la densidad de electrones. En equilibrio, la densidad de carga en el gas de electrones es compensada por la carga nuclear. Si se desplaza el gas, una carga sin compensar aparecer´a en los extremos de la sustancia, con signos opuestos en extremos opuestos resultando en una fuerza restauradora con movimiento arm´onico simple y se denomina frecuencia de plasma cuando se entiende como una medida directa de la ra´ız cuadrada de la densidad de electrones de valencia en el material:
ω2p = nef fe
2
0mef f
(2-27)
Donde nef f y mef f son la densidad y masa efectiva respectivamente:
nef f =
πr2
a2 N (2-28)
mef f =
µπr2N e2
2π (2-29)
Como es posible analizar de 2-25, 2-26 y la figura 2-7, la frecuencia de plasma ωp
determina la frecuencia en que los par´ametros constitutivos cambian de signo, as´ı, una OEM con frecuencia ω que incida en un medio con frecuencia de plasma ωp y se cumpla ω <
ωp se reflejar´a totalmente, de forma contraria, habr´a transmisi´on total cuando ω > ωp.
Figura 2-7: Modelo de Lorentz-Drude para metales.
Figura 2-8: Reflectancia modelo Lorentz-Drude.
refracci´on n2:
n2 =µ(1±2) (2-30)
El signo±corresponde a las dos direcciones de polarizaci´on de la onda. Si|2|<|1|y1 >0,
dos ondas se pueden propagar en el plasma. No obstante, si |2|> |1| =−1 entonces solo
una onda se propaga, aquella para la cual n2 > 0. En estos casos el plasma se ubica en el primer cuadrante. Para el segundo caso en el que |2| > |1| = −1 la onda no se puede
propagar debido a que <0, lo que lleva a un valor imaginario den. En este caso el plasma se ubica en el segundo cuadrante [10].
En algunos materiales magn´eticos la ecuaci´on para n2 toma la forma:
n2 =(µ1±µ2) (2-31)
En este caso tambi´en puede ocurrir la situaci´on en la que |µ2| >|µ1| = −µ1, en cuyo caso
se ubicar´ıa en el cuarto cuadrante.
Al tercer cuadrante pertenecen los materiales double negative DNG, tambi´en llamados metamateriales MMs. Dichos materiales exhiben una respuesta el´ectrica y magn´etica nega-tiva simult´anea ( <0 y µ <0), por tanto, al no existir en la naturaleza deben ser dise˜nados mediante ingenier´ıa. Tal vez el fen´omeno m´as importante que introduce un MMs en una onda OEM que lo atraviese es que el vector de Poynting queda antiparalelo al vector de onda, de esta forma las ondas se propagan en direcci´on opuesta al flujo de energ´ıa. Esto implica algunos fen´omenos interesantes tales como el inverso del efecto Doppler y el inverso de la radiaci´on de Cherenkov. Adicionalmente uno de los principios b´asicos de la ´optica, la ley de Snell se invierte y se genera refracci´on negativa, fen´omeno aplicado en este trabajo para colimar las ondas electromagn´eticas. Los materiales de ´ındice de refracci´on cercano a cero LIM (Low Index Metamaterial) y los metamateriales de ´ındice de refracci´on cero ZIM (Zero Index Metamaterial), son dos tipos de metamateriales que poseen una regi´on para cierto rango de frecuencias con permitividad, permeabilidad, o ambas, por debajo de la unidad o casi cero. La clasificaci´on de dichos metamateriales se observa en la figura 2-6 a lo largo de la regi´on circundante a cada eje, la regi´on azul presenta permitividad el´ectrica cercana o igual a cero y la regi´on roja permeabilidad cercana o igual a cero.
Con el prop´osito de deducir las propiedades inusuales relacionadas con los signos de y
µ, es pertinente observar las relaciones en las que aparecen ambos par´ametros separadamente, las cuales son en esencia las ecuaciones de Maxwell y las relaciones constitutivas.
