Teoría de Galois parcial de grupos

CRISTIAN FABIAN BERM ´

UDEZ FORERO

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

FACULTAD DE CIENCIAS B ´

ASICAS

PROGRAMA DE MAESTR´IA EN MATEM ´

ATICAS

CRISTIAN FABIAN BERM ´

UDEZ FORERO

Trabajo de grado para optar al t´ıtulo de Magister en Matem´aticas

Director

V´ICTOR MAR´IN

Profesor del Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

FACULTAD DE CIENCIAS B ´

ASICAS

PROGRAMA DE MAESTR´IA EN MATEM ´

ATICAS

Agradecimientos

Mis m´as sinceros agradecimientos a:

V´ıctor Mar´ın, profesor de la Facultad de Ciencias de la Universidad del To-lima y director de ´este trabajo de grado, por su responsabilidad con el mismo, sus constantes aportes, orientaciones y por su gran dedicaci´on.

Contenido

Introducci´on ii

1 Teor´ıa de Galois sobre anillos conmutativos 1

1.1 M´odulos proyectivos . . . 1

1.2 Algebras Separables´ . . . 3

1.3 Extensi´on de Galois y Teorema Fundamental . . . 4

2 Preliminares para una Teor´ıa de Galois Parcial 21 2.1 Acciones globales, parciales y envolventes . . . 21

2.2 Algunas propiedades de acciones parciales y envolventes . . . 30

2.3 Subanillo de Invariantes y la aplicaci´on traza . . . 32

2.4 Extensi´on parcial de Galois . . . 36

2.5 Propiedades Hereditarias de Extensionesα-parcial de Galois . . . 41

3 Teor´ıa de Galois Parcial 44 3.1 Extensiones de Galois de anillos conmutativos . . . 44

3.2 La correspondencia de Galois . . . 58

Conclusiones 66

Bibliograf´ıa 67

Introducci´

on

Uno de los problemas cl´asicos en matem´atica fue el de determinar condiciones necesarias y suficientes para saber si una ecuaci´on polin´omica con coeficientes en un cuerpo tiene ra´ıces expresables por medio de radicales. Para llegar a la soluci´on de dicho problema aparecieron en la historia muchos matem´aticos que dieron aportes significativos para alcanzarla, dentro de los cuales podemos mencionar a: Paolo Ruffini (1765-1822), Niels Henrik Abel (1802-1829), Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Para culminar en la obra maestra de Evariste Galois (1811-1832). El teorema principal demostrado por Galois, en lenguaje actual, es el siguiente:

”Dada una ecuaci´on algebraica de grado n, con coeficientes en un cuerpo K y ra´ıces distintasx1, . . . , xn,existe una correspondencia biun´ıvoca entre los

sub-cuerpos deK(x1, . . . , xn)que contienen a K y los subgrupos de un determinado

grupo de permutaciones dex1, . . . , xn.”

Como una consecuencia de este teorema se tiene la soluci´on al problema antes mencionado.

A finales del siglo XX, en un art´ıculo titulado ”Galois theory and Galois cohomology of commutative rings”, los autores Chase, Harrison y Rosenberg [3] desarrollan una teor´ıa de Galois para extensiones de anillos conmutativos, es decir, Dados S, Ranillos tal que S⊃Ry bajo las hip´otesisS unR-m´odulo separable, finitamente generado, proyectivo; y los elementos del grupo de Galois G fuertemente distintos, establecen el teorema de correspondencia de Galois para anillos conmutativos.

Por otra parte, la noci´on de acci´on parcial fue introducida en la teor´ıa de ´

algebra de operadores ([7]). Tambi´en, en dicho art´ıculo se da un concepto relacionado al de acci´on parcial, que es el de representaci´on parcial de un grupo sobre un espacio de Hilbert.

Ahora, dada una acci´on parcial de un grupo es natural preguntarse si di-cha acci´on es la restricci´on de una acci´on global. Globalizaci´on de acciones parciales fueron estudiadas en primer lugar por F. Abadie (v´ease [1]) e indepen-dientemente por Kellendonk y Lawson en [9].

Acci´on parcial de anillos desde un punto de vista algebraico fue estudiado por primera vez en [5]. Una acci´on parcialαde un grupoGsobre un ´algebra unitaria S es una colecci´on de ideales Sσ con isomorfismos ασ : Sσ−1 → S_σ, σ ∈ G,

los cuales satisfacen algunas condiciones de compatibilidad con el grupo. Esta acci´on global es globalizable o acci´on envolvente de la acci´on parcialαsi y solo si cada idealSσ(g∈G) es un ´algebra unitaria (v´ease [5]).

Cap´ıtulo 1

Teor´ıa de Galois sobre

anillos conmutativos

En este cap´ıtulo presentamos la teor´ıa de Galois sobre anillos conmutativos. En particular presentamos un teorema-definici´on que da la definici´on de extensi´on de Galois de un anillo conmutativo y se presentan algunas caracterizaciones de estas. Adem´as, se enuncia y se demuestra de manera detallada el teorema de correspondencia de Galois.

1.1

M´

odulos proyectivos

En esta secci´on presentamos el concepto de m´odulo proyectivo, el teorema que caracteriza estos y algunos ejemplos.

Definici´on 1.1. UnR-m´oduloB es llamadoproyectivosiB es un sumando directo de un R-m´odulo libre.

En otras palabras,B es proyectivo siB es subm´odulo de unR-m´odulo libre M y existe un subm´oduloC de M tal que M =B⊕C. Notemos que en este caso Ctambi´en es proyectivo.

Recordemos que todo R-m´odulo es im´agen homom´orfica de un R-m´odulo libre, es decir, si B es un R-m´odulo entonces existe un R-m´odulo libre M y una proyecci´onM −→ B −→0. Los R-m´odulos proyectivos son precisamente aquellos R-m´odulos B para los cuales la sucesi´on exacta M −→φ B −→ 0 se escinde, esto es, existe un homomorfismo de R-m´odulosϕ:B −→M tal que φϕ=idR.

Teorema 1.2 ([12], Theorem II.12). Sea B un R-m´odulo. Las siguientes pro-posiciones son equivalentes:

(i) B es proyectivo.

(ii) Si tenemos un diagrama

B

M N? 0 (sucesi´on exacta)

σ

-θ

-de m´odulos y morfismos, entonces existe σ∗:B→M,

B

M N 0

pp pp pp pp

θ∗

? σ

-θ

-tal que el diagrama es conmutativo, esto es, θσ∗=σ. (iii) Si se tiene una sucesi´on exacta

0−→L−→β M −→θ N −→0

de m´odulos y morfismos, entonces

0−→HomR(B, L) β∗

−→HomR(B, M) θ∗

−→HomR(B, M)−→0

es exacta, donde β∗ yθ∗ est´an dadas porβ∗(f) =βf y θ∗(g) =θg. (iv) Toda sucesi´on exacta de R-m´odulosM −→φ B −→0 se escinde.

(v) Existen conjuntos {xi |i ∈I} en B y {fi |i∈I} en HomR(B, R) tales

que para todo x∈ B, x= P

ifi(x)xi, donde fi(x) = 0 excepto para un

n´umero finito de ´ındices.

Ejemplo 1.3. Para todo anillo Rcon elemento identidad1Ry para todo

idem-potentee∈R, elR-m´oduloRees proyectivo pues R=Re⊕R(1R−e). Ejemplo 1.4. Sea R =_Z/6_Z, M ={0,2,4} y N ={0,3}. Obviamente M y

N sonR-m´odulos yR=M⊕N; o sea,M y N son proyectivos.

Definici´on 1.5. Sea B un R-m´odulo. Decimos que B es proyectivo finita-mente generadosiB es un sumando directo de unR-m´odulo libre finitamente generado.

Sea B unR-m´odulo yB∗ _=Hom

R(B, R). La aplicaci´onφ:B⊗RB∗−→ HomR(B, B) definida porφ(P

n

i=1xi⊗fi)(x) =P n

i=1fi(x)xi, para todox∈B, es un homomorfismo deR-m´odulos.

(i) B es proyectivo finitamente generado.

(ii) La aplicaci´onφ definida anteriormente es un isomorfismo deR-m´odulos.

SeanB unR-m´odulo y AnR(B) ={r ∈R |rx= 0,∀x∈B}. Es f´acil ver queAnR(B) es un ideal deR, llamadoanulador de B en R. Decimos que B es unR-m´odulofielsiAnR(B) = 0.

SeaB unaR-´algebra. Decimos queB escentralsi el centroZ(B) ={x∈ B |xb=bx ∀b∈B} deB es isomorfo aR.

1.2

Algebras Separables

´

Definici´on 1.7. Dados un anilloR y una R-´algebra B decimos que B es se-parablesobreR(o es unaR-´algebra separable) si la aplicaci´onµ:B⊗B→B, inducida por la multiplicaci´on deB (esto es, x⊗x07−→xx0 para todoxenB), es un homomorfismo deB⊗B-m´odulos que se escinde.

Teorema 1.8. Sean R, B, B ⊗B y µ como en la definici´on anterior. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) B es unB⊗B-m´odulo (izquierdo) proyectivo. (ii) La sucesi´on exacta de B⊗B-m´odulos (izquierdos)

0−→Ker(µ)−→B⊗B−→µ B −→0 se escinde.

(iii) Existe e∈B⊗B tal queµ(e) = 1B y Ker(µ)e= 0.

Demostraci´on. (i)←→ (ii) Es una consecuencia inmediata de la definici´on de m´odulo proyectivo y el Teorema 1.2.

(ii) −→ (iii) Sea ν : B −→ B⊗B un homomorfismo de B⊗B-m´odulos (izquierdos) tal que µ◦ν=idB. Sea e=ν(1B)∈B⊗B. Entoncesµ(e) = 1B; adem´as, para todox∈B,

(x⊗1B)e= (x⊗1B)ν(1B) =ν(x⊗1B·1B) =ν(x·1B·1B) =ν(x) =ν(1B·1B·x) =ν(1B⊗x·1B) = (1B⊗x)ν(1B) = (1B⊗x)e. As´ı, (x⊗1B−1B⊗x)e= 0 ∀x∈B, esto es,Ker(µ)e= 0 ya queKer(µ) es un ideal deB⊗B generado por{x⊗1B−1B⊗x|x∈B}. En efecto, cualquier que seax∈B tenemos quex⊗1B−1B⊗x∈Ker(µ), puesµ(x⊗1B−1B⊗x) = x−x= 0. Rec´ıprocamente, siP

ixi⊗yi ∈Ker(µ) entonces

P

ixiyi = 0, por lo tanto,P

ixi⊗yi=−

P

i(xi⊗1B)(yi⊗1B−1B⊗yi).

Observaciones 1.9.

(1) Diremos queB es separable sobre R siB satisface las afirmaciones equi-valentes del teorema anterior.

(2) El elementoe∈B⊗RB del teorema anterior es un elemento idempotente

y se denomina el idempotente de separabilidad deB sobreR.

Ejemplo 1.10. R es una R-´algebra separable. Ya que

µ:R⊗R→R

es un isomorfismo, luego se escinde.

Ejemplo 1.11. SeaR=Z[

√

−3]yB=Z[w], conw2+w+1 = 0

w=−1+

√ −3 2

.

R⊆ByBes unaR-´algebra separable. Tomandoe= 1⊗1+1⊗w−w⊗1∈B⊗B

es un idempotente de separabilidad deB sobre R.

Ejemplo 1.12. Sea Gun grupo finito de orden n, con _n1 ∈R. Sea B =R[G]

la R-´algebra del grupo G. El elemento e= _n1P

σ∈Gg⊗g−1 ∈B⊗RB es un

idempotente de separabilidad de B sobre R.

Ejemplo 1.13. Sea B = _R⊕_Ri⊕_Rj⊕_Rk, la _R-´algebra de cuaternios. El elemento

e= 1

4(1⊗1−i⊗i−j⊗j−k⊗k)∈B⊗B

es un idempotente de separabilidad deB sobre R.

Teorema 1.14([13], Teorema 2.7). SeaB unR-m´odulo proyectivo finitamente generado y fiel. EntoncesB ∼=HomR(B, B)es unaR-´algebra separable y

cen-tral.

1.3

Extensi´

on de Galois y Teorema

Fundamen-tal

SeaBun anillo conmutativo,Gun subgrupo finito del grupoAut(B) yR=BG. R el subanillo deB consistente de todos los elementos deB que son fijos para cualquier elemento deG; denotemos por ∆(B:G) elB-m´odulo libre con base {uσ:σ∈G}. Sobre ∆(B:G) definimos la siguiente multiplicaci´on:

(X σ∈G

aσuσ)(X τ∈G

bτuτ) = X σ,τ∈G

aσβσ(bτ)uστ.

∆(B :G) es unaR-´algebra si y solo siG⊆AutR(B) ={σ∈Aut(B) :βσ(x) = x,∀x∈R}. La identidad de ∆(B:G) es u1G.

Se define la aplicaci´onj: ∆(B :G)−→HomR(B, B) de la siguiente forma j(P

homomorfismo deR-´algebras y un homomorfismo deB-m´odulos izquierdos. Por otro lado, dada una extensi´onBdel anilloRy un subgrupo finitoGdel grupo Aut(B), denotemos por∇(B :G) el B-m´odulo libre con base{vσ :σ∈ G}. Sobre∇(B:G) definimos la siguiente multiplicaci´on:

(X σ∈G

aσvσ)(

X

τ∈G

bτvτ) =

X

σ,τ∈G

aσbτδσ,τvσ,

donde

δσ,τ =

(

1 siσ=τ 0 siσ6=τ.

∇(B : G) es una B-´algebra (en particular una R-´algebra) conmutativa con unidadP

σ∈Gvσ= 1B.

Notemos queB⊗B puede ser visto como un B-´algebra via (x)(a⊗a0) = xa⊗a0. As´ı, podemos definir un homomorfismo deB-´algebras h: B⊗B −→ ∇(B:G) dado porh(Pn

i=1ai⊗a0i) =

Pn

i=1 P

σ∈Gaiσ(a0i)vσ. Todos los resultados de esta secci´on son extraidos de [13].

Definici´on 1.15. Seanf, g:A−→B homomorfismos de anillos conmutativos.

f yg son llamadasfuertemente distintos si, para cada idempotente distinto de cero edeB, existe unx∈A tal quef(x)e6=g(x)e.

Observaci´on 1.16. Notemos que siB no tiene idempotentes a parte de0y1B, entonces f y g son fuertemente distintos si y solo si son aplicaciones distintas.

Definici´on 1.17. Sea B una k-´algebra yR =BG. Definimos la traza de x

comotrB/R(x) =

P

σ∈Gσ(x)para todo xenB.

Afirmaci´on 1.18. La aplicaci´on trB/R∈HomR(B, R).

Demostraci´on. Es f´acil ver que trB/R es una aplicaci´onR-lineal. Luego, note-mos que para todoτ ∈Gyx∈B

τ(trB/R(x)) =τ(

X

σ∈G

σ(x)) = X σ∈G

τ σ(x) = X σ∈G

σ(x) =trB/R(x).

As´ı, trB/R(x)∈BG=R.

Lema 1.19. SeanB una R-´algebra separable conmutativa y f : B −→ R un homomorfismo de R-´algebras. Entonces existe un ´unico idempotente e en B

tal que f(e) = 1B y ae = f(a)e para todo a ∈ B. Adem´as, si f1, ..., fn son

homomorfismos deR-´algebras de B aR que son a pares fuertemente distintos, entonces los idempotentes correspondientes e1, ..., en son a pares ortogonales y fi(ej) =δij.

(a)Pm

i=1xiyi = 1B y (b)P m

i=1axi⊗yi=P m

i=1xi⊗yia enB⊗B para todoa∈B.

Sea e=Pm

i=1f(xi)yi y veamos quef(e) = 1B. En efecto, f(e) =f(

m

X

i=1

f(xi)yi) = m

X

i=1

f(xi)f(yi) = m

X

i=1 f(xiyi)

=f( m

X

i=1

xiyi) =f(1B) = 1B.

Por otro lado, para todoa∈B si aplicamosf ⊗idsobre (b) obtenemos

(f ⊗id) m

X

i=1

axi⊗yi= (f⊗id) m

X

i=1

xi⊗yia m

X

i=1

f(axi)⊗yi= m

X

i=1

f(xi)⊗yia m

X

i=1

f(a)f(xi)⊗yi= m

X

i=1

f(xi)⊗yia

f(a)( m

X

i=1

f(xi)⊗yi) = ( m

X

i=1

f(xi)⊗yi)a

f(a)e=ea. (1.1)

Adem´as, si reemplazamosa=e en (1.1),f(e)e=eede donde e=e2_{, esto} es, e es un idempotente. Veamos que es ´unico, sea e0 es otro idempotente de B que satisface las mismas condiciones que e, entonces e0 =f(e)e0, luego por (1.1)f(e)e0 =e0e, nuevamente por (1.1) tenemos quee0e=f(e0)e=e. Por ello, e=e0.

X Para la segunda parte, notemos quefi(ej) es un idempotente deRy que fi(a)fi(ej) =fj(a)fi(ej) para todoa∈B. En efecto,fi(ej)fi(ej) =fi(ejej) = fi(ej); y fi(a)fi(ej) =fi(aej) =fi(fj(a)ej) =fj(a)fi(ej) . Ya quefi yfj son fuertemente distintos parai6=j,fi(ej) es un idempotente deRyfi(a)fi(ej) = fj(a)fi(ej) para todo a∈ B, tenemos quefi(ej) es igual a 0 o 1B. De donde si i 6= j, fi(ej) = 0 y si i =j, fi(ej) = 1B, esto es, fi(ej) = δij. Finalmente, si i 6= j tenemos que eiej = fj(ei)ej = δijej = 0ej = 0, esto es, el conjunto e1, ..., en son a pares ortogonales.

Teorema 1.20. Sea B un anillo conmutativo, G un grupo finito de automor-fismos de B y BG _{={x∈B |σ(x) =x, ∀σ∈G} . Entonces, las siguientes}

condiciones son equivalentes:

(i) B es un R-m´odulo proyectivo finitamente generado y el homomorfismo

(ii) BG_{=R yh:B⊗B−→ ∇(B :G)es un isomorfismo deB-´algebras.}

(iii) BG _{= R y existen elementos x}

1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn de B tales que

Pn

i=1xiσ(yi) =δ1B,σ, para todoσ enG.

(iv) BG _{=R y para cada σ6= 1}

G en Gy cada ideal maximal M deB, existe aen B tal quea−σ(a)no pertenece aM.

(v) BG_{=R,B es unaR-´algebra separable y los elementos de Gson a pares}

fuertemente distintos.

Demostraci´on.

(i)⇒(ii)_XMostremos queBG_=R.

Como ∆(B : G) es una R-´algebra tenemos que G ⊆ AutR(B), de donde R ⊆BG_{. Por otra parte, seax∈B}G_{, como B}G _{⊆Z(∆(B :G)) de ∆(B :G)} entonces x ∈ Z(∆(B : G)). Luego, j(x) ∈ Z(HomR(B, B)) ya que j es un isomorfismo. Luego, por el Teorema 1.14 tenemos queHomR(B, B) es central, es decir,Z(HomR(B, B)) es isomormo aR. Por lo tanto,Z(∆(B:G)) tambi´en es isomorfo a Ry as´ıx∈R de dondeBG⊆R.

Xhes un isomorfismo deB-´algebras.

Primero veamos que HomR(B, R) = j(d·B), d =P

σ∈Gµσ ∈ ∆(B : G). Para todoa, x∈B tenemos que

j(da)(x) =j(X σ∈G

µσ·aµ1G)(x) =j( X

σ∈G

σ(a)µσ)(x) =

X

σ∈G

σ(a)σ(x)

= X σ∈G

σ(ax)∈BG=R.

As´ı, j(d· B) ⊆ HomR(B, R). Por otra parte, dados f ∈ HomR(B, R) ⊆ HomR(B, B) yw=P

σ∈Gaσuσ∈∆(B:G) tales quej(w) =f, esto es, j(X

σ∈G

aσuσ)(x) =j(w)(x) =f(x) =

X

σ∈G

aσσ(x)∈R, ∀x∈B.

ComoP

σ∈Gaσσ(x)∈R, entonces para todoτ∈Gyx∈B, τ(X

σ∈G

aσσ(x)) =

X

σ∈G aσσ(x)

X

σ∈G

τ(aσ)τ σ(x) =X σ∈G

aσσ(x)

X

σ∈G

τ(aσ)τ σ(x) =X σ∈G

aτ στ σ(x).

En particular,τ(aσ) =aτ σ, para todoτ, σ∈G. Ahora, siσ= 1G, tenemos que τ(a1G) =aτ para todoτ ∈G. Luego,

w= X σ∈G

aσuσ=

X

σ∈G

σ(a1G)uσ= (

X

σ∈G

Por lo tanto,f =j(w) =j(d·a1G)∈j(d·B), esto es,HomR(B, R)⊆j(d·B). Por otro lado, es claro que las aplicaciones f : B ⊗B −→ B ⊗d·B y g : ∆(B :G)−→ ∇(B :G) definidas por x⊗y 7→x⊗dy yP

σ∈Gxσ(y)uσ 7→

P

σ∈Gxσ(y)vσ respectivamente son isomorfismos de R-m´odulos. Realizando la composici´on de isomorfismos

h0=g◦j−1◦φ◦(1G⊗j)◦f,

donde φ es el isomorfismo inducido del Teorema 1.6, notamos queh0 = h es un isomorfismo deR-m´odulos y al mismo tiempo de B-´algebras ya que por como mencionamos anteriormentehes un homomorfismo deB-´algebras.

(ii)⇒(iii) Sabemos quev1G∈ ∇(B:G), por hip´otesis existe unP n i=1xi⊗ yi∈B⊗B tal que

h( n

X

i=1

xi⊗yi) =v1G n

X

i=1 X

σ∈G

xiσ(yi)vσ =v1G

X

σ∈G (

n

X

i=1

xiσ(yi))vσ =v1G.

Esto es, (Pn

i=1xi1G(yi))v1G = 1Bν1G y para σ6= 1G, (P n

i=1xiσ(yi))vσ= 0vσ. Por lo tanto,Pn

i=1xiσ(yi)) =δ1B,σ, para todoσ∈G.

