1. Los valores positivos de X están a la derecha del origen - UNIDAD 4 grafiquemos relaciones y funciones.

UNIDAD 4: GRAFIQUEMOS RELACIONES Y

FUNCIONES.

Plano cartesiano

.

¿Recuerdas la recta numérica? Esa recta resulta ser el eje

X

del plano cartesiano (eje

horizontal). El eje vertical es el eje de las

y

. Ambos ejes se cortan perpendicularmente y en

CERO. Así se forma el plano cartesiano, que es el siguiente:

Podemos observar las características siguientes:

1. Los valores positivos de

X

están a la derecha del origen

2. Los valores positivos de

y

están hacia arriba del origen

3. Los valores negativos de

X

están a la izquierda del origen

4. Los valores negativos de

y

están hacia abajo del origen

5. Todo valor a la izquierda es menor que todo valor a la derecha (en

X

)

6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en

y

)

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Origen (0, 0)

Cuadrante I

Cuadrante II

Cuadrante III

Cuadrante IV

Eje

X

 Ubicación de un par ordenado en el plano cartesiano

.

Un par ordenado representa un punto en el plano cartesiano. Por ejemplo, el par ordenado (-2,

5) tiene a –2 como coordenada en

X

, mientras que su coordenada en

y

es 5. Para ubicar tal

punto, trazamos una línea que pase por –2 en

X

y otra que pase por 5 en

y

. Donde se cortan es

el punto.

Ejemplos

. Ubicar en el plano los puntos siguientes: (2, 5), (-3, 4), (-2, -3), (5, -2),

X

= 3

y

y

= -4.



Solución

.

 Actividad 1

. Encuentra las incógnitas en los pares ordenados siguientes: 1. (m, 5) = (7, k) _________ _________ 2. (n + 1, p) = (10, -3) _________ _________ 3. (q + 2, d) = (7, -5) _________ _________ 4. (q - 5, b) = (-5, 7) _________ _________

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

(2, 5)

(-3, 4)

(-2, -3)

(5, -2)

X

= 3

5. (5 - q, 5) = (7, 2 - a) _________ _________ 6. (2m + 1, 4m - 5) = (11 – 2b, 2b - 3) _________ _________

 Actividad 2

. Ubica en el plano cartesiano los puntos siguientes: 1. (1, 4) 2. (-2, 3) 3. (-4, -2) 4. (4, -3) 5. y = 4 6. x = -3



discusión 1

. 1. Marquen 4 puntos que estén a 3 unidades del punto (1, 2) y graficarlos. (Una unidad es la distancia entre un entero y el siguiente; por ejemplo, entre 5

y 6 hay una unidad). 2. Encuentren la distancia entre los puntos (1, 1) y (5, 4) (Ayuda:

aplicarán Pitágoras)

3. Producto cartesiano

.

3.1 Definición

. Si A y B son 2 conjuntos, el producto cartesiano AXB es el conjunto de pares ordenados formado al combinar todos los elementos de A con todos los de B, en ese orden.

En notación de conjunto: AXB =

{

(

X

,

y

)

⁄

X

Î

A y y

Î

B

}

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Se concluye que AXB es diferente de BXA. Además, A es el conjunto de partida, y B es el conjunto de llegada.

Ejemplo

. A =

{

2, 5, 6, 8

}

y B =

{

3, 5, 7

}

Con estos conjuntos encontrar AXB y BXA



Solución

.

Œ

AXB =

{

(2, 3), (2, 5), (2, 7), (5, 3), (5, 5), (5, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7)

}



BXA =

{

(3, 2), (3, 5), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 5), (5, 6), (5, 8), (7, 2), (7, 5), (7, 6), (7, 8),

}

 Actividad 3

. Con los conjuntos A =

{

2, 3, 5

}

B =

{

3, 5, 7

}

y C =

{

4, 6, 7, 8

}

calcula:

1. AXB = _____________________________________________________________________________________________

2. BXA = _____________________________________________________________________________________________

3. AXC = _____________________________________________________________________________________________

4. CXA = _____________________________________________________________________________________________

5. BXC = _____________________________________________________________________________________________

6. CXB = _____________________________________________________________________________________________

7. (A

∩

B)XC =

_____________________________________________________________________________________________

8. (B

∩

C)XA =

______________________________________________________________________________________________



discusión 2

. Se tiene un conjunto con 20 elementos y otro con 30. ¿Cuántos pares ordenados resultarán del producto cartesiano entre ambos? ________

3.2 Representación de productos A X B en el plano cartesiano, donde

A y B sean subconjuntos de ℜ o iguales a ℜ

.

Graficar AXB es ubicar en el plano cartesiano todos los puntos (pares ordenados) que resulten del producto cartesiano AXB.

Ejemplo. Si

A =

{

2, 3, 5

}

y B =

{

5, 7

}

, grafiquemos AXB.

Gráfica de AXB

8

7

6

5

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

Ejemplo. Si

A =

]

1, 3

]

y

B =

[

2, 4

[

graficar AXB y BXA.



Solución

. Al graficar AXB el conjunto A es el de partida: estará en el eje

X

. B es el conjunto de llegada: estará en

y

. En este gráfico se hallan todos los valores comprendidos entre 1 y 3. Observa que la línea

X

= 1 está punteada. Esto se debe a que el 1 no

está comprendido: ahí el intervalo es abierto. En este caso, hemos trabajado con dos

El gráfico de AXB resultará al traslapar ambos gráficos:

Seleccionemos 4 puntos que no pertenecen a AXB: (1, 2). (2, 4). (1, 3), (4, 1) Para el primer caso, (1, 2), la coordenada 1 (coordenada en x) no pertenece a AXB, aunque la segunda coordenada, 2, sí pertenece. Para que el punto pertenezca a AXB, ambas coordenadas deben pertenecer. En el caso de (2, 4), vemos que la primera coordenada, 2, pertenece a AXB; pero la segunda coordenada NO pertenece. Para el punto (4, 1), ninguna de las coordenadas pertenece a AXB.

Al graficar BXA, B es el conjunto de partida y A es el de llegada. Es decir que B estará en

X

y

A en

y

. El gráfico BXA es el siguiente:

4

3

2

1

1 2 3 4 5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

El conjunto B es el de llegada: estará en el eje y.

En este gráfico se hallan todos los valores comprendidos entre 2

y 4. Observa que la línea

y

= 4

está punteada. Esto se debe a que el 4 no está comprendido: ahí el intervalo es abierto.

 Actividad 4

. Si A =

{

2, 3, 5, 7, 9, 10

}

y B =

{

5, 6, 7, 8

}

, grafica AXB y BXA.

 Actividad 5

. Con los conjuntos A =

[

-2, 3

[

B =

]

2, 4

]

y C =

[

-3, 5

]

graficar AXB, BXA, AXC, CXA, BXC y CXB.

4. Relaciones

.

4.1 Definición

. Para los conjuntos A y B, una relación (

R

) de A en B, es cualquier

subconjunto de AXB.

Para el caso de A =

{

2, 3, 5

}

y B =

{

5, 7

}

, se tiene que AXB =

{

(2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7)

}

Tres relaciones de A en B son las siguientes:

R

1 =

{

(2, 5), (2, 7), (3, 5)

}

R

1 =

{

(3, 5), (3, 7)

}

R

1 =

{

(5, 5)

}

4.2 Conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango

(recorrido) de una relación y su gráfico.



Conjunto de partida

. Es el conjunto que contiene las primeras componentes de un producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de partida es A.

4

3

2

1

1 2 3 4



Conjunto de llegada

. Es el conjunto que contiene las segundas componentes de un producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de llegada es B.



Dominio

. Es el conjunto que contiene las primeras componentes de una relación



Rango o recorrido

. Es el conjunto que contiene las segundas componentes de una relación

Ejemplo. Sea AXB =

{

(2, 3), (2, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 5), (5, 10), (5, 12)

}

. Si la relación

R

de A en B es el conjunto formado por los pares ordenados en los que la segunda componente es el doble de la primera, calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.



Solución

.

▬ El conjunto de partida son las primeras componentes del producto cartesiano:

{

2, 3, 5

}

▬ El conjunto de llegada son las segundas componentes del producto cartesiano:

{

3, 4, 5, 6, 10, 12

}

La relación

R

de A en B que buscamos estará formada por los pares ordenados en los que la

segunda componente es el doble de la primera:

{

(2, 4), (3, 6), (5, 10)

}

De esta relación

saldrán el dominio y el rango.

▬ El dominio son las primeras componentes de la relación:

{

2, 3, 5

}

▬ El rango son las segundas componentes de la relación:

{

4, 6, 10

}

Ejemplo. Sea

P =

{

2, 3, 5

}

y Q =

{

5, 7, 9, 11

}

Si la relación

R

es:

R

=

{

(

X

,

y

) /

X

Î

P y

y

Î

Q, con

y

= 2

X

+ 1

}

Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.



Solución

.

▬ Conjunto de partida:

{

2, 3, 5

}

▬ Conjunto de llegada:

{

5, 7, 9, 11

}

En palabras, la relación está formada así: por los pares ordenados con su primera componente

(

X

) sacada de P y la segunda (

y

) sacada de Q; siendo la segunda el doble de la primera más

UNO.

Formemos el producto cartesiano PXQ, y seleccionemos los pares ordenados que cumplan con

la condición de la relación.

PXQ =

{

(2, 5)

, (2, 7), (2, 9), (2, 11), (3, 5),

(3, 7)

, (3, 9), (3, 11), (5, 5), (5, 7), (5, 9),

(5, 11)

}

Por lo tanto:

R

=

{

(2, 5)

,

(3, 7)

,

(5, 11)

}

▬ El rango es:

{

5, 7, 11

}

...

...

NOTA: debemos leer cuidadosamente la relación, pues nos puede conducir a errores. La relación anterior es:

R

=

{

(

X

,

y

) /

X

Î

P y

y

Î

Q, con

y

= 2

X

+ 1

}

Es una relación de P

en Q.

Cambiémosla por:

R

=

{

(

X

,

y

) /

X

Î

Q y

y

Î

P, con

y

= 2

X

+ 1

}

Esta es una relación de

Q en P.

Para este caso el producto cartesiano sería

QXP =

{

(5, 2),(5, 3), (5, 5), (7, 2),(7, 3), (7 5), (9, 2),(9, 3), (9, 5), (11, 2), (11, 3), (11, 5),

}

Para este producto cartesiano, la relación es el conjunto vacío: no hay un par ordenado cuya segunda componente sea el doble más UNO que la primera. Por lo tanto no habría dominio y rango.

...

...

Ejemplo

. Sea Q =

{

2, 4, 6, 8

}

Si la relación es: R =

{

(

X

, y) /

X

Î

QXQ con

X

+ y

= 12

}

Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.



Solución

.

▬ El conjunto de partida y el de llegada es el mismo: Q =

{

2, 4, 6, 8

}

La relación nos dice que sus pares ordenados pertenecen al producto cartesiano QXQ, que

también puede expresarse como Q2

QXQ =

{

(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8), (8, 2), (8, 4),

(8, 6), (8, 8)

}

También la relación nos dice que la suma de las coordenadas del par ordenado es igual a 12. Por lo tanto:

R

=

{

(4, 8), (6, 6), (8, 4)

}

▬ El dominio es:

{

4, 6, 8

}

▬ El rango es:

{

4, 6, 8

}

El dominio es igual al rango.

Ejemplo

. Sea Q =

{

2, 4, 5, 6

}

Si la relación es: R =

{

(

X

, y) /

X

Î

N y

y

Î

Q

/

2

X

+ y = 12

}

Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.

Los pares ordenados de la relación son (

X

,

y

) y

X

(la primera componente) pertenece a los

naturales. Las segundas componentes pertenecen a Q (Es una relación de N en Q) Por lo tanto:

▬ El conjunto de partida es N

▬ El conjunto de llegada es Q

Para calcular dominio y rango necesitamos NXQ, que es un conjunto infinito. No es posible

expresarlo por extensión, así que haremos los cálculos por inspección.

Sabemos que 2

X

+

y

= 12.

y

puede tomar los 4 valores de Q: 2, 4, 5 y 6.

X

puede tomar

cualquier valor natural, pero nos interesan aquellos que reproduzcan los 4 de

y

. Por lo tanto

despejemos

X

y sustituyamos los valores de

y

.

2

X

+

y

= 12



X

= (12

–

y

)

/

2

Valor de

y

X

= (

12 –

y

)/2

2 5

4 4

5 7/2

6 3

De la relación resulta que: ▬ El dominio =

{

3, 4, 5

}

▬ El rango =

{

2, 4, 6

}

Ejemplo

. Calcular el dominio, rango y gráfica de la relación

R =

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ

/

y

– 2

X

>

-2

}



Solución

.

ℜXℜ

es el producto cartesiano de los reales con los reales; es decir que

ℜXℜ

es todo el plano

cartesiano.

Despejemos

y

de

y

–

2

X

>

-

2:

y

>

2

X

– 2

Ahora grafiquemos la frontera cambiando

>

por

=

:

y

=

2

X

– 2. La frontera no estará

incluida.

y

=2

X

–2

es una línea recta. Para su gráfica bastan 2 puntos. Tomemos los puntos

X

= 0, y

X

= 4.

X y

=

2

X

– 2

Puntos

0

-2

(0, -2)

4

6

(4, 6)

La gráfica es la siguiente:

De aquí obtenemos los pares ordenados que satisfacen la relación. Por lo tanto:

R

=

{

(5, 2), (4, 4), (3, 6)

}

El par ordenado (7/2, 5) no pertenece al producto cartesiano NXQ,

por tal razón no pertenece a la relación.

En cuanto al dominio y el rango, se tiene que tanto

X

como

y

pueden tomar cualquier valor. Es

decir que el dominio y el rango son los reales.

El gráfico puede apreciarse en la página siguiente.

...

....

Si la relación hubiese sido

y

–

2

X

≥ -2

, entonces la frontera estaría incluida, y se tendría una

línea continua.

Si la relación hubiese sido

y

– 2

X

< -

2, entonces la frontera NO estaría incluida, y la relación se cumpliría en todos los puntos a la derecha de la recta.

Si la relación hubiese sido

y

–

2

X

= -

2, entonces la relación se cumpliría únicamente en la

línea recta.

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2 3 4 5

Ahora tomemos 2 puntos: uno a cada

lado de la recta

.

Tomemos los puntos (4,

1) y (0, 0) Probamos estos puntos en la desigualdad:

Probando (4, 1), que está a la derecha de la recta.

y

–

2

X

>

-2 (1)– 2(4)

>

-

2

1 – 8

>

-2



-

7

>

-

2

¡¡ Falso !!

Probando (0, 0), que está a la izquierda de la recta.

y

–

2

X

>

-

2 (0)– 2(0)

>

-

2

0

>

-

2

¡¡

Verdadero

!!

Ejemplo

. Encontrar el dominio, rango y gráfica de la relación

R =

{

(

X

, y) /

X

Î

ℜXℜ

y

y

>

X

2 ₊₂

_}

▬

Calculando el dominio

: el dominio son los valores que puede tomar la

X

. En la desigualdad

y

>

X

2

₊₂

_{, es evidente que}

_X

_{puede tomar cualquier valor: nada se lo impide.}

_{Se concluye}

que el dominio es todos los reales.

▬

Calculando el rango

: el rango son los valores que puede tomar la

y

. Se tiene que

X

2

_,

para cualquier valor de

X

,

es CERO o mayor que cero. Por lo tanto, el menor valor que tomará

X

2

₊

₂

_{es 2.}

_{Se concluye que el rango es:}

[

₂

_{, +}

∞[

_{Esto se ve mejor despejando}

_X

_{de la} ecuación:

X

<

√y

-

2 Aquí el mínimo valor que puede tomar

y

es 2, de lo contrario se obtiene un

número negativo (que no tiene raíz cuadrada. Por ejemplo, si toma el valor de 1, obtenemos 1 – 2 = -1.

▬

Tracemos la gráfica

.

y

>

X

2

₊

_{2 es una parábola abierta hacia arriba y que comienza en}

y

= 2.

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2 3 4 5

Se tienen los puntos siguientes:(-2, 6), (-1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6) Tal parábola es la frontera, la cual no está comprendida en la relación (por ello es punteada)

Ahora probemos 2 puntos: uno interno (0, 5) y otro externo (0, 0) Sustituyamos en y>

X

2 _+2.

Ejemplo

. Encontrar dominio y rango de la relación R =

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ

/

y

≤

√

2

–

X

}

▬

Calculando el dominio

. El dominio son los valores que puede tomar la

X

. En la desigualdad

6

5

4

3

2

1

-2 -1 1 2

Para (0, 5) se tiene:

y

>

X

2

₊

₂

5

>

(0)

2

₊

₂

5

>

2

¡¡ Cierto !!

Por lo tanto, la relación se cumple en el área interna de la parábola.

En realidad, basta con probar un punto. No es necesario probar el otro.

...

6

5

4

3

2

1

-2 -1 1 2

Si tuviéramos

y

≤

X

2

₊

_{2 a cambio de}

y

≤

√

2

–

X

, es evidente que

X

NO

puede tomar un valor mayor que 2. En tal caso tendríamos

la raíz de un número negativo, que no existe. Por ejemplo, si

X

= 3, tenemos:

√

2 – 3 =

√

-1

,

que no existe (es imaginario) Pero sí puede tomar un valor igual o menor que 2. Se concluye que el dominio es

]-∞

,

2

]

▬

Calculando el rango.

El rango son los valores que puede tomar la

y

. En la desigualdad

y

≤

√

2

–

X

, es evidente que

y

puede tomar cualquier valor, pues todo número positivo tiene 2

raíces: una positiva y otra negativa. Para el caso, las raíces de 4 son 2 y –2: 22_{= 4}

_,

_(-2)2 _{= 4. Por}

lo tanto el rango son todos los reales. Esto se visualiza mejor despejando

X

.

y

=

√

2

–

X



y

2₌

₍

_√

₂

_–

_X

₎

2

_

_y

2₌₂

_–

_X

_

_y

2 _{– 2=}

_–

_X

_

_X

₌

_{2 –}

_y

2

_{Para todo}

valor de

y

 Actividad 6

. En cada caso encontrar el conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango de la relación y su gráfico.

1. AXB =

{

(2, 4), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 10), (4, 8), (4, 13), (5, 10), (5, 16), (6, 12), (6, 18)

}

. Y la relación es

R

=

{

(

X

,

y

)

Î

AXB /

y

= 3

X

+ 1

}

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada

________________________

Dominio ________________________ Rango ________________________

2. M =

{

2, 3, 5

}

y Q =

{

5, 6, 9, 12

}

R

=

{

(

X

,

y

) /

X

Î

M y

y

Î

Q, con

y

= 3

X

– 3

}

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada

________________________

Dominio ________________________ Rango ________________________

3. M =

{

2, 3, 5

}

y Q =

{

5, 6, 9, 12

}

R

=

{

(

X

,

y

) /

X

Î

Q y

y

Î

M, con

y

=

X

– 4

}

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada

________________________

Dominio ______________________ Rango _______________________

4. M =

{

2, 3, 5

}

y Q =

{

5, 6, 7, 8

}

R

=

{

(

X

,

y

) /

X

Î

Q y

y

Î

M, con

y

+

X

= 10

}

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada

________________________

Dominio ________________________ Rango ________________________

5. M =

{

2, 3, 5

}

y Q =

{

5, 6, 7, 8

}

R

=

{

(

X

,

y

) /

X

Î

M y

y

Î

Q, con

y

+

X

= 10

}

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada

________________________

6. Q =

{

2, 4, 5

}

y M =

{

5, 6, 7, 8

}

R

=

{

(

X

,

y

) /

X

Î

Q y

y

Î

M, con 2

y

–

X

= 8

}

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada

________________________

Dominio ________________________ Rango _______________________

 Actividad 7

. Calcular dominio, rango y la gráfica de la relación en los casos siguientes.

1.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ

/

y

= 3

X

-5

}

Dominio ___________________ Rango

_____________________

2.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ

/

y

>

3

X

-5

}

Dominio ___________________ Rango

_____________________

3.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ

/

y

≤

3

X

-5

}

Dominio ___________________ Rango

_____________________

4.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ

/

y

+ 2

X

≥

5

}

Dominio ___________________ Rango

_____________________

5

.

R

=

{

(

X

,

y

)

Î

ℜXℜ

/

y

>

X

2

₊₂

}

_Dominio

_{_________________}

_Rango

__________________

6.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ / y

≤

X

2 ₊₂

_}

_{Dominio ____________________ Rango}

__________________

7.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ / y

≤

X

2 _{– 2}

}

_{Dominio ____________________ Rango}

__________________

8.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ / y

≤

2 –

X

2

_}

_{Dominio ____________________ Rango}

__________________

9.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ / 2 –

X

2

_–

_y

_≤

₀

_}

_{Dominio ____________________ Rango}

__________________

10.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ / 2 –

X

2

_–

_y

_>

₀

}

_{Dominio ____________________} Rango __________________

11.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ / 5 –

X

2 _{+ y}

_≤

₀

_}

_{Dominio ____________________} Rango __________________

12.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ / 5 –

X

2 _{+ y}

_<

₀

}

_{Dominio ____________________} Rango __________________

13.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜXℜ / -5 +

X

2 _{– y}

_<

₀

_}

_{Dominio ____________________} Rango __________________



discusión 3

. Para cada relación, encontrar el dominio y el rango.

1.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜ

2 _/

_y

_≤

_{5 –}

_X

_}

_{Dominio ____________________ Rango}

2.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜ

2 _/

_y

_<

_{4 –}

_X

}

_{Dominio ____________________ Rango}

__________________

3.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜ

2 _/

_y

_>

_X

_–

₂

_}

_{Dominio ____________________ Rango}

__________________

4.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜ

2 _/

_y

_>

₂

_X

_–

₁₀

_}

_{Dominio ____________________ Rango}

__________________

5.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜ

2 _/

_y

2 ₊

_X

_>

₁₀

}

_{Dominio ____________________ Rango}

__________________

6.

R

=

{

(

X

, y)

Î

ℜ

2 _/

_y

2 _–

_X

_<

_-4

_}

_{Dominio ____________________ Rango}

__________________

Soluciones

.

Actividad 1

.

1. k = 5 2. n = 9 p = –3 3. q = 5 d = –5 4. q = 0 b = 7 5. q = –2 a = –5 6. m = 2 b = 3

discusión

1

.

1. Le sumamos y restamos 4 a una coordenada sin alterar la otra. Los puntos son: (1, 6), (1, -2),

5, 2(), (-3, 2) 2. Se forma un triángulo rectángulo de lados 3 y 4, siendo la distancia la

hipotenusa: 5 unidades.

Actividad 3

.

1. AXB = (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 3 ), (5, 5), (5, 7) 2. BXA = (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (7, 2), (7, 3), (7, 5)

3. AXC = (2, 4), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4 ), (5, 6), (5, 7), (5, 8) 4. CXA = (4, 2), (4, 3), (4, 5), (6, 2), (6, 3), (6, 5), (7, 2), (7, 3), (7, 5), (8, 2), (8, 3), (8, 5) 5. BXC = (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (7, 4 ), (7, 6), (7, 7), (7, 8) 6. CXB = (4, 3), (4, 5), (4, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (7, 3), (7, 5), (7, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7)

7. (A

∩

B)XC = (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4 ), (5, 6), (5, 7), (5, 8)

8. (B

∩

C)XA = (7, 2), (7, 3), (7, 5)

discusión

2

. 600

Actividad 5

.

-2 -1 1 2 3 4 4

3

2

1

Actividad 6

.

1. Conjunto de partida

{

(2, 3, 4, 5, 6

}

Conjunto de llegada

{

4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 16, 18

}

.

R

=

{

(2, 7), (3, 10), (4, 13), (5, 16)

}

Dominio

{

(2, 3, 4, 5

}

Rango

{

7, 10, 13, 16

}

2. Conjunto de partida

{

2, 3, 5

}

Conjunto de llegada

{

5, 6, 9, 12

}

R

=

{

(3, 6), (5, 12)

}

Dominio

{

3, 5

}

Rango

{

6, 12

}

3. Conjunto de partida

{

5, 6, 9, 12

}

Conjunto de llegada

{

2, 3, 5

}

Dominio

{

6, 9

}

Rango

{

2, 5

}

4. Conjunto de partida

{

5, 6, 7, 8

}

Conjunto de llegada

{

2, 3, 5

}

Dominio

{

5, 7, 8

}

Rango

{

2, 3, 5

}

5. Conjunto de partida M =

{

2, 3, 5

}

Conjunto de llegada Q =

{

5, 6, 7, 8

}

Dominio M =

{

2, 3, 5

}

Rango

{

5, 7, 8

}

6. Conjunto de partida Q =

{

2, 4, 5

}

Conjunto de llegada M =

{

5, 6, 7, 8

}

Dominio 2, 4 Rango 5, 6

Actividad 7

.

1. Dominio

ℜ

Rango

ℜ

El gráfico es sólo la recta

2. Dominio

ℜ

Rango

ℜ

El gráfico es sólo la zona a la izquierda de la recta.

3. Dominio

ℜ

Rango

ℜ

El gráfico es la zona a la derecha de la recta, incluida ésta.

4. Dominio

ℜ

Rango

ℜ

El gráfico es la zona a la derecha de la recta, incluida ésta.

5. Dominio

ℜ

Rango

[

2, +

∞

[

El gráfico es la zona interna de la parábola.

6. Dominio

ℜ

Rango

[

2, +

∞

[

El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida ésta.

7. Dominio

ℜ

Rango

[

-2, +

∞

[

El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida ésta.

8. Dominio

ℜ

Rango

[

-2, +

∞

[

El gráfico es la zona interna de la parábola, incluida ésta.

9. Dominio

ℜ

Rango

]

-

∞

,2

]

El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida ésta.

10. Dominio

ℜ

Rango

]

-

∞

,2

]

El gráfico es la zona interna de la parábola.

11. Dominio

ℜ

Rango

[

-5, +

∞

[

El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida ésta.

12. Dominio

ℜ

Rango

[

-5, +

∞

[

El gráfico es la zona externa de la parábola.

13. Dominio

ℜ

Rango

[

-5, +

∞

[

El gráfico es la zona interna de la parábola.

discusión

3

. En todos, el rango es

ℜ.