Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007

(1)

05) Cinemática 1-D

0502) Movimiento Rectilíneo

Horizontal

Desarrollado por el Profesor Rodrigo

Vergara Rojas

(2)

A) Movimiento con velocidad constante o Rectilíneo Uniforme (MRU)

En el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), la aceleración del móvil es nula (a0 = 0), por lo que

tambien se denomina movimiento con velocidad constante. Con referencia a la figura 1, se puede determinar que la velocidad V0 del cuerpo está

dada por:

1 2

1 2 0

t t

x x V

− −

= [1]

De [2] se puede despejar la diferencia de posiciones X2 – X1:

(

₂ ₁

)

0 1

2 x V t t

x − = ⋅ − [2]

En la figura 8 se muestra el gráfico de velocidad v/s tiempo para un MRU. El área bajo la curva achurada A entre t1 y t2 es igual a:

(

₂ ₁

)

0 t t

V

A= ⋅ − [3]

Comparando las ecuaciones [2] y [3] se llega fácilmente a la conclusión de que A = X2 – X1,

por lo que el área bajo la curva del gráfico velocidad v/s tiempo entre los instantes t1 y t2 es

igual al cambio de posición del móvil entre tales instantes.

Si en la ecuación [2] hacemos los siguientes reemplazos:

• t1 = 0 ⇒ X1 = X0 (posición inicial)

• t2 = t ⇒ X2 = X(t)

0 x

t = t₁ t = t₂

X(t₁) = X₁ X(t₂) = X₂ V₀

Figura 1) Movimiento con velocidad constante

Figura 2) Gráfico de velocidad v/s tiempo para un MRU

X

₀

X(t)

t

V

₀

[image:2.612.79.535.240.660.2]

(3)

Se llega a la ecuación de posición para un móvil en MRU

t V X

X(t)= ₀ + ₀ [4]

La ecuación [4] corresponde a la ecuación de una recta, cuyo gráfico se aprecia en la figura 3. En este gráfico:

• La posición inicial X0 corresponde al intersecto de la recta con el eje de las ordenadas.

• La velocidad V0 es la pendiente del gráfico.

Retardo y adelanto en MRU

Considere tres móviles moviéndose a la misma velocidad V0 y partiendo desde la

misma posición inicial X0. Uno de ellos

parte en t = 0 y su ecuación de posición es X

( )

t =X₀ +V₀ ⋅t; el segundo parte con un retardo de T respecto del primero, y su ecuación de posición es

( )

t X V t

X_R = _0R + ₀ ⋅ ; el tercer móvil, en tanto, parte con un adelanto de T respecto del primero, y su ecuación de posición es X_A

( )

t =X_0A +V₀ ⋅t. Estas posiciones se muestran en el gráfico de la figura 4.

Del gráfico se puede deducir que:

• X_0R = X₀ −V₀ ⋅T, de donde X_R

( )

t = X₀ −V₀ ⋅T +V₀ ⋅t =X₀ +V₀ ⋅

(

t-T

)

• X_0A =X₀ +V₀ ⋅T , de donde X_A

( )

t =X₀ +V₀ ⋅T +V₀ ⋅t =X₀ +V₀ ⋅

(

t +T

)

Ejemplo

Considere los móviles A y B de la figura 5, donde D = 60 [km], VA =

5 [m/s] y VB = 7 [m/s]. Determine

el instante y posición de encuentro si:

a) A y B parten simultáneamente en t = 0 b) B parte 3 [s] después que A

c) B parte 3 [s] antes que A

Desarrollo:

X

t

T

-T

X₀ X_0R X_0A

X_A(t) X(t) X_R(t)

Figura 4) Retardo y adelanto en el MRU

V_A V_B

D

0 x

[image:3.612.84.539.247.643.2]

(4)

Pregunta a) Las ecuaciones de posición de A y B están dadas por:

( )

t V t 5 t

X_A = _A ⋅ = ⋅

( )

t D V t 60-7 t

X_B = − _B ⋅ = ⋅

En el instante en que A y B se encuentran, XA(t) = XB(t). Luego:

[ ]

s 5 t 60 t 12 t 7 -60 t

5_⋅ ₌ _⋅ ⇒ _⋅ ₌ ⇒ =

Evaluando el tiempo obtenido en cada una de las ecuaciones de posición:

( )

5 5 5 25

[ ]

m

X_A = ⋅ =

( )

5 60-7 5 60-35 25

[ ]

m

X_B = ⋅ = =

Pregunta b) Las ecuaciones de posición de A y B están dadas por:

( )

t V t 5 t

X_A = _A ⋅ = ⋅

( )

t D V

(

t -3

)

60-7

(

t-3

)

60 7 t 21 81 7 t

X_B = − _B ⋅ = ⋅ = − ⋅ + = − ⋅

[ ]

s 6.75 t

81 t 12 t 7 -81 t

5_⋅ ₌ _⋅ ⇒ _⋅ ₌ ⇒ =

(

6.75

)

5 6.75 33.75

[ ]

m

X_A = ⋅ =

(

6.75

)

81-7 6.75 81-47.25 33.75

[ ]

m

X_B = ⋅ = =

Pregunta c) Las ecuaciones de posición de A y B están dadas por:

( )

t V t 5 t

X_A = _A ⋅ = ⋅

( )

t D V

(

t 3

)

60-7

(

t 3

)

60-7 t 21 39 7 t

X_B = − _B ⋅ + = ⋅ + = ⋅ − = − ⋅

[ ]

s 3.25 t

39 t 12 t 7 -39 t

5_⋅ ₌ _⋅ ⇒ _⋅ ₌ ⇒ =

(

3.25

)

5 3.25 16.25

[ ]

m

X_A = ⋅ =

(

3.25

)

39-7 3.25 39-22.75 16.25

[ ]

m

(5)

B) Movimiento con aceleracion constante o Rectilíneo Uniformemente Acelerado

(MRUA)

En el movimiento rectilíneo uniforme (MRUA), la aceleración del móvil es una constante no nula (a0

≠ 0), por lo que tambien se denomina movimiento con aceleración constante. Con referencia a la figura 12, se puede determinar que la aceleración a0 del cuerpo está dada por:

1 2

1 2 0

t t

V V a

− −

= [5]

De [5] se puede despejar la diferencia de velocidades V2 –

V1:

(

₂ ₁

)

0 1

2 V a t t

V − = ⋅ − [6]

En la figura 7 se muestra el gráfico de velocidad v/s tiempo para un MRUA. El área bajo la curva achurada A entre t1

y t2 es igual a:

(

₂ ₁

)

0 t t

a

A= ⋅ − [7]

Comparando las ecuaciones [6] y [7] se llega fácilmente a la conclusión de que A = V2 – V1, por lo que el área

bajo la curva del gráfico aceleración v/s tiempo entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de velocidad del móvil

entre tales instantes.

• t1 = 0 ⇒ V1 = V0 (velocidad inicial)

• t2 = t ⇒ V2 = V(t)

Se llega a la ecuación de velocidad para un móvil en MRUA

0 x

t = t₁ t = t₂

V(t₁) = V₁ V(t₂) = V₂

X(t₁) = X₁ X(t₂) = X₂ a0

Figura 6) Movimiento con aceleración constante

Figura 7) Gráfico de aceleración v/s tiempo para un MRUA

V

₀

V(t)

t

a

₀

[image:5.612.92.548.341.699.2]

(6)

t a V

V(t)= ₀+ ₀ [8]

La ecuación [8] corresponde a la ecuación de una recta, cuyo gráfico se aprecia en la figura 8. En este gráfico:

• La velocidad inicial V0 corresponde al

intersecto de la recta con el eje de las ordenadas.

• La aceleración a0 es la pendiente del gráfico.

En la figura 9 se observa el mismo gráfico anterior, pero con el área A bajo la curva entre t = t1 y t = t2

achurada. Del análisis anterior, sabemos que el área bajo la curva del gráfico velocidad v/s tiempo entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de posición del móvil

entre tales instantes. Así:

(

)

(

₂ ₁

)

2 1 1

2 t -t

2 v v x -x

A= = + [9]

Reemplazando v2 de v₂ =v₁+a₀

(

t₂−t₁

)

se llega a:

(

)

[

]

(

₂ ₁

)

1 2 0 1 1 1

2 t -t

2

t -t a v v x

-x = + + [10]

Desarrollando convenientemente la expresión anterior, se llega a:

(

)

(

)

2 1 2 0 1

2 1 1

2 a t -t

2 1 t -t v x

-x = +

[11]

• t1 = 0 ⇒ X1 = X0 (posición

inicial) y V1 =V0 (velocidad

inicial)

• t2 = t ⇒ X2 = X(t)

Se llega a la ecuación de posición

para un móvil en MRUA

2 0 0

0 a t

2 1 t V X

X(t)= + + [12]

t

V

₀

V(t)

a

₀

V

₁

V

₂

t

₁

t

₂

Figura 9) Área bajo la curva del gráfico de velocidad v/s tiempo para un MRUA

X

t

X

₀

V

₀

a

₀

> 0

a

₀

< 0

[image:6.612.86.544.153.648.2]

(7)

La ecuación [12] corresponde a la ecuación de una parábola, cuyo gráfico se aprecia en la figura 10. En este gráfico:

• La posición inicial X0 corresponde al intersecto de la recta con el eje de las ordenadas, que

corresponde al instante t = 0.

• La velocidad V0 es la pendiente de la recta tangente al gráfico en el instante t = 0.

• La aceleración a0 está relacionada con la abertura de la parábola.

o Para a₀ > 0 la parábola se abre hacia el eje positivo de las ordenadas, mientras que

para a0 < 0 la parábola se abre hacia el eje negativo de las ordenadas.

o Mientras mayor sea la magnitud de a₀, más “cerrada” es la parábola.

De la ecuación [5] se puede despejar la diferencia entre los instantes como:

0 1 2 1 2

a V V t

t − = − [13]

Reemplazando [13] en [9]:

(

) (

)

D a 2 V V a

2 V V a

V V 2

v v x -x

D ₂2 ₁2 ₀

0 2 1 2 2 0

1 2 2 1 1

2 ⇒ − = ⋅ ⋅∆

⋅ − = − +

= =

∆ [14]

La ecuación [14] resulta extremadamente útil para analizar MRUA sin saber nada acerca del tiempo.

Móvil “acelerando” y móvil “frenando”

Diremos que un móvil con MRUA está acelerando cuando su rapidez (magnitud del vector velocidad) aumenta con el tiempo. Ello se produce cuando su vector velocidad y su vector aceleración tienen la misma orientación (₊xˆ_ó_-_xˆ_).

Por el contrario, diremos que un móvil con MRUA está frenando cuando su rapidez disminuye con el tiempo. Ello se produce cuando su vector velocidad y su vector aceleración tienen orientaciones opuestas entre sí.

Todo esto se resume en la siguiente tabla:

Situación Orientación

( )

t V

Orientación

( )

t A

Orientación del movimiento

( )

t V

Móvil…..

( )

t V

( )

t A

x

ˆ

(8)

( )

t V

( )

t A

x

ˆ

+

_-

_x

ˆ

+

x

ˆ

Disminuye Frenando

( )t V

( )t A

x

-

ˆ

+

x

ˆ

-

x

ˆ

Disminuye Frenando

( )t V

( )t A

x

-

ˆ

-

x

ˆ

-

x

ˆ

Aumenta Acelerando

Análisis de Discriminante

Considere el siguiente problema, ilustrado en la figura 11: Dos autos A y B se mueven en la siguiente forma: en cierto instante el auto A parte del reposo y se mueve con aceleración aA = 2,5 [m/s2]

constante; en ese mismo instante el auto B pasa por un punto situado a distancia D = 80 [m] detrás de la largada de A con una rapidez V0 y

se mueve con aceleración aB =

-0,70 [m/s2_{] constante.} _{Calcule el}

valor mínimo de V0 para que B pueda alcanzar a A. Para tal valor de V0 calcule el tiempo

empleado por B para alcanzar a A y las velocidades de A y B en el instante del encuentro.

A partir de la figura 11, considerando como referencia (X = 0) la posición inicial de B, se pueden plantear las siguientes ecuaciones de posición y velocidad para ambos vehículos:

( )

2

A 2.5t

2 1 80 t

X = + ⋅ [15a]

2.5t (t)

V_A = [15b]

( )

2

0

B 0.7t

2 1 t V t

X = − ⋅ [16a]

0.7t V

(t)

V_B = 0 − [16b]

Cuando los móviles se encuentran, las posiciones de ambos se igualan. Esto es:

( )

2

0 2 B

A 0.7t

2 1 t V 2.5t 2 1 80 t

X t

X ₌ ⇒ + ⋅ = − ⋅ _[17]

Desarrollando [17], se llega a la ecuación de segundo grado 1.6t2 −V₀t+80 =0, que al resolverla da la siguiente solución:

A

B

80 [m]

X

a

_A

a

_B

V

₀

[image:8.612.100.533.67.200.2]

(9)

3.2 ∆ V 2·1.6

80 1.6 4 V V

t 0 0 0

2

± = ⋅ ⋅ − ±

= [18]

:

Donde ∆=V₀2 −512 es el discriminante de la ecuación de segundo grado. A partir de su análisis se puede relacionar su valor con lo que sucede con los móviles A y B.

• Si ∆ < 0 (figura 12a), la raíz del discriminante es compleja y la ecuación [18] no tiene solución real. En términos de los móviles, esto significa que B no alcanza a cruzarse con A. Llega a una distancia mínima de A, pero no lo alcanza.

• Si ∆ > 0 (figura 12b), la raíz del discriminante es real y la ecuación [18] tiene dos soluciones reales distintas. En términos de los móviles, esto significa que B sobrepasa a A, y posteriormente A sobrepasa a B.

• Si ∆ = 0 (figura 12c), la raíz del discriminante es nula y la ecuación [18] tiene una única solución real. En términos de los móviles, esto significa que B alcanza justo a cruzarse con A antes de que éste último se escape.

El V0 mínimo necesario para que B alcance a A se da

para el caso ∆ = 0. Luego:

[ ]

m_s 22.63 512

V 512 V

0

∆ 0 0

2

= =

⇒

=

⇒

= [19]

Reemplazando [19] en [18], se puede calcular el instante en que B alcanza a A

[ ]

s 7,071 3.2

0 V

t₌ 0 + ₌ _[20]

Finalmente, reemplazando [19] y [20] en [15b] y [16b], se encuentran las velocidades de los móviles en el instante del encuentro

[ ]

m_s 17.678 (7.071)

V_A = [21a]

[ ]

m_s 17.678 (7.071)

V_B = [21b]

(a)

(b)

(c)

[image:9.612.97.539.62.580.2]

(10)

Se observa que las velocidades de ambos móviles son iguales en el instante del encuentro.

Ejemplo

Considere los móviles A y B mostrados en la figura 13. Considere que D = 25 [m], VA0 = 5 [m/s], aA = 6 [m/s2], VB0 = 3

[m/s] y aB = 2 [m/s2]. Determine el

instante y posición de encuentro si:

a) A y B parten simultáneamente en t = 0

b) B parte 1 [s] después que A

Desarrollo:

Pregunta a) las ecuaciones de posición de A y B son

( )

2 2 2

A A0

A 6 t 5 t 3 t

2 1 t 5 t a 2 1 t V t

X = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

( )

2 2 2

B B0

B 1 t 25 3 t t

2 1 t 3 25 t a 2 1 t V D t

X = + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ +

0 25 -t 2 t 2 t t 3 25 t 3 t

5_⋅ ₊ _⋅ 2 ₌ ₊ _⋅ ₊ 2 ⇒ ⋅ 2 + ⋅ =

Resolviendo la ecuación de 2º grado:

[ ]

s y t -4.07

[ ]

s 3.07 t 4 204 2 2 2 25 2 4 2 2

t ₁ ₂

2 = = ⇒ ± − = ⋅ ⋅ ⋅ + ± − =

Aunque desde un punto de vista matemático ambas soluciones son correctas, desde un punto de vista físico sólo tiene sentido el valor positivo, correspondiente a t1 = 3.07 [s]. Luego:

(

3.07

)

5 3.07 3

(

3.07

)

43.64

[ ]

m

X_A = ⋅ + ⋅ 2 =

(

3.07

)

25 3 3.07

(

3.07

)

43.64

[ ]

m

X_B = + ⋅ + 2 =

Pregunta b) las ecuaciones de posición de A y B son

( )

2 2 2

A A0

A 6 t 5 t 3 t

2 1 t 5 t a 2 1 t V t

X = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

V_B0

D

0 x

V_A0

a_A a_B

[image:10.612.80.536.101.548.2]

(11)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t -1

) (

t-1

)

25 3 t 3 t 2 t 1 t t 23 0 3

25

1 -t 1 2 1 1 -t 3 25 1

-t a 2 1 1 -t V D t X

2 2

2

2 2

B B0

B

= + + = + ⋅ − + − ⋅ + = +

⋅ + =

⋅ ⋅ + ⋅

+ = ⋅

⋅ + ⋅

+ =

0 23 -t 4 t 2 t t 23 t 3 t

5_⋅ ₊ _⋅ 2 ₌ ₊ ₊ 2 _⇒ _⋅ 2 ₊ _⋅ ₌

Resolviendo la ecuación de 2º grado:

[ ]

s y t -4.54

[ ]

s 2.54

t 4

200 4

2 2

23 2 4 4 4

t ₁ ₂

2

= =

⇒

± − = ⋅

⋅ ⋅ + ± − =

Aunque desde un punto de vista matemático ambas soluciones son correctas, desde un punto de vista físico sólo tiene sentido el valor positivo, correspondiente a t1 = 2.54 [s]. Luego:

(

2.54

)

5 2.54 3

(

2.54

)

31.96

[ ]

m

X_A = ⋅ + ⋅ 2 =

(

2.54

)

23 2.54

(

2.54

)

31.96

[ ]

m