~
∇ ×E~ =−1
c ∂B
∂t ~
∇ ×B~ =−1
c ∂D
∂t
~
B =µ ~H ~
Para una onda plana con un solo componente frecuencial descrito de la forma ej(kz−ωt), las
ecuaciones 2-32 se reducen a:
~k×E~ = w
cµ ~H ~k×H~ =−w
c ~E
(2-33)
Se deduce de las anteriores ecuaciones que si > 0 y µ > 0 entonces los vectores E~,
~
H y ~k cumplen con la ley de la mano derecha y se denominan medios derechos RHM, en contraste, si <0 y µ < 0 dichos materiales cumplen con la ley de la mano izquierda y se denominan zurdos ´o LHM [10] . Si se introducen cosenos de direcci´on para los vectoresE~,H~
y~k denotados por αi, βi y γi respectivamente, una onda que se propaga en un medio dado
se caracterizar´a por la siguiente matriz:
G=
α1 α2 α3
β1 β2 β3
γ1 γ2 γ3
(2-34)
El determinante de la matriz es igual a 1 si el medio es derecho, y es igual a -1 si el medio es zurdo. Si se denota este determinante como p, se puede decir que p denota la ”derechividad”del medio. El flujo de energ´ıa que es transportado por la onda viene denotado por el vector de PoyntingS~ dado por:
~
S =E~ ×H~ (2-35)
De acuerdo con 2-35, el vector S~ forma siempre una triada de mano derecha con los vectoresE~ yH~. Consecuentemente con los medios diestros, los vectoresS~ y~k se encuentran en la misma direcci´on y para medios zurdos se encuentran en direcciones opuestas. Ya que el vector~k se encuentra en la direcci´on de la velocidad de fase, es claro que los medios zurdos son medios con velocidad de grupo negativa, la cual ocurre de forma natural en medios no isotr´opicos, o cuando hay dispersi´on espacial [10].
Efecto Doppler inverso
Figura 2-9: a) Efecto Doppler en un medio diestro; b) Efecto Doppler en un medio zurdo. La letraA representa la fuente de radiaci´on y la letra B el receptor
Supongamos que un detector de radiaci´on inmerso en un medio zurdo se mueve relati-vamente a una fuente que emite radiaci´on a una frecuencia ω0. En su movimiento el detector
pasar´a por ciertos puntos de la onda que se corresponden a cierta fase definida, como se muestra en la figura 2-9. La frecuencia recibida por el detector ser´a m´as peque˜na queω0, no
m´as larga como en el medio diestro convencional. Usando la magnitud p para el medio en cuesti´on, se puede reescribir la formula del corrimiento Doppler de la siguiente forma:
ω0 = (1−p
v
u) (2-36)
Donde la velocidad del detector v se toma como positiva cuando se aleja de la fuente. La velocidad del flujo de energ´ıa u se toma siempre como positiva.
Figura 2-10: a) Efecto Vavilov-Cerenkov en un medio diestro; b) Efecto Vavilov-Cerenkov en un medio zurdo.
Si una part´ıcula se mueve a trav´es de un medio con velocidad v en l´ınea recta como se ilustra en la figura 2-10, emitir´a radiaci´on de la forma ej(kzz+krr−ωt) y el vector de onda de
la radiaci´on vendr´a dado por k =kzcosθ y estar´a en la direcci´on general de la velocidadv.
La magnitudkr ser´a diferente en medios diferentes de acuerdo con la siguiente expresi´on:
kr =p|
p
k2−k2
z | (2-37)
Esta selecci´on del signo para la ra´ız cuadrada en la ecuaci´on 2-37 asegura que la energ´ıa se aleje de la fuente de part´ıcula radiante hacia el infinito. Es claro que para un medio zurdo el vector kr estar´a dirigido hacia la trayectoria de la part´ıcula y que el cono de radiaci´on
estar´a dirigido hacia atr´as respecto al movimiento de la part´ıcula. Esto se corresponde a un ´
angulo obtuso θ entre v y S. Para cualquier medio ya sea diestro o zurdo este ´angulo se puede hallar como:
cosθ =p
r c2
Refracci ´on negativa
En la transici´on de un rayo de luz desde un medio hacia otro las siguientes condiciones de contorno de los campos electromagn´eticos deben ser satisfechas independientemente de si el medio es zurdo o diestro [10]:
Et1 =Et2, Ht1 =Ht2 (2-39)
1En1 =2En2, µ1Hn1 =µ2Hn2 (2-40)
Se deduce de 2-39 que los componentes xyyde los campos E yH en el rayo refractado mantienen sus direcciones, independientemente del tipo de material. Para el componente z, solo mantiene la direcci´on si los dos medios son del mismo tipo, si los medios son diferentes (zurdo y diestro), el signo del componente en z cambia tal como se ilustra en la figura 2-11.
