PROPORTIONNALITÉ ET POURCENTAGES
Objectifs :
a) Distinguer des situations de proportionnalité et de non proportionnalité. b) Savoir déterminer les coefficients de proportionnalité.
c) Représenter des situations réelles selon modèles de proportionnalité d) Utiliser, calculer et déterminer un pourcentage
Contenido
1. POUR BIEN COMMENCER_______________________________________________________2
2. GRANDEURS DIRECTEMENT PROPORTIONNELLES___________________________________3
Définition:__________________________________________________________________________3 Activités d’application________________________________________________________________4
3. POURCENTAGES______________________________________________________________6
Exemple 1 (Calcul constructif)__________________________________________________________6 Exemple 2 (Calcul systématique):_______________________________________________________7 Pourcentage et proportionnalité :_______________________________________________________8 Définition :________________________________________________________________________________9 Activités____________________________________________________________________________9
4. PROPORTIONNALITÉ INVERSE__________________________________________________10
Définition :________________________________________________________________________10
5.- EXERCICES DE L’UNITÉ________________________________________________________11
6.- LA RÈGLE de TROIS___________________________________________________________14
1. POUR BIEN COMMENCER
Les solides ci-dessous ont tous deux bases superposables colorées. Observez et complétez les tableaux 1 et 2.:
Tableau 1
Tableau 2
Puis complétez les tableaux suivants
Tableau 3 : Michelle et Lucie sont deux sœurs (observez la différence d’ âge et complétez) :
Quand l’âge de Michelle est de
6 9 20
Solide A B C
Nombre de côtés du polygone de la base Nombre total de faces
Solide A B C
L’âge de Lucie est de 10 20
Tableau 4:Dans une fête populaire, voici les prix de tours d’auto-tamponneuse
Nombre de tickets achetés 1 5 15 20
Pour chacun des tableaux, observez les nombres des lignes, existe-il un procédé de calcul pou passer d’une ligne à l’autre ? Si oui, lequel ?
2. GRANDEURS DIRECTEMENT PROPORTIONNELLES
Définition:
Dire que deux grandeurs sont directement proportionnelles signifie que l’on peut calculer l’une à partir de l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.
Parmi les grandeurs qui forment les quatre tableaux antérieurs, lesquelles sont directement proportionnelles ? Pourquoi ?
OUI :
NON :
Dans le tableau 1:
Dans le tableau 2:
Dans le tableau 3:
Dans le tableau 4:
Celles du tableau ___. Parce qu’on obtient le nombre total d’arêtes en
multipliant le nombre de ________________ de la base par___. Le
coefficient de proportinalité est ____
Celles des tableaux ______. Parce que on n’obtient pas les nombres de la
deuxième ligne en _________________ les nombres de la première ligne par
Activités d’application
Exercice 1 :
a) Le prix d’une baguette est de 0`70 euros, alors complétez le tableau ci-dessous en appliquant le concept de proportionnalité:
Coefficient
On dit que le prix est ________________________au _______________ ___________________ achetées
b) Complétez le tableau :
Coefficient
Donc le ______________________ est directement proportionnel à la __________________________. Le coefficient de proportionnalité est ______.
Exercice 2: Proposez des exemples de grandeurs directement proportionnelles et non proportionnelles
1) Des grandeurs proportionnelles :
a) La grandeur ___________________ est directement proportionnelle à la grandeur ____________________________. Le coefficient de proportionnalité est __________
b) La grandeur ___________________ est directement proportionnelle à la grandeur _____________________________. Le coefficient de proportionnalité est __________
c) La grandeur ___________________ est directement proportionnelle à la grandeur _____________________________. Le coefficient de proportionnalité est __________
2) Des grandeurs non proportionnelles :
a) La grandeur, nombre d’heures étudiées, n’est pas proportionnelle à la grandeur, nombre de matières ratées.
Nombre de baguettes 1 3 7 10
Prix total en euros
Longueur d’un côté du carré
en cm 4 7 8 15
b) La grandeur ___________________ n’est pas proportionnelle à la grandeur ____________.
c) La grandeur ___________________ n’est pas proportionnelle à la grandeur ____________.
d) La grandeur ___________________ n’est pas proportionnelle à la grandeur ____________.
Exercice 3 : Les grandeurs x, y des tableaux suivants sont directement proportionnelles. Indiquez le coefficient de proportionnalité et complétez les cases vides.
a)
Coefficient
b)
Coefficient
c)
Coefficient
Exercice 4 : Anne achète 2’2 m de tissu et paie 36’30 є. Sachant que le prix est directement proportionnel à la longueur du tissu acheté, combien paiera-t-elle pour 7’5 m du même tissu ? Et pour 10 m, 15m et 20m ? Combien coûte 1 m de tissu ? Construisez un tableau de proportionnalité pour le résoudre.
