CONCEPTO DE FUNCIÓN: DEFINICIÓN.
Dadas dos magnitudes, una función es una relación entre ambas, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.
A la primera magnitud se la llama variable independiente, y a la segunda (que depende de la primera), variable dependiente.
Si se representa por la letra “x” la variable independiente y por la letra “y” la variable dependiente, la relación funcional “y es función de x”, o “y depende de x”, se escribe así:
y=f(x)
El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente “x”.
El rango de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.
Ejemplo: El área de un cuadrado es igual a lado por lado: 2
l
A
. Ésta es una relación entre dosmagnitudes: área y lado. El área depende del lado, luego a esta se le llama variable dependiente y al lado variable independiente.
El dominio de esta función está formado por los números positivos, ya que la variable independiente es una longitud. El rango de dicha función está formado también por números positivos.
DETERMINACIÓN DE UNA FUNCIÓN.
- Mediante una gráfica.
- Mediante una tabla o conjunto de pares. - Mediante fórmulas o expresión analítica. - Mediante una descripción verbal.
• Mediante su representación gráfica:
Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:
- la x (variable independiente) sobre el eje horizontal (eje de abscisas). - la y (variable dependiente) sobre el eje vertical (eje de ordenadas).
Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa x y su ordenada y. Al representar los puntos (x,f(x)), la función se identifica con una línea que es la gráfica de la función.
Para realizar la gráfica de una función hay que elegir las escalas adecuadas en cada eje; o lo que es lo mismo, utilizar las unidades más idóneas. Los ejes deben estar graduados en escalas, de modo que se puedan cuantificar los valores de las dos variables. En las gráficas conviene destacar aquellos valores para los cuáles se verifican hechos importantes.
• Mediante una tabla de valores:
Se presentan dos columnas: en la primera aparece la variable independiente (x) y en la segunda la variable dependiente (y).
Ejemplo: El área de un cuadrado, en función de su lado, es A=l2. Esta función puede venir dada mediante la siguiente tabla de valores:
Lado, x (cm) área, y (cm2
)
0 0
0,5 0,25
1 1
1,5 2,25
2 4
2,5 6,25
3 9
3,5 12,25
• Mediante su expresión analítica o fórmula:
Ejemplo: El volumen de una esfera es función de su radio y viene dado por la expresión:
3
3
4
r
V
CUÁNDO UNA GRÁFICA NO CORRESPONDE A UNA FUNCIÓN
Cuando a cada valor de x le corresponde uno o ninguno de y, la gráfica corresponde a una función. Cuando hay valores de x a los que les corresponde más de un valor de y, la gráfica no corresponde a una función.
DOMINIO DE DEFINICIÓN
Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom(f), al conjunto de valores de x para los cuales existe función, es decir, puede calcularse f(x).
El conjunto de valores de x para los cuales existe la función puede quedar restringido por alguno de los siguientes motivos:
- imposibilidad de realizar alguna operación:
- denominadores: los valores que hacen cero el denominador no están en el dominio.
- raíces cuadradas: los valores que hacen negativo el radicando no están en el dominio.
- contexto real del cual se ha extraído la función: por ejemplo, si se trata de la función que
nos da el área de un cuadrado en función de la longitud de su lado, el dominio serán solo los números positivos, pues la longitud del lado es una distancia y es positiva siempre.
- por voluntad de quien propone la función: cuando quien presenta la función la define en un
intervalo determinado.
Tendremos en cuenta las siguientes condiciones:
- Las funciones polinómicas están definidas para todo número real.
- Las funciones racionales, de la forma
)
(
)
(
)
(
x
Q
x
P
x
f
donde P(x) y Q(x) son polinomios, estándefinidas para todo valor de x, menos aquellos que hacen cero el denominador (la división por cero no tiene sentido). Por tanto, los valores que hay que excluir son las soluciones de la ecuación Q(x)=0.
- La función raíz cuadrada,
f
(
x
)
P
(
x
)
, no tiene sentido cuando el radicando es negativo. Por tanto, habrá que excluir todos los valores de x tales que P(x) < 0.Ejemplos: Indica y razona cuál es el dominio de las funciones:
1)
f
(
x
)
x
2
3
2)4
2
)
(
x
x
f
3)f
(
x
)
x
2
1
3)5
3
)
(
x
x
x
f
RECORRIDO O IMAGEN
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
Los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:
• Con el eje X: se hace y=0 y se despeja la ‘x’, pudiendo haber cero, uno o varios puntos de corte.
• Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=c el punto es (0,c).
SIMETRÍAS
Una función es simétrica respecto del eje OY cuando f(-x) = f(x), para todo x de su dominio. En este caso decimos que f es una función par.
Una función es simétrica respecto del origen cuando f(-x) = -f(x), para todo x de su dominio. En este caso decimos que f es una función impar.
La gráfica de una función impar no varía si, con centro en el origen de coordenadas, la giramos 180º.
ASÍNTOTAS
Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara.
Las asíntotas son rectas hacia las cuáles tiende a “pegarse” la gráfica de la función. Pueden ser
verticales, horizontales y oblicuas.
• Una función tiende hacia un valor constante k cuando al aumentar o disminuir los valores de la variable independiente, los correspondientes valores de la variable dependiente se van aproximando al valor constante k.
Este comportamiento se expresa de las siguientes formas:
- Cuando x tiende a más infinito, y=f(x) tiende a k: x + f(x) k
- Cuando x tiende a menos infinito, y=f(x) tiende a k: x - f(x) k
Gráficamente, ambas situaciones se representan:
• En la tendencia de una función a mas o menos infinito cuando x tiende a un valor constante pueden darse los siguientes casos:
La recta x=a es una asíntota vertical.
• Una función tiende a mas o menos infinito cuando x tiende a mas o menos infinito cuando al hacerse muy grande, en valor absoluto, la variable independiente, también se hace muy grande, en valor absoluto, la variable dependiente.
Este comportamiento se expresa gráfica y simbólicamente de las siguientes formas:
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO; MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Una función f es creciente cuando el valor de f(x) aumenta al hacerlo x. En caso contrario es decreciente.
El punto que marca el paso del crecimiento al decrecimiento se llama máximo relativo, mientras que en un mínimo relativo se da el paso de decrecimiento a crecimiento.
Si f(a) es mayor que cualquier f(x), entonces el punto (a,f(a)) es el máximo absoluto de f. De manera análoga se define el mínimo absoluto.
PERIODICIDAD
FUNCIÓN LINEAL: LA RECTA.
Las funciones polinómicas de grado cero o uno tienen por gráfica una recta: y = mx + n. El coeficiente
“m,” se llama pendiente. Al número “n” se le denomina ordenada en el origen. La recta de ecuación
y=mx+n corta al eje Y en el punto (0,n).
Las rectas de tipo y = mx se llaman de proporcionalidad directa.
La pendiente(coeficiente de la ‘x’) es la variación (aumento o disminución) que experimenta la ‘y’ cuando la ‘x’ aumenta una unidad. Nos da la inclinación de la recta:
- Si m > 0, la recta, y la función, es creciente. - Si m < 0, la recta, y la función, es decreciente.
- Si m = 0, se trata de la función constante. El valor de la variable dependiente siempre es el mismo sea cuál sea el valor de la variable independiente. Su gráfica es una línea recta paralela al eje de abscisas, OX (recta horizontal, de pendiente nula).
Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta,
P
1
x
1,
y
1
yP
2
x
2,
y
2
, para hallar lapendiente hacemos:
1 2
1 2
x
x
y
y
m
, dondex
2
x
1 es la variación de la ‘x’ yy
2
y
1 es la variación de la ‘y’.Ejemplo: El alquiler de un coche cuesta 6 € de entrada más 3 € por cada hora. Una vez pagada la cantidad inicial (6 €), el coste añadido es proporcional al tiempo que tenemos el coche alquilado.
La ecuación de ésta gráfica es: y=6+3x
La pendiente, 3, es lo que aumenta el coste (3 €) cuando el tiempo aumenta una hora. La cantidad inicial (6 €) es el punto del eje Y del cual arranca la función.
Función de proporcionalidad y=mx (función lineal): Las funciones lineales o de proporcionalidad directa son funciones cuya gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).
ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA DE PUNTO-PENDIENTE
Si de una recta se conoce un punto (x0,y0) y la pendiente, m, su ecuación, llamada ecuación en la forma punto-pendiente, es:
0
0
m
x
x
y
y
FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA:
Las funciones cuya expresión es un polinomio de grado 2,
y
ax
2
bx
c
, con a 0, se llaman funciones cuadráticas. Las gráficas de estas funciones son parábolas con eje vertical.El vértice de una parábola se calcula encontrando su
coordenada ‘x’ mediante la expresión:
a
b
x
v2
, y sucoordenada ‘y’ sustituyendo el valor obtenido en la
ecuación de la parábola, es decir:
a
b
f
a
b
V
Eje de simetría de la parábola: es la recta de ecuación:
a
b
x
2
. Cumple que la gráfica es simétrica respecto a dicho eje (que es una recta vertical, es decir, paralela al eje Y).Los puntos de corte de la parábola con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:
- Con el eje X (eje de abscisas): son las raíces de la ecuación:
ax
2
bx
c
0
. Se hace y=0 yse despeja la ‘x’, pudiendo haber cero, uno o dos puntos de corte.
- Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=c el punto es (0,c).
Para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación
ax
2
bx
c
0
, que tendrá dos,una o ninguna solución, dependiendo del valor de discriminante (radicando)
b
2
4
ac
. Si tiene dossoluciones implica dos puntos de corte, una solución quiere decir que la parábola es tangente al eje OX y ninguna solución implica que la parábola no toca al eje: está entera por encima o por debajo del eje OX.
Orientación de la parábola: Si a > 0, la parábola presenta un mínimo en su vértice y las ramas de la parábola van hacia arriba, y, si a < 0, la parábola presenta un máximo en su vértice y las ramas de la parábola van hacia abajo.
FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES O MAYOR QUE TRES.
Una función polinómica de tercer grado, llamada también cúbica, tiene por fórmula:
d
cx
bx
ax
x
f
3
2
)
Las gráficas de las funciones cúbicas son de uno de los cuatro tipos siguientes:
• El dominio es la recta real.
• La función es continua en su dominio.
• Puntos de corte con los ejes:
- La gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 o 3 puntos (que son las raíces de la
ecuación
ax
3
bx
2
cx
d
0
).- La gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0,d).
Ejemplo: Dibuja la gráfica de las siguientes funciones polinómicas:
a) 3
)
(
x
x
f
El único punto de corte con los ejes es el (0,0). Sabemos que se trata de una función impar (simétrica respecto al origen de coordenadas) puesto que f(x)=-f(-x). Hacemos una tabla de valores:
x 0 1 -1 2 -2 F(x) 0 1 -1 8 -8
b)
f
(
x
)
x
3
x
Factorizando el polinomio obtenemos:
)
1
)(
1
(
3
x
x
x
x
x
, de donde resulta quef(x) tiene tres puntos de corte con el eje OX. Dando algunos valores obtendremos la gráfica:
x 0 1 -1 2 -2 1/2 -1/2 f(x) 0 0 0 6 -6 -3/8 3/8
c)
f
(
x
)
x
4
2
x
3
x
2
2
x
Descomponiendo en factores con ayuda de Ruffini obtenemos:
)
2
)(
1
)(
1
(
)
(
x
x
x
x
x
f
, con lo que seTRASLACIONES DE GRÁFICAS DE FUNCIONES
Traslaciones verticales:
Observando la imagen nos damos cuenta de:
- La gráfica de f(x) + 3 es una
traslación de la gráfica de f(x), tres unidades hacia arriba.
- La gráfica de f(x) - 4 es una
traslación de la gráfica de f(x), cuatro unidades hacia abajo.
Las gráficas de las funciones f(x) + K se obtienen ale trasladar verticalmente la gráfica de la función y = f(x), K unidades hacia arriba si K es positivo, y K unidades hacia abajo, si K es negativo.
Traslaciones horizontales:
Observando la imagen nos damos cuenta de:
- La gráfica de f(x+1) es una
traslación de la gráfica de f(x), una unidad hacia la izquierda.
- La gráfica de f(x-2) es una
traslación de la gráfica de f(x), dos unidades hacia la derecha.
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA:
Las funciones cuya ecuación es de la formax
k
y
se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Serepresentan mediante hipérbolas, cuyas asíntotas son los ejes coordenados.
• Su dominio de definición es:
,
0
0
,
. • Su recorrido es:
,
0
0
,
.• Es creciente en todo su dominio si k < 0 y decreciente si k > 0.
• No tiene extremos relativos.
• Es discontinua en x=0.
• No corta a los ejes de coordenadas.
• Asíntotas:
- Horizontales: y=0. - Verticales: x=0.
