Sobre algunas categorías de acciones parciales sobre anillos

Sobre Algunas Categor´ıas de Acciones Parciales

Sobre Anillos

Proyecto de grado para optar al t´ıtulo de

Profesional en Matem´aticas con ´Enfasis en Estad´ıstica

Yenny Carolina Molano Casta˜

no, c´

odigo 070250072009

Jessenia Ivonne Quintero G¨

uiza, c´

odigo 070250082009

Director

Jes´

us Antonio ´

Avila

Profesor de tiempo completo del Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica

Universidad del Tolima

Facultad de Ciencias

Departamento de Matem´

aticas y Estad´ıstica

Programa de Matem´

aticas con ´

enfasis en Estad´ıstica

tf

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS

PROGRAMA DE MATEMÁTICAS CON _{ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA}

ACTA _{DE SUSTENTACIÓN TRABAJO DE GRADO}

TÍTuIo:

SoBRE ALGUNAS

ceTeconÍAs

DE ACCIoNES PARCIALES SoBRE

ANILLOS

-AUTORES: YENNY CAROLINA MOLANO, CÓOICO O7O25OA72OO}

J ESSENTA IVoNNE eu INTERo,

cóotco

070250082009

DIRECTOR: JESÚS ANTONTO _ÁVruA CUZVTÁTV

JURADOS: YADIRA CAICEDO BRAVO

nÉcron

prNEDo _rAprA

CALIFICACIÓN: 4.6 (Cuatro punto Seis)

_X_APROBO

REPROBO

OBSERVACIONES: TRABAJO MERTTORIO

FIRMAS

ñ

//¿rtar

Pt na¿,,

t--HECTOR PINEDO TAPIA jurado 2

\o6.

VILA GU

DIRA CAICEDO BRAVO

Director del Trabajo _{Director del Programa}

Advertencia

“La Facultad de Ciencias y el jurado calificador, no son responsables de los

con-ceptos ni ideas expuestas por los autores del siguiente trabajo”(Art´ıculo 11, acuerdo

Acuerdo 006 del Consejo Acad´emico de la Universidad del Tolima por el cual

adop-ta la norma ICONTEC relacionada con presenadop-taci´on de Tesis y Trabajos de Grado.

Art´ıculo Cuarto

Los autores autorizan a la Universidad del Tolima la reproducci´on total o parcial

de este documento, con la debida cita de reconocimiento de la autor´ıa y cedemos

a la Universidad los derechos patrimoniales, con fines de investigaci´on, docencia e

institucionales, consagrados en el art´ıculo 72 de la ley 23 de 1982 y las normas que lo

Dedicatorias

Agradecimentos

A Jes´us Antonio ´Avila por su apoyo, su paciencia y motivaci´on constante para la

culminaci´on de nuestros estudios profesionales y para la elaboraci´on de este trabajo

de grado.

A Ivonne ya que sin su ayuda y paciencia este proceso hubiese sido muy lento y no

tan productivo.

A todos aquellos que participaron de manera directa o indirecta en la elaboraci´on de

Resumen

Sobre Algunas Categor´ıas de Acciones Parciales Sobre Anillos

En este trabajo se presentan algunos aspectos te´oricos de la categor´ıa de acciones

par-ciales de grupos sobre anillos. En particular, se caracterizan los productos, igualadores

y pullbacks de esta categor´ıa. Adem´as se introducen dos subcategor´ıas importantes

como son la categor´ıa de acciones parciales globalizables sobre anillos y la

respecti-va categor´ıa de acciones globales. Finalmente, se hace un estudio de los productos,

igualadores y pullbacks de estas dos subcategor´ıas, donde se prob´o que estas nociones

coinciden con los de la categor´ıa mayor.

Palabras Claves: Categor´ıa, subcategor´ıa, producto, igualador, pullback, acci´on par-cial de grupos sobre anillos, acci´on global de grupos sobre anillos, acci´on parpar-cial

Abstract

About Some Partial Actions on Categories of Rings12

In this work we present some theoretical aspects of the category of partial actions of

groups on rings. Specifically we characterize the product, equalizer and pullback of

this category. Finally, we study two important subcategories like the category of the

partial actions on rings and the respective category of global actions, showing that

products, equalizers and pullbacks are equal in these three categories.

Objetivos

Objetivos

Definir la categor´ıa G−pAni a partir de las acciones parciales de grupos sobre

un anillo con unidad y de los homomorfismos que preservan esta estructura.

Caracterizar los productos, igualadores y pullbacks en la categor´ıa

G−pAni.

Definir la categor´ıaG−pgAnia partir de acciones parciales globalizables sobre

un anillo con unidad y de los homomorfismos que preservan esta estructura.

Definir la categor´ıa G−Ani a partir de acciones globales sobre un anillo con

unidad y de los homomorfismos que preservan esta estructura.

Encontrar si es posible productos, igualadores y pullbacks sobre estas

Tabla de contenido

Introducci´on 1

1. Preliminares de categor´ıas 3

1.1. Aspectos Generales . . . 3

2. La Categor´ıa G−pAni 16 2.1. Definici´on . . . 16

2.2. Producto . . . 19

2.3. Igualador . . . 23

2.4. Pullback . . . 26

3. Algunas Subcategor´ıas de G−pAni 31 3.1. La Categor´ıa G−pgAni . . . 31

3.1.1. Producto . . . 34

3.1.2. Igualador . . . 36

3.1.3. Pullback . . . 38

3.2. Categor´ıa G−Ani . . . 41

3.2.1. Producto . . . 46

3.2.3. Pullback . . . 50

Conclusiones 53

Introducci´

on

La teor´ıa de categor´ıas fue introducida por Eilenberg y MacLane en 1945 ([6]),

ellos observaron que gran parte de los sistemas matem´aticos de la ´epoca podr´ıan ser

unificados y simplificados por una representaci´on con diagramas y flechas. Por este

motivo es que la primera impresi´on que causa la teor´ıa de categor´ıas es la de ser un

lenguaje universal. En los a˜nos sesenta, Lawvere marc´o la pauta para el desarrollo

de un enfoque totalmente original a la l´ogica y los fundamentos de las matem´aticas;

propuso una axiomatizaci´on de la categor´ıa de las categor´ıas y de la categor´ıa de

conjuntos; caracteriz´o categor´ıas cartesianas cerradas y mostr´o sus conexiones con los

sistemas l´ogicos y varias paradojas l´ogicas ([11]). La d´ecada de 1970 vi´o el desarrollo

y la aplicaci´on del concepto en muchas direcciones diferentes. ([9])

Las acciones de grupos aparecen desde los inicios de la teor´ıa de grupos con los

tra-bajos de Lagrange y de Galois. Se podr´ıa decir que hist´oricamente la primera acci´on

de grupo estudiada fue la acci´on del grupo de Galois sobre las raices de un polinomio.

El desarrollo de esta teor´ıa ha sido de gran importancia ya que son numerosos los

ejemplos y aplicaciones de las acciones de grupos en muchas ramas de las

matem´ati-cas, incluyendo ´algebra, topolog´ıa, geometr´ıa, teor´ıa de n´umeros y an´alisis; tambi´en

en ciencias como qu´ımica y f´ısica. Por otro lado, en la teor´ıa de operadores se

situaciones particulares de cierta importancia. Esto condujo a que Exel introdujera

en 1998 las acciones parciales de grupos sobre conjuntos ([7]).

El desarrollo de esta teor´ıa durante los ´ultimos diecisiete a˜nos muestra que las acciones

parciales son una poderosa herramienta para generalizar resultados de las acciones

globales. Se destaca su versatilidad para ser utilizada en numerosas ´areas de las

ma-tem´aticas como sistemas din´amicos, topolog´ıa y ´algebra (ver [4], [8], [10] y [13]).) En

el 2003 Abadie en ([1]) dio inicio al estudio de las acciones envolventes de una acci´on

parcial. Es posible probar que la restricci´on adecuada de cualquier acci´on global es

una acci´on parcial.

Ahora bien, al resultar importante entrelazar la teoria de categor´ıas con las acciones

parciales de grupos, fue natural construir y estudiar la categor´ıa de acciones parciales

de grupos sobre conjuntos ([3]). De igual forma ser´a muy significativo realizar la

construcci´on de algunas categor´ıas de acciones parciales de grupos sobre anillos y

caracterizar algunos objetos y morfismos importantes como productos, igualadores y

pullbacks, lo cual es el objetivo de este trabajo.

En el cap´ıtulo 1 se presenta la teor´ıa b´asica sobre categor´ıas y subcategor´ıas

relacio-nada con producto, igualador y pullback con sus respectivos ejemplos en la categor´ıa

de los anillos con unidad.

