FUNCIONES
1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función es una relación de dependencia entre dos variables de modo que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. (La función asocia a cada valor de x un único valor de y). Una función relaciona dos variables a las que, en general, llamaremos x e y.
- x es la variable independiente.
- y es la variable dependiente (su valor depende del valor de la variable independiente).
Para apreciar claramente el comportamiento de una función, ésta se representa gráficamente sobre unos ejes cartesianos.
Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos, mediante relaciones entre las variables que intervienen o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas.
CUÁNDO UNA GRÁFICA NO CORRESPONDE A UNA FUNCIÓN
Cuando a cada valor de x le corresponde uno o ninguno de y, la gráfica corresponde a una función. Cuando hay valores de x a los que les corresponde más de un valor de y, la gráfica no corresponde a una función.
2.- FORMAS EN QUE SE PRESENTAN LAS FUNCIONES.
Mediante su representación gráfica:
La representación gráfica es la forma más elocuente de dar una función. Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:
- la x (variable independiente) sobre el eje horizontal (eje de abscisas). - la y (variable dependiente) sobre el eje vertical (eje de ordenadas). Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa x y su ordenada y.
ESCALAS
En cada eje hay una escala (para que se puedan cuantificar los valores de las dos variables): - en el eje horizontal cada cuadrito representa un minuto.
- en el eje vertical, cada cuadrito representa 10 metros.
Mediante una descripción verbal:
La relación entre las variables de una función la podemos dar mediante una descripción verbal.
Mediante una tabla de valores:
Hay funciones de las que conocemos una serie de puntos (tabla de valores), con los que podemos hacer la representación gráfica.
Se presentan dos columnas: en la primera aparece la variable independiente (x) y en la segunda la variable dependiente (y).
Mediante su expresión analítica o fórmula:
La expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función. Permite calcular los valores de la variable dependiente para todos los valores que demos a la variable independiente.
Ejemplo: El volumen de una esfera es función de su radio y viene dado por la expresión: 3
3
4
r
V
Muchas veces utilizamos la tabla de valores como paso intermedio para representar gráficamente una función.
3.- DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN.
El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (para los cuales hay valores de y) se llama dominio de definición de la función, y el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente se llama recorrido.
(Por ejemplo, porque sólo tenemos información del comportamiento de la función en ese intervalo).
CÁLCULO DE DOMINIOS
Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom(f), al conjunto de valores de x para los cuales existe función, es decir, para los cuales hay un f(x).
El conjunto de valores de x para los cuales existe la función puede quedar restringido por alguno de los siguientes motivos:
- imposibilidad de realizar alguna operación:
- denominadores: los valores que hacen cero el denominador no están en el dominio.
- raíces cuadradas: los valores que hacen negativo el radicando no están en el dominio.
- contexto real del cual se ha extraído la función: por ejemplo, si se trata de la función que
nos da el área de un cuadrado en función de la longitud de su lado, el dominio serán solo los números positivos, pues la longitud del lado es una distancia y es positiva siempre.
- por voluntad de quien propone la función: cuando quien presenta la función la define en un
intervalo determinado.
Tendremos en cuenta las siguientes condiciones:
- funciones polinómicas: su dominio es todo R.
- funciones racionales: su dominio es todo R excepto los valores de x que anulan el
denominador.
- funciones radicales de índice par: su dominio es todos los números reales que hacen el
EJERCICIO RESUELTO
1º.- Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
d)
f
(
x
)
x
3
1
e)f
(
x
)
x
2
7
x
10
f)x
x
x
x
f
4
1
2
)
(
2
Solución: a) D=R; Im=(-,2] b) D=[0,); Im=[0,) c) D=(-,-1]U(1,); Im=[-2,)
d) D=R e) D=(-,2]U[5,) f) D=R-{0,4}
4.- DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD.
La idea de función continua es la de que puede ser representada con un solo trazo. Una función que no es continua presenta alguna discontinuidad, debido a diferentes razones:
- Si la variable independiente pasa dando saltos de cada valor al siguiente, no es continua (para dibujarla hay que levantar el bolígrafo del papel). En este caso, la variable se llama discreta. La gráfica de la función es una serie de puntos.
- Otras veces, aunque la variable independiente sea continua, la función presenta saltos bruscos. Esos saltos se llaman discontinuidades y la función que los tiene se dice que es
discontinua. (Para dibujarla hay que levantar el bolígrafo del papel).
Una función se llama continua cuando no presenta discontinuidad de ningún tipo (para dibujarla no hace falta levantar el bolígrafo del papel).