• Es simétrica respecto al origen de coordenadas.
FUNCIONES RACIONALES
Las funciones cuya ecuación es de la forma
)
(
)
(
)
(
x
Q
x
P
x
f
, con P y Q polinomios, se llaman funcionesracionales.
• Su dominio de definición son todos los números reales excepto los que anulan el denominador.
• Es discontinua en los puntos que no pertenecen al dominio.
• Asíntotas:
- Verticales: se encuentran en los puntos que anulan el denominador. - Horizontales: comparamos grados:
- si grado[P(x)] > grado[Q(x)] no hay asíntota horizontal. - si grado[P(x)] < grado[Q(x)] y=0 es asíntota horizontal.
- si grado[P(x)] = grado[Q(x)] y=k es asíntota horizontal, donde
b
a
k
, siendo ‘a’ y ‘b’los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y Q(x) respectivamente.
- Oblícuas: aparecen cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el del
denominador. Ejemplos:
Ejemplos:
a) El tiempo (t) que un corredor tarda en recorrer 10 km es inversamente proporcional a su velocidad (v), es decir:
v
t
10
, ¿cuál será su representación gráfica? Solución:Si v = 14 km/hr, tardaría t = 10/14 = 0,714 horas = 42 min 50 seg. Si v = 7 km/hr, tardaría t = 10/7 = 1,428 horas = 1 hr 25 min 41 seg.
b) Representa gráficamente la función:
)
1
)(
1
(
1
1
1
)
(
2
x
x
x
x
x
x
f
.La función no está definida para los valores x=1, x=-1, que hacen cero el denominador. Como para x=-1 el numerador no se hace cero, se tiene una asíntota vertical en x=-1. Como en x=1 tanto el numerador como el denominador se anulan, resulta que la función presenta un salto en x=1, pero no hay asíntota. La tabla de valores:
x -3 -2 0 1 2 3
FUNCIONES CON RADICALES
Son funciones en cuya expresión algebraica aparece la variable x bajo el signo radical:
f
(
x
)
ng
x
Para representarlas, primero se determina si n es par o impar, para calcular su dominio. A continuación, se construye una tabla de valores y se representa la función.
FUNCIÓN INVERSA
La función inversa de f es la función que obtenemos al intercambiar los valores de la variable independiente con los valores de la variable dependiente. La representamos por
f
1:Si f(x)=y, entonces
f
1(
y
)
x
.Como consecuencia de esta definición tenemos que:
f
f
1
(
x
)
x
.Dada una función f, para obtener la expresión analítica de la función inversa seguimos los pasos: a) En la expresión y=f(x) intercambiamos la x y la y.
b) Despejamos la y siempre que sea posible. c) Escribimos la función inversa.
Propiedades de la función inversa:
- se cumple:
f
f
1(
x
)
f
1
f
(
x
)
x
.- las gráficas de f y
f
1, referidas al mismo sistema de coordenadas, son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.Ejemplo: Dada la función
f
(
x
)
2
x
3
, determina su inversa y comprueba las propiedades que ambas verifican.Para hallar la función inversa, despejamos x e intercambiamos las variables:
2
3
2
3
2
3
3
2
1
x
x
f
x
y
y
x
x
y
Las propiedades:
f
x
f
x
x
x
f
3
2
3
2
2
3
)
(
1
f
x
f
x
x
x
f
2
3
3
2
3
2
)
(
11
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
La expresión general de la función exponencial es:
x x
a
y
a
x
f
(
)
, siendo a > 0, a 1. FUNCIONES EXPONENCIALESCON BASE MAYOR QUE 1
FUNCIONES EXPONENCIALES CON BASE MENOR QUE 1
PROPIEDADES
f
(
x
)
a
x,
a
1
f
(
x
)
a
x,
a
1
FORMA DE LA GRÁFICA
DOMINIO Dom f = R Dom f = R
RECORRIDO Im f =
R
Im f =R
CORTES CON LOS EJES
(0,1) (0,1)
MONOTONÍA Estrictamente creciente en todo
su dominio. Estrictamente decreciente en todo su dominio.
ACOTACIÓN Acotada inferiormente por 0. Acotada inferiormente por 0.
ASÍNTOTAS Asíntota horizontal: y = 0. Asíntota horizontal: y = 0.
CONTINUIDAD Continua en todo R. Continua en todo R.
Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto ocurre con la bacteria Salmonella typhimurium, causante de intoxicaciones alimentarias, que necesita una hora, aproximadamente, para dividirse en dos.
La tabla nos muestra el número de bacterias que van apareciendo con el paso del tiempo, en horas: Tiempo
(horas) x
Número de bacterias
y
0 1
1 2
2 4
La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es: x
x
f
(
)
2
Ejemplo: El elemento químico denominado radio tiene un periodo de semidesintegración de, aproximadamente, 1600 años. Esto quiere decir que cada 1600 años la cantidad radiactiva de radio se reduce a la mitad. Por tanto, si partimos de 1 gr de radio, al cabo de 1600 años o un periodo de semidesintegración habrá 1/2 gr de radio, al cabo de dos periodos (3200 años) habrá 1/4 y así sucesivamente. Hace 1600 años (menos un periodo de semidesintegración) había dos gramos de radio, hace dos periodos había 4 gramos, etc. La siguiente tabla nos da el número de períodos de semidesintegración en función de la cantidad de radio:
Tiempo (períodos de semidesintegración)
x
Cantidad (gramos)
y
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:
x
x
f
2
1
)
(
•
Crecimiento de una población.
La ley de crecimiento de una determinada población establece que el número de personas que viven en la misma, en función del tiempo en años, viene dada por la siguiente expresión: kt
e
a
t
f
(
)
·
, donde a es la población inicial en el tiempo t=0 y k es la tasa de crecimiento.Ejemplo:
Si en el año 1990 había 24000 habitantes en una población y se estima que éste número aumenta a razón de un 8 % anual, ¿qué población se prevé para el año 2005 si se mantiene el crecimiento en estos términos?
Solución:
Población inicial de 1990: a = 24000 habitantes Tasa de crecimiento: k = 8 % = 0,08
Tiempo: t = 2005 – 1990 = 15 años
Población prevista para el 2005:
f
(
15
)
24000
·
e
0,08·15
79683
habitantes.Ejemplo:
Una bola de nieve pesa inicialmente 300 g. Rueda por una montaña nevada incrementando su peso en un 40 % cada 100 m.
A) ¿Cuánto pesará la bola después de descender 400 m? ¿Y si ha descendido 1 km?
B) Encuentra la función que permite expresar el peso de la bola de nieve en función de la distancia recorrida por la misma.
Solución:
A) A los 100 m del inicio del recorrido la bola pesa:
300
·
1
,
4
g
100
40
1
·
300
300
·
100
40
300
A los 200 m la bola pesa:
·
300
·
1
,
4
300
·
1
,
4
·
1
0
,
4
300
·
1
,
4
2g
100
40
4
,
1
·
300
A los 400 m la bola pesa:
300
·
1
,
4
4
1152
,
48
g
A los 400 m la bola pesa:
300
·
1
,
4
10
8677
,
64
g
B) /100
4
,
1
·
300
xP
C) x x
x
x
1300
m
4
,
1
log
37
,
79
·log
100
37
,
79
log
4
,
1
log
100
37
,
79
4
4
,
1
·
300
23811
/100
/100
•
Interés compuesto e interés compuesto continuo.
Supongamos que el interés que produce un determinado capital se va acumulando al capital inicial para generar nuevos intereses. En estas condiciones: si se invierte un capital inicial, C, a un interés anual, r (en tanto por 1), abonado en n periodos anuales durante t años, entonces, el capital acumulado a su vencimiento, A, viene dado por la fórmula:
nt
n
r
C
A
·
1
Ejemplo:
Se depositan 1000 € en una cuenta bancaria a un interés anual del 5 %, acumulados trimestralmente y
durante un año. ¿Qué capital tendremos al finalizar el plazo? Solución:
Capital inicial: C = 1000 € Tasa de interés anual: r = 0,05 (tanto por uno). Periodos de interés por año: n = 4. Duración de la inversión: t = 1 año.
Capital acumulado:
1050
,
95
4
05
,
0
1
·
1000
1 · 4
A
€Si los intereses se acumulasen diariamente, entonces n = 365 y el capital acumulado sería 1051,27 €.
Mientras que si los intereses se acumulasen semestralmente, entonces n = 2 y el capital acumulado al finalizar el año sería 1050,63 €.