En el cap´ıtulo 2 se define la categor´ıa de las acciones parciales sobre anillos. En

particular, se extienden algunos resultados conocidos para la categor´ıa de los anillos

con unidad relacionados con producto, igualador y pullback.

Finalmente, en el cap´ıtulo 3 se define la categor´ıa de acciones parciales globalizables

sobre anillos y la categor´ıa de acciones globales sobre anillos; se demuestra que estas

dos son subcategor´ıas de la categor´ıa de acciones parciales sobre anillos, adem´as se

caracterizan los productos, igualadores y pullbacks de estas dos subcategorias

Cap´ıtulo

1

Preliminares de categor´ıas

Este cap´ıtulo abarca los elementos de la teor´ıa de categor´ıas necesarias para constru´ır

la categor´ıa de las acciones parciales sobre anillos y algunas de sus subcategor´ıas.

Se dar´an definiciones, y seguidamente ejemplos que nos ayudaran a desarrollar los

temas planteados en los pr´oximos cap´ıtulos.

1.1.

Aspectos Generales

Definici´on 1.1. Una categor´ıa es una cu´adrupla C = (O, Mor, id,◦) constituida por:

(i) Una clase O, cuyos elementos son llamados C−objetos.

(ii) Para cada par (A, B) de C−objetos, el conjunto Mor(A, B), constituye todos

los C − morf ismos de A en B. La afirmaci´on f ∈ Mor(A, B) se expresa

mas gr´aficamente usando flechas, por ejemplo f : A −→ B es un morfismo o

A−→f B es un morfismo.

(iii) Para cada C−objeto A, existe un morfismo A idA

−→ A llamado C−identidad

(iv) Una ley de composici´on asociada con cada C−morf ismo A −→f B y cada

C−morf ismo B −→g C un C−morf ismo A −→g◦f C llamado composici´on de

f y g sujeto a las siguientes condiciones:

(a) Es asociativa; es decir, para morfismos A −→f B, B −→g C, y C −→h D, se tiene que h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

(b) C −identidades act´uan como identidades respecto a la composici´on; es

decir, para cualquier C−morf ismo A −→f B, se tiene idB ◦f = f y

f ◦idA=f.

Ejemplo 1.1. La categor´ıa Conj cuya clase de objetos es la clase de todos los conjuntos; Mor(A, B) es el conjunto de todas las funciones de A en B, idA es la

funci´on identidad de A, y ((◦)) es la composici´on usual entre funciones.

Ejemplo 1.2. La colecci´on de todos los anillos con unidad junto con los homomorfis-mos de anillos que preservan la unidad conforman una categor´ıa denotada por Ani;

la operaci´on entre morfismos y el morfismo identidad se definen como en Conj.

Definici´on 1.2. Dadas dos categor´ıas A,B, se dice que A es una subcategor´ıa de

B si se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Todo objeto de A es tambi´en un objeto de B. En t´erminos de contenencia de

clases esto quiere decir que Ob(A)⊆Ob(B),

(ii) Dados X, Y ∈ Ob(A), todo morfismo f : X −→ Y en A tambi´en lo es en B,

esto es, MorA(X, Y)⊆MorB(X, Y),

(iii) Para cada objetoXdeA, el morfismo identidad es el mismo morfismo identidad

de la categor´ıa B,

(iv) La composici´on de morfismos en A es la inducida por la composici´on de

Se dice queAes una subcategor´ıa plena deBsi para cadaX, Y ∈Ob(A), MorA(X, Y) =

MorB(X, Y).

Ejemplo 1.3. La categor´ıa Ani es una subcategor´ıa no plena de Conj pues los

Ob(Ani) ⊆ Ob(Conj); dados A, B ∈ Ob(Ani), y f ∈ MorAni(A, B), es una funci´on

que preserva la estructura y la unidad, luego los MorAni(A, B) ⊆ MorConj(A, B);

adem´as el morfismo identidad y la operaci´on entre morfismos de Ani se define igual

que en Conj.

Definici´on 1.3. Sea {X, Y} un conjunto no vac´ıo de objetos de una categor´ıa C. Se denomina producto del conjunto {X, Y} a un objeto de C denotado por X ×Y

y un conjunto

{π1 :X×Y →X, π2 :X×Y →Y}

de morfismos llamados proyecciones, tales que para cada objeto P de C y cada

conjunto {f : P → X, g : P → Y} de morfismos existe un ´unico morfismo φ ∈

Mor(P, X ×Y) tal que el siguiente diagrama conmuta:

P

X×Y Y

X

φ

π1 π2

f g

Es decir: f =π1◦φ, y, g =π2◦φ

Ejemplo 1.4. Sean A, B ∈ Ob(Ani). Veamos que A ×B junto a las proyecciones asociadas al producto cartesiano.

πA :A×B −→A

y

πB :A×B −→B

(a, b)7→π(a, b) =b

forman el producto del conjunto {A, B}.

Note que el producto entre dos anillos con unidad es efectivamente un anillo con

unidad. Entonces A ×B ∈ Ob(Ani). Ahora veamos que πA ∈ Mor(A × B, A) y

πB∈Mor(A×B, B).

Sean x, y ∈A×B, donde x= (a, b) y y= (c, d), con a, c∈A y b, d ∈B.

πA(x+y) = πA((a, b) + (c, d))

=πA(a+c, b+d)

=a+c

=πA(a, b) +πA(c, d)

=πA(x) +πA(y).

πA(x.y) = πA((a, b).(c, d))

=πA(a.c, b.d)

=a.c

=πA(a, b).πA(c, d)

=πA(x).πA(y).

Luego πA es homomorfismo de anillos.

Para 1A×B _{la unidad en A×B se tiene:}

πA(1A

×B_{) =π}

A(1A,1B) = 1A.

As´ıπA ∈Mor(A×B, A); An´alogamente se prueba que πB ∈Mor(A×B, B).

Ahora seaC ∈Ob(Ani)y seanf1 ∈Mor(C, A)yf2 ∈Mor(C, B). Veamos que existe

una ´unica funci´on f :C −→A×B, tal que, πA◦f =f1 y πB◦f =f2.

C

A×B B

A

f

πA πB

f1 f2

Se define

f :C −→A×B

c7→f(c) = (f1(c), f2(c)).

Probemos primero que f est´a bien definida y que es un morfismo de la categor´ıa Ani.

Se tiene que

f1(c)∈A y f2(c)∈B

por tanto

f(c) = (f1(c), f2(c))∈A×B.

Luego f est´a bien definida.

Sean x, y ∈C.

f(x+y) = (f1(x+y), f2(x+y))

= ((f1(x) +f1(y)),(f2(x) +f2(y)))

= (f1(x), f2(x)) + (f1(y), f2(y))

f(x.y) = (f1(x.y), f2(x.y))

= ((f1(x).f1(y)),(f2(x).f2(y)))

= (f1(x), f2(x)).(f1(y), f2(y))

=f(x).f(y).

Luego f es homomorfismo de anillos.

Para 1C _∈C.

f(1C_{) = (f}

1(1C), f2(1C)) = (1A,1B) = 1A

×B_.

Por tanto f preserva la unidad.

Luego f ∈Mor(C, A×B). Ahora tomemos c∈C entonces:

(πA◦f)(c) = πA(f(c)) (πB◦f)(c) =πB(f(c))

=πA(f1(c), f2(c)) =πB(f1(c), f2(c))

=f1(c). =f2(c).

Luego (πA◦f)(c) = f1(c) y (πB ◦f)(c) = f2(c). Ahora, suponemos que existe otro

morfismo g : C −→ A×B con g(c) = (xc, yc) tal que πA◦g = f1 y πB ◦g = f2.

Tomemos c ∈ C, entonces f1(c) = πA(g(c)) = πA(xc, yc) = xc y f2(c) =πB(g(c)) =

πB(xc, yc) = yc. Retomando, f(c) = (f1(c), f2(c)) = (xc, yc) = g(c), por lo que f es

´ unico.

Definici´on 1.4. Seanf, g :A→C un par de morfismos. Un morfismo h:I →A es llamado un igualador de f y g si cumple las siguientes condiciones:

1. f◦h =g◦h.

2. Para cualquier morfismoh′

:I′

→Aconf◦h′

=g◦h′

, existe un ´unico morfismo

φ:I′

→I tal que h′

A C I

I′

φ

h

h′

f

g ///

Ejemplo 1.5. Sean A, C dos objetos de la categor´ıa Ani, dadas dos funciones f

y g ∈ Mor(A, C) el conjunto B = {a ∈ A : f(a) = g(a)} junto con la funci´on

inclusi´on h : B −→ A, h(a) = a para todo a ∈B son un igualador de las funciones

f y g.

Primero veamos que B es efectivamente un objeto de la categor´ıa Ani.

Sean x, y ∈B.

• f(x−y) = f(x)−f(y) = g(x)−g(y) =g(x−y).

• f(x.y) =f(x).f(y) = g(x).g(y) =g(x.y).

Luego x−y∈B y x.y ∈B por tanto, B es subanillo deA.

Sea 1A_∈A.

f(1A) = 1C =g(1A).

Luego B tiene unidad.

Por tanto B es anillo con unidad 1A_{. Ahora, probemos que h∈Mor(B, A).}

Sean a, b∈B.

h(a+b) =a+b =h(a) +h(b).

h(a.b) =a.b=h(a).h(b).

Para 1B _{∈B, h(1}B_{) = 1}A_.

Luego h preserva la unidad.

As´ı se tiene que h∈Mor(B, A).

Veamos que h es un igualador de f y g, es decir cumplen con la Definici´on 1.4.

1. Debemos ver que f◦h=g◦h, es decir que h iguala a las funciones f y g.

A C

B h

f

g

En efecto, dado a∈B

(f◦h)(a) =f(h(a)) = f(a) = g(a) =g(h(a)) = (g◦h)(a).

Luego f◦h=g◦h.

2. Supongamos queh′

:B′

−→A es otro morfismo tal que f◦h′

=g◦h′

. Debemos

probar que existe un ´unico morfismo ϕ:B′

−→B, tal que h◦ϕ=h′

.

A C

B

B′

ϕ

h

h′

f

g ///

Para b∈B′

se tiene que:

f(h′

(b)) =g(h′

(b)).

Luego h′

(b)∈B para todob ∈B′

. Se define:

ϕ :B′

−→B

b7→ϕ(b) =h′

Es claro queϕes morfismo de la categor´ıaAniya que ´esta se define en t´erminos

de h′

la cual ya es morfismo de dicha categor´ıa. Con lo anterior claro se tiene

que h(ϕ(b)) = h(h′

(b)) = h′

(b) para todo b ∈B′

. Luego h◦ϕ=h′

.

Ahora, supongamos que existe otro morfismo ϕ′

: B′

−→ B, ϕ′

(b) = sb para

cada b∈B′

tal queh◦ϕ′

=h′

. Tomemosb∈B′

, h′

(b) =h(ϕ′

(b)) =h(sb) =sb.

Retomando ϕ(b) =h′

(b) =sb =ϕ′(b), por lo que ϕ es ´unico.

Definici´on 1.5. Un diagrama

P A

B C

¯

f

f

¯

g g

es llamado Pullback si conmuta es decir si g◦f¯=f ◦¯g y para cualquier diagrama

conmutativo de la forma g◦f′

=f◦g′

P′

A

B C

f′

f

g′ _g

existe un ´unico morfismo K :P′

P′

P A

B C

k

f′

g′

¯

f

f

¯

g g

conmuta, luego f¯◦k =f′

y g¯◦k =g′

.

Ejemplo 1.6. En la categor´ıa Ani tomemos P = {(a, b) ∈ A×B : g(a) = f(b)},

g ∈Mor(A, C), f ∈ Mor(B, C), y f¯∈Mor(P, A), g¯∈Mor(P, B) las restricciones

de las proyecciones usuales, consideremos el siguiente diagrama,

P A

B C

¯

f

f

¯

g g

Veamos que (P,f ,¯g¯) es un pullback para (C, f, g).

Antes veamos que P ∈Ob(Ani) y g◦f¯=f ◦¯g.

Sean x, y ∈P, entonces x= (a, b) y y= (c, d), donde a, c∈A y b, d ∈B.

• g(a−c) = g(a)−g(c) =f(b)−f(d) = f(b−d). Luego x−y∈P.

Luego P es subanillo.

Veamos que P tiene unidad, es decir que para 1P _{∈P se tiene que 1}P_{p= p=}

p1P _{para todo p ∈ P. Para 1}A×B _{∈ A×B se tiene que g(1}A_{) = 1}C _{= f(1}B_),

por tanto 1A×B _{∈ P. Sea p ∈ P, entonces p = (a, b), con a ∈ A y b ∈ B,}

se tiene que: 1A×B_{p = (1}A_,1B_{)(a, b) = (1}A_a,1B_{b) = (a, b) = p, an´alogamente}

se tiene que p1A×B _{= p, ya que la unidad cuando existe es ´unica se tiene que}

1A×B _{= 1}P_{. Luego P tiene unidad, de aqu´ıP ∈Ob(Ani).}

Sea (a, b)∈P.

(g◦f¯)(a, b) =g( ¯f(a, b)) =g(a) = f(b) = f(¯g(a, b)) = (f◦g¯)(a, b).

As´ıg◦f¯=f ◦¯g

Supongamos que existe otro objeto P′

junto con dos morfismos g′

∈ Mor(P′

, B) y

f′

∈Mor(P′

, A), tales que g◦f′

=f◦g′

.

P′

A

B C

f′

f

g′ g

Definimos

φ:P′

−→P

p′

7→φ(p′

) = (f′

(p′

), g′

(p′

P′ P A B C φ f′ g′ ¯ f f ¯ g g

Veamos que φ est´a bien definida; sea p′

∈P′

.

g(f′

(p′

)) = (g ◦f′

)(p′

) = (f ◦g′

)(p′

) =f(g′

(p′

)).

As´ı(f′

(p′

), g′

(p′

))∈P.

Probemos que φ ∈Mor(P′

, P).

Sea p′

1, p

′

2 ∈P

′

.

φ(p′

1+p

′

2) = (f

′

(p′

1+p

′

2), g

′

(p′

1+p

′

2))

= (f′

(p′

1) +f

′

(p′

2)),(g

′

(p′

1) +g

′

(p′

2))

= (f′

(p′

1), g

′

(p′

1)) + (f

′

(p′

2), g

′

(p′

2))

=φ(p′

1) +φ(p

′

2).

φ(p′

1.p

′

2) = (f

′

(p′

1.p

′

2), g

′

(p′

1.p

′

2))

= (f′

(p′

1).f

′

(p′

2)),(g

′

(p′

1).g

′

(p′

2))

= (f′

(p′

1), g

′

(p′

1)).(f

′

(p′

2), g

′

(p′

2))

=φ(p′

1).φ(p

′

2).

Luego φ es homomorfismo de anillos.

Sea 1P′

∈ P′

, φ(1P′

) = (f′

(1P′

), g′

(1P′

)) = (1A_,1B_{) = 1}A×B _{donde 1}A×B _{∈ P,}

ya que, se tiene que g(1A_{) =f(1}B_).

As´ıφ∈Mor(P′

, P).

Finalmente veamos que f′

= ¯f◦φ y g′

= ¯g◦φ.

Sea p′

∈P′

:

( ¯f◦φ)(p′

) = ¯f(φ(p′

)) = ¯f(f′

(p′

), g′

(p′

)) =f′

(p′

).

y

(¯g◦φ)(p′

) = ¯g(φ(p′

)) = ¯g(f′

(p′

), g′

(p′

)) =g′

(p′

).

Luego f′

= ¯f ◦φ y g′

= ¯g◦φ.

Probemos que φ es ´unico. Supongamos que existe otro morfismo φ′

: P′

−→ P,

con φ′

(p′

) = (qp′, s_p′), tal que f′ = ¯f ◦ φ′ y g′ = ¯g ◦ φ′. Tomemos p′ ∈ P′,

f′

(p′

) = ¯f(φ′

(p′

)) = ¯f(qp′, s_p′) = q_p′ y g′(p′) = ¯g(φ′(p′)) = ¯g(q_p′, s_p′) = s_p′;

reto-mando, φ(p′

) = (f′

(p′

), g′

(p′

)) = (qp′, s_p′) = φ′(p′). Luego φ es ´unico y por tanto

Cap´ıtulo

2

La Categor´ıa

G

−

pAni

A continuaci´on se definen los G−pAnillos y G−pMorf ismos que nos permitir´an

construir la categoria G−pAni la cual es nuestro objeto de estudio, por tal raz´on

se encuentra el Producto, Igualador y Pullback de G−pAni. Para estos dos ´ultimos

conceptos categ´oricos, ser´a necesario definir lo que es un conjunto G−pInvariante.

2.1.

Definici´

on

Definici´on 2.1. Sea G un grupo con elemento identidad 1 y A un anillo unitario. Una acci´on parcial α de G sobre A es una colecci´on de

ideales Sg ⊆A, g ∈ G, e isomorfismos αg : Sg−1 →S_g, tales que para todo g, h∈ G se cumple:

1. S1 =A y α1 es la aplicaci´on identidad de A.

2. S(gh)−1 ⊇α_h−1(S_h∩S_g−1).

3. (αg◦αh)(x) =αgh(x), para todo x∈α_h−1(Sh∩Sg−1).

Note que (iii) implica queα−1

g =αg−1 para todo g ∈G. En efecto, sig ∈G entonces

para cualquier a∈α−₁

g−1(Sg−1 ∩S_g−1) =α

−₁

g−1(Sg−1) =Sg se tiene que (αg◦αg−1)(a) =

αgg−1(a) =α₁(a) =a. De igual manera se tiene (α_g−1◦α_g)(a) =apara todoa∈S_g−1.

De donde α−₁

g =αg−1 para todog ∈G.

Adem´as, (ii) y (iii) implican que α−₁

h (Sh ∩Sg−1) = Sh−1 ∩S₍gh)−1. En efecto,

pa-ra todo g, h ∈ G se tiene que α−1

h (Sh ∩ Sg−1) ⊆ S_h−1 ∩ S_(gh)−1 y reemplazando

h por h−1 _{y g por gh se tiene α}−₁

h−1(Sh−1 ∩S₍gh)−1) ⊆ Sh ∩Sg−1. Por consiguiente

Sh−1 ∩S_(gh)−1 ⊆ α−_h1(S_h ∩S_g−1) y as´ı se obtiene la igualdad deseada. Note que la

igualdad probada implica (ii). A lo largo de este cap´ıtulo se entender´a por

G−pAnillo a los anillos con unidad que tienen asociada una acci´on parcial de un

grupo fijo G y los respectivos Sg ser´an notados de acuerdo al anillo sobre el cual se

defina dicha acci´on parcial. Adem´as si A es un anillo con unidad, entonces la unidad

se denota 1A_.

Definici´on 2.2. Sean A y B dos G − pAnillos y αA = {SgA, αgA},

αB = {SgB, αBg} sus respectivas acciones parciales. Una aplicaci´on f : A −→ B

se dice un G-pMorfismo de A en B si cumple con las siguientes condiciones:

(i) f es homomorfismo de anillos.

(ii) Si a ∈SA

g−1 implica que f(a)∈S_gB−1 y f(αgA(a)) =αBg(f(a)).

(iii) f preserva la unidad, es decir f(1A_{) = 1}B_.

Ejemplo 2.1. 1. Si A, B y C son G−pAnillos, y f : A → B, h : B → C son

G−pMorf ismos, entonces h◦f :A →C es un G−pMorf ismo.

Debemos ver que h◦f cumpla con la Definici´ıon 2.2.

(i) h◦f es homomorfismo ya que la composici´on de homomorfismos es

(ii) Sea a∈SA

g−1, veamos que h◦f(a)∈S

C g−1.

Ya que f y h son G−pMorf ismos se tiene que si a ∈ SA

g−1 entonces

f(a) ∈ a ∈ SB

g−1, an´alogamente si b ∈ S

B

g−1 entonces h(b) ∈ S

C

g−1; Con esto claro se tiene que: Si a ∈SA

g−1, (h◦f)(a) =h(f(a))∈ S_gC−1. Ahora, debemos ver que (h◦f)(αA

g(a)) =αCg(h◦f)(a).

(h◦f)(αA

g(a)) =h(f(α A

g(a))) Def. composici´on

=h(αB

g(f(a))) Por ser f un G−pMorf ismo

=αC

g(h(f(a))) Por ser h un G−pMorf ismo

=αC

g(h◦f)(a).

As´ı se tiene que (h◦f)(αA

g(a)) =αCg(h◦f)(a) para cada a∈SgA−1.

(iii) Debemos ver que h◦f preserva la unidad es decir (h◦f)(1A_{) = 1}C_.

Para 1A_{∈A se tiene:}

h◦f(1A) = h(f(1A)) =h(1B) = 1C

Luego (h◦f)(1A_{) = 1}C_{. As´ıh◦f es un G−pMorf ismo.}

2. la aplicaci´on identidad idA:A→A es un G−pMorf ismo.

Veamos que cumple con la Definici´on 2.2,

(i) idA : A → A es homomorfismo, ya que la funci´on identidad es

(ii) Si a∈SA

g−1 entonces idA(a)∈SgA−1 es inmediato, adem´as

idA(αAg(a)) =α A g(a)

=αA

g(idA(a)).

Luego idAαAg =αAgidA.

(iv) Debemos ver que idA preserva la unidad, pero ello es inmediato ya que

idA(1A) = 1A.

Lo cual implica que idA es un G−pMorf ismo.

Definici´on 2.3. La categor´ıa G−pAni est´a constituida por: (i) Una clase O, cuyos elementos son llamados G−pAnillos,

(ii) Para cada par (A, B) deG−pAnillos, el conjunto Mor(A, B) constituye todos

los G−pMorf ismos de A en B,

(iii) Para cada G−pAnillo A, existe un G−pMorf ismo A idA

−→ A llamado G−

pIdentidad en A,

(iv) La ley de composici´on usual entre funciones. Adem´as esta ley de

composici´on es asociativa.

2.2.

Producto

Proposici´on 2.1. Si G act´a parcialmente sobre A, y G act´ua parcialmente sobre B

entonces G act´ua parcialmente sobre A×B.

Demostraci´on. Asumamos que αA _={SA

g, αgA}g∈G, y αB ={SgB, αBg}g∈G. Definamos

SA×B

g = SgA×SgB, y αA

×B g : S

A×B

g−1 → SA

×B

g , como αA

×B

g (a, b) = (αAg(a), αgB(b)) para

Es claro que αA×B

g est´a bien definida y es una biyecci´on puesαAg y αBg lo son. Ahora

verifiquemos que cumple con las condiciones de la Definici´on 2.1

(i) S1 =A1×B1 =A×B, ya que por hip´otesis A1 =A y B1 =B.

α1 : S1 → S1 la cual est´a definida como α1A×B(a, b) = (αA1(a), αB1(b)) =

(a, b) para todo (a, b)∈A×B.

Luego α1 es la identidad de A×B.

(ii) Sean g, h∈G.

Supongamos que (a, b)∈αA×B h−1 (S

A×B h ∩S

A×B

g−1 ) entoncesα

A×B

h (a, b) = (αhA(a), αBh(b))∈

SA×B

(h) ∩S

A×B

(g)−1 = ((S

A h ×S

B h)∩(S

A g−1 ×S

B

g−1)) = ((S

A h ∩S

A

g−1)×(S

B h ∩S

B g−1)).

Luego a ∈ αA

h−1(ShA∩SgA−1) ⊆ S₍A_gh)−1, y b ∈ αB_h−1(ShB ∩SgB−1) ⊆ S₍B_gh)−1, as´ı se

tiene que (a, b)∈SA×B

(gh)−1. Por tanto α

A×B h−1 (S

A×B h ∩S

A×B g−1 )⊆S

A×B

(gh)−1

(iii) Sea (a, b)∈αA×B h−1 (S

A×B h ∩S

A×B

g−1 ), entonces

αA×B g ◦α

A×B

h (a, b) =α A×B g (α

A×B h (a, b))

=αA×B g (α

A h(a), α

B h(b))

= (αAg(α A h(a)), α

B g(α

B h(b)))

= (αAg ◦α A h(a), α

B g ◦α

B h(b))

= (αAgh(a), α B gh(b))

=αA×B gh (a, b).

As´ıαA×B g ◦α

A×B

h (a, b) =α A×B

gh (a, b) para todo (a, b)∈α A×B h−1 (S

A×B h ∩S

A×B g−1 ).

LuegoαA×B

g es una acci´on parcial sobreA×B, por tanto Gact´ua parcialmente sobre

A×B.

Proposici´on 2.2. Dados los G − pAnillos A, B y A × B, las proyecciones

πA : A × B −→ A con πA(a, b) = a y πB : A × B −→ B con πB(a, b) = b

Demostraci´on. Verifiquemos queπAy πB cumplen con (i),(ii), y(iii) de la Definici´on

2.2. Se tiene del ejemplo 1.4 que πA es homomorfismo de anillos y adem´as preserva

la unidad. Resta ver que πA preserve la acci´on.

Veamos que si x∈SA×B

g−1 entonces, πA(x)∈SgA−1.

Sea x = (a, b) ∈SA×B

g−1 entonces, a ∈S_gA−1 y b ∈ S_gB−1. Ahora, πA(x) =πA(a, b) =a.

Luego πA(x)∈S_gA−1.

Ahora, veamos que πA(αgA×B(x)) =αAg(πA(a, b)):

πA(αA

×B

g (x)) = πA(αA

×B g (a, b))

=πA(αAg(a), α B g(b))

=αA g(a)

=αAg(πA(a, b))

=αA

g(πA(x)).

Luego πA(αAg×B(x)) = αAg(πA(x)) para todo x∈S_gA−×1B.

Luego πA es unG−pMorf ismo, an´alogamente se prueba que πB tambi´en lo es.

Proposici´on 2.3. Sean A, B, C tres G−pAnillos. Para f1 ∈ Mor(C, A) y f2 ∈

Mor(C, B) en la categor´ıa G−pAnillos, la funci´on f : C −→ A×B con f(c) =

(f1(c), f2(c)), para cadac∈C, es unG−pMorf ismo.

Demostraci´on. Veamos que la funci´onf satisface las condiciones de la Definici´on 2.2:

Se tiene del ejemplo 1.4 que f es homomorfismo de anillos y adem´as preserva la

uni-dad. Resta ver que f preserve la acci´on parcial.

Veamos que si x∈SC

g−1, entonces f(x)∈S

A×B g−1 .

Sea x ∈ SC

g−1. Entonces f(x) = (f1(x), f2(x)), donde f1(x) ∈ S_gA−1 y f2(x) ∈ S_gB−1.

Ahora, debemos ver que f(αC

g(x)) =αA

×B

g (f(x)):

f(αCg(x)) = (f1(αgC(x)), f2(αgC(x)))

= (αAg(f1(x)), αgB(f2(x)))

=αA×B

g (f1(x), f2(x))

=αA×B

g (f(x)).

Luego f(αC

g(x)) =αA

×B

g (f(x)), para todo x∈SgC−1.

De aqu´ıf es un G−pMorf ismo.

Teorema 2.1. El G−pAnillo A×B y el conjunto

{πA:A×B −→A, πB :A×B −→B}

constituyen el producto de los objetos A, B en la categor´ıa G−pAni.

Demostraci´on. Tomando f(c) = (f1(c), f2(c)) para cualquier c ∈ C con C un G−

pAnillo, yf1 ∈Mor(C, A), y f2 ∈Mor(C, B) y por las proposiciones 2.2 y 2.3, basta

probar que el siguiente diagrama conmuta:

C

A×B B

A

f

πA πB

f1 f2

Sea x∈C, entonces:

πB(f(x)) =πB(f1(x), f2(x)) =f2(x).

Luego πB◦f =f2 y πA◦f =f1.

Por ´ultimo veamos que f es ´unico. Suponemos que existe otro morfismo

g :C −→A×B cong(c) = (xc, yc) tal que πA◦g=f1 yπB◦g =f2. Tomemosc∈C,

entonces f1(c) = πA(g(c)) = πA(xc, yc) = xc y f2(c) = πB(g(c)) = πB(xc, yc) = yc.

Retomando, f(c) = (f1(c), f2(c)) = (xc, yc) =g(c), por lo que f es ´unico.

2.3.

Igualador

Definici´on 2.4. Sea I ⊆ A, un ideal de A con A un G−pAnillo. I se dice G−

pInvariante siαA

g(I∩SgA−1) =I∩S

A

g, para todo g ∈G.

Es suficiente probarαA

g(I∩SgA−1)⊆I∩SgA para todog ∈G. En efecto, si eso es cierto

entonces αA

g−1(I ∩SgA) ⊆ I ∩SgA−1, lo cual implica I ∩SgA ⊆ αAg(I ∩SgA−1) que es la

otra inclusi´on.

Note que los conjuntos G−pInvariantes tienen como acci´on parcial la restricci´on

de la acci´on del conjunto que los contiene. Es decir, αI _{= {I∩S}A

g, αgI}g∈G donde αIg

est´a definida como la restricci´on de αA

g aI∩SgA−1.

Proposici´on 2.4. Dados dos G−pAnillos A, C junto con dos G −pMorf ismos f y g :A→C, el subconjunto I ={a∈A:f(a) =g(a)}es tambi´en un G−pAnillo.

Demostraci´on. Veamos que I sea unG−pAnillo

Sean x, y ∈I

• f(x−y) = f(x)−f(y) = g(x)−g(y) =g(x−y).

• f(x.y) =f(x).f(y) = g(x).g(y) =g(x.y).

Veamos que I tiene unidad.

Para 1A _{∈ A se tiene que f(1}A_{) = 1}C _{= g(1}A_{), luego 1}A _{∈ I, y adem´as para}

cada i∈I se cumple que 1A_i=i=i1A_{, por tanto ya que la unidad es ´unica se}

cumple que 1A_{= 1}I_{. LuegoI tiene unidad.}

Para SI

g =I∩SgA, veamos que SgI es un ideal de I.

Tomemosr ∈I, x ∈SI

g, se tiene que xr∈I y xr ∈SgA, de dondexr ∈I∩SgA,

es decir xr ∈SI

g, igualmente se tiene que rx∈SgI. Luego SgI es un ideal de I.

Veamos que αA

g(I∩SgA−1)⊆I∩SgA para todog ∈G. Si a ∈I∩SgA−1, entonces

αA

g(a) ∈ SgA. Adem´as f(αAg(a)) = αBg(f(a)) = αBg(g(a)) = g(αgA(a)). Lo cual

implica queαA

g(a)∈I. Luego αgA(a)∈I∩SgA. Por tantoαgA(I∩SgA−1)⊆I∩SgA,

para todog ∈G. As´ıI esG−pInvariante.

Luego I es un G−pAnillo.

Proposici´on 2.5. Dados los G−pAnillos A, C e I ={a∈A :f(a) =g(a)} donde

f y g son G−pMorf ismos de A en C, la aplicaci´on h : I −→ A donde h(a) = a

para todo a∈I, es un G−pMorf ismo.

Demostraci´on. (i) Veamos que hes homomorfismo.

Sean a, b∈I, se tiene que:

h(a+b) =a+b =h(a) +h(b).

y

h(a.b) =a.b=h(a).h(b).

Luego h es homomorfismo.

(ii) Sea a ∈SI

g−1, ya que S_gI−1 =I ∩S_gA−1 se tiene que a∈I y a∈ S_gA−1 por tanto

h(a) = a ∈ SA

g−1. As´ı se tiene que si a ∈ S_gI−1, entonces h(a) ∈ S_gA−1. Adem´as:

h(αI

g(a)) = αIg(a) = αAg(a) = αIg(h(a)). Luego h(αIg(a)) = αIg(h(a)), para todo

(iii) Para 1I _{∈I se tiene que h(1}I_{) = 1}A_{. Luego h preserva la unidad.}

De donde h es un G−pMorf ismo.

Teorema 2.2. Dados dosG−pMorf ismos f yg :A→C en la categor´ıa G−pAni, el G−pAnillo I = {a ∈ A : f(a) = g(a)} junto con el G−pMorf ismo inclusi´on

h:I →A, h(a) =a, para todo a∈I, es un igualador def y g.

Demostraci´on. (i) Veamos que f◦h=g◦h.

A C

I h

f

g

Es decir que h iguala a las funciones f y g. En efecto, dado a∈I

(f◦h)(a) =f(h(a)) = f(a) = g(a) =g(h(a)) = (g◦h)(a).

Luego f◦h=g◦h.

(ii) Supongamos que h′

: I′

−→ A es otro G−pMorf ismo tal que f◦h′

=g ◦h′

,

veamos que existe un ´unico G−pMorf ismo φ :I′

−→I, tal que h◦φ=h′

.

A C

I

I′

φ

h

h′

f

g ///

Para b ∈I′

se tiene que f(h′

(b)) = g(h′

(b)). Luego h′

(b)∈ I para todo b ∈ I′

.

Se define

φ:I′

−→I

b 7→φ(b) =h′

Es claro que φ es G−pMorf ismo ya que ´esta se define en t´erminos de h′

la

cual ya es G−pMorf ismo, con lo anterior claro se tiene que

h(φ(b)) =h(h′

(b)) =h′

(b)

. Luego h◦φ=h′

para todob ∈I′

.

Ahora supongamos que existe otro morfismoφ′

:I′

−→I,φ′

(b) =sbtal queh◦φ′ =h′.

Tomemos b ∈I′

, h′

(b) =h(φ′

(b)) =h(sb) =sb. Retomando φ(b) =h′(b) =sb =φ′(b)

por lo que φ es ´unico.

Luego el G−pMorf ismo h es un igualador de los G−pMorf ismos f y g

2.4.

Pullback

Proposici´on 2.6. Sea el G− pAnillo A×B. Si g : A → C y f : B → C son

G−pMorf ismos, el subconjunto P ={(a, b)∈ A×B :g(a) =f(b)} es tambi´en un

G−pAnillo.

Demostraci´on. Veamos que P es subanillo.

Sean x, y ∈P, entonces x= (a, b) y y= (c, d), donde a, c∈A y b, d∈B.

• g(a−c) = g(a)−g(c) =f(b)−f(d) = f(b−d).

• g(a.c) =g(a).g(c) =f(b).f(d) = f(b.d).

