El teorema Fermat y los n´

(1)

Carmichael

Brayan Pantoja

Universidad de Nari˜no

Licenciatura en Matem´aticas Seminario Teor´ıa de N´umeros

ALTENUA

(2)

Tabla de contenido

1 Aritmetica General

Teor´ıa de la divisibilidad

N´umeros primos y su distribuci´on Teor´ıa de congruencias

Funci´on φde Euler

2 Grupos

3 El teorema de Fermat

El peque˜no teorema de Fermat El teorema de Wilson

Pseudoprimos y n´umeros de Carmichael

(3)

Teor´ıa de la divisibilidad

Teorema (Algoritmo de la divisi´on).

Dados enterosa yb con b >0, existen enteros ´unicosq y r, tales que.

a=bq+r; 0≤r < b

Definici´on.

Un entero b es divisible por un entero a6= 0, denotado a|b, si existe un enteroc tal que.

b=ac

(4)

Teor´ıa de la divisibilidad

Definici´on.

Dados dos enterosa y b (con al menos uno de los dos diferente de cero), el mayor entero que dividea yb se denomina el m´aximo com´un divisor dea y b, denotado por gcd(a, b). Es decir, sigcd(a, b) =d entonces.

1. d|a y d|b

(5)

Teor´ıa de la divisibilidad

Definici´on.

Dos enterosa y b se dice que son primos relativos si

gcd(a, b) = 1

Lema (Euclides).

(6)

N´

umeros primos y su distribuci´

on

Definici´on (N´umero primo).

Un entero p >1 se llama un n´umero primo, si sus ´unicos divisores positivos son1 y p. Un entero mayor que 1 que no es un primo se denomina compuesto.

Teorema.

(7)

N´

umeros primos y su distribuci´

on

Teorema (Fundamental del aritmetica).

Todo entero positivo n >1 se puede expresar como un producto de primos, (n=pk1

1 p

k2

2 ...pkrr ; donde cada ki es un entero

positivo). Esta representaci´on es ´unica, sin tener en cuenta el orden en el que aparecen los factores.

Teorema.

(8)

Teor´ıa de congruencias

Definici´on.

Sea nun entero fijo. Dos enteros a y b se dice que son congruentes m´odulo n, denotado por a≡b m´odn.

Si n|a−b. es decir, existe k en los enteros, tal quea−b=kn

Cuandon-a−b, se dice queayb son incongruentes m´odn y

se denotaa6≡b m´od n Teorema.

(9)

Teor´ıa de congruencias

Teorema.

Sea n >0 y a, b, c enteros arbitrarios, entonces.

1. a≡a m´od n.

2. Si a≡b m´od n, entoncesb≡a m´od n.

3. Si a≡b mód n y b≡c mód n, entoncesa≡c mód n.

4. Si a≡b m´od n y c≡d m´odn, entoncesa+c≡b+d

m´od n, ac≡bd m´od n.

5. Si a≡b m´od n, entoncesa+c≡b+c m´od n, ac≡bc

m´od n.

(10)

Teor´ıa de congruencias

Teorema.

Si ac≡bc m´od nentonces a≡b m´od _gcd(n_c,n₎.

Teorema.

La congruencia lineal ax≡b mód ntiene solución si y sólo si

gcd(a, n)|b. Si gcd(a, n)|b la congruencia tiene gcd(a, n)

(11)

Teor´ıa de congruencias

Teorema (Chino del resto).

Sean a1, a2, ..., an enteros arbitrarios y m1, m2, ..., mn primos relativos dos a dos.

Existe un ´unico enterox, m´odulo.

m=

n Y

i=1

mi

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Funci´

on

φ

de Euler

Definici´on.

Sean n ym enteros positivos. Se dice que una funci´on aritmetica f es multiplicativa si.

f(mn) =f(m)f(n)

Cuandogcd(n, m) = 1

Definici´on.

(13)

Funci´

on

φ

de Euler

Teorema.

Si p es primo yk >1 entonces.

φ(pk) =pk−pk−1 =pk(1−1

p)

.

Teorema.

La funci´onφ es una funci´on multiplicativa.

(14)

Funci´

on

φ

de Euler

Teorema.

Si un enteron >1 tiene la factorizaci´on prima n=pk1

1 p

k2

2 ...pkrr ,

entones.

φ(n) =

i=1

Y

r

(pki_i −pki−1

(15)

Grupos

Definici´on (Orden de un grupo).

El n´umero de elementos de un grupo G (finito o infinito) se denomina su orden. Y se denota como|G|

Definici´on (Orden de un elemento).

(16)

Grupos

Definici´on (Grupos c´ıclicos).

