Resolución de Ecuaciones no
lineales
Resolución de Ecuaciones no lineales
Objetivos
Aprender a resolver ecuaciones de la forma:
Donde f es una función no-lineal de la variable escalar real .
En este curso estudiaremos tres métodos
1. Bisección
2. Punto fijo
3. Newton-Raphson
4. Secante
x
Resolución de Ecuaciones no lineales
En general, algoritmos iterativos serán usados para resolver la
ecuación no-lineal de la forma:
Dada una aproximación inicial , una sucesión de términos es
calculada
Hasta que un valor lo
“
suficientemente bueno
”
es
encontrado.
f
(
x)
=
0
x
00
, ,
1
,
k
x x
x
Un algoritmo iterativo debe responder a las siguientes
preguntas:
¿Cómo elegir el punto de partida ? Experiencia, orden
de magnitud
¿ Cómo son calculados cada uno de los términos de la
sucesión? Depende del método
¿Cómo saber si el termino de aproxima la solución lo
suficientemente bien? Criterio de convergencia
Resolución de Ecuaciones no lineales
x
00
, ,
1
,
k
x x
x
Un sucesión converge a cuando
Dividiendo por
Se dice que una aproximación es lo suficientemente
buena si
Resolución de Ecuaciones no lineales
x
k{ }
a
lim
k
®¥
x
k
=
a
lim
k
0
k
x
lim
k
lim
k
0
k
k
x
r
a
x
kEn la practica se asume que
De donde surge el siguiente criterio de convergencia
Para prevenir algunos problemas cuando
Resolución de Ecuaciones no lineales
r
k
=
x
k
-
x
k
+
1
x
k
+
1
x
k-
x
k+1x
k+1£
tol
xa
=
0
En algunos casos, el anterior criterio se satisface aun
estando muy lejos de la solución
Para evitar el problema, vamos a tener en cuenta que
cuando la sucesión converge a
Por tanto, se puede formular un segundo criterio de
convergencia
Resolución de Ecuaciones no lineales
a
lim
k
®¥
f
(
x
k
)
=
0
x
k{ }
Resolución de Ecuaciones no lineales:
Convergencia
Método de punto fijo
El método de punto fijo se basa en re-escribir la ecuación de tal modo que este al lado izquierdo de la ecuación.
f(x)= 0
x
Método de punto fijo
Ejemplo 1(a)
f
(
x)
=
x
2-
2
x
-
3
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
x
2=
2
x
+
3
x
=
2
x
+
3
( )
2
3
g x
x
1
'( )
2
3
g x
x
( )
g x
'( )
Método de punto fijo
Ejemplo 1(a)
f
(
x)
=
x
2-
2
x
-
3
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
Utilizando la formula cuadrática obtenemos que los ceros de la función son
x
1=
3,
x
2= -
1
x
2=
2
x
+
3
x
=
2
x
+
3
x
n+1=
2
x
n+
3
x
0=
4
Método de punto fijo
Ejemplo 1(b)
f
(
x)
=
x
2-
2
x
-
3
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
2
2
3
0
(
2) 3
0
Método de punto fijo
Ejemplo 1(b)
f
(
x)
=
x
2-
2
x
-
3
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
Utilizando la formula cuadrática obtenemos que los ceros de la función son
x
1=
3,
x
2= -
1
13
2
n nx
x
x
0=
4
En excel
2
2
3
0
(
2) 3
0
Método de punto fijo
Ejemplo 1(c)
f
(
x)
=
x
2-
2
x
-
3
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
x
2-2
x
-
3
=
0
2
x
=
x
2-
3
x
=
x
2
-3
2
2
3
( )
2
x
g x
( )
g x
'( )
Método de punto fijo
Ejemplo 1(c)
f
(
x)
=
x
2-
2
x
-
3
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
Utilizando la formula cuadrática obtenemos que los ceros de la función son
x
1=
3,
x
2= -
1
2
2
2
2
3
0
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
2 13
2
n nx
x
x
0=
4
Método de punto fijo
Ejemplo 2
f
(
x)
=
x
-
e
-xEncuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
En excel
x
n+1=
e
-xnAl observar la columna del error, vemos que el error de la iteración es un factor entre 0.5 y 0.6 el error de la iteración
Método de punto fijo
Ejemplo 2
f
(
x)
=
x
-
e
-xEncuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
x
n+1=
e
-xn g x( )'( )
Método de punto fijo
Ejemplo 3 (a)
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
En excel
1 3 2
1
(10
)
2
x
x
f
(
x)
=
x
3+
4
x
2-
10
1 3 2 1
1
(10
)
2
n n
x
x
Método de punto fijo
Ejemplo 3 (a)
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
mapea el intervalo en si mismo ( ver figura y teoremas)
en el intervalo (se cumplen las condiciones para que la sucesión converja al punto fijo de la función )
f
(
x)
=
x
3+
4
x
2-
10
1 3 2 1
1
(10
)
4
n n
x
x
g x( )'( )
g x
( )
g x éë1, 1.5ùû
'( ) 0.66
g x £ é1,1.5ù
Método de punto fijo
Ejemplo 3 (b)
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
En excel
x
=
10
4
+
x
æ
èç
ö
ø÷
1 2
f
(
x)
=
x
3+
4
x
2-
10
x
n+1=
10
4
+
x
næ
èç
ö
ø÷
1 2
Método de punto fijo
Ejemplo 3 (b)
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
f
(
x)
=
x
3+
4
x
2-
10
x
n+1=
10
4
+
x
næ
èç
ö
ø÷
1 2
( )
g x
'( )
g x
mapea el intervalo en si mismo ( ver figura y teoremas)
en el intervalo (se cumplen las condiciones para que la sucesión converja al punto fijo de la función )
( )
g x éë1, 2ùû
'( ) 0.15
Método de punto fijo
Ejemplo 3 ©
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
En excel
x
=
x
-
x
3
+
4
x
2-
10
3x
2+
8
x
f
(
x)
=
x
3+
4
x
2-
10
3 2
1 2
4
10
3
8
n n
n n
n n
x
x
x
x
x
x
Método de punto fijo
Ejemplo 3 ©
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
f
(
x)
=
x
3+
4
x
2-
10
3 2 1 2
4
10
3
8
n n n n n nx
x
x
x
x
x
'( ) g x ( ) g xmapea el intervalo en si mismo ( ver figura y teoremas)
en el intervalo (se cumplen las condiciones para que la sucesión converja al punto fijo de la función )
( )
g x éë1, 2ùû
'( ) 0.6
Método de punto fijo
Ejemplo 3(d)
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
En excel
x
=
x
-
x
3-4
x
2+
10
f
(
x)
=
x
3+
4
x
2-
10
No Converge a la raíz de la función
x
n+1=
x
n-
x
n3Método de punto fijo
Ejemplo 3(d)
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
f
(
x)
=
x
3+
4
x
2-
10
x
n+1=
x
n-
x
n3-4
x
n2+
10
Los teoremas no garantizan que el método deba fallar, tampoco tenemos razón para esperar una convergencia
( )
g x
'( )
Método de punto fijo
Ejemplo 3(e)
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
En excel
x
=
10
x
-
4
x
æ
èç
ö
ø÷
1 2
f
(
x)
=
x
3+
4
x
2-
10
No Converge a la raíz de la función
x
n+1=
10
x
n-
4
x
næ
èç
ö
ø÷
Método de punto fijo
Ejemplo 3(e)
Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo
f
(
x)
=
x
3+
4
x
2-
10
x
n+1=
10
x
n-
4
x
næ
èç
ö
ø÷
1 2
No hay razón para esperar que el método converja
'( )
g x
( )
g x
Método de punto fijo
Ventajas
• Fácil de implementar
• Solo es necesario evaluar la función, no es necesario evaluar la derivada
Desventajas
• Converge linealmente
Método de bisección
Algoritmo
Usas el teorema de Bolzano para una función continua en un intervalo cerrado.
Método de bisección
En Matlab
Algoritmo
f x( ) = 2x - 1Método de bisección
En Matlab
Primeras 7 iteraciones del método de bisección
1
2
3
4
5
6
Método de Newton-Raphson
La serie de Taylor de una función infinitamente diferenciable en el entorno de un numero real a es la siguiente serie de
potencias:
Aproximamos f(x) con los dos primeros términos de las series de Taylor e igualamos la función a 0
Despejamos
f
(
x
)
=
f
(n)
(
a
)
n
¡
n=0
¥
å
(
x
-
a
)
nf
(
x
)
»
f
(
a
)
+
f
'(
a
)(
x
-
a
)
=
0
x
=
a
-
f
(
a
)
f
'(
a
)
=
De manera iterativa lo podemos escribir como sigue
x
n+1=
x
n-
f
(
x
n)
Método de Newton-Raphson
x
n+1=
x
n-
f
(
x
n)
f
'(
x
n)
=
El método de Newton comienza con una aproximación inicial x0
del cero de la función a partir de la cual se define una sucesión {xn} de aproximaciones definida por
Método de Newton-Raphson
Ejemplo 1
1ln(
)
1
n n x n n n x ne
x
x
x
e
x
Encontrar el cero de la función
( )
xln( )
f x
e
x
1
'( )
xf x
e
x
El esquema iterativo queda como sigue
Empecemos el esquema con
0
1
x
Método de Newton-Raphson
Ejemplo 2
2 12
2
n n n nx
x
x
x
Encontrar el cero de la función
2
( )
2
f x
x
'( )
2
f x
x
El esquema iterativo queda como sigue
Empecemos el esquema con
0
2
x
Método de Newton-Raphson
Ejemplo 3(a)
3 1 28
3
n n n nx
x
x
x
Encontrar el cero de la función
3
( )
8
f x
x
2
'( )
3
f x
x
El esquema iterativo queda como sigue
Empecemos el esquema con
0
4
x
Método de Newton-Raphson
Ejemplo 3(b)
3 1 28
3
n n n nx
x
x
x
Encontrar el cero de la función
3
( )
8
f x
x
2
'( )
3
f x
x
El esquema iterativo queda como sigue
Empecemos el esquema con
0
8
x
Método de Newton-Raphson
Ejemplo 3 ©
3 1 2
8
3
n n n nx
x
x
x
Encontrar el cero de la función
3
( )
8
f x
x
2
'( )
3
f x
x
El esquema iterativo queda como sigue
Empecemos el esquema con
0
12
x
Método de Newton-Raphson
Ejemplo 3 (d)
3 1 2
8
3
n n n nx
x
x
x
Encontrar el cero de la función
3
( )
8
f x
x
2
'( )
3
f x
x
El esquema iterativo queda como sigue
Empecemos el esquema con
0
1000
x
• La convergencia del método de newton es cuadrática, ver columna del error
Método de Newton-Raphson
Ejemplo 3 (d)
10
1 9
1
10
n
n n
n
x
x
x
x
Encontrar el cero de la función
10
( )
1
f x
x
9
'( ) 10
f x
x
El esquema iterativo queda como sigue
Empecemos el esquema con
Método de Newton-Raphson
Ejemplo 3 (d)
10 1 9
1
10
n n n nx
x
x
x
Encontrar el cero de la función
10
( )
1
f x
x
9
'( ) 10
f x
x
El esquema iterativo queda como sigue
Empecemos el esquema con
0
0.5
x
Método de Newton-Raphson
Resumen
Requerimientos
• La función f(x) debe ser derivable
• La derivada de f(x) debe ser siempre diferente de 0
Características:
• Convergencia cuadrática (siempre y cuando la derivada se calcule correctamente)
• El método es costoso computacionalmente (en cada iteración se evalúa su función y su derivada)
Problemas:
• Costoso computacionalmente en cada iteración
Método de Newton-Raphson
En Matlab
3
( )
8
Método de Newton-Raphson
En Matlab
2
( )
2
Método de la secante
Usa el algoritmo de Newton-Raphson pero aproxima la derivada de la función, con la pendiente de la línea definida por dos aproximaciones anteriores. 1
(
)
(
)
n n n nf x
x
x
s x
1 1(
)
(
)
(
)
n nn
n n
Método de la secante
Ejemplo 1
Encontrar el cero de la función
Iniciemos con
De donde obtenemos
( )
xln( )
f x
e
x
1
(
)
(
)
n n n nf x
x
x
s x
11
(
)
(
)
(
n)
n nn n
f x
f x
s x
x
x
1
2,
01
x
x
2 1
(2)
(1)
ln(2)
ln(1)
(2)
0.9256
2 1
1
f
f
e
e
s
1 2 1 1( )
0.5578
2
1.3974
( )
0.9256
Método de la secante
Ejemplo 1
Encontrar el cero de la función
Iniciemos con
De donde obtenemos
( )
xln( )
f x
e
x
1
(
)
(
)
n n n nf x
x
x
s x
11
(
)
(
)
(
n)
n nn n
f x
f x
s x
x
x
2
1.3974,
12
x
x
1.3974 2 2 1
2 1
(
)
( )
ln(1.3974)
ln(2)
(1.3974)
0.7806
1.3974
2
f x
f x
e
e
s
x
x
2 3 2 2(
)
0, 087
1.3974
1.2854
(
)
0.7806
Método de la secante
Ejemplo 1
Encontrar el cero de la función
Iniciemos con
De donde obtenemos
( )
xln( )
f x
e
x
1
(
)
(
)
n n n nf x
x
x
s x
11
(
)
(
)
(
n)
n nn n
f x
f x
s x
x
x
3
1.2854,
21.3974
x
x
1.2854 1.3974 3 2
3 2
( )
(
)
ln(1.2854)
ln(1.3974)
(1.2854)
1.0075
1.2854 1.3974
f x
f x
e
e
s
x
x
2 3 2 2(
)
0.025
1.2854
1.3106
(
)
1.0075
f x
x
x
s x
Método de la secante
Ejemplo 1
Encontrar el cero de la función
( )
xln( )
f x
e
x
1
(
)
(
)
n
n n
n
f x
x
x
s x
Método de Newton-Raphson
Método de Secante
Método de la secante
Ejemplo 2
Encontrar el cero de la función
Iniciemos con
De donde obtenemos
2
( )
2
f x
x
1
(
)
(
)
n n n nf x
x
x
s x
11
(
)
(
)
(
n)
n nn n
f x
f x
s x
x
x
1
2,
01
x
x
2 2
(2)
(1)
2
2 1
2
(2)
3
2 1
1
f
f
s
1 2 1
1
( )
2
4
2
1.333333
( )
3
3
f x
x
x
s x
Método de la secante
Ejemplo 2
Encontrar el cero de la función
Iniciemos con
De donde obtenemos
2
( )
2
f x
x
1
(
)
(
)
n n n nf x
x
x
s x
11
(
)
(
)
(
n)
n nn n
f x
f x
s x
x
x
2
1.333333,
12
x
x
(1.3333)
(2)
(1.3333)
3.3333333
1.33333 2
f
f
s
2 3 2
2
(
)
0.2222222
1.333333
1.4
(
)
3.3333333
f x
x
x
s x
Método de la secante
Ejemplo 2
Encontrar el cero de la función
2
( )
2
f x
x
Comparación de todos los métodos
• El método de Newton-Raphson es el más rápido en converger, en el sentido que necesita un menor número de iteraciones para converger
• El método de Newton-Raphson es el método que presente un mayor número de problemas de convergencia
• La iteración del método de Newton-Raphson es la más costosa debido a que se debe evaluar la función y su derivada
