EXAMEN A Problema 1: Calcula la integral impropia
Sugerencia. Utiliza el siguiente procedimiento: a) Calcula primero
Cambia a coordenadas polares y observa que la región de integración es todo el plano b) Obtén el valor de sacando raíz cuadrada al resultado anterior
2 puntos
SOLUCIÓN
EXAMEN A Problema 2:
a) Si x = rcos , = (t), utilice la regla de la cadena para calcular dt dx v
b) si
y x
z sin , x = ln(u) , y = v , encuentre u z
en el punto P(u,v) = (1,1)
2 puntos
SOLUCIÓN (a)
(b)
EXAMEN A Problema 3: Construya el tensor de deformación D para el fluido que se muestra en la figura: fluido que se aproxima al eje x desde la dirección y, gira en la esquina y continúa en la dirección x. Es un fluido bidimensional, lo que significa que:
Ayuda: Usted sabe que el tensor de deformación está definido como
. También sabe que la matriz del gradiente de velocidades es:
Figura: Lineas de movimiento del fluido
2 puntos
RESPUESTA
EXAMEN A Problema 4: Determinar los extremos relativos: máximos, minimos y puntos de silla de la siguiente función:
5 2 4 )
,
(x y x2y4 x y2 f
2 puntos Respuesta:
4 12 0
0 2
) , (
1 , 1 , 0 0
) 1 ( 4 0 4 4
2 0
4 2
2 2 3
y f
f f f y x H
y y y y
y y
y f
x x
f
yy yx
xy xx y
x
) 1 , 2 ( Minimo 0
, 0 ) 1 , 2 (
) Minimo(2,1 0
, 0 ) 1 , 2 (
) 0 , 2 ( Silla de Punto 0
) 0 , 2 (
xx xx
f H
f H
EXAMEN A Problema 5: Calcular los valores propios y los vectores propios de la siguiente matriz:
2 3 3 0 4 0 2 1 1 2 puntos Respuesta: 0 ) 1 )( 4 )( 4 ( 0 ] 4 3 )[ 4 ( 0 ] 6 ) 2 )( 1 )[( 4 ( 0 ) 4 ( 6 ) 2 )( 4 )( 1 ( 0 )] 3 )( 4 ( [ 2 ] 0 0 [ 1 )] 2 )( 4 )[( 1 ( 0 2 3 3 0 4 0 2 1 1
2 1 , 4 ,
4 2 3
EXAMEN A Problema 6: Calcular para la función f(x,y,z) = exp(xy-z):
a) El gradiente de f b) El rotacional del gradiente de f
2 puntos
Respuestas: a)
i j k
EXAMEN B Problema 1: Calcula la integral impropia
Sugerencia. Utiliza el siguiente procedimiento: a) Calcula primero
Cambia a coordenadas polares y observa que la región de integración es el primer cuadrante del plano
b) Obtén el valor de sacando raíz cuadrada al resultado anterior
2 puntos
SOLUCIÓN
EXAMEN B Problema 2:
a) Si zy1/2,y y(x), usando la regla de la cadena calcule dx dz
b) Sea zexp[x(xy)], donde xtcos(t),ytsin(t), encontrar dt dz
cuando t = .
2 puntos
SOLUCIÓN (a)
(b)
EXAMEN B Problema 3: Construya el tensor de deformación D para el fluido que se muestra en la figura: fluido que se aproxima al eje x desde la dirección y, gira en la esquina y continúa en la dirección x. Es un fluido bidimensional, lo que significa que:
Ayuda: Usted sabe que el tensor de deformación está definido como
. También sabe que la matriz del gradiente de velocidades es:
Figura: Lineas de movimiento del fluido
2 puntos
RESPUESTA
EXAMEN B Problema 4: Determinar los extremos relativos: máximos, minimos y puntos de silla de la siguiente función:
5 4 2 )
,
(x y x4y2 x2 y f
2 puntos
Respuesta:
2 0
0 4 12 )
, (
2 0
4 2
1 , 1 , 0 0
) 1 ( 4 0 4 4
2 2 3
x f
f f f y x H
y y
f
x x x x
x x
x f
yy yx
xy xx y
x
) 2 , 1 ( Máximo 0
, 0 ) 2 , 1 (
) Máximo(1,2 0
, 0 ) 2 , 1 (
) 2 , 0 ( Silla de Punto 0
) 2 , 0 (
xx xx
f H
f H
EXAMEN B Problema 5: Calcular los valores propios y los vectores propios de la siguiente matriz:
6 8 4 0 2 0 2 4 0 2 puntos Respuesta: 0 ) 4 )( 2 )( 2 ( 0 ] 8 6 )[ 2 ( 0 ] 8 ) 6 )( )[( 2 ( 0 ) 2 ( 8 ) 6 )( 2 )( ( 0 )] 4 )( 2 ( [ 2 ] 0 0 [ 4 )] 6 )( 2 )[( ( 0 6 8 4 0 2 0 2 4
2 4 , 2 ,
2 2 3
EXAMEN B Problema 6: Calcular para la función f(x,y,z) = cos(xy-z):
a) El gradiente de f b) El rotacional del gradiente de f
2 puntos Respuestas:
a)