Luego x−y∈P y x.y ∈P, por tanto P es subanillo de A×B.

Veamos que P tiene unidad.

Para 1A×B _{∈ A × B se tiene que g(1}A_{) = 1}C _{= f(1}B_{). Por tanto}

1A×B _{∈ P. Veamos que 1}A×B _{es la unidad de P. Sea p ∈ P se tiene que}

1A×B_{p = (1}A_,1B_{)(a, b) = (1}A_a,1B_{b) = (a, b) = p. Igualmente se prueba que}

Veamos que P esG−pInvariante.

Para SP

g =P ∩SA

×B

g , es claro queSgP es un ideal de P.

Veamos queαA×B g (P∩S

A×B

g−1 )⊆P∩S

A×B

g , para todog ∈G. Si (a, b)∈P∩S A×B g−1 ,

entonces αA×B

g (a, b) ∈ SA

×B

g . Adem´as g(αAg(a)) = αCg(g(a)) = αCg(f(b)) =

f(αB

g(b)). Lo cual implica que αA

×B

g (a, b) ∈P. Luego αA

×B

g (a, b) ∈P ∩SA

×B g ,

y as´ıP es G−pInvariante.

Por tanto P es un G−pAnillo.

Teorema 2.3. La categor´ıa G−pAni tiene pullbacks.

Demostraci´on. Consideremos el siguiente diagrama en la categor´ıaG−pAni.

P A B C ¯ f f ¯ g g

Veamos que (P,f ,¯ ¯g) donde P es el conjunto dado en la Proposici´on 2.6 y ¯f ,g¯ son

las restricciones de las proyecciones usuales, es un pullback para (C,f,g). Primero

debemos ver que g◦f¯=f◦g¯.

Sea (a, b)∈P.

(g◦f¯)(a, b) =g( ¯f(a, b)) =g(a) = f(b) = f(¯g(a, b)) = (f◦g¯)(a, b).

Luego g◦f¯=f ◦¯g.

Supongamos que existe otro objeto P′

junto con dos G − pMorf ismos

g′

∈Mor(P′

, B) y f′

∈Mor(P′

, A), tales que g◦f′

=f ◦g′

P′

A

B C

f′

f

g′ g

Definimos

φ:P′

−→P

p′

7→φ(p′

) = (f′

(p′

), g′

(p′

))

P′

P A

B C

φ

f′

g′

¯

f

f

¯

g g

Veamos que φ est´a bien definida; sea p′

∈P′

.

g(f′

(p′

)) = (g ◦f′

)(p′

) = (f ◦g′

)(p′

) =f(g′

(p′

)).

As´ı (f′

(p′

), g′

(p′

))∈P. Luego φ est´a bien definida.

Probemos que φ es un G−pMorf ismo.

Sea p′

1, p

′

2 ∈P

′

.

φ(p′

1+p

′

2) = (f

′

(p′

1+p

′

2), g

′

(p′

1+p

′

2))

= (f′

(p′

1) +f

′

(p′

2), g

′

(p′

1) +g

′

(p′

2))

= (f′

(p′

1), g

′

(p′

1)) + (f

′

(p′

2), g

′

(p′

2))

=φ(p′

1) +φ(p

′

2).

φ(p′

1.p

′

2) = (f

′

(p′

1.p

′

2), g

′

(p′

1.p

′

2))

= (f′

(p′

1).f

′

(p′

2), g

′

(p′

1).g

′

(p′

2))

= (f′

(p′

1), g

′

(p′

1)).(f

′

(p′

2), g

′

(p′

2))

=φ(p′

1).φ(p

′

2).

Luego φ es homomorfismo.

(ii) Sea p′

∈SP′

g−1 =P

′

∩SA×B

g , entonces φ(p

′

) = (f′

(p′

), g′

(p′

))∈ P, lo que

proba-mos al ver que φ est´a bien definida. Adem´as f′

(p′

) ∈ SA g y g

′

(p′

) ∈ SB

g , luego

φ(p′

) = (f′

(p′

), g′

(p′

))∈SA×B

g . De aqu´ıφ(p

′

)∈P ∩SA×B

g =SgP.

Luego se tiene que si p′

∈SP′

g−1, entonces φ(p

′

)∈SP g.

Ahora, veamos que φ(αP′

g (p

′

)) =αP g(φ(p

′

)), para todo p′

∈SP′

g−1.

Sea p′

∈P′

.

φ(αP′

g (p

′

)) = (f′

(αP′

g (p

′

)), g′

(αP′

g (p

′

)))

= (αA g(f

′

(p′

)), αB g(g

′

(p′

)))

=αA×B g (f

′

(p′

), g′

(p′

))

=αP g(f

′

(p′

), g′

(p′

))

=αP g(φ(p

′

)).

Luego φ(αP′

g (p

′

)) = αP g(φ(p

′

)), para todo p′

∈ SP′

g−1 que era lo que se quer´ıa

(iii) Veamos que φ preserva la unidad.

Sea 1P′

∈ P′

. Entonces φ(1P′

) = (f′

(1P′

), g′

(1P′

)) = (1A_,1B_{) = 1}A×B

y 1A×B _{∈ P, ya que, se tiene que g(1}A_{) = f(1}B_{). Luego φ preserva la}

uni-dad.

Por tanto φ es unG−pMorf ismo.

Finalmente veamos que f′

= ¯f◦φ y g′

= ¯g◦φ. Sea p′

∈P′

.

¯

f ◦φ(p′

) = ¯f(φ(p′

)) = ¯f(f′

(p′

), g′

(p′

)) =f′

(p′

)

y

¯

g◦φ(p′

) = ¯g(φ(p′

)) = ¯g(f′

(p′

), g′

(p′

)) =g′

(p′

).

Luego se tiene que f′

= ¯f ◦φ y g′

= ¯g◦φ.

Probemos que φ es ´unico. Supongamos que existe otro morfismo φ′

: P′

−→ P, con

φ′

(p′

) = (qp′, s_p′) para cada p′ ∈ P′, tal que f′ = ¯f ◦ φ′ y g′ = ¯g ◦φ′. Tomemos

p′

∈ P′

, f′

(p′

) = ¯f(φ′

(p′

)) = ¯f(qp′, s_p′) = q_p′ y g′(p′) = ¯g(φ′(p′)) = ¯g(q_p′, s_p′) = s_p′.

Retomando, φ(p′

) = (f′

(p′

), g′

(p′

)) = (qp′, s_p′) = φ′(p′). Luego φ =φ′, por tanto φ es

Cap´ıtulo

3

Algunas Subcategor´ıas de

G

−

pAni

Este cap´ıtulo lo constituyen algunas subcategor´ıas especiales de G−pAni, para las

cuales fue necesario definir conjuntos G − pgInvariantes y G − Invariantes. Al

igual que en los cap´ıtulos anteriores se encontrar´a su Producto, Igualador y Pullback

finalizando as´ı con nuestro breve pero muy provechoso estudio de la categor´ıa G−

pAni. Es necesario dejar claro que todav´ıa hay mucho por estudiar y lo aqu´ı planteado

fue tan solo una introducci´on al tema.

3.1.

La Categor´ıa

G

−

pgAni

M.Dokuchaev y R. Exel demostraron que no toda acci´on parcial sobre un anillo es

globalizable. Para que esto suceda se debe tener que cada ideal Sg con g ∈ G, sea

generado por un idempotente central, es decir que para cada g ∈ G, existe 1g ∈ Sg

tal que 1gr=r1g ∀ r∈R y 12g = 1g, y adem´as Sg = 1gR ([5], Teorema 4.5).

Se entender´a porG−pgAnilloa los anillos con unidad que tienen asociada una acci´on

parcial globalizable de un grupo fijoG. 1A

g se entender´a como un idempotente central

Definici´on 3.1. Sean R y S dos G−pgAnillos y αR _{= {S}R

g, αRg}, αS = {SgS, αSg}

sus respectivas acciones parciales globalizables. Una aplicaci´on f :R−→S se dice un

G-pgMorfismo de R en S si cumple :

(i) f es homomorfismo de anillos.

(ii) Si a ∈SR

g−1 implica que f(a)∈S

S

g−1 y f(α

R

g(a)) =αgS(f(a)).

(iii) f(1R

g) = 1Sg para todo g ∈G, es decir f preserva los idempotentes.

Ejemplo 3.1. 1. Si A, B y C son G−pgAnillos y f : A → B, h : B → C son

G−pgMorf ismos, entonces h◦f :A →C es un G−pgMorf ismo.

Debemos ver que h◦f cumpla con la Definici´on 3.1.

(i) h ◦ f es homomorfismo ya que la composici´on de homomorfismos es

homomorfismo.

(ii) Sea a∈SA

g−1, veamos que (h◦f)(a)∈S_gC−1.

Ya que f y h son G−pgMorf ismos se tiene que si a ∈ SA

g−1 entonces

f(a)∈a∈SB

g−1. An´alogamente si b∈S_gB−1 entoncesh(b)∈S_gC−1. Con esto se tiene que si a∈SA

g−1, (h◦f)(a) =h(f(a))∈S_gC−1. Adem´as

(h◦f)(αAg(a)) =h(f(α A

g(a))) def. composici´on

=h(αgB(f(a))) por ser f un G−pgMorf ismo

=αCg(h(f(a))) por ser h un G−pgMorf ismo

=αCg(h◦f)(a).

Luego (h◦f)(αA

g(a)) =αCg(h◦f)(a) para cada a∈SgA−1.

(iii) Debemos ver que h◦f preserva los idempotentes es decir (h◦f)(1A g) = 1Cg

Para 1A

g ∈SgA se tiene:

(h◦f)(1A

g) = h(f(1 A g))

=h(1B g)

= 1C g.

Luego (h◦f)(1A

g) = 1Cg para todo g ∈G.

As´ıh◦f es un G−pgMorf ismo.

2. La aplicaci´on identidadidA:A→A es un G−pgMorf ismo.

Veamos que en verdad cumple con la Definici´on 3.1,

(i) idA : A → A es homomorfismo, ya que la funci´on identidad es

homomo-morfismo.

(ii) Si a∈SA

g−1 entonces idA(a)∈S_gA−1 es inmediato. Adem´as

idA(αAg(a)) =α A g(a)

=αAg(idA(a)).

(iii) Debemos ver que idA preserva los idempotentes, pero ello es inmediato ya

que idA(1Ag) = 1Ag.

Por tanto idA es un G−pgMorf ismo.

Definici´on 3.2. La categor´ıa G−pgAni est´a constituida por: (i) Una clase O, cuyos elementos son llamados G−pgAnillos.

(ii) Para cada par (R, S)de G−pgAnillos, el conjuntoMor(R, S)constituye todos

(iii) Para cada G−pgAnillo R, existe el G−pgMorf ismo R idR

−→R llamado G−

pgIdentidad en R.

(iv) La ley de composici´on usual entre funciones. Adem´as esta ley de

composici´on es asociativa.

Teorema 3.1. La categor´ıa G−pgAnies una subcategor´ıa de G−pAni.

Demostraci´on. Veamos que se cumpla (i),(ii),(iii) y (iv) de la Definici´on 1.2.

(i) Debemos ver que Ob(C)⊆Ob(D), donde C es la categor´ıa G−pgAniy D es la categor´ıa G−pAni.

Sea A ∈ Ob(C). Entonces A es un anillo con unidad que tiene asociada una acci´on parcial globalizable. Luego ´esta en particular es una acci´on parcial. Por

tanto Ob(C)⊆Ob(D).

(ii) Sean A, B ∈ Ob(C). Debemos ver que MorC(X, Y) ⊆ MorD(X, Y), es decir

que todo G−pgMorf ismo f :X →Y es un G−pMorf ismo.

Sea f ∈ MorC(X, Y) entonces de acuerdo a las Definici´ones 3.1 y 2.2 se tiene

directamente que f ∈MorD(X, Y). Luego MorC(X, Y)⊆ MorD(X, Y).

(iii) SeaX ∈Ob(C). LaG−pgIdentidad idX :X→X es la mismaG−pIdentidad.

(iv) La ley de composici´on deG−pgAnies la misma que enG−pAnipero

restrin-giendo a los objetos deG−pgAni. Es decir la composici´on de morfismos en C

es la inducida por la composici´on de morfismos enD.

Luego se tiene que la categor´ıa G−pgAni es una subcategor´ıa de G−pAni.

3.1.1.

Producto

Demostraci´on. Como R y S tambi´en son G− pAnillos, por la Proposici´on 2.1 se

tiene que R×S es un G−pAnillo es decir es un anillo con unidad 1R×S _{= (1}R_,1S₎

que tiene asociada una acci´on parcial. Debemos ver que αR×S _{es globalizable. Por la}

Proposici´on 2.1 basta ver que cada ideal es generado por un idempotente central, es

decir para cada g ∈ G, se tiene que SR×S g = 1R

×S

g R×S = R×S1R

×S

g , para alg´un

idempotente 1R×S

g deR×S.

Llamando 1R×S

g = (1Rg,1Sg) se tiene que :

SR×S

g =SgR×SgS = 1RgR×1SgS = (1Rg,1Sg)(R×S) = 1R

×S

g R×S.

Resta ver que 1R×S

g es idempotente central de R×S. Para 1R

×S

g ∈R×S se tiene:

1R×S g 1

R×S g = (1

R g,1

S g)(1

R g,1

S

g) = ((1 R g)2,(1

S

g)2) = (1 R g,1

S g) = 1

R×S g

y adem´as para cada (a, b)∈R×S se tiene que

1R×S

g (a, b) = (1 R g,1

S

g)(a, b) = (1 R ga,1

S

gb) = (a1 R g, b1

S

g) = (a, b)(1 R g,1

S

g) = (a, b)1 R×S g .

Luego 1R×S

g es idempotente y adem´as est´a en el centro deR×S por tanto 1R

×S g es un

idempotente central. As´ı se tiene que cada idealSR×S

g es generado por un idempotente

central. Por tanto αR×S _{es globalizable y as´ıR×S es un G−pgAnillo.}

Proposici´on 3.2. Dados los G−pgAnillos R, S y R×S, las proyecciones πR y πS

son G−pgMorf ismos.

Demostraci´on. Veamos queπRy πS cumplen con la Definici´on 3.1. Por la Proposici´on

2.2 basta probar que πR y πS preservan los idempotentes.

Para 1R

g y 1Sg con g ∈ G se tiene que πR(1Rg,1gS) = 1Rg y πS(1gR,1Sg) = 1Sg. Luego

Corolario 3.1. El G−pgAnillo R×S y el conjunto

{πR:R×S →R, πS :R×S →S}

constituyen el producto de R y S en la categor´ıa G−pgAni.

Demostraci´on. Sean los G − pgMorf ismos f : T → R y g : T → S.

Defina-mos la funci´on ψ : T −→ R × S con ψ(t) = (f(t), g(t)) para todo t ∈ T. Por

la Proposici´on 2.3 basta probar que ψ preserva los idempotentes, para garantizar

que sea un G− pgMorf ismo. En efecto, llamando 1R×S

g = (1Rg,1Sg) se tiene que

ψ(1T

g) = (f(1Tg), g(1gT)) = (1Rg,1Sg) = 1R

×S

g . Luego ψ(1Tg) = 1R

×S

g , por tanto ψ es

G−pgMorf ismo. As´ı por el Teorema 2.1 el siguiente diagrama conmuta.

T

R×S S

R

ψ

πR πS

f g

Es decir, πS ◦ψ =g , πR◦ψ =f y ψ es ´unico.

3.1.2.

Igualador

Definici´on 3.3. Sea I ⊆ R, un ideal de R con R un G−pgAnillo. I se dice G−

pgInvariante si αR

g(I∩SgR−1) =I ∩SgR para todo g ∈G.

Note que los conjuntos G−pgInvariantestienen como acci´on parcial la restricci´on

de la acci´on del conjunto que los contiene, es decir, αI _{= {I∩S}R

g , αIg}g∈G donde αIg

es la restricci´on deαR

g sobre I∩SgR−1.

Demostraci´on. De la Proposici´on 2.4 y su respectiva demostraci´on tenemos que I

es un anillo con unidad y se tiene naturalmente una acci´on parcial sobre I, la cual

es la restricci´on de la acci´on parcial sobre R. Resta ver que la acci´on parcial αI

es globalizable, es decir que para cada g ∈ G, SI

g = I ∩SgR es generado por un

idempotente central.

N´otese que para cada 1g ∈ R se tiene que p(1g) = 1g = q(1g). Luego 1g ∈ I es decir

todo idempotente central deR es idempotente central deI.

Veamos que 1gI = SgI para cada g ∈ G. Si x ∈ 1gI, entonces x ∈ SgR, tenemos que

1gI ⊆ SgR ya que SgR es ideal, luego x ∈ I ∩SgR = SgI, y as´ı 1gI ⊆ I ∩SgR. Ahora,

tomemos x∈SI

g entonces x∈I y x∈SgR= 1gR por tanto

x= 1gr con r ∈R

= 1g(1gr) por ser 1g idempotente

= 1gx.

Entonces x= 1gx con x∈I. Luegox∈1gI, por tantoSgI ⊆1gI.

De las dos inclusiones tenemos que SI

g = 1gI es decir αI es globalizable. De donde se

concluye que I es G−pgAnillo.

Vale la pena destacar que el morfismo h : I → R, donde h(a) = a para todo a ∈ I

evidentemente es unG−pgMorf ismo.

Corolario 3.2. Dados dos G − pgMorf ismos p y q : R → T en la categor´ıa

G−pgAni, el G−pgAnillo I ={a∈R :p(a) =q(a)} junto con el G−pgMorf ismo

inclusi´on h : I → R, h(a) = a para todo a ∈ I, es un igualador de los

G−pgMorf ismos p yq.

Demostraci´on. Por el Teorema 2.2 se tiene que:

(i) p◦h=q◦h

R T

I h

p

(ii) Para cualquier morfismo h′

:I′

→R con p◦h′

=q◦h′

, existe un ´unico morfismo

ρ:I′

→I tal que h′

=h◦ρ, es decir el siguiente diagrama conmuta.

R T

I

I′

ρ

h

h′

p

q ///

Luego h es un igualador dep y q

3.1.3.

Pullback

Proposici´on 3.4. Sea el G− pgAnillo T ×R. Si p : T → S y q : R → S son

G−pgMorf ismos, el subconjunto P ={(a, b)∈T ×R :p(a) = q(b)} es tambi´en un

G−pgAnillo.

Demostraci´on. De la la Proposici´on 2.6 y su respectiva demostraci´on tenemos queP

es un anillo con unidad y se tiene naturalmente una acci´on parcial sobre P, la cual

es la restricci´on de la acci´on parcial sobre T ×R. Resta ver que la acci´on parcialαP

es globalizable, es decir que para cada g ∈ G, SP

g = P ∩ST

×R

g es generado por un

idempotente central

N´otese que para cada 1T×R

g = (1Tg,1Rg) se tiene que p(1Tg) = 1Sg = q(1Rg). Luego

1T×R

g ∈P es decir todo idempotente central de T ×R es idempotente central deP.

Veamos que 1gP = SgP. Si x ∈1gP entonces 1g ∈ P, tenemos que 1gP ⊆ SgP ya que

SP

g es ideal, luego x ∈ P ∩ST

×R

x∈SP

g entonces x∈P y x∈ST

×R

g = 1g(T ×R) por tanto

x= 1g(a, b) con (a, b)∈T ×R

= 1g(1g(a, b)) por ser 1g idempotente

= 1gx.

Entonces x= 1gx con x∈P. Luegox∈1gP, por tantoSgP ⊆1Pg.

De las dos inclusiones tenemos que SP

g = 1gP es decir αP es globalizable. De donde

se concluye que P es G−pgAnillo.

Corolario 3.3. La categor´ıa G−pgAni tiene pullbacks.

Demostraci´on. Consideremos el siguiente diagrama en la categor´ıaG−pgAni.

P R

T S

¯

p

p

¯

q q

Se tiene por el Teorema 2.3 que (P,p,¯ q¯) dondeP es el conjunto dado en la proposici´on

anterior y ¯p,q¯las restricciones de las proyecciones usuales, constituyen un Pullback

para el (S, p, q). En efecto:

(i) Por el Teorema 2.3 se tiene que q◦p¯=p◦q¯.

(ii) Supongamos que existe otro objeto P′

p′

∈Mor(P′

, R) y q′

∈Mor(P′

, T), tales que q◦p′

=p◦q′

. P′ R T S p′ p

q′ _q

Entonces definimos

ρ:P′

−→P

a′

7→ρ(a′

) = (q′

(a′

), p′

(a′

)) Para todo a′

∈P′

. P′ P R T S ρ p′ q′ ¯ p p ¯ q q

Se tiene que ρ preserva a los idempotentes, dado que ρ(1P′

g ) = (q

′

(1P′

g ), p

′

(1P′

g )) =

(1T

g,1Rg) = 1T

×R

g = 1Pg. Luego se tiene que ρ es un G− pgMorf ismo, p

′

= ¯p◦ρ,

q′

3.2.

Categor´ıa

G

−

Ani

Definici´on 3.4. Sea (G, .) un grupo y A un anillo con unidad. Se dice que G act´ua globalmente sobre A si existe una operaci´on ∗:G×A→A tal que

(i) a∗1 =a, para todo a∈A, 1 es la identidad en G.

(ii) (g.h)∗a =g∗(h∗a), para todo g, h ∈G, a∈A.

(iii) g∗(a+b) =g∗a+g∗b y g∗(ab) = (g∗a)(g∗b), para todo g ∈G ya, b∈A.

Se entender´a porG−Anillo a los Anillos con unidad que tengan asociada una acci´on

global de un grupo fijo G.

Ejemplo 3.2. Sea A un anillo, definamos

SA={f :A→A:f es isomorf ismo}

SA es el grupo de todos los isomorfismos de A en A, donde la operaci´on ((◦)) es

la composici´on usual entre funciones, el elemento identidad ser´a la id´entica, y los

inversos ser´an las funciones inversas.

Definamos la operaci´on ∗ como f∗a=f(a), as´ı se tiene que

(i) i∗a=i(a) =a, para todo a∈A.

(ii) (f◦g)∗(a) =f g(a) = f(g∗a) = f∗(g∗a).

(iii) f ∗(a+b) = f(a+b) = f(a) +f(b) = (f ∗a) + (f ∗b) y f ∗(ab) = f(ab) =

f(a)f(b) = (f ∗a)(f∗b).

As´ıSA act´ua globalmente sobre A.

Ahora, sea (G,⊙) un grupo que act´ua globalmente sobre A y definamos

fg :A →A

Veamos que fg ∈SA, para todo g ∈G, es decir que fg es un isomorfismo.

1. Sean a, b∈A

fg(a+b) =g∗(a+b) fg(ab) =g∗(ab)

= (g∗a) + (g∗b) =g∗(a)g∗(b)

=fg(a) +fg(b) =fg(a)fg(b)

Luego fg es homomorfismo.

2. Supongamos que fg(a) = fg(b) para todo g ∈ G. Tenemos que a = 1∗ a =

(g−₁

g)a= (g−₁

g)b = 1∗b =b. Luego fg es inyectiva.

3. Para cada a ∈ A existe b = g−1_{∗a ∈ A tal que f}

g(g−1∗a) = g∗(g−1∗a) =

(gg−1_{)∗a= 1∗a=a. Luego f}

g es sobreyectiva.

As´ıfg es un isomorfismo. Por tanto fg ∈SA, para todo g ∈G.

La colecci´on{fg}g∈G ⊆SAdetermina completamente la acci´on de la siguiente manera:

(i) f1(a) = 1⊙a=a es la id´entica en A.

(ii) fg⊙h =fg◦fh, para todo g, h∈G

Esta asociaci´on permite definir un homomorfismo de grupos de G a SA,

θ:G→SA

g 7→θ(g) = fg para todo g ∈G

Proposici´on 3.5. Toda acci´on global es en particular una acci´on parcial.

Demostraci´on. Sea A un anillo con unidad, (G,∗) un grupo que act´ua globalmente

sobre A y α = {Sg, αg}g∈G donde Sg = A para todo g ∈ G y αg := fg : Sg−1 → Sg

un automorfismo de ideales tal que fg(a) =g∗a, para todo a∈Sg−1. Veamos que α

1. Ya queSg =Apara todog ∈Gse tiene en particular parag = 1. LuegoS1 =A.

Adem´as para a ∈A α1(a) := f1(a) = 1∗a= a, es decir α1(a) es la aplicaci´on

identidad de A.

2. Sean g, h ∈ G y a ∈f−1

g (Sh∩Sg−1), como Sg = A, para todo g ∈ G, entonces

a∈f−1

g (A)⊆A =Sgh−1. Luego f_g−1(S_h∩S_g−1)⊆S_gh−1.

3. Sea a∈f−1

g (Sh ∩Sg−1), entonces

(fg◦fh)(a) = fg(fh(a))

=fg(h∗a)a

=g∗(h∗a)

= (gh)∗a

=fgh(a).

Ya que se tiene 1,2 y 3 de la Defici´on 2.1 se tiene queα act´ua parcialmente sobre A.

Definici´on 3.5. Sea (A,⋄) y (B, ⋆) dos G − Anillos. Entonces una aplicaci´on

f :A →B se dice G-Morfismo de A en B si:

(i) f es homomorfismo de anillos.

(ii) f preserva la acci´on global. Es decir f(g ⋄ a) = g ⋆ f(a), para cada

g ∈G, a ∈A.

(iii) f preserva la unidad. Es decir f(1A_{) = 1}B_.

Ejemplo 3.3. 1. Si A, B y C son G − Anillos, y f : A → B, h : B → C G−Morf ismos, entonces h◦f :A→C es un G−Morf ismo.