Departamento de Matem´atica Aplicada II.
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
4.1.- Espacios y subespacios vectoriales. 4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.
Espacio nulo y espacio columna de una matriz. Dependencia e independencia lineal.
Ecuaciones param´etricas y ecuaciones impl´ıcitas de un subespacio.
4.3.-Transformaciones lineales.
Definici´on y propiedades. Matriz asociada.
4.4.- Bases de un subespacio.
Coordenadas. Dimensi´on.
Rango de una matriz. El teorema del rango. Cambios de base.
4.5.- Suma e intersecci´on de subespacios. 6.6.- Ejercicios.
6.7.- Ap´endice: MATLAB.
4.1.- Espacios y subespacios vectoriales.
De forma gen´erica, un espacio vectorial es un conjunto donde hay definida una operaci´on suma (la suma de dos elementos del conjunto es otro elemento del conjunto) y una operaci´on producto por escalares (el producto de un escalar, real o complejo, por un elemento del conjunto es otro elemento del conjunto) con las propiedades que conocemos de la suma y producto por escalares para vectores de coordenadas (conmutatividad, asociatividad, exis-tencia de elemento nulo, elemento opuesto, distributivas, etc.). Se dice que el espacio vectorial es real o es complejo en funci´on de que se consideren escalares reales o complejos respectiva-mente. Adem´as de los espacios de coordenadas, Rn y Cn, que manipulamos habitualmente,
algunos ejemplos t´ıpicos de espacios vectoriales son, con las operaciones usuales de suma de matrices y funciones y de producto de una matriz o una funci´on por un escalar:
El conjunto de todas las matrices de dimensiones determinadas,m×n.
El conjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual que un cierton ∈N.
El conjunto de todas las funciones continuas (en un punto, en un intervalo).
El conjunto de todas las funciones derivables (en un punto, en un intervalo).
El conjunto de todas las funciones integrables en un intervalo.
El conjunto de las funciones (continuas, derivables, integrables) que se anulan en un punto prefijado.
El conjunto de las funciones integrables en un intervalo y cuya integral en dicho inter-valo es cero.
El conjunto de las funciones derivables f que verifican que f′′
(t)−2f′
(t) +tf(t) = 0 para todot (en un intervalo, en toda la recta real).
El conjunto de las funciones derivables f que verifican que f′′
(t)−2f′
(t) +tf(t) = 0 para todot (en un intervalo, en toda la recta real) y se anulan en un punto prefijado.
Y algunos ejemplos t´ıpicos de conjuntos que, con las operaciones usuales, no son espacios vectoriales:
El conjunto de todas las matrices cuadradas de ordenn que tienen inversa.
El conjunto de los polinomios de un grado prefijado n∈N.
El conjunto de las funciones continuas f (en un punto, en un intervalo) tales que
f(x0) = 1 siendo x0 un punto del intervalo dado.
El conjunto de los vectores deR2
cuya segunda coordenada es igual a uno.
El conjunto de los vectores deR2
cuyas coordenadas verifican una ecuaci´on de segundo grado.
El conjunto de todas las funciones derivables f que verifican que f′′
(t)−f(t)f′
(t) = 0 para todot (en un intervalo, en toda la recta real).
El tipo de subconjuntos m´as importantes dentro de un espacio vectorial son los llamados subespacios vectoriales. En ellos se puede realizar las operaciones del espacio vectorial sin salirnos de dicho subconjunto.
Definici´on. Se dice que un subconjunto (no vacio) S de un espacio vectorial es un sub-espacio vectorial si, con las operaciones que hay definidas en el espacio vectorial, es un espacio vectorial. Es decir, si verifica que:
(a) ∀u, v ∈S =⇒u+v ∈S.
De forma equivalente, S es un subespacio vectorial si
∀u, v ∈S y ∀α, β ∈K=⇒αu+βv ∈S.
Notemos que si S es un subespacio vectorial, el vector nulo tiene que pertenecer a S.
La propiedad (a) nos dice que si tenemos un vector no-nulo de un subespacio vectorial, la recta determinada por dicho vector est´a contenida en el subespacio. La propiedad (b)
nos dice que si tenemos dos vectores (que no sean uno m´ultiplo del otro) de un subespacio vectorial, el plano determinado por dichos vectores est´a contenido en el subespacio.
ObviamenteS =
~0©
yS =Knson subespacios vectoriales (a veces llamados subespacios
triviales). En el espacio tridimensional, cualquier rectao planoque pase por el origen es un subespacio vectorial. En el plano, los vectores de posici´on determinados por los puntos de unapar´abola NOforman un subespacio vectorial.
Proposici´on. El conjunto de todas las combinaciones lineales de unos vectores dados es un subespacio vectorial. Es decir, dados{v1, . . . , vn},
Gen {v1, . . . , vn}={c1v1+· · ·+cnvn:c1, . . . , cn∈K}
es un subespacio vectorial (del espacio vectorial que se est´e considerando). Este subespacio vectorial se denominasubespacio generado por {v1, . . . , vn}.
Es f´acil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades.
Propiedades.
(1) Gen {v2, . . . , vn} ⊆Gen {v1, v2, . . . , vn} .
(2) Gen {v1, v2, . . . , vn}= Gen {cv1, v2, . . . , vn} sic6= 0. (3) Gen {v1, v2, . . . , vn}= Gen {v1+αv2, v2, . . . , vn}.
(4) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al a˜nadir combinaciones lineales de dichos vectores o quitar vectores que sean combinaci´on lineal de los restantes.
Ejemplos. Algunos ejemplos de subconjuntos que son o no son subespacios vectoriales. En el espacio vectorial de las matrices m×n,
• el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) nula es un subespacio vectorial.
• el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) no nula no es un subespacio vectorial.
En el espacio vectorial de las matrices cuadradas n×n,
• el subconjunto de las matrices sim´etricas es un subespacio vectorial.
• el subconjunto de las matrices A cuadradas n×n que verfican que A2
• el subconjunto de las matrices cuadradas n×n con determinante cero no es un subespacio vectorial.
En el espacio vectorial de todos los polinomios en una variable,
• el subconjunto de los polinomios de grado par no es un subespacio vectorial.
• el subconjunto de los polinomios de grado impar no es un subespacio vectorial.
• el subconjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual que un cierto n ∈N.
En el espacio vectorial de las funciones continuas,
• el subconjunto de todas las funciones de la forma αsen(t) +βcos(t)(α, β ∈R) es
un subespacio vectorial.
• el subconjunto de las funciones peri´odicas con un periodo T > 0 prefijado es un subespacio vectorial.
• el subconjunto de las funciones f cuya gr´afica no pasa por el origen de coorde-nadas, no es un subespacio vectorial.
En el espacio vectorial de las funciones derivables f que verifican que f′′
(t)−2f′
(t) +
tf(t) = 0 para todot,
• el subconjunto de las funciones f que, adem´as, verifican que f(t0) = 0 (en un
punto t0) es un subespacio vectorial.
• el subconjunto de las funciones f que, adem´as, verifican que f(t0) = 1 (en un
punto t0) no es un subespacio vectorial.
Relacionados con los subespacios vectoriales est´an las llamadas variedades lineales (o afines). No son otra cosa que trasladados de subespacios vectoriales. Es decir, una variedad es un conjunto de vectores que se puede expresar de la forma p+ S siendo p un vector dado y S un subespacio vectorial. Por ejemplo, en el plano o en el espacio, puesto que una recta que pase por el origen de coordenadas es un subespacio vectorial, cualquier recta ser´a una variedad puesto que puede obtenerse trasladando, seg´un un cierto vector, la recta paralela que pasa por el origen de coordenadas. El estudio que haremos a continuaci´on de la estructura de espacio vectorial se centrar´a en los subespacios vectoriales. No consideraremos de forma expl´ıcita el estudio de las variedades lineales aunque aparezcan, y las consideremos, de manera natural puesto que el conjunto soluci´on de un sistema compatible de ecuaciones lineales, homog´eneo o no, es una variedad lineal (ya que el conjunto soluci´on del sistema homog´eneo asociado es un subespacio vectorial).
A partir de la secci´on siguientes no vamos a considerar espacios vectoriales gen´ericos. Con-sideraremos, exclusivamente, los espacios vectoriales de coordenadasRn y Cn. No obstante,
los conceptos y resultados que consideremos son trasladables, unos a espacios vectoriales gen´ericos (dependencia lineal, transformaciones lineales, etc.) y otros a espacios vectori-ales de dimensi´on finita (bases, dimensi´on, ecuaciones, matriz de una transformaci’on lineal respecto de bases prefijadas, etc.). Los espacios vectoriales de coordenadas Rn y Cn son
respectivamente). As´ı, Rn, n = 1,2, . . ., es el modelo para el estudio de los espacios
vecto-riales reales de dimensi´on finita n. Por ejemplo, en lo que se refiere exclusivamente a las operaciones suma y produco por un escalar, trabajar con el espacio de las matrices reales de dimensiones 3×2 o con el espacio vectorial de los polinomios reales (en una variable) de grado menor o igual que 5 (6 coeficientes reales arbitrarios) es equivalente a trabajar con el espacio R6
. Obviamente, todo lo que no se refiera exclusivamente a las operaciones suma y producto por un escalar en el espacio de las matrices o de los polinomios, se pierde al representar dichos espacios como R6
(factorizaci´on de polinomios, producto de matrices,...).
4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.
4.2.1.- Espacio nulo y espacio columna de una matriz.Definici´on. Sea A una matrizm×n con elementos en K. Se llama
espacio nulodeAa Nul (A) := {x∈Kn :Ax= 0}.Es decir, al conjunto soluci´on del
sistema homog´eneo Ax= 0.
espacio columna deA al subespacio (de Km) generado por las columnas de A,
Col (A) :={y ∈Km :y es combinaci´on lineal de las columnas de A}.
Notemos que decir que un vector y ∈Km es combinaci´on lineal de las columnas de A es
equivalente a decir que el sistema Ax=y, con t´ermino independiente y e inc´ognita x, tiene soluci´on. Si llamamos v1, . . . , vn a las columnas de A y se tiene que y = α1v1+· · ·+αnvn
entonces α = (α1, . . . , αn)T es soluci´on de Ax = y puesto que y = Aα. Y viceversa, cada
soluci´on de Ax=y (si existe) nos da los coeficientes de una combinaci´on lineal dev1, . . . , vn
que es igual a y. Es decir,
Col (A) ={y ∈Km :Ax=y es un sistema compatible}.
No haremos especial referencia alespacio fila deA (subespacio vectorial generado por las filas deA). Cuando necesitemos referirnos a ´el lo haremos mediante Col (AT).
Proposici´on. Sea A una matrizm×n con elementos en K.
Nul (A) es un subespacio vectorial de Kn.
Col (A) es un subespacio vectorial de Km.
Puesto que Nul (A) es un subespacio vectorial, para cualquier vector p ∈ Kn, el conjunto
p+ Nul (A) es una variedad lineal. Para cualquier v ∈ p+ Nul (A) tendremos un vector
u∈Nul (A) tal que v =p+u y por tanto, Av=Ap+Au=Ap. Es decir, v es soluci´on del sistema Ax=b siendob=Ap. Reciprocamente, si tenemos un sistema Ax=b compatible y
p es una soluci´on, cualquier otra soluci´on v puede expresarse mediante v =p+ (v −p) que es un vector de p+ Nul (A) (puesto que A(v−p) =Av−Ap=b−b = 0).
Por tanto, asociado a una matrizA, m×n tenemos:
(2) Col (A), el conjunto de t´erminos independientes y para los que el sistema Ax = y es compatible (es un subespacio vectorial deKm)
(3) Para cada y ∈ Km, el conjunto soluci´on del sistema Ax = y, {x∈Kn :Ax=y}.
Si y ∈ Col (A) (el sistema Ax = y es compatible) es una variedad lineal de Kn. Si y /∈ Col (A) (el sistema Ax = y es incompatible) no hay ning´un vector en dicho conjunto.
Ejercicio.
(1) ¿Qu´e relaci´on hay entre el espacio columna de una matriz y el de la matriz que se obtiene al haceroperaciones columna sobre la matriz?
(2) ¿Qu´e relaci´on hay entre elespacio nulo de una matriz y el de la matriz que se obtiene al hacer operaciones fila sobre la matriz?
4.2.2.- Dependencia e independencia lineal.
Definici´on. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1, . . . , vn}.
(a) Se dice que {v1, . . . , vn} es linealmente dependiente (L.D.) si existe alguna
com-binaci´on lineal no trivial de dichos vectores igual al vector nulo. Es decir, si existen coeficientesα1, α2, . . . , αn ∈K no todos nulostales que
α1v1+α2v2+· · ·+αnvn = 0.
(b) Se dice que {v1, . . . , vn} es linealmente independiente (L.I.) si no es linealmente
dependiente.
Si {v1, . . . , vn} son vectores linealmente dependientes y tenemos una combinaci´on lineal
de estos vectores igual al vector nulo
α1v1+α2v2 +· · ·+αnvn= 0
y el coeficienteαk 6= 0, entonces de la igualdad anterior se puede despejarvk que quedar´a
ex-presado como combinaci´on lineal de los restantes vectores. Reciprocamente si tenemos un vector que es combinaci´on lineal de otros, el conjunto formado por estos y el vector com-binaci´on lineal es un conjunto linealmente dependiente. Notemos adem´as de que si una combinaci´on lineal de vectores es igual al vector nulo, la combinaci´on lineal que resulta de multiplicar por cualquier coeficiente tambi´en es el vector nulo.
Propiedades. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1, . . . , vn}.
(1) La dependencia o independencia lineal de {v1, . . . , vn} no depende del orden en el que
est´en dados los vectores.
(2) Si uno de los vectores es nulo o hay vectores repetidos, entonces es L.D.
(3) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sustituir un vector por un m´ultiplo no-nulo. Siendoc6= 0 (c∈K),
(4) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sumar a un vector un m´ultiplo de otro (distinto). Siendo α∈K
{v1, . . . , vn} es L.D.⇔ {v1, u2 =v2+αv1, . . . , vn} es L.D.
(5) Al a˜nadir vectores a un conjunto L.D. se obtiene un conjunto L.D. Al suprimir vectores de un conjunto L.I. se obtiene un conjunto L.I.
Teorema. Consideremos vectores {v1, . . . , vn}en Km y sea A la matriz cuyas columnas son
los vectores dados
A=
2
6 6 6 4
... ... · · · ...
v1 v2 · · · vn
..
. ... · · · ...
3
7 7 7 5
Son equivalentes:
(1) {v1, . . . , vn} es un conjunto linealmente dependiente. (2) El sistema de ecuaciones Ax= 0 tiene infinitas soluciones.
(3) Al reducir A a forma escalonada se obtienenr pivotes, r < n.
(4) Alguno de los vectores vk es combinaci´on lineal de los restantes.
(5) Si el primer vector v1 es no-nulo, alguno de los vectores es combinaci´on lineal de los
anteriores.
Observaci´on. Interpretaci´on de la reducci´on por filas de una matriz A en relaci´on con la dependencia o independencia lineal de los vectores-columna de la matriz A.
Notemos que dar una cierta combinaci´on lineal de vectores es lo mismo que multiplicar la matriz cuyas columnas son dichos vectores por el vector columna formado por los corres-pondientes coeficientes
x1v1+2v2+· · ·+xnvn=
2
6 6 6 4
..
. ... · · · ...
v1 v2 . .. vn
..
. ... · · · ...
3
7 7 7 5 2
6 6 6 6 4
x1 x2
...
xn
3
7 7 7 7 5 .
Si al reducir A a forma escalonada obtenemos U
A=
2
6 6 6 4
..
. ... · · · ...
v1 v2 . .. vn
..
. ... · · · ...
3
7 7 7 5
operaciones fila - U =
2
6 6 6 6 6 6 6 6 6 4
* ∗ ∗ · · · ∗ ∗
0 * ∗ · · · ∗ ∗
0 0 ∗
*
3
7 7 7 7 7 7 7 7 7 5
Cada columna de U en la aparece un pivote es linealmente independiente con las anteriores columnas de U. Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientes columnas deA.
Cada columna de la matriz U en la que no hay pivote es combinaci´on lineal de las anteriores columnas de U. Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientes columnas deA.
Si tenemos una cierta fila nula en la matriz U esto quiere decir que una cierta combi-naci´on lineal de las filas de la matriz A es igual a la fila nula.
Las filas pivote (de U y las correspondientes de A dependiendo de los intercambios de fila que se hayan hecho) son linealmente independientes.
Es decir, en la situaci´on del esquema anterior, se verifica que
la columna 3 de U es combinaci´on lineal de las columnas 1 y 2 (y lo mismo es cierto para las correspondientes columnas de A),
las columnas{columna1,columna2,columna4}deU son linealmente independientes (y lo mismo es cierto para las correspondientes columnas deA.
4.2.3.- Ecuaciones param´etricas y ecuaciones impl´ıcitas.
Asociados a una matriz A, m×n,
A=
2
6 6 6 4
... ... · · · ...
v1 v2 · · · vn
..
. ... · · · ...
3
7 7 7 5
=
2
6 6 6 6 4
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..
. ... . .. ...
am1 am2 · · · amn 3
7 7 7 7 5
hemos considerado;
Elespacio nulo de la matrizA, esto es el conjunto de vectoresx∈Kn caracterizados
por las ecuaciones impl´ıcitas homog´eneas
Ax= 0
8 > > > <
> > > :
a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn = 0 a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn = 0
..
. ... ...
am1x1+am2x2+· · ·+amnxn = 0 9 > > > =
> > > ; .
El espacio columna de la matriz A (y el subespacio generado por unos ciertos vec-tores), esto es, el conjunto de vectores y
y=α1v1+α2v2+· · ·+αnvn
caracterizado por las ecuaciones param´etricas homog´eneas
8 > > > <
> > > :
y1 = α1a11+α2a12+· · ·+αna1n y2 = α1a21+α2a22+· · ·+αna2n
... ... ...
ym = α1am1 +α2am2+· · ·+αnamn
Resolviendo el sistema homog´eneo Ax = 0 podemos obtener los vectores del espacio nulo de A como el conjunto de vectores que se pueden expresar como combinaci´on lineal (arbitraria) de determinados vectores, es decir, como el subespacio generado por ciertos vectores o como el espacio columna de la matriz que tiene a dichos vectores como vectores columna.
Por otra parte, puesto que el espacio columna de una matriz A est´a formado por los vectores, y, tales que el sistema de ecuaciones Ax= y es compatible, obteniendo las condi-ciones de compatibilidad de este sistema (en funci´on del t´ermino independientey), tendremos unas ecuaciones lineales homog´eneas que permiten expresar el citado espacio columna como espacio nulo de otra matriz.
Por tanto, hablar de espacio nulo o espacio columna de una matriz (o subespacio generado por ciertos vectores) no es hablar de conjuntos de vectores con caracter´ısticas distintas, sino que es hablar de un mismo tipo de conjunto de vectores, lossubespacios vectoriales, pero expresados en forma distinta:
(a) Cuando un subespacio vectorial viene dado como espacio nulo de una matriz ten-emos una descripci´on impl´ıcita (ecuaciones impl´ıcitas) de dicho conjunto (un vector est´a en el conjunto considerado si, y s´olo si, sus coordenadas verifican el sistema ho-mog´eneo asociado a la matriz).
(b) Cuando uno de dichos conjuntos de vectores viene dado como espacio columna de una matriz tenemos una descripci´on param´etrica (ecuaciones param´etricas) de dicho conjunto (un vector est´a en el conjunto considerado si, y s´olo si, puede expresarse como combinaci´on lineal de determinados vectores).
Entre las descripciones impl´ıcitas de un subespacio vectorial habr´a unas mejores que otras, en el sentido de que una puede tener ecuaciones redundantes y otra no. De unas ecuaciones impl´ıcitas dadas Ax = 0 se podr´an suprimir las que sean redundantes, es decir las ecuaciones que sean combinaci´on lineal de las restantes. Dichas ecuaciones las podemos localizar sin m´as que reducir a forma escalonada por filas la matrizA dada. Las filas (tanto de la matriz original A como de la matriz escalonada final U) que contengan alg´un pivote nos dar´an unas ecuaciones impl´ıcitas, no redundantes, de dicho subespacio. Si resolvemos el sistema tendremos una descripcion param´etrica del conjunto soluci´on, es decir del subespacio dado, el espacio nulo de la matriz A original.
Si en la descripci´on param´etrica eliminamos los par´ametros, llegaremos a unas ecuaciones homog´eneas que dar´an una descripci´on impl´ıcita del subespacio considerado. De la misma forma que en el caso de ecuaciones impl´ıcitas, entre las descripciones param´etricas de un subespacio vectorial, unas ser´an mejores que otras en el sentido de que unas involucren menos vectores que otras. Es decir, si tenemos el espacio columna de una cierta matriz A, m×n, y los vectores columna de A son linealmente dependientes, suprimiendo vectores que sean combinaci´on lineal de los que quedan, tendremos que el espacio columna de la matriz original tambi´en es el espacio columna de la matriz que resulta de la matriz anterior suprimiendo algunas columnas. Si nos quedamos con un conjunto de vectores linealmente independiente, tendremos que dichos vectores generan el espacio columna de la matriz original y cada vector de dicho espacio se puede expresar de forma ´unica como combinaci´on lineal de los vectores linealmente independientes obtenidos. Dichos vectores constituyen lo que se denomina una
De la misma forma que un subespacio vectorial, S, puede caracterizarse mediante ecuaciones impl´ıcitas o ecuaciones param´etricas homog´eneas, una variedad lineal, p+S, puede caracterizarse mediante ecuaciones impl´ıcitas, en generalno homog´eneas, y mediante ecuaciones param´etricas, en general no homog´eneas, puesto que el vector nulo puede no pertenecer a la variedad. Una vez que se tienen unas ecuaciones param´etricas/impl´ıcitas de un subespacio S, puesto que la variedad p+S esta formada por los vectores v tales que
u=v−pest´a enS, esto ser´a equivalente a decir que u=v−pverifica las citadas ecuaciones deS.
Ejemplo.- (Ecuaciones impl´ıcitas −→ Ecuaciones impl´ıcitas no redundantes, Ecuaciones param´etricas y una base). Consideremos el espacio nulo de la matriz
A=
2
6 4
−1 2 0 3 3 0 1 −1 1 4 1 5
3
7 5.
Es decir, estamos considerando el conjunto S de los vectores x ∈ R4
cuyas coordenadas (x1, x2, x3, x4) verifican las ecuaciones (impl´ıcitas)
−x1+ 2x2+ 3x4 = 0
3x1+ x3−x4 = 0 x1+ 4x2+x3 + 5x4 = 0
9 > =
> ; .
Haciendo operaciones fila sobre la matriz A (que se corresponden con operaciones sobre las ecuaciones del sistema) tenemos
A=
2
6 4
−1 2 0 3 3 0 1 −1 1 4 1 5
3
7 5
F2+ 3F1
-F3 +F1 2
6 4
−1 2 0 3 0 6 1 8 0 6 1 8
3
7 5
F3−F2
- U =
2
6 4
−1 2 0 3 0 6 1 8 0 0 0 0
3
7 5.
De hecho, refiri´endonos a la matriz original tenemos queF3(A) =F2(A)+2F1(A).
Equivalen-temente, la tercera ecuaci´on del sistema original es combinaci´on lineal de las dos primeras con lo cual si un vector es soluci´on de las dos primeras tambi´en lo es de la tercera. Resumiendo, tenemos que
S = Nul (A) = Nul
−1 2 0 3 3 0 1 −1
= Nul (U) = Nul
−1 2 0 3 0 6 1 8
con lo cual nuestro conjunto S de vectores est´a caracterizado por las ecuaciones (no redun-dantes)
−x1+ 2x2+ 3x4 = 0
6x2+x3+ 8x4 = 0
«
o por −x1 + 2x2+ 3x4 = 0 3x1+ x3+x4 = 0
Resolviendo el sistema Ux= 0 tenemos
2
6 4
-1 2 0 3 0
0 6 1 8 0
0 0 0 0 0
3
7 5 =⇒
Variables libres
x3 y x4.
Variables fijas
x1 y x2.
=⇒ ⇒ 8 > < > :
x2 = 1
6(−x3 −8x4)
x1 = 2x2+ 3x4 = 2
6(−x3 −8x4) + 3x4 =− 1 3x3+
1 3x4
⇒ 2 6 6 6 4 x1 x2 x3 x4 3 7 7 7 5
=x3 2 6 6 6 4 −1 3 −1 6 1 0 3 7 7 7 5
+x4 2 6 6 6 4 1 3 −8 6 0 1 3 7 7 7 5 . Por tanto,
Nul (A) = Gen
8 > > < > > :
v1 = 2 6 6 6 4 −1 3 −1 6 1 0 3 7 7 7 5
, v2 = 2 6 6 6 4 1 3 −8 6 0 1 3 7 7 7 5 9 > > = > > ; = Gen 8 > > < > > :
6v1 = 2 6 6 6 4 −2 −1 6 0 3 7 7 7 5
,3v2 = 2 6 6 6 4 1 −4 0 3 3 7 7 7 5 9 > > = > > ; = Col 2 6 6 6 4 −1 3 1 3 −1 6 − 8 6 1 0 0 1 3 7 7 7 5 = Col 2 6 6 6 4
−2 1
−1 −4
6 0 0 3 3 7 7 7 5 .
Los vectores {v1, v2} forman una base de S = Nul (A). Los vectores de Nul (A) son los que
pueden expresarse como combinaci´on lineal de v1 y v2 y, como consecuencia de la
indepen-dencia lineal, cada vector deS s´olo puede expresarse de una forma como combinaci´on lineal de v1 y v2. Los coeficientes que aparezcan en dicha combinaci´on lineal son las coordenadas
del vector de S respecto a la base {v1, v2} (de S). El vector v = [−8 5 18 −6] est´a en S y
sus coordenadas respecto a {v1, v2} son la soluci´on de
v =λv1+µv2 ≡ 2 6 4 v 3 7 5= 2 6
4 v1 v2 3 7 5 λ µ ≡ 2 6 6 6 4 −1 3 1 3 −8
−1 6 −
8 6 5
1 0 18
0 1 −6
3 7 7 7 5 ,
es decir, λ= 18, µ=−6 (v = 18v1−6v2).
Ejemplo.-(Ecuaciones param´etricas −→ Ecuaciones param´etricas y Ecuaciones impl´ıcitas no redundantes y una base). Vamos a utilizar la misma matriz A del ejemplo anterior. El espacio columna de dicha matriz es, por definici´on de espacio columna, el conjunto de vectores y que se pueden expresar como combinaci´on lineal de las columnas de A, es decir los vectores y (con 3 coordenadas!) que se pueden expresar mediante
y= 2 6 4 y1 y2 y3 3 7 5=α
2 6 4 −1 3 1 3 7 5+β
2 6 4 2 0 4 3 7 5+γ
2 6 4 0 1 1 3 7 5+δ
para ciertos α, β, γ, δ∈ R. Esto es lo mismo que decir que el espacio columna est´a formado
por los vectoresy∈R3
para los que el sistema de ecuacionesAx =ytiene soluci´on. En dicho caso, cada soluci´on del sistemaAx=y nos dar´ıa una forma de expresarycomo combinaci´on lineal de las columnas deA. Obtengamos, para un vector gen´erico y∈R3
las condiciones de compatibilidad del sistemaAx=y, reduciendo la matriz ampliada del sistema [A|y] a forma escalonada. Haciendo las mismas operaciones fila que hemos hecho cuando hemos obtenido el espacio nulo tenemos
[A|y] =
2
6 4
−1 2 0 3 y1
3 0 1 −1 y2
1 4 1 5 y3 3
7 5
F2+ 3F1
-F3+F1 2
6 4
−1 2 0 3 y1
0 6 1 8 y2+ 3y1
0 6 1 8 y3+y1 3
7 5
F3 −F2
- U =
2
6 4
-1 2 0 3 y1
0 6 1 8 y2+ 3y1
0 0 0 0 y3−y2−2y1 3
7 5.
Por tanto, el sistema Ax =y es compatible (determinado o indeterminado) ⇐⇒ la tercera ecuaci´on tiene soluci´on⇐⇒y3−y2−2y1 = 0. Es decir, el espacio columna deAest´a formado
por los vectoresy∈R3
cuyas coordenadas verifican la ecuaci´on (lineal homog´enea) y3−y2−
2y1 = 0. Se trata, por tanto, de un plano (en R3
) que pasa por el origen de coordenadas. Adem´as, teniendo la forma escalonadaU que hemos obtenido, tenemos que:
las columnas 1 y 2 deU son linealmente independientes y
las columnas 3 y 4 son combinaci´on lineal de las columnas 1 y 2.
Por tanto, lo mismo sucede con las columnas correspondientes de la matriz A. Es decir, el espacio columna de A (generado por las 4 columnas) coincide con el espacio generado por las columnas 1 y 2 deA (no de U!). Los vectores dados por las columnas 1 y 2 deA forman una base de Col (A) puesto que son linealmente independientes y generan dicho espacio. Si denotamos porv1, v2, v3 y v4 a los vectores columna de A, cada vector y∈Col (A) se puede
expresar de infinitas formas distintas como combinaci´on lineal dev1, v2, v3 yv4 puesto que el
sistema de ecuacionesAx=yes compatible (puesto que y∈Col (A)) indeterminado (puesto que hay 2 variables libres). Sin embargo, dicho vector y ∈ Col (A) s´olo puede exprearse de una forma como combinaci´on lineal dev1 y v2 puesto que el sistema de ecuaciones
2
6
4 v1 v2 3
7 5
λ µ
=
2
6 4
y1 y2 y3
3
7 5
tiene soluci´on ´unica. Para discutir, y resolver, este sistema basta con suprimir las columnas 3 y 4 de la reducci´on que hemos hecho del sistema Ax=y con lo cual tenemos
2
6 4
−1 2 y1
3 0 y2
1 4 y3 3
7
5 → · · · → 2
6 4
-1 2 y1
0 6 1y2+ 3y1
0 0 y3−y2−2y1 3
7 5.
La soluci´on ´unica (λ, µ) de este sistema (compatible cuando y ∈ Col (A)) nos dar´a los coeficientes para los cuales se verifica
Estos coeficientes (λ, µ) (´unicos para cada vectory∈Col (A)) se denominan coordenadas de
y respecto de la base {v1, v2}. Por ejemplo, las coordenadas del vector
y=
2
6 4
1 1 3
3
7
5 (∈Col (A) puesto que y3−y2−2y1 = 3−1−2 = 0)
respecto a la base {v1, v2} de Col (A) vienen dadas por la soluci´on del sistema
2
6
4 v1 v2 3
7 5
λ µ
=
2
6 4
1 1 3
3
7 5−→
2
6 4
-1 2 1
0 6 4
0 0 0
3
7 5=⇒
λ µ
=
1 3 4 6
.
Ejemplo.Consideremos la matriz
A=
2
6 6 6 4
−1 0 1 2 1
−2 2 2 5 0
1 −4 0 −3 3
−1 2 1 3 −1
3
7 7 7 5 .
Con el mismo proceso de reducci´on a forma escalonada vamos a obtener:S1 = Nul (A)⊂K 5
, unas ecuaciones param´etricas deS1, S2 = Col (A)⊂K
4
, unas ecuaciones impl´ıcitas de S2,...
Reducimos a forma escalonada un sistema de ecuaciones Ax = y siendo y un vector gen´erico deK4
,
[A|y]
F2−2F1 F3 +F1 F4−F1
-2
6 6 6 6 4
-1 0 1 2 1 y1
0 2 0 1 −2 y2−2y1
0 −4 1 −1 4 y3+y1
0 2 0 1 0 y4−y1 3
7 7 7 7 5
F3+ 2F2 F4−F2
-2
6 6 6 6 4
-1 0 1 2 1 y1
0 2 0 1 −2 y2−2y1
0 0 1 1 0 −3y1+ 2y2+y3
0 0 0 0 0 y1−y2+y4 3
7 7 7 7 5
Por tanto, tenemos:
(a) El espacio columna de A: El sistemaAx=yes compatible si, y s´olo si, el vectory∈K4
verificay1−y2+y4 = 0.Es decir Col (A) ={y ∈K 4
:y1−y2+y4 = 0}. Por otra parte,
teniendo en cuenta la reducci´on que hemos hecho, los dos ´ultimos vectores columna de
Ason combinaci´on lineal de los tres primeros y estos tres primeros vectores columna son linealmente independientes. Si denotamos por {v1, v2, v3, v4, v5} los vectores columna
deA, tenemos
Col (A) = Col
2
6
4 v1 v2 v3 3
7 5
(b) El espacio nulo de A, las soluciones del sistema Ax = 0: Puesto que al reducir hemos obtenido 2 variables libres, la soluci´on general del sistema homog´eneo see podr´a expre-sar en funci´on de 2 par´ametros arbitrarios,
[A|0] →
2 6 6 6 6 4
-1 0 1 2 1 0
0 2 0 1 −2 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0
3 7 7 7 7 5
F1−F3 −→ 2 6 6 6 6 4
-1 0 0 1 1 0
0 2 0 1 −2 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0
3 7 7 7 7 5 ⇔ 8 > < > :
x1 =x4+x5 x2 =−
1
2x4+x5 x3 =−x4
=⇒ 2 6 6 6 6 6 6 4 x1 x2 x3 x4 x5 3 7 7 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 6 6 4 α+β −1 2α+β
−α α β 3 7 7 7 7 7 7 5 =α 2 6 6 6 6 6 6 4 1 −1 2 −1 1 0 3 7 7 7 7 7 7 5 +β 2 6 6 6 6 6 6 4 1 1 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 5 .
Por tanto, el espacio nulo de A est´a generado por los vectores, linealmente indepen-dientes, 8 > > > > < > > > > :
u1 = 2 6 6 6 6 6 6 4 1 −1 2 −1 1 0 3 7 7 7 7 7 7 5
, u2 = 2 6 6 6 6 6 6 4 1 1 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 5 9 > > > > = > > > > ; .
Notemos por ´ultimo que, puesto que al hacer la reducci´on del sistema Ax = 0 hemos obtenido una fila de ceros, dicha ecuaci´on es redundante en el sistema homog´eneo y por tanto tenemos que
Nul (A) = Nul
2
6 4
-1 0 1 2 1
0 2 0 1 −2
0 0 1 1 0
3
7
5= Nul 2
6 4
−1 0 1 2 1
−2 2 2 5 0
1 −4 0 −3 3
3
7 5.
4.3.- Transformaciones lineales.
Ya hemos citado en los temas anteriores el concepto de transformaci´on lineal al considerar la transformaci´on de vectores definida por una matriz. Ahora veremos algunas propiedades y que toda transformaci´on lineal queda definida por una matriz. De esta forma, en el contexto de los espacios de coordenadas, hablar de transformaci´on lineal y de transformaci´on matricial es lo mismo.
4.3.1.- Definici´on y propiedades.
Definici´on. Se dice que una aplicaci´on T :Kn −→Km es una transformaci´on lineal si
verifica que:
(a) T(αx) =αT(x) ∀α∈K y ∀x∈Kn;
(b) T(x+x′
) = T(x) +T(x′
), ∀x, x′
∈Kn.
Equivalentemente T(αx+βx′
) =αT(x) +βT(x′
), ∀α, β ∈K y ∀x, x′
Es decir, T transforma un m´ultiplo de un vector en el m´ultiplo del transformado y una suma de vectores en la suma de los trasnformados. En particular, T tiene que transformar el vector nulo en el vector nulo.
Usaremos de forma indistinta los t´erminos transformaci´on lineal y aplicaci´on lineal.
Aunque en la definici´on anterior hayamos considerado los espacios vectoriales de coor-denadas, el concepto de transformaci´on lineal se aplica a transformaciones sobre espacios vectoriales gen´ericos. Por citar alg´un ejemplo, cabe destacar la aplicaci´on derivaci´on ´o la aplicaci´onintegraci´on(indefinida) entre espacios vectoriales apropiados. Tambi´en es lineal la transformaci´on que a una funci´on y=f(t) (suficientemente derivable) le hace corresponder la funci´on f′′
(t) +etf′
(t)−3f(t). Una diferencia importante, entre considerar aplicaciones lineales para espacios vectoriales gen´ericos y para espacios de coordenadas, es que en este ´
ultimo caso, la aplicaci´on queda determinada por una matriz. Antes de describir la matriz asociada a una transformaci´on lineal veamos algunas propiedades.
Propiedades. Sea T :Kn −→Km una transformaci´on lineal
(1) T transforma subespacios vectoriales en subespacios vectoriales. Es decir, si S ⊆Kn es
un subespacio vectorial (de Kn) y , entonces la imagen de S mediante T,
T(S) ={y∈Km :y=T(x) para alg´un x∈S},
es un subespacio vectorial (de Km).
(2) Laanti-imagen, mediante T, de un subespacio vectorial es otro subespacio vectorial. Es decir, si siS′
⊆Km es un subespacio vectorial (deKm), entonces la anti-imagen de S′
medianteT,
T−1
(S′
) ={x∈Kn :T(x)∈S′},
es un subespacio vectorial (de Kn).
Como casos especiales tenemos S =Kn y S′
={0}.
Definici´on. Sea T :Kn −→Km una aplicaci´on lineal.
(1) Se denominan´ucleodeT, y se suele denotar por ker(T), al subespacio vectorial formado por los vectores de Kn que se transforman en el vector nulo. Es decir,
ker(T) ={x∈Kn :T(x) = 0}.
(2) Se denomina conjunto o espacio imagende T al subespacio vectorial formado por los vectores deKm que tienen anti-imagen. Es decir,
Imagen(T) = T(Kn) ={T(x) :x∈Kn}={y∈Km :∃x∈Kntal que y =T(x)}.
4.3.2.- Matriz asociada.
Definici´on/Proposici´on. (Matriz asociada a una transformaci´on lineal)
Sea T :Kn −→Km una transformaci´on lineal.
(a) Definici´on. Se llama matriz asociada a T (respecto a las bases can´onicas, {e1, . . . , en}
deKn y{e′
1, . . . , e′
m}de Km) a la matriz M de dimensiones m×n cuyas columnas son
las coordenadas de los vectores {T(e1), . . . , T(en)},
M =
2
6 6 6 4
..
. ... · · · ...
T(e1) T(e2) · · · T(en)
... ... · · · ...
3
7 7 7 5 .
(b) Proposici´on. La matriz M anterior es la ´unica matriz que verifica que
T(x) =Mx ∀x∈Kn.
Es decir, es la ´unica matriz que al multiplicarla por un vector x ∈ Kn ,arbitrario, da
el vector transformado de x mediante T. Por tanto, hablar de transformaci´on lineal, entre espacios de coordenadas, es lo mismo que hablar de transformaci´on matricial.
D.−Puesto que todo vector x= [xk]∈Kn es combinaci´on lineal de los vectores can´onicos
x=x1e1+x2e2+· · ·+xnen
y T es una aplicaci´on lineal, tenemos que
y=T(x) = T (x1e1+x2e2+· · ·+xnen) =
= x1T(e1) +x2T(e2) +· · ·+xnT(en)
⇒ y=
2
6 6 6 6 4
y1 y2
...
ym
3
7 7 7 7 5
=
2
6 6 6 4
..
. ... · · · ...
T(e1) T(e2) · · · T(en)
... ... · · · ...
3
7 7 7 5
2
6 6 6 6 4
x1 x2
...
xn
3
7 7 7 7 5 .
Si consideramos la matriz A asociada a una transformaci´onlineal T, tenemos
ker(T) =T−1
({0}) ={x∈Kn:Ax= 0}= Nul (A)
Imagen(T) =T(Kn) ={Ax:x∈Km}={y∈Km :∃x∈Kn, y =Ax}=
={y ∈Km :Ax=y es un S.C.}= Col (A).
A la hora de determinar la matrizAde una transformaci´on linealT :Kn −→Km no hay una
´
unica opci´on (para los c´alculos, no para el resultado). Como hemos visto, las columnas de la matrizAson los transformados, medianteT, de los vectores de la base can´onica deKn. La
otra base de Kn (conjunto de n vectores linealmente independientes). Si {v1, v2, . . . , vn} es
una base de Kn y sabemos calcular los transformados {T(v1), T(v2), . . . , T(v
n)} podemos
calcular la matrizA sin m´as que tener en cuenta que
A 2
6 6 6 4
..
. ... · · · ...
v1 v2 · · · vn
... ... · · · ...
3
7 7 7 5
=
2
6 6 6 4
..
. ... · · · ...
T(v1) T(v2) · · · T(vn)
... ... · · · ...
3
7 7 7 5
=⇒A=· · ·.
Notemos que de la igualdad matricial anterior podemos despejarA, puesto que la matriz
P cuyas columnas son los vectores de una base de Kn tiene inversa. De esta forma es como
hemos calculado, en el tema anterior, la matriz de una transformaci´n matricial (proyecciones, simetr´ıas, etc.). A pesar de que pueda utilizarse cualquier base de Kn para determinar la
matriz de T, la matriz es ´unica, no depende de la base utilizada.
Ejemplos.
(1) Consideremos un giro de centro el origen de coordenadas y ´angulo ϕ (en el sentido positivo). Tenemos entonces una transformaci´on lineal y para determinar la matriz asociada basta con obtener los transformados de los vectores can´onicos
e1 =
1 0
→T(e1) =
cos(ϕ) sen(ϕ)
, e2 =
0 1
→T(e2) =
−sen(ϕ) cos(ϕ)
.
Por tanto la matriz del giro es, como ya sab´ıamos,
Gϕ =
cos(ϕ) −sen(ϕ) sen(ϕ) cos(ϕ)
.
(2) La transformaci´on que asigna a cada vector de R3
su proyecci´on ortogonal sobre un plano que pasa por el origen de coordenadas, por ejemplo π ≡ x +y +z = 0, es una transformaci´on lineal. Por tanto, para determinar la matriz asociada basta con obtener la proyecci´on ortogonal sobre dicho plano de cada uno de los vectores can´onicos. ¿Qui´enes son el espacio nulo y el espacio columna de la matriz asociada a la proyecci´on ortogonal dada?
(3) Para la misma transformaci´on anterior (proyecci´on ortogonal sobre un plano que pasa por el origen de coordenadas), podemos obtener la matriz asociada M teniendo en cuenta cu´al es el resultado de multiplicar esta matriz por determinados vectores (de
R3
). Consideremos un vector ~n ortogonal al plano dado, en el caso anterior pode-mos tomar ~n = [1, 1, 1]t, y dos vectores {v1, v2} que generen el plano, por ejemplo,
v1 = [1, −1, 0]
t
, v2 = [1, 0, −1]
t©
. Puesto que el transformado de~nes el vector nulo y los transformados de v1 y v2 son ellos mismos, la matriz M debe verificar
M 2
6 4
1 1 1
1 −1 0 1 0 −1
3
7 5=
2
6 4
0 1 1
0 −1 0 0 0 −1
3
7 5.
Basta despejar M multiplicando a la derecha, en ambos miembros de la igualdad anterior, por la inversa de la matrizP,
P =
2
6 4
1 1 1
1 −1 0 1 0 −1
3
7
5, P
−1
= 1 3
2
6 4
1 1 1
1 −2 1 1 1 −2
3
Tenemos
M =
2
6 4
0 1 1
0 −1 0 0 0 −1
3
7 5
1 3
2
6 4
1 1 1
1 −2 1 1 1 −2
3
7 5=
1 3
2
6 4
2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2
3
7 5.
En lugar de utilizar los vectores v1, v2 y ~n podr´ıamos haber considerado tres vectores
{u1, u2, u3} linealmente independientes. Calculando sus transformados T(u1), T(u2) y T(u3) podr´ımos obtenerM de forma an´aloga a la que hemos descrito. Las expresiones
y c´alculos intermedios ser´ıan distintos pero la matriz final coincidir´ıa con la calculada.
(4) Consiseremos la proyecci´on ortogonal sobre la recta 2x−3y= 0 (ya la hemos considerado en el ejercicio 21 del Tema 3). Se trata de una transformaci´on lineal T : R2
−→ R2
. Para determinar la matriz asociada A,2×2, basta determinar los transformados de los vectores can´onicose1 y e2 (Ae1 yAe2 son los dos vectores columna deA). Es decir,
s´olo tenemos que calcular la proyecci´on ortogonal de e1 y dee2 sobre la recta dada.
Proyecci´on ortogonal de e1 = (1,0)
T(e1)∈ {2x−3y= 0} ≡T(e1) =α
3 2
,
e1−T(e1) =
1−3α
−2α
⊥
3 2
≡3(1−3α) + 2(−2α) = 3−13α= 0
⇔ α= 3
13 =⇒ Ae1 =T(e1) = 3 13
3 2
.
Es decir, ya tenemos la primera columna de la matriz A que tenemos que deter-minar.
Ana´alogamente, la proyecci´on ortogonal de e2 es Ae2 =T(e2) =
1 13
6 4
.
Por tanto,
A= 1 13
9 6 6 4
.
(5) La matriz de cada una de las transformaciones lineales/matriciales del ejercicio 21 del tema anterior puede obtenerse calculando los transformados de los vectores can´onicos.
Ejercicio.- Sea T :R2
−→R2
la transformaci´on lineal definida por la matriz
A=
2 1 1 −1
.
Calcula:
(a) La imagen, mediante T, de la recta r≡x+y= 2.
4.4.- Bases de un subespacio.
Ya hemos citado lo que es una base de un subespacio vectorial.
Definici´on. Dado un subespacio S de Kn distinto del subespacio trivial nulo S 6= {0}, se
dice que un conjunto de vectores
{v1, v2, . . . , vr}
deS es una base de S si:
(a) {v1, v2, . . . , vr} es Linealmente Independiente,
(b) {v1, v2, . . . , vr} genera S, S = Gen {v1, v2, . . . , vr}.
Las anteriores condiciones se pueden expresar de forma matricial: Si denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados
A=
2
6 6 6 4
... ... · · · ...
v1 v2 . .. vr
... ... · · · ...
3
7 7 7 5
las columnas de A forman una base de un subespacio vectorialS si:
(a) El sistema homog´eneo Ax = 0 tiene soluci´on ´unica (condici´on equivalente a que los vectores sean linealmente independientes) y
(b) S = Col (A), es decir S est´a formado por los vectores y ∈ Km para los que el sistema
de ecuaciones Ax=y es compatible.
Ejemplos.
(1) Los vectores can´onicos de Kn,
8 > > > <
> > > :
e1 = 2
6 6 6 6 4
1 0 ... 0
3
7 7 7 7 5
, e2 = 2
6 6 6 6 4
0 1 ... 0
3
7 7 7 7 5
, . . . , en=
2
6 6 6 6 4
0 ... 0 1
3
7 7 7 7 5
9 > > > =
> > > ;
forman una base deKn.
(2) Los vectores {e1, e1+e2,· · · , e1+e2+· · ·+en} tambi´en forman una base de Kn.
(3) Si tenemos una matriz A, m×n, y al reducir a forma escalonada obtenemosn pivotes, entonces los vectores columna de A forman una base del espacio columna de dicha matriz. En general, si al reducir a forma escalonada obtenemosrpivotes, lasrcolumnas pivote de A (no de la forma escalonada U) forman una base de Col (A).
4.4.1- Coordenadas. Dimensi´on.
Teorema/Definici´on. (Coordenadas respecto de una base) Sea S un subespacio vectorial (S6={0}) y sea {v1, v2, . . . , vr}una base de S.
(1) Teorema.cada vectorv deSse puede expresar de forma ´unica como combinaci´on lineal de los vectores de la base dada,
v =c1v1+c2v2 +· · ·+crvr.
(2) Definici´on.Los coeficientes que aparecen en dicha expresi´on (c1, . . . , cr) se denominan
coordenadas dev respecto a la base dada B={v1, v2, . . . , vr} y se suele denotar
[v]B = 2
6 6 4
c1
...
cr
3
7 7 5.
Teorema/Definici´on. Consideremos un subespacio vectorial S 6={0} de Km.
(1) Teorema.Se verifica:
(a) S tiene base.
(b) Todas las bases de S tienen el mismo n´umero de elementos.
(2) Definici´on. Al n´umero de elementos de una base de S se le denomina dimensi´on de S. Por definici´on, la dimensi´on del subespacio nulo es cero.
Si, al igual que antes, denotamos porAa la matriz cuyas columnas son los vectores dados
A=
2
6 6 6 4
..
. ... · · · ...
v1 v2 . .. vr
..
. ... · · · ...
3
7 7 7 5 ,
para cada vector v (vector columna) de S se verifica que v = Ac para alg´un vector de coeficientesc. De esta forma, todo subespacio se puede expresar como espacio columna de una matriz cuyas columnas sean los vectores de una base. Por tanto, se puede expresar mediante ecuaciones param´etricas, y elminando los param´etros se podr´an obtener unas ecuaciones impl´ıcitas que caractericen al subespacio dado.
Teorema (El Teorema de la Base). Consideremos un subespacio vectorial S de Km de
dimensi´on py un conjunto de vectores {u1, . . . , uq} ⊂S:
(a) Si{u1, . . . , uq}generan S, entonces q≥p. Adem´as, q=p⇐⇒ {u1, . . . , uq} es una base
deS.
(b) Si {u1, . . . , uq} es linealmente independiente, entonces q ≤ p. Adem´as, q = p ⇐⇒
{u1, . . . , uq} es una base de S.
En particular, si tenemos un conjunto den vectores de Km:
Sin > m, los n vectores no pueden ser linealmente independientes,
4.4.2.- Rango de una matriz. El teorema del rango.
Definici´on. Dada una matriz A, m×n, se llamarango de A a la dimensi´on de su espacio columna, es decir, a la dimensi´on del subespacio vectorial (de Km)
Col (A) = {combinaciones lineales de las columnas deA}
= {Ax:x∈Kn}={y ∈Km :Ax=y es un S.C.}.
Teniendo en cuenta la relaci´on entre la dimensi´on del espacio columna de A y la reducci´on deA a forma escalonada tenemos que rango(A) = n´umero de pivotes de A.
Para una matriz cuadrada A de orden n, teniendo en cuenta los resultados sobre la existencia de la inversa obtenemos que: A tiene inversa ⇐⇒rango(A) =n.
Teorema. Consideremos una matriz A, m×n. Se verifican:
(a) rango(A) = rango(AT). Es decir, la dimensi´on del subespacio vectorial (deKn) generado
por las m filas de A coincide con la dimensi´on del espacio columna de A (subespacio vectorial deKm generado por las n columnas deA):
dim (Col (A)) = dim
Col (AT) .
Es decir, si por un lado reducimos la matrizA a forma escalonada por filas (mediante operaciones fila) y por otro reducimos a forma escalonada por columnas (mediante operaciones columna), el n´umero de pivotes que se tienen en ambas reducciones es el mismo.
(b) Teorema del rango:dim (Col (A)) + dim (Nul (A)) =n.
(c) En t´erminos de la reducci´on por filas deA a forma escalonada, el Teorema del rango se puede expresar mediante:
(n´umero de pivotes) + (n´umero de variables libres) = n.
La propiedad (a) anterior no es otra cosa que la expresi´on de que al reducir a forma escalonada el n´umero de filas-pivote coincide con el n´umero de columnas-pivote.
Si consideramos la transformaci´on linealT :Kn −→Km, asociada a una matrizA, m×n,
elespacio imagen de la transformaci´on es el espacio columna de la matriz de la matrizA, Imagen(T) = T(Kn) ={T(x)∈Km :x∈Kn}=
= {y∈Km :y=T(x) para alg´un x∈Kn}= Col (A).
Se trata, por tanto, de un subespacio vectorial de Km cuya dimensi´on es rango(A).
Dada una matriz Am×n, la imagen, mediante la transformaci´on lineal T(x) = Ax, de cualquier subespacio vectorialSdeKnser´a un subespacio vectorialT(S) deKm contenido en
subespacio S puede generarse con ciertos vectores {u1, . . . , up}(en particular si {u1, . . . , up}
es una base de S) entonces T(S) puede generarse con{T(u1), . . . , T(up)},
S = Gen ({u1, . . . , up}) =⇒T(S) = Gen ({T(u1), . . . , T(up)}).
No obstante, el que {u1, . . . , up}sea una base de S no implica que {T(u1), . . . , T(up)} sea
una base deT(S).
Por otra parte, si consideramos un subespacio vectorial H de Km, el conjunto de los
vectores x ∈ Kn cuyos transformados T(x) = Ax pertenecen a H forman un subespacio
vectorial deKn.
Ejercicio.Sea A una matrizm×n y B una matriz n×p, prueba que rango(AB)≤m´ın{rango(A),rango(B)}.
4.4.3.- Cambios de Base.
Todas las bases de Kn est´an formadas por n vectores. Puesto que en ese caso tendremos
n vectores linealmente independientes con n coordenadas cada uno, la matriz cuadrada formada por dichos vectores como vectores columna tiene inversa (y los vectores columna de dicha matriz inversa formar´an otra base deKn). Por otra parte, tambi´en los vectores fila de
cada una de las dos matrices citadas ser´an una base de Kn. Para comprobar si n vectores
forman una base deKnbastar´a con reducir a forma escalonada la matriz formada por dichos
vectores como vectores columna y comprobar si se obtienen n pivotes o menos. Notemos que, puesto que el orden de los vectores no influye en si ´estos forman base o no, en la matriz citada podemos intercambiar las columnas. De hecho, podr´ıamos hacer operaciones columna.
Ejemplo.Sean e1, e2, . . . , en los vectores can´onicos de Kn. Los vectores e1, e1+e2, e1+e2 +e3, . . . , e1+e2+· · ·+en
forman una base deKn. Para calcular las coordenadas de un vector gen´ericox∈Knrespecto
de esta base basta con resolver el sistema (con t´ermino independiente x)
2
6 6 6 6 4
1 1 · · · 1 0 1 · · · 1 ... ... ... ... 0 0 · · · 1
3
7 7 7 7 5
2
6 6 6 6 4
α1 α2
...
αn
3
7 7 7 7 5
=
2
6 6 6 6 4
x1 x2
...
xn
3
7 7 7 7 5 .
Resolvemos el sistema
2
6 6 6 6 4
1 1 · · · 1 x1
0 1 · · · 1 x2
... ... ... ... ... 0 0 · · · 1 xn
3
7 7 7 7 5
−→
2
6 6 6 6 6 6 6 4
1 0 0 · · · 0 x1−x2
0 1 0 · · · 0 x2−x3
... ... ... ... ... ... 0 0 · · · 1 0 xn−1−xn
0 0 · · · 0 1 xn
3
Por tanto, las coordenadas de x respecto a la base dada son 2 6 6 6 6 6 6 6 4 α1 α2 .. .
αn−1 αn 3 7 7 7 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 6 6 6 4
x1−x2 x2−x3
.. .
xn−1−xn
xn 3 7 7 7 7 7 7 7 5 .
Dada una baseV ={v1, v2, . . . , vn} deKn, las coordenadas de un vectorx∈Knrespecto
a dicha base son los coeficientes (´unicos) α1, α2, . . . , αn para los cuales se verifica
α1v1+α2v2+· · ·+αnvn=x ≡
2 6 6 6 4 .. . ... · · · ...
v1 v2 . .. vn
.. . ... · · · ... 3 7 7 7 5 2 6 6 6 6 4 α1 α2 .. . αn 3 7 7 7 7 5
=x=
2 6 6 6 6 4 x1 x2 .. . xn 3 7 7 7 7 5
S´olo vamos a considerar cambios de bases entre bases del espacio totalKn. No consideraremos
el problema de cambio de base entre bases de un subespacio. Dadas dos bases
U ={u1, u2, . . . , un} y V ={v1, v2, . . . , vn}
de Kn se trata de hallar la relaci´on entre las coordenadas de un vector x ∈ Kn respecto de
ambas bases. Las coordenadas de un vectorx∈Kn respecto a U vienen dadas por un vector
[x]U que verifica que
x= 2 6 6 6 6 4 x1 x2 .. . xn 3 7 7 7 7 5
, [x]U = 2 6 6 6 6 4 α1 α2 .. . αn 3 7 7 7 7 5
⇔x=α1u1+α2u2+· · ·+αnun
⇔ 2 6 6 6 6 4 x1 x2 ... xn 3 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 4 ... ... · · · ...
u1 u2 . .. un
... ... · · · ... 3 7 7 7 5 2 6 6 6 6 4 α1 α2 ... αn 3 7 7 7 7 5 . (∗) La matriz 2 6 6 6 4 .. . ... · · · ...
u1 u2 . .. un
.. . ... · · · ... 3 7 7 7 5
que relaciona las coordenadas de un mismo vector x respecto a la base can´onica con las coordenadas del mismo vector x respecto a la baseU se denomina matriz del cambio de base U −→ C deU a la base can´onica C ={e1, e2, . . . , en} y se denota por
P
C ← U =
2 6 6 6 4 .. . ... · · · ...
u1 u2 . .. un
.. . ... · · · ... 3 7 7 7 5
, x= [x]C = P
C ← U
Puesto que la igualdad (∗) es equivalente a 2 6 6 6 6 4 α1 α2 .. . αn 3 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 4 ... ... · · · ...
u1 u2 . .. un
... ... · · · ... 3 7 7 7 5 −12 6 6 6 6 4 x1 x2 .. . xn 3 7 7 7 7 5
≡ [x]U =
P
C ← U
−1
[x]C
la matriz
P
C ← U
−1
es la matriz del cambio de base C → U con lo cual
P
U ← C =
P
C ← U
−1 .
De forma an´aloga, si tenemos dos bases distintas de Kn,
B={v1, v2, . . . , vn} y U ={u1, u2, . . . , un}
podr´ıamos obtener las matrices de cambio de base B −→ U y U −→ B de la misma forma que lo que acabamos de hacer si conoci´eramos las coordenadas de los vectores de una base respecto a la otra. Si conocemos las coordenadas de los vectores de ambas bases respecto, por ejemplo, a la base can´onica, podemos considerar un planteamiento similar.
Denotemos las coordenadas de un vector gen´erico, x∈Kn, respecto de ambas bases B y U mediante
[x]B = 2 6 6 4 α1 .. . αn 3 7 7
5, [x]U = 2 6 6 4 β1 .. . βn 3 7 7 5.
Tenemos entonces quex=α1v1+· · ·+αnvn =β1u1+· · ·+βnuny expresando estas igualdades
en forma matricial tenemos que
x= 2 6 6 4 x1 ... x3 3 7 7 5 = 2 6
4 v1 v2 · · · vn 3 7 5 2 6 6 4 α1 ... αn 3 7 7 5 = 2 6
4 u1 u2 · · · un 3 7 5 2 6 6 4 β1 ... βn 3 7 7 5
es decir, siendo B la matriz cuyas columnas son los vectores de la base B y siendo U la matriz cuyas columnas son los vectores de la base U se verifica que
x=B[x]B =U[x]U.
De estas expresiones podemos obtener las matrices de cambio de base,
[x]B =B −1
U[x]U =⇒ P
B ← U
=B−1 U,
[x]U =U −1
B[x]B =⇒ P
U ← B
=U−1 B.
(1) Vamos a calcular las matrices de cambio de base entre la base can´onica deR3
y la base
B =
v1 = [−2 1 0]
T
, v2 = [1 −2 3]
T
, v3 = [−1 0 −1]
T© .
Siendo las coordenadas de un vector gen´erico x∈R3
respecto a By respecto a la base can´onica respectivamente,
[x]B = 2 6 4 α1 α2 α3 3 7
5, x= 2 6 4 x1 x2 x3 3 7 5
se verifica que
x=α1v1+α2v2+α3v3 ≡ 2 6 4 x1 x2 x3 3 7 5= 2 6
4 v1 v2 v3 3 7 5 2 6 4 α1 α2 α3 3 7 5.
Por tanto, la matriz
P =
2
6
4 v1 v2 v3 3 7 5= 2 6 4
−2 1 −1 1 −2 0 0 3 −1
3
7 5
(cuyas columnas son las coordenadas de los vectoresBrespecto a la baseC) es la matriz
P
C ← B del cambio de base B −→ C, puesto que
x= [x]C =P[x]B, ∀x∈R 3
.
Puesto que la inversa P−1
verifica [x]B =P −1
[x]C, ∀x ∈R 3
dicha matriz es la del cambio de baseC −→ B. Resumiendo,
P
C ← B
=P =
2
6 4
−2 1 −1 1 −2 0 0 3 −1
3
7
5, P
B ← C
=P−1
=−1
6
2
6 4
2 −2 −2 1 2 −1
3 6 3
3
7 5.
(2) Calculemos las matrices de cambio de base entre las bases
B = 8 > < > :
v1 = 2 6 4 −2 1 0 3 7 5, v2 =
2 6 4 1 −2 3 3 7 5, v3 =
2 6 4 −1 0 −1 3 7 5 9 > = > ; y U = 8 > < > :
u1 = 2 6 4 1 2 1 3 7 5, u2 =
2 6 4 −1 −2 2 3 7 5, u3 =
2 6 4 −1 3 2 3 7 5 9 > = > ; .
Denotemos las coordenadas de un vector gen´erico x ∈ R3
respecto de ambas bases B
y U mediante
[x]B = 2 6 4 α1 α2 α3 3 7
Tenemos entonces que x=α1v1+α2v2+α3v3 =β1u1+β2u2+β3u3. Escribiendo estas
igualdades en forma matricial
2 6 4 x1 x2 x3 3 7 5= 2 6 4
−2 1 −1 1 −2 0 0 3 −1
3 7 5 2 6 4 α1 α2 α3 3 7 5= 2 6 4
1 −1 −1 2 −2 3
1 2 2
3 7 5 2 6 4 β1 β2 β3 3 7 5 obtenemos 2 6 4 α1 α2 α3 3 7 5= 2 6 4
−2 1 −1 1 −2 0 0 3 −1
3 7 5 −12 6 4
1 −1 −1 2 −2 3
1 2 2
3 7 5 2 6 4 β1 β2 β3 3 7 5. Por tanto, P
B ← U
=
2
6 4
−2 1 −1 1 −2 0 0 3 −1
3 7 5 −12 6 4
1 −1 −1 2 −2 3
1 2 2
3
7 5=−
1 6
2
6 4
2 −2 −2 1 2 −1
3 6 3
3 7 5 2 6 4
1 −1 −1 2 −2 3
1 2 2
3 7 5 = 1 6 2 6 4
4 2 12
−4 7 −3
−18 9 −21
3
7 5.
An´alogamente podr´ıamos obtener
P
U ← B
=
P
B ← U
Ǒ−1 = 1 15 2 6 4
−20 25 −15
−5 22 −6 15 −12 6
3
7 5.
4.5.- Suma e intersecci´
on de subespacios.
Definici´on. Consideremos dos subespacios vectoriales E y F de Km. Se define:
la suma, E+F, como el conjunto de vectores w∈ Km que pueden expresarse como
suma w=u+v de un vector u∈E y otro vector v ∈F,
E+F ={w∈Km : existen u∈E y v ∈F tales que w=u+v},
la intersecci´on,E∩F, como el conjunto de vectores que pertenecen simult´aneamente a ambos subespacios, E∩F ={w∈Km : w∈E y w∈F }.
Es decir, E∩F es elcorte de los subespacios E yF yE+F es el menor subespacio que contiene aE y a F (de la misma forma que el subespacio generado por ciertos vectores es el menor subespacio que contiene a dichos vectores).
Cuando los dos subespaciosE y F tienen en com´un ´unicamente al vector nulo E∩F ={0}, la suma de dichos subespacios se suele llamar suma directay se denota E⊕F,
Cuando dos subespaciosE y F verifican E⊕F =Kn se dice que son complementarios. Por
ejemplo, cualquier pareja de rectas (no coincidentes, que pasen por el origen de coordenadas) en el plano es una pareja de subespacios complementarios. En el espacio, un plano (que pase por el origen de coordenadas) y una recta que no est´e contenida en el plano (y pase por el origen de coordenadas) tambi´en forman una pareja de subespacios complementarios.
Propiedades.
(1) E+F y E∩F son subespacios vectoriales.
(2) E∩F ⊆E, F ⊆E+F.
(3) SiE = Nul (A) yF = Nul (B), entoncesE∩F = Nul
A B
.Es decir, si los subespacios
E y F vienen dados en forma impl´ıcita mediante Ax = 0 y Bx = 0 respectivamente, es inmediato tener una descripcion impl´ıcita de E ∩ F, basta considerar todas las ecuaciones impl´ıcitas simult´aneamente.
(4) Si E = Col (A) y F = Col (B), entonces E+F = Col
A B
.
(4’) SiE = Gen{u1, u2, ..., up} y F = Gen{v1, v2, ..., vq}, entonces E+F = Gen{u1, u2, ..., up, v1, v2, ..., vq}.
Ejercicio.Prueba las siguientes propiedades: (1) E =E+F ⇔F ⊆E.
(2) E+F =E∩F ⇔E =F.
Teorema. Sean E y F dos subespacios de Km. Se verifica:
(a) dim (E∩F)≤dim (E),dim (F)≤dim (E+F)≤dim (E) + dim (F).
(b) dim (E+F) = dim (E) + dim (F)−dim (E∩F).
4.6.- Ejercicios.
Ejercicio 1. Determina cu´ales de los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vec-toriales, cu´ales son variadades y cu´ales no son ni lo uno ni lo otro:
(a) El conjunto de los vectores (x1, x2)∈R 2
cuyas coordenadas verifican, respectivamente,
(a1) cos2
(x1) + sen 2
(x1) = 1, (a2) x1x2 =a (a∈R),
(a3) x1+ 2x2 = 0 ´o x1 −x2 = 0, (a4) x2
1+x 2
2 =a (a ∈R), (a5) x1−x2 =a (a∈R),
(a6) x1+ 2x2 =a y x1−x2 =b, (a, b∈R). (b) El conjunto de los vectores (x1, x2, x3) ∈ R
3
cuyas coordenadas verifican, respectiva-mente,
(b1) x1+x2+x3 = 0 y 2x1−x3 =a (a∈R), (b2) x2
1+x 2
2 =a (a∈R), (b3) (x1+x2)(x2+x3) = 0, (b4) x1 = 0 y (x2 = 0 ´o x3 = 0),
(b5) Se pueden expresar de la forma
8 > <
> :
x1 =α, x2 =α+α
2 , x3 = 0,
9 > =
> ;
para alg´un α∈R.
(b6) x1+x2+x3 ≤0.
(c) El conjunto de los vectores (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn cuyas coordenadas verifican,
respecti-vamente,
(c1) Cada una de las coordenadas a3, . . . , an es la media (aritm´etica) de las
coorde-nadas anteriores,
(c2) Cada una de las coordenadas a3, . . . , an es la media geom´etrica de las dos
coor-denadas anteriores,
(c3) La derivada segunda del polinomio a1+a2t+a3t 2
+· · ·+antn−1 se anula para
t = 1.
(c4) La derivada segunda del polinomioa1+a2t+a3t2
+· · ·+antn−1 vale 3 para t= 1.
Ejercicio 2. Siendov1, v2, . . . , vkvectores deRn, demuestra o da un contraejemplo de (cada
una) de las siguientes afirmaciones:
a) Si v1, v2, . . . , vk son linealmente independientes, entonces al menos uno de ellos es
com-binaci´on lineal de los restantes.
b) Si v1, v2, . . . , vk son linealmente independientes, entonces cualquiera de ellos es
Ejercicio 3. Determina dos bases distintas de cada uno de los subespacios siguientes as´ı como ecuaciones impl´ıcitas independientes para cada uno de ellos:
(a) Vectores de R3
que pueden expresarse como combinaci´on lineal de
v1 = 2 6 4 −1 0 2 3 7
5 y v2 = 2 6 4 1 1 1 3 7 5
y cuyas coordenadas verifican la ecuaci´on x1−x2+x3 = 0.
(b) Subespacio de R4
generado por los vectores
v1 = 2 6 6 6 4 −1 0 2 0 3 7 7 7 5
, v2 = 2 6 6 6 4 2 0 −4 0 3 7 7 7 5
v3 = 2 6 6 6 4 1 1 1 1 3 7 7 7 5
y v4 = 2 6 6 6 4 3 2 0 2 3 7 7 7 5 .
(c) Subespacio de R4
definido por las ecuaciones impl´ıcitas
8 > <
> :
x1−x2+x3−x4 = 0,
−2x1 +x2+x3 = 0,
3x1 −2x2 −x4 = 0.
(d) Subespacio de Rn definido por las ecuaciones impl´ıcitas
8 > <
> :
x1+x2+· · ·+xn = 0, −x1 + 2x2+· · ·+ 2xn = 0,
2x1+ 5x2+· · ·+ 5xn = 0.
Ejercicio 4. Sea V la variedad de R4
dada por las ecuaciones param´etricas
8 > > < > > :
x1 = 1 +α−β+ 2γ, x2 = −1 + 2α+β, x3 = 2 + 2α−7γ, x4 = β+γ.
Determina una base (del subespacio director) y la dimensi´on de V y halla unas ecuaciones impl´ıcitas.
Ejercicio 5.
(1) Determina el rango de las siguientes matrices:
A = 2 6 6 6 4
0 1 −1 2 0 0 2 1 2 −2 0 1 −1 2 0 0 0 −1 −2 3
3
7 7 7 5
, B=
2
6 6 6 4
−1 1 −1 2
3 2 3 2
2 1 2 2
0 1 0 −2
(2) Sabiendo que el rango de una matriz A,3×3, es 3, determina el rango de la matriz
A A2 I 2A
(3) Sea A una matriz 20×15 cuyo rango es rango(A) = 12. Determina la dimensi´on de los siguientes subespacios vectoriales,
Col (A), Nul (A), Col (AT) y Nul (AT).
(4) Sabiendo que una matriz A de orden 4 verifica que A2
= 0,
(4a) demuestra que Col (A)⊆Nul (A),
(4b) demuestra que el rango de A tiene que ser menor o igual 2 y
(4c) da ejemplos de matrices Aque verifiquen que A2
= 0 y cuyos rangos respectivos sean 0, 1 y 2.
Ejercicio 6. Consideremos una transformaci´on lineal T :Kn −→Km y su matriz asociada
A, T(x) = Ax, ∀x∈Kn. Demuestra que
(a) T transforma subespacios vectoriales (de Kn) en subespacios vectoriales (de Km). Es
decir, si S ⊂Kn es un subespacio vectorial,
T(S) ={T(x) :x∈S} ≡ {Ax:x∈S}
es un subespacio vectorial. Qu´e puede afirmarse sobre las dimensiones deS y deT(S)?
(b) T transforma variedades deKn en variedades, es decir, siV ⊂Kn es una variedad,
T(V) ={T(x) :x∈V} ≡ {Ax:x∈V}
es una variedad.
¿En qu´e se puede transformar un plano mediante una transformaci´on lineal?
Ejercicio 7. Determina la matriz de una aplicaci´on lineal T :R4
→R4
sabiendo que T 2 6 6 6 4 1 0 0 1 3 7 7 7 5 = 2 6 6 6 4 1 0 1 2 3 7 7 7 5 , T 2 6 6 6 4 1 0 1 2 3 7 7 7 5 = 2 6 6 6 4 0 1 1 0 3 7 7 7 5 , T 2 6 6 6 4 0 1 1 0 3 7 7 7 5 = 2 6 6 6 4 0 0 0 1 3 7 7 7 5 , T 2 6 6 6 4 0 0 0 1 3 7 7 7 5 = 2 6 6 6 4 1 0 0 0 3 7 7 7 5 .
Ejercicio 8. Determina la matriz A de una transformaci´on lineal T :R3
−→ R2
sabiendo que el espacio nulo deA viene dado por la ecuaci´on impl´ıcitax1−x2−x3 = 0 y que
