Puntos de corte de la gráfica de una función con los ejes de coordenadas

(1)

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Si no tenemos la gráfica:

- Los puntos de corte con el eje X son las soluciones de la ecuación f(x) = 0 porque los puntos de corte son los valores de x para los que f(x) = 0. Si no tiene solución la gráfica no corta al eje X

- El punto de corte con el eje Y es (0, f(0)). Si no existe f(0) la gráfica no corta al eje Y Por ejemplo, si f(x) ^{5x 6}

x 3

= −

+ , para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación

5x 6 6 6

0 5x 6 0(x 3) 5x 6 0 x . El punto de corte es P( ,0)

x 3 5 5

− =  − = +  − =  =

+

Para calcular el punto de corte con el eje Y hallamos f(0) ^{5.0 6} 2 0 3

= − = −

+ . El punto de corte es Q(0, –2) Actividad resuelta

Dada la función f(x) ^{7x 4} 5x 2

= −

+ determina:

a) f(–2) b) Los puntos de corte con los ejes c) Los valores de x para los que la función vale –3 Resolución

a) f( 2) 7( 2) 4 14 4 18 9 2,25

5( 2) 2 10 2 8 4

− − − − −

− = = = = =

− + − + −

b) ^{7x 4} 0 7x 4 0(5x 2) 7x 4 0 x ⁴. El punto de corte con el eje X es P( ,0)⁴

5x 2 7 7

− =  − = +  − =  =

+ 7.0 4

f(0) 2

5.0 2

= − = −

+ . El punto de corte con el eje Y es Q(0, –2)

c) ^{7x 4} 3 7x 4 3(5x 2) 7x 4 15x 6 x ² ¹

5x 2 22 11

− = −  − = − +  − = − −  = − = −

+

Signo de una función

Estudiar el signo de una función es determinar los intervalos donde f(x) > 0 (o sea la gráfica está “por encima” del eje X) y los intervalos donde es f(x) < 0 (o sea la gráfica está “por debajo” del eje X).

Por ejemplo, esta función corta al eje X en los puntos (–1, 0) y (3, 0).

Por tanto, la función es positiva en el intervalo (– 1, 3) pues en este intervalo la gráfica está por “encima”

del eje X y negativa en el resto, es decir en (–∞,–1) U (3, ∞)

Si no tenemos la gráfica resolvemos la inecuación f(x) > 0. Las soluciones son los intervalos del eje X para los que la función es positiva.

(2)

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Puntos de corte de dos gráficas a partir de la fórmula

Para calcular los puntos de corte de las gráficas de dos funciones f y g a partir de las fórmulas resolvemos el sistema de ecuaciones y f(x)

y g(x)

 =

 = . Si el sistema no tiene solución entonces las gráficas no se tocan Ejemplo: Calcular los puntos de corte de las gráficas de las funciones f(x) = x² , g(x) = 5x – 6 . Debemos resolver el sistema

y x2

y 5x 6

 =

 = −

 . Igualando, x² = 5x – 6 →x² – 5x + 6 = 0→ x = 2, x = 3 Si x = 2, y = 2² = 4 → Punto P(2, 4) Si x = 3, y = 3² = 9 → Punto Q(3, 9)

Los puntos de corte de las gráficas son P y Q

Continuidad

Una función es continua cuando su gráfica no tiene ninguna “rotura” y, por tanto, se puede dibujar de un solo trazo (“sin levantar el lápiz del papel”).

Esto significa que los valores de la “y” van variando “poco a poco” a medida que varían los valores de “x”

Esta gráfica corresponde a una función continua

Esta gráfica corresponde a una función discontinua.

Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = 3

(3)

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Crecimiento/decrecimiento Una función es creciente si su gráfica es ascendente.

Una función es decreciente si su gráfica es descendente.

Una función es constante si no es creciente ni decreciente. La gráfica es una línea recta horizontal

Máximos/mínimos

Un máximo relativo de una función, si existe, es un punto de la gráfica en el que la función es continua y pasa de creciente a decreciente.

Un máximo absoluto de una función, si existe, es un punto de la gráfica que corresponde al mayor valor de la función.

Se suele decir que la función alcanza un máximo relativo en x = a y el valor máximo que alcanza es b.

En este ejemplo, este máximo relativo también es un máximo absoluto

(4)

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Un mínimo relativo de una función, si existe, es un punto de la gráfica en el que la función es continua y pasa de decreciente a creciente.

Un mínimo absoluto de una función, si existe, es un punto de la gráfica que corresponde al menor valor de la función.

Se suele decir que la función alcanza un mínimo relativo en x = a y el valor mínimo que alcanza es b.

En este ejemplo, este máximo relativo también es un máximo absoluto

Estudiar los extremos de una función consiste en estudiar los máximos y mínimos.