Cuando n crece indefinidamente (n ), es decir, los intereses se acumulan en cada instante y los
periodos se hacen cada vez más pequeños, entonces n/r se hace cada vez más pequeño
0
n
r
y el
capital acumulado se halla mediante la expresión:
rt
e
C
A
·
Ejemplo:
Se depositan 1000 € en una cuenta bancaria a un interés compuesto continuo anual del 5 %. ¿Cuál será
el capital acumulado después de un año?
Solución:
A
C
·
e
rt
1000
·
e
0,05·1
1051
,
27
€ Ejemplo:La inflación es la pérdida del valor adquisitivo del dinero, es decir, si un bolígrafo que costó el año pasado 1 euro, este año cuesta 1,1 euros, la inflación ha sido del 10 % anual.
Si la inflación se mantiene constante en un 10 % anual, la expresión de la función que da el coste de este bolígrafo al cabo de x años es: x
y
1
·
1
,
1
A) Dibuja la gráfica que muestra el coste del bolígrafo en el pasado y en el futuro. B) ¿Cuánto costará este bolígrafo dentro de 15 años? ¿Y hace 5 años?
Solución:
B)
15
1
,
1
15
4
,
1772
€
f
;
5
1
,
1
5
0
,
621
€
f
C) x
x
7
,
3
años
1
,
1
log
2
log
2
1
,
1
REPASO DE LOGARITMOS
El logaritmo de un número real positivo x en base a es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener x:
log
ax
y
significa quea
y
x
, siendo a > 0, a 1.Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se indican omitiendo la base, así: log N. El logaritmo neperianoes el logaritmo en base e (e=2,71…) y se escribe “Ln”.
Ejemplo: Halla los logaritmos siguientes:
•
y
log
28
8
2
2
3
2
y
3
y y
•
2
2
4
2
1
16
16
log
1/2
4
y
y
y y•
5
x
2
x
log
25
• ¿En qué base el logaritmo de 100 es 2?
10
10
100
100
log
2
a
a
2
a
2
2
a
Propiedades de los logaritmos:
I.
log
b
M
·
N
log
bM
log
bN
II.M
N
N
M
b b
b
log
log
log
III.
log
b
M
n
n
·log
bM
IV.
b
M
M
a a blog
log
log
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Se llama función logarítmica a la que tiene por ecuación
y
log
ax
, siendo a > 0, a 0.FUNCIONES LOGARÍTMICAS CON BASE MAYOR QUE 1
FUNCIONES LOGARÍTMICAS CON BASE COMPRENDIDA
ENTRE 0 Y 1
PROPIEDADES
f
(
x
)
log
ax
;
a
1
f
(
x
)
log
ax
;
0
a
1
FORMA DE LA GRÁFICA
DOMINIO Dom f =
R
Dom f =R
RECORRIDO Im f = R Im f = R
CORTES CON LOS EJES
(1,0) (1,0)
MONOTONÍA Estrictamente creciente en todo
su dominio. Estrictamente decreciente en todo su dominio.
ASÍNTOTAS Asíntota vertical: x = 0. Asíntota vertical: x = 0.
CONTINUIDAD Continua en
Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto ocurre con la bacteria Salmonella typhimurium, causante de intoxicaciones alimentarias, que necesita una hora, aproximadamente, para dividirse en dos. Vamos a estudiar ahora el tiempo transcurrido en función del número de bacterias.
La tabla nos muestra las horas que pasan en función del número de bacterias que tenemos:
Número de bacterias
x
Tiempo (horas)
y
1 0
2 1
4 2
8 3
Tenemos: y
x
2
. La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:x
y
log
2Ejemplo: El radio tiene un periodo de semidesintegración de, aproximadamente, 1600 años. Un físico de un prestigioso laboratorio depositó en una urna 1 gr de radio con el fin de que sirviera de reloj para la posteridad. La siguiente tabla nos da el número de períodos de semidesintegración en función de la cantidad de radio:
Cantidad de radio
(gr) x
Tiempo (período de semidesintegración)
y
8 -3
4 -2
2 -1
1 0
1/2 1
1/4 2
Tenemos:
y
x
2
1
. La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:
x
y
log
1/2 Las gráficas de la función exponencial y logarítmica con la misma base, es decir, x
a
y
yx
y
log
a son simétricas respecto a la recta y = x, bisectriz del primer y tercer cuadrante.Las funciones con esta interesante propiedad gráfica reciben el nombre de funciones inversas.
