REVISTA MATEM ´
ATICA
DEL PROGRAMA
J ´
OVENES TALENTO
N´
umero 7
REVISTA MATEM ´
ATICA DEL
PROGRAMA J ´
OVENES TALENTO
N´
umero 7 (Diciembre 2011)
Qui´enes somos
El Programa J´ovenes Talento de El Salvador (PJT), cuya sede se encuentra en San Salvador, es un proyecto conjunto de la Universidad de El Salvador y el Ministerio de Educaci´on que brinda atenci´on a alumnos con rendimiento destacado en matem´atica y ciencias naturales. Asimismo, en sus m´as de 10 a˜nos de existencia, ha estado a cargo de la selecci´on y preparaci´on de las delegaciones que representan a El Salvador en diversas competencias internacionales.
La Revista Matem´atica del PJT fue fundada en 2009 con el objetivo de estimular el estudio de la matem´atica a un alto nivel, con ´enfasis en la tradici´on de las olimpiadas de matem´atica. Est´a dirigida a alumnos familiarizados con la resoluci´on de problemas, instructores, profesores y al lector interesado en la matem´atica en general. Inicialmente concebida en el contexto del PJT, la presente publicaci´on pretende convertirse en una referencia seria de la investigaci´on matem´atica en El Salvador y la regi´on centroamericana.
Editor
Gabriel Chicas (University of Tokyo) Correo electr´onico: [email protected]
Colaboradores
Agradecimientos especiales al Ing. Eduardo Aguilar, al Ing. Edwin Ju´arez (University of Southern California) y al Lic. Riquelmi Cardona (University of Denver) por participar en la correcci´on de errores del presente n´umero.
Suscripci´on
La presente es una publicaci´on digital distribuida mediante correo electr´onico. Para suscribirse fa-vor escribir a la direcci´[email protected].
C´omo contribuir
La Revista Matem´atica del PJT invita cordialmente a participar en su elaboraci´on a todos los miembros del Programa (alumnos, instructores, catedr´aticos, padres de familia) y al lector interesado en general.
Art´ıculos. Se invita a los lectores a contribuir con sus trabajos originales sobre matem´atica elemental. El documento deber´a incluir las referencias acad´emicas usadas en su elaboraci´on y la informaci´on de contacto de su autor, incluyendo: Nombre, afiliaci´on acad´emica y correo electr´onico.
Columna de problemas.Se desaf´ıa a los lectores a enviar sus soluciones creativas a los prob-lemas de esta secci´on, as´ı como a proponer problemasoriginalespara la columna del siguiente n´umero. El archivo enviado deber´a incluir la informaci´on de contacto del autor, y en el caso de un problema propuesto su respectiva procedencia (nombre del libro, olimpiada, o autor del problema). Se dar´a prioridad a problemas originales.
Caf´e Matem´atico. Se acepta todo tipo de material de divulgaci´on matem´atica, incluyendo: Historia de las matem´aticas, biograf´ıas de matem´aticos famosos, acertijos, humor matem´atico, etc. Tener en cuenta que esta secci´on est´a orientada hacia un p´ublico m´as amplio, por lo que se evitar´an documentos demasiado t´ecnicos.
Contacto
Se solicita a los lectores enviar sus contribuciones, preguntas o comentarios a la siguiente direcci´on: [email protected].
Pr´oximo n´umero
Contenidos
Art´ıculos (p. 1)
Forma param´etrica de la cornoide
Carlos ´Alvarez (Universidad de El Salvador)
Funciones generadoras
Aar´on Ram´ırez (Universidad de El Salvador)
Problemas ol´ımpicos (p. 19)
Presentamos los problemas de las diversas competencias internacionales celebradas en el transcurso del a˜no, junto con los resultados obtenidos por El Salvador en cada una de ellas.
Problemas de la Olimpiada Matem´atica de la Cuenca del Pac´ıfico 2011
LaAsian Pacific Mathematics Olympiad (APMO) es una de las competencias regionales de mayor prestigio en el mundo. Se caracteriza por ser una prueba no presencial, es decir, la prueba es adminis-trada de manera local en cada uno de los pa´ıses concursantes. Los ´unicos pa´ıses que tienen derecho a participar son aquellos que poseen costas en el oc´eano Pac´ıfico, y es por este motivo que El Salvador puede entrar en la competencia. Por regla general la Olimpiada es celebrada el segundo lunes de marzo de cada a˜no.
Los premios obtenidos este a˜no son:
Gerardo Augusto Urbina S´anchez Medalla de bronce
Problemas de la Olimpiada de Mayo 2010
La Olimpiada de Mayo es una competencia no presencial a nivel iberoamericano organizada por Argentina. Fue planeada por primera vez en 1995 por la entonces reci´en fundada Federaci´on Iberoa-mericana de Competencias Matem´aticas, la cual se inspir´o en laAsian-Pacific Mathematics Olympiad
como modelo a seguir. La Olimpiada de Mayo est´a organizada en dos niveles: el nivel I, dirigido a estudiantes menores de 13 a˜nos, y el nivel II, para alumnos entre 13 y 15 a˜nos de edad.
Jeanette Alejandra Fern´andez Rivera Medalla de bronce Oscar Armando Hidalgo Ar´evalo Medalla de plata Andr´es Fernando Rosa Aparicio Medalla de plata
Problemas de la Olimpiada Internacional de Matem´atica 2011
La IMO (International Mathematical Olympiad) es la competencia de matem´atica de m´as prestigio y dificultad a nivel preuniversitario. Fue celebrada por primera vez en Rumania en 1959, lo que la convierte en la olimpiada internacional de ciencias m´as antigua. Aunque en sus primeros a˜nos estuvo confinada a los pa´ıses de Europa del Este, con el pasar del tiempo se ha convertido en un evento de car´acter mundial, con 564 participantes de 101 pa´ıses de todo el mundo en 2011. La 52a edici´on de la IMO fue celebrada en julio del presente a˜no en los Pa´ıses Bajos. Los estudiantes clasificados para representar a El Salvador fueron:
Ram´on Sanfeli´u B´eneke
Gerardo Augusto Urbina S´anchez
Problemas de la Olimpiada Iberoamericana de Matem´atica 2011
La Olimpiada Iberoamericana de Matem´atica (OIM) es la competencia matem´atica de mayor presti-gio y dificultad a nivel latinoamericano. Fue celebrada por primera vez en 1989 a iniciativa de Colombia y Argentina, como respuesta a la falta de un evento que involucrara a todos los pa´ıses de la regi´on. Desde ese entonces el n´umero de pa´ıses participantes ha ido en aumento hasta comprender 23 pa´ıses iberoamericanos. Cada uno de ellos puede enviar una delegaci´on de cuatro estudiantes no mayores de 18 a˜nos; adem´as cada estudiante puede participar un m´aximo de dos veces en la OIM. La 26a olimpiada fue celebrada en Costa Rica en septiembre del presente a˜no, y los resultados de la dele-gaci´on salvadore˜na son:
Byron Thonatiu Escobar Ben´ıtez Medalla de bronce Jos´e Daniel Madrid Bautista Menci´on honor´ıfica Ram´on Sanfeli´u B´eneke Menci´on honor´ıfica Gerardo Augusto Urbina S´anchez Medalla de plata
Columna de problemas (p. 28)
En esta secci´on se incluyen 5 problemas de desaf´ıo a los lectores, quienes est´an invitados a resolver-los y enviar sus mejores soluciones a la revista. Las soluciones m´as originales ser´an publicadas en el siguiente n´umero.
Se ha introducido un nuevo formato en los enunciados de la columna. De ahora en adelante los problemas originales ser´an marcados expl´ıcitamente por la palabraoriginal, mientras que un problema
sugerido indica que el proponente no es el autor del problema en cuesti´on. Esto tiene dos objetivos: el primero es evitar plagios y conflictos de derechos de autor, y el segundo es resaltar el m´erito de los autores que crearon sus propios problemas. El editor espera que en el futuro haya abundancia de problemas originales, de modo que eventualmente esta distinci´on se vuelva innecesaria.
Problemas abiertos
Fe de errata
Pedimos disculpas por el error de redacci´on en el problema 26. Agradecemos a Daniel Campos (Universidad de Costa Rica) quien tuvo la amabilidad de informarnos. Incluimos en la presente columna una versi´on corregida del problema.
Caf´e Matem´atico (p. 35)
Forma param´etrica de la cornoide
Carlos ´Alvarez
20 de diciembre de 2011
1.
Abordando la cornoide cl´
asica
La cornoide es una curva algebraica de sexto grado descubierta en 1941 por el Ing. Alberto S´anchez, quien proporcion´o un m´etodo de construcci´on y estudi´o algunas de sus propiedades.
Definici´on 1. La cornoide es la curva plana definida por la ecuaci´on
(x2+y2)3= 5r2y4−8r4y2−3r4x2+ 6r2x2y2+ 4r6
donde r > 0 es una constante. La circunferencia de radio r con centro en el origen es llamada la
generatrizde la cornoide.
La terminolog´ıa se hace evidente una vez consideramos la construcci´on geom´etrica brindada por S´anchez, la cual ´el denomina laley de la cornoide:
Tr´acese un c´ırculo con un radio cualquiera; div´ıdase la semicircunferencia superior en partes iguales, dir´ıjanse radios a las divisiones del primer cuadrante y lev´antense tangentes es sus extremidades; b´ajense perpendiculares a estas tangentes de las divisiones respectivas del segundo cuadrante, y unien-do los puntos de divisi´on por medio de un trazo continuo se trendra la curva en cuesti´on. [1]
1.1. Forma param´etrica
El objetivo de esta secci´on es deducir una ecuaci´on param´etrica para la curva bas´andose en la cons-trucci´on original de S´anchez.
Teorema 1. Sea c : R → R2,t 7→ (x(t), y(t)) una parametrizaci´on de la circunferencia generatriz.
Entonces la cornoide puede ser representada por la ecuaci´on
C(t) =
(x(t)2−y(t)2)x(t)
x(t)2+y(t)2 , y(t) +
2y(t)x(t)2
x(t)2+y(t)2
dondet es un par´ametro real.
Demostraci´on. Sea P un punto de la circunferencia de di´ametro AB y Qel punto de intersecci´on de la circunferencia con la paralela por P al di´ametroAB. Desde P se traza la recta tangente a la circunferencia y desde Q la perpendicular a dicha tangente. Sea C el punto intersecci´on de ambas rectas. Cuando el puntoP describe la circunferencia, el puntoC describe la cornoide.
Nos dan la parametrizaci´on P(t) = (x(t), y(t)), y de aqu´ı es inmediato obtener las coordenadas de
Q(t) = (−x(t), y(t)). Ahora bien, la ecuaci´on deL1, la tangente a la circunferenciacporP, est´a dada por
y=−x(t)
y(t)(x−x(t)) +y(t).
Asimismo calculando ecuaci´on deL2, la perpendicular aL1porQqueda
y= y(t)
x(t)(x+x(t)) +y(t).
Ya que por definici´on C es la intersecci´on de L1 y L2, las coordenadas de C pueden calcularse re-solviendo el sistema formado por las ecuaciones obtenidas arriba, cuya soluci´on es
(x(t)2−y(t)2)x(t)
x(t)2+y(t)2 , y(t) +
2y(t)x(t)2
x(t)2+y(t)2
.
Corolario 1. La cornoide puede ser parametrizada como
C(t) = (rcostcos 2t, rcostsen 2t+rsent)
donde0≤t≤2π es un par´ametro yr es el radio de la circunferencia generatriz.1
Demostraci´on.Basta con tomar en la proposici´on anterior la parametrizaci´on usual de la circunfe-rencia en coordenadas polaresx(t) =rcost,y=rsent, donde 0≤t≤2π. En concreto
C(t) =
(r2cos2t−r2sen2t)rcost
r2cos2t+r2sen2t , rsent+
2rsent·r2cos2t
r2cos2t+r2cos2t
1.2. Algunas propiedades
En este apartado usaremos la parametrizaci´on obtenida en la secci´on anterior para deducir algunas caracter´ısticas de la curva.
Lema 1. La cornoide satisface las siguientes propiedades:
1. La cornoide es una curva cerrada, peri´odica de per´ıodo 2π y sim´etrica respecto a ambos ejes coordenados.
2. La cornoide C: [0,2π]→R se interseca a s´ı misma en los puntost=π/4 yt= 5π/4.
3. Sean C1,C2 y C3 las restricciones de C : [0,2π]→ Ra los intervalos [0, π/4]∪[3π/4,5π/4]∪
[7π/4,2π],[π/4,3π/4]y[5π/4,7π/4]respectivamente. EntoncesC1,C2yC3son curvas cerradas,
simples y continuamente diferenciables.
Demostraci´on. La prueba consiste en c´alculos simples que se dejan al lector. Observar que las propiedades (b) y (c) nos dicen que la curva se interseca a s´ı misma y que los tres “´ovalos” que se forman en el dibujo pueden ser considerados como curvas en s´ı mismas.
Longitud de arco
Calculemos la longitud de la cornoide. Para ello ocupamos la conocida f´ormula para calcular la longitud
Lde una curva continuaf : [a, b]→R, que viene dada por
L=
Z b
a
|f0(s)|ds.
Para nuestro caso usando la parametrizaci´on anteriorC: [0,2π]→R, tenemos entonces que la longitud
de la cornoide est´a dada por:
L=
Z 2π
0
|C0(s)|ds=r Z 2π
0
p
12 cos4s−4 cos2s+ 1ds≈10,6017r.
Observar que la integral anterior no puede ser calculada directamente, por lo que debe recurrirse a aproximaciones num´ericas.
´
Areas encerradas por la cornoide
A continuaci´on se abordan algunas ´areas importantes que encierran la cornoide y su circunferencia generatriz. Para ello empleamos la siguiente f´ormula, que como es sabido es un corolario del teorema de Green.
Proposici´on 1. Sea C una curva cerrada simple, positivamente orientada y continuamente diferen-ciable a trozos. Entonces el ´area de la regi´onD acotada por C es
A= 1 2
Z
C
xdy−ydx.
SeaC(t) = (X(t), Y(t)) la parametrizaci´on de la cornoide deducida en el corolario. Ahora se tienen los siguiente resultados:
1. A1: ´Area encerrada por el “´ovalo” grande. Aqu´ı aplicamos el teorema de Green a la curva C1 definida en el lema. Por simetr´ıa basta integrar en el intervalo [0, π/4], de donde
A1= 4· 1 2
Z π4
0
2. A2: ´Area de uno de los “´ovalos” peque˜nos. En este caso integramos a lo largo de la curvaC2.
A2= 1 2
Z 34π
π
4
(X(t)Y0(t)−Y(t)X0(t))dt=(3π−8)r 2 8 .
3. A3: ´Area encerrada en un per´ıodo, menos los ´ovalos peque˜nos:A3=A1−2A2= 4r2.
4. AC: ´Area encerrada por un cuarto de per´ıodo de la cornoide y su generatriz.
AC=
1 2
Z π2
0
(X(t)Y0(t)−Y(t)X0(t))dt−πr
2 4 =
πr2
8
2.
Generalizaci´
on de la cornoide
La construcci´on original de S´anchez se basa en una circunferencia. Sin embargo, es de notar c´omo la cornoide es definida param´etricamente a partir de la parametrizaci´on de su circunferencia generatriz. La posibilidad de utilizar otra curva como generatriz llev´o al autor a proponer la siguiente definici´on decornoide generalizada.
Definici´on 2. Sea f : D →R una funci´on real, donde D es un intervalo. En f tomamos el punto
de coordenadas (x, y), trazamos la tangente a la gr´afica de f por el punto (x, y), y denotamos por C
el pie de la perpendicular por el punto(−x, y)a dicha tangente. El lugar geom´etrico de C cuando el punto(x, y) describe la gr´afica def recibe el nombre de cornoide generada porf.
Teorema 2. Si la generatriz f : D → R admite una parametrizaci´on f : I → R2, donde I es un
intervalo, entonces la cornoide generada porf est´a dada por las siguientes ecuaciones param´etricas:
C(t) =
y0(t)2−x0(t)2x(t)
y0(t)2+x0(t)2 , y(t)−
2y0(t)x0(t)x(t)
y0(t))2+ (x0(t))2
. (1)
Demostraci´on.La ecuaci´on deL1, la tangente en (x(t), y(t)) a la gr´afica def est´a dada por:
y= y
0(t)
x0(t)(x−x(t)) +y(t)
Y la ecuaci´on deL2, la perpendicular aL1 que pasa por (−x(t), y(t)) es:
L2:y=−
x0(t)
y0(t)(x+x(t)) +y(t).
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por L1 y L2 es inmediato obtener las coordenadas de
C(t).
Figura 2: Cornoide generada porf(x) =x2
Figura 4: Cornoide generada porf(x) =x3−x2
3.
Problemas abiertos
El autor lamenta que por cuestiones de tiempo no pudo hacer poco m´as que introducir su noci´on de la cornoide generalizada. Sin embargo, ´este tendr´a a bien plantear nuevas interrogantes que posterior-mente podr´an convertirse en objetos de investigaci´on.
¿Existe alguna relaci´on entre la simetr´ıa y periodicidad de la cornoide y su generatriz? La cornoide cl´asica es sim´etrica y peri´odica, tal y como la circunferencia.
Si la generatriz es un polinomio, ¿es siempre la cornoide una as´ıntota de la gr´afica def? Esto es aparente a partir de las gr´aficas dadas en los ejemplos.
Si la generatriz f es una curva algebraica, ¿existe una relaci´on entre los grados de f y de la cornoide (como curvas algebraicas)? Por ejemplo, la circunferencia tiene grado 2, mientras que la cornoide cl´asica tiene grado 6.
Referencias
1. S´anchez, A.,Los cinco primeros cursos de ciencias y letras, Imprenta Nacional, 1896.
Universidad de El Salvador
Facultad de Ciencias Naturales y
Matem´
atica
Escuela de Matem´
atica
Funciones Generadoras
Aar´
on Ernesto Ram´ırez Flores
3 de noviembre de 2011
Resumen
Se hace un breve estudio de las funciones generadoras ordinarias y exponenciales. En primer lugar, se define el anillo de sucesiones y a partir de ´este el anillo de series formales, entre las cuales se encuentran las funciones generadoras. Luego se desarrollan aplicaciones a la resoluci´on de problemas combinatorios que versan sobre el conteo (bajo ciertas restricciones) der-combinaciones y r-permutaciones de un multiconjunto dado.
´
Indice
1. Anillos de Sucesiones 9
2. Series Formales de Potencias en los Reales 10
3. Funciones Generadoras Ordinarias 12
1 Anillos de Sucesiones
1.
Anillos de Sucesiones
Dado un cuerpok, es posible construir un anilloS compuesto de sucesiones definidas sobre k, es decir, S ={{an} |an∈k}.1 Para ello, se definen las operaciones suma y producto de S como sigue:
La suma: {an}+{bn}={an+bn},
El producto:2 {an} · {bn}= ( n
X
k=0
akbn−k )
.
Evidentemente,S es un grupo abeliano con respecto a la suma, ya que sus operaciones son cerradas, tiene como identidad aditiva a la sucesi´on {0} (donde 0 es el elemento neutro de k), y el inverso aditivo de {an} es {−an}. Adem´as, la sucesi´on {δ0,n} es la identidad multiplicativa.3 Se demostrar´a que el producto es asociativo:
({an} · {bn})· {cn} = ( n X i=0 i X k=0
akbi−k ! cn−i ) = ( X
α+β+γ=n
(aαbβ)cγ )
{an} ·({bn} · {cn}) = ( n X i=0 ai n−i X k=0
bkcn−i−k !)
= (
X
α+β+γ=n
aα(bβcγ) )
Y dada la asociatividad en k, se concluye ({an} · {bn})· {cn} = {an} ·({bn} · {cn}). De manera muy similar se prueban las leyes distributivas ({an}+{bn})· {cn}={an} · {cn}+ {bn} · {cn} y {an} ·({bn}+{cn}) = {an} · {bn}+{an} · {cn}.
Finalmente, observe que si {an} es una sucesi´on de S tal que a0 6= 0, es posible construir
una ´unica sucesi´on rec´ıproca (inverso multiplicativo){an} −1
={bn}, donde
b0 = a−01
bn = −a−01
n X
k=1
akbn−k para n≥1
En particular, si k = R o k = C, se tiene definido un anillo de sucesiones reales o suce-siones complejas, respectivamente. Un uso importante de estos anillos es la definici´on de lasseries formales de potencias:
Definici´on 1.1. Una serie formal de potencias es una expresi´on formal
f(x) =a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn+· · · 1Por simplicidad, las sucesiones {x
n}
∞
n=0 se denotar´an por{xn}.
2Conocido comoproducto de Cauchy, oconvoluci´on de sucesiones de Cauchy. 3δ
2 Series Formales de Potencias en los Reales
donde {an} es una sucesi´on en k. La sucesi´on {an} recibe el nombre de sucesi´on de
coefi-cientes, y se dice que f(x) es la funci´on generadora ordinaria de {an}.
Por la discusi´on previa, fijado un cuerpo k para las sucesiones de coeficientes, las series formales de potencias forman un anillo, por lo que hemos demostrado el siguiente teorema:
Teorema 1.1. El conjunto k[[x]] de las series formales de potencias con coeficientes en un cuerpok forma un anillo. 4
Entonces, es posible estudiar estas expresiones desde el punto de vista algebraico dejando de lado el problema anal´ıtico de la convergencia; as´ı, laxtiene un uso estrictamente formal e interesar´a nada m´as el manejo algebraico de las sucesiones de coeficientes. En particular, son importantes las siguientes observaciones:
Dos series formales de potencias son iguales si y s´olo si coeficiente a coeficiente son iguales.
La suma en k[[x]] se traduce a la suma est´andar de polinomios “t´ermino a t´ermino”; de igual manera, el producto en k[[x]] se traduce al producto est´andar de polinomios y reducci´on de t´erminos semejantes.
La funci´on constante f(x) = 0 es la identidad aditiva de k[[x]].
La funci´on constante f(x) = 1 es la identidad multiplicativa de k[[x]].
Dada una serie formal de potencias f(x) con el coeficiente a0 6= 0, existe una ´unica
serie formal de potencias g(x) tal quef(x)g(x) = 1 (serie rec´ıproca). 5
La combinaci´on lineal de series formales de potencias, es otra serie formal de poten-cias.
2.
Series Formales de Potencias en los Reales
A continuaci´on, se demostrar´an los resultados m´as importantes de las series formales de potencias con sucesiones de coeficientes enR; adem´as, se har´a una aproximaci´on a la apli-caci´on en combinatoria de estas series.
2 Series Formales de Potencias en los Reales
Demostraci´on. Se tiene la sucesi´on{an}, con a0 = 1,a1 =−1 y an = 0 para todon ≥2, que es la sucesi´on asociada a la serie formal 1−x+ 0x2+ 0x3+· · ·; aplicando el algoritmo
para calcular la serie rec´ıproca{bn}={an} −1
se tiene
b0 =
1 a0
= 1
b1 = −
a1b0
a0
= 1
b2 = −
a1b1 +a2b0
a0
= 1
.. .
bn = −
a1bn−1+a2bn−2+· · ·+anb0
a0
= 1
.. .
Entonces {bn}={1}, por lo que
1
1−x = 1 +x+x
2+· · ·+xn+· · ·
As´ı, se ha demostrado que podemos utilizar indistintamente cualquiera de los lados de la ecuaci´on anterior para representar a la serie formal asociada a {1}.
La identidad en series formales de potencias mostrada anteriormente es la cl´asica expan-si´on en series de potencias de Maclaurin (caso particular del desarrollo en series de Taylor), y dado que nuestro inter´es es puramente algebraico (lo cual en an´alisis tiene sentido ´ unica-mente cuando la serie converge), es posible utilizar todos estos resultados de an´alisis. Todos los resultados siguientes pueden demostrarse directamente sin hacer referencia a desarrol-los en series de potencias de Maclaurin, pero son ya identidades conocidas y que podremos asumir en los problemas subsiguientes:
a) 1
1−x = 1 +x+x
2+· · ·+xr+· · ·.
b) 1
(1−x)2 = 1 + 2x+ 3x
2+· · ·+ (r+ 1)xr+· · ·.
c) 1
(1−x)n = 1 +nx+
(n+ 1)(n+ 2) 2! x
2
+· · ·+ n(n+ 1)· · ·(n+r−1)
r! x
r +· · ·
= 1 +
1 +n−1 2
x+
2 +n−1 2
x2 +· · ·+
r+n−1 2
xr+· · ·.
3 Funciones Generadoras Ordinarias
d) Binomio de Newton: Dadoα∈R y r∈N, se define el coeficiente binomial gene-ralizado αr
=
alpha(α−1)(α−2)· · ·(α−r+ 1)/r!, y por convenci´on α0 = 1. Entonces, el teorema de Newton establece que
(1 +X)α = ∞ X
r=0
α
r
Xr
En particular, tomando X = −x y sustituyendo α = −1,−2,−n, se obtienen las identidades anteriores.
e) 1
1−kx = 1 +kx+k
2x2+· · ·+krxr+· · ·. Esta serie se obtiene tomandoα=−1 y X =−kx en el binomio de Newton.
3.
Funciones Generadoras Ordinarias
El objetivo que se persigue con estas expresiones es obtener resultados combinatorios mo-delando situaciones con series formales de potencias (funciones generadoras ordinarias), estudiando sus coeficientes. Para ello, se considerar´an ciertos conjuntos especiales llama-dos multiconjuntos; de estos conjuntos se har´an extracciones de elementos e interesar´a la cantidad de formas c´omo ´esto puede hacerse.7
Definici´on 3.1. Un multiconjunto es un conjunto con elementos repetidos. Si M es un multiconjunto con n1 elementos del tipo b1, n2 elementos del tipo b2, etc, lo denotaremos
as´ı:
M ={n1·b1, n2·b2, . . .}
Donde ni es un n´umero natural o infinito. 8
Teorema 3.1. Dado el multiconjuntoM ={n1·b1, n2·b2, . . . , nk·bk}, sea ar la cantidad
de formas de seleccionar r elementos de M.9 Entonces, la funci´on generadora ordinaria
para la sucesi´on {ar} viene dada por:10 n1+n2+···+nk
X
r=0
arxr= (1 +x+· · ·+xn1)
| {z }
Escoge del tipo b1
(1 +x+· · ·+xn2)
| {z }
Escoge del tipo b2
· · ·(1 +x+· · ·+xnk)
| {z }
Escoge del tipo bk
7“Uno de los objetivos principales en combinatoria es el desarrollo de herramientas de conteo. Quiz´as,
gene-4 Funciones Generadoras Exponenciales
Demostraci´on. El lado derecho de la expresi´on anterior debe leerse de la siguiente forma: En el primer factor, 1 significa “se escogen 0 elementos del tipob1”, xsignifica “se escoge
1 elemento del tipob1”, y en general, xn significa “se escogen n elementos del tipo b1”; lo
mismo para el resto de factores. As´ı, si se quieren escoger r elementos de M, habr´a que escoger r1 elementos del tipo b1, r2 elementos del tipo b2, . . ., rk elementos del tipo bk, de tal manera que r = r1 +r2 +· · · +rk. Pero bajo la interpretaci´on anterior esto es equivalente a escoger el t´ermino xr1 del primer factor, el t´ermino xr2 del segundo fac-tor, . . ., el t´ermino xrk del ´ultimo factor, y al hacer el desarrollo, aparecer´a el t´ermino xr1xr2· · ·xrk = xr1+r2+···+rk = xr. Por lo tanto, el coeficiente a
r de xr al hacer todo el desarrollo y reducci´on de t´erminos semejantes, es equivalente a la cantidad de formas de escoger un t´ermino de cada factor del lado derecho de tal forma que la suma de sus expo-nentes sear, pero eso es equivalente al total de formas de escogerr elementos de M.
Teorema 3.2. Dado el multiconjuntoM ={∞ ·b1,∞ ·b2, . . . ,∞ ·bk}, sea ar la cantidad
de formas de seleccionar r elementos de M. Entonces, la funci´on generadora ordinaria para la sucesi´on {ar} viene dada por:
∞ X
r=0
arxr= ∞ X
r=0
r+k−1 r
xr
Es decir, ar =
r+k−1 r
.
Demostraci´on. Por el teorema anterior y por el binomio de Newton, se tiene:
∞ X
r=0
arxr = 1 +x+x2 +· · ·
| {z }
Escoge del tipo b1
1 +x+x2+· · ·
| {z }
Escoge del tipo b2
· · · 1 +x+x2 +· · ·
| {z }
Escoge del tipobk = 1 +x+x2 +· · ·k
= 1
(1−x)k
= ∞ X
r=0
r+k−1 r
xr
Por lo tanto,ar =
r+k−1 r
.
4.
Funciones Generadoras Exponenciales
4 Funciones Generadoras Exponenciales
Definici´on 4.1. Dada la sucesi´on {an}, su funci´on generadora exponencial es la serie
formal f(x) = ∞ X r=0 ar r!x r.
El nombre de funci´on generadora exponencial viene de la expansi´on en series de Maclaurin de la funci´onex:
ex= 1 +x+ x
2
2! +· · ·+ xr r! +· · ·
Teorema 4.1. Dado el multiconjuntoM ={n1·b1, n2·b2, . . . , nk·bk}, sea ar la cantidad
de r-permutaciones de elementos de M. Entonces la funci´on generadora ordinaria de la sucesi´on {ar} viene dada por:
n1+n2+···+nk X r=0 ar r!x r =
1 + x
1!+· · ·+ xn1 n1!
| {z }
Escoge del tipo b1
1 + x
1! +· · ·+ xn2 n2!
| {z }
Escoge del tipo b2
· · ·
1 + x
1!+· · ·+ xnk nk!
| {z }
Escoge del tipo bk
Demostraci´on. La demostraci´on es an´aloga a la del teorema 3.1; basta recordar que el n´umero der-permutaciones, escogiendori elementos del tipobi, con r1+r2+· · ·+rk =r, es
P(r1, r2, . . . , rk) =
r! r1!r2!· · ·rk!
Mientras que al multiplicar los t´erminos correspondientes x i
ri!
se obtiene
1 r1!r2!· · ·rk!
xr1+r2+···+rk =
r! r1!r2!· · ·rk!
1 r!x
r
Y de all´ı la correspondencia entre los coeficientesar de la funci´on generadora exponencial y la cantidad der-permutaciones.
Teorema 4.2. Dado el multiconjuntoM ={∞ ·b1,∞ ·b2, . . . ,∞ ·bk}, sea ar la cantidad
der-permutaciones deM. Entonces, la funci´on generadora exponencial de la sucesi´on{ar}
viene dada por:
∞ X ar xr = ∞ X
5 Aplicaciones
Demostraci´on. Por el teorema anterior y por el desarrollo en series de la funci´on exponen-cial, la funci´on generadora exponencial asociada a {ar} es
∞ X r=0 ar xr r! = 1 + x
1! + x2
2! +· · ·
| {z }
Escoge del tipo b1
1 + x 1! +
x2 2! +· · ·
| {z }
Escoge del tipo b2
· · ·
1 + x
1!+ x2 2! +· · ·
| {z }
Escoge del tipo bk
=
1 + x 1! +
x2
2! +· · · k
= (ex)k = ekx
= ∞ X r=0 (kx)r r! = ∞ X r=0
krx r
r!
Por lo que ar =kr.
5.
Aplicaciones
PROBLEMA 5.1
Determine ar, definida como la cantidad de r-permutaciones ternarias (d´ıgitos 0, 1 y 2) que tienen una cantidad impar de ceros y una cantidad par de unos.
Soluci´on. Definimos el multiconjunto M = {∞ ·0,∞ ·1,∞ ·2}, y se buscan las r-permutaciones de M con r0 d´ıgitos 0, r1 d´ıgitos 1 y r2 d´ıgitos 2, de tal forma que
r = r0 +r1 +r2, siendo r0 impar y r1 par. Dado que el orden importa (son
permuta-ciones), se utilizar´an funciones generadoras exponenciales.
Comor1 debe ser impar, debe construirse una funci´on generadora exponencial con ´
unica-mente t´erminos de potencias impares; as´ı, la funci´on generadora asociada a los ceros es
x 1!+
x3
3! + x5
5! +· · ·
Pero este es justamente el desarrollo en serie del seno hiperb´olico senhx = e
x−e−x
2 . An´alogamente, la funci´on generadora para la escogitaci´on de los unos debe contener ´ unica-mente t´erminos de potencias pares
1 + x
2
5 Aplicaciones
Que es el desarrollo en serie del coseno hiperb´olico coshx= e
x+e−x
2 . Finalmente, no hay restricciones para la escogitaci´on de los d´ıgitos 2, por lo que la funci´on generadora es ex:
k X r=0 ar xr r! = x 1!+ x3 3! + x5
5! +· · ·
| {z }
Escoge los 00s
1 + x
2
2! + x4
4! +· · ·
| {z }
Escoge los 10s
1 + x
1! + x2
2! + x3
3! +· · ·
| {z }
Escoge los 20s =
ex−e−x 2
ex+e−x 2
(ex)
= 1 4 e
3x−e−x
= 1 4
∞ X
r=0
(3r−(−1)r)x r
r!
Por lo tanto,ar = 1 4(3
r−(−1)r).
PROBLEMA 5.2
[IMO 2008, problema 5] Sean n y k enteros positivos tales que k ≥ n. Se tienen 2n l´amparas numeradas 1,2, . . . ,2n, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las l´amparas est´an apagadas. Se consideran sucesiones de pasos: En cada paso, se selecciona exactamente una l´ampara y se cambia su estado (si est´a apagada se enciende, si est´a encendida se apaga).
Sea N el n´umero de sucesiones de k pasos al cabo de los cuales las l´amparas 1,2, . . . , n quedan todas encendidas, y las l´amparas n+ 1, n+ 2,· · · ,2n quedan todas apagadas. Sea M el n´umero de sucesiones de k pasos al cabo de los cuales las l´amparas 1,2, . . . , n quedan todas encendidas, y las l´amparas n+ 1, n+ 2, . . . ,2n quedan todas apagadas sin haber sido nunca encendidas.
Determine el cociente MN.
5 Aplicaciones
N(x) =
x 1!+
x3
3! +· · ·
| {z }
L´ampara 1
· · ·
x 1! +
x3
3! +· · ·
| {z }
L´ampara n
1 + x
2
2! +· · ·
| {z }
L´ampara n+1
· · ·
1 + x
2
2! +· · ·
| {z }
L´ampara 2n =
x 1!+
x3 3! +· · ·
n
| {z }
L´amparas 1,...,n
1 + x
2
2! +· · · n
| {z }
L´amparas n+1,...,2n =
ex−e−x 2
n
ex+e−x 2
n
= 1 2n
e2x−e−2x 2
n
ParaM(x) el an´alisis es similar, pero como las l´amparas desde la n+ 1 hasta la 2n nunca cambiaron de estado, la funci´on generadora exponencial asociada a cada l´ampara es (1).
As´ı,M es el coeficiente de x k
k! en la siguiente expresi´on:
M(x) =
x 1!+
x3 3! +· · ·
n
| {z }
L´amparas 1,...,n
1 + 0x 1!+ 0
x2 2! +· · ·
n
| {z }
L´amparasn+1,...,2n =
ex−e−x 2
n
Aunque el problema est´a planteado de manera sistem´atica, el c´alculo de los coeficientes requeridos N y M no es tarea f´acil; sin embargo, lo que se pide es el cociente N
M, por lo que se buscar´a una relaci´on entre ellos en lugar de calcularlos directamente.
Se tiene que M es el coeficiente de xk
k! en M(x). Para la funci´on generadora exponencial
N(x), tome el cambio de variable y= 2x, y defina la funci´on
N∗(y) =Ny 2
= 1
2n
ey −e−y 2
n
El coeficiente de ykk! en N∗(y) es M/2n, pero como yk = 2kxk, entonces el coeficiente de xk/k! en N(x) es N = 2k/2n·M. Por lo tanto
N
M =
2k/2n·M
M = 2
5 Aplicaciones
Bibliograf´ıa
1. Chuan-Chong, C., Khee-Meng, K.,Principles and Techniques in Combinatorics, Ed. World Scientific, 1999.
2. Vilenkin, N. Ya., Combinatorics. Ed. Academic Press, 1971.
2011 APMO PROBLEMS
Time allowed: 4 hours Each problem is worth 7 points
*The contest problems are to be kept confidential until they are posted on the offi-cial APMO website (http://www.mmjp.or.jp/competitions/APMO). Please do not disclose nor discuss the problems over the internet until that date. Calculators are not allowed to use.
Problem 1. Leta, b, c be positive integers. Prove that it is impossible to have all of the three numbersa2+b+c, b2+c+a, c2+a+b to be perfect squares.
Problem 2. Five points A1, A2, A3, A4, A5 lie on a plane in such a way that no
three among them lie on a same straight line. Determine the maximum possible value that the minimum value for the angles ∠AiAjAk can take where i, j, k are
distinct integers between 1 and 5.
Problem 3. LetABCbe an acute triangle with∠BAC= 30◦. The internal and external angle bisectors of∠ABC meet the lineACatB1andB2, respectively, and
the internal and external angle bisectors of∠ACB meet the lineABatC1andC2,
respectively. Suppose that the circles with diametersB1B2 and C1C2 meet inside
the triangleABC at pointP. Prove that∠BP C= 90◦.
Problem 4. Letn be a fixed positive odd integer. Takem+ 2distinct points
P0, P1,· · ·, Pm+1 (where m is a non-negative integer) on the coordinate plane in
such a way that the following 3 conditions are satisfied:
(1) P0= (0,1), Pm+1= (n+ 1, n), and for each integeri, 1≤i≤m, bothx- and
y- coordinates ofPi are integers lying in between 1 andn(1 andninclusive).
(2) For each integeri, 0≤i≤m,PiPi+1is parallel to thex-axis ifiis even, and
is parallel to they-axis ifiis odd.
(3) For each pair i, j with 0≤i < j ≤m, line segmentsPiPi+1 and PjPj+1 share
at most 1 point.
Determine the maximum possible value thatmcan take.
Problem 5. Determine all functions f :R→R, where Ris the set of all real numbers, satisfying the following 2 conditions:
(1) There exists a real numberM such that for every real numberx,f(x)< M is satisfied.
(2) For every pair of real numbersxandy,
XVIIa OLIMPÍADA de MAYO Primer Nivel
Mayo de 2011 Duración de la prueba: 3 horas.
Cada problema vale 10 puntos.
No puedes usar calculadora; no puedes consultar libros ni apuntes. Justifica cada una de tus respuestas.
Al participar te comprometes a no divulgar los problemas hasta el 25 de mayo.
PROBLEMA 1
Las 4 palabras codificadas
∗
⊗ ⊕#•
∗
•
⊗♦
⊕son en algún orden
AMO SUR REO MAS.
Descifrar ⊗
♦
∗
⊕#•
⊗.PROBLEMA 2
Utilizando una sola vez cada uno de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 se escriben el cuadrado y el cubo de un número entero positivo. Determinar cuánto puede valer dicho número.
PROBLEMA 3
En el rectángulo ABCD, BC= 5, EC= 1
3CD y F es el
punto donde se cortan AE y BD.
F
E
C D
B A
El triángulo DFE tiene área 12 y el triángulo ABF tiene
área 27. Hallar el área del cuadrilátero BCEF.
PROBLEMA 4
Utilizando varios cubitos blancos de arista 1 Guille arma un cubo grande. Luego elige 4 caras del cubo grande y las pinta de rojo. Finalmente desarma el cubo grande y observa que los cubitos con al menos una cara pintada de rojo son 431. Hallar la cantidad de cubitos que utilizó para armar el cubo grande. Analizar todas las posibilidades.
PROBLEMA 5
XVIIa OLIMPÍADA de MAYO Segundo Nivel
Mayo de 2011
Duración de la prueba: 3 horas. Cada problema vale 10 puntos.
No puedes usar calculadora; no puedes consultar libros ni apuntes. Justifica cada una de tus respuestas.
Al participar te comprometes a no divulgar los problemas hasta el 25 de mayo.
PROBLEMA 1
Hallar un número entero positivo x tal que la suma de los dígitos de x sea mayor que 2011 veces la suma de los dígitos del número 3x (3 por x).
PROBLEMA 2
Decimos que un número de cuatro dígitos abcd (a≠0) es porá si se cumplen las siguientes condiciones:
a≥b;
ab cd− =cd−ba.
Por ejemplo, 2011 es porá porque 20 11 11 02− = − . Hallar todos los números porá.
PROBLEMA 3
En un triángulo rectángulo ABC tal que AB = AC, M es el punto medio de BC. Sea P un punto de la mediatriz de AC que pertenece al semiplano determinado por BC que no contiene a A. Las rectas CP y
AM se cortan en Q. Calcular el ángulo que forman AP y BQ.
PROBLEMA 4
Dados n puntos en una circunferencia se escribe al lado de uno de ellos un 1 y al lado de cada uno de los otros un 0. La operación permitida consiste en elegir un punto que tenga un 1 y cambiar el número de ese punto y también los números de sus dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha (donde hay 1 se escribe 0 y donde hay 0 se escribe 1).
a) Si n = 101, mostrar que se puede lograr, mediante una sucesión de operaciones permitidas, que cada uno de los n puntos tenga escrito un 0.
b) Si n = 102, demostrar que es imposible lograr todos 0.
PROBLEMA 5
Determinar para qué números naturales n es posible cubrir completamente un tablero de
n×n, dividido en casillas de 1×1, con piezas como la de la figura, sin huecos ni
superposiciones y sin salirse del tablero. Cada una de las piezas cubre exactamente seis casillas.
XIII Olimpiada Matem´atica de Centroam´erica
y El Caribe
Colima, M´exico, 21 de junio de 2011
Primer d´ıa
Problema 1
En cada uno de los v´ertices de un cubo hay una mosca. Al sonar un silbato, cada una de las moscas vuela a alguno de los v´ertices del cubo situado en una misma cara que el v´ertice de donde parti´o, pero diagonalmente opuesto a ´este. Al sonar el silbato, ¿de cu´antas maneras pueden volar las moscas de modo que en ning´un v´ertice queden dos o m´as moscas?
Problema 2
SeanABC un tri´angulo escaleno, Del pie de la altura desdeA, E la intersecci´on del ladoAC con la bisectriz del ∠ABC, y F un punto sobre el lado AB. Sea O
el circuncentro del tri´anguloABC y seanX, Y, Z los puntos donde se cortan las rectas AD conBE, BE con CF, CF con AD, respectivamente. Si XY Z es un tri´angulo equil´atero, demuestra que uno de los tri´angulosOXY,OY Z,OZXes un tri´angulo equil´atero.
Problema 3
Aplicar un desliza un enteron ≥ 2significa tomar cualquier primopque divida a
ny reemplazarnpor n+pp2.
Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual a5y se le aplica un desliz. Al n´umero as´ı obtenido se le aplica un desliz, y as´ı sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en alg´un momento se obtiene el n´umero5.
XIII Olimpiada Matem´atica de Centroam´erica
y El Caribe
Colima, M´exico, 22 de junio de 2011
Segundo d´ıa
Problema 4
Encuentra todos los enteros positivosp,qyr, conpyqn´umeros primos, que satis-facen la igualdad
1
p+ 1 + 1
q+ 1 −
1
(p+ 1)(q+ 1) = 1
r.
Problema 5
Los n´umeros reales positivosx,y,z son tales que,
x+y
z =y+ z
x =z+ x y = 2.
Determina todos los valores posibles dex+y+z.
Problema 6
Sea ABC un tri´angulo acut´angulo y seanD, E y F los pies de las alturas desde
A,B yC, respectivamente. SeanY yZ los pies de las perpendiculares desdeB y
C sobreF D yDE, respectivamente. SeaF1 la reflexi´on deF con respecto aE y seaE1 la reflexi´on deE con respecto a F. Si3EF = F D +DE, demuestra que
∠BZF1 =∠CY E1.
Nota: La reflexi´on de un punto P respecto a un punto Q es el punto P1 ubicado
sobre la rectaP Qtal queQqueda entreP yP1, yP Q=QP1.
Cada problema vale 7 puntos.
Language: Spanish
Day: 1
Lunes, 18 de julio de 2011
Problema 1. Para cualquier conjuntoA={a1, a2, a3, a4}de cuatro enteros positivos distintos se
denota la sumaa1+a2+a3+a4 porsA. SeanA el número de parejas(i, j)con1≤i < j≤4para
las cuales ai+aj divide a sA. Encontrar todos los conjuntos Ade cuatro enteros positivos distintos para los cuales se alcanza el mayor valor posible de nA.
Problema 2. SeaS un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En S no hay tres puntos colineales. Un remolinoes un proceso que empieza con una recta` que pasa por un único puntoP deS. Se rota`en el sentido de las manecillas del reloj con centro enP hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto deS al cual llamaremos Q. ConQcomo nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto deS. Este proceso continúa indefinidamente.
Demostrar que se puede elegir un punto P deS y una recta` que pasa porP tales que el remolino que resulta usa cada punto deS como centro de rotación un número infinito de veces.
Problema 3. Seaf una función del conjunto de los números reales en si mismo que satisface
f(x+y)≤yf(x) +f(f(x))
Language: Spanish
Day: 2
Martes, 19 de julio de 2011
Problema 4. Sean >0un entero. Se dispone de una balanza de dos platillos y denpesas cuyos pesos son 20,21, . . . ,2n−1. Debemos colocar cada una de lasnpesas en la balanza, una tras otra, de
manera tal que el platillo de la derecha nunca sea más pesado que el platillo de la izquierda. En cada paso, elegimos una de las pesas que no ha sido colocada en la balanza, y la colocamos ya sea en el platillo de la izquierda o en el platillo de la derecha, hasta que todas las pesas hayan sido colocadas. Determinar el número de formas en las que esto se puede hacer.
Problema 5. Seaf una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Se supone que para cualesquiera dos enterosmyn, la diferenciaf(m)−f(n)es divisible porf(m−n). Demostrar que para todos los enterosmynconf(m)≤f(n), el númerof(n)es divisible porf(m).
Problema 6. SeaABC un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita esΓ. Sea ` una recta tangente a Γ, y sean `a, `b y `c las rectas que se obtienen al reflejar ` con respecto a las rectas BC, CA yAB, respectivamente. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las rectas `a,`b y`ces tangente a la circunferenciaΓ.
Language: Spanish Tiempo: 4 horas y 30 minutos
Martes 27 de setiembre de 2011
Prueba
D´ıa 1
Problema 1.
En la pizarra est´
a escrito el n´
umero 2. Ana y Bruno juegan
alterna-damente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el n´
umero escrito
por el que se obtiene al aplicar exactamente una de las siguientes operaciones:
multiplicarlo por 2, o multiplicarlo por 3, o sumarle 1. El primero que obtenga un
resultado mayor o igual que 2011 gana. Hallar cu´
al de los dos tiene una estrategia
ganadora y describir dicha estrategia.
Problema 2.
Encontrar todos los enteros positivos
n
para los cuales existen tres
n´
umeros enteros no nulos
x, y, z
tales que
x
+
y
+
z
= 0
y
1
x
+
1
y
+
1
z
=
1
n
.
Problema 3.
Sea
ABC
un tri´
angulo y sean
X, Y, Z
los puntos de tangencia de su
circunferencia inscrita con los lados
BC, CA, AB
, respectivamente. Suponga que
C
1, C
2, C
3son circunferencias con cuerdas
Y Z, ZX, XY
, respectivamente, tales
que
C
1y
C
2se corten sobre la recta
CZ
y que
C
1y
C
3se corten sobre la recta
BY
. Suponga que
C
1corta a las cuerdas
XY
y
ZX
en
J
y
M
, respectivamente;
Mi´ercoles 28 de setiembre de 2011
Prueba
D´ıa 2
Problema 4.
Sea
ABC
un tri´
angulo acut´
angulo, con
AC
̸
=
BC
, y sea
O
su
circuncentro. Sean
P
y
Q
puntos tales que
BOAP
y
COP Q
son paralelogramos.
Demostrar que
Q
es el ortocentro de
ABC
.
Problema 5.
Sean
x
1, . . . , x
nn´
umeros reales positivos. Demostrar que existen
a
1, . . . , a
n∈ {−
1
,
1
}
tales que
a
1x
21+
· · ·
+
a
nx
2n≥
(
a
1x
1+
· · ·
+
a
nx
n)2.
Problema 6.
Sean
k
y
n
enteros positivos, con
k
≥
2. En una l´ınea recta se tienen
kn
piedras de
k
colores diferentes de tal forma que hay
n
piedras de cada color.
Un
paso
consiste en intercambiar de posici´
on dos piedras adyacentes. Encontrar
el menor entero positivo
m
tal que siempre es posible lograr, con a lo sumo
m
pasos, que las
n
piedras de cada color queden seguidas si:
a
)
n
es par.
b
)
n
es impar y
k
= 3.
Columna de Problemas No. 6 (Soluciones)
Problema 27
Considerar las permutaciones
σ1=
1 2 3 4 · · · 19 20 a1 a2 a3 a4 · · · a19 a20
σ2=
1 2 3 4 · · · 19 20 a19 a20 a17 a18 · · · a1 a2
.
Mostrar que siσ1tiene a lo sumo 100 inversiones, entonces σ2 tambi´en tiene a lo sumo 100 inver-siones.
Nota: Una inversi´on en una permutaci´onσes un par (i, j) tal quei < j yσ(i)> σ(j).
Fuente: Olimpiada Rumana, 1979.
Soluci´on de Daniel Campos (Universidad de Costa Rica)
Seani, j enteros positivos, 1≤i < j≤20. Note que si ies impar entonces (i, j) es una inversi´on deσ2 si y s´olo sij =i+ 1 y el par (i, j) es una inversi´on deσ1 o si (i, j) no es una inversi´on de σ1. Si ies par entonces (i, j) es una inversi´on deσ2 si y s´olo si (i, j) no es una inversi´on de σ1. De esta manera la m´axima cantidad de inversiones paraσ2 es
20
2
−100
+ 10 = 100,
Problema 28
Demostrar que todo n´umero perfecto divisible por 2011 debe ser divisible por 20112.
Fuente: Original de Daniel Campos (Universidad de Costa Rica)
Soluci´on del autor
Suponga que existe un n´umero perfecto n que es divisible por 2011 pero no por 20112. Sea n = 2011pα1
1 · · ·pαmm, con pi primo y αi entero positivo, 1 ≤ i ≤ m. Un n´umero perfecto satisface que σ(n) = 2n, donde σ es la suma de todos los divisores positivos de un n´umero. De esta manera la ecuaci´on se reescribe como
2 =
1 + 1 2011
m Y
i=1
1 + 1 pi
+...+ 1 pαi
i
.
Note que 1+20111 = 220112·503, de manera que 2·503 divide an. Supongamos sin p´erdida de generalidad quep1= 2 yp2= 503. Esto implica que
2≥
1 + 1
2011 1 + 1
503 1 + 1 2 +...+
1 2α1
= 2012·504 2011·503
2− 1
2α1
,
o bien 2α1≤ 1008
5 <2
8, y as´ı se sigue que 1≤α
1≤7. Siα1es impar se sigue que 3 divide al numerador de 1 +12+...+2α11
, y por lo tanto 3 divide a n. Esto implica que
2≥
1 + 1
2011 1 + 1 2 1 +
1 3
= 2
1 + 1
2011
,
lo cual es una contradicci´on. Por lo tantoα1∈ {2,4,6}. Paraα1igual a 2,4,6 se obtiene que 7,31,127 dividen an, respectivamente. Paraα1= 2 se tiene que
2≥
1 + 1
2011 1 + 1 2+
1 4 1 +
1 7
= 2
1 + 1
2011
,
Soluci´on de Jos´e Madrid y Gerardo Urbina (El Salvador)
Supongamos que el n´umero perfecto que cumple ser divisible por 2011 es par. Es conocido que todo n´umero perfecto par es de la forman= 2p−1(2p−1) conpprimo. Entonces 2011|2p−1(2p−1), pero mcd(2011,2) = 1 de donde 2011|2p−1, es decir 2p≡1 (m´od 2011).
Claramentep6= 2 as´ı que podemos tomarp= 2k+ 1: 22k·2≡1 (m´od 2011). Pero 2011 es primo
y adem´as 201122k = 1 y 20111
= 1, donde el par´entesis denota el s´ımbolo de Legendre. Y como el producto de un residuo por un no residuo es un no residuo, y el producto de dos residuos es un residuo m´odulo un primo, queda 2
2011
= 1.
Pero es conocido que:2p= 1 si y s´olo si p= 8k0±1 para alg´unk0. Ya que 2011 = 8·251 + 3, esto es una contradicci´on. Entonces el n´umero perfecto debe ser impar. Ahora, es conocido que todo n´umero perfecto impar es de la forma n =qαp2e1
1 · · ·p 2ek
k , con q ≡ α ≡ 1 (m´od 4) y q, pi primos. Ahora, si 2011|n, como 2011 = 4·503−1 esto implica que 20116=q, as´ı que 2011 es alguno de lospi, haciendo que su exponente sea par, o sea 20112|n.
Recibida tambi´en una soluci´on de Ervin Ram´ırez (National Taiwan University)
Problema 29
Probar que la serie
∞
X
n=3
1 (log logn)logn
es convergente.
Fuente: Gelca, Andreescu,Putnam and Beyond, Springer, 2007.
Soluci´on de Daniel Campos Salas (Universidad de Costa Rica)
Note que los t´erminos de la serie forman una sucesi´on decreciente. Por el criterio de condensaci´on de Cauchy la serie converge si y s´olo si la serie
∞
X
k=2
1 log(klog 2)klog 2
es convergente. Note que la desigualdad log 2> 1
2 implica que
log(klog 2) = logk+ log(log 2)≥logk−1,
y as´ı parak≥3 se cumple que
1
log(klog 2)klog 2 <
1 (logk−1)k/2.
Por lo tanto es suficiente demostrar que la serie
∞
X
k=3
1 (logk−1)k/2
es convergente. Este resultado se sigue del criterio de la ra´ız, y as´ı concluye la prueba.
Problema 30
Sipes un primo, probar que todo grupo finito de ordenp2es necesariamente abeliano.
Fuente: Folclor
Soluci´on de Daniel Campos (Universidad de Costa Rica)
Es claro que si G es c´ıclico entonces es abeliano. Luego, suponga que G no es c´ıclico, y por lo tanto todo elemento no trivial deGtiene ordenp. Seana, b∈Gtales quehai ∩ hbi= 1, donde 1 es el elemento neutro deG. Es f´acil demostrar que los conjuntos
G1={ambn : 0≤m, n≤p−1}yG2={bman : 0≤m, n≤p−1}
son en efectoG, pues contienenp2 elementos distintos deG. Note que es suficiente demostrar queay bconmutan, ya que todo elemento deGse puede escribir como un producto de ellos.
Llamaremosn-´esima fila de los conjuntosG1 yG2 a los subconjuntos
{abn, a2bn, ..., ap−1bn}y{bna, bna2, ..., bnap−1}, 1≤n≤p−1
respectivamente. Se va a probar que existe un enteroktal que b−1˜ab= ˜ak, con 16= ˜a∈ hai, y en este casok= 1.
Si las primeras filas deG1yG2no son disjuntas el resultado es claro. Si las primeras filas deG1 y G2 son disjuntas, entonces al menos dos elementos distintos de la primera fila deG2pertenecen a una misma fila deG1. En este caso supongamos que se tiene
bak1 =am1bn ybak2=am2bn,
paraki, mi, n(i= 1,2) enteros positivos entre 1 yp−1. De lo anterior se obtiene que
bak1−k2b−1= (bak1)(bak2)−1= (am1bn)(am2bn)−1=am1−m2,
como se quer´ıa.
Por inducci´on se puede demostrar queb−1a˜rb= ˜akryb−sab˜ s= ˜aks
. Tomandos=pen la identidad anterior se obtiene que
˜
a=b−p˜abp= ˜akp= ˜ak,
pueskp≡k (m´odp), por el peque˜no teorema de Fermat. Lo anterior implica queb−1˜ab= ˜a, que era lo que se quer´ıa.
Finalmente, como ˜a6= 1, existe un entero mtal quea= ˜am. Esto implica que
Soluci´on de Ervin Ram´ırez (National Taiwan University)
SeaGun grupo finito de ordenp2. SiGno es abeliano, su centro Z(G) es un subgrupo propio tal que|Z(G)|= 1 op, de acuerdo al teorema de Lagrange. Pero, por teorema,G es unp-grupo y todo p-grupo con m´as de un elemento cumple que su centroZ(G) es diferente de uno. Entonces|Z(G)|=p.
El centro siempre es un subgrupo normal, entonces el cocienteG/Z(G) est´a definido y como es de ordenp, entoncesG/Z(G) es c´ıclico y, por teorema, Ges abeliano. Contradicci´on. Deducimos que G es abeliano.
Notas del editor:
El resultado utilizado en la ´ultima parte dice que siGes un grupo tal queG/Z(G) es c´ıclico,G es necesariamente abeliano. Este es un ejercicio sencillo para el lector.
Como se vio arriba, todo grupo de ordenp2 es isomorfo a
Z/pZo bien aZ/pZ⊕Z/pZ. Este es
Columna de Problemas No. 7
26A. SeaDun punto en el ladoABdel tri´angulono obtus´anguloABCtal queAD=CBy adem´as 3∠CBA= 2∠ACD. Probar queAC es perpendicular aCB.
Sugerido por Rufo Casco, Universidad Nacional de Ingenier´ıa (Nicaragua)
31. Encontrar todas las soluciones enteras de la ecuaci´ony2=x3+ 7.
Sugerido por el editor
32. Se define la sucesi´on{xn}n≥0 como sigue:x0=x1= 1 y para todon≥1
xn+1= x2n xn−1+ 2xn
.
Hallarxn en funci´on den.
Original del editor
33. SeaABC un tri´angulo de incentroI. Las perpendiculares trazadas porI aIA,IB,IC cortan a una tangente dada a la circunferencia inscrita enP,Q, Rrespectivamente. Demostrar queAP, BQyCRson concurrentes.
Original de Rufo Casco, Universidad Nacional de Ingenier´ıa (Nicaragua)
34. Seaa >1 un n´umero real positivo. Determinar el valor deade modo que la gr´afica de la funci´on f(x) =axsea tangente a la gr´afica de la funci´on inversa def.
Original de ´Oscar Olmedo, Instituto Nacional Jorge Eliseo Azucena Ortega, Chalchuapa
35. Demostrar la identidad
d dx
n−1 Y
k=0
a−2√xcos2k+ 1 2n
=−n
n−2 Y
k=1
a−2√xcos kπ n−1
.
Caf´e Matem´atico No. 7 Curiosidades del mes
El cubo de Metatr´on
Este misterioso diagrama est´a formado por 13 circunferencias junto con las l´ıneas que unen sus centros. Tiene la interesante propiedad de “contener” los 5 s´olidos plat´onicos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro (hablando en rigor, contiene las proyecciones de los primeros tres, mas no las del resto). Metatr´on es un arc´angel mencionado en algunas fuentes ocultas del cristianismo y juda´ısmo, y supuestamente ocupa uno de los puestos m´as altos de la jerarqu´ıa celestial. Adem´as los 13 c´ırculos (sin las l´ıneas) forman una configuraci´on especial llamadaflor de la vida. Al parecer estas figuras poseen un fuerte significado esot´erico y son consideradas por algunos como “geometr´ıa sagrada”.
La ley de grupo
La justificaci´on de este hecho es la llamadaley de grupode las curvas el´ıpticas: Toda curva el´ıptica es isomorfa a su variedad de Jacobi, que es un grupo abeliano, y hereda de ´esta una operaci´on que la convierte en un grupo (y de hecho en una variedad abeliana).
El fiasco de los trierniones
En un hecho que puso en duda la divulgaci´on de las matem´aticas en esta parte del mundo, la prensa mexicana retom´o el mes anterior el supuesto descubrimiento de un “nuevo sistema matem´atico” que generaliza los n´umeros complejos a tres dimensiones. Los trierniones, como fueron bautizados por su descubridor, tendr´ıan una parte real y dos imaginarias y formar´ıan un cuerpo de dimensi´on real 3 que contiene aC.
Lamentablemente los trierniones tal y como los defini´o su autorno existen: Es imposible encontrar una extensi´on finitaF/Ccon [F : R] >2, ya que C es algebraicamente cerrado y autom´aticamente
F =C. M´as a´un, la idea de un n´umero con “una parte real y dos imaginarias” no es nueva; ´estos
ya hab´ıan sido estudiados en 2002 por el matem´atico rumano Silviu Olariu. Al ser definidos correcta-mente, losn´umeros tricomplejos de Olariu forman un ´algebra asociativa, conmutativa y de dimensi´on real 3.
En cualquier caso no tendremos la oportunidad de observar a los trierniones en el plano de Argand-Morales del R´ıo, o mejor dicho enC. El editor opina que El Salvador deber´ıa de unirse a esta carrera de reclamaciones territoriales en la matem´atica (¿qu´e tal lageometr´ıa de Euclides-Aguilar?)
