PROPORCIONES NOTABLES

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PROPORCIONES

NOTABLES

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Proporción: la caracterización de la forma

(3)

En Geometría el elemento más sencillo al que se puede aplicar el concepto de proporción es el segmento. Para ello basta dividirlo en dos partes, la

proporción que aparece es el cociente de las longitudes de ambas partes: 2/1

Si construimos un rectángulo en el que cada lado mida como cada una de las partes en que se divide el segmento, tendremos entonces un rectángulo con dicha proporción.

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Dado un rectángulo de lados a y b, llamamos proporción (módulo) del rectángulo al cociente entre el lado mayor y el lado menor.

En el caso de ser 1, estamos ante el cuadrado

Módulo de un rectángulo

(5)

Además

Es decir, la proporción se mantiene cuando los rectángulos son semejantes.

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b q

a p

Compás proporcional

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Tipos de proporciones

Hay dos tipos de proporción geométrica:

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Proporción dinámica: La que relaciona dos valores por una razón inconmensurable.

Algunos ejemplos son los siguientes:

Proporción

Proporción cordobesa

Proporción áurea

IV: CLASIFICACIÓN de las proporciones

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Proporción √n

(10)

Proporción √n

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Proporción raíz de 2

El caso más sencillo es el de raíz de 2, que representa la relación entre la diagonal de un cuadrado y el lado del mismo.

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Proporción raíz de 2

V: Proporción √2

1

x y

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Proporción raíz de 2

(14)

Proporción raíz de 2

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Proporción raíz de 2

COMPROBACIÓN DE LA PROPORCIÓN DOBLANDO PAPEL

1

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Proporción raíz de 2

Es importante a nivel práctico porque resuelve el problema de la

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Proporción raíz de 2

Sin embargo las dos mitades de un raiz de 2 tienen esta misma proporción.

a 1

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Proporción raíz de 2

V: Proporción √2

La serie DIN-A ha normalizado los formatos de papel a partir de un

rectángulo de un metro cuadrado de superficie con sus lados en proporción 1 a raíz de 2, que es el formato A0.

Dividiendo sucesivamente por la mitad ese rectángulo se van obteniendo los formatos A1, A2, A3, A4…

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Proporción raíz de 2

(20)

Proporción raíz de 3

V: Proporción √3

1 h

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Proporción raíz de 3

(22)

Proporción raíz de 3

V: Proporción √3

(23)

Proporción raíz de 3

(24)

Proporción raíz de 3

V: Proporción √3

(25)

Proporción raíz de 3

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Proporción cordobesa

Es la relación que existe entre el radio de la circunferencia circunscrita a un octógono regular y el lado de éste.

Su valor es

c = 1,306562964

Concretamente, su valor exacto es

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Proporción cordobesa

(28)

Proporción cordobesa

V: Proporción cordobesa

VALOR DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA: Teorema de Thales

x

QCD y CPD son semejantes OPC es isósceles

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Proporción cordobesa

VALOR DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA: Teorema de Pitágoras

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Proporción cordobesa

V: Proporción cordobesa

Y también es una de las soluciones de la ecuación

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Proporción cordobesa

(32)

Proporción cordobesa

V: Proporción cordobesa

(33)

Proporción cordobesa

VALOR TRIGONOMÉTRICO DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA

x

1

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Proporción cordobesa

V: Proporción cordobesa

Arco de la Defensa, París

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Proporción de plata

(36)

Proporción de plata

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Proporción áurea

B

A C

El todo es a la parte, como la parte al resto

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Proporción áurea

VII: Proporción áurea

Resolviendo la ecuación se obtiene el valor positivo:

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Proporción áurea

¿CÓMO SECCIONAR UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTREMA RAZÓN?

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Proporción áurea

VII: Proporción áurea

Primero, dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus

lados. Luego, lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

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Proporción áurea

1

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Proporción áurea

VII: Proporción áurea

Otra

forma de

construirl

(43)

Proporción áurea

Otra

forma de

construirl

(44)

Proporción áurea

VII: Proporción áurea

1

1

(45)

Proporción áurea

(46)

Proporción áurea

VII: Proporción áurea

1

1 1

AD = x

Los triángulos ABD y AFB son isósceles y semejante

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(48)

Proporción áurea

VII: Proporción áurea

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Proporción áurea

1 1 2 3 8 13 21

La sucesión de Fibonacci y el número

áureo

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Proporción áurea

VII: Proporción áurea

1 1 2 3 5 8 13 21

La sucesión de Fibonacci y el número

áureo

1 : 1 = 1

2 : 1 = 2

3 : 2 = 1´5

5 : 3 = 1´66666666

8 : 5 = 1´6

13 : 8 = 1´625

21 :13 = 1´6153846...

.

34 :21 = 1´6190476...

.

55 :34 = 1´6176471...

.

(51)

Proporción áurea

1 1 2 3 8 13 21

Podemos construir rectángulos cuyos lados sean términos

consecutivos de la sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

34 21 21 13

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Proporción áurea

VII: Proporción áurea

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Proporción áurea

En este enlace puedes ver las matemáticas que hay detrás e este impresionante video que Cristobal Vila dedica a la

proporción áurea

http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/about_index.htm

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GRACIAS por tu talento

¡¡MUCHAS GRACIAS!!

Figure

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Referencias

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