Solution :
x 4 5 30’5
y 16 30 40
x 2 5 20’5
y 5 15 20’5
x 9 15 60
3. POURCENTAGES
Exemple 1
(
Calcul constructif)
Imaginez un terrain de 2000 m2. On désire que 30% du terrain soit utilisé pour planter des choux. Combien de m2 seront-ils occupés par les choux ?
1.- Nous ferons les calculs d’une manière constructive :
a) 30%, ça veut dire que pour chaque 100 m2, 30 m2 seront utilisés par des choux.
Alors, nous divisons 2000 : 100 = 20
Donc nous pourrions faire 20 parcelles de 100 m2 chacune.
b) Comme dans chaque parcelle de 100 m2, 30 m2 sont de choux (le petit carré vert), alors pour obtenir le nombre total de m2 cultivés avec des choux on fait 20 x 30 = 600 m2.
Résultat 600 m2
Observez : en premier on a divisé par 100 et après on a multiplié par 30 2.- Complétez le schéma suivant:
Exemple 2
(Calcul systématique)
:
En suivant le schéma antérieur, complétez :
a) Pour calculer 25% de 2500, on fait :
b) Pour calculer 45 % de 356, on fait :
c) Maintenant, complétez et résolvez :
Pourcentage et proportionnalité :
Exercice 5 :
En période de soldes un magasin de meubles fait une remise de 15% sur tous ses articles. Complétez le tableau ci-dessous :
Prix initial 450 500 1500 2320
Remise en є
Prix final en є
a) Existe-t-il un coefficient de proportionnalité entre le prix initial et la remise de 15% ? Si oui, lequel ?
b) Existe-t-il un coefficient de proportionnalité entre le prix initial et le prix final ? Si oui, lequel ?
c) Le prix final est un pourcentage du prix initial, lequel ?
d) Il y a une relation très facile et directe entre le pourcentage de la remise et le pourcentage du prix final, laquelle ?
Définition :
Un pourcentage est un coefficient de _________________ directe de dénominateur _______.
Activités
Quantité initial
Pourcentage à calculer
Par la méthode : a)Constructive
b)En multipliant directement
Résultat
1200 15%
1200 :100= 12 c’est 1% de 1200 Donc 15% serait : 12x15= 174
174
15/100 = 0,15 1200 x 0,15=174
2000 35%
3420 57%
20% 150
_________x 0.20= 150
3010 301
3010x ______= 301
5700 x 0.35=
4. PROPORTIONNALITÉ INVERSE
Existe-t-il ?
C’est un tableau de proportionnalité directe? Pourquoi?
Est-ce que tu trouves une relation entre les nombres des deux lignes ? Laquelle ?
Nous disons que les grandeurs, nombre d’élèves qui font l’excursion et le prix que chacun doit payer, sont inversement proportionnelles.
Observez : plus le nombre d’élèves augmente, plus le prix à payer par chacun des élèves diminue.
Ou à l’inverse, moins il y a d’élèves, plus le prix augmente pour chaque élève.
Définition :
Dire que deux grandeurs sont inversement proportionnelles signifie que le ____________ des deux est toujours le ______________.
Exercice 7 : Pour faire un travail un enfant doit mettre 8 heures. Mais il n’a que 2 heures pour finir. Complète le tableau et réponds :
Combien d’amis l’aident pour finir le travail en 2 heures ?
_____________
5.- EXERCICES DE L’UNITÉ
Exercice 8 : Exprimer chaque fraction sous forme d’un pourcentage :
2/10 = 0,2 ---- 20% 6/25 = --- % 7/20 = ---- 9/200= --- %
Nombre
d’élèves 20 25 50
Prix par
personne 100 80 50
Nombre d’amis 1 2 3
Heures employés
Exercice 9 : Calculer mentalement
a) 25% de 200 = b) 50% de 1500= c) 20% de 1200= d) 10% de 342 =
Exercice 10: Oralement Dans la cour de récréation, avant le cours de mathématiques on entend les affirmations suivantes. Que peut-on en penser ?
a) Lorsque l’on double les proportions d’un gâteau on double aussi le temps de cuisson.
b) Le poids d’une personne est proportionnel à sa taille
c) Quand on double les longueurs des côtes d’un triangle, la mesure de chacun de ses angles est aussi doublée.
d) Lorsque l’on multiplie les longueurs des côtes d’un carré par 3, alors le périmètre est lui aussi multiplié par trois.
e) Une plante pousse deux fois plus vite si lui donne deux fois plus d’eau.
f) Lorsqu’on dit que 30% de la population est âgée de moins de 25 ans, cela veut dire que sur les 100 personnes de mon immeuble il y a 30 personnes qui ont moins de 25 ans.
Exercice 11 : Voici les tarifs pratiqués par un manège de chevaux de bois :
Le prix est-il proportionnel au nombre de tours ? Justifier.
Solution :
OUI ou NON, parce que
Exercice 12 : Au cours de l’année 2006 une famille a commandé trois fois du charbon à la même société.
Date 13/01 28/02 24/07
Mase de charbon (en kg) 60 70 100 Nombre de tours 3 6 10
Prix (en €) 31’2 36’4 49
Le prix est-il proportionnel à la masse de charbon livrée ? Justifier.
OUI ou NON, parce que
Exercice 13 : Une compagnie de soldats veut construire un pont militaire sur la Seine. On sait que 50 soldats finiraient en 10 jours. Alors :
a) Complétez la table :
Nombre de soldats 50 1 100 70
Nombre de jours 10 5
b) Les grandeurs sont-elles proportionnelles ? De quelle forme ?
c) Quelle est la constante de proportionnalité ? (coefficient de proportionnalité)
d) Si l´on veut finir en moins de 7 jours, combien des soldats faut-il?
Exercice 14 : Le tableau ci-dessous présente les dimensions de quelques billets en euros :
Valeur du billet 5 € 10 € 20 € 50 € 100 €
Longueur (en mm) 120 127 133 140 147
Largeur (en mm) 62 67 72 77 82
Exercice 15 : Un rectangle a une longueur de 9 cm. Si on varie la largeur, complétez le tableau :
Largeur du rectangle (en cm) 3 4 5 8 10 Aire (en cm2)
a) Y a-t-il proportionnalité entre la largeur et l’aire d’un rectangle avec une longueur fixe ? Quel est le coefficient de proportionnalité ?
Exercice 16 : Lorsqu’il est 1 h du matin à Berlin, il est, ce même jour, 8 h du matin à Pékin.
a) Complétez le tableau ci-dessous
Heure de Berlin 03h 00 15 h 00
Heure de Pekin 12 h 00 23h 30
b) Ce tableau représente-t-il des grandeurs proportionnelles? Justifier
6.- LA RÈGLE de TROIS
Exercice 16 : Les tableaux suivants représentent des grandeurs de proportionnalité directe ou inverse. Pour chacun d’eux, calculez les valeurs manquantes « x, y, u,……».
6.1 Directe:
On peut faire :
Grandeur A 3 x
a)
12 :3= 4 ; 20 :4= 5
b) 12x=3 20 x=
c) Les produits en croix sont égaux : 3 x=
6.2 Inverse:
Le produit ordonné des grandeurs est-il constant (le coefficient)
Solution :
3
Solution :
Solution :
Règle de trois:
Lorsqu’on résout un problème en appliquant les modèles antérieurs, relatifs aux concepts de proportionnalité directe ou inverse, alors nous disons qu’on applique une règle à trois directe ou inverse.
Grandeur A Grandeur B
5 y
7 21
Solution :
Grandeur A 3 x
Grandeur B 12 20
Grandeur A 5 15
Grandeur B 12 y
Grandeur A Grandeur B
3 12
MAIS ATTENTION, CE QUI EST LE PLUS IMPORTANT EST COMPRENDRE UNE SOLUTION CONSTRUCTIVE.
Exercice 17 : Une machine remplit 750 bouteilles dans un quart d’heure, combien de temps faut-il pour remplir 1000 bouteilles ?
Solution constructive : on travaille en minutes
a) Nombre de bouteilles en une minute? 750 : 15 = 50 bouteilles par minute
b) Alors, pour remplir 1000 bouteilles il faut 1000 : 50 = 20 minutes
Règle à trois ou proportionnalité
a) On construit le tableau ou structure similaire et on détermine le type de proportionnalité.
Dans ce cas la proportionnalité directe parce que : plus on remplit de bouteilles plus
il nous faut de temps
Nombre de bouteilles 750 1000 750 ou
Minutes nécessaires 15 x
Exercice 18 : Trois travailleurs nettoient un parc en 7 heures. Combien de temps mettraient, 10 travailleurs, pour faire le travail ?
Solution constructive :
a) Temps nécessaire pour un seul travailleur :
Parce qu’un travailleur a besoin de trois fois plus heures que trois travailleurs b) Si un travailleur met 21 heures, dix travailleurs mettront dix fois moins
21 :10= 2’1 heures
Règle à trois ou proportionnalité
a) On construit le tableau ou structure similaire et on détermine le type de proportionnalité.
Dans ce cas la proportionnalité est inverse puisque plus il y a travailleurs moins il
nous faut de temps
Nombre de travailleurs 3 10
7.- PLUS D’EXERCICES DE L’UNITÉ
Exercice 19 : Un grand terrain à bâtir est vendu en différents lots. Le prix est proportionnel à la surface des lots. Sachant qu’un lot de 670 m2 est vendu au prix de 83750 € :
a) Quel est le prix d’ un lot de 1000 m2 ?
b) Quelle est la surface d’un lot vendu 110000 €?
Exercice 20 : La préparation d’un engrais liquide nécessite de diluer 20 g d’engrais en poudre dans 6 litres d’eau.
a) Quelle masse d’engrais en poudre doit-on diluer dans 21 litres d’eau?
b) À la suite d’une mauvaise manipulation, 80 g d’engrais en poudre ont été dilués dans 21 litres d’eau. Que doit-on faire pour obtenir le bon dosage?
Exercice 21: Cent grammes de pommes de terre cuites à l’eau apportent 85 calories.
a) Combien de calories apportent 135 grammes de pommes de trre cuites?
Exercice 22: On ne peut pas fabriquer un bijou avec de l’or pur. Lorsqu’un bijou porte l’indication de « or 18 carats » cela signifie que dans 24 g de cet alliage il y a 18 g d’or pur. Les autres éléments de l’alliage donnent la couleur et la résistance au bijou.
a) Quelle est la masse d’or pur nécessaire à la réalisation d’une alliance de 19 g portant l’indication or 18 carats ?
b) Quelle masse d’un tel alliage peut-on réaliser si l’on dispose de 4,26 g d‘or pur ? c) L’indication « or 18 carats » est parfois remplacée par l’indication « or 750
millièmes ». Pourquoi ?
Exercice 23 : Un forfait de ski coute 800 euros pour toute la saison et bien sur tu peux y aller autant de fois que tu veux. Alors :
a) Complétez le tableau :
Nombre de jour qu´ on
est allé skier 1 10
Prix que tu paies pour
chaque journée 800 50 40
c) Si le forfait pour un jour coûte 35 euros, combien de jours faut-il y aller pour que le forfait de toute la saison soit moins cher que payer chaque fois qu´on monte ?
Exercice 24 : En physique on appelle concentration massique d’une solution, la masse de soluté que l’on a dissoute dans un litre d’eau.
a) Une solution de glucose a une concentration massique de 10 g/l (10 g de glucose dans un litre d’eau). Combien de grammes de glucose trouve-t-on dans 5 ml d’une telle solution ?
b) On dispose de 12 g de sulfate de potassium et on désire fabriquer une solution de sulfate de potassium de concentration massique 10 g/l. Quel volume d’eau faut-il ajouter au produit pour obtenir une solution avec cette concentration ?
Exercice 25 : Le corps humain contient environ 5 litres de sang. Le sang contient 83% d’eau. Calcule le volume d’eau approximatif contenu dans le sang du corps humain.
Exercice 26 : La distance entre Grenada et Madrid en train est de 500 km approximativement, donc si la vitesse du train est 100 km/h de moyenne on arrive en 5 heures. Construis un tableau avec les grandeurs temps du voyage – vitesse du train, pour répondre aux suivantes questions :
a) Quelle vitesse faut-il pour réaliser le voyage en 4 heures ?
Exercice 27 : En septembre, les salaires ont augmenté de 1’4%. De combien augmente un salaire de 2000 euros ?
Exercice 28 : Pour réaliser un cocktail de fruits, on verse successivement : 9 cl de jus de pamplemousse
15 cl de jus de goyave 36 cl de jus d’orange.
Déterminer le pourcentage de chacun des jus de fruits utilisés pour réaliser ce cocktail.
Exercice 29 : Adrien pèse 39 Kg. Son corps compte 26 Kg d’eau.
a) Quel pourcentage de la masse totale, l’eau représente-t-elle ?
Exercice 30 : À la fin de l’année scolaire, la documentaliste du collège Albert Camus constate que 27 des 450 livres de français sont abîmés. Sa collègue du collège George Sand compte 38 livres abîmés parmi les 650 livres de français.