(iii)⇒(iv) Razonemos por contradicci´on. Supongamos que existe unσ6= 1G en G y un ideal maximal M de B tal que para todo a ∈ B se tiene que a−σ(a)∈M. Luego para 1≤i≤nse cumple que,

yi−σ(yi)∈M ⇔xi(yi−σ(yi))∈M ⇔ n

X

i=1

xi(yi−σ(yi))∈M

⇔ n X i=1 xiyi− n X i=1

xiσ(yi)∈M ⇔ n

X

i=1

xiyi−0∈M ⇔1B∈M.

As´ı, si 1B∈M entoncesM =B lo cual es una contradicci´on.

(iv)⇒(iii) Seaσ6= 1GenGeIel ideal generado por{a−σ(a)|a∈B}. Por hip´otesis tenemos que para cada ideal maximalM deB existe alg´un elemento a∈B tal que a−σ(a)∈/ M, entonces I=B de donde 1B ∈I. Luego, deben existir elementosx1, ..., xn, y1, ..., yn ∈B tales que

n

X

i=1

xi(yi−σ(yi)) = 1B, n

X

i=1

xiyi = 1B+ n

X

i=1

Ahora, seanxn+1=−P n

i=1xiσ(yi) yyn+1= 1B. Entonces, n+1 X i=1 xiyi= n X i=1

xiyi+xn+1yn+1= 1B+ n X i=1 xiσ(yi)− n X i=1

xiσ(yi) = 1B.

Tambi´en, tenemos que n+1 X i=1 xiσ(yi) = n X i=1

xiσ(yi) +xn+1σ(yn+1) = n X i=1 xiσ(yi)− n X i=1 xiσ(yi)σ(1B) = 0.

Por lo tanto, Pn+1

i=1 xiσ(yi) =δ1B,σ.

(iii)⇒(v)_X B es unaR-´algebra separable.

Seanx1, ..., xn, y1, ..., yn los elementos deB tales queP n

i=1xiσ(yi) =δ1B,σ, trB/R la aplicaci´on traza y µ : B ⊗B → B la aplicaci´on inducida por la multiplicaci´on de B. Definamos e = Pn

i=1xi ⊗yi ∈ B ⊗B, notemos que µ(e) =Pn

i=1xiyi= 1B. Por otra parte, para todoa∈B vemos que (a⊗1B)e= (a⊗1B)(

n

X

i=1

xi⊗yi)

= n

X

i=1

axi⊗yi

= n

X

i=1 (X

σ∈G

σ(axi)δ1B,σ)⊗yi

= n

X

i=1 (X

σ∈G σ(axi)

n

X

j=1

xjσ(yj))⊗yi

= n X i=1 n X j=1 xj(X

σ∈G

σ(axiyj))⊗yi

= n X i=1 n X j=1

xjtrB/R(axiyj)⊗yi

= n X j=1 xj⊗ n X i=1 trB/R(axiyj)yi = n X j=1 xj⊗

n

X

i=1 (X

σ∈G

σ(axiyj))yi

= n

X

j=1 xj⊗

X

σ∈G (

n

X

i=1

= n

X

j=1 xj⊗

X

σ∈G σ(

n

X

i=1

xiσ−1(yi))σ(ayj)

= n

X

j=1

xj⊗X σ∈G

σ(δ1B,σ−1)σ(ayj)

= n

X

j=1

xj⊗X σ∈G

δ1B,σσ(ayj)

= n

X

j=1

xj⊗ayi

= (1B⊗a)( n

X

j=1

xj⊗yj)

= (1B⊗a)e.

As´ı, aplicando el Teorema 1.8,B es separable sobre R. X Los elementos deGson a pares fuertemente distintos.

Seanσ, τ ∈G,e∈Bun idempotente distinto de cero yx1, ..., xn, yi, ..., ynlos elementos deBtales queP

σ∈Gxiσ(yi) =δ1B,σ. Razonemos por contradicci´on: Supongamos queσ(x)e=τ(x)epara todox∈B. As´ı,

σ(x)e=τ(x)e

xσ−1(e) =σ−1τ(x)σ−1(e),

para todox∈B, en particular para x=yi con 1≤i≤n, luego yiσ−1(e) =σ−1τ(yi)σ−1(e)

n

X

i=1

xiyiσ−1(e) = n

X

i=1

xiσ−1τ(yi)σ−1(e).

Notemos que siσ6=τ, entoncesσ−1_{τ6= 1}

G. Luego, n

X

i=1

xiyiσ−1(e) = 0σ−1(e) = 0.

Comoees distinto de cero, vemos queσ−1_{(e)6= 0 y necesariamente}Pn

i=1xiyi= 0 lo cual es una contradicci´on. Por ello, σ = τ y tambi´en contradice nuestra suposici´on inicial.

se tiene quefσ(x+y) =fσ(x) +fσ(y),∀x, y∈B⊗B. Adem´as, fσ(a(a1⊗b1)) =fσ(aa1⊗b1)

=aa1σ(b1) =a(a1σ(b1))

=afσ(a1σ(b1)), ∀a∈B.

fσ((a1⊗b1)·(a2⊗b2)) =fσ((a1a2)⊗(b1b2)) = (a1a2)σ(b1b2) =a1a2σ(b1)σ(b2) =a1σ(b1)·a2σ(b2)

=fσ(a1⊗b1)·f σ(a2⊗b2).

Adem´as, por hip´otesis tenemos que σi yσj con i6=j son fuertemente dis-tintos, es decir, existe un x∈B tal que si e es un idempotente de B distinto de cero, se tiene queσi(x)e6=σj(x)e. As´ı, tomando el elementoa⊗x∈B⊗B tenemos que

fσ_i(a⊗x)e=aσi(x)e=6 aσj(x)e=fσ_j(a⊗x)e. Por ello, los elementosfσi son fuertemente distintos.

Luego, para cada homomorfismo deB-´algebrasfσ, conσ∈G, por el Lema 1.19, existe un idempotenteeenB⊗Btal quefσ(e) =δ1B,σ. Ahora, si definimos e=Pn

i=1xi⊗yi, vemos que n

X

i=1

xiσ(yi) =fσ( n

X

i=1

xi⊗yi) =fσ(e) =δ1B,σ.

As´ı, podemos notar que x1, ..., xn, y1, ..., yn son los elementos deB que se bus-caban.

(iii)⇒(i)_XB es unR-m´odulo proyectivo finitamente generado.

Seanf1, ..., fn las funciones sobreBdefinidas porfi(a) =trB/R(ayi), por la Afirmaci´on 1.18 tenemos que pertenecen aHomR(B, R). Adem´as,

n

X

i=1

fi(a)xi = n

X

i=1

trA/R(ayi)xi= n

X

i=1 X

σ∈G

σ(ayi)xi =

X

σ∈G σ(a)

n

X

i=1 xiσ(yi)

=X σ∈G

σ(a)δ1B,σ n

X

i=1

fi(a)xi=a. (1.3)

Luego, por el Teorema 1.2 tenemos que B es un R-m´odulo proyectivo, el cual tambi´en es finitamente generado porque los elementosxi yfique generan cada elementoadeB son finitos.

Sean h∈HomR(B, B), d=Pσ∈G

Pn

i=1h(xi)σ(yi)uσ ∈∆(B :G). Enton-ces, para todox∈B tenemos

j(d)(x) =j(X σ∈G

n

X

i=1

h(xi)σ(yi)uσ)(x) =X σ∈G

n X i=1 h(xi)σ(yi)σ(x) = n X i=1 h(xi)X σ∈G

σ(yix) =h( n

X

i=1 xiX

σ∈G σ(yix))

=h(X σ∈G (

n

X

i=1

xiσ(yi))σ(x)) =h(

X

σ∈G

(δ1B,σ)σ(x)) =h(x),

esto es, j es sobreyectiva. Adem´as, si d = P

σ∈Gaσuσ ∈ ∆(B : G) tal que j(d) = 0. Entoncesj(d)(x) = 0 para todox∈B y por lo tanto

0 = n

X

i=1

j(d)(xi) =X τ∈G

n

X

i=1

j(d)(xi)τ(yi)uτ

=X τ∈G

n

X

i=1 j(X

σ∈G

aσuσ)(xi)τ(yi)uτ =X τ∈G

n

X

i=1 X

σ∈G

aσσ(xi)τ(yi)uτ

=X τ∈G

X

σ∈G aσσ(

n

X

i=1

xiσ−1τ(yi))uτ =

X

σ∈G aσ

X

τ∈G

(δ1B,σ−1τ)uτ =X

σ∈G

aσu1Gσ=d.

Con lo cual j tambi´en es inyectiva. Por lo tanto, j es un isomorfismo de R-´

algebras.

Definici´on 1.21. SiG es un grupo finito de automorfismos de un anillo con-mutativoB yR=BG_{, entoncesB es llamadoextensi´on de GaloisdeR(con} Ggrupo de Galois) si cumple las condiciones del teorema anterior.

Observaci´on 1.22. Los elementos x1, ..., xn, y1, ..., yn de B que cumplen la

condici´on(iii) en el teorema anterior son llamadoscoordenadas de Galois.

Corolario 1.23. SeaB una extensi´on de Galois de Rcon grupo de Galois G.

(i) Existe un elementoc∈B tal quetrB/R(c) = 1B.

(ii) R es un sumando directo de B comoR-m´odulo.

(iii) SiT es unaR-´algebra conmutativa, con elemento identidad1B, yGact´ua

(i) Sabemos que trB/R ∈ HomR(B, R) ⊆ HomR(B, B), luego por (i) del Teorema 1.20 existe un d ∈ ∆(B : G) tal que j(d) = trB/R de donde d=P

σ∈Guσ.

En la demostraci´on (i)⇒(ii) del Teorema 1.20 vimos queHomR(B, R) = j(d·B). Entonces para todo f ∈HomR(B, R) existe un a∈ B tal que f =j(d·a) =j(P

σ∈Gσ(a)uσ) y por ello, para todox∈B, f(x) =j(X

σ∈G

σ(a)uσ)(x) =X σ∈G

σ(a)σ(x) =X σ∈G

σ(ax) =trB/R(ax)

As´ı, para todo f ∈ HomR(B, R), f = trB/R(a−) para alg´un a ∈ B. Por otro lado, por (i) del Teorema 1.20 B es un R-m´odulo proyectivo finitamente generado y aplicando el Teorema 1.2 existen x1, ..., xn en B y f1, ..., fn en HomR(B, R) tales que P

n

i=1fi(xi) = 1B. Para cada fi, 1≤i≤n, existena1, ..., an ∈B tales quefi =trB/R(a−i ) para 1≤i≤n. Luego,

1B = n

X

i=1

fi(xi) = n

X

i=1

trB/R(aixi) =trB/R( n

X

i=1

aixi) =trB/R(c).

dondec=Pn

i=1aixi∈B, es decir, trB/R(c) = 1B.

(ii) Por (i) del corolario, existe un c ∈ B tal que trB/R(c) = 1B. Recor-demos quetrB/R : B −→ R es un homomorfismo que esta definido por trB/R(a) =Pσ∈Gσ(a)∈R de donde podemos ver que la sucesi´on de R-m´odulosBtr−→B/RR−→0 es exacta. Veamos que dicha sucesi´on se escinde: Definamos el mapeoθ:R−→B porθ(r) =rc ∀r∈R. Sean r1, r2∈R vemos que,

θ(r1+r2) = (r1+r2)c=r1c+r2c=θ(r1) +θ(r2) θ(rr1) = (rr1)c=r(r1c) =rθ(r1).

Es decir, θ es un homorfismo de R-m´odulos. Adem´as, para todo r ∈R tenemos que

trB/R◦θ(r) =trB/R(θ(r)) =trB/R(rc) =rtrB/R(c) =r1B =r.

De dondetrB/R◦θ=idR. Luego, como la sucesi´on exactaB trB/R

−→ R−→0 se escinde, por el Teorema 1.2 es proyectivo y as´ıRes un sumando directo deB comoR-m´odulo.

quePn

i=1xiσ(yi) =δ1B,σ de donde 1B⊗x1, ...,1B⊗xn,1B⊗y1, ...,1B⊗yn son elementos de T⊗B. Adem´as,

n

X

i=1

(1B⊗xi)(1G⊗σ)(1B⊗yi) = n

X

i=1

(1B⊗xi)(1B⊗σ(yi))

= n

X

i=1

(1B⊗xiσ(yi))

= 1B⊗ n

X

i=1 xiσ(yi) = 1B⊗δ1B,σ =δ1B,σ,

esto es,T⊗B es una extensi´on de Galois de (T⊗B)G_{. Mostremos ahora} queT = (T⊗B)G _{para completar la demostraci´on.}

X T = (T⊗B)G.

Sea t∈T, tenemos que (1G⊗σ)(t⊗1B) =t⊗σ(1B) =t⊗1B para todo σ∈G. Luego, t∈T =T⊗R_j(T⊗B)G.

Seaw∈(T⊗B)G_{. Por (I) del corolario existe unc∈Btal quetr}

B/R(c) = 1B. EntoncesP

σ∈G(1G⊗σ)(1B⊗c) = 1B⊗1B. Ahora, seaw·1B⊗c=

Pm

i=1ti⊗ai∈T⊗B. Luego, w=w·1B⊗1B=w·X

σ∈G

(1G⊗σ)(1B⊗c)

=X σ∈G

(1G⊗σ)(w·1B⊗c) =X σ∈G

(1G⊗σ)( m

X

i=1

ti⊗ai)

= m

X

i=1

ti⊗X σ∈G

σ(ai) = m

X

i=1

ti⊗trB/R(ai)∈T⊗R=T.

Por ello, (T⊗A)G_⊆T.

Definici´on 1.24. Sea B una extensi´on de Galois de Rcon grupo de Galois G

y A ⊆B un subanillo. Decimos que A es G-fuerte si para todo σ, τ ∈ G se tiene queσ|A, τ|A:A→B son fuertemente distintos.

Definici´on 1.25. Sea B una extensi´on de Galois deRcon grupo de GaloisG. SeaH un subgrupo deGy A unaR-sub´algebra deB. Definimos

BH _{={x∈ B | σ(x) = x,∀σ ∈H}, el subanillo de invariantes de B} bajo H.

HB={σ∈G|σ(x) =x,∀x∈B}, elsubgrupo fijo por B.

(i) Sea H un subgrupo de G y T =BH_{. Entonces, B es una extensi´on de}

Galois de T con grupo de Galois H, T es una R-´algebra separable y G -fuerte, yH =HT.

(ii) SeaT una R-sub´algebra separable yG-fuerte deB y H=HT. Entonces, T =BH_.

(iii) Para cada σ∈Gy para cada R-sub´algebra separable y G-fuerteT deB,

Hσ(T)=σHTσ−1. En consecuencia un subgrupoH deG es normal si y

solo siσ(BH_{) =B}H_{, para todoσ∈Gy en este casoB}H _{es una extensi´on}

galoisiana deR con grupo de GaloisG/H.

Demostraci´on.

(i) _XB es una extensi´on de Galois de T con grupo de GaloisH.

Por hip´otesis existen los elementos x1, ..., xn, y1, ..., yn en B tales que

Pn

i=1xiσ(yi) = δ1B,σ para todo σ ∈ G. Como H ⊆ G, entonces tene-mos quePn

i=1xiσ(yi) =δ1B,σ, para todoσ∈H. XT es unaR-´algebra separable.

ComoBes una extensi´on de Galois deT, por (i) del Teorema 1.20 tenemos que B es un T-m´odulo proyectivo y as´ı, B ⊗B es un T ⊗T-m´odulo proyectivo. Por otro lado, por (v) del mismo teoremaB es unaR-´algebra separable y por lo tanto unB⊗B-m´odulo proyectivo por el Teorema 1.8. Por lo anterior, podemos ver queBes unT⊗T-m´odulo proyectivo. Como B es una extensi´on de Galois de T entonces por (ii) del Corolario 1.23, T es un sumando directo de B como T-m´odulo y en consecuencia T es un sumando directo de B como T ⊗T-m´odulo. Por lo tanto, T es un T⊗T-m´odulo proyectivo y de nuevo por el Teorema 1.8 tenemos queT es unaR-´algebra separable.

XH =HT.

Como T =BH_{, entonces H ⊆HT y as´ıB}HT _=BH _{=T. Al igual que} mostramos queB es una extensi´on de Galois de T con grupo de Galois H, analogamente B es una extensi´on de Galois deT con grupo de Galois HT. Luego, por (ii) del Teorema 1.20, |HT| =dimBB⊗T B =|H|. Al tener el mismo orden obtenemos queH =HT.

XT esG-fuerte como sub´algebra de B.

Como B es una extensi´on de Galois de T con grupo de Galois H, por (i) del Corolario 1.23 existe un c ∈ B tal que P

τ∈Hτ(c) = 1B. To-memos las coordenadas de Galois de B x1, ..., xn, y1, ..., yn y definamos x0

i =

P

τ∈Hτ(xic) y y0i =

P

P

ρτ∈Hρτ(xic) =x0i, analogo parayi0. Ahora, n

X

i=1

x0_iσ(y_i0) = n

X

i=1 (X

τ∈H

τ(xic))σ(X ρ∈H

ρ(yi))

= X τ∈H

X

ρ∈H τ(c) n X i=1 τ(xi)σρ(yi) = X τ∈H

X

ρ∈H τ(c)τ(

n

X

i=1

xiτ−1σρ(yi)) = X

τ∈H

X

ρ∈H

τ(c)δ1B,τ−1σρ.

Notemos que siσ∈H (esto es,τ−1_{σρ= 1G de dondeσ=τ ρ}−1_{), tenemos} que δ1B,τ−1_σρ = 1B y as´ıP

n

i=1x0iσ(yi0) =

P

τ∈Hτ(c) = 1B. Por otro lado, si σ /∈H (esto es,τ−1σρ6= 1G), entoncesδ1B,τ−1_σρ = 0 y por ello,

Pn

i=1x0iσ(yi0) = 0.

Seanσyτ elementos deGtales que sus restricciones no coinciden, enton-ces τ σ−1_{∈/H. Ahora, supongamos quee∈B es un idempotente distinto} de cero tal que σ(a)e=τ(a)e, de donde ae=σ−1_{τ(a)epara todoa∈B.} As´ı,

e= ( n

X

i=1

x0_iy_i0)e= n

X

i=1

x0_i(y0_ie) = n

X

i=1

x0_iσ−1τ(y0_i)e= 0e= 0.

Lo cual es una contradicci´on, por lo tanto,T esG-fuerte. (ii) Debemos probar queT =BH

X T ⊆BH_.

Notemos queT ⊆BHT _{y comoH=HT entoncesT ⊆B}H_. X BH⊆T.

Por (iii) del Corolario 1.23 tenemos queB⊗B es una extensi´on de Galois deB=B⊗Rcon grupo de GaloisGactuando sobreB⊗Bv´ıa la acci´on

σ(a⊗a0) =a⊗σ(a0),

para todo a, a0 ∈ B y σ ∈ G. Definamos una acci´on de G sobre la B-´

Adem´as,B⊗BH _⊆(B⊗B)H_{. En efecto, six∈B⊗B}H_{, tenemos que} x=a⊗a0 dondea, a0∈Byσ(a0) =a0 ∀σ∈H. Luego, para todoσ∈H vemos que

σ(x) =σ(a⊗a0) =a⊗σ(a0) =a⊗a0=x. Por ello, tenemos que

h(B⊗T)⊆h((B⊗B)H) = (h(B⊗B))H=∇(B :G)H.

Es decir, h(B⊗T) ⊆ ∇(B : G)H. Veamos a continuaci´on que ∇(B : G)H ⊆ h(B⊗T): Sean σ1, ..., σr ∈ G representantes de las respectivas clases laterales distintas deH enG, esto es,

G=∪r

i=1σiH. (1.4)

Para cada 1 ≤ i ≤ r y sea fi : ∇(B : G) −→ B el homomorfismo de B-´algebras definido porfi(P

σ∈Gaσuσ) =aσi y adem´as, consideremos la restricci´on defi a h(B⊗T).

Notemos que los homomorfismosf1, ..., frson a pares fuertemente distin-tos: sii6=j entonces la elecci´on de los σk, con 1≤k≤r, nos garantiza queσi|T 6=σj|T. Luego, comoTesG-fuerte por hip´otesis, para cada idem-potente distinto de cero e ∈ B existe un t ∈ T tal que σi(t)e 6= σj(t)e. As´ı, veamos que

fi(h(1B⊗t))e=fi(

X

σ∈G

σ(t)vσ)e

=σi(t)e

6

=σj(t)e =fj(h(1⊗t))e.

Por otra parte, como T es una R-´algebra separable entonces tiene un idempotente de separabilidad eT ∈ T ⊗T de T sobre R. Notemos que 1B⊗eT es el elemento de separabilidad deB⊗T sobre B ya que (B⊗ T)⊗B(B⊗T) =B⊗(T⊗T). Por ello,B⊗T es unaB-´algebra separable. Como hes un isomorfismo de B-´algebras, h(B⊗T) tambi´en es una B-´

algebra separable.

Luego, por el Lema 1.19 tenemos que existen idempotentes w1, ..., wr ∈ h(B⊗T) tales quefi(x)wi=xwi para todox∈h(B⊗T) yfi(wj) =δij para 1 ≤ i, j ≤ r. Cada wi ∈ ∇(B : G)H, con 1 ≤ i ≤ r, ya que h(B⊗T)⊆ ∇(B:G)H_.

Veamos a continuaci´on que hecho el conjunto{w1, ..., wr} es una base de ∇(B : G) y as´ı demostraremos que ∇(B : G) ⊆ h(B ⊗T) y con ello h(B ⊗T) = ∇(B : G): Sea z = P

τ(z) =z, para todoτ∈H y de esto tenemos que τ(X

σ∈G

aσvσ) =X σ∈G

aσvσ, con lo cual,

X

σ∈G

aσvστ−1=

X

σ∈G

aσvσ ´o X σ∈G

aστvσ= X σ∈G

aσvσ.

As´ı, tenemos que aσ=aστ para todoσ∈Gyτ∈H. En particular para σi deGconi= 1, ..., r, es decir,

aσ_iτ =aσi. (1.5)

Para todoτ∈H. Luego, para todoz∈ ∇(B:G)H _{por 1.4 y 1.5 tenemos} que,

z= X σ∈G

aσvσ= r

X

i=1 X

τ∈H

aσiτ−1vσiτ−1 = r

X

i=1 X

τ∈H

aσ_ivσiτ−1

= r

X

i=1

aσ_i(X τ∈H

τ(vσ_i)).

Sea wi =P

σ∈Gbσivσi ∈ ∇(B:G), notemos que fj(wi) =δji fj(

X

σ∈G

bσivσi) =δji

bσ_ij =δji,

y comowitamb´ıen pertenece a∇(B:G)Htenemos quewi =Pτ∈Hτ(vσi). Luego, z=Pr

i=1aσiwi y por lo tanto,h(B⊗T) =∇(B:G) H_. Como h(B⊗T) =∇(B:G)H, podemos ver que

B⊗BH⊆(B⊗B)H =h−1(∇(B:G)H) =B⊗T

y aplicando trB/R⊗1G a la inclus´ı´on B ⊗BH ⊆ B ⊗T tenemos que trB/R(B)⊗BH ⊆trB/R(B)⊗T. Por (i) del Corolario 1.23 tenemos que trB/R(B) =Ry, por ello,BH =R⊗BH⊆R⊗T=T.

(iii) _X Hσ(T)=σHTσ−1

⊇) Siτ ∈σHTσ−1, entonces existe unρ∈HT tal queτ =σρσ−1. Luego, notemos queτ σ(T) =σρσ−1σ(T) =σρ(T) =σ(T) Asi,τ ∈Hσ(T). ⊆) Siτ ∈Hσ(T), entonces τ σ(T) =σ(T) de dondeσ−1τ σ(T) =T. Pode-mos ver queσ−1_{τ σ∈HT. Ahora, notemos que}

X Un subgrupoH de Ges normal si y s´olo si σ(BH_{) = B}H_{, para todo} σ∈G.

Por (ii) tenemos que BH =T, as´ıHσ(BH₎=σH_BHσ−1 o lo que es igual aHσ(BH)σ=σHBH

→) SiH es subgrupo normal de G, entonces σH =Hσ para todoσ∈G. Luego, por hip´otesis tenemos que Hσ(BH₎σ = Hσ, entonces H_σ(BH₎ = HBH de dondeσ(BH) =BH para todoσ∈G.

←) Siσ(BH_{) =B}H _{para todoσenG, entonces H}

BHσ=σHBH, esto es, H es subgrupo normal.

XBH es una extensi´on de Galois de Rcon grupo de GaloisG/H. SeaH un subgrupo normal deGyT =BH. Por lo anterior sabemos que σ(T) = T para todo σ ∈ G. Sea G/H = {σi = σiH | 1 ≤ i ≤ r}, definamos σi : T −→ T por σi(x) = σi(x), para todo x ∈ T, con 1 ≤ i ≤ r. Adem´as, TG/H = (BH)G/H = BH = R. Luego, los ele-mentos x0

1, x02, ..., x0n, y10, y20, ..., yn0 de T construidos en (i), son de hecho, las coordenadas de Galois deT sobreR.

Ejemplo 1.27. Todo anillo conmutativo R con unidad es una extensi´on de Galois de R conG={idR}.

Ejemplo 1.28. Sea R un anillo conmutativo, G = {1G, σ, σ2_{, σ}3_{} un grupo}

c´ıclico generado por σ y {e1, e2, e3, e4} un conjunto de idempotentes distintos

de cero tales que a pares son ortogonales y su suma es igual a la identidad del anillo B =Re1⊕Re2⊕Re3⊕Re4, donde los elementos de Gact´uan sobre el

anilloB de la siguiente manera: σi(ej) =ej−i(mod 4).

Notemos que G es un grupo finito de automorfismos de B. Adem´as, sea

x=r1e1+r2e2+r3e3+r4e4∈B. Si x∈BG entonces τ(x) =x ∀τ∈G • Siτ=σ, tenemos que

σ(r1e1+r2e2+r3e3+r4e4) =r1e1+r2e2+r3e3+r4e4 r1e4+r2e1+r3e2+r4e3=r1e1+r2e2+r3e3+r4e4

de donder1 =r2 =r3 =r4 =r∈R. As´ı,x=re1+re2+re3+re4 = r(P4

i=1ei) =r(1B) =r.

• Paraτ=σ2_{, σ}3 _{obtenemos el mismo resultado.}

Por ello, BG_=R.

Por otra parte, seanei=xi=yicon1≤i≤4. Veamos que losxi, yi, donde 1≤i≤4, son las coordenadas de Galois deBsobreR, es decir,P4

• Si τ= 1G entoncesP 4

i=1ei1G(ei) =P 4

i=1ei(ei) =P 4

i=1ei= 1B. • Si τ=σtenemos que P4

i=1eiσ(ei) = P4

i=1ei(ei−1) = 0. • Para τ=σ2_{, σ}3 _{el procedimiento es an´alogo al caso anterior.}

Cap´ıtulo 2

Preliminares para una

Teor´ıa de Galois Parcial

En este cap´ıtulo presentamos los preliminares necesarios para el desarrollo de una teor´ıa de Galois parcial. Adem´as, enunciamos y demostramos algunos re-sultados de extensi´on de Galois parcial.

2.1

Acciones globales, parciales y envolventes

En esta secci´on presentamos las nociones de acciones globales y parciales. Adem´as, se presenta un criterio que determina cu´ando una acci´on parcial es global o glo-balizable, lo cu´al se establece en t´erminos de la noci´on de envolvente.

Acciones Globales

Definici´on 2.1. Sean k un anillo con unidad y B una k-´algebra. Una acci´on de un grupo Gsobre unk-´algebra B es una funci´onG×B−→B definida por

(σ, x)7−→σ(x), tal que ∀x∈B y σ, τ ∈Gse tiene: (i) (1G, x) =x,

(ii) (στ, x) = (σ, τ(x)).

Ejemplo 2.2. El ejemplo mas sencillo es la representaci´on trivial: para cual-quierσ∈Gyx∈B,(σ, x) =x.

Ejemplo 2.3. El grupo Z = {0,1,2} act´ua sobre el plano complejo C de la

siguiente manera: (0, x) = x, (1, x) =wx y (2, x) = w2x, donde w es la ra´ız c´ubica de la unidad.

Ejemplo 2.4. Sea R un anillo conmutativo, G = {1G, σ, σ2, σ3} un grupo

c´ıclico generado por σ y {e1, e2, e3, e4} un conjunto de idempotentes distintos

de cero tales que a pares son ortogonales y su suma es igual a la identidad del

anilloB=Re1⊕Re2⊕Re3⊕Re4. β={βσ:B −→B:σ∈G} act´ua sobre el

anilloB de la siguiente manera: βi

σ(ej) =ej−i(mod 4).

Note que a partir de la Definici´on 2.1 se puede definir una funci´on

β:G→Autk(B) as´ı: σ7→βσ(x) := (σ, x),∀x∈B. Es f´acil ver que esta funci´on es un homomorfismo de grupos. De lo anterior obtenemos

Definici´on 2.5. Sean G un grupo, k un anillo con unidad y B una k-´algebra. Decimos que G act´ua (globalmente) en B si existe un homomorfismo de grupos

β :G→Autk(B) g7→βg.

DondeAutk(B)es el grupo dek-automorfismos de B.

Decimos queβ es unaacci´on globalsobre lak-´algebraB y se nota (B, β). Se puede obtener la Definici´on 2.1 a partir de la Definici´on 2.5, tomando la siguiente funci´on

G×B→B

(σ, x)7→σ(x) =βσ(x).

Es f´acil ver que esta funci´on satisface las dos condiciones de la Definici´on 2.1.

Acciones Parciales

Definici´on 2.6. Sea G un grupo y A una ´algebra unitaria sobre un anillo k. Unaacci´on parcialαdeGsobreAes una colecci´on de idealesAσdeA, donde

σ∈G, junto con isomorfismos ασ :Aσ−1 →Aσ tales que∀σ, τ ∈G:

(i) A1G=Ay α1G es el automorfismo identidad de A.

(ii) A(στ)−1 ⊇α_τ−1(Aτ∩A_σ−1).

(iii) ασ◦ατ(x) =αστ(x),∀x∈α−τ1(Aτ∩Aσ−1).

Observaci´on 2.7. Notemos que una acci´on parcialαdeGsobreA es, en par-ticular, una funci´onα:G−→I(A)dondeI(A) ={ασ:ασ son los isomorfimos descritos en la definici´on anterior conσ∈G}. Dadoσ∈G, denotaremosα(σ)

porασ.

Afirmaci´on 2.8. αστ es una extensi´on deασατ, es decir, ασατ⊆αστ.

Demostraci´on. Note que el dominio de αστ es D(αστ) = A(στ)−1. Por otra parte, por definici´on del dominio de una funci´on compuesta, tenemos que:

D(ασ◦ατ) ={x∈D(ατ)|ατ(x)∈D(ασ)} ={x∈Aτ−1 |α_τ(x)∈A_σ−1} ={x∈α−τ1(Aτ∩Aσ−1)}.

Afirmaci´on 2.9.

(i) ασ(Aσ−1∩A_τ) =A_σ∩A_στ,∀σ, τ ∈G,

(ii) α−σ1=ασ−1,∀σ∈G.

Demostraci´on. (i) Lo primero que haremos es probar la siguiente igualdad: α−τ1(Aτ∩Aσ−1) =A_τ−1∩A_τ−1_σ−1, ∀σ, τ ∈G

⊆) Por (ii) de la Definici´on 2.6 se tiene queα−τ1(Aτ∩Aσ−1)⊆A_τ−1_σ−1. Por otra parte, tenemos que α−τ1 : Aτ −→ Aτ−1 y que Aτ∩Aσ−1 ⊆ Aτ, entonces

α−τ1(Aτ∩Aσ−1)⊆α−_τ1(Aτ) =A_τ−1 As´ı,

α−_τ1(Aτ∩Aσ−1)⊆A_τ−1∩A_τ−1_σ−1.

⊇) Como la contenencia anterior es cierta para todoσ, τ ∈G, tomandoτ :=τ−1 yσ:=στ tenemos que

α−_τ−11(Aτ−1∩A_(στ)−1)⊆Aτ∩A_τ(στ)−1 α−_τ−11(Aτ−1∩A_τ−1_σ−1)⊆A_τ∩A_{τ τ}−1_σ−1 α−_τ−11(Aτ−1∩A_τ−1_σ−1)⊆Aτ∩A_σ−1 ατ−1α−1

τ−1(Aτ−1∩A_τ−1_σ−1)⊆α_τ−1(A_τ∩A_σ−1) ατ−1(Aτ∩A_σ−1)⊇A_τ−1∩A_τ−1_σ−1

α−_τ1(Aτ∩Aσ−1)⊇A_τ−1∩A_τ−1_σ−1.

Con lo anterior se tiene la igualdad planteada. Ahora, tomandoτ :=σ−1 _y σ:=τ−1 _{se tiene la igualdad de la afirmaci´on.}

(ii) En (iii) de la Definici´on 2.6 tenemos que para todo σ∈Gse cumple: ασ(ασ−1(x)) =α_σσ−1(x), ∀x∈α_σ−1(A_σ−1∩A_σ−1).

=α1G(x), ∀x∈Aσ∩Aσσ−1.

=x, ∀x∈Aσ∩A1G. =x, ∀x∈Aσ.