Una función es continua en un intervalo si sólo presenta discontinuidades fuera de él.
Las funciones dadas por expresiones analíticas elementales son continuas en todos los puntos en los que están definidas.
5.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
Los puntos de corte con los ejes son los puntos de intersección de una función con los ejes de coordenadas.
- Los puntos de corte con el eje X son de la forma
a
,
0
y el valor de a se calcula resolviendo la ecuaciónf
x
0
.6.- VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO: TASA DE VARIACIÓN MEDIA
La tasa de variación de una función
f
x
en un intervalo
a
,
b
es el aumento o disminución que experimenta al pasar la variable independiente del valor a al valor b:
a
,
b
f
b
f
a
TV
Se supone que la función es continua en el intervalo
a
,
b
.Se llama tasa de variación media de la función
f
x
en un intervalo
a
,
b
al cociente entre la variación de la función y la longitud del intervalo:
a
b
a
f
b
f
b
a
TVM
,
Observamos en la gráfica que la tasa de variación media de la función
f
x
en un intervalo
a
,
b
es la pendiente del segmento AB.7.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Para estudiar las variaciones de una función, se debe mirar su gráfica de izquierda a derecha. Una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente, x, aumenta la variable dependiente, y. Una función es decreciente cuando al aumentar x disminuye y. También podemos decir que una función es creciente o decreciente en un tramo.
Una función es constante en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente se mantiene fija la variable dependiente.
Los valores que toma la función son cada vez mayores.
1
22
1
x
f
x
f
x
x
si
La tasa de variación es positiva:
TV
a
,
b
0
.Los valores que toma la función son iguales. La tasa de variación es nula:
TV
a
,
b
0
.
la función es constante.Los valores que toma la función son cada vez menores.
1
22
1
x
f
x
f
x
x
si
La tasa de variación es positiva:
TV
a
,
b
0
.
la función es decreciente.Una función es creciente en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo, la tasa de variación es positiva.
Una función es decreciente en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo, la tasa de variación es negativa.
8.- MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
9.- SIMETRÍAS DE UNA FUNCIÓN
Una función es simétrica respecto del eje Y (eje de ordenadas) cuando
f
x
f
x
(función par).Una función es simétrica respecto del origen cuando
f
x
f
x
(función impar).10.- PERIODICIDAD
Funciones periódicas son aquellas cuyo comportamiento se va repitiendo cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. A la longitud de ese intervalo se llama periodo.
Una función periódica queda perfectamente determinada conociendo su comportamiento en un periodo.
11. TENDENCIAS DE UNA FUNCIÓN. ASÍNTOTAS.
Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara.
Una función tiende hacia un valor constante k cuando al aumentar o disminuir los valores de la variable independiente, los correspondientes valores de la variable dependiente se van aproximando al valor constante k.
Este comportamiento se expresa de las siguientes formas: - Cuando x tiende a más infinito, y=f(x) tiende a k:
x + f(x) k - Cuando x tiende a menos infinito, y=f(x) tiende a k:
x - f(x) k
Gráficamente, ambas situaciones se representan:
La recta y = k es una asíntota horizontal.
En la tendencia de una función a mas o menos infinito cuando x tiende a un valor constante
pueden darse los siguientes casos:
Una función tiende a mas o menos infinito cuando x tiende a mas o menos infinito cuando al hacerse muy grande, en valor absoluto, la variable independiente, también se hace muy grande, en valor absoluto, la variable dependiente.
Este comportamiento se expresa gráfica y simbólicamente de las siguientes formas:
EJERCICIO RESUELTO
2º.- La gráfica de la función que describe el número de pulsaciones por minuto, y, que alcanza una persona que aprende a teclear en función del número de horas, x, practicadas es la que sigue:
a) ¿Qué significa el punto (0,50)?
b) ¿Cuántas pulsaciones por minuto da al cabo de 30 horas de práctica?
c) ¿Cuántas horas ha necesitado practicar para alcanzar 250 pulsaciones por minuto? d) Analiza la tendencia de esta función y comenta su significado.
Solución:
a) (0,50): al comenzar a practicar (0 horas) ya da 50 pulsaciones por minuto. b) Al cabo de 30 horas da 300 pulsaciones por minuto.
c) Para alcanzar 250 pulsaciones por minuto tiene que practicar 20 horas.
d) Tiende a 400 pulsaciones por minuto (lo máximo que puede alcanzar esta persona), cuando el número de horas de práctica es muy grande. Simbólicamente:
