Contenidos
1 Matrices y determinantes 3
1.1 Definici´on de matriz y algunos tipos de matrices . . . 3
1.2 Operaciones con matrices y propiedades de las operaciones . . . 6
1.2.1 Igualdad de matrices . . . 6
1.2.2 Suma de matrices . . . 6
1.2.3 Propiedades de la suma de matrices . . . 6
1.2.4 Producto de una matriz por un escalar α del mismo cuerpo . . . 7
1.2.5 Propiedades del producto de una matriz por un escalar del mismo cuerpo . . . 7
1.2.6 Producto de matrices . . . 8
1.2.7 Propiedades del producto de matrices . . . 8
1.2.8 Estructura algebraica de las matrices Mm×n en IK . . . 9
1.2.9 An´alisis de otras propiedades del producto de matrices . . . 9
1.3 Inversa de una matriz . . . 11
1.4 Transformaciones de una matriz . . . 12
1.4.1 Traspuesta de una matriz . . . 12
1.4.2 Conjugada de una matriz . . . 14
1.5 Potencia de una matriz . . . 14
1.6 Operaciones elementales y equivalencia . . . 15
1.6.1 Operaciones elementales . . . 15
1.6.2 Equivalencia por filas, equivalencia por columnas y equivalencia . . . 15
1.6.3 Inversa de una operaci´on elemental . . . 16
1.6.4 Matrices equivalentes por filas, equivalentes por columnas y equiva-lentes: una relaci´on de equivalencia . . . 16
1.6.5 Matrices elementales . . . 16
1.6.6 Operaci´on elemental como producto por una matriz elemental . . . . 17
1.6.7 Inversa de una matriz elemental . . . 18
1.6.8 Varios resultados sobre equivalencia de matrices . . . 19
1.7 Formas escalonadas por filas de una matriz . . . 20
1.7.1 Definiciones de forma escalonada por filas y forma can´onica por filas 20 1.7.2 Algoritmo de Eliminaci´on Gaussiana Simple . . . 20
1.7.3 Rango de una matriz . . . 22
1.7.4 Matrices equivalentes a la identidad: aplicaci´on para obtener la inversa 23 1.8 Forma escalonada y forma can´onica de una matriz . . . 24
1.9 Matrices de intercambio, de Jordan, de T¨oeplitz y de Hankel . . . 26
1.10 Determinantes . . . 28
1.10.1 Definici´on . . . 28
1.10.2 C´alculo de un determinante de orden n, por adjuntos . . . 29
1.10.3 Propiedades de los determinantes . . . 30
1.11 Determinante e inversa . . . 32
1.11.1 C´alculo de la inversa de una matriz, por adjuntos . . . 32
1.11.2 Algunas propiedades de matrices inversibles . . . 33
1.12 Relaci´on equivalencia con la identidad, determinante, rango y existencia de
inversa . . . 34
1.13 Determinantes notables . . . 37
1.13.1 Determinante de la matriz de Vandermonde . . . 37
1.13.2 Jacobiano . . . 37
1.13.3 Hessiano . . . 37
1.13.4 Wronskiano . . . 38
1.14 Repaso sobre vectores de IRn . . . 39
1.14.1 Definici´on . . . 39
1.14.2 Combinaci´on lineal . . . 41
1.14.3 Dependencia e independencia lineal . . . 41
1.15 Ejercicios . . . 42
Matrices y determinantes
1.1
Definici´
on de matriz y algunos tipos de matrices
Una matriz es una ordenaci´on rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas encerrados entre corchetes, por ejemplo
B =
31 24 30 −−10 0 −1 −1 1
C=
32 +−2ii 2 + 6i1−i −02−−3ii 0−i 1 +i 2 + 0i
Las matrices se representan por letras may´usculasA,B,C, ... y sus elementos por min´usculas con dos sub´ındices, aij . Los sub´ındices indican, por este orden, la fila y la columna en la que se sit´ua el elemento.
A=
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn
Se denota tambi´en A={aij}
Una matriz de m filas y n columnas se dice que es una matriz de orden m×n, y esto tambi´en se denota as´ı: Am×n. El primer ´ındice se refiere siempre al n´umero de filas y el segundo al n´umero de columnas.
Las matrices que trataremos tendr´an elementos de un cuerpo IK . Consideraremos el cuerpo de los n´umeros reales, IR , o el cuerpo de los n´umeros complejos, C. Ambos son cuerpos conmutativos (tanto la suma como la multiplicaci´on cumplen la propiedad conmutativa). Hablaremos de matrices en IR si aij ∈IR y de matrices en C si aij ∈C.
La matriz ejemplo B se puede considerar como una matriz en el cuerpo de los n´umeros reales, IR , o tambi´en en el cuerpo de los n´umeros complejos, C, sin m´as que tener en cuenta que todo real es un elemento de C con parte imaginaria nula.
La matriz ejemplo C es una matriz en el cuerpo de los n´umeros complejos. No es una matriz en el cuerpo de los reales ya que tiene elementos que no son n´umeros reales. Definimos a continuaci´on algunos tipos de matrices.
1)Matriz filaes una matriz de orden 1×n, A= [a11 a12. . . a1n]
2)Matriz columnaes una matriz de ordenm×1, B =
b11
b21
.. . bm1
A una matriz columna se le denomina tambi´en vector.
3)Matriz nula es aquella que tiene todos los t´erminos nulos. Se denota como A= 0, o como Ω.
El elemento nulo de un cuerpo es el elemento neutro de la suma. El elemento nulo de los n´umeros reales es 0, y el elemento nulo de los n´umeros complejos es 0 + 0i.
4) Lamatriz opuesta de A, denotada−A, es aquella que resulta de sustituir en Acada elemento por su opuesto (el elemento sim´etrico de la suma en el cuerpo).
SiA={aij}, los elementos de −Ason: −A={−aij}
5)Matriz cuadradaes aquella con igual n´umero de filas que de columnas. m=n. Una matriz cuadrada den filas yncolumnas se dice que es una matriz de orden n. Una matriz de este tipo se denota comoAn×n oAn.
En una matriz cuadrada la diagonal principal es la l´ınea formada por los elementos cuyos sub´ındices de fila y columna coinciden,a11, a22, . . . ann.
Ladiagonal secundariaes la l´ınea formada por los elementosaij tales quei+j =n+ 1. Se denomina traza, denotada tr(A), a la suma de los elementos de la diagonal principal de A. trA=a11+a22+. . .+ann
Se llama “tri´angulo superior” al formado por los elementos aij situados por encima de la diagonal principal.
Se llama “tri´angulo inferior” al formado por los elementos aij situados por debajo de la diagonal principal.
∗ △ △ △ ◦ ∗ △ △
◦ ◦ ∗ △
◦ ◦ ◦ ∗
* diagonal principal
△tri´angulo superior
◦ tri´angulo inferior
• Matriz triangular superior. Matriz cuadrada que tiene el tri´angulo inferior nulo. O lo que es lo mismo,aij = 0 parai > j.
• Matriz triangular inferior. Matriz cuadrada que tiene el tri´angulo superior nulo. O lo que es lo mismo,aij = 0 parai < j
• Matriz diagonal. Es aquella que es triangular superior y triangular inferior a la vez. Entre ´estas cabe destacar la matriz escalar, matriz cuya diagonal principal tiene todos los elementos iguales. Lamatriz unidades una matriz escalar cuya diagonal principal est´a formada s´olo por unos. La matriz unidad tambi´en se denominamatriz identidad. La matriz identidad de ordennse denota comoIn. “Uno” es el el. neutro de la multiplicaci´on en el cuerpo.
• Matriz sim´etrica. Una matriz An es sim´etrica si aij =aji para todos los valores de iy de j.
• Matriz antisim´etrica o hemisim´etrica. Una matrizAnes antisim´etrica siaij =
6) Se dice que Am×n esescalonada si verifica:
a) Si tiene filas cuyos elementos son todos ceros, aparecen en la parte inferior de la matriz. b) El primer elemento distinto de cero de una fila, empezando por la izquierda, se llama elemento pivote o cabecera. Dadas dos filas sucesivas, el elemento pivote de la 2afila est´a m´as a la derecha que el elemento pivote de la 1a fila.
Ejemplo 1.1 Matrices escalonadas.
[
1 −1
0 3
]
10 52 −11 −21
0 0 0 0
[ 2 0 −1 3
0 0 −1 −2
]
40 −11 12 −23
0 0 0 −1
10 −21 33
0 0 1
10 −01 33
0 0 0
10 −21 33
0 0 0
00 10 22
0 0 0
Se indican en negrita los elementos pivote.
A continuaci´on damos dos ejemplos de matrices que no son escalonadas.
40 12 31 0 3 0
40 10 33 0 1 0
Toda matriz cuadrada en forma escalonada es triangular superior
En una matriz escalonada, las columnas que contienen pivotes se denominan columnas pivotales.
7) Se dice que Am×n es can´onica por filas o reducida por filassi es escalonada, con pivotes unidad, y tal que en las columnas pivotales todos los elementos salvo el pivote son nulos.
Ejemplo 1.2 Matrices can´onicas por filas.
[
1 0 0 1
]
10 10 −11 −21
0 0 0 0
[ 1 0 0 3
0 0 1 −2
]
10 10 12 00
0 0 0 1
Obs´ervese la diferencia con las matrices escalonadas.
1.2
Operaciones con matrices y propiedades de las
opera-ciones
El conjunto de las matrices de orden m×n con elementos del cuerpo IK tiene distintas notaciones:
Mm×n(IK ) ´o IKm×n, entre otras.
1.2.1 Igualdad de matrices
Decimos que dos matrices A={aij}y B ={bij} del mismo orden son iguales si {aij}=
{bij} ∀ i= 1, . . . , m , j= 1, . . . , n
1.2.2 Suma de matrices
Dadas A = {aij} y B = {bij}, se define A+B como la matriz C ={cij} tal que cij = aij+bij.
Para poder sumar dos matrices deben tener el mismo orden, y el resultado es de ese mismo orden.
Ejemplo 1.3 Calcular A+B con A=
−11 00
2 1
y B =
−12 −01
1 −1
El resultado es una matriz del mismo orden, en nuestro caso 3×2.
A+B=
−11 00
2 1
+
−12 −01
1 −1
=
−23 −01
3 0
Ejemplo 1.4 CalcularA−B, tomando las matrices del apartado anterior. (N´otese como la “resta” es la suma de la opuesta).
A−B=
−11 00
2 1
−
−12 −01
1 −1
=
−11 00
2 1
+
−21 −01
−1 1
=
01 01
1 2
1.2.3 Propiedades de la suma de matrices
Tanto para las matrices en IR como para las matrices en C (separadamente), se cumplen las siguientes propiedades.
1) Operaci´on cerrada: ∀ A, B∈M, A+B ∈M
2) Asociativa: ∀A, B, C ∈M, A+ (B+C) =A+ (B+C) 3) Elemento neutro: ∃ 0∈M/∀ A∈M, A+ 0 =A 4) Conmutativa: ∀ A, B∈M, A+B=B+A
5) Existencia de elemento opuesto:
∀A∈M ∃ −A / A+ (−A) = 0
−A es la que hemos denominado anteriormente matriz opuesta. El elemento opuesto de a∈IR es −a∈IR
1.2.4 Producto de una matriz por un escalar α del mismo cuerpo
DadaA={aij} definida en el cuerpo IK yα∈IK , se define
αA=C⇔αaij =cij ∀ i= 1, . . . , m , j= 1, . . . , n α,aij ycij ∈IK .
Es decir, se define como otra matriz C ={cij} cuyos elementos se forman multiplicando α por cada uno de los elementos de A={aij}
La matriz C es del mismo orden queA.
Para matrices en el cuerpo IR , tomando los escalaresα∈IR se garantiza que la operaci´on sea cerrada, es decir que la matriz producto resulte ser una matriz en el cuerpo IR .
Ejemplo 1.5 5
[
1 −1 0
2 1 3
]
=
[
5·1 5·(−1) 5·0 5·2 5·1 5·3
]
=
[
5 −5 0
10 5 15
]
Ejemplo 1.6 (5 +i)
[
1 −1 0
2 1 3
]
=
[
5 +i −5−i 0 10 + 2i 5 +i 15 + 3i
]
Ejemplo 1.7 5
[
1 +i 0 2−i 3i
]
=
[
5·(1 +i) 5·0 5·(2−i) 5·3i
]
=
[
5 + 5i 0 10−5i 15i
]
Ejemplo 1.8 (5 +i)
[
1 +i 0 2−i 3i
]
=
[
(5 +i)·(1 +i) (5 +i)·0 (5 +i)·(2−i) (5 +i)·3i
]
=
[
4 + 6i 0 11−3i −3 + 15i
]
1.2.5 Propiedades del producto de una matriz por un escalar del mismo cuerpo
Se cumplen las siguientes propiedades para las matrices en el cuerpo IR y en el cuerpo C, separadamente.
1) Cerrada: ∀A∈M en IK y∀α∈IK , αA∈M en IK
2) Distributiva respecto a la suma de matrices: α(A+B) =αA+αB ∀A, B ∈M,∀α∈IK 3) Distributiva respecto a la suma de escalares:
(α+β)A=αA+βA ∀A∈M, ∀α, β∈IK
4) Pseudoasociativa (asociativa entre el producto externo y el producto interno en IK ): (αβ)A=α(βA) =β(αA) ∀A∈M,∀α, β ∈IK
5) Ley de identidad o de unidad del producto externo: 1 A = A 1 es el elemento neutro del producto en el cuerpo IK
En IR es el escalar 1, ejemplo 1.−25 =−25
1.2.6 Producto de matrices
Dadas dos matricesAm×n={aij}yBn×p={bij}, compatibles para el producto, es decir, tales que el n´umero de columnas de A coincide con el n´umero de filas de B, se define A.B = C, como otra matriz Cm×p con tantas filas como A y tantas columnas como B, siendo su elementocij el resultado de sumar los productos de los elementos de la filaide A por los de la columnaj de B, en la forma dada en el siguiente sumatorio:
C=A B={cij} cij = n
∑
k=1
aikbkj i= 1, . . . , m j = 1, . . . , p El algoritmo puede entenderse f´acilmente observando el siguiente esquema:
− − − − − −
− − − − −
−
fila i columna j cij
m×n n×p m×p
Es decir, cij =ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj
Ejemplo 1.9 Multiplicar las siguientes matrices:
[
2 3 1
0 −1 −2
] −11 02
−2 3
=
[
2·1 + 3· −1 + 1· −2 2·0 + 3·2 + 1·3 0·1 +−1· −1 +−2· −2 0·0 +−1·2 +−2·3
]
=
[
−3 9 5 −8
]
Ejemplo 1.10 Multiplicar entre s´ı por pares, las matrices A= [ 1 2 3 ], B =
12
3
y
C=
[
2 2 3 1
]
A B= [ 1 2 3 ]·
12
3
= [ 1·1 + 2·2 + 3·3 ] = 14
B A=
12
3
·[ 1 2 3 ] =
12 24 36
3 6 9
AC, CA, CB, BC no son operaciones posibles
1.2.7 Propiedades del producto de matrices
Siempre que los productos sean posibles, se verifican las siguientes propiedades: 1) Asociativa: ∀A, B, C∈M A (B C) = (A B)C
2) Distributiva respecto a la suma de matrices:
∀A, B, C ∈M A (B+C) = (A B) + (A C) (A+B) C=A C+B C
3) Pseudoasociativa (asociativa entre el producto externo y el producto interno enM)
1.2.8 Estructura algebraica de las matrices Mm×n en IK
Mm×n en IK ( + ,◦ IK ). El conjunto de matricesMm×n en IK , con la suma y producto externo con IK , cuyas definiciones y propiedades se enunciaron en las secciones anteriores, tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo IK .
Mm×n en IK ( + , . ,◦ IK ). El conjunto de matrices Mn en IK , con la suma, producto interno, y con el producto externo con IK , cuyas definiciones y propiedades se enunciaron en las secciones anteriores, tiene estructura de ´algebra sobre el cuerpo IK .
1.2.9 An´alisis de otras propiedades del producto de matrices
4)ImAm×n=Am×n ; Am×nIn=Am×n ; ImAm×nIn=Am×n
Ejemplo 1.11 I2= [
1 0 0 1
]
I3 =
10 01 00 0 0 1
A=
[
1 2 3 4 5 6
]
. Se cumple:
I2 A=A
A I3=A
I2 A I3=A
Ejemplo 1.12
[
2 +i 7−3i
4i 6
] [
1 0 0 1
]
=
[
2 +i 7−3i
4i 6
]
5) El producto de matrices no es conmutativo, es decir, en general A B̸=B A
Una condici´on necesaria, aunque no suficiente, para que se cumpla A.B =B.A es queA yB sean matrices cuadradas del mismo orden.
Am×nBn×p =Cm×p Bn×pAm×n=Cn′×n
Tenemos por una parte que el producto es de orden m×p, y por otra que p =m (para poder multiplicar B por A) y que el producto es de orden n×n. Para que C y C′ sean del mismo orden se requiere m=p=n. Por tantoA y B han de ser matrices cuadradas de ordenn.
Se dice que dos matrices cuadradas de orden n conmutan o que son conmutativas o que son permutables si se cumple la igualdadA B=B A. Tambi´en se utiliza la denominaci´on “conmutante” o “permutante”.
En algunos casos se verifica queA B=−B A, entonces se dice que las matrices cuadradas de orden A y B son anticonmutativas o antipermutables. Tambi´en se utiliza la denomi-naci´on “anticonmutante” o “antipermutante”
Ejemplo 1.13 Ejemplo de dos matrices cuadradas del mismo orden que no son permuta-bles ni antipermutapermuta-bles.
A=
[
1 2 3 1
]
B =
[
4 1 5 0
]
A B=
[
1 2 3 1
] [
4 1 5 0
]
=
[
14 1 17 3
]
B A=
[
4 1 5 0
] [
1 2 3 1
]
=
[
7 9 5 10
6) El producto de matrices tiene divisores de cero: A B = 0 no implica necesariamente queA= 0 ´o B= 0.
La definici´on estricta de los divisores de cero es la siguiente: Dos matrices no nulas A y B se denominan respectivamente divisor de cero por la izquierda y divisor de cero por la derecha siAB= 0. Una matrizC que sea divisor de cero por la izquierda o divisor de cero por la derecha se denomina simplemente divisor de cero. Una matrizF que sea divisor de cero por la izquierda y por la derecha se denomina divisor de cero por la izquierda y por la derecha o divisor de cero por los dos lados.
Ejemplo 1.14 A=
[
1 1 1 1
]
̸
= 0 B =
[
−3 −2
3 2
]
̸
= 0 y A B= 0
[
1 1 1 1
] [
−3 −2
3 2
]
=
[
0 0 0 0
]
En este ejemplo hemos determinado queA yB son divisores de cero.
7) El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificaci´on: SiA B =A C no necesariamenteB =C
Ejemplo 1.15 A B=A C, sin embargo B ̸=C
[
1 1 1 1
] [
−3 −2
3 2
]
=
[
1 1 1 1
] [
3 2
−3 −2
]
=
[
0 0 0 0
]
sin embargo,
[
−3 −2
3 2
]
̸
=
[
3 2
−3 −2
]
8) El producto de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior. 9) El producto de dos matrices triangulares inferiores es una matriz triangular inferior.
Ejemplo 1.16
12 03 00 4 5 6
−21 01 00 0 4 2
=
−41 03 00 6 29 12
10) El producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal. Adem´ascii=aiibii
Ejemplo 1.17
20 04 00
0 0 6
10 02 00
0 0 3
=
20 08 00
0 0 18
11) Una matriz diagonal conmuta con todas las matrices diagonales. Es consecuencia de que el producto de elementos del cuerpo IK sea conmutativo.
Ejemplo 1.18
10 02 00
0 0 3
20 04 00
0 0 6
=
20 08 00
0 0 18
20 04 00
0 0 6
10 02 00
0 0 3
=
20 08 00
0 0 18
Ejemplo 1.19 En este ejemplo se observa como se obtiene el producto de una matriz dada por una una matriz diagonal.
14 25 36
2 3 2
10 02 00
0 0 3
=
14 104 189
2 6 6
10 02 00 0 0 3
14 25 36 2 3 2
=
18 102 123
6 9 6
En el primer caso cada columna queda multiplicada por el elemento de la diagonal. En el segundo caso cada fila queda multiplicada por el elemento de la diagonal.
A D D A
cij = n
∑
k=1
aikdkj =aijdjj cij = n
∑
k=1
dikakj =diiaij
1.3
Inversa de una matriz
Dada una matrizA∈Mn decimos queF es la inversa deA si: A F =F A=I.
La inversa de A se denota como A−1, es decir F = A−1, y se tiene entonces A A−1 = A−1 A=I A−1 ∈Mn
No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz A que posee inversa se de-nominamatriz regularomatriz inversible. De una matriz que no tiene inversa se dice que es no inversibleo singular.
Propiedades
Dadas Ay B inversibles yα∈IK , α̸= 0 se cumple: 1)A−1 es ´unica
2) (A−1)−1 =A
3)A B es inversible, y (A B)−1=B−1A−1 4) (α A)−1 =α−1 A−1
Dem.
1) SeaA−1 la inversa deA, y B otra matriz tal queA B=I. Premultiplicando la ´ultima
expresi´on porA−1 obtenemos: A−1A B=A−1 I ⇒ B=A−1
concluimos queB es la misma matriz que A−1.
2)A−1A=AA−1=I ⇒ (A−1)−1 =A 3) Consideramos el producto B−1A−1
ABB−1A−1 =AIA−1 =AA−1 =I y
B−1A−1AB=B−1IB =B−1B =I
⇒ (AB)−1 =B−1A−1
4)αAα−1A−1 =αα−1AA−1= 1I =I yα−1A−1αA= 1I =I
⇒ (αA)−1=α−1A−1 Observaciones:
• Una consecuencia de la propiedad 3 es que el producto de tres matrices inversibles de ordenn es inversible, y la inversa es el producto de las inversas en el orden contrario. La generalizaci´on a productos de m´as matrices es obvia.
(A B . . . F)−1=F−1. . . B−1 A−1
• In es inversible y su inversa esIn
1.4
Transformaciones de una matriz
1.4.1 Traspuesta de una matriz
Dada una matriz Am×n se llama traspuesta de A y se denotaAt, a la matriz que resulta de cambiar ordenadamente sus filas por sus columnas.
At ser´a entonces de orden n×m. atij =aji ∀ i= 1, . . . , n , j = 1, . . . , m
Ejemplo 1.20 A=
[
2 3 1
0 −1 −2
]
At=
23 −01
1 −2
Propiedades: 1) (At)t=A
2) (α A)t=α At ∀α ∈IK 3) (A±B)t=At±Bt 4) (A B)t=Bt At
Demostraci´on de la propiedad 4): SeaA B=C
ctij =cji = n
∑
k=1
ajkbki = n
∑
k=1
atkjbtik = n
∑
k=1
btikatkj
La pen´ultima igualdad se obtiene por cumplir la propiedad conmutativa el producto de elementos del cuerpo IK .
El primer t´ermino de la igualdad es el elemento (i, j) de (A B)t y el ´ultimo t´ermino es el elemento (i, j) de la matriz BtAt. Concluyendo entonces que (AB)t=Bt At
Cuando A es cuadrada tenemos:
• Una matriz An es sim´etrica si y s´olo si A=At.
En efecto An es sim´etrica si y s´olo si aij = aji, y como aji = atij, tenemos que aij =atij y por tanto A=At
Ejemplo 1.21 A=
12 −21 −32 3 −2 0
es una matriz sim´etrica
• Una matriz An es antisim´etrica o hemisim´etrica si y s´olo si A=−At.
En efectoAnes antisim´etrica o hemisim´etrica si y s´olo siaij =−aji, y como−aji=
−atij, tenemos queaij =−atij y por tanto A=−At
Ejemplo 1.22 A=
−02 20 −32
−3 2 0
es una matriz antisim´etrica
• Dada una matriz cuadradaAn,A+At es una matriz sim´etrica. Veamos la demostraci´on: Definimos C=A+At
cij =aij +atij =atji+aji=aji+atji=cji
• Dada una matriz cuadradaAn,A−At es una matriz antisim´etrica. Veamos la demostraci´on: Definimos C=A−At
cij =aij −atij =atji−aji=−aji+atji =−(aji−atji) =−cji
(La tercera igualdad se cumple por la propiedad conmutativa de la suma de los elementos del cuerpo IK ).
• Toda matriz cuadrada An se puede expresar de forma ´unica como suma de una matriz sim´etrica S y otra antisim´etrica H: A=S+H
Veamos la demostraci´on:
A=S+H [1]
y tomando traspuestasAt=St+Ht
Por otra parteSt=S y Ht=−H, por tanto At=S−H [2] Sumando [1] y [2] obtenemosA+At= 2S ⇒ S = 12(A+At) Restando [1] y [2] obtenemosA−At= 2H ⇒ H= 12(A−At) Hemos demostrado c´omo obtenerS yH a partir de A
Ejemplo 1.23 Descomponer A=
[
2 1
−3 5
]
como suma de una matriz sim´etrica y otra antisim´etrica.
S= 12(A+At) = 12
([
2 1
−3 5
]
+
[
2 −3
1 5
])
= 12
[
4 −2
−2 10
]
=
[
2 −1
−1 5
]
H= 12(A−At) = 12
([
2 1
−3 5
]
−
[
2 −3
1 5
])
= 12
[
0 4
−4 0
]
=
[
0 2
−2 0
]
[
2 −1
−1 5
]
+
[
0 2
−2 0
]
=
[
2 1
−3 5
]
Propiedad adicional
DadaAm×n, las matricesAAt yAtA son ambas sim´etricas. Demostraci´on: (AAt)t= (At)tAt=AAt
(AtA)t=At(At)t=AtA Matriz ortogonal
Una matriz cuadrada se dice ortogonalsiAAt=AtA=I Propiedades
a)A−1 =At
b) La inversa y la traspuesta de una matriz ortogonal es ortogonal c) El producto de dos o m´as matrices ortogonales es ortogonal Dem.
a) Por la definici´on de inversa b1) SeaA ortogonal,
A−1(A−1)t=At(At)t=AtA=I y
(A−1)tA−1= (At)tAt=AAt=I, por tanto A−1 es ortogonal. b2) SeaA ortogonal,
At(At)t=AtA=I y
(At)tAt=AAt=I, por tantoAtes ortogonal.
c) Lo demostramos para el producto de dos matrices. SeanA yB ortogonales (AB) (AB)t=ABBtAt=AIAt=AAt=I
1.4.2 Conjugada de una matriz
Dada una matrizAm×nse llama conjugada deAy se denotaA, a una nueva matriz cuyos elementos son los conjugados de los elementos deA.
La parte real de los elementos no var´ıa, mientras que la parte imaginaria cambia de signo. Propiedades:
A=A αA=αA A±B=A±B AB=A B
Si todos los elementos de Ason reales A=A
Si todos los elementos de Ason imaginarios puros A=−A Cuando A es cuadrada tenemos:
An se dice herm´ıtica o autoadjunta si At=A, es decir, siaij =aji para todos los valores de iyj. Obviamente, los elementos de la diagonal principal de una matriz herm´ıtica han de ser n´umeros reales.
An se dice antiherm´ıtica o hemiherm´ıtica si At =−A, es decir, si aij = −aji para todos los valores deiyj. Se desprende que los elementos de la diagonal principal de una matriz antiherm´ıtica han de ser nulos o imaginarios puros.
An se dice normal si A At=At A An se dice unitaria siAt=A−1
1.5
Potencia de una matriz
Dada una matriz An y kun entero positivo, entonces Ak denota el producto de A por s´ı misma kveces.
Ak =
k veces
z }| {
AA . . . A
Matriz peri´odica es aquella matriz A cuadrada que verifica que Ak+1 = A para alg´un k entero positivo. Si k es el menor de esos enteros, entonces se dice que la matriz A tiene per´ıodok.
Cuando k= 1 se tiene A2=A, y resulta inmediato demostrar que entoncesAk=A para todo k. Se dice queA es idempotente.
A3=A2A=AA=A, etc.
Matriz nihilpotente de ´ındicekes aquella matrizAque verificaAk = 0, siendokel menor entero positivo para el que se cumple la igualdad.
Sik= 2 se dice directamente que Aesnihilpotente Matriz involutiva es la matriz A que verificaA2=I,
SiA es involutiva AA=I, es decir,A−1=A
A−k:= (A−1)k A0 :=I
1.6
Operaciones elementales y equivalencia
1.6.1 Operaciones elementales
Sea la matrizAm×n, efectuamos unaoperaci´on elementalsobre una l´ınea (fila o columna) de Acuando realizamos una de estas tres operaciones:
a) Intercambiar entre s´ı las l´ıneas i y j (intercambiar dos filas entre s´ı o dos columnas entre s´ı ). Tambi´en se denomina trasposici´on o permutaci´on.
b) Multiplicar la l´ınea i (fila o columna) por un escalar k ̸= 0. Tambi´en se denomina escalamiento, o l´ınea-homotecia.
c) Sumar a la l´ıneailaj (paralela a ella) multiplicada por un escalar cualquiera. Tambi´en se denomina reemplazamiento o manipulaci´on.
A lo largo del curso se realizar´a un amplio uso de las operaciones elementales por filas, para resolver sistemas de ecuaciones, calcular rangos, determinantes, etc. Se realizar´a un uso menos extenso de las operaciones elementales por columnas, aunque s´ı se utilizar´an por ejemplo para el c´alculo de determinantes.
Notaci´on:
F13 se intercambian las filas 1 y 3
F1(7) la fila 1 se multiplica por 7
F13(−4) a la fila 1 se le suma la 3 multiplicada por −4
C13 se intercambian las columnas 1 y 3
C1(7) la columna 1 se multiplica por 7
C13(−4) a la columna 1 se le suma la 3 multiplicada por −4
Ejemplo: A=
[
1 2 1 4
]
−→
[
1 2 0 2
]
=B
La operaci´on elemental realizada ha sidoF21(−1)
Ejemplo: G=
[
1 2 1 4
]
−→
[
2 1 4 1
]
=H La operaci´on elemental realizada ha sidoC12
Ejemplo: R=
[
1 2 1 4
]
−→
[
2 1 4 1
]
−→
[
2 1
0 −1
]
=S
Las operaciones elementales realizadas han sido primero C12 y seguidamente F21(−2)
1.6.2 Equivalencia por filas, equivalencia por columnas y equivalencia
Se dice queAm×n esequivalente por filas a Bm×n si partiendo de A podemos obtener B efectuando un n´umero finito de operaciones elementales por filas.
Notaci´on: A∼f B
Se dice que Am×n es equivalente por columnas a Bm×n si partiendo de A podemos obtenerB efectuando un n´umero finito de operaciones elementales por columnas.
Notaci´on: A∼c B
Se dice queAm×nesequivalenteaBm×nsi partiendo deApodemos obtenerBefectuando un n´umero finito de operaciones elementales por columnas, por filas o combinando los dos tipos.
Observaciones:
• A∼f B ⇒A∼B
• A∼c B ⇒A∼B
• A∼B no implica que necesariamenteA sea equivalente por filas a B ni que necesaria-mente Asea equivalente por columnas a B
1.6.3 Inversa de una operaci´on elemental
Se llamainversa de una operaci´on elementala una operaci´on elemental que cancela el efecto de la primera; es decir, si despu´es de realizar una operaci´on elemental sobreAse aplica la operaci´on elemental inversa, se obtiene de nuevo la matriz original A.
La inversa de una o.e. de filas (columnas) es una o.e. de filas (columnas). La inversa de Fij esFij La inversa de Cij esCij La inversa de Fij(α) esFij(−α) La inversa de Cij(α) esCij(−α) La inversa de Fi(α) esFi(1/α) La inversa de Ci(α) esCi(1/α)
1.6.4 Matrices equivalentes por filas, equivalentes por columnas y equi-valentes: una relaci´on de equivalencia
Desde el punto de vista de las relaciones entre los elementos de un conjunto, en este caso el conjunto de matrices de un ordenm×ndado, la relaci´on de equivalencia por filas, por columnas, y la relaci´on de equivalencia pertenecen a la clase de relaciones denominadas “relaciones de equivalencia”, puesto que cumplen las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva.
Lo podemos ver por ejemplo para el caso de la equivalencia por filas:
Reflexiva:Aes equivalente por filas aA, sin m´as que considerar la operaci´on de multiplicar una fila por el escalar 1.
Sim´etrica: Si A es equivalente por filas aB,B es equivalente por filas a A, simplemente realizando la o.e. inversa.
Transitiva: SiA es equivalente por filas aB, yB es equivalente por filas aC, entoncesA es equivalente por filas aC.
A o.e. 1→ ... → o.e. l →B y B o.e. l+1→ ... → o.e. k → C ⇒ A o.e. 1→ ... → o.e. l →o.e. l+1 → ... → o.e. k →C
A equivalente aB por filas, por columnas o por o.e. de ambos tipos, implica queB tiene establecido el mismo tipo de relaci´on con A. Por ello se dir´a entonces que A y B son equivalentes por filas, por columnas, o equivalentes sin m´as, en vez de indicar un orden “A equivalente aB” o “B equivalente aA”.
1.6.5 Matrices elementales
Ejemplos:
10 01 00 0 0 1
−→
10 00 01 0 1 0
=EF23 Se intercambia fila 2a con fila 3a F23
10 01 00 0 0 1
−→
30 01 00 0 0 1
=EF1(3) Se multiplica la 1
a fila por 3
F1(3)
10 01 00 0 0 1
−→
10 01 00
−2 0 1
=EF31(−2) Se suma a la 3
a fila la 1a por−2
F31(−2)
Con frecuencia para simplificar la notaci´on se designan las matrices elementales como las operaciones elementales asociadas. Para los ejemplos anteriores la notaci´on ser´ıa: F23,
F1(3) yF31(−2)
Para las operaciones elementales por columnas las correspondientes matrices elementales ser´ıan: C23,C1(3)yC31(−2)
N´otese la relaci´on entre las matrices elementales de filas y las matrices elementales de columnas:
F23=C23 son iguales
F1(3)=C1(3) son iguales
F31(−2) =C13(−2) las l´ıneas transformada y auxiliar aparecen intercambiadas.
1.6.6 Operaci´on elemental como producto por una matriz elemental
• Sea la matriz elemental Fm correspondiente a determinada operaci´on elemental por filas, y una matrizAm×n; entonces el producto FmAm×n es igual a la matriz que resulta de efectuar la misma operaci´on elemental sobre las filas deAm×n.
• Sea la matriz elemental Cn correspondiente a determinada operaci´on elemental por columnas, y una matriz Am×n; entonces el producto Am×nCn es igual a la matriz que resulta de efectuar la misma operaci´on elemental sobre las columnas deAm×n.
Ejemplo: Dada A=
21 −12 01 −−12 3 −1 0 1
, sumar a la segunda fila la primera multiplicada
por (−2) utilizando el producto por una matriz elemental.
F21(−2) =
−12 01 00 0 0 1
es la matriz elemental que resulta de sumarle a la fila 2a deI3, la 1a multiplicada por (−2).
F21(−2)A=
−12 01 00
0 0 1
21 −12 01 −−12
3 −1 0 1
=
−23 −14 01 −01
3 −1 0 1
Ejemplo: Dada A =
04 22 31 1 2 3
, intercambiar las columnas 1 y 3 utilizando el producto
por una matriz elemental.
C13=
00 01 10 1 0 0
04 22 31 1 2 3
00 01 10 1 0 0
=
31 22 04 3 2 1
Ejemplo 1.24 A partir de la matriz A =
1 2 2
0 4 1
1 0 −1
2 1 2
queremos obtener la matric C
que tiene intercambiadas las filas 2 y 4. Determina la matriz elementalB tal queB.A=C
B =
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
Comprobaci´on:
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
.
1 2 2
0 4 1
1 0 −1
2 1 2
=
1 2 2
2 1 2
1 0 −1
0 4 1
1.6.7 Inversa de una matriz elemental
• Toda matriz elemental tiene inversa, y la inversa de una matriz elemental es elemental (corresponde a la operaci´on elemental inversa).
La inversa de Fij esFij La inversa de Fij(α) esFij(−α)
La inversa de Fi(α) esFi(1/α)
An´alogamente para columnas, sin m´as que sustituirF porC.
Comprobaciones para matrices elementales correspondientes a operaciones elementales por filas:
FijFijI =I ⇒ FijFij =I Fij(α)Fij(−α)I =I ⇒ Fij(α)Fij(−α)=I
Fij(−α)Fij(α)I =I ⇒ Fij(−α)Fij(α)=I
Fi(α)Fi(1/α)I =I ⇒ Fi(α)Fi(1/α)=I Fi(1/α)Fi(α)I =I ⇒ Fi(1/α)Fi(α)=I
Y an´alogamente para las o.e. por columnas
Ejemplos:
E23EF23 =
10 00 01
0 1 0
·
10 00 01
0 1 0
=
10 01 00
0 0 1
EF1(1/3)EF1(3) =
1/30 01 00 0 0 1
·
30 01 00 0 0 1
=
10 01 00 0 0 1
EF31(2)EF31(−2)=
10 01 00 2 0 1
·
10 01 00
−2 0 1
=
10 01 00 0 0 1
1.6.8 Varios resultados sobre equivalencia de matrices
• A yB equivalentes por filas implica que existen F1,F2, ..., Fa / Fa ... F2 F1 A = B
• A yB equivalentes por columnas implica que existen C1,C2, ...,Cb / A C1 C2 ... Cb = B
• A yB equivalentes implica que existen F1,F2, ... , Fa,C1,C2, ... , Cb / Fa ... F2 F1 A C1 C2 ... Cb = B
Ya que las relaciones anteriores son sim´etricas, tambi´en podr´ıamos haber escrito: A yB equivalentes por filas implica que existen F1′,F2′, ..., Fs′ /
Fs′ ... F2′ F1′ B = A
A yB equivalentes por columnas implica que existen C1′,C2′, ...,Ct′ / B C1′ C2′ ... Ct′ = A
A yB equivalentes implica que existen F1′,F2′, ... , Fs′,C1′,C2′, ... ,Ct′ / Fs′ ... F2′ F1′ B C1′ C2′ ... Ct′ = A
Pero en realidad las F y las F′ no son independientes, ni lo son las C respecto de las C′, pues obviamente:
Fa... F2F1A = B ⇒ (F1)−1(F2)−1...(Fa)−1Fa... F2F1A = (F1)−1(F2)−1...(Fa)−1B ⇒ (F1)−1 (F2)−1 ... (Fa)−1B = A
(Por ser las matrices elementales inversibles).
Por otra parte, por ser el producto de inversibles inversible, tenemos:
• A yB equivalentes por filas implica que existe P inversible/ P A = B (⇒A=P−1B)
N´otese que manteniendo la notaci´on anterior:
{
P = Fa ... F2 F1
P−1 = F1−1 F2−1... Fa−1
• A yB equivalentes por columnas implica que existe Qinversible / A Q = B (⇒A=BQ−1)
{
Q = C1 C2 ... Cb
Q−1 = Cb−1 ... C2−1 C1−1
De las ecuaciones anteriores se deduce directamente (por el hecho de que el producto de inversibles es inversible) que siAyB son equivalentes por filas, equivalentes por columnas o equivalentes, entonces o ambas,A yB, son inversibles, o ninguna de ellas lo es.
1.7
Formas escalonadas por filas de una matriz
1.7.1 Definiciones de forma escalonada por filas y forma can´onica por filas
Partiendo de cualquier matriz A se puede llegar mediante un n´umero finito de o.e. por filas a una matrizU escalonada, y a ´esta se le denominaforma escalonada por filas de A. Para una matriz dada existen infinitas formas escalonadas por filas.
N´otese que siUes una forma escalonada por filas deA, aparte de ser escalonada cumple que existir´a P inversible tal que P A=U. Esa matriz inversible corresponde a los productos de las matrices elementales por filas aplicadas. P =Fa ... F2 F1
Al proceso de obtener una forma escalonada por filas de una matriz tambi´en se le conoce como “eliminaci´on gaussiana”.
Se denomina forma can´onica por filas o reducida por filas de una matriz A a la forma escalonada por filas deAcon pivotes unidad y ceros encima de los elementos pivote. DadaA, la forma can´onica por filas es ´unica. En general utilizaremos para esta matriz la notaci´onAcan f ilaso Ared f ilas.
Debido a que la equivalencia por filas cumple la propiedad transitiva, todas las matrices equivalentes por filas entre s´ı tienen la misma forma can´onica por filas.
1.7.2 Algoritmo de Eliminaci´on Gaussiana Simple
Describimos a continuaci´on un algoritmo para obtener a partir de una matriz dada Am×n una forma escalonada por filas, y la forma can´onica por filas. El m´etodo se denomina Eliminaci´on Gaussiana Simple y el orden en el que se efect´uan las operaciones ele-mentales por filas viene prefijado por un convenio. No se pueden realizar escalamientos. El intercambio de filas s´olo se puede realizar para buscar un elemento pivote en la obtenci´on de la forma escalonada por filas, y se ha de realizar con la primera fila siguiente que s´ı posea pivote.
El algoritmo de Eliminaci´on Gaussiana Simple consta de los siguientes pasos:
1) Partiendo de la izquierda, buscamos la 1a columna con un elemento distinto de cero, llam´emosla j1. Esta columnaj1 es la primera columna pivotal. Si el primer elemento no
nulo de j1 (el de la fila m´as alta) no est´a en la 1a fila se intercambian la primera fila y
´esta. Este elemento no nulo, en la posici´on (1,j1) es el primer elemento pivote. Mediante
operaciones elementales por filas convertimos los elementos de la primera columna pivotal que est´an debajo del elemento pivote, en ceros. La fila auxiliar utilizada es la 1a fila. La operaci´on elemental que elimina el elementob es la de sumar a la fila que contiene el elemento bla fila auxiliar multiplicada por (−b / primer pivote).
2)Movi´endonos hacia la derecha, a partir de la 1acolumna pivotal, buscamos la siguiente columna que tenga un elemento no nulo en la 2a fila o siguientes. Esa columna j2 ser´a
elementales necesarias para que todos los elementos de la columna pivotal, por debajo del pivote, sean ceros, utilizando como fila auxiliar la fila 2a. Estas operaciones elementales no afectan a los elementos de las columnas situadas a la izquierda dej2, ya que los elementos
de la fila 2 a la izquierda dej2 son todos nulos.
3) Seguimos movi´endonos hacia la derecha. Sea j3 la siguiente columna que tiene un
elemento no nulo, ahora en la 3a fila o m´as abajo. Si es necesario intercambiaremos las filas para que, en la nueva matriz, la columna j3 tenga en la fila 3 el primer elemento no
nulo encontrado (tercer elemento pivote), y a continuaci´on realizaremos las operaciones para transformar a ceros los elementos por debajo de ´el, utilizando la fila 3 como auxiliar. 4) Seguimos repitiendo el proceso hasta conseguir r columnas pivotales, j1, j2. . . , jr y solamente ceros en las filasr+ 1, r+ 2, ..., m.
Al final de estos cuatro pasos habremos conseguido transformar la matriz, a trav´es de operaciones elementales por filas, en unaforma escalonada por filas.
Dada una matriz,mediante el m´etodo de eliminaci´on gaussiana simple se obtiene una ´unica matriz en la forma escalonada por filas. Esto es debido a que las operaciones elementales que se realizan y el orden en que se realizan est´an fijadas por el m´etodo.
Ejemplo: Obt´en la forma escalonada de la matriz A =
0 0 2 3 0 0 0 1 0 2 6 4 0 1 4 0 0 0 1 2
mediante
elimi-naci´on gaussiana simple.
A=
0 0 2 3 0 0 0 1 0 2 6 4 0 1 4 0 0 0 1 2
−→
0 2 6 4 0 0 0 1 0 0 2 3 0 1 4 0 0 0 1 2
−→
0 2 6 4
0 0 0 1
0 0 2 3
0 1−1 4−3 0−2
0 0 1 2
= F13 F41(−1/2)
0 2 6 4
0 0 0 1
0 0 2 3
0 0 1 −2
0 0 1 2
−→
0 2 6 4
0 0 2 3
0 0 0 1
0 0 1 −2
0 0 1 2
−→ −→
0 2 6 4
0 0 2 3
0 0 0 1
0 0 1−1 −2−3/2 0 0 1−1 2−3/2
= F23 F42(−1/2)
F52(−1/2)
0 2 6 4
0 0 2 3
0 0 0 1
0 0 0 −7/2 0 0 0 1/2
−→−→
0 2 6 4 0 0 2 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
=Aesc f ilas A∼f Aesc f ilas F43(7/2)
F53(−1/2)
3 cols. pivotales: la 2a, la 3a y la 4a. Los pivotes respectivos son 2, 2 y 1.
5) Una vez obtenida la matriz equivalente por filas escalonada, debemos continuar el proceso transformando en “unos” los elementos pivote y en “ceros” los elementos de las columnas pivotales situados por encima del elemento pivote.
a) Para hacer “unos” los elementos pivote se escalan las filas no nulas, a fin de que todos los pivotes tomen el valor 1.
reemplaza-mientos que la columna jr tenga ceros en las filas 1,2,....r−1. Ninguna columna a la izquierda de jr se ver´a afectada por estas operaciones, ya que los elementos de la fila r a la izquierda de la columna pivotal jr son todos nulos.
b.2) Continuamos hacia arriba, en la filar−1, donde a trav´es de operaciones elementales, tomando la filar−1 como fila auxiliar, haremos cero los elementos de esa columna pivotal en las filas 1,2 ,... r−2. Continuamos con estas transformaciones para que cada columna pivotalji tenga ceros en lasi−1 primeras filas, siempre disminuyendo i, hasta i= 2.
Con el proceso descrito en este quinto paso se obtiene la forma can´onica por filas con:
•rfilas con sus elementos no todos nulos, que son adem´as lasrprimeras filas de la matriz. El primer elemento no nulo en cada fila es el 1.
•r columnas pivotales, no necesitariamente lasr primeras, con todos los elementos nulos salvo un 1.
Ejemplo: Partiendo de la forma escalonada por filas obtenida, calcula la forma can´onica por filas (o forma reducida por filas), seg´un el procedimiento de eliminaci´on gaussiana simple.
0 2 6 4 0 0 2 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
−→−→
0 1 3 2
0 0 1 3/2
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
−→−→
0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
F1(1/2) F23(−3/2)
F2(1/2) F13(−2)
−→
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
=Acan f ilas , A∼f Acan f ilas F12(−3)
Las columnas pivotales son las mismas: la segunda, la tercera y la cuarta. Los pivotes ahora son todos 1 y cada columna pivotal tiene ceros por encima de los elementos pivote.
1.7.3 Rango de una matriz
Se denominarango de una matriz Am×n al n´umero de columnas pivotales o n´umero de filas no nulas de cualquier forma escalonada por filas de la matriz. En efecto todas las formas escalonadas por filas de una matriz tienen el mismo rango.
Propiedades:
•El rango de la matriz Inesn, pues la matriz ya es escalonada por filas y tienenfilas no nulas (o lo que es lo mismo, ncolumnas pivotales).
•Debido a que la equivalencia por filas cumple la propiedad transitiva, todas las matrices equivalentes por filas entre s´ı tienen el mismo rango.
• Dada una matrizAm×n el rango ha de ser menor o igual quem y menor o igual quen.
•Por comodidad se suele obtener el rango de una matriz Aa partir de una forma escalo-nada por filas deA.
• Un resultado muy importante que no vamos a demostrar es el siguiente: rgA= rgAt
Ejemplo 1.25 rg
[
1 −1
0 3
]
= 2 , rg
10 22 −11 −12
0 0 0 0
= 2 , rg
40 −−11 12 −23
0 0 0 9
Ejemplo 1.26 Determina el rango de la matriz A=
12 54 −01 0 −2 0
A=
12 54 −01 0 −2 0
∼
10 −56 −01 0 −2 0
∼
10 −56 −01
0 0 1/3
⇒ rgA= 3
F21(−2) F32(−1/3)
1.7.4 Matrices equivalentes a la identidad: aplicaci´on para obtener la inversa
Partiendo deAn,Acan filas =In ⇔ Fa. . . F2F1 A=I ⇔
(Fa. . . F2F1)−1 (Fa. . . F2F1) A= (Fa. . . F2F1)−1 I ⇔
A= (Fa. . . F2F1)−1 I = (Fa. . . F2F1)−1 ⇔
A inversible y A−1=Fa. . . F2F1 I
Concluimos que efectuando la misma secuencia de operaciones elementales por filas y en el mismo orden que llevan de Aa I, la matrizI se transforma en A−1.
Este m´etodo de determinaci´on de la inversa de una matriz se conoce como m´etodo de Gauss-Jordan. El esquema es el siguiente:
[A | I] −→ −→ . . . −→ −→ [I | A−1] operaciones elementales por filas
Adem´as tenemos el importante resultado de queAcan filas =In ⇔rgA=n
Ejemplo 1.27 Determina la inversa deA=
12 20 12
2 3 0
por el m´etodo de Gauss-Jordan,
si es que dicha inversa existe.
A=
12 20 12 10 01 00 2 3 0 0 0 1
∼
10 −24 10 −12 01 00 0 −1 −2 −2 0 1
∼
10 −21 −12 −12 00 01 0 −4 0 −2 1 0
∼
10 21 12 12 00 −01 0 −4 0 −2 1 0
∼
10 21 12 12 00 −01 0 0 8 6 1 −4
fila2 = fila2 - 2 * fila1 fila3 = fila3 - 2 * fila1
Se intercambian las filas 2 y 3 fila 2 = fila 2 * (-1)
fila3 = fila3 + 4* fila2
Observamos que el rango es 3, igual al orden de la matriz A, por tanto A tiene inversa. La submatriz de la izquierda es ya triangular superior, pero falta hacer “1” uno de los pivotes.
∼
10 21 12 12 00 −01 0 0 1 3/4 1/8 −1/2
fila2 = fila2 - 2*fila3 fila1 = fila1 - fila 3
∼
10 12 00 21−−3/43/2 0−−1/81/4 −1/21 + 1
0 0 1 3/4 1/8 −1/2
=
10 21 00 1/41/2 −−1/81/4 1/20 0 0 1 3/4 1/8 −1/2
fila1 = fila1 - 2*fila2
∼
10 01 00 1/41/2−1 −1/8 + 1/2−1/4 1/20
0 0 1 3/4 1/8 −1/2
=
10 01 00 −1/23/4 −3/81/4 1/20 0 0 1 3/4 1/8 −1/2
Resultado: La matriz inversa de A es A−1=
−1/23/4 −3/81/4 1/20 3/4 1/8 −1/2
1.8
Forma escalonada y forma can´
onica de una matriz
Forma escalonadade la matrizAm×n es cualquier matriz equivalente aAy escalonada. Para una matriz dada existen infinitas formas escalonadas. Al requerir que la matriz sea simplemente equivalente, y no equivalente por filas, est´an permitidas tanto las o.e. por filas como las o.e. por columnas.
Ejemplo. ParaA=
04 22 31 1 2 3
A=
04 22 31 1 2 3
→
14 22 31 0 2 3
→
10 −26 −113
0 2 3
→
10 −26 −113
0 6 9
→
10 −26 −113 0 0 −2
F13 F21(−4) F3(3) F32(1)
→
10 −26 −113
0 0 1
→
10 −06 −113
0 0 1
→
10 −06 −110
0 0 1
F3(−1/2) C21(−2) C31(−3)
Las cuatro ´ultimas matrices son formas escalonadas de la matriz A
N´otese que si U es forma escalonada deA, aparte de ser escalonada cumple que existir´an P y Q inversibles tales que P AQ = U. Esas matrices inversibles corresponden a los productos de las matrices elementales aplicadas.
P =Fa ... F2 F1 Q=C1 C2 ... Cb
Una forma escalonada por filas es un caso particular de forma escalonada, que corresponde a tomar Q=I
Forma can´onica de la matrizAm×nes la forma escalonada deAque tiene la expresi´on:
I− − −r | Ω
Ω | Ω
La forma can´onica de una matriz A dada es ´unica. Se suele utilizar para ella la notaci´on Acan. Para obtener la forma can´onica ser´a necesario, en general, efectuar los dos tipos de operaciones elementales, es decir, por filas y por columnas.
Obviamente si An es equivalente por filas a la identidad, In, entonces la forma can´onica de Aes la identidad, In.
Se demuestra f´acilmente que si An es equivalente a In, tambi´en es equivalente por filas a In.
Demostraci´on: A=P IQ⇒A=P Q⇒A=P QI =RI P,Qy R son matrices inversibles.
Ejemplo 1.28 Obt´en la forma can´onica de A=
11 22 10 1 2 3
F21(−1)
F31(−1) F32(2) F12(1) F2(−1)
A=
11 22 10
1 2 3
→
10 20 −11
0 0 2
→
10 20 −11
0 0 0
→
10 20 −01
0 0 0
→
10 20 01
0 0 0
Forma esc. por filas
Forma can´on. por filas
C21(−2) C23
→
10 00 01 0 0 0
→
10 01 00 0 0 0
Forma can´on.
Ejemplo 1.29 Obt´en la forma can´onica de A=
00 10 20 01 02 21 0 0 0 1 2 1
.
A=
00 10 20 01 02 21 0 0 0 1 2 1
→
00 10 20 01 02 21 0 0 0 0 0 0
→
10 00 20 01 02 21 0 0 0 0 0 0
→
F32(−1) C12 C31(−2)
C61(−2)
10 00 00 01 02 01 0 0 0 0 0 0
→
10 00 00 01 00 00 0 0 0 0 0 0
→
10 01 00 00 00 00 0 0 0 0 0 0
C54(−2) C24
C64(−1)
