Soluciones de los problemas de álgebra lineal

Soluciones de los problemas de álgebra lineal

HOJA 1:

A) Cuestiones test

1. a 2. a 3. b,d 4. b,c 5. b

B) Problemas

1. (a) 4A+ 2Ct=

⎛

⎝ 166 −₋64 −2 10

⎞

⎠, (b) (BA)t₋C= µ

−7 ₋6 1

−7 6 ₋1

¶ ,

(c)B+AC=

⎛

⎝ 80 142 −92 3 ₋3 3

⎞

⎠, (d)CA= µ

1 ₋14

3 0

¶ ,

(e) (B₋2I)2₌

⎛

⎝ 3550 3663 4138 7 9 10

⎞

⎠, (f) (CA)−1₌

µ

0 1/3

−1/14 1/42 ¶

.

2. tr (A) = 4, tr (B) = 16, tr (D) = 4y las matrices C, E yF no tienen traza.

3. Las matricesA+ 2B y125E₋14F no tienen traza y tr (A+ 3D) = 16.

4. αA=

⎛

⎝ αα −02α −3α4α α ₋3α ₋5α

⎞

⎠, tr(A) =₋4, tr(αA) =₋4α=αtr(A).

5. tr(AB) = 7 = tr(BA).

6. I2

3 =I3I3=

⎛

⎝ 10 01 00 0 0 1

⎞

⎠,3 = tr(I2

3)6= tr(I3) tr(I3) = 9, por tanto tr(A2)6= tr(A) tr(A).

7. El rango de la matrizAes2,el deB es2y el deC es 3.

8. a= 1

2 yb= 1.

9. Las matricesA, C yDno poseen inversa. B−1=

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

0 0 1 0

0 0 ₋1 1

1 0 0 ₋1

−1 1 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠.

10. B es triangular inferior, Ces triangular superior, Des simétrica y E es antisimétrica.

11. A= µ

0 0 1 0

¶

.

12. Aes idempotente, B es ortogonal,Ces unipotente y Des nilpotente.

13. _|A_|= 1, _|B_|=₋1, _|C_|= 12, _|D_|= 0.

14. _|A_|= 60, _|B_|=₋8, _|C_|= 4.

15. ₋Los menores complementarios sonM13=−11,M22= 0,M11=−1.

−Los adjuntos de los elementos de la segundafila son A21= 0,A22= 0,A23= 5.

−|A_|= 5.

16. _|A+B_|= ¯ ¯ ¯ ¯ 32 ₋42

¯ ¯ ¯

17.

|A_| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1 a b+c 1 b c+a 1 c a+b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1 a+b+c b+c 1 a+b+c c+a 1 a+b+c a+b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 0.

|B_| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

= 2a_F−1a_F 3a_F−2a_F

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1 2 3 4 5

5 5 5 5 5

5 5 5 5 5

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

= 0.

18. El rango de la matrizAes3.

19. La matrizAtiene rango completo si a₆= 0ya₆= 1. Paraa= 2

A−1=

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1/2 1/2 ₋1/2 0 −1/2 ₋1/2 1/2 1 −1/2 ₋1/2 3/2 ₋1

−1 0 1 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

HOJA 2:

A) Cuestiones test

1. b 2. b,c 3. c,d 4. b

B) Problemas

1. x= 14, y= 46.

2. i)x=−13

5 , y= − 11

5 . ii) x= 0, y=−3. iii) Incompatible.

3. i) Sistema compatible indeterminado(x, y, z) = (z

6, 5z

6, z).

ii)Sistema compatible indeterminado(x, y, z, t) = (2t−₅13z,22z₅−3t, z, t).

4. k=115₁₁.

5. i)W1={(x, y, z)∈R3|x=−1₈z, y= −₈5z}, dim(W1) = 1.

ii)W2={(x, y, z, t)∈R4|x= 2z−3t, y= 2t−3z}, dim(W2) = 2.

6. i) Sistema compatible determinado (x, y, z, t) = (0,0,0,0).

ii) Sistema compatible indeterminado(x, y, z, t) = (9z−₁₇39t,19z₁₇−20t, z, t).

iii) Sistema compatible determinado (x, y, z, t) = (2,1₂,₋3,4).

iv) Sistema Incompatible.

7. i)(x, y, z) = (2,₋1,3). ii) (x, y, z) = (3,₋1,2).

8. i) Si k= 2entonces el sistema es compatible indeterminado.

Si k=₋3 entonces el sistema es incompatible.

Si k₆= 2 y k₆=₋3 entonces el sistema es compatible determinado.

ii) Sik=₋4 entonces el sistema es compatible determinado.

Si k₆=₋4 entonces el sistema es incompatible.

9. i) Si c₋5a+ 2b= 0 entonces el sistema es compatible indeterminado.

Si c₋5a+ 2b₆= 0 entonces el sistema es incompatible.

ii) Si a₆=₋4 yb cualquiera entonces el sistema es compatible determinado.

Si a=₋4 entonces si

½

b=₋7 el sistema es compatible indeterminado.

b₆=₋7 el sistema es incompatible.

HOJA 3:

A) Cuestiones test

1. a,b 2. b,c 3. b 4.b 5.a,b,d 6. a 7. b 8.a,c.

B) Problemas

1. α= arccos(₋1) =π; β= arccos(0) =π₂.

2. El módulo dev es6.

3. H no es subespacio vectorial de_R3[x].

4. Sólo los conjuntosA,B yF son subespacios vectoriales de_R4_.

5. W1∩W2={(x, y, z)∈R3|x= 0, y=z} = W2,W1+W2={(x, y, z)∈R3|x= 0} = W1.

6. El sistema de vectores_{(1,₋1,2),(₋1,1,2),(0,0,1)_}no genera _R3_.

7. _{(1,0,₋2,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)_}es un sistema de generadores del subespacioA.

{(1,₋1,0,0),(0,0,1,1)_}es un sistema de generadores del subespacio B. {(0,0,2,1)_}es un sistema de generadores del subespacioF.

8. (1,2,3)no es combinación lineal de los vectores del sistema S y tampoco lo es el vector(1,1,1).

9. (a), (b), (e) linealmente dependientes; (c), (d) linealmente independientes.

10. (a) (1,2),(2,3) (b)(1,2,3),(2,0,₋1) (c)(1,2,1)(3,1,1)(1,0,₋1)

(d) (1,₋2,1,1),(3,0,2,₋2),(0,4,₋1,1) (e) (1,2,3,0),(1,0,0,1),(1,0,0,₋1)

11. (a) _R2 _{(b){(x, y, z)∈R}3_{: 4z= 7y−2x} (c)R}3

(d) _{(x, y, z, t)_∈R4_{: 8x−3y−13z−t= 0} (e) {(x, y, z, t)∈R}4_{: 3y−2z= 0}}

12. (a) No — Si. (b) Si.

13. _{(0,1,0,0),(0,0,0,2),(1,0,₋2,0)_}es una base del subespacio A;dimA= 3.

{(0,0,1,1),(1,₋1,0,0)_}es una base del subespacio B;dimB= 2.

{(0,0,2,1)_}es una base del subespacio F;dimF = 1.

14. (a) u1u2=u1u3=u1u4=u2u3=u2u4=u3u4= 0.

(b) v= (1,₋3,5,6) = 9 4u1−

13 4 u2+

3 4 u3+

5 4 u4.

(c) v= (a, b, c, d) = a+b+c+d

4 u1+

a+b−c−d

4 u2+

a−b−c+d

4 u3+

a−b+c−d

4 u4.

(d) B0=_{u1

|u1| = (

1 2,

1 2,

1 2,

1 2),

u2

|u2| = (

1 2,

1 2,−

1 2,−

1 2),

u3

|u3| = (

1 2,−

1 2,

1 2,−

1 2),

u4

|u4| = (

1 2,−

1 2,−

1 2,

1 2)}.

15. dimU = 3._{(1,0,0,0),(0,1,0,₋1),(0,0,1,2)_}es una base deU.

dimV = 2._{(0,2,1,0),(1,0,0,1)_}es una base deV.

U_∩V =_{(x, y, z, t)_∈R4_|x=t= 0, y= 2z_};dim(U _∩V) = 1;_{(0,2,1,0)_}es una base deU _∩V.

U+V =L((1,0,0,0),(0,1,0,₋1),(0,0,1,2),(0,2,1,0),(1,0,0,1)) =_R4;dim(U+V) = 4;

{(1,0,0,0),(0,1,0,₋1),(0,0,1,2),(0,2,1,0)_}es una base deU+V.

16. (a) (2,₋1)y(5,₋3) (b) (3,₋1)y(5,₋2)

17. (1,0,1,₋2)_∈/V2.

(1,0,1,₋2)_∈V1; (1,0,1,−2) = (1,0,1,0) + 0(0,1,1,0)−2(0,0,0,1). Coordenadas =(1,0,−2).

18. Los vectores(4,0,1),(1,5,1),(7,₋5,1)son linealmente dependientes,

W =L_{(4,0,1),(1,5,1),(7,₋5,1)_}=_{(x, y, z)_∈R3: 5x= 20z₋3y_}ydimW = 2.

19. (a) {(1,₋1,0,0),(0,0,1,₋1)_}es una base deH ydimH = 2.

(b) dimL= 3;L=_{(x, y, z, t) :x=y+z+t_}.

HOJA 4:

A) Cuestiones test

1. a 2. e 3. a 4. a,d 5. b,d 6. d.

B) Problemas

1. Sólo las aplicaciones de los apartados (b) y (d) son aplicaciones lineales.

2. Expresión matricial (en las bases canónicas):

(a) f(x, y, z) = µ

4 5 0

−1 0 1 ¶⎛

⎝ xy z

⎞

⎠ (d) f(u1, u2, u3) =

⎛

⎝ 10 −01 −01

0 0 1

⎞ ⎠

⎛ ⎝ uu12

u3

⎞ ⎠

(b) f(u1, u2) =

⎛ ⎝ 1 3 2 3 0 1

1 ₋2

⎞ ⎠µ u1

u2

¶

(e) f(x, y) = µ 1 0 0 1 ¶ µ x y ¶

(c) f(u, v, w) =

⎛

⎝ 11 00 −01 −1

2 1 0

⎞ ⎠

⎛ ⎝ uv

w

⎞

⎠ (f) f(x, y) =

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1 ₋1

1

2 0

0 1₂

1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ µ x y ¶ .

3. (a) ker(f) =_{(x, y, z)_∈R3_{: 4x+ 5y= 0, z=x}.dim ker(f) = 3−2 = 1. dim Im(f) = 2,Im(f) =R}2_.

(b) ker(f) =_{(0,0)_}.dim ker(f) = 0.dim Im(f) = 2, Im(f) =_{(x, y, z)_∈R3_{:z= 3x−4y}.}

(c) ker(f) =_{(0,0,0)_}.dim ker(f) = 0. dim Im(f) = 3,Im(f) =_R3_.

(d) ker(f) =_{(x, y, z)_∈R3_{:z= 0, x=y}.dim ker(f) = 1.dim Im(f) = 2,Im(f) ={(x, y, z)∈R}3_{: y= 0}.}

(e) ker(f) =_{(0,0)_}.dim ker(f) = 0.dim Im(f) = 2, Im(f) =_R2_.

(f ) ker(f) =_{(0,0)_}.dim ker(f) = 0.dim Im(f) = 2, Im(f) =_{(x, y, z, t)_∈R4_{:x= 2y−2z, t= 2y+ 2z}.}

4. f(x, y, z) = (x+y, x+z).

5. No existe ninguna aplicación lineal f : _R2 _{→ R}2 tal que f(2,3) = (0,1), f(₋2,₋3) = (1,0). Pues toda aplicación lineal tal quef(2,3) = (0,1)debe verificar también quef(₋2,₋3) =₋f(2,3) =₋(0,1).

6. A=

⎛

⎝ a3 3a 40 4 0 a

⎞

⎠. Si a_∈{0,5,₋5_}entonces dim Imf = 2.Por tantoImf ₆=_R3_{.Si a /∈{0,5,−5}entonces}

dim Imf = 3.Por tanto Imf =_R3_.

7. Si, f(0,₋1,3

2) = (1,3,0).

8. Se tiene:

(f+g)(x, y, z) = (4x,4x+ 3z, x+z), (f ₋2g)(x, y, z) = (4x₋3y,₋5x₋3z, x₋2z) (f_◦g)(x, y, z) = (4y₋2z₋3x, z+y, y) (g_◦f)(x, y, z) = (z+x,14x₋3y, x).

M(f) =

⎛

⎝ 41 −10 01

1 0 0

⎞

⎠, M(g) =

⎛

⎝ 03 10 02 0 0 1

⎞

⎠, M(f₋2g) =M(f)₋2M(g) =

⎛

⎝ ₋45 −30 ₋03 1 0 ₋2

⎞ ⎠,

M(f_◦g) =M(f)M(g) =

⎛

⎝ −30 41 −21

0 1 0

⎞

⎠, M(g_◦f) =M(g)M(f) =

⎛

⎝ 141 ₋03 10

0 0 1

⎞ ⎠.

9. (a) MB1B2(f) =

µ

−3 ₋1

2 1

¶

(d) MB1B2(f) =

⎛

⎝ 01 ₋13 00

(b) MB1B2(f) =

µ

2 1 3 1 2 3

¶

(e) MB1B2(f) =

⎛

⎝ 21 21 22 0 3 3

⎞ ⎠

(c) MB1B2(f) =

µ

3 1 3 2 0 0 0 0

¶

(f ) MB1B2(f) =

⎛

⎝ 01 ₁₀07 −6₅1 0 ₋1_{5 −}1₅

⎞ ⎠

10. (a) f(x, y, z) = (11x₋5y,2x₋y, y+z),

(b) f(x, y, z) =¡−80x+31₄₂y+530z,13x+₄₂y−10z,8x−y₂₁+10z¢, (c) f(x, y) = (12x+7

3y,36x+ 41

3y,2x+ 5 3y),

(d) f(x, y, z) = (4x₋3

2y+z,−6x+ 5 2y−z),

(e) f(x, y, z) =¡7x−19₂y+19z,11x−31₂y+33z,8x₋22y+ 23z¢

11.

(a) f−1_{(x, y) = (x, y) (c) f}−1_{(x, y, z) = (}x−y

3 , 2x+y

3 , z)

HOJA 5:

A) Cuestiones test

1. a,c 2. b 3. b 4. b,c 5. c 6. b 7. b,d 8. d

B) Problemas

1. (a) B1={(1,0,0),(0,0,1),(0,1,2)}; D1=

⎛

⎝ 10 01 00 0 0 2

⎞ ⎠.

(b) B2={(1,0,1),(2,0,1),(0,1,2)}; D2=

⎛

⎝ 10 ₋01 00

0 0 3

⎞ ⎠.

(c) f3 no es diagonalizable.

2. (a) Sí, puesf1(0,1,2) = (0,2,4). (b) No, ya quef2(4,0,3) = (0,0,1)6= (12,0,9).

(b) Sí, puesf3(2,0,0) = (2,0,0).

3. (a) Autovalores: λ1= 0,λ2= 1yλ3=−1. Además

V(λ1 = 0) ={(x, y, z)∈R3/ x=y= 0}

V(λ2 = 1) ={(x, y, z)∈R3/ x+ 2y= 0, z= 0}

V(λ3 = −1) ={(x, y, z)∈R3/ x=z, x=−y}.

(b) ker(f) =V(λ1= 0) ={(x, y, z)∈R3/ x=y= 0};Im(f) ={(x, y, z)∈R3/ x+ 2y+z= 0}.

4. (a) D1=

µ −1 0

0 3

¶

; P1=

µ

4 1

3 ₋1 ¶

(b) La matrizA2 no es diagonalizable

(c) D3=

⎛

⎝ 10 06 00 0 0 6

⎞ ⎠; P3=

⎛

⎝ −12 01 10

1 0 2

⎞

⎠ (d) D4=

⎛

⎝ 10 ₋01 00

0 0 2

⎞ ⎠;P4=

⎛

⎝ 11 ₋11 00

0 0 1

⎞ ⎠

(e) D5=

⎛

⎝ 20 03 00 0 0 3

⎞ ⎠; P5=

⎛

⎝ 01 11 00 2 0 1

⎞

⎠ (f ) La matrizA6no es diagonalizable

(g) D7=

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠;P7=

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0

⎞ ⎟ ⎟

⎠ (g) D8=

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠;P7=

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 ₋1 1

1 1 0 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

5. (a) detA1= detD1=−3; trA1= trD1= 2 (b) La matrizA2 no es diagonalizable

(c) detA3= detD3= 36;trA3= trD3= 13 (d) detA4= detD4=−2;trA4= trD4= 2

(e) detA5= detD5= 18;trA5= trD5= 8 (f ) La matrizA6no es diagonalizable

(g) detA7= detD7= 4;trA7= trD7= 6 (g) detA8= detD8= 0;trA1= trD1= 4

6. µ

1 ₋9 0 ₋2

¶ .

7. (a) a=₋3, b= 7. (b) a= 4, b= 2.

8. a= 0, b=5₃, c= 1; a= 2, b= 1, c=₋1; a=₋3, b=₋7₃, c= 4.

9.

⎛ ⎝ 2 −

5 2

5 2

0 ₋1₂ 5₂ 0 5_{2 −}1₂

⎞ ⎠.

11. (a) a₆= 1. (b) a= 0. (c) a₆= 0yb₆= 1.

12. (a) D1=

⎛

⎝ 00 01 00 0 0 ₋1

⎞ ⎠;P1=

⎛ ⎝

1 0 0

0 _√1

2 −

1

√

2

0 √1

2 1

√

2

⎞ ⎠.

(b) D2=

⎛

⎝ 00 00 00 0 0 3

⎞ ⎠; P2=

⎛ ⎜ ⎝

1

√

2 1

√

6 1

√

3

−_√1 2

1

√

6 1

√

3

0 ₋√2

6 1

√

3

⎞ ⎟ ⎠.

13. (a) λ1=1₂ doble (m1= 2);λ2= 1₄. (b) λ1= 1;λ2=−1₃;λ3=1₇.

14. (a) An

1 =

⎛ ⎝ 5

n _4·5n₋₂n+1_{−2 5}n₋₂n

0 1 0

0 2n+1₋2 2n

⎞ ⎠.

(b) An₂ =

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

(₋3)n 3n−(₃−3)n 12·3n+5·(−₂₇3)n−17·6n 0

0 3n 4(3n

−6n₎

3 0

0 0 6n ₀

0 0 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠.

15. Si denotamos por x(t) e y(t)respectivamente los porcentajes de telespectadores de los informativos de las cadenas WW y R7 al pasart días, entonces

x(t+ 1) = 0.6x(t) + 0.3y(t) y(t+ 1) = 0.4x(t) + 0.7y(t)

o equivalente en notación matricial

z(t+ 1) =A_·z(t)

dondez(t) = (x(t), y(t)), z(0) = (0.5,0.5) yA= µ

0.6 0.3 0.4 0.7

¶

. Así pues

z(7) =Az(6) =A2_{z(5) =...=A}7_{z(0) =}

à ₃₊₄

·(0.3)7

7

3−3·(0.3)7

7 4−4·(0.3)7

7

4+3·(0.3)7

7

! µ 0.5 0.5

¶ =

µ 0.4285 0.5714

¶

por lo que al cabo de una semana el informativo nocturno de la cadena WW tendrá una audiencia del42.85%

HOJA 6:

A) Cuestiones test

1. c 2. a,b 3. a 4. b 5. b

B) Problemas

1. A1=

⎛

⎝ 2 0 −

1 2

0 1 2

−12 2 −4

⎞

⎠, A2=

⎛

⎝ −1 1

1 2

1 1 5₂

1 2

5 2 −1

⎞

⎠, A3=

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

3 0 0 3 0 1 1 2 0 1 2 3 3 2 3 8

⎞ ⎟ ⎟ ⎠.

2. (a) Se deja al lector.

(b) Q=

⎛

⎝ ₋21 −11 ₋−11 2

−1 ₋1

2 3

⎞

⎠. Q=A1+At1

2 =

A2+At2

2 =

A3+At3

2 .

3. (a) q1es semidefinida positiva.

(b) q2es indefinida.

(c) q3es indefinida.

(d) q4es definida positiva.

(e) q5es indefinida.

(f ) q6es semidefinida positiva.

(g) q7es semidefinida negativa.

(h) q8es definida negativa.

4. (a) q1es

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

definida negativa sia <₋5

semidefinida negativa sia=₋5

indefinida si ₋5< a <5

semidefinida positiva si a= 5

definida positiva si a >5 .

(b) q2es semidefinida positiva cuando a≥1 y b=−1. En el resto de casos es indefinida.

(c) q3es

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

definida negativa si a <₋√2

semidefinida negativa sia=₋√2

indefinida si ₋√2< a <√2

semidefinida positiva si a=√2