Para valores muy grandes de x, tanto x
a
comolog
ax
son números muy grandes, pero fácilmente seaprecia que x
a
supera en mucho alog
ax
, por eso hablamos de dos tipos de crecimiento:- crecimiento exponencial, o muy rápido. - crecimiento logarítmico o lento, atenuado. Lo comprobamos:
10
x
2
10
1024
;3
,
3219
2
log
10
log
10
log
2
50
x
2
50
1
,
1259
·
10
15;5
,
6439
2
log
50
log
50
log
2
100
x
2
100
1
,
2677
·
10
30;6
,
6439
2
log
100
log
100
log
2
Ejemplo:
Un empresario incrementa el precio de sus productos en un 5 % anual. Actualmente, uno de sus
productos vale 18 €. Encuentra la función que da el precio del producto en función de los años
transcurridos. A partir de ésta, contesta a las siguientes cuestiones: A) ¿Cuánto costará el producto dentro de 4 años?
B) ¿Cuánto costaba hace 4 años?
C) ¿Cuántos años deben pasar para que el precio actual del producto se duplique? Solución:
x x
P
18
·
1
,
05
100
5
1
·
18
A)
P
4
18
·
1
,
05
4
21
,
879
€
B)P
4
18
·
1
,
05
4
14
,
81
€
C) x x x
x
22
,
52
años
05
,
1
log
3
log
3
log
05
,
1
log
3
05
,
1
05
,
1
·
18
54
Ejemplo:
En un laboratorio de idiomas se ha obtenido experimentalmente que la curva de aprendizaje correspondiente a las rutinas de memorizar y escribir palabras de japonés viene dada por la expresión:
x
e
x
f
y
(
)
200
·
1
0,1 , donde x es el número de clases recibidas, a razón de una hora diaria, e y el número de palabras memorizadas y escritas cada clase, por término medio. Responde:A) ¿Qué número de palabras se memorizan y escriben después de 5 días de entrenamiento? B) ¿Y después de 10 días? ¿Y de 15 días?
C) Dibuja la gráfica de la función. D) ¿Se podrán memorizar 250 palabras? Solución:
A) f(5)=78 palabras.
B) f(10)=126 palabras; f(15)=155 palabras.
D) En la gráfica se observa que los valores nunca superarán las 200 palabras memorizadas y escritas.
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS:
4
x
si
3
-x
4
x
0
si
1
0
x
si
1
2x
x
2y
4
x
si
3
-x
4
x
0
si
2
0
x
si
1
2x
x
2y
Su representación gráfica es fácil si sabemos representar cada uno de sus tramos y se presta atención a su comportamiento en los puntos de empalme.
Ejemplo: Un banco ofrece cuentas corrientes con un 2,5 % de interés si el saldo es inferior a 1500 €, 5 % de interés para saldos entre 1500 € y 6000 €, y 7,5 % para saldos superiores a 6000 €. Representa
gráficamente la función que nos da el interés en función del saldo. Para definir esta función hacen falta tres fórmulas:
6000
100
5
,
7
6000
1500
100
5
1500
100
5
,
2
)
(
x
si
x
x
si
x
x
si
x
x
f
Para completar la tabla de valores tendrás quedar valores dentro de cada intervalo y aplicar la fórmula adecuada en cada caso:
X intervalo f(x)
500 x < 1500 12,5 1000 x < 1500 25 2000 1500 x 6000 100 4000 1500 x 6000 200 8000 x > 6000
10000 x > 6000
FUNCIONES RELACIONADAS CON LAS RECTAS:
Valor absoluto:
0
0
x
si
x
x
si
x
x
y
.Parte entera de x: y = ENT[x]. Se define como el mayor número entero menor o igual que x.
OPERACIONES CON FUNCIONES
SUMA Y RESTA DE FUNCIONES:
La suma de dos funciones f y g es una función f + g, cuyas imágenes se obtienen sumando las imágenes de f y g. De forma análoga se restan las funciones, obteniendo f – g.
MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES:
La multiplicación de dos funciones f y g es una función f · g, cuyas imágenes se obtienen multiplicando las imágenes de f y g.
DIVISIÓN DE FUNCIONES:
La división de dos funciones f y g es una función f / g, cuyas imágenes se obtienen dividiendo las imágenes de f y g, siempre que la imagen de g sea distinta de cero.
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:
