M
ATEMÁTICA PARA
I
NGENIEROS
F
ORMACIÓN POR COMPETENCIAS
MÉTODO DE GAUSS
y
Torque o momento de una fuerza
2
SITUACIÓN MOTIVADORA
¿Es
posible
modelar
una
expresión matemática para el
momento
de
una
fuerza?
¿Qué conceptos matemáticos
intervienen?
Siempre que se abre una puerta o una válvula, o que se ajuste una
tuerca con una llave, se producirá un giro. El torque de la fuerza
produce un giro. El Torque no es lo mismo que la fuerza.
Si quieres que un objeto se desplace le aplicas una fuerza, la fuerza
tiende a acelerar a los objetos. Si quieres que un cuerpo rígido rote le
aplicas un torque. El torque produce
rotación.
LOGROS DE APRENDIZAJE
Ubicar puntos en el espacio tridimensional.
Definir un vector en el plano y en el espacio.
Calcular el módulo de un vector.
Sumar y multiplicar vectores por un escalar.
Calcular el ángulo entre dos vectores.
Calcular el producto escalar y vectorial de vectores.
Calcular la proyección y componente de un vector sobre otro
vector.
Aplicar el producto escalar y vectorial a diferentes problemas
Análisis de la Consistencia de un S.E.L.
4
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
Considere un sistema de
"𝑚"
ecuaciones con
"𝑛"
incógnitas:
1. Sea
"𝑝"
el rango de la matriz de coeficientes del S.E.L
2. Sea
"𝑞"
el rango de la matriz aumentada del S.E.L.
Resolución:
Ejemplos para mostrar en clase
Ejemplo 1.
Dado el sistema:
𝑚𝑥 + 𝑦 = 18
−𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 2
−𝑥 − 𝑚𝑦 = −18
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
a)
Para
𝑚 = −1
el sistema es inconsistente.
( )
M
ATEMÁTICA PARA
I
NGENIEROS
F
ORMACIÓN POR COMPETENCIAS
03
/0
8/2
01
6
F
or
ma
ción Bási
ca
Espacio Tridimensional R
3.
Es el conjunto de ternas ordenadas
(𝑥; 𝑦; 𝑧)
de números
reales, cuya notación está dada por
𝑅
3
.
8
Ubicación de puntos en R
3.
(2; 4; 3)
2
4 3
Ubicaremos los puntos:
2; 4; 3 ,
3
(4; 5; −3)
(3; −4; 2)
−4
4
5 2
−3
10
Definición de Vector
Se define como un segmento de recta
dirigido
que
tiene
magnitud
y
dirección. Es decir, si
𝐴
y
𝐵
son dos
puntos en el espacio, el segmento de
recta dirigido
𝐴𝐵
, es el segmento de
recta que va del punto inicial
𝐴
al
Regla: Terminal menos Inicial
En
𝑹
𝟐
:
Si una flecha tiene punto inicial
A = (𝑥
1
; 𝑦
1
)
y
punto final
B = (𝑥
2
; 𝑦
2
)
, entonces el vector está dado por:
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 𝑥
2
− 𝑥
1
; 𝑦
2
− 𝑦
1
. Similarmente,
Observación
Cualquier flechas con la misma longitud y apuntando en
la misma dirección representan al mismo vector.
En
𝑹
𝟑
:
Si la flecha tiene el punto inicial
A = (𝑥
1
; 𝑦
1
; 𝑧
1
)
y
punto final
B = (𝑥
2
; 𝑦
2
; 𝑧
2
)
, entonces el vector está dado
12
Regla: Terminal menos Inicial
(−1; 3)
(2; 6)
𝑣 = (3; 3)
(−1; 0)
(2; 3)
𝑣 = (3; 3) (−5; 3)
(−2; 6)
𝑣 = (3; 3)
(4; 3)
(7; 6)
𝑣 = (3; 3)
(2; −5)
Módulo de un vector
Sean los puntos
A = (𝑥
1
; 𝑦
1
; 𝑧
1
)
y
B = (𝑥
2
; 𝑦
2
; 𝑧
2
)
, la
distancia entre los puntos
A
y
𝐵
es igual al módulo del
vector
𝐴𝐵 =
𝑣 = 𝑥
2
− 𝑥
1
; 𝑦
2
− 𝑦
1
; 𝑧
2
− 𝑧
1
, y está dado
por:
𝑣 =
𝐴𝐵 =
(𝑥
2
− 𝑥
1
)
2
+(𝑦
2
− 𝑦
1
)
2
+(𝑧
2
− 𝑧
1
)
2
Vector unitario
Es un vector cuyo módulo es 1. En general, si
𝐴 ≠ 0
entonces el vector unitario que tiene la misma
dirección de
𝐴
está dado por:
14
Vectores unitarios estándar en R
2y R
31) Los vectores unitarios estándar
en el plano son:
𝑖 = (1; 0)
𝑗 = 0; 1
Cualquier vector
𝐴 = (𝑎
1
; 𝑎
2
; 𝑎
3
)
puede ser escrito como
una
combinación lineal
de los vectores unitarios estándar:
𝒗 = 𝒂
𝟏
𝒊 + 𝒂
𝟐
𝒋 + 𝒂
𝟑
𝒌
2) Los vectores unitarios estándar en el
espacio tridimensional:
𝑖 = 1; 0; 0
𝑗 = 0; 1; 0
𝑘 = 0; 0; 1
Ejemplos para que analice el estudiante
Ejemplo 2. Encuentre el módulo del vector 𝑣 que tiene como punto inicial (3; −7) y
punto final (−2; 5).
Resolución:
Paso 1:
Graficando los puntos dados
.
Paso 2:
Se tiene el vector
𝑣 = 𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 = −5; 12 .
16
Suma de vectores en R
2Si
𝑢 = (𝑥
1
; 𝑦
1
)
y
𝑣 = (𝑥
2
; 𝑦
2
)
, entonces
𝑢 +
𝑣 = (𝑥
1
+ 𝑥
2
; 𝑦
1
+ 𝑦
2
)
.
Similarmente para
𝑅
3
.
𝑢
𝑣
𝑢 + 𝑣
𝑎
𝑏 𝑐
𝑑
𝑒
Multiplicación de un vector por un escalar en R
2El producto del escalar
𝜆
y el vector
𝑢 = (𝑥
1
; 𝑦
1
)
está
dado por:
𝜆. 𝑢 = (𝜆𝑥
1
; 𝜆𝑦
1
)
.
𝑢
1
2
𝑢
2𝑢
−𝑢
−
1
2
𝑢
18
Suma y multiplicación por un escalar en R
3El producto del escalar
𝜆
y el vector
𝑉 = (𝑣
1
; 𝑣
2
; 𝑣
3
)
está dado por:
𝜆𝑉 = (𝜆𝑣
1
; 𝜆𝑣
2
; 𝜆𝑣
3
)
Si
𝑉 = (𝑣
1
; 𝑣
2
; 𝑣
3
)
y
𝑊 = (𝑤
1
; 𝑤
2
; 𝑤
3
)
, entonces
Propiedades de vectores
Si
𝑢 ,
𝑣 y 𝑤
son vectores en
𝑅
3
además
𝑟 y 𝑝
son
escalares, entonces:
1.
𝑢 +
𝑣 =
𝑣 + 𝑢
2.
𝑢 +
𝑣 + 𝑤 = 𝑢 +
𝑣 + 𝑤
3.
𝑢 + 0 = 𝑢
(
0
es el vector nulo).
4.
𝑢 + −𝑢 = 0
5.
𝑟 𝑢 +
𝑣 = 𝑟𝑢 + 𝑟
𝑣
6.
𝑟 + 𝑝 𝑢 = 𝑟𝑢 + 𝑝𝑢
7.
𝑟𝑝 𝑢 = 𝑟(𝑝𝑢)
8. 1 ∙ 𝑢 = 𝑢
Nota:
Resolución:
5
Ejemplos para mostrar en clase
Ejemplo 3.
Dados los vectores
𝐴 = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘
,
𝐵 = 2𝑖 − 4𝑗 − 3𝑘
y
𝐶 = −𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘
, represente geométricamente y determine el módulo de
cada uno de los siguientes vectores:
a)
𝑅
1=
𝐴 + 𝐵 +
𝐶
Resolución:
Ejemplos para mostrar en clase
Ejemplo 4.
Determine el vector cuya representación geométrica va del
5
Ejemplos para que analice el estudiante
Ejemplo 5.
Determine las componentes horizontal y vertical de la
fuerza
𝐹
de 12 N con que se jala la cuerda de una cometa cuando dicha
cuerda forma 45
°
con la horizontal
.
Resolución:
Paso 1.
Según la figura mostrada, se descompone
de la siguiente manera
:
Paso 2.
𝐹
𝐻= 𝐹𝑐𝑜𝑠 45° = 12
22
= 6 2 𝑁
𝐹
𝑉= 𝐹𝑠𝑒𝑛 45° = 12
2Resolución:
Paso 1.
La información se descompone en
componentes horizontales y verticales
Ejemplos para que analice el estudiante
Ejemplo 6.
Un peso de 100 N cuelga de dos alambres como se ve en la
figura adjunta. Encuentre las tensiones (fuerzas)
𝑇
1y
𝑇
2en ambos
5
Ejemplos para que analice el estudiante
Paso 2.
Según a información dada del problema se tiene
𝑇
1= −𝑇
1cos(50°) 𝑖 + 𝑇
2𝑠𝑒𝑛(50°) 𝑗
𝑇
2= 𝑇
2cos(32°) 𝑖 + 𝑇
2𝑠𝑒𝑛(32°) 𝑗
𝑊 = −100 𝑗
Paso 3.
Según la condición de equilibrio se tiene
𝑇
1+ 𝑇
2+ 𝑊 = 0.
Luego se tiene:
(
−𝑇
1cos 50° + 𝑇
2𝑐𝑜𝑠(32°)) 𝑖 + (𝑇
1sen 50° + 𝑇
2𝑠𝑒𝑛 32° − 100) 𝑗 = 0
Paso 4.
Luego se tiene el sistema de ecuaciones:
−𝑇
1cos 50° + 𝑇
2𝑐𝑜𝑠 32° = 0
𝑇
1sen 50° + 𝑇
2𝑠𝑒𝑛 32° − 100 = 0
Resolución:
Ejemplos para mostrar en clase
Ejemplo 7.
Una cámara de televisión de 120 libras está colocada en un
26
Se dice que dos vectores
𝑢
y
𝑣
,
son
paralelos
si
𝑢 = 𝜆.
𝑣
,
donde
𝜆
es una constante, además:
Si
𝜆 > 0
, entonces
𝑢 ↑↑
𝑣
Si
𝜆 < 0
, entonces
𝑢 ↑↓
𝑣
Si
𝜆 = 1
, entonces
𝑢 =
𝑣
Ejemplo 8
Los vectores
𝑢 = (2; 3; 4)
y
𝑣 = (4; 6; 8)
, son paralelos (
↑↑
).
Los vectores
𝑢 = (−2; 2; 3)
y
𝑣 = (4; −4; −6)
, son paralelos (
↑↓
).
Resolución:
Ejemplos para mostrar en clase
Ejemplo 9.
Determine el vector
𝐴
con las características presentadas en
cada caso:
a)
Es de módulo 7 y su dirección está determinada por el vector
𝑣 =
12𝑖 − 5𝑘 .
b)
Es de módulo 3 y su dirección es opuesta al vector
𝑣 =
12
𝑖 −
1 2𝑗 −
Producto Escalar en R
2y R
3En
𝑅
2
:
El producto escalar de
𝑢 = (𝑢
1
; 𝑢
2
)
y
𝑣 = (𝑣
1
; 𝑣
2
)
, es:
𝑢.
𝑣 = 𝑢
1
. 𝑣
1
+ 𝑢
2
. 𝑣
2
Se dice que los vectores
𝑢
y
𝑣
, son
perpendiculares
si
𝑢.
𝑣 = 0
.
En
𝑅
3
:
El producto escalar de
𝑢 = (𝑢
1
; 𝑢
2
; 𝑢
3
)
y
𝑣 = (𝑣
1
; 𝑣
2
; 𝑣
3
)
, es:
𝑢.
𝑣 = 𝑢
1
. 𝑣
1
+ 𝑢
2
. 𝑣
2
+ 𝑢
3
. 𝑣
3
Resolución:
5
Ejemplos para mostrar en clase
Ejemplo 10.
Si se sabe que
𝐴 = 24
y
𝐵 = 6
, determine los valores
Ejemplos para que analice el estudiante
Ejemplo 11.
Si el cable
𝐴𝐵
está sometida a una tensión
𝑇 = 700𝑁
Determine el vector tensión
𝑇
en el cable
𝐴𝐵
en combinación lineal de
los vectores
𝑖
,
𝑗
y
𝑘
.
Resolución:
Paso 1: Del gráfico se obtiene los vectores
𝐵 = 2; 3; 0
y
𝐴 = 0; 0; 6
.
Paso 4:
Finalmente el vector tensión
𝑇
es:
Paso 2: Sea
𝑤
el vector que va
B
a
A
:
𝑤 = 2; 3; −6
.
Paso 3: Se encuentra el vector unitario a
𝑤: 𝑢
𝑤=
27
;
3 7;
−6 7=
2 7𝑖 +
3 7
𝑗 −
18
Ejemplos para que analice el estudiante
Ejercicio
12.
El alambre de una torre está anclado en
𝐴
por medio de un perno,
cuya fuerza en el alambre es de 2500N. la fuerza
𝐹
actúa sobre el perno de
anclaje. Modele el vector
𝐹
como una en combinación lineal de los vectores
𝑖
,
𝑗
y
𝑘
de la fuerza que actúa sobre el perno de anclaje
.Resolución:
Paso 4:
Finalmente el vector fuerza
𝐹
es:
𝐹 = 700𝑢
𝑤=
7500𝑖 −
10000𝑗 −
20000𝑘 𝑁.
Paso 2: Sea
𝑤
el vector que va
B
a
A
:
𝑤 = 𝐵 −
𝐴 = 30; −40; 80
.
Paso 3: Se encuentra el vector unitario a
𝑤: 𝑢
𝑤=
3010 89
; −
40 2 89;
80
10 89
=
3010 89
𝑖 −
4010 89
𝑗 +
8010 89
𝑘
.
Paso 1: Del gráfico se observa que:
F ORM AC IO N BA SI CA
CINCO COSAS QUE DEBEMOS RECORDAR
1.
Cualquier flecha con la misma longitud y apuntando en la
misma dirección representa el mismo vector.
2.
Si
𝐴
es el punto inicial y
𝐵
el punto final de un vector,
entonces el vector es
𝐵 – 𝐴
.
3.
Cualquier vector puede escribirse como combinación lineal
de los vectores unitarios
𝑖, 𝑗, 𝑘
.
4.
Si a cualquier vector no nulo se le multiplica por una
constante (escalar) se obtiene un vector paralelo al inicial.
5.
Si
𝑣
es el módulo del vector
𝑣
, entonces
1
𝑣
𝑣
es un vector
34 F ORM AC IO N BA SI CA
Tome su tiempo para reflexionar antes de responder las
siguientes preguntas:
Sobre los temas respecto a vectores estudiados durante la
semana
1.
¿Se te presentó alguna dificultad para aplicar estos
conceptos matemáticos?
2.
¿Qué acciones tomaste para superar estas dificultades?
En el panorama del caso
“Torque o momento de una fuerza”,
presentado al inicio de la semana, si la fuerza
𝐹 = (3,4,5)
se
aplica en el punto
𝑄(3; 2; 7)
:
Actividad
ACTIVIDADES
DE EXTENSIÓN
I.
Grafique el vector momento
𝑀𝑜
respecto al punto
𝑂(1; 1; 1)
, el vector
𝑂𝑄
y la fuerza
𝐹
.
36
