Si se piensa en un número real b lo suficientemente grande y a su vez se elige un número real positivoasuficientemente pequeño entonces será posible encontrar un número entero n tal que na > b, esta propiedad se conoce como la propiedad arquimediana de los números reales, la que formalmente es
Definición 3.4. Si a >0y si b es un número real arbitrario, existe un entero positivon
tal que na > b.
La propiedad anterior también se conoce como Axioma de Arquímedes y puede encon- trarse en muchas estructuras matemáticas, Ling [8] introduce una versión análoga para el semi grupo abeliano(I, C)de la propiedad arquimediana de los números reales en el con- texto de las cópulas, lo que origina el adjetivo “arquimediano”, para estudiar esta versión análoga es necesario definir aun
C la cual se conoce como laC-potencia de u. Definición 3.5. un
C =C(u, u n−1
C ) yu1c =u. Lema 3.7. La C-potencia de u cumple que
unC =ϕ[−1](nϕ(u))
Demostración. La prueba de este lema se hace por inducción sobren, primero se prueba para n= 2 entonces
u2C =C(u, u1C) = C(u, u) = ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(u)) =ϕ[−1](2ϕ(u)). Supóngase cierto para n
unC =C(u, unC−1) = ϕ[−1](nϕ(u)). Ahora se demuestra para n+ 1
un+1C = C(u, unC)
= C(u, ϕ[−1](nϕ(u)))
= ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ[ϕ[−1](nϕ(u))] = ϕ[−1](ϕ(u) +nϕ(u))
29 Así la n-esima C-potencia de u es ϕ[−1](nϕ(u)).
La C-potencia de u puede ser definida para cualquier u en I, además la propiedad ar- quimediana para cópulas dice que para cualquier dos números u, v en (0,1), existe un número entero positivo n tal que un
C < v. Lo cual se formaliza en el siguiente teorema. Teorema 3.5. Sea C una cópula arquimediana generada por ϕ en Ω. Entonces para cualquier u, v en I, existe un entero positivo n talque un
C < v.
Demostración. Seanu, vcualquier par de elementos deI. Comoϕ(u)yϕ(v)son números reales positivos, aplicando la propiedad arquimediana para números reales, se tiene que existe un número entero n tal que
nϕ(u)> ϕ(v),
aplicando ϕ[−1] a ambos lados y dado que es una función decreciente, se tiene que v =ϕ[−1](ϕ(v))> ϕ[−1](nϕ(u)) =unC,
es decir
unC < v.
La convexidad de ϕno es requerida en esta demostración, además siv >0 y dado queϕ es estrictamente decreciente en I implica que ϕ(0) > ϕ(v), entonces por la definición de pseudo-inversa, se tiene que ϕ[−1](ϕ(v))6= 0, lo que completa la demostración.
Para concluir este capítulo se introducen una definición y un teorema de los cuales se deduce el algoritmo que nos permitirá generar pares de la forma (u, v) cuya función de distribución conjunta es una cópula arquimediana.
Definición 3.6. Sean U, V variables aleatorias que se distribuyen uniforme (0,1) cuya función de distribución conjunta es una cópula arquimediana C generada por ϕ en Ω. Entonces la función
KC(t) =t− ϕ(t)
ϕ0(t)
es la función de distribución de la variable aleatoria C(U, V).
Teorema 3.6. Sean U, V variables aleatorias que se distribuyen uniforme (0,1) cuya función de distribución conjunta es una cópula arquimedianaC generada por ϕen Ω. La función de distribución conjunta H(s, t) de las variables aleatorias
S = ϕ(U)
ϕ(U) +ϕ(V)
T =C(U, V)
esta dada por
H(s, t) = s·KC(t) = s· t− ϕ(t) ϕ0(t)
para todo (s, t) ∈ I2. Por lo tanto S y T son independientes, y S esta uniformemente distribuido sobre (0,1).
La demostración de este teorema puede ser encontrada en [7] pág. 130. Ahora desarro- llando los pasos del algoritmo sugerido en [7] pág. 134 se tiene
1. Generar las variables aleatorias S y T que se distribuyen uniformes (0,1) y cuyos elementos se representan cons y t respectivamente.
2. Definir un generador aditivo ϕ, para este código se tomara ϕ(t) = (1−t)θ
3. Hallar la pseudo-inversa ϕ[−1](t), que es igual a1−t1θ para este caso.
4. Hallar la derivada de ϕ, para este código será ϕ0(t) = θ(1−t)θ−1 5. Construir KC(t) = t− ϕ(t) ϕ0(t) =t− (1−t)θ θ(1−t)θ−1 =t− 1−t θ
6. Ahora hallar la inversa de la función KC(t) que se notara con w es decir
w=KC−1(t) = tθ+ 1 θ+ 1 7. Hacer u=ϕ[−1](sϕ(w))es decir u= 1−pθ sϕ(w) = 1− θ s s 1− tθ+ 1 θ+ 1 θ = 1−√θ s· 1− tθ+ 1 θ+ 1
8. Ahora hacer v =ϕ[−1]((1−s)ϕ(w))es decir
v = 1−pθ (1−s)ϕ(w) = 1− θ s (1−s) 1− tθ+ 1 θ+ 1 θ = 1−pθ (1−s)· 1− tθ+ 1 θ+ 1
31
La cópula generada por ϕ(t) = (1−t)θ es: C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v)) = 1−pθ ϕ(u) +ϕ(v) = 1−pθ (1−u)θ+ (1−v)θ] = 1− (1−u)θ+ (1−v)θ 1 θ = m´ax1− (1−u)θ+ (1−v)θ 1 θ ,0
A continuación se verán las gráficas de C(u, v) variando el parámetro θ, en orden de izquierda a derecha se tienen θ = 1,1, θ= 2, θ= 8,θ = 50
33 Al variar el ángulo de las gráficas sin modificar el parámetro θ, es decir en orden de izquierda a derecha θ = 1,1, θ= 2,θ = 8, θ = 50 se obtiene
1. El par (I, C) posee una estructura matemática de semi grupo abeliano, lo que implica que los elementos que pertenecen aIjunto con la operaciónC, cumplen las propiedades de cerradura, asociatividad y conmutatividad.
2. Para que la ecuación C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) +ϕ(v))genere una cópula, es necesario que la función ϕ sea convexa, continua y estrictamente decreciente deI a [0,∞] y que además se cumpla que ϕ(1) = 0. Donde ϕ[−1] es la pseudo-inversa de ϕ.
3. Se tiene que dada C una cópula arquimediana generada porϕenΩy cualquieru, v en I, existe un entero positivo n talque un
C < v, lo cual es una versión análoga del axioma de Arquímedes para el semi grupo abeliano(I, C).
ANEXOS 35
Anexos
Bibliografía
[1] Alsina C, Frank MJ, Schweizer B.Associative Functions on Intervals: A Primer of Triangular Norms, World Scientific, Hackensack, 2005.
[2] Blanco Castañeda, Liliana,Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications, Primera edición, John Wiley & Sons, Inc. New Jersey, Estados Unidos, 2012.
[3] Chavarro, Diana M. Método para elegir una cópula arquimediana óptima, Uni- versidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Departamento de Estadística, Bogotá, Colombia, 2012.
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[5] Genest, Rivest L. Statistical Inference Procedures for Bivariate Archimedean Co- pulas. Journal of the American Statistical Association, Vol. 88, Num. 423, 1993. [6] Kuczma, Marek,An Introduction to the Theory of Funcional Equations and Inequa-
lities. Cauchy’s Equation and Jensen’s Inequality, Segunda edición, Birkh ause, Basel- Boston-Berlin, 2000.
[7] Nelsen, Roger B., An Introduction to Copulas, Segunda edición, Springer Scien- ce+Business Media, Inc , Portland, Estados Unidos, 2006.
[8] Ling,Representation of associative functions.Publicationes Mathematicae Debrecen 12. 1965.
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