Por otro lado, tambi´en por (iii) de la definici´on anterior, tenemos que ασ−1(ασ(x)) =α_σ−1_σ(x), ∀x∈α_σ−(Aσ∩A_σ−1).

=α1(x), ∀x∈Aσ−1∩Aσ−1σ. =x, ∀x∈Aσ−1∩A1G. =x, ∀x∈Aσ−1.

Dada la afirmaci´on anterior, la definici´on de acci´on parcial se puede estable-cer as´ı:

Definici´on 2.10. Sea Gun grupo y A una ´algebra unitaria sobre un anillok. Una acci´on parcial α de G sobre A es una colecci´on de ideales Aσ de A , donde σ∈G, junto con isomorfismosασ:Aσ−1 →Aσ tales que∀σ, τ ∈G:

(i) A1G=Ay α1G es el automorfismo identidad de A. (ii) ασ(Aσ−1∩Aτ) =Aσ∩Aστ para todoσ, τ ∈G. (iii) ασ◦ατ(x) =αστ(x), para todox∈Aτ−1∩A_τ−1_σ−1.

En este documento asumiremos que Aσ =< 1σ > donde 1σ 6= 0, es decir, Aσ es unak-´algebra generada por su identidad. En base a esto, podemos llevar a cabo la siguiente afirmaci´on.

Afirmaci´on 2.11. Si los idealesAσ=h1σi,∀σ∈G, entoncesAσ∩Aτ = 1σ1τA,

∀σ, τ ∈G.

Demostraci´on. ⊆) Sea x∈ Aσ∩Aτ, entonces x∈ Aσ y x ∈Aτ. Si x ∈ Aτ, existe una∈A tal quex= 1τa. De donde 1σx= 1σ1τa, pero como x∈Aσ y 1σ es la identidad del ideal logramos quex= 1σ1τa. As´ı,Aσ∩Aτ⊆1σ1τA.

⊇) Seax∈1σ1τA, existe un a∈A tal quex= 1σ1τa. De donde podemos ver quex= 1σ(1τa) con 1τa∈ A, es decir, x∈Aσ. De igual modo podemos notar quex∈Aτ cuandox= 1τ(1σa). As´ı, se tiene que Aσ∩Aτ⊇1σ1τA. Por lo tanto, se tiene la igualdadAσ∩Aτ= 1σ1τA.

Ejemplo 2.12. SeaR un anillo conmutativo. SeaA=Re1⊕Re2⊕Re3, donde {e1, e2, e3} es un conjunto de idempotentes ortogonales distintos de cero cuya

suma es uno y sea G el grupo c´ıclico de orden 4 generado porσ. Definamos la acci´on parcial de G sobre A tomando los ideales{A1G, Aσ, Aσ2, A_σ3}de A como A1G=A, Aσ=Re1⊕Re2, Aσ2=Re1⊕Re3, Aσ3 =Re2⊕Re3.

Y los isomorfismos como

α1G =idA,

ασ:Aσ3 −→Aσ porασ(e2) =e1 yασ(e3) =e2, ασ2 :A_σ2 −→A_σ2 porα_σ2(e1) =e3 y ασ2(e3) =e1, ασ3 :Aσ−→A_σ3 por α_σ3(e1) =e2 y ασ3(e2) =e3.

Entonces α es una acci´on parcial de G sobre A. Para ver esto, debemos verificar que α cumple las tres condiciones de acci´on parcial de la Definici´on 2.10:

(i) A1G=Ay α1G=idA por como se definioα.

(ii) αρ(Aρ−1∩Aτ) =Aρ∩Aρτ, ∀ρ, τ ∈G.

Tomemos a ρ:=σ y τ :=σ2_{, entonces ρτ =σσ}2 _=σ3 _{de donde A} ρτ = Aσ3 yA_ρ−1 =A_σ3.

⊇) Seax∈Aσ∩Aσ3 entonces x=re₂ conr∈Ry

α−_σ1(x) =ασ−1(re2) =ασ(re2) =re3∈Aσ3∩A_σ2.

Asi,ασ(α−σ1(x)) =x∈ασ(Aσ3∩Aσ2). An´alogo para todoρ∈G.

(iii) αρ(ατ(x)) =αρτ(x) ∀x∈Aτ−1∩A_τ−1_ρ−1.

Sea ρ = σ y τ = σ2, entonces τ−1 = σ2, ρ−1 = σ3 y τ−1ρ−1 = σ. Si

x∈Aσ2∩A_σ tenemos quex=re₁ conr∈R. As´ı, ∀x∈A_σ2∩A_σ ασ(ασ2(x)) =ασ(ασ2(re1)) =ασ(re3) =re2,

ασσ2(x) =α_σ3(re₁) =re₂.

An´alogamente para todoρ∈G.

Ejemplo 2.13. Sea A =P4

i=1Rei, donde{ei :i≤1≤4} es un conjunto de

idempotentes ortogonales distintos de cero cuya suma es uno y sea G el grupo c´ıclico de orden 5 generado porσ. Los isomorfismos definidos sobre los ideales

{A, Aσ = Re2, Aσ2 = Re₄, A_σ3 =Re₃, A_σ4 = Re₁} son α_1G = id_A, α_σ(e₁) = e2, ασ2(e3) =e4, ασ3(e4) =e3 y ασ4(e2) =e1.

Entoncesαes una acci´on parcial deGsobre A.Veamos que cumple las con-diciones:

(i) A1G=A yα1G=idA por definici´on.

(ii) αρ(Aρ−1∩Aτ) =Aρ∩Aρτ ∀ρ, τ ∈G.

Tomemos a ρ=σ yτ =σ4_{, entoncesρτ =σσ}4_{= 1}

G de donde Aρτ =A

yAρ−1=A_σ4.

⊆) Si x∈Aσ4∩A_σ4 =A_σ4 entonces x=re1 con r∈R y ασ(x) =ασ(re1) =re2∈Aσ∩A=Aσ. ⊇) Si x∈Aσ∩A=Aσ entonces x=re2 conr∈R y

α−_σ1(x) =ασ−₁(re₂) =α_σ4(re₂) =re₁∈A_σ4.

Asi,ασ(α−1

σ (x)) =x∈ασ(Aσ4). An´alogo para todo ρ∈G.

(iii) αρ(ατ(x)) =αρτ(x) ∀x∈Aτ−1∩A_τ−1_ρ−1.

Sea ρ = σ y τ = σ3_{, entonces τ}−1 _{= σ}2_{, ρ}−1 _{= σ}4 _{y τ}−1_ρ−1 _{= σ. Si} x∈Aσ2∩Aσ tenemos quex= 0. As´ı,∀x∈A_σ2∩Aσ

ασ(ασ3(x)) =ασ(ασ3(0)) =α_σ(0) = 0, ασσ3(x) =ασ4(0) = 0.

Ejemplo 2.14. Sea S una extensi´on (global) de Galois sobre R con grupo de Galois G de orden 6 generado por σ. Sea A= P5

i=1Sei donde {ei : i ≤1 ≤ 5} es un conjunto de idempotentes ortogonales distintos de cero cuya suma es uno. Definamos la acci´onαdeGsobreA tomando los conjuntosAσi =Se6−i, A1G =A y los isomorfismos α1G =idA, ασi(sei) =σ

i_(s)e

6−i con 1≤i ≤5 y s∈S.

Entoncesαes una acci´on parcial de GsobreA.

(i) A1G=Ay α1G=idA por definici´on.

(ii) αρ(Aρ−1∩A_τ) =A_ρ∩A_ρτ ∀ρ, τ ∈G.

Tomemos aρ=σyτ=σ2_{, entoncesρτ =σσ}2_=σ3_{de dondeAρτ =A} σ3

y Aρ−1 =A_σ5.

⊆) Si x∈Aσ5∩A_σ2, donde A_σ5 =Se₆₋₅ =Se₁ y A_σ2 =Se₆₋₂ =Se₄

entonces x= 0y ασ(x) =ασ(0) = 0∈Aσ∩Aσ3.

⊇) Si x∈Aσ∩Aσ3 entonces x= 0 yα−_σ1(0) = 0∈A_σ5∩A_σ2.

Asi, ασ(α−σ1(0)) = 0∈ασ(Aσ5∩Aσ2). An´alogo para todo ρ6= 1G ∈Gy

cuando ρ= 1G el proceso es trivial.

(iii) αρ(ατ(x)) =αρτ(x) ∀x∈Aτ−1∩A_τ−1_ρ−1.

Sea ρ =σ y τ =σ3, entonces τ−1 = σ3, ρ−1 = σ5 y τ−1ρ−1 =σ2. Si

x∈Aσ3∩Aσ2 tenemos que x= 0. As´ı, para todox∈Aσ3∩Aσ2 ασ(ασ3(x)) =α_σ(α_σ3(0)) =α_σ(0) = 0,

ασσ3(x) =ασ4(0) = 0.

An´alogamente para todoρ6= 1G∈Gy cuandoρ= 1Gel proceso es trivial.

Acciones Envolventes

Las acciones parciales pueden ser obtenidas por medio de restricciones de acci-ones globales. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.15. Seaβ una acci´on global del grupoGsobre una k-´algebra B, es decir, β ={βσ:B −→B|σ∈G}. Adem´as, seaA un ideal de B tal que para

cualquier σ ∈ G se tenga que Aσ =A∩βσ(A). Definamos ασ : Aσ−1 → A_σ

como la restricci´on del automorfismo βσ a Aσ−1. Bajo estas condiciones, la

colecci´on de idealesAσy de isomorfismosασ cumplen las condiciones de acci´on parcial. Por lo tanto, α={ασ :Aσ−1 →Aσ :σ∈G} es una acci´on parcial de Gsobre lak-sub´algebraA.

Definici´on 2.16. Una acci´on β de un grupo G sobre unak-´algebra B es una

acci´on envolvente (o una globalizaci´on) de una acci´on parcialαsobre una

k-´algebra Asi existe un isomorfismo de anillos ϕde A sobre un ideal de B tal que para todo σ∈G, se cumplen las siguientes condiciones:

(i) ϕ(A) es un ideal deB.

(ii) ϕ(Aσ) =ϕ(A)∩βσ(ϕ(A)).

(iii) ϕ◦ασ(x) =βσ◦ϕ(x), ∀x∈Aσ−1. (iv) B es generado porS

σ∈Gβσ(ϕ(A)).

Observaciones 2.17. De la definici´on anterior podemos observar que:

(1) A∼=ϕ(A), por lo tanto podemos ver a A como un ideal deB. (2) Se supone que los ideales Aσ son distintos del ideal {0}.

(3) Si para cada σ ∈ G, se tiene que Aσ = A, entonces α coincide con la acci´on global del grupoGsobre A.

(4) De las condiciones de la definici´on anterior, podemos agregar las siguientes propiedades:

(v) B=P

σ∈Gβσ(A). (vi) Aσ=A∩βσ(A),∀σ∈G.

(vii) ασ(x) =βσ(x) =σ(x),∀σ∈G yx∈Aσ−1.

Es claro que las acciones parciales son restricciones de acciones globales. No obstante, no todas las acciones parciales son globalizables, la condici´on necesaria para esto se expresa en el siguiente teorema:

Teorema 2.18 ([5], Theorem 4.5). Sea A un ´algebra unitaria. Entonces, una acci´on parcial α de un grupo G sobre A admite una acci´on envolvente β si y s´olo si cada idealAσ deAes una ´algebra unitaria. Adem´as, siβ existe es ´unica salvo equivalencias.

Afirmaci´on 2.19. Sea A un ´algebra unitaria yαuna acci´on parcial de G sobre A globalizable, con globalizaci´on(B, β). Entonces,

(i) Si 1σ el idempotente central que genera aAσ, entonces1σ= 1Aβσ(1A). (ii) ασ(x1σ−1) =βσ(x)1A=σ(x)1A, ∀x∈A.

(iii) ασ(1τ1σ−1) = 1σ1στ, ∀σ, τ ∈G. Demostraci´on. (i) Note que 1σ∈B. Luego,

B1σ =A1σ =Aσ =A∩βσ(A) =B1A∩βσ(B1A) =B1A∩Bβσ(1A) = B1Aβσ(1A).

(ii) Seax∈A, entonces

ασ(x1σ−₁) =βσ(x1_σ−₁) =βσ(x1Aβ_σ−₁(1A)) =βσ(x)βσ(1A)βσ(β_σ−1(1A)). Luego, ασ(x1σ−₁) =βσ(x)1A=σ(x)1A.

(iii) Tomex= 1τ en (ii).

Ejemplo 2.20. Sea α la acci´on parcial del Ejemplo 2.12. Como cada Aτ es una ´algebra unitaria, por el Teorema 2.18 α admite una acci´on envolvente β. Veamos a continuaci´on que la acci´on envolvente de α es la acci´on global del Ejemplo 2.4

(i) A es un ideal deB.

Notemos queA6=∅, es subgrupo deB y si

x=r1e1+r2e2+r3e3+r4e4∈B ya=r01e1+r20e2+r03e3∈A entonces xa=r1r01e1+r2r20e2+r3r30e3=ax∈A

debido a que para 1≤i, j≤4,eiej=

 



ei si i=j 0 si i6=j

(ii) Aτ=A∩βτ(A)para todoτ ∈G.

Seaτ =σ, notemos que sia∈Aentoncesa=r1e1+r2e2+r3e3, adem´as βσ(a) = σ(a) = σ(r1e1 +r2e2 +r3e3) = r1e1−1+r2e2−1 +r3e3−1 = r1e4+r2e1+r3e2.

⊆) Sea x ∈ Aσ entonces x = r10e1+r02e2. Es claro que x ∈ A y si r1= 0, r2=r01y r3=r02tenemos quex∈σ(A). As´ı,x∈A∩βσ(A). ⊇) Six∈ A∩βσ(A), entonces el elemento es de la forma x=r1e1+

r2e2∈Aσ.

An´alogo para todo τ ∈G.

(iii) ατ(x) =βτ(x) para todox∈Aτ−1

Sea τ=σ. Si x∈Aρ−1 entonces x∈A_σ3 y x=re₂+r0e₃. Luego ασ(x) =ασ(re2+r0e3) =re1+r0e2

βσ(x) =σ(re2+r0e3) =re2−1+r0e3−1=re1+r0e2

de donde ασ(x) =βσ(x). An´alogamente para todoτ∈G. (iv) B es generado porS

τ∈Gβτ(A).

Notemos que P

τ∈Gβτ(A) = 1G(A) +βσ(A) +βσ2(A) +βσ3(A). Luego

si x∈P

τ∈Gβτ(A), entonces existe una =r1e1+r2e2+r3e3 ∈ A, con r1, r2, r3∈R, tal que

Al aplicar los isomorfismos al elementoaobtenemos

x= (r1+r2+r3)e1+ (r1+r2+r3)e2+ (r1+r2+r3)e3+ + (r1+r2+r3)e4

x=r0e1+r0e2+r0e3+r0e4, donder0=r1+r2+r3. As´ı,x∈B. Ejemplo 2.21. Sea αla acci´on parcial del Ejemplo 2.13. Por el mismo argu-mento del ejemplo anterior, αtiene una globalizaci´on β.

SeaB=A⊕P6

j=1⊕Rvj donde{vj |1≤j≤6}es un conjunto de idempotentes

ortogonales entre s´ı y con losei tales queP4

i=1ei+ P6

j=1vj = 1B. La acci´onσ

esta dada pore1→e2→v1→v2→v3→e1 ye3→v4→e4→v5→v6→e3.

Veamos queβ ={βτ:B −→B|τ ∈G} cumple las condiciones: (i) Aes un ideal deB.

Notemos queA6=∅, es subgrupo de B y si

x=r1e1+r2e2+r3e3+r4e4+r5v1+r6v2+r7v3+r8v4+r9v5+r10v6∈B

ya=r01e1+r20e2+r03e3+r04e4∈A, vemos que

xa=r1r01e1+r2r20e2+r3r30e3+r4r40e4=ax∈A.

Ya que para1≤i, j≤4,eiej =

 



ei si i=j 0 si i6=j

y1≤k≤6,eivk= 0.

(ii) Aτ=A∩βτ(A)para todo τ∈G.

Seaτ =σ, notemos que si a∈A entoncesa=r1e1+r2e2+r3e3+r4e4,

adem´as

βσ(a) =σ(a) =σ(r1e1+r2e2+r3e3+r4e4) =r1e2+r2v1+r3v4+r4v5 ⊆) Seax∈Aσ entonces x=re2. Es claro quex∈A y sir1=r, r2=

r3=r4= 0tenemos que x∈σ(A). As´ı, x∈A∩βσ(A). ⊇) Six∈A∩βσ(A), entonces es de la formax=re2∈Aσ.

An´alogo para todoτ ∈G.

(iii) ατ(x) =βτ(x)para todo x∈Aτ−1.

Seaτ =σ. Si x∈Aυ−1 entonces x∈A_σ4 y x=re₁. Luego, ασ(x) =ασ(re1) =re2,

βσ(x) =σ(re1) =re2.

(iv) B es generado porS

τ∈Gβτ(A).

Sea x∈P

τ∈Gβτ(A)entonces existe una∈A tal que x= 1G(a) +βσ(a) +βσ2(a) +β_σ3(a) +β_σ4(a)

dondea=r1e1+r2e2+r3e3+r4e4. Aplicando los isomorfismos obtenemos x=re1+re2+r0e3+r0e4+rv1+rv2+rv3+r0v4+r0v5+r0v6

donde r=r1+r2 y r0 =r3+r4. As´ı,x∈B.

2.2

Algunas propiedades de acciones parciales y

envolventes

En esta secci´on presentamos algunas propiedades hereditarias de las acciones α-parciales.

Proposici´on 2.22. Sean A and A0 anillos, G un grupo finito y α = {ασ : Aσ−1 → A_σ | σ ∈ G} y α0 ={α_σ0 : A0_σ−1 → A0σ | σ ∈ G} acciones parciales

unitarias de G sobre A y A0 respectivamente. Sean (B, β) y (B0, β0) acciones envolventes de(A, α)y (A0, α0)respectivamente. Entonces,

(i) α⊗α0={ασ⊗α0_σ0 :Aσ−1⊗A0_σ0−1→Aσ⊗A0σ0 |(σ, σ0)∈G×G} es una acci´on parcial unitaria deGsobre A⊗A0 (⊗=⊗R).

(ii) α⊕α0_={α

σ⊕α0σ0 :Aσ−1⊕A0_σ0−1→Aσ⊕A0σ0 |(σ, σ0)∈G×G} es una acci´on parcial unitaria deGsobre A⊕A0.

(iii) (B⊗B0, β⊗β0) es acci´on envolvente de(A⊗A0, α⊗α0). (iv) (B⊕B0, β⊕β0) es acci´on envolvente de(A⊕A0, α⊕α0).

Demostraci´on. Para probar (i) y (ii), podemos ver queAσ−1⊗A0_σ0−1 yAσ−1⊕ A0

σ0−1,(σ, σ0) ∈ G×G, son ideales (distintos de cero) de A⊗A0 y A⊕A0 respectivamente y que (Aσ ⊗A0σ0, ασ⊗α0σ0) y (Aσ ⊕A0σ0, ασ⊕α0σ0) definen

acciones parciales sobreA⊗A0 yA⊕A0 respectivamente.

Para probar (iii) y (iv) tenemos por hip´otesis que existen monomorfismos de anillos ϕ: A→ϕ(A)⊆B y ϕ0 : A0 → ϕ0(A0)⊆B0 tal que ϕ(A) y ϕ0(A0) son ideales deB yB0 respectivamente, y para todoσ, σ0∈G

(i0)

ϕ(Aσ) =ϕ(A)∩βσ(ϕ(A)) y ϕ0(A0_σ0) =ϕ0(A0)∩β0_σ0(ϕ0(A0)),

(ii0)

(ϕ◦ασ)|A_σ−1 = (βσ◦ϕ)|Aσ−1 y (ϕ

0_◦α0

σ0)|A0

σ0 −1

= (β0_σ0◦ϕ0)|A0

(iii0)

B=X σ∈G

βσ(ϕ(A)), B0 =

X

σ0_∈G

β_σ00(ϕ0(A0)).

Entonces, Para (iii),

ϕ⊗ϕ0:S⊗S0→B⊗AB0

es un monomorfismo de anillos tal queϕ⊗ϕ0(A⊗A0) es ideal deB⊗B0y para todo (σ, σ0)∈G×G

(i0)

ϕ⊗ϕ0(Aσ⊗A0_σ0) =ϕ(Aσ)⊗ϕ0(A0_σ0)

= (ϕ(A)∩βσ(ϕ(A)))⊗(ϕ0(A0)∩βσ00(ϕ0(A0)))

= (ϕ(A)βσ(ϕ(A)))⊗(ϕ0(A0)β_σ00(ϕ0(A0)))

= [ϕ(A)⊗ϕ0(A0)]∩[βσ(ϕ(A))⊗β0_σ0(ϕ0(A0))]

= [ϕ⊗ϕ0(A⊗A0)]∩[βσ⊗βσ00(ϕ⊗ϕ0(A⊗A0))],

(ii0) para todox⊗y∈Aσ−1⊗A0_σ0 −1,

[(ϕ⊗ϕ0)◦(ασ⊗ασ00)](x⊗y) = [(ϕ◦ασ)⊗(ϕ0◦α0σ0)](x⊗y)

= [(βσ◦ϕ)⊗(β_σ00◦ϕ0)](x⊗y)

= [(βσ⊗β_σ00)◦(ϕ⊗ϕ0)](x⊗y).

(iii0)

B⊗B0 = (X σ∈G

βσ(ϕ(A)))⊗(X σ∈G

β_σ00(ϕ0(A0)))

= X

(σ,σ0_)∈G×G

βσ(ϕ(A))⊗β_σ00(ϕ0(A0))

= X

(σ,σ0_)∈G×G

βσ⊗β_σ00(ϕ⊗ϕ0(A⊗A0)).

Por tanto, (B⊗B0, β⊗β0) es una acci´on envolvente de (A⊗A0, α⊗α0). Para (iv) notemos que

ϕ⊕ϕ0 :A⊕A0→B⊕B0

es un monomorfismo de anillos tal queϕ⊕ϕ0_(A⊕A0_{) es un ideal deB⊕B}0 _y

para todo (σ, σ0_)∈G×G

(i0)

(ii0) para todo (x, y)∈Aσ−1⊕A0 σ0 −1,

[(ϕ⊕ϕ0)◦(ασ⊕α0σ0)](x, y) = [(βσ⊕β0σ0)◦(ϕ⊕ϕ0)](x, y).

(iii0)

B⊕B0= X (σ,σ0_)∈G×G

βσ⊕β_σ00(ϕ⊕ϕ0(A⊗A0)).

Por tanto, (B⊕B0, β⊕β0) es una acci´on envolvente de (A⊕A0, α⊕α0).

2.3

Subanillo de Invariantes y la aplicaci´

on traza

Sea G = {σ1, σ2, ..., σn}, donde σ1 = 1G es el automorfismo identidad de G. Adem´as, sea (B, G) la acci´on envolvente de una acci´on parcialαdeGsobreA. Notamosβσ(x) =σ(x), ∀x∈B.

El subanillo de invariantes de A

El subanillo de elementos invariantes (o elementos fijos) de una ´algebraAbajo una acci´on parcialαesta definida como:

Aα={x∈A:ασ(x1σ−1) =x1_σ,∀σ∈G}.

Afirmaci´on 2.23. Sea Aα _{el subanillo de invariante de A bajo α. Entonces,} x∈Aα _{si y solo siασ(xa) =xασ(a), ∀a∈A}

σ−1,∀σ∈G. Demostraci´on. →) Seax∈Aα_{. Entonces,}

ασ(xa) =ασ(x1σ−1a) =α_σ(x1_σ−1)α_σ(a) = 1_σxα_σ(a).

←) Tomea= 1σ−1.

Observaci´on 2.24. Denotaremos los subanillos fijos de A y B porR=Aα _y R0 =BG _{respectivamente.}

Ejemplo 2.25. Sea αla acci´on parcial del Ejemplo 2.12. Sea x=r1e1+r2e2+r3e3∈A. Six∈Aαentonces

ατ(x1τ−1) =x1τ ∀τ∈G.

Luego, siτ=σ tenemos que1τ−1 =e2+e3,1τ =e1+e2 y que

ασ((r1e1+r2e2+r3e3)(e2+e3)) = (r1e1+r2e2+r3e3)(e1+e2) ασ(r2e2+r3e3) =r1e1+r2e2

r2e1+r3e2=r1e1+r2e2. (2.1)

Como el conjunto E={e1, e2, e3} puede ser visto como una base para el anillo A, entonces los elementos de ´este tienen una ´unica representaci´on por medio de

E. As´ı, si 2.1 se cumple, tenemos que r2 =r1 y r3 = r2, esto es, r1 =r2 = r3=r∈R. Luego,x=re1+re2+re3=r(e1+e2+e3) =r(1A) =r∈R. Por

Ejemplo 2.26. Sea αla acci´on parcial del Ejemplo 2.13. Seax=r1e1+r2e2+r3e3+r4e4∈A. Si x∈Aα entonces

ατ(x1τ−1) =x1τ ∀τ ∈G. • siτ=σ, tenemos que1τ−1=e₁,1_τ =e₂ y que

ασ((r1e1+r2e2+r3e3+r4e4)(e1)) = (r1e1+r2e2+r3e3+r4e4)(e2) ασ(r1e1) =r2e2

r1e2=r2e2.

De donder1=r2=r∈R. • Siτ=σ2_{, tenemos que1}

τ−1=e3,1τ =e4 y que

ασ2((re₁+re₂+r₃e₃+r₄e₄)(e₃)) = (re₁+re₂+r₃e₃+r₄e₄)(e₄) ασ2(r3e3) =r4e4

r3e4=r4e4.

As´ır3=r4=r0∈R.

• Siτ=σ3 es an´alogo al casoτ =σ2. • Siτ=σ4 es an´alogo al casoτ =σ.

Luego,x=re1+re2+r0e3+r0e4=r(e1+e2) +r0(e3+e4)conr, r0 ∈R. Por

lo tanto, Aα_=R(e

1+e2) +R(e3+e4). La aplicaci´onψ

Para todox∈B, se defineψ:B−→B as´ı: ψ(x) = X

1≤l≤n

X

i1<···<il

(−1)l+1σi_l(x)σi₁(1A)· · ·σi_l(1A).

Afirmaci´on 2.27. ψes un mapeoR0-lineal.

Demostraci´on. _X Seanx, y∈B, ψ(x+y) = X

1≤l≤n

X

i1<···<il

(−1)l+1σi_l(x+y)σi₁(1A)· · ·σi_l(1A)

= X

1≤l≤n

X

i1<···<il

(−1)l+1[σi_l(x) +σi_l(y)]σi₁(1A)· · ·σi_l(1A)

= X

1≤l≤n

X

i1<···<il

(−1)l+1σi_l(x)σi₁(1A)· · ·σi_l(1A)+

+ X

1≤l≤n

X

i1<···<il

XSea r0∈R0, tenemos que ψ(r0x) = X

1≤l≤n

X

i1<···<il

(−1)l+1σil(r 0_x)σ

i1(1A)· · ·σil(1A)

= X

1≤l≤n

X

i1<···<il

(−1)l+1r0σil(x)σi1(1A)· · ·σil(1A)

=r0[ X 1≤l≤n

X

i1<···<il

(−1)l+1σi_l(x)σi1(1A)· · ·σi_l(1A)] =r0ψ(x).

La aplicaci´on traza

A continuaci´on se define la funci´on traza y se enuncian algunas propiedades. Para todox∈A,

trA/R(x) =

X

σ∈G

ασ(x1σ−1). Esta definici´on es an´aloga a la versi´on global:

trB/R0(x) =

X

σ∈G

, σ(x) ∀x∈B.

Lema 2.28. SeanA, B, R yR0 como se definieron anteriormente. Entonces,

(i) trA/R :A−→R es una aplicaci´on R-lineal.

(ii) trA/R(x) =trB/R0(x)1_A, para cualquier x∈A. (iii) trB/R0(B) =tr_B/R0(A).

Demostraci´on. (i) Primero veamos quetrA/R(x)∈R,∀x∈A. Para esto, vea-mos quetrA/R(x) cumple la definici´on del anillo de invariantes R. Seanx∈A yτ∈G, tenemos que

ατ(trA/R(x)1τ−1) =ατ(

X

σ∈G

ασ(x1σ−1)1_τ−1)

=ατ(X σ∈G

σ(x)1A1τ−1)

=τ(X σ∈G

σ(x)1A)1A

= X σ∈G

τ σ(x)τ(1A)1A

= X σ∈G

ασ(x1σ−1)(τ(1_A)1_A)

Ahora,trA/R es una aplicaci´on R-lineal. En efecto, seanx, y∈Ay r1, r2∈R,

trA/R(r1x+r2y) = X

σ∈G

ασ((r1x+r2y)1σ−1)

= X σ∈G

(ασ(r1x1σ−1) +ασ(r2y1σ−1)) = X

σ∈G

ασ(r1x1σ−1) +

X

σ∈G

ασ(r2y1σ−1)

=r1 X

σ∈G

ασ(x1σ−1) +r2 X

σ∈G

ασ(y1σ−1)

=r1trA/R(x) +r2trA/R(y). (ii) Veamos quetrA/R(x) =trB/R(x)1A, para todox∈A.

trA/R(x) =

X

σ∈G

ασ(x1σ−1)

=X σ∈G

σ(x)1A

=trB/R(x)1A.

(iii)⊇) Es claro que trB/R0(B)⊇tr_B/R0(A) ya queB⊇A.

⊆) Sea y∈trB/R0(B), entonces existe x∈B tal quetrB/R0(x) =y. Ya que

B =P

σ∈Gσ(A), entoncesx=

P

σ∈Gσ(xσ) dondexσ∈A. Luego, y=trB/R0(x) =

X

τ∈G τ(x)

=X τ∈G

τ(X σ∈G

σ(xσ))

=X σ∈G

(X τ∈G

τ σ(xσ))

=X σ∈G

trB/R0(x_σ).

As´ı,y=trB/R0(x0) dondex0 =P_σ∈G(xσ)∈A. Por ello,y∈tr_B/R0(A), y como

el elemento y es arbitrario tenemos quetrB/R0(B)⊆tr_B/R0(A).

Corolario 2.29. Bajo las hip´otesis del Lema anterior, trB/R0 es sobreyectiva sobre R0 si y solo sitrA/R es sobreyectiva sobre R.

Demostraci´on. →) Por hip´otesis, existe unc ∈B tal quetrB/R0(c) = 1B. Por

(iii) del Lema 2.28, existed∈Atal quetrB/R0(c) =trB/R0(d). Por otro lado,

por (ii) del mismo lema tenemos que

Por lo tanto, trA/R(d) = 1A.

←) Asumamos que existe unc∈AdondetrA/R(c) = 1A. Por (ii) del Lema 2.28trB/R0(c)1A=trA/R(c) = 1A. Luego

1B =ψ(1A) =ψ(trB/R0(c)1A) =tr_B/R0(c)ψ(1A) =tr_B/R0(c)1B =tr_B/R0(c).

Por lo tanto,trB/R0(c) = 1B.

Proposici´on 2.30. Asumamos queR, R0, A, B, G y αson como se definieron anteriormente y, adem´as, trB/R0 es sobreyectivo. Entonces la restricci´on de la aplicaci´onψa R es un isomorfismo de anillos de R sobreR0, donde la aplicaci´on inversaφenv´ıa r0 ar01A, para cualquier r0∈R0.

Demostraci´on. Sabemos que ψ es un homomorfismo de anillos. Como trB/R0

es sobreyectivo, por el corolario anterior trA/R tambi´en lo es. As´ı existe un c∈Atal quetrA/R(c) =r, por Corolario 2.29. Adem´as, por (ii) del Lema 2.28, r=trA/R(c) =trB/R0(c)1A. Luego,

ψ(r) =ψ(trB/R0(c)1A) =tr_B/R0(c)ψ(1A) =tr_B/R0(c)1B=tr_B/R0(c).

As´ı, ψ(r) =trB/R0(c)∈ R0 y con ello, la aplicaci´onψ|_R :R −→R0. Notemos

que:

(φ◦ψ)(r) =φ(ψ(r)) =φ(r)1A=trB/R0(c)1A=tr_A/R(c) =r, ∀r∈R.

(ψ◦φ)(r0) =ψ(r01A) =r0ψ(1A) =r0,∀r0∈R0.

2.4

Extensi´

on parcial de Galois

En esta secci´on se da la definici´on de extensi´on parcial de Galois y se establece una condici´on necesaria y suficiente para que una extensi´on sea una extensi´on parcial de Galois en terminos de extensi´on global de Galois.

Asumamos queαes una acci´on parcial de un grupoGsobre unak-´algebra A. Definici´on 2.31. Decimos queA es unaextensi´on parcial de Galoisde R bajo la acci´on parcialα(a la cual para abreviar, llamaremos extensi´onα-parcial de Galois) si Aα=R y existen elementos xi, yi ∈A, con1≤i≤n, tales que

n

X

i=1

xiασ(yi1σ−₁) =δ_1A,σ∀σ∈G.

As´ı como se mencion´o en el caso global, bajo este contexto decimos que los elementosxi, yi soncoordenadas parciales de Galois deAsobre R.