Una función puede ser creciente, decreciente o constante por intervalos.

También puede tener varios máximos/mínimos

Ejemplos

Los máximos relativos son A y B. Además, A es un máximo absoluto, pero C no lo es.

El punto C es un mínimo relativo, pero no es absoluto. El mínimo absoluto se alcanza para x = 21.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

X Y

- Continuidad: sólo es discontinua en x = –4, x = 1

- Monotonía: es creciente en el intervalo (–2, 1), decreciente en (–4, –2) U (1, ∞) y constante en (–∞, –4) - Extremos: tiene un mínimo relativo en el punto (–2, –4), que no es absoluto, un máximo absoluto en el punto (1, 5), que no es máximo relativo porque es discontinua en x = 1

(5)

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Actividades resueltas

1) Sea f la función dada por la gráfica

Calcula: a) D(f) b) Rec(f) c) f(2) d) f(–3) e) Los intervalos donde f es positiva

f) Los valores de x para los que la función vale 3 g) Los intervalos donde la función es decreciente h) Los puntos de discontinuidad i) Los posibles máximos y mínimos relativos y absolutos

Resolución

a) R – {–3}, pues hay gráfica para todos los valores de x excepto para x = –3

b) (–5, ∞), pues hay gráfica para todos los valores de y desde y = –5, excluido, hasta ∞ c) 0, pues para x = 0, y = 2

d) No existe, pues para x = –3 no existe ningún punto en la gráfica

e) (–∞, –8) U (–2, ∞) – {2}, pues la gráfica que corresponde a estos intervalos del eje X está por encima de dicho eje

f) x = 1 , x = –1, pues son los valores del eje X que corresponden al valor y = 3 g) (–∞, –3) U (0, 2), pues en dichos intervalos la gráfica es descendente

h) x = –3, x = 2, pues para estos valores la gráfica presenta rotura.

i) Sólo hay un máximo relativo, que es (0, 4)

Calcula: a) D(f) b) Rec(f) c) Los valores de x para los que la función vale 2

d) Los posibles máximos y mínimos relativos y absolutos e) El intervalo donde f es negativa Resolución

a) [–5, 6], pues la gráfica va desde x = –5 hasta x = 6, ambos incluidos b) [–2, 4], pues la gráfica va desde y = –2 hasta y = 4, ambos incluidos

c) x = –1, x = 1, x = 3, x = 6, pues son los valores del eje X que corresponden al valor y = 2 d) Máximos relativos: (–1, 2) y (2, 4) Mínimos relativos: (0, 1) y (4, 0) Máximo absoluto: (2,4) Mínimo absoluto: (–5, –2)

e) (–5, –4), pues la gráfica que corresponde a este intervalo del eje X está por debajo de dicho eje

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

X Y

(6)

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Determina:

b) f(4) c) f(0) d) D(f) e) Rec(f) f) Punto de corte con el eje Y g) extremos relativos j) Discontinuidad

Resolución ) 2,5 )

a b  ) 2 ) ( 3, 4) ) ( 2; 2,5] ) ( 2,5 ; 0), ( 1,5 ; 0) , (3,8 ; 0) , (0, 2) ) ( 3; 2,5) ( 1,5 ; 3,8); ( 2,5 ; 1,5) (3,8 ; 4)

) ( 2, 2) ; ( 3, 2) (2, 4)

) : 2 , 1,5 ;

c d e f

g f es positiva en f es negativa en

h f es creciente en f es decreciente en

i Mínimo x y Máxim

− − − −

− −  − − − 

− − − 

= − = − o x: =2 , y=2,5 ; )j f es continua

Determina: a) D(f) b) Rec(f) c) Los valores de x para los que la función vale –1 d) Los posibles máximos y mínimos relativos y absolutos

e) Los intervalos donde f es negativa f) Los intervalos donde f es creciente g) f(2) Resolución

a) R – {2}, pues hay gráfica para todos los valores de x excepto para x = 2

b) (–∞, 4), pues hay gráfica para todos los valores de y desde –∞ hasta y = 4, excluido c) x = –3 , x = 4, pues son los valores de x que corresponden al valor y = –1

d) Sólo hay un máximo relativo, que es (–1, 1) y un mínimo relativo, que es (0, 0). No hay ni máximos ni mínimos absolutos.

e) (–∞, –2) y (3, +∞), pues la gráfica en esos intervalos del eje X está por debajo de dicho eje f) (–∞, –1) y (0, 2), pues la gráfica en esos intervalos del eje X es ascendente

g) No existe, pues para x = 2 no hay ningún punto de la gráfica

(7)