Un grupo Gse dice que es c´ıclico si existe un elemento g, enG, tal queG={gn;n∈_Z}. En este caso diremos que g es un generador deG.

Teorema.

Sea m un entero positivo. El grupo Um es c´ıclico si y s´olo si m

(17)

Grupos

Teorema.

Sea Gun grupo. 1 su elemento neutro y a∈G de orden h, entoncesat= 1 si y s´olo si h|t

Teorema.

(18)

El peque˜

no teorema de Fermat

Teorema (Peque˜no teorema de Fermat).

Si p es primo yp-a, entoncesap−1 ≡1 m´od p.

Ejemplo.

(19)

El peque˜

no teorema de Fermat

Corolario.

Si p es primo, entoncesap≡a m´od p, para cualquier enteroa.

Ejemplo.

7619≡76 m´od 19 9911≡99 m´od 11

Ejemplo.

(20)

El peque˜

no teorema de Fermat

Lema.

Si p yq son primos distintos tales que ap ≡a m´odq y aq ≡a

m´od p, entoncesapq ≡a m´od pq.

Ejemplo.

2340_≡_{1 m´}_{od 341}

Como 211≡2 m´od 31 y 231≡2 m´od 11

Entones, por el lema tenemos:

211∗31≡2 m´od (11∗31)

(21)

El teorema de Wilson

Teorema (Teorema de Wilson).

Si p es n´umero primo, entonces(p−1)!≡ −1 m´od p

Ejemplo.

Sea p= 13. Es posible dividir los enteros 2,3,...,11 en

(p−3)/2 = 5 partes.

2∗7≡1 m´od 13

3∗9≡1 m´od 13

4∗10≡1 m´od 13

5∗8≡1 m´od 13

(22)

El teorema de Wilson

Ejemplo.

Multiplicando estas congruencias tenemos:

11! = (2∗7)(3∗9)(4∗10)(5∗8)(6∗11)≡1 m´od 13

y finalmente.

(23)

El teorema de Wilson

El rec´ıproco del teorema de Wilson es cierto.

Teorema.

Si (n−1)!≡ −1 m´od n, entoncesn es un n´umero primo.

Teorema.

(24)

Pseudoprimos y n´

umeros de Carmichael

Afirmaci´on.

Dado un entero n >1, si existe un entero a tal quean6≡a

m´od n, entoncesn es compuesto.

Test de pseudoprimalidad

Dado un enterony se quiere saber si es primo, se elige un enteroay se calcula an m´odn.

nsupera el test de pseudoprimalidad para la baseasi an≡a

m´od n(npuede ser primo o compuesto), y no lo supera cuando

(25)

Pseudoprimos y n´

umeros de Carmichael

Definici´on.

Sea nun entero positivo compuesto. Se dice que n es

pseudoprimo, si 2n_≡_{2 m´}_od _n_{. (}_n _{supera el test de}

pseudoprimalidad para la base2).

Ejemplo.

n= 341 = (11∗31)

n= 561 = (3∗11∗17)

Teorema.

(26)

Pseudoprimos y n´

umeros de Carmichael

Definici´on.

Se dice quen es un pseudoprimo para la base a, si n es compuesto y verifica que an≡a m´odn.

Ejemplo.

n= 341, no supera el test de pseudoprimalidad para la base 3, es decir,33416≡3 m´od 341.

Teorema.

(27)

Pseudoprimos y n´

umeros de Carmichael

Teorema (Bases para las que un entero es probable primo).

Sea nun entero impar, entonces el n´umero de enteros acon

1≤a≤n ygcd(a, n) = 1, tales que n es probable primo base a

es.

Bpp(n) =Y

p|n

(28)

Pseudoprimos y n´

umeros de Carmichael

Definici´on.

Se dice que un entero compuesto nes un n´umero de Carmichael (pseudoprimo absoluto), si verifica que an≡a

m´od n; para todo enteroa.

Ejemplo.

El ejemplo más pequeño de un número de Carmichael es

(29)

Pseudoprimos y n´

umeros de Carmichael

Claramente

Bpp(561) = Y

p|n

gcd(n−1, p−1) = 2∗10∗16 =φ(561)

Ejemplo.

Otros ejemplos de n´umeros de Carmichael son:

n= 1105 = (5∗13∗17)

n= 2821 = (7∗13∗31)

(30)

Pseudoprimos y n´

umeros de Carmichael

Teorema (Criterio de Korselt).

Si nes un entero impar y compuesto.

1. Si n es de Carmichael, entonces nes libre de cuadrados.

2. Si n=p1p2...pr, donde los pi son primos distintos, entonces nes un n´umero de carmichael si y s´olo si

(31)

Burton, D. Elementary number theory (6a. ed.)

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