Soluciones de Matrices en PAU CyL

Soluciones de Matrices en PAU CyL

1.- Calcular el rango de la matriz

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

A

 

 

 



 

 

 

. (1,5 puntos) (PAU junio 2011)

Solución rango( )A 2

2.- a) Averiguar para qué valores de m la matriz

1 0 1

1 1

0 2

A m

m 

 

 

 _  _

 _ 

 

no tiene inversa. (0,5 puntos)

b) Calcula la matriz inversa de A para m = 0. (1 punto) (PAU septiembre 2011)

Solución

a) No existe matriz inversa A1 para m1 o m 2

b) 1

1 0 1 / 2

Para 0, 1 1 1 / 2

0 0 1 / 2

m A

 

 

 

  _  _

 _ 

 

3.- Dadas las matrices

1 0 0

0 1 0

0 1

B

m

 

 

  

 _ 

 

, 1 3 5

2 4 6

C   _

 

  y

1 2 3

0 1 0

D  _

 

a) ¿Para qué valores de m existeB1? Para m1, calcular B1. (1,5 puntos)

b) Para m = 1, hallar la matriz X tal que X B  C D. (1 punto) (PAU junio 2010) c) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación 0 1 0 0 1

0 2 X 0 0 2

   

 

   

   . (1 punto) Solución

a) 1 1

1 0 0

Existe siempre que 0. Para 1 0 1 0

0 1 1

B m m B

 

 

   _{  }

 

 

b) Para 1 0 3 2

2 3 6

m  X    _

 

c) , ,

0 0 1

a b c

X _ _ a b c

  . Nota: se observa que 2 3

a b c

X M

d e f 

 

_{ }

4.- Sea A una matriz cuadrada tal que 2

3 2

A  A  I(siendo I matriz identidad). Probar que A admite inversa y utilizar la igualdad dada para expresar A1 en función de A. (1,5 puntos) (PAU septiembre 2010)

Solución

1 1 3

2 2

A   A I 2

1

, porque 3 2 3 2 ( 3 ) 2

1 1 3 1 3

( 3 ) ( )

2 2 2 2 2

A A I A A A I I A A I I

A A I I A A I I A A I

              

            

5.- Sean las matrices

3 0 2

0 0 1

0 1 0

A

 

 

  

 

 

y

2 1 0 B

           .

a) Calcular A1. (1 punto) (PAU septiembre 2010)

b) Resolver la ecuación matricial AX2ABB. (1,5 puntos)

Solución

a) 1

1 / 3 2 / 3 0

0 0 1

0 1 0

A



 

 

  

 

 

b)

4 2 1 X



 

 

 _{ }

 

 

6.- Calcular la matriz X que verifica A X  B Bt, donde 2 1

3 2

A  _ 

  y

0 1 0

3 1 2

B  _ 

 ,

siendo Bt la matriz traspuesta de B. (1 punto) (PAU junio 2009) Solución

1 / 7 12 / 7 5 / 7 31 / 7 X   _



7.- Estudiar, en función del parámetro real , el rango de la matriz: (1 punto)

2 1 1

1 1

1 1 2

A

 





 

 

_   _

 _{ } 

 

(PAU septiembre 2009)

Solución Caso 1º:    





1 3 2 1 2 3

3 1

2 3

(2 )

2

2 2

2 2

2 1 1 1 1 2 1 1 2

1 1 1 1 0 1 3

1 1 2 2 1 1 _{0 3 3 4}

1 1 2 1 1 2

0 2 3 0 2 3

0 3 3 4 0 2( 3) 2

C C F F F F

F F

F F



  

   

  _{  }

 

   

    

  

 

 

 

  

    _{ }

 _{ } _{ } _ _{   }

    _{ }

 _{ }   _{ }  _{ }

    _     _

 

 

 

   

 

 

 _{   }  _{ }

 

3 ( 3) 3 2

2 3 2

3 2

1 1 2

0 2 3

8 6 0 0 4 6

Se plantea 4 6 0, se resuelve por Ruffini, obteniéndose 1, 2, 3. Para esos valores el rango es 2, y para todos los dem

F  F



 

   

     

 



   

   

 

   

   

 _{ }   _{  } 

   

       

ás el rango vale 3.

8.- Sean las matrices 5 3

3 2

B  _

  y

13 8

8 5

C   _

  Calcular la matriz A, sabiendo que

2

A  B y

3

A C. (1 punto) (PAU junio 2008)

Solución 2 1

1 1

A  _

 . Observa:

2 3 3 2 1

y

A B A C  A  A    A B A C  B A C  A B C

9.- Calcular el rango de la matriz:

1 3 1 5

1 1 3 3

2 4 0 6

3 2 4 1

 

 

_{  } 

 

  

 _ 

 

. (1 punto) (PAU junio 2008)

10.- Hallar para qué valores de a es invertible la matriz 4 3 1

a a

A

a 

 

  

  y calcular la inversa para a0. (1 punto) (PAU junio 2007)

Solución





1

1 , 4 A a

     Si 0 1 0 1

1 / 4 0 a  A   _

 

11.- Sean las matrices

1 2 3 A

          

,

7 2 2 B

 

 

   _ 

 

,

0 0 0

0 1 0

0 0 1

C

 

 

  

 

 

,

0 2 2 D

          

y

2 5 3 E

          

.

a) Hallar la matriz t

A B , donde t

B indica la matriz traspuesta de B. ¿Es invertible? (1 punto) b) Hallar el rango de la matriz A Dt  . (0,5 puntos) (PAU junio 2007) c) Calcular

x

M y

z           

que verifique la ecuación





Solución

a)





1 7 2 2

2 7 2 2 14 4 4

3 21 6 6

t A B



   

   

 _{ }  _  _

   

   

. No existe inversa de A B t, porque rango(A B t) 1 3

b)





0

1 2 3 2 (10) 2

t A D

   

  _{ }

   

. Sí es invertible, porque rango(A Dt  )1, que es el orden de A Dt  .

c)

6 / 7 1

3 M

 

 

  

 _ 

 

. Nota:se calcula 1

1 / 7 2 / 7 2 / 7

( ) 2 1 0

3 0 1

t A B C 

 

 

 

  _  _

 _ 

 

, después se halla

7 2 2

14 5 4

21 6 5

t A B C



 

 

  _  _

 _ 

 

, y finalmente 1

6 / 7

( ) 1

3 t

M A B C  E

 

 

   _{   }

_ 

 

12.- Sean X una matriz 22, I la matriz identidad 22 y _      

1 0

1 2

B . Hallar X sabiendo que I

B B

BX   2 . (1 punto) (PAU septiembre 2007) Solución

3 / 2 1 / 2

0 1

X   _

 . Nota:

2 2 1 1 2

( )

BX  B B  I BX B   I B B BX  B B  I B 

1 1 1 1

IX B BB B I B B X B B I

        ; siendo 1 1 / 2 1 / 2

0 1

B    _

 

13.- Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz:

2 1

1 2 3

2 1 2

m

A m

 

 

_  _

 _{ } 

 

. (1 punto) (PAU septiembre 2007)

Solución Caso 1º:    m





14.- Hállense las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad:

1 0 1 0

1 1 1 1

A_  _{ } _ A

    . (1 punto) (PAU junio 2006) Solución

0

, a

A a c

c a

 

_{ }    

  . Existen infinitas matrices que lo cumplen.

15.- Dadas las matrices

1 1 0

1 0 1

1 1 1

P

 

 

 _{ }

_{ } 

 

y

1 0 0

0 1 0

0 0 2

A 

 

 

_  _

 

 

, hállese razonadamente la matriz B

sabiendo que BP A. (1 punto) (PAU junio 2006) Solución

1 1 1

0 1 1

2 0 2

B

 

 

 

_  _

 

 

. Nota: Existe P1 y calculamos 1

1 1 1

0 1 1

1 0 1

P

 

 

 

_  _

 

 

, aplicamos propiedades

1 1 1 1

16.- Dada la matriz

1 2

2 1 0

3 4 5

a

P a

 

 

_  _

 

 

, determínense los valores del número real a para los cuales existe

la matriz inversa de P. (1 punto) (PAU septiembre 2006) Solución

Existe P1  a .

17.- Dadas las matrices

  

 

  

  

0 0 1

0 0 1

0 0 1

A ,

  

 

  

  

2 2 3

0 1 2

0 0 1

C , hállense las matrices X que satisfacen

2

A C A

XC   . (1 punto) (PAU junio 2005)

Solución

1 0 0

0 1 0

0 0 1

X I

 

 

   

 

 

. Nota: Existe 1

A porque rango(A) = 3, se comprueba que 2

A  A, y se aplican

propiedades para calcular X:

2 2 1 2 1 1 1

( ) ( )

XC  A C A  XC C A  A XCC  CA A C  X  CO C  X CC I .

18.- Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz

  

 

  

 

a 1 0

3 1 2

1 2 1

. (1 punto) (PAU septiembre 2005)

Solución

Caso 1º: 1 rango( ) 3 3

a   A

   _{ }    

Caso 2º: 1 rango( ) 2 3

m   A 

19.- Dada la matriz B 1 2 1 1 2 3



 

 _ 

  hállese una matriz X tal que

-1

XB+B=B . (1 punto) (PAU junio 2004)

Solución 4 4

4 4 X   _

 . Nota: se calcula

1 2 1

1 2 B   _

 , se despeja X de la ecuación aplicando propiedades,

1 1 1 1 1 1 2 1 1 2

( ) ( ) ( )

20.- Dadas las matrices

1 1 1

P 1 0 1

0 1 1

 

 

 _{ }

 _ 

 

y

1 0 0

A 0 1 0

0 0 2



 

 

_  _

 

 

, hállese la matriz B sabiendo que

P BP1 A. (1 punto) (PAU septiembre 2004) Solución

0 1 1

1 0 1

1 1 0

B

 

 

  

 

 

. Nota: se calcula 1

1 2 1

1

1 1 2

3

1 1 1

P



 

 

 _  _

 

 

, se despeja B de la ecuación P B P1  A,

1 1 1 1 1