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Determina:

a) D(f) b) Rec(f) c) Valor o valores de x para los que la función vale 8

d) Los posibles máximos y mínimos relativos y absolutos e) El intervalo donde f es constante f) El intervalo donde f es decreciente g) f(7) h) f(1)

Resolución

a) (–3, 8], pues hay gráfica para los valores de x desde x = –3 (excluido) hasta x = 8 (incluido) b) [0, 9], pues hay gráfica para los valores de y desde y = 0 (incluido) hasta y = 9 (incluido) c) x = 2 , x = 4, pues son los valores de x que corresponden al valor y = 8

d) Máximo relativo y absoluto (3, 9); mínimo relativo y absoluto (6, 0) e) (–3, 1), pues la gráfica en ese intervalo del eje X es horizontal f) (3, 6), pues la gráfica en ese intervalo del eje X es descendente g) 1, pues para x = 7 la y vale 1

h) No existe, pues para x = 1 no hay ningún punto de la gráfica

(8)

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Dominio de definición y recorrido de una gráfica

El dominio de definición de una función f es el conjunto de todos los valores “x” para los que existe f(x).

Se representa por D(f). Si la función viene dada por una gráfica, D(f) sería el intervalo o intervalos del eje X para los que existe la gráfica.

El recorrido de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable “y”.

Se representa por Rec(f). Si la función viene dada por una gráfica, Rec(f) sería el intervalo o intervalos del eje Y para los que existe la gráfica.

Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es _-6 _-5 _-4 _-3 _-2 _-1 ₁ ₂ ₃

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

X Y

D(f) = R – { – 4} porque la gráfica existe para todos los valores de x excepto para x = –4 Rec(f) = (–∞, 5] porque existe gráfica desde –∞ hasta y = 5, incluido

Actividad resuelta

Sea f la función dada por la gráfica

Calcula: a) D(f) b) Rec(f) c) f(–3) d) El intervalo donde f es decreciente e) El mínimo relativo de f f) Los valores de x para los que la función es discontinua

Resolución

a) R – {3} b) (–∞, 6) c) –6 d) (–3, 0) e) (0, 3) f) x = –3, x = 3

Simetría de una función

Una función es simétrica respecto de un eje vertical si al doblar la gráfica por dicho eje coincide la parte que hay a la derecha del eje con la de la izquierda.

Funciones pares: Una función es par si su gráfica es simétrica respecto del eje Y.

Las funciones pares cumplen f(–x) = f(x)

Ejemplo: La función f(x) = 7x⁴ – 3x² + 2 es par porque f(–x) = 7(–x)⁴ – 3(–x)² + 2 = 7x⁴ – 3x² + 2 = f(x)

-6 -3 3 6 9

-6 -3 3 6

X Y

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Funciones impares: Una función es impar si su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas. O sea, si al doblar la gráfica por el eje X se obtiene una gráfica simétrica respecto del eje Y.

Las funciones impares cumplen f(–x) = – f(x)

Ejemplo: La función f(x) = 2x³ – 5x es impar porque f(–x) = 2(–x)³ – 5(–x) = –2x³ + 5x = –f(x)

Funciones periódicas

Una función es periódica si su gráfica se va repitiendo cada cierto intervalo del eje X.

La longitud del intervalo se llama periodo de la función y se representa con la letra p.

Función periódica de periodo p

Ejemplos:

Función periódica de periodo p = 4 Función periódica de periodo p = 3 Hay funciones que no son periódicas. Por ejemplo, la función cuya gráfica es

Si f es una función periódica de periodo p, se cumple que f(x + p) = f(x)

(10)

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Actividades resueltas

1) Selecciona con una X si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos cosas o si son periódicas o no periódicas. En caso de ser periódicas indica cuál es el periodo:

a)

par impar ni par ni impar

periódica. El periodo es ____ no periódica

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Resolución

a) par y no periódica b) ni par ni impar y no periódica c) impar y no periódica d) par y no periódica e) impar y no periódica f) par y no periódica

g) ni par ni impar y periódica de periodo 3 h) impar y periódica de periodo 4 i) ni par ni impar y periódica de periodo 1,5 j) ni par ni impar y no periódica k) ni par ni impar y periódica de periodo 3 l) par y periódica de periodo π

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2) Los cestillos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira.

Esta es la representación gráfica de la función tiempo-distancia al suelo de uno de los cestillos:

a) ¿Cuánto tarda la noria en dar una vuelta completa?

b) Indica cuál es la altura máxima y di cuál es el radio de la noria.

c) Calcula, sin continuar la gráfica, a qué altura se encuentra la noria a los 3 minutos.

Resolución

a) 40 s b) La altura máxima es 16 m y el radio de la noria es 8 m

c) Como 3 min son 180 segundos y 180:40 = 4,5, la noria habrá dado 4 vueltas y media.

Luego, se encuentra arriba del todo