Cópulas arquimedianas
Cristian Libardo Diaz Sánchez
Trabajo de Grado
Director:
Luis Alejandro Másmela C.
Proyecto Curricular de Matemáticas
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá D.C.
Cristian Libardo Diaz Sánchez
Trabajo de Grado
Director:
Luis Alejandro Másmela C.
Proyecto Curricular de Matemáticas
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá D.C.
Vo. Bo. Luis Alejandro Másmela C.
Director
Universidad Distrital Francisco José De Caldas
Vo. Bo Fernando Villarraga
Evaluador
Agradecimientos
Las universidades publicas son un verdadero motor de cambio social, ya que permiten acceder a una educación profesional, crítica y de calidad, de esta forma se incide po-sitivamente en el entorno cercano de cada uno de los estudiantes y de sus familias, a nivel social, económico y conceptual. Por lo anterior, quiero agradecer a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, por propiciar espacios que promueven el desarrollo académico, personal y profesional.
En el contexto anterior también agradezco a todos aquellos docentes que de diversas maneras han aportado a la construcción de profesionales íntegros, ya que han permiti-do desarrollar habilidades personales y académicas cruciales en la vida laboral y social. También porque en muchas ocasiones los docentes fueron un punto de apoyo ante las dificultades de las cuales han surgido relaciones de amistad, ellos transmitieron valores a lo largo de estos años y estos nos acompañaran el resto de nuestras vidas.
Por otro lado, agradezco a todas aquellas personas que incidieron positivamente en la formación profesional y personal, amigos que sin ninguna duda marcaron nuestro paso por la universidad.
Índice general
Introducción . . . VII
1. Preliminares 3
Vector aleatorio . . . 3
Función de distribución conjunta acumulativa . . . 4
Función de distribución marginal . . . 5
Variables aleatorias conjuntamente continuas . . . 6
Vectores aleatorios independientes . . . 7
Grupos y Semi grupos abelianos . . . 8
2. Cópulas 9 Cópulas . . . 13
Teorema de Sklar . . . 15
Cópulas y variables aleatorias . . . 16
Familia de cópulas Ali-Mikhail-Haq . . . 16
3. Cópulas arquimedianas 19 Pseudo-inversa . . . 21
Función generador . . . 25
Cópula Arquimediana . . . 25
El semi grupo abeliano(I, C) . . . 27
Propiedad arquimediana . . . 28
Algoritmo . . . 29
Conclusiones . . . 34
Anexos . . . 35
Introducción
El objetivo principal consiste en interpretar y desarrollar lo propuesto por Nelsen en el ca-pítulo referente a cópulas arquimedianas en su libroAn Introduction to Copulas, segunda edición del año 2006. Este libro fue la guía principal durante el trabajo desarrollado por el semillero de investigación IPREA de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas en Bogotá sobre teoría de cópulas, adicionalmente es uno de los referentes internacionales más importantes en la actualidad sobre este tema.
Ahora, si una estructura matemática satisface una versión análoga del Axioma de Arquí-medes recibe el adjetivo dearquimediano, por lo tanto, uno de los propósitos del siguiente escrito es verificar que las cópulas arquimedianas cumplen una versión de este axioma y adicionalmente, que verifica la estructura de semi grupo abeliano.
Cabe agregar que una característica interesante de las cópulas arquimedianas es la posibi-lidad de ser construidas a partir de una función generador que más adelante se denotará por ϕ, sin embargo dicha función generador requiere cumplir una serie de condiciones para que el resultado final cumpla la definición de cópulas, estas condiciones sobre ϕ serán considerados como uno de los resultados más importantes de este trabajo.
Sobre la base de lo anterior, la familia de cópulas Ali-Mikhail-Haq ofrece una excelente manera de introducir las funciones generador ya que permiten relacionar la función de distribución conjunta y sus marginales bajo una transformación dada, idea que será fun-damental en el desarrollo de teoría de cópulas arquimedianas.
Por otro lado, el software R permitirá ejecutar un algoritmo propuesto por Nelsen, con el cual se tendrá una representación gráfica de parejas ordenadas cuya función de distri-bución conjunta será una cópula arquimediana.
Capítulo 1
Preliminares
Se denota con R la recta real (−∞,∞) y se utiliza a R para representar a la recta real extendida[−∞,∞]. Por otro lado se denota conBlaσ-álgebra de Borel sobreRque Blanco [2] define como la más pequeñaσ-álgebra sobreRque contiene todos los intervalos de la forma (−∞, a].
Definición 1.1 (Variable Aleatoria). Sea (Φ,J, P) un espacio de probabilidad. Una variable aleatoria (real) es una función X : Φ−→R tal que:
Para todo A ∈ B, X−1(A) ∈ J o de forma equivalente X : Φ −→
R es una variable
aleatoria si y solo si X−1((−∞, a])∈J para todo a∈ R.
Se utilizan letras mayúsculas por ejemplo X, Y para denotar las variables aleatorias, y letras minúsculas como x, y para representar sus valores. Adicionalmente sea X una variable aleatoria definida sobre el espacio de probabilidad (Φ,J, P), entonces
{X ∈B}:={φ ∈Φ :X(φ)∈B}, B ∈B.
La definición 1.1 es vista desde una perspectiva probabilística, sin embargo Nelsen [7] su-giere dar un tratamiento estadístico a está definición para abordar el estudio de cópulas, luego cita dos definiciones para tener claridad al respecto.
La primera de Walt (1947), “una variable X es llamada una variable aleatoria si para todo valor dado c, se le puede atribuir al evento que X tome un valor menor de c una probabilidad definida.” y la segunda de Gnedenko (1962), “una variable aleatoria es una cantidad variable cuyos valores dependen del azar en un experimento y de la existencia de una función de distribución.”
Ahora es necesario extender el concepto de variable aleatoria de una funciónX : Φ−→R, a una funciónX: Φ−→Rnlo que se conoce como un vector aleatorio, y será un concepto clave del trabajo que se desarrollará en los siguientes capítulos.
Definición 1.2 (Vector aleatorio). SeanX1, X2,· · · , Xn variables aleatorias definidas
sobre el mismo espacio de probabilidad (Φ,J, P). A la función X: Φ−→Rn definida por
X(φ) := (X1(φ), X2(φ),· · · , Xn(φ))
Se llama un vector aleatorio n-dimensional, en adelante por comodidad simplemente vec-tor aleavec-torio.
Definición 1.3 (Distribución de un vector aleatorio). Sea X un vector aleatorio
n-dimensional. La medida de probabilidad definida por
PX(B) :=P(X∈B), B en Bn.
es llamada distribución del vector aleatorio X.
Definición 1.4 (Función de masa de probabilidad conjunta).
Sea X = (X1, X2,· · · , Xn) un vector aleatorio n-dimensional. Si las variables aleatorias Xi, coni= 1,· · · , n, son todas discretas, se dice que el vector aleatorioX es discreto. En este caso, la función de masa de probabilidad conjunta de X, también llamada función de distribución conjunta de las variables aleatorias X1, X2,· · · , Xn, es definida por:
px(x) :=
P(X=x) si x pertenece a la imagen de X
0 en cualquier otro caso.
Nota: Sea X1 y X2 variables aleatorias discretas. Entonces:
P(X1 =x) = P (X1 =x)∩
[
y
(X2 =y)
!
= P \
y
(X1 =x, X2 =y)
!
= X
y
P (X1 =x, X2 =y).
Definición 1.5 (Función de distribución conjunta acumulativa).
Sea X= (X1, X2,· · · , Xn) un vector aleatorio n-dimensional. La función definida por
F(x1, x2,· · ·xn) = P(X1 ≤x1, X2 ≤x2,· · ·, Xn≤xn)
Para todo (X1, X2,· · · , Xn) ∈ Rn es llamada función de distribución acumulativa
con-junta de las variables aleatoriasX1, X2· · ·, Xn, o simplemente función de de distribución
5
Nota 1: Al igual que en el caso unidimensional, tenemos que la distribución del vector aleatorio X está completamente determinada por su función de distribución.
Nota 2: Sea X1 y X2 variables aleatorias con función de distribución acumulativa
con-junta F. Entonces:
FX1(x) = P(X1 ≤x)
= P (X1 =x)∩
[
y
(X2 =y)
!
= P \
y
(X1 =x, X2 =y)
!
= l´ım
y→∞P(X1 ≤x, X2 ≤y)
= l´ım
y→∞F(x, y)
del mismo modo tenemos que FX2(y) = l´ımx→∞F(x, y).
El siguiente teorema pretende generalizar la Nota 2 mencionada anteriormente y a su vez introducir el concepto de función de distribución marginal, o función marginal, concepto clave en desarrollo de los siguientes capítulos.
Teorema 1.1 (Función de distribución marginal). Sea X = (X1, X2,· · · , Xn) un
vector aleatorio n-dimensional con función de distribución acumulada conjunta F. Para cada j = 1,2,· · · , n la función de distribución acumulada de la variable aleatoria Xj
viene dada por
FXj = l´ım
x1→∞
· · · l´ım
xj−1→∞
, l´ım
xj+1→∞
· · · l´ım
xn→∞
F(x1,· · · , xn)
la función de distribución FXj se llama función de distribución acumulativa marginal de
la variable aleatoria Xj.
Algunas propiedades de la función de distribución conjunta se presentaran a continuación para el caso bidimensional, para el caso general se puede recurrir a Blanco [2].
Teorema 1.2 (Propiedades función de distribución conjunta bidimensional).
Sea X= (X, Y) un vector aleatorio bidimensional. La función de distribución acumulada conjunta F de las variables aleatorias X, Y tiene las siguientes propiedades:
1. 4b
aF :=F(b1, b2) +F(a1, a2)−F(a1, b2)−F(b1, a2),
2.
l´ım
x→x0
F(x, y) =F(x0, y). (1.1)
l´ım
y→y0
F(x, y) =F(x, y0). (1.2)
3.
l´ım
x→−∞F(x, y) = 0; y y→−∞l´ım F(x, y) = 0.
4.
l´ım
(x,y)→(∞,∞)F(x, y) = 1.
La prueba de este Teorema puede ser encontrada en Blanco [2] Pág. 200. Teorema 1.3 (Variables aleatorias conjuntamente continuas).
SeanX1, X2,· · · , Xn, nvariables aleatorias de valor real definidas sobre el mismo espacio
de probabilidad. Se dice que las variables aleatorias son conjuntamente continuas, si existe una función integrable
f :Rn−→[0,+∞]
tal que para cada conjunto de Borel B de Bn:
P((X1, X2,· · · , Xn)∈B) =
Z
B
· · ·
Z
B
f(x1, x2,· · · , xn)dx1dx2 · · · dxn.
La función f es llamada función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X1, X2,· · · , Xn.
Nota: de la definición anterior se tiene, en particular:
1. Z Rn · · · Z Rn
f(x1, x2,· · · , xn)dx1dx2 · · · dxn = 1
2. P(X1 ≤x1, X2 ≤x2,· · ·, Xn≤xn) =
Z xn
−∞
· · ·
Z x2
−∞
Z x1
−∞
f(t1, t2,· · · , tn)dt1dt2 · · ·dtn
La observación anterior muestra que si se conoce la función de densidad de probabilidad conjunta f de las variables aleatorias X1, X2,· · ·Xn, también se conoce la función de distribución conjunta F. Esto plantea la pregunta: ¿También se mantiene el inverso? Es decir, ¿es posible, partiendo de la función de distribución conjuntaF, encontrar la función de densidad de probabilidad conjunta f? La respuesta se da en el siguiente teorema: Teorema 1.4 (Función de densidad bidimensional). SeaX yY variables aleatorias continuas que tienen una función de distribución conjunta F. Entonces, la función de densidad de probabilidad conjunta f es:
f(x, y) = ∂
2F(x, y)
∂x∂y
= ∂
2F(x, y)
∂y∂x
7
Teorema 1.5 (Función de densidad marginal). Si X1,· · · , Xn son variables
aleato-rias de valor realn-dimensional con función de densidad de probabilidad (fdp)f entonces:
fXj(x) =
Z −∞
∞
· · ·
Z −∞
∞
f(x1,· · · , xj−1, x, xj+1,· · · , xn)dx,· · · , dxj−1dxj+1· · ·dxn.
Es la función de densidad de la variable aleatoria Xj para j = 1,2, ..., n.
Definición 1.6 (Independencia de variables aleatorias). Sean X, Y dos variables aleatorias reales definidas sobre el mismo espacio de probabilidad, si para cualquier par de conjuntos de Borel A yB de R tenemos:
P(X ∈A, Y ∈B) =P(X ∈A)P(Y ∈B)
Entonces X y Y son independientes.
Nota: (Vectores aleatorios independientes) La definición anterior puede ser gene-ralizada a vectores aleatorios como sigue: dos n-dimensional vectores aleatorios X y Y
definidos sobre el mismo espacio de probabilidad, se dicen independientes, si para cual-quier A y B subconjuntos Borel de Rn se satisface:
P(X∈A,Y∈B) =P(X∈A)P(Y∈B)
Asúmase que X y Y son variables aleatorias independientes. Entonces se deduce de la definición anterior que:
F(x, y) = P(X ≤x, Y ≤y) = P(X ≤x)P(Y ≤y)∀x, y ∈R
esto es:
F(x, y) = FX(x)FY(y) ∀x, y ∈R (1.3) Por el contrario, si se cumple la condición 1.3, entonces las variables aleatorias son inde-pendientes.
Supongamos ahora queXeY son variables aleatorias discretas independientes. Entonces P(X =x, Y =y) =P(X =x)P(Y =y) (1.4) Para todoxen la imagen deX y todoyen la imagen deY. Inversamente, si se cumple la condición 1.4, entonces, las variables aleatorias son independientes. SiXeY son variables aleatorias independientes con función de densidad conjunta f(x, y), entonces:
P(x < X ≤x+dx, y < Y ≤y+dy) =P(x < X ≤x+dx)P(y < Y ≤y+dy).
f(x, y) = fX(x)fY(y)∀x, y ∈R (1.5) Por el contrario, si se satisface la condición 1.5, entonces las variables aleatorias son inde-pendientes. En conclusión, tenemos que las variables aleatoriasX eY son independientes si y sólo si su función de densidad conjunta f(x, y) se puede factorizar como el producto de sus funciones de densidad marginal fX(x) y fY(y).
Siguiendo con la construcción teórica, se presenta la definición de función de distribución acumulada para la variable aleatoria X, que se nota por medio de letras mayúsculas, por ejemplo, FX donde el subíndice hace referencia a la variable aleatoria escogida. Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es continua.
Grupos y Semi grupos abelianos
Este apartado hace referencia a los grupos y semi grupos, teoría que hace parte del álgebra abstracta la cual es una de las áreas importantes de las matemáticas, sin embargo no se limita a ella, también puede encontrarse por ejemplo en el estudio de estructuras moleculares en química. Para propósitos de este documento se verá en el Capítulo 3 que el par (I, C)es un semi grupo abeliano para lo cual se tienen las siguientes definiciones. Definición 1.7 (Grupo). Un conjunto G con una operación binaria ∗ en él definida se dice que es un grupo si cumple las siguientes propiedades:
1. La operación binaria ∗ es cerrada en G.
2. La operación binaria ∗ es asociativa, esto es, g1∗(g2∗g3) = (g1∗g2)∗g3 para todo g1, g2, g3 ∈G.
3. Existe un elemento neutro e∈G talque e∗g =g∗e=g para todo g ∈G.
4. Para todo elemento g ∈G existe un elemento g0 ∈G, denominado inverso de g tal que g∗g0 =g0∗g =e.
Definición 1.8(Semi grupo). Un conjuntoGcon una operación binaria∗en él definida se dice que es un semi grupo si cumple las siguientes propiedades:
1. La operación binaria ∗ es cerrada en G.
2. La operación binaria ∗ es asociativa, esto es, g1∗(g2∗g3) = (g1∗g2)∗g3 para todo g1, g2, g3 ∈G.
Capítulo 2
Cópulas
En este Capítulo se introduce el concepto de cópula, cuyo nombre fue acuñado por prime-ra vez por Abe Sklar en 1959, adicionalmente se conocerá el concepto de cotas Fréchet-Hoeffding y se hará una referencia a la familia de copulas Ali-Mikhail-Haq como preám-bulo al Capítulo 3 donde se abordará en concepto de cópula arquimediana.
Se utilizará I2 para representar el cuadrado unitario que es el producto de I×Icuando I = [0,1], por otro lado se nota a H como una función real bidimensional donde un subconjunto deR2 y un subconjunto de R son dominio y codominio respectivamente. Definición 2.1 (H-Volumen). Sean S1 y S2 subconjuntos no vacíos de R, y sea H
una función real bidimensional tal que DomH = S1 ×S2. Sea B = [x1, x2]×[y1, y2] un
rectángulo de tal manera que todos los vértices están en elDomH. Entonces el H-volumen de B está dado por:
VH(B) = H(x2, y2)−H(x2, y1)−H(x1, y2) +H(x1, y1). (2.1) Un error frecuente es olvidar que el dominio de H contiene los vértices de B, pero no necesariamente los puntos que “unen” dichos vértices. Como referencia para comprender el concepto de H-volumense presenta la gráfica 2.1.
Por otro lado la definición de función no decreciente para una funcióng :R→Rpuede ser extendida a R2 como dominio deg con el concepto de función 2-creciente, cuya definición es la siguiente.
Definición 2.2(2-creciente).Una función real bidimensionalHes2-creciente siVH(B)≥
0 para todos los rectángulos B cuyos vértices estén en el DomH.
Algunos autores se refieren a las funciones 2-crecientes como cuasi-monótonas y al H-volumen como la H-medida deB.
Figura 2.1: H-volumen
Después de reflexionar un poco sobre la definición de 2-creciente, Nelsen [7] propone como ejercicio desarrollar las demostraciones de los contraejemplos que permiten ver que no existe implicación alguna entre las afirmaciones H es 2-creciente y H es no decreciente en cada argumento, las cuales se desarrollan a continuación.
Contraejemplo 2.1. SeaH una función definida sobreI2 porH(x, y) = m´ax(x, y), lo que significa que H es no decreciente en cada uno de sus componentes, sin em-bargo VH(I) = m´ax(1,1)−m´ax(0,1)−m´ax(1,0) + m´ax(0,0) = −1 lo que indica
que H no es 2-creciente.
Contraejemplo 2.2. Sea H una función definida sobre I2 por H(x, y) = (2x− 1)(2y−1). Como se resaltó en la definición 2.2 se deben tener en cuenta todos los rectángulos B cuyos vértices estén en el DomH, entonces:
VH(B) = (2x2−1)(2y2−1)−(2x2−1)(2y1−1)
−(2x1−1)(2y2−1) + (2x1−1)(2y1−1) = 4x2y2−4x1y2−4x2y1+ 4x1y1
= 4[x2y2−x1y2−x2y1+x1y1]
= 4[(x2−x1)(y2−y1)]≥0.
La última ecuación se cumple ya que x1 ≤ x2 y y1 ≤ y2, entonces para cualquier
valor en I, H es 2-creciente, sin embargo es una función decreciente de x para cada
11
x1 ≤x2
(2x1−1)≤(2x2−1)
(2x1 −1)(2y−1)≥(2x2−1)(2y−1)
y como (2y−1)<0 para y ∈(0,1/2), se obtiene el resultado deseado, de manera similar para y con x∈(0,1/2).
Se abordará la definición de funciónanclada y se introduce el concepto de marginales, mediante los lemas descritos a continuación, los cuales son claves para la definición de cópula y permitirán comprender sus principales características .
Lema 2.1. Sean S1 y S2 subconjuntos no vacíos de R, y H una función 2-creciente con
dominioS1×S2. Seanx1, x2 en S1 con x1 ≤x2, y seany1, y2 en S2 con y1 ≤y2. entonces
la función
t→H(t, y2)−H(t, y1)
es no decreciente sobre S1 y la función
t→H(x2, t)−H(x1, t)
es no decreciente sobre S2.
Demostración. Se define f(t) := H(t, y2)−H(t, y1) y g(t) := H(x2, t)−H(x1, t), como x1 ≤x2 y y1 ≤y2, y partiendo de que H es 2-creciente, es decir VH(B)≥0, se tiene que: VH(B) = H(x2, y2)−H(x2, y1)−H(x1, y2) +H(x1, y1)≥0 (2.2) de la ecuación anterior se tiene,
H(x2, y2)−H(x2, y1)−H(x1, y2) +H(x1, y1)≥0
−H(x2, y2) +H(x2, y1) +H(x1, y2)−H(x1, y1)≤0
H(x1, y2)−H(x1, y1)≤H(x2, y2)−H(x2, y1)
f(x1)≤f(x2)
con lo cual f(t) es no decreciente; Partiendo de nuevo de la ecuación (2.2) se tiene, H(x2, y2)−H(x2, y1)−H(x1, y2) +H(x1, y1)≥0
H(x2, y2)−H(x1, y2)≥H(x2, y1)−H(x1, y1)
H(x2, y1)−H(x1, y1)≤H(x2, y2)−H(x1, y2)
g(y1)≤g(y2),
Ahora supóngase queS1 tiene un elemento mínimoa1 y queS2 tiene un elemento mínimo a2. Se dice que la funciónH deS1×S2 enRes ancladasiH(x, a2) = 0 =H(a1, y)para todo(x, y) enS1×S2.
Anteriormente se mostró que no existía implicación alguna entre las afirmaciones H es 2-creciente y H es no decreciente en cada argumento sin embargo si se adiciona a la hipótesis que la función H es anclada se puede obtener el siguiente resultado.
Lema 2.2. Sea S1 y S2 subconjuntos no vacíos de R, y sea H una función 2-creciente
anclada con dominio S1×S2 entonces H es no decreciente en cada argumento.
Demostración. Sea a1, a2 los elementos mínimos de S1, S2 respectivamente y x1 = a1, y1 =a2 en el Lema 2.1.
t →H(t, y2)−H(t, y1),
t→H(t, y2)−H(t, a2),
como H es anclada, se tiene que H(t, a2) = 0
t→H(t, y2),
por Lema 2.1 esa función es no decreciente enS1, lo que implica queH(t1, y2)≤H(t2, y2), parat1 ≤t2 enS1, y comoH(t, y2)es un argumento de H paray2 fijo, se tiene el resultado deseado. De manera similar parat →H(x2, t)−H(x1, t).
Si se supone además queS1 tiene un elemento máximo b1 y S2 tiene un elemento máximo b2 entonces se dice que una función H de S1 ×S2 en R tiene marginales, y que las marginales de H son funciones F y G dadas por:
DomF =S1 y F(x) =H(x, b2) para todo xen S1. DomG=S2 y G(y) = H(b1, y) para todoy en S2.
La importancia del siguiente lema es que posteriormente se utilizará para mostrar que una cópula es uniformemente continua sobre su dominio.
Lema 2.3. Sea S1 y S2 subconjuntos no vacíos de R, y sea H una función 2-creciente anclada, con marginales, cuyo dominio esS1×S2. Sean(x1, y1)y(x2, y2)cualquier punto
en S1×S2. Entonces
Cópulas
A partir de la función de distribución conjunta se pueden obtener las funciones marginales, sin embargo, partir de las funciones marginales para obtener la función de distribución conjunta no siempre es posible. Teniendo en cuenta lo anterior a mediados del siglo XX, Sklar logro mostrar que evaluando las funciones marginales en una función, que llamó cópula, se obtiene la función de distribución conjunta. Dadas las definiciones y lemas anteriores el propósito de está sección será definir el concepto de cópula e introducir sus propiedades fundamentales.
Definición 2.3 (Cópula). Una cópula bidimensional o simplemente cópula, es una fun-ción C de I2 a I con las siguientes propiedades:
1. Para todo u, v en I,
C(u,0) = 0 =C(0, v). (2.3)
C(u,1) =u yC(1, v) =v. (2.4)
2. Para todo u1, u2, v1, v2 en I tal que u1 ≤u2 y v1 ≤v2,
C(u2, v2)−C(u2, v1)−C(u1, v2) +C(u1, v1)≥0. (2.5) La primera condición hace referencia a que C es anclada y tiene marginales, para este caso 0 y 1 son el elemento mínimo y máximo respectivamente, por último la segunda condición dice que C debe ser 2-creciente.
El siguiente Lema introduce la cópula producto, la cual es asociada a la independencia entre las variables aleatorias X, Y. Como punto de partida para introducir el concepto de cópula arquimediana en el Capítulo 3 también se usará la independencia. La gráfica de la cópula producto puede observarse en la figura 2.1.
Lema 2.4. Q (u, v) =uv es una cópula. A Q se le conoce como cópula producto.
Y
(u, v) =uv.
Demostración. Sea Q (u, v) = uv y u, v ∈I, se quiere comprobar
(i) Para Q(u,0) =u·0 = 0 y para Q(0, v) = 0·v = 0, por lo tanto Q es anclada.
(ii) Ahora Q(u,1) =u·1 =u y Q(1, v) = 1·v =v, luegoQ tiene marginales.
(iii) Por último, supóngase que u1 ≤u2 y v1 ≤v2
Q
(u2, v2)−Q
(u1, v2)−Q
(u2, v1) +Q
(u1, v1) =u2v2−u1v2−u2v1+u1v1
= (u2−u1)(v2−v1)
Por lo tanto VQ(B)≥0y Q es cópula.
Teorema 2.1. SeanX yY variables aleatorias continuas. EntoncesX yY son indepen-dientes si y solo si C(x, y) =Q
.
Una resultado bastante interesante es el hecho que toda cópula está acotada por las cotas Fréchet-Hoeffding, estas se conocen también como la cota inferior Fréchet-Hoeffding y cota superior Fréchet-Hoeffding, los lemas a continuación pretenden introducir dichos conceptos.
Lema 2.5. W(u, v) = m´ax(u+v −1,0) es una cópula. A W se le conoce como la cota inferior Fréchet-Hoeffding.
Lema 2.6. M(u, v) = m´ın(u, v) es una cópula. A M se le conoce como la cota superior Fréchet-Hoeffding.
A continuación se muestran las gráficas de la cópula mínimo y máximo respectivamente.
Figura 2.2: CópulasW y M
Como se mencionó anteriormente las cotas superior e inferior Fréchet-Hoeffding acotan a C donde C representa una cópula, el propósito del siguiente teorema es mostrar este hecho.
Teorema 2.2 (Cotas de Fréchet-Hoeffding). Sea C una cópula, entonces para cada
(u, v) en DomC se tiene
m´ax(u+v−1,0)≤C(u, v)≤m´ın(u, v), (2.6)
la prueba de este Teorema puede verse en Nelsen [7] Pág. 11. Entonces para toda cópula C y todo(u, v) enI2,
15
Teorema 2.3 (Uniformemente continua). Sea C una cópula. Entonces para todo
(u1, u2), (v1, v2) en DomC,
|C(u2, v2)−C(u1, v1)| ≤ |u2−u1|+|v2−v1| (2.8)
Así C es uniformemente continua sobre este dominio.
Hasta este momento, se tiene que las cópulas tienen cota inferior y cota superior, que son uniformemente continuas y que la cópula Q es asociada a la independencia de las
variables aleatorias X y Y, ahora se definirá el concepto desecciones de una cópula, las cuales permitirán discriminar si una cópula es o no arquimediana, lo cual será parte del tema tratado en el Capítulo 3.
Definición 2.4 (Sección diagonal). Sea C una cópula, y seaa cualquier número en I. La sección horizontal de C en a es la función de I en I dada por t 7→C(t, a); la sección vertical de C en a es la función de I en I dada port 7→C(a, t); y la sección diagonal de
C es la función δC de I en I definida por δC(t) = C(t, t).
Corolario 2.1. La sección horizontal, vertical, y diagonal de una cópula C son no de-crecientes, y uniformemente continuas sobre I.
El corolario anterior es consecuencia inmediata del Lema 2.2 y el Teorema 2.3.
Teorema de Sklar
La importancia fundamental del Teorema de Sklar es que relaciona las funciones mar-ginales, la función de distribución conjunta y las copulas, esta idea la resalta Del Río [4] cuando menciona “...el Teorema de Sklar asegura no solamente que las cópulas son funciones de distribución conjuntas, sino que el recíproco también es cierto: las funciones de distribución conjuntas se pueden reescribir en términos de las marginales”. De igual manera lo hace Chavarro [3] cuando dice “...establece la relación que existe entre las dis-tribuciones multivariadas y sus marginales univariadas a través de una cópula”
Teorema 2.4 (Teorema de Sklar). Sea H una función de distribución conjunta con marginales F y G. Entonces existe una copula C talque para todo x, y en R
H(x, y) =C(F(x), G(y)), (2.9)
Cópulas y variables aleatorias
Una variable aleatoria es continua si su función de distribución es continua. Cuando se habla de dos o más variables aleatorias, se adopta la misma convención: dos o más variables aleatorias son las componentes de una cantidad (un vector) cuyos valores son descritos por una función de distribución conjunta. Como consecuencia, siempre se asume que la colección de variables aleatorias en discusión puede definirse en un espacio de probabilidad común. Ahora ya se puede replantear el teorema de Sklar en términos de variables aleatorias y sus funciones de distribución
Teorema 2.5. Sean X y Y variables aleatorias con funciones de distribución F y G, respectivamente, y función de distribución conjunta H. Entonces existe una cópula C tal que se cumple
H(x, y) =C(F(x), G(y)). (2.10)
Si F y G son continuas, C es única. En otro caso, C esta determinada unívocamente sobre RanF ×RanG.
Familia de cópulas Ali-Mikhail-Haq
La familia de cópulas Ali-Mikhail-Haq hace parte de la teoría desarrollada para cópulas de supervivencia, las cuales están ligadas principalmente a aplicaciones concernientes a conocer las probabilidades de vida, por ejemplo en artículos electrónicos; sin embargo también puede encontrarse en diversas áreas como en salud, actuaria, administración de riesgo, entre otras. A continuación se expone una breve introducción ya que será una forma de presentar el concepto de cópula arquimediana en el Capítulo 3.
Sean X y Y variables aleatorias continuas con función de distribución conjunta H y funciones de distribución marginales F y G respectivamente, donde X y Y denotan tiempos de vida. Por ejemplo para la variable X, la probabilidad de supervivencia
P[X > x]/P[X ≤x]
es la probabilidad de sobrevivir más allá del tiempoxsobre la probabilidad de fallar antes del tiempo x, es decir,
F(x)/F(x) = (1−F(x))/F(x)
También se puede definir la probabilidad de supervivencia en forma bivariada como P[X > x óY > y]/P[X ≤x, Y ≤y]
ó
1−H(x, y)
17
Ejemplo 2.1. [7] Supóngase que las variables aleatorias X y Y se distribuyen Gumbel, esto es para todo x, y ∈R,
H(x, y) = (1 +e−x+e−y)−1.
Si se remplaza en la razón 2.11, se tiene
1−H(x, y)
H(x, y) =
(1−(1 +e−x+e−y)−1) (1 +e−x+e−y)−1) =e
−x+e−y (2.12)
Las probabilidades de supervivencia para X, Y con marginales F(x) = (1 + e−x)−1 y G(y) = (1 +e−y)−1 es
(1−F(x))/F(x) = (1−(1 +e−x)−1)/(1 +e−x)−1 =e−x,
(1−G(y))/G(y) = (1−(1 +e−y)−1)/(1 +e−y)−1 =e−y,
entonces la ecuación 2.12, con F, G, H 6= 0, se puede escribir como
1−H(x, y)
H(x, y) =
1−F(x)
F(x) +
1−G(y)
G(y) (2.13)
Ejemplo 2.2. [7] Supóngase que X y Y son variables aleatorias independientes con función de distribución conjuntaHy marginalesF yGrespectivamente, se tiene entonces que H(x, y) =F(x)G(y). Y si además
F(x) = (1 + [(1−F(x))/F(x)])−1,
G(y) = (1 + [(1−G(y))/G(y)])−1
y
H(x, y) = (1 + [(1−H(x, y))/H(x, y)])−1,
reemplazando F, G y H enH(x, y) =F(x)G(y) se tiene
1 + 1−H(x, y)
H(x, y)
−1
=
1 + 1−F(x)
F(x)
−1
1 + 1−G(y)
G(y)
−1
,
después de realizar algunas operaciones algebraicas se puede llegar al siguiente resultado, el cual va a permitir identificar las familias Ali-Mikhail-Haq
1−H(x, y)
H(x, y) =
1−F(x)
F(x) +
1−G(y)
G(y) +
1−F(x)
F(x) ·
1−G(y)
G(y) (2.14)
Note que las ecuaciones 2.13 y 2.14 son similares. En 1978, Ali, Mikhail y Haq propusieron buscar distribuciones de dos variables que para alguna constanteθcumplieran la siguiente relación
1−H(X, Y)
H(X, Y) =
1−F(X)
F(X) +
1−G(Y)
G(Y) + (1−θ)
1−F(X)
F(X) ·
1−G(Y)
Capítulo 3
Cópulas arquimedianas
En este capítulo se introduce el concepto de pseudo-inversa. Además, se incluye también el concepto de función generador, este tipo de funciones, permite, de manera general, construir cópulas bajo cierto tipo de condiciones.
Luego se introducirá el concepto de familia de cópulas arquimedianas y se determinará si las copulas Fréchet-Hoeffding superior e inferior, junto con la cópula producto pertenecen a dicha familia.
Por otro lado se verá la razón por la cual se considera al par (I, C), un semi grupo abé-liano ordenado, donde I es el intervalo unitario y C representa una cópula vista como operación binaria. Se mostrará además el motivo por el cual las cópulas reciben el adje-tivo “Arquimediano” derivado de una interpretación de la propiedad arquimediana para los números reales.
El principal interés será convertir una función H como el producto de sus marginales F y Ghaciendo uso de alguna transformación, por ejemplo para los miembros de la familia Ali-Mikhail-Haq que satisfacen la relación
1−H(x, y)
H(x, y) =
1−F(x)
F(x) +
1−G(y)
G(y) + (1−θ)
1−F(x)
F(x) ·
1−G(y)
G(y) ,
al multiplicarla por (1−θ) se obtiene,
(1−θ)1−H(x, y)
H(x, y) = (1−θ)
1−F(x)
F(x) + (1−θ)
1−G(y)
G(y) + (1−θ)
21−F(x) F(x) ·
1−G(y)
G(y) ,
sumando 1 a ambos lados, y factorizando, se tiene
1 + (1−θ)1−H(x, y)
H(x, y) =
1 + (1−θ)1−F(x)
F(x) 1 + (1−θ)
1−G(y)
G(y)
En este caso la transformación λ(t) = 1 + (1−θ)(1−t)/t conduce a que λ(H(x, y)) =λ(F(x))λ(G(y)).
Si además se establece queϕ(t) = −lnλ(t), se tiene que ϕ(H(x, y)) =−lnλ(H(x, y))
=−ln[λ(F(x))λ(G(y))] =−[lnλ(F(x)) + lnλ(G(y))] =−lnλ(F(x))−lnλ(G(y)) =ϕ(F(x)) +ϕ(G(y)),
lo que concluye
ϕ(H(x, y)) = ϕ(F(x)) +ϕ(G(y)),
por Teorema de Skar la ecuación anterior se puede escribir como:
ϕ(C(u, v)) =ϕ(u) +ϕ(v). (3.1) Los siguientes ejemplos tienen como propósito ilustrar lo hecho anteriormente y a su vez mostrar que no es necesario utilizar la transformación λ para poder escribir C como la suma de las funciones marginales u y v.
Ejemplo 3.1. La cópula Cθ(u, v) = (u−
1
θ +v−
1
θ −1)−θ satisface la ecuación 3.1 con
ϕ(t) =t−1θ −1, veamos.
ϕ(Cθ(u, v)) = ϕ[(u−
1
θ +v−
1
θ −1)−θ]
= ((u−1θ +v−
1
θ −1)−θ)−
1
θ −1
=u−1θ +v−
1
θ −1−1
= (u−1θ −1) + (v−
1
θ −1)
=ϕ(u) +ϕ(v)
Ejemplo 3.2. La cópula Cθ(u, v) = exp(−[(−lnu)θ + (−lnv)θ]
1
θ) satisface la ecuación
3.1 con ϕ(t) = (−lnt)θ, con lo cual se tiene.
ϕ(Cθ(u, v)) = ϕ[exp(−[(−lnu)θ+ (−lnv)θ]1θ)]
= [−ln[exp(−[(−lnu)θ+ (−lnv)θ]1θ)]]θ
= [[(−lnu)θ+ (−lnv)θ]1θ]θ
21
El principal interés recae sobre el tipo de transformaciones ϕque se pueden usar para la construcción de cópulas. Entonces partiendo de la ecuación 3.1 y resolviendo paraC(u, v)
se tiene que
C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v)), (3.2) siempre y cuando se use una definición apropiada de “inversa” ϕ[−1].
Definición 3.1(pseudo-inversa). Seaϕuna función continua estrictamente decrecien-te definida de I a [0,∞] tal que ϕ(1) = 0. La pseudo-inversa de ϕes la función ϕ[−1] con Dom(ϕ[−1]) = [0,∞] y Ran(ϕ[−1]) =I dada por
ϕ[−1](t) =
(
ϕ−1(t) , 0≤t < ϕ(0)
0 , ϕ(0)≤t ≤ ∞ (3.3)
Note que ϕ[−1] es continua y no creciente sobre [0,∞], y estrictamente decreciente sobre
[0, ϕ(0)]. Además, ϕ[−1](ϕ(u)) = u sobre I, y
ϕ(ϕ[−1](t)) =
t , 0≤t < ϕ(0)
ϕ(0) , ϕ(0)≤t ≤ ∞
= m´ın(t, ϕ(0)).
Finalmente, si ϕ(0) =∞, entonces ϕ[−1]=ϕ−1.
Sin embargo no existe garantía que C(u, v) sea una cópula en la ecuación 3.2, por lo tanto la teoría que sigue, pretende mostrar las condiciones bajo las cuales ϕ a partir de la ecuación 3.2 genera una cópula.
Lema 3.1. Sea ϕ una función continua estrictamente decreciente de I a [0,∞] tal que
ϕ(1) = 0, y sea ϕ[−1] la pseudo-inversa de ϕdefinida por 3.1. Sea C una función de I2
a
I dada por
C(u, v) =ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v)) (3.4)
entonces C(u, v) es anclada y satisface C(u,1) =u y C(1, v) =v.
Demostración.
C(u,0) =ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(0)) = 0,
por un argumento similar se tiene que C(0, v) = 0
C(u,1) =ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(1)) =ϕ[−1](ϕ(u)) = u,
Se tiene que la función C(u, v) tiene marginales y es anclada, pero para cumplir con la definición de cópula se tendrá que demostrar que C(u, v) es 2-creciente, para lo cual el Teorema 3.3 impone condiciones suficientes y necesarias sobre ϕ para que esto suceda, este resultado es considerado como uno de los más importantes hasta este momento y para demostrarlo es necesario introducir el Lema 3.2 y el Teorema 3.2. Finalmente el Corolario 3.1 reúne los resultados obtenidos.
Lema 3.2. Sea ϕ una función continua estrictamente decreciente de I a [0,∞] tal que
ϕ(1) = 0, y sea ϕ[−1] la pseudo-inversa de ϕ definida por la ecuación 3.3. Sea C una
función deI2 aIdada por C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u)+ϕ(v)).EntoncesC(u, v)es2−creciente
si y solo si para todo v en I,
C(u2, v)−C(u1, v)≤u2−u1 (3.5)
Siempre que u1 ≤u2.
Demostración. SiC(u, v)es 2-creciente y B = [u1, u2]×[v,1]se tiene que VC(B) es VC([u1, u2]×[v,1]) =C(u2,1)−C(u1,1)−C(u2, v) +C(u1, v)≥0
=C(u2, v)−C(u1, v)< u2 −u1.
Por otro lado se asume que C(u, v) cumple la ecuación 3.5 y se toma v1, v2 en Ital que v1 ≤ v2. Nótese que C(0, v2) = 0 ≤ v1 ≤ v2 = C(1, v2). Como C es continua (ya que ϕ y ϕ[−1] lo son) existe un t en I tal que C(t, v
2) = v1, lo cual se puede escribir como ϕ(v2) +ϕ(t) =ϕ(v1), entonces
C(u2, v1)−C(u1, v1) = ϕ[−1](ϕ(u2) +ϕ(v1))−ϕ[−1](ϕ(u1) +ϕ(v1))
= ϕ[−1](ϕ(u
2) +ϕ(v2) +ϕ(t))−ϕ[−1](ϕ(u1) +ϕ(v2) +ϕ(t))
= ϕ[−1]([ϕ(u
2) +ϕ(v2)] +ϕ(t))−ϕ[−1]([ϕ(u1) +ϕ(v2)] +ϕ(t))
= ϕ[−1]([ϕ[ϕ[−1][ϕ(u2) +ϕ(v2)]] +ϕ(t))−
ϕ[−1]([ϕ[ϕ[−1][ϕ(u
1) +ϕ(v2)]] +ϕ(t))
= C(C(u2, v2), t)−C(C(u1, v2), t)
≤ C(u2, v2)−C(u1, v2),
de lo cual se deduce que C es 2−creciente.
Definición 3.2(Función convexa).SeaBun intervalo no vacío ni reducido a un punto y f :B→R una función. Se dice que f es convexa si paraa, b∈B con a < b se verifica la siguiente condición:
f((1−l)a+lb)≤(1−l)f(a) +lf(b)
23
Figura 3.1: Función convexa
Definición 3.3 (Función midconvexa). Sea B un intervalo no vacío ni reducido a un punto y f :B→R una función. Se dice que f es midconvexa si para a, b∈B con a < b
se verifica la siguiente condición:
f
a+b
2
≤ f(a) +f(b) 2
Así, si una función es convexa también debe ser midconvexa, esto se hace tomando l= 12
en la definición 3.2.
Teorema 3.1. Sea B un intervalo no vacío ni reducido a un punto y f : B → R una función midconvexa, entonces
1. f a1+a2+···+an
2
≤ f(a1)+f(a2)+···+f(an)
2 , para n∈N, a1, a2, ..., an ∈B
2. f((1−l)a+lb)≤(1−l)f(a) +lf(b), para l ∈Q, a, b∈B
La demostración puede ser consultada en Kuczma [6]. Si una función es midconvexa y continua entonces es convexa, lo cual se vera en el siguiente teorema.
Teorema 3.2. Sea B un intervalo no vacío ni reducido a un punto y f : I → R una función midconvexa y continua. Entonces f es convexa.
Demostración. Romero [9] Seanx, y ∈By seaλ∈[0,1]. Seaλnuna sucesión de números racionales pertenecientes al intervalo cerrado [0,1]que converge a λ es decir
l´ım
Entonces por Teorema 3.1, se tiene que
f((1−λn)a+λnb)≤(1−λn)f(a) +λnf(b),
utilizando este hecho y dado que f es continua se obtiene
f((1−λ)a+λb) = f
l´ım
n→∞(1−λ)a+λb
= l´ım
n→∞f((1−λ)a+λb)
≤ l´ım
n→∞((1−λn)f(a) +λnf(b))
= ((1−λ)f(a) +λf(b)).
Es decir
f((1−λ)a+λb)≤(1−λ)f(a) +λf(b),
para todoa, b∈B y λ∈[0,1].
En este punto se puede exponer y probar el resultado más importante hasta el momento, en él se darán las condiciones necesarias y suficientes para que la función generada porϕ sea una cópula.
Teorema 3.3. Sea ϕ una función continua estrictamente decreciente de I a [0,∞] tal queϕ(1) = 0,y seaϕ[−1] la seudo-inversa definida por la ecuación 3.3 entonces la función C de I2 a I dada por la ecuación 3.4 es una cópula si y solo siϕ es convexa
Demostración. [7] Se ha mostrado queCes anclada y tiene marginales como consecuencia del Lema 3.1. Ahora se necesita probar que la ecuación 3.5 se cumple si y solo si ϕ es convexa (Note que ϕ es convexa si y solo siϕ[−1] es convexa) por ello se demostrará que ϕ[−1] es convexa. Obsérvese además que la ecuación 3.5 es equivalente a
u1+ϕ[−1](ϕ(u2) +ϕ(v))≤u2+ϕ[−1](ϕ(u1) +ϕ(v))
Para u1 ≤ u2, entonces si a = ϕ(u1), b = ϕ(u2), c = ϕ(v), entonces la ecuación 3.5 es equivalente a
ϕ[−1](a) +ϕ[−1](b+c)≤ϕ[−1](b) +ϕ[−1](a+c) (3.6) donde a ≥ b y c ≥ 0 debido a que ϕ es decreciente y que el rango de ϕ es positivo. Si se escoge cualquier s, t en [0,∞] talque 0 ≤ s < t. El conjunto a = (s+t)/2, b = s, y c= (t−s)/2 en la ecuación 3.6, se tiene
ϕ[−1]
s+t
2
+ϕ[−1]
s+ t−s 2
≤ϕ[−1](s) +ϕ[−1]
s+t
2 +
t−s
2
25
ϕ[−1]
s 2 + t 2 ≤ ϕ
[−1](s) +ϕ[−1](t)
2
ϕ[−1]((1−l)s+lt)≤(1−l)ϕ[−1](s) +lϕ[−1](t)
Con l = 1/2, como ϕ[−1] es mid-convexa, y como ϕ[−1] es continua se sigue que ϕ[−1] es convexa.
Ahora se asume queϕ[−1] es convexa, se fijaa, by cenItal quea≥b y c≥0y se define γ = (a−b)/(a−b+c). Luegoa= (1−γ)b+γ(a+c)yb+c=γb+ (1−γ)(a+c)y por lo tanto, reemplazando en la ecuación 3.6 y ya que ϕes convexa se obtienen las siguientes desigualdades.
ϕ[−1](a)≤(1−γ)ϕ[−1](b) +γϕ[−1](a+c)
ϕ[−1](b+c)≤γϕ[−1](b) + (1−γ)ϕ[−1](a+c)
Sumando las ecuaciones anteriores,
ϕ[−1](a) +ϕ[−1](b+c)≤ϕ[−1](b) +ϕ[−1](a+c)
Lo que completa la prueba.
Corolario 3.1. Sea ϕ una función convexa, continua, estrictamente decreciente de I a
[0,∞] tal que ϕ(1) = 0, y sea ϕ[−1] la pseudo-inversa de ϕ definida por la ecuación 3.3.
Sea C una función de I2 a I dada por C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v)). Entonces C(u, v) es una cópula.
Demostración. Se deduce de los lemas precedentes.
Las cópulas de la forma C(u, v) =ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v)) son llamadas cópulas arquime-dianas. La funciónϕes llamadagenerador de la cópula. Siϕ(0) =∞, se dice queϕes un generador estricto. En este caso,ϕ[−1] =ϕ−1 y C(u, v) = ϕ−1(ϕ(u) +ϕ(v))es llamada una cópula arquimediana estricta. Más precisamente la funciónϕes un generador aditivo deC.
En los siguientes dos lemas se verá comoQ
yW son cópulas arquimedianas, sin embargo la primera es estricta y la segunda no. Luego se enunciara un lema en el cual se presenta un discriminante sencillo pero útil para determinar cuando una cópula es arquimediana y se aplicara para mostrar que W no pertenece a dicha familia.
Lema 3.3. Q
es una cópula arquimediana estricta.
Demostración. Sea ϕ(t) = −lnt para t en [0,1]. Como ϕ(0) = ∞, ϕ es estricta, así ϕ[−1](t) =ϕ−1(t) = exp(−t), y generaC vía ecuación 3.4
C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v))
= exp(−[(−lnu) + (−lnv)]) = exp(lnuv)
= u·v
Así Q
es una cópula arquimediana estricta.
Lema 3.4. W es una cópula arquimediana (no estricta).
Demostración. Seaϕ(t) = 1−tparaten[0,1], luego parat ∈[0,1]se tiene queϕ[−1](t) =
1−t, y ϕ[−1](t) = 0 para t >1; es decir ϕ[−1](t) = m´ax(1−t,0). Usando la ecuación 3.4 C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v))
= 1−(1−u+ 1−v)
= u+v−1
= m´ax(u+v−1,0) = W(u, v)
Así W es también arquimediana pero no es estricta debido a que ϕ(0) 6=∞.
Saber si una cópula dada es arquimediana no parece una tarea sencilla sin embargo el si-guiente lema brinda un determinante para cumplir con este objetivo, y es una herramienta útil en este contexto.
Lema 3.5. Si C es una cópula arquimediana entonces para u∈(0,1), δC(u)< u.
Demostración. Dado que ϕes estrictamente decreciente en Ise tiene
0< u <1
ϕ(1)< ϕ(u)< ϕ(0)
ϕ(u) +ϕ(1) < ϕ(u) +ϕ(u)< ϕ(u) +ϕ(0)
aplicando lapseudo-inversa y debido a que esta es estrictamente decreciente en [0, ϕ(0)]
se tiene
ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(0))≤ϕ[−1](2ϕ(u))< ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(1))
dado que C es una cópula arquimediana y aplicando la definición de diagonal se tiene
C(u,0)≤C(u, u)< C(u,1) 0≤δC(u)< u.
Lo que termina la demostración.
Lema 3.6. M no es una cópula arquimediana.
27
El semi grupo abeliano
(
I
, C
)
Una cópula arquimediana actua como una operación binaria cerrada sobre el intervalo I, ya que si se toman dos elementos de I, como u y v y se aplica la operación binaria C(u, v)dicho resultado es de nuevo un elemento de I, por tanto el par (I, C) es cerrado. Por otro lado la posibilidad de escribir una cópula como la inversa de la suma de las transformaciones de las marginales F y Gderiva en las siguientes propiedades.
Teorema 3.4. Sea C una cópula arquimediana con generador ϕ, entonces:
1. C es simétrica; es decir, C(u, v) =C(v, u) para todo u, v en I.
2. C es asociativa, es decir, C(C(u, v), w) = C(u, C(v, w)) para todo u, v, w en I.
3. Si c > 0 es una constante, entonces cϕ también es un generador de C.
Demostración. SiC una cópula arquimediana con generadorϕ, entonces:
1. C(u, v) =ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v)) =ϕ[−1](ϕ(v) +ϕ(u)) =C(v, u) para todo u, v en I. 2. C es asociativa, para todo u, v, w en Ise tiene
C(C(u, v), w) = C(ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v)), w)
= ϕ[−1](ϕ(ϕ[−1][ϕ(u) +ϕ(v)] +ϕ(w))
= ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v) +ϕ(w))
= ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(ϕ[−1][ϕ(v) +ϕ(w)]))
= C(u, ϕ[−1](ϕ(v) +ϕ(w))
= C(u, C(u, w))
3. Si c >0 es una constante, entonces cϕ es también es una función continua, estric-tamente decreciente de Ia[0,∞]tal quecϕ(1) =c·0 = 0, con pseudo-inversaϕ[−1] dada por la ecuación 3.3 y comoϕ cumple que
ϕ((1−l)a+lb) ≤ (1−l)ϕ(a) +lϕ(b)
cϕ((1−l)a+lb) ≤ c[(1−l)ϕ(a) +lϕ(b)]
cϕ((1−l)a+lb) ≤ (1−l)(cϕ(a)) +l(cϕ(b))
Como consecuencia del Teorema 3.3, si se tuviera el interés de construir una cópula ar-quimediana solo se necesitaría encontrar una función que sirva como generador, esto es, funciones continuas convexas y decrecientes ϕdeIa[0,∞]con ϕ(1) = 0. El conjunto de dichas funciones se denotará con la letra Ω.
Por el Teorema 3.4 se tiene que la operación C es conmutativa y asociativa es decir, el par (I, C) es un semi grupo abéliano.
Propiedad arquimediana
Si se piensa en un número real b lo suficientemente grande y a su vez se elige un número real positivoasuficientemente pequeño entonces será posible encontrar un número entero n tal que na > b, esta propiedad se conoce como la propiedad arquimediana de los números reales, la que formalmente es
Definición 3.4. Si a >0y si b es un número real arbitrario, existe un entero positivon
tal que na > b.
La propiedad anterior también se conoce como Axioma de Arquímedes y puede encon-trarse en muchas estructuras matemáticas, Ling [8] introduce una versión análoga para el semi grupo abeliano(I, C)de la propiedad arquimediana de los números reales en el con-texto de las cópulas, lo que origina el adjetivo “arquimediano”, para estudiar esta versión análoga es necesario definir aun
C la cual se conoce como laC-potencia de u. Definición 3.5. un
C =C(u, u n−1
C ) yu1c =u. Lema 3.7. La C-potencia de u cumple que
unC =ϕ[−1](nϕ(u))
Demostración. La prueba de este lema se hace por inducción sobren, primero se prueba para n= 2 entonces
u2C =C(u, u1C) = C(u, u) = ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(u)) =ϕ[−1](2ϕ(u)).
Supóngase cierto para n
unC =C(u, unC−1) = ϕ[−1](nϕ(u)).
Ahora se demuestra para n+ 1
un+1C = C(u, unC)
= C(u, ϕ[−1](nϕ(u)))
= ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ[ϕ[−1](nϕ(u))]
= ϕ[−1](ϕ(u) +nϕ(u))
29
Así la n-esima C-potencia de u es ϕ[−1](nϕ(u)).
La C-potencia de u puede ser definida para cualquier u en I, además la propiedad ar-quimediana para cópulas dice que para cualquier dos números u, v en (0,1), existe un número entero positivo n tal que un
C < v. Lo cual se formaliza en el siguiente teorema.
Teorema 3.5. Sea C una cópula arquimediana generada por ϕ en Ω. Entonces para cualquier u, v en I, existe un entero positivo n talque un
C < v.
Demostración. Seanu, vcualquier par de elementos deI. Comoϕ(u)yϕ(v)son números reales positivos, aplicando la propiedad arquimediana para números reales, se tiene que existe un número entero n tal que
nϕ(u)> ϕ(v),
aplicando ϕ[−1] a ambos lados y dado que es una función decreciente, se tiene que v =ϕ[−1](ϕ(v))> ϕ[−1](nϕ(u)) =unC,
es decir
unC < v.
La convexidad de ϕno es requerida en esta demostración, además siv >0 y dado queϕ es estrictamente decreciente en I implica que ϕ(0) > ϕ(v), entonces por la definición de pseudo-inversa, se tiene que ϕ[−1](ϕ(v))6= 0, lo que completa la demostración.
Para concluir este capítulo se introducen una definición y un teorema de los cuales se deduce el algoritmo que nos permitirá generar pares de la forma (u, v) cuya función de distribución conjunta es una cópula arquimediana.
Definición 3.6. Sean U, V variables aleatorias que se distribuyen uniforme (0,1) cuya función de distribución conjunta es una cópula arquimediana C generada por ϕ en Ω. Entonces la función
KC(t) =t− ϕ(t)
ϕ0(t)
es la función de distribución de la variable aleatoria C(U, V).
Teorema 3.6. Sean U, V variables aleatorias que se distribuyen uniforme (0,1) cuya función de distribución conjunta es una cópula arquimedianaC generada por ϕen Ω. La función de distribución conjunta H(s, t) de las variables aleatorias
S = ϕ(U)
ϕ(U) +ϕ(V)
T =C(U, V)
esta dada por
H(s, t) = s·KC(t)
= s·
t− ϕ(t)
ϕ0(t)
para todo (s, t) ∈ I2. Por lo tanto S y T son independientes, y S esta uniformemente distribuido sobre (0,1).
La demostración de este teorema puede ser encontrada en [7] pág. 130. Ahora desarro-llando los pasos del algoritmo sugerido en [7] pág. 134 se tiene
1. Generar las variables aleatorias S y T que se distribuyen uniformes (0,1) y cuyos elementos se representan cons y t respectivamente.
2. Definir un generador aditivo ϕ, para este código se tomara ϕ(t) = (1−t)θ
3. Hallar la pseudo-inversa ϕ[−1](t), que es igual a1−t1θ para este caso.
4. Hallar la derivada de ϕ, para este código será ϕ0(t) = θ(1−t)θ−1
5. Construir
KC(t) = t− ϕ(t)
ϕ0(t) =t−
(1−t)θ
θ(1−t)θ−1 =t−
1−t θ
6. Ahora hallar la inversa de la función KC(t) que se notara con w es decir
w=KC−1(t) = tθ+ 1
θ+ 1
7. Hacer u=ϕ[−1](sϕ(w))es decir
u= 1−pθ
sϕ(w) = 1− θ
s
s
1− tθ+ 1
θ+ 1
θ
= 1−√θ
s·
1− tθ+ 1
θ+ 1
8. Ahora hacer v =ϕ[−1]((1−s)ϕ(w))es decir
v = 1−pθ
(1−s)ϕ(w) = 1− θ
s
(1−s)
1− tθ+ 1
θ+ 1
θ
= 1−pθ
(1−s)·
1− tθ+ 1
θ+ 1
31
La cópula generada por ϕ(t) = (1−t)θ es:
C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v))
= 1−pθ
ϕ(u) +ϕ(v)
= 1−pθ
(1−u)θ+ (1−v)θ]
= 1−
(1−u)θ+ (1−v)θ
1
θ
= m´ax1−
(1−u)θ+ (1−v)θ
1
θ ,0
A continuación se verán las gráficas de C(u, v) variando el parámetro θ, en orden de izquierda a derecha se tienen θ = 1,1, θ= 2, θ= 8,θ = 50
33
Al variar el ángulo de las gráficas sin modificar el parámetro θ, es decir en orden de izquierda a derecha θ = 1,1, θ= 2,θ = 8, θ = 50 se obtiene
1. El par (I, C) posee una estructura matemática de semi grupo abeliano, lo que implica que los elementos que pertenecen aIjunto con la operaciónC, cumplen las propiedades de cerradura, asociatividad y conmutatividad.
2. Para que la ecuación C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v))genere una cópula, es necesario que la función ϕ sea convexa, continua y estrictamente decreciente deI a [0,∞] y que además se cumpla que ϕ(1) = 0. Donde ϕ[−1] es la pseudo-inversa de ϕ.
3. Se tiene que dada C una cópula arquimediana generada porϕenΩy cualquieru, v en I, existe un entero positivo n talque un
ANEXOS 35
Anexos
Bibliografía
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