Figura 2-11: Paso de un rayo a trav´es de dos medios diferentes. 1-rayo incidente; 2-rayo Reflejado; 3-rayo refractado si el segundo medio es zurdo; 4-rayo refractado si el segundo medio es diestro.
Este cambio obedece a que, al pasar por dos medios de diferente tipo, los vectores E y
tipo de medio. De la figura 2-11 se puede observar que la ley de Snell tradicional
sinφ
sin Ψ =n1,2 =
r
2µ2
1µ1
(2-41)
Deber´a ser definida de forma m´as precisa si los tipos de medio son diferentes
sinφ
sin Ψ =n1,2 =
p2 p1 r
2µ2
1µ1 (2-42)
Es claro de la ecuaci´on 2-42 que el ´ındice de refracci´on puede ser negativo si la ”derechivi-dad”de los dos medios son diferentes. En particular el ´ındice de refracci´on de un medio zurdo es negativo referido al vac´ıo.
Debido a que las f´ormulas de Fresnel son com´unmente utilizadas para calcular las am-plitudes de los rayos reflejados y refractados se deben usar los valores absolutos de , µ, n,
φ y Φ para no cometer errores.
Para el caso de un rayo pasando de un medio derecho con1 >0 yµ2 >0 hacia uno con
2 = −1 y µ2 = −µ1 este sufre refracci´on en la frontera entre los dos medios, pero no as´ı
reflexi´on. Para el caso de una placa de espesor d hecha de un material zurdo conn =−1 y situado en el vac´ıo, se puede ver en la figura 2-12 que esta placa podr´ıa enfocar la radiaci´on proveniente de un punto a una distancial < d de la placa [10].
Split Ring Resonators SRR y Wired Grid
La primera apuesta para dise˜nar un material DNG consider´o en unir en una estructura compuesta por el desarrollo de Pendry [11] con su Split Ring Resonator, material que expone las propiedades de un MNG y el trabajo de Smith [12] con su wired grid, material de tipo ENG. Los desarrollos de J.B Pendry publicados desde el a˜no 2000 [13] [14] [15], y sus asombrosas propiedades han incursionado la investigaci´on de aplicaciones para los MMs tales como cubiertas de invisibilidad, super lentes y dise˜no compacto de antenas. Para esta ´
ultima aplicaci´on los MMs pueden ser impresos en el sustrato de la antena o como un lente enfrentado a la antena. Una forma de bajar esta frecuencia al rango de las microondas es utilizar un arreglo de alambres met´alicos tal como se muestran en la figura 2.0.4.
Figura 2-13: Arreglo peri´odico de alambres que produce un plasmon a baja frecuencia.
El radio del metal-alambre es r, la distancia entre dos alambres es a, la densidad del electr´on est´a representada como N y representa la carga del electr´on. La permitividad del alambre est´a dada por la siguiente ecuaci´on
ef f = 1−
ω2
p
ω(ω+i0a2ω2p
πr2ρ )
(2-43)
donde ρ es la conductividad del material.
As´ı mismo como se mencion´o anteriormente, existe una limitante para el tama˜no de una celda unitaria que en esencia es el bloque b´asico para la construcci´on de un metamaterial con ciertas caracter´ısticas. En particular para una cierta frecuencia ω esta viene dada por:
aλ = 2πc0ω−1 (2-44)
Un arreglo de cilindros met´alicos exhibe una respuesta magn´etica paralela a los ejes del cilindro como fue demostrado por Pendry en [15]. Sin embargo, este tipo de arreglo mostr´o una respuesta limitada de acuerdo con la relaci´on entre el volumen del cilindro respecto al volumen de la celda de acuerdo con la siguiente ecuaci´on:
µef f = 1−
πr2 a2
1 +j 2σ ωrµ0
(2-45)
Sin embargo, cuando la resistencia del conductor es alta esta respuesta es a´un menor.
El Split Ring Resonator es un material MNG desarrollado inicialmente por Pendry en [15] artificialmente dise˜nado para ser el primer material en presentar permeabilidad negativa, el cual excede la respuesta presentada por un simple arreglo de cilindros. En la figura 2-14 se puede ver la estructura de un SRR.
Figura 2-14: Split Ring Resonator y sus relaciones b´asicas
Al aplicar un campo magn´etico paralelo al eje de los anillos se induce una corriente que dependiendo de la resonancia del SRR, produce un campo magn´etico que puede empeorar o mejorar el campo incidente. Dadas las divisiones en los anillos, el SRR se puede hacer resonar a longitudes de onda mucho mayores que el di´ametro del anillo, es decir, no hay un requisito en longitud de onda para resonancia, como ser´ıa el caso si los anillos estuvieran cerrados. El prop´osito del segundo anillo cuya divisi´on esta opuesta al externo, es generar una gran capacitancia en la peque˜na regi´on de separaci´on entre los anillos, bajando la frecuencia de resonancia considerablemente y la concentraci´on de campo el´ectrico. El SRR presenta una permeabilidad dada por la siguiente ecuaci´on:
µef f = 1−
F
1 + ωrµ2π
0 −
3
π2µ 0ω2cr3
F = πr
2
a2 (2-47)
La frecuencia de resonancia del material esta dado por la siguiente ecuaci´on:
ω0 = r
3dc2 0
π2r3 (2-48)
La frecuencia de plasma del material puede ser formulada como:
ωmp =
s
3
π2µc
0r3(1−F)
(2-49)
Donde, c0 es el ancho de la l´ınea microstrip y ’d’ es la separaci´on entre dos anillos. El valor
negativo de µ est´a en el rango de ω0 < ω < ωmp. El dise˜no del SRR est´a bien elaborado en
Veselago [13].
Como la mayor´ıa de los metamateriales y siendo el SRR el primer material en presentar una respuesta magn´etica negativa, este presenta una resonancia de acuerdo con las ecuaciones presentadas anteriormente. Esta resonancia se puede modelar como un circuito equivalente L-C de la siguiente forma.
ω0 = s
2
πr0LCpul
(2-50)
Donde la inductancia equivalente del material viene dada por:
b
L=L+ R
jω (2-51)
Donde
L= µ0π2
I2 Z ∞
0 h
e
I(k)
i2
k2dx (2-52)
Donde Ie(k) es la transformada de Fourier-Bessel de la funci´on de corriente del anillo I(r)
definida por:
I(r) =
Z ∞
r
Js,φ(r0)dr0 (2-53)
y la resistencia R puede ser aproximada a:
R =
2πr0
chσ, si h
2 < δ
πr0
cδσ, en otro caso
(2-54)
Para este tipo de estructuras la Capacitancia Cpul [16] viene dada por:
Cpul =
β
Metamateriales de ´ındice de refracci ´on cero
El fundamento te´orico para el dise˜no y construcci´on de los metamateriales ZIM es la ley de Snell que define el comportamiento de una onda electromagn´etica atravesando dos medios con diferentes ´ındices de refracci´on y la relaci´on de sus ´angulos de incidencia. Sea una onda electromagn´etica atravesando una superficie S los ´angulos de reflexi´on y refracci´on (θr y θt) pueden ser derivados a partir de las ondas incidente, reflejada y refractada dadas
por:
Ei =Ei,0e−iki·r, Er =Er,0e−ikr·r, Et =Et,0e−ikt·r (2-56)
donde k es el vector de onda (vector de Poynting) para cada onda y
E×H =k (2-57)
Dadas las condiciones de contorno las componentes del campo el´ectrico paralelas a la super-ficie S deben ser iguales a trav´es del contorno. Como resultado:
ˆ
n×(Ei+Er) = ˆn×Et (2-58)
Al reemplazar 2-54 en 2-56 se encuentra que:
θi =θr (2-59)
y
kisinθi =ktsinθt (2-60)
El vector de onda se puede aproximar a
k ≈w√µ (2-61)
y la velocidad de onda est´a dada por
V = √1
µ (2-62)
Finalmente se sabe que la velocidad est´a asociada con la impedancia intr´ınseca del medio entonces se llega a:
ηisinθi =ηtsinθt (2-63)
De acuerdo con la ecuaci´on 2-57 el ´angulo reflejado y el ´angulo de incidencia relativo a ˆn son los mismos. La ecuaci´on 2-58 es la Ley de Snell que define el ´angulo de refracci´on correspondiente a la onda transmitida. Por lo tanto, dependiendo de las propiedades f´ısicas de cada medio, la onda transmitida puede refractarse ya sea hacia la vertical o hacia la horizontal.
Entonces cuando la onda incidente ilumina la superficie del ZIM, el ´angulo de refracci´on es cercano a cero, de esta forma el rayo refractado se enfoca a lo largo de la direcci´on perpendicular al contorno del ZIM y este act´ua como un lente colimador tal como se muestra en la figura 2-9.
Figura 2-15: Efecto de un material con ´ındice de refracci´on cero (ZIM), en el proceso de colimado de una onda
Extracci ´on de par´ametros constitutivos
Los par´ametros S se han convertido en el m´etodo est´andar para caracterizar elementos en radio frecuencia y microondas. De la misma forma en los ´ultimos a˜nos han sido ampliamente utilizados en la caracterizaci´on de metamateriales. Un conjunto de objetos o celdas discretas pueden ser remplazadas por un medio efectivo que resulta ser homog´eneo, promediando la respuesta local de sus campos. El resultado ser´a un medio que tenga la misma respuesta electromagn´etica que la composici´on de los diferentes objetos que lo componen.
Se puede considerar un metamaterial como un medio efectivo compuesto de un n´ ume-ro de elementos peri´odicos conocidos como celdas unitarias. Esto permite que, desde un punto de vista general, las propiedades de este medio puedan ser deducidas a partir de la caracterizaci´on de una simple celda.
A continuaci´on, se muestra el algoritmo de extracci´on de los par´ametros constitutivos de una estructura metamaterial peri´odica como es descrito por [1].
Considerando una celda metamaterial cuya periodicidad es d se define la matriz de transferencia como:
F0 =T F (2-64)
E y Hred son las amplitudes complejas de los campos el´ectricos y magn´eticos localizadas en
las caras izquierdas y derechas de la celda.
La matriz T para una celda 1D toma la siguiente forma:
T =
cos(nkd) −z
ksin(nkd) k
z sin(nkd) cos(nkd)
(2-66)
Donden es el ´ındice de refracci´on yz es la impedancia de l´ınea de la celda.
Los elementos de la matriz de par´ametros S se relacionan con la matriz T por las siguientes ecuaciones:
S21 =
2
T11+T22+jkT12+Tjk21
(2-67)
S11=
T11−T22+jkT12−Tjk21
T11+T22+jkT12+Tjk21
(2-68)
S22=
T22−T11+jkT12−Tjk21
T11+T22+jkT12+Tjk21
(2-69)
S12 =
2det(T)
T11+T22+jkT12+Tjk21
(2-70)
Si la celda es homog´enea, la matriz es sim´etrica.
Usando las expresiones anal´ıticas para los elementos matriz T en la ecuaci´on 2-66 los par´ametros S quedan de la siguiente forma:
S21=S12 =
1
cos(nkd)− j2(z+ 1z) sin(nkd) (2-71) y
S11=S22=
j
2( 1
z −z) sin(nkd) (2-72)
Las ecuaciones 2-71 y 2-72 pueden ser invertidas para hallarnyzen t´erminos de los par´ ame-tros S como se muestra a continuaci´on:
n= 1
kdcos
−1
1
2S21(1−S112 +S212 )
(2-73)
z =
s
(1 +S11)2−S212
(1−S11)2−S212
(2-74)
Absorbentes
aliados de las ondas llev´o a la creaci´on de los primeros materiales absorbentes de radar (RAM por sus siglas ingl´es) [2].
Algunos tipos de absorbentes se basaron en capas resistivas de un cuarto de longitud de onda ubicadas sobre una superficie conductora. Sin embargo, su limitado ancho de banda y debido a que frecuentemente el absorbente resultaba en un medio no is´otropo, limitaba el rango de ´angulos y polarizaciones que pod´ıa absorber el material. M´as adelante materiales dobles no is´otropos fueron desarrollados mejorando el rango de absorci´on.
El inter´es por desarrollar metamateriales absorbentes es que su permitividad y permea-bilidad puede ser controlada con cierto grado de libertad en la frecuencia [2].Para desarrollar absorbentes perfectos con incidencia normal se requieren algunos criterios
Sea el coeficiente de reflexi´on en el vac´ıo para una onda TE incidente dado por:
R= η1−η0
η1−η0
(2-75)
Donde ηl es la impedancia en la regi´on l definida como:
ηl =
r
µl
l
(2-76)
Se requiere que para que R = 0 las impedancias sean iguales. Para el espacio libre esto significa que:
η1 = r
µ1r
1r
= 1 (2-77)
Donde µ1r y 1r son las permitividades y permeabilidades relativas del medio.
Bajo esta condici´on, el grado de absorci´on depende ´unicamente de la magnitud de las partes imaginarias de la permitividad y la permeabilidad, y del grosor del material.
Para crear metamateriales que sean absorbentes para todos los ´angulos de incidencias es necesario el uso de materiales no is´otropos. Mediante el control de la permitividad y la permeabilidad en forma de tensor a lo largo del material se consiguen las condiciones para la absorci´on deseada [2].
Metasuperficies de Frecuencia Selectiva
Una aplicaci´on com´un tanto en microondas como en las frecuencias ´opticas es el filtrado espectral. Para ondas electromagn´eticas viajando a trav´es de medios is´otropos esto se logra con las superficies de frecuencia selectiva (FSS por sus siglas en ingl´es), las cuales tienen propiedades de extrema reflectividad o absorci´on dispersa en la frecuencia, de esta forma este tipo de superficies pueden absorber o ser transparentes a la radiaci´on electromagn´etica en diferentes bandas.
se suelen hacer arreglos de estas estructuras en una hoja met´alica. Algunos arreglos se uti-lizan como filtros rechaza banda para ondas planas incidentes, as´ı como para la aplicaci´on contraria, ser perfectamente transparentes a este tipo de ondas incidentes.
2.1.
Estado del arte
Como se mencion´o anteriormente, Veselago en su art´ıculo de 1968 [10], propuso el fun-damento te´orico para el desarrollo de materiales zurdos, sin embargo, por m´as de 30 a˜nos su investigaci´on pas´o desapercibida al no encontrarse materiales que exhibieran respuestas magn´eticas negativas.
En el marco del desarrollo de los metamateriales de forma pr´actica, nos podemos remitir a sus or´ıgenes en el a˜no de 1997 con dos art´ıculos publicados en la sociedad americana de f´ısica. En estos dos art´ıculos se habla de c´omo arreglos de estructuras peri´odicas de alambres delgados pueden producir respuestas frente a la radiaci´on electromagn´etica del mismo tipo que los llamados plasmones [14] [13]. Estos plasmones son metales que exhiben una oscilaci´on colectiva de densidad de electrones a cierta frecuencia llamada por analog´ıa la frecuencia de plasma.
Lo interesante del comportamiento de estos plasmones es que exhiben una permitividad negativa dentro de una banda de frecuencias limitada por un lado por la frecuencia de resonancia propia del material y por el otro por la frecuencia de plasma [14] [13].
Para los plasmones la frecuencia de plasma cae en la regi´on del ultravioleta, mediante el arreglo propuesto por [14] [13] se logra crear un material que reduce esta frecuencia en 6 ´
ordenes de magnitud, llev´andola al orden de las microondas.
Posteriormente en el a˜no 1999 se desarroll´o un metamaterial que produce una respuesta magn´etica negativa conocido como SRR (por sus siglas en ingl´es Split Ring Resonator) [15]. Este tipo de metamaterial est´a constituido por dos anillos conc´entricos separados cada uno por un gap. Los anillos tienen el gap posicionado en direcciones contrarias para que la co-rriente en ambos fluya en direcciones contrarias ante la presencia de un campo magn´etico incidente y de esta manera se produzca una permeabilidad negativa en el intervalo entre la frecuencia de resonancia y la frecuencia de plasma [15].
En el a˜no 2003 se desarroll´o un modelo que permite calcular la frecuencia de resonancia del SRR mediante su inductancia y capacitancia equivalentes, siendo esto de gran utilidad en la aplicaci´on del material en circuitos de microondas [17] [18].
Para el a˜no 2004 se propone un m´etodo para la extracci´on de los par´ametros cons-titutivos de un metamaterial, ya sea homog´eneo basado en los par´ametros de dispersi´on (Par´ametros S) [19]. Mediante este m´etodo se pueden extraer la impedancia, permitividad, permeabilidad e ´ındice de refracci´on del metamaterial en cuesti´on conociendo ´ unicamen-te los par´ametros S complejos. As´ı mismo en el a˜no 2005, este m´etodo se mejor´o para lograr la extracci´on correcta de estos mismos par´ametros para celdas de metamateriales inhomog´eneos [1].
negativos podr´ıa producir en conjunto un material de tipo zurdo (en ingl´es Left Handed Material), este es un tipo de material en el que una onda electromagn´etica se propagar´ıa en el sentido contrario a la direcci´on del vector de onda y que puede exhibir propiedades interesantes tales como un ´ındice de refracci´on negativo, as´ı como la absorci´on de la radiaci´on en cierta banda de frecuencias, de igual manera, ´angulos de reflexi´on imposibles de lograr con materiales que se comportan como medios derechos, esto entre otros fen´omenos que se pueden lograr con los medios LH [2] [3].
A lo largo del siglo XXI se han propuesto otro tipo de geometr´ıas de celdas unitarias para diversas aplicaciones como la absorci´on de ondas electromagn´eticas para el ocultamiento de materiales [20], as´ı como m´ultiples materiales de ´ındice negativo compuestos ´unicamente por una cara, este tipo de celdas solo necesitan de una ´unica geometr´ıa que exhibe ambos comportamientos electromagn´eticos [21] con diversas geometr´ıas, desde celdas en forma de Z [21], S [22] [23] [24] y en forma de H [25]. As´ı mismo, en la literatura especializada se proponen nuevos materiales que exhiben comportamientos ´unicamente el´ectricos que pueden ser de utilidad para la fabricaci´on de metamateriales de ´ındice cercano a cero [26].
Los metamateriales no solo pueden ser aplicados en la regi´on de las microondas sino adem´as en la banda de frecuencias ´opticas con aplicaciones tan interesantes como la fabrica-ci´on de superlentes, capas de invisibilidad, entre otros, as´ı mismo las estructuras existentes en el rango de las microondas son f´acilmente adaptables a estas frecuencias [27].
Diversas t´ecnicas para el mejoramiento de la ganancia de antenas se han planteado, entre estas est´an el uso de lentes diel´ectricos, lentes metamateriales y metasuperficies. En el a˜no 2017 se plante´o una lente que basada en una meta superficie, usaba el m´etodo de compensaci´on de fase para reducir los l´obulos de una antena tipo bocina [28].
2.1.1.
Lentes de ´ındice cercano a cero
Los lentes de ´ındice cercano a cero se basan en lograr una superficie metamaterial que tenga un ´ındice de refracci´on cercano a cero en el rango de frecuencias de inter´es, para as´ı lograr enfocar las ondas electromagn´eticas provenientes de una fuente de radiaci´on. Seg´un la ley de Snell, si un rayo que representa el frente de onda pasa a trav´es de una superficie con un ´ındice cercano a cero, al salir de este tipo de medio, la onda tiende a hacerlo con un ´
angulo normal a dicha superficie.
En el a˜no 2010 se plante´o una lente de este tipo que ten´ıa un ´ındice cercano a cero a 2.26GHz, donde se increment´o la ganancia de una antena de parche en casi 10dB y en 3dB la ganancia de una bocina [29]. La celda de este metamaterial se basaba en una forma de X.
![Figura 3-10: Tipos de Split Ring Resonators y sus dimensiones [17]. N´ otese la incidencia del campo magn´ etico normal a la superficie.](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/7275443.346747/61.892.143.711.177.478/figura-tipos-split-resonators-dimensiones-incidencia-normal-superficie.webp)
