EJERCICIOS Nº 10: GEOMETRIA ANALITICA
1) Determine x si el punto A(x,3) equidista de B(3,−2) y de C(7,4) Respuesta 2
2) Determine los puntos de trisección del segmento de recta AB donde A(−6,−9) ,B(6,9)
3) El segmento de recta que une A(2,−3)y B(−3,5) se extiende hacia cada
extremo en una longitud igual a su longitud original. Halle las coordenadas de los nuevos extremos. Respuesta (−8,13) , (7,−11)
4) Los puntos medios de los lados de un triángulo están en los puntos (2,0) , (4,1) , (3,4).
Halle las coordenadas de los vértices. Respuesta (1,3),(3,−3),(5,5)
5) Encuentre la ecuación de la recta determinada por los puntos A y B a) A(3,−1),B(−4,5) Respuesta 6x+7y −11=0
b) A(0,2) ,B(4,−6) Respuesta 2x+y −2=0
6) Halle la ecuación de dos rectas a través de A, una paralela y la otra perpendicular a la recta que corresponda a la ecuación dada
A(4,1), 2x−3y +5=0 Respuesta 2x−3y −5=0 ; 3x−2y−14=0
7) Calcule la distancia la distancia entre la recta y el punto dados
5x+12y+60=0;A(3,2) Respuesta
13 99
8) Determine la distancia entre el par de rectas paralelas dadas 4x−3y−9=0;4x−3y−24=0 Respuesta 3
9) Los vértices de un triángulo son A(2,3),B(−1,1),C(7,−2)calcule la longitud de la altura bajada desde A y la longitud del lado BC. Después calcule el área del
triángulo Respuesta , 73 ,12.5 73
25
10) Encuentre la ecuación de la línea recta que pasa por la intersección de las rectas de ecuación 3x+y−2=0 y x+5y −4=0, y por el punto A(5,2) Respuesta 9x−32y +19=0
Respuesta 2 2 2
5 ) 6 ( ) 2
(x− + y+ =
12) Determine la ecuación de la circunferencia tal que A(0,0)y B(−8,6)son los extremos de uno de sus diámetros. Respuesta 2 + 2 +8 −6 =0
y x y x
13) Determine la ecuación de la circunferencia tal que su centro es el punto )
2 , 4 (
C y pasa por el punto A(−1,−1) Respuesta x2 +y2 −8x−4y −14=0
14) Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 0
32 4
3x− y − = y el centro está en el punto C(0,7) Respuesta 2 + 2 −14 −95=0
y y
x
15) Identifique:
a) x2 +y2 −6x+4y −12=0 Respuesta (x−3)2 +(y +2)2 =25 b) 2 + 2 +8 +2 +1=0
y x y
x Respuesta ( +4)2 +( +1)2 =16 y
x c) 2 + 2 +2 +1=0
x y
x Respuesta el punto (−1,0)
d) x2 +y2 −3x−3y +10=0 Respuesta ningún lugar geométrico
16) Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta de ecuación 2x−y −3=0 en el punto A(2,1) y el centro está en el eje Y. Respuesta x2 +y2 −4y −1=0
17) Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntosA(0,0),B(3,−1),C(−2,4) Respuesta (x−3)2 +(y −4)2 =25
18) Esboce el gráfico de las siguientes cónicas
a) y2 =4x b) x2 +10y =0 c) y = 12x d) 2 8 1
x y =
19) Encuentre la ecuación de la parábola tal que: a) V(0,3),F(4,3) Respuesta (y −3)2 =16x b) V(2,3),F(6,3) Respuesta (y −3)2 =16(x−2)
20) Identifique las siguientes cónicas:
a) y2 −8x+8=0 Respuesta y2 =8(x−1) , V(1,0),F(3,0)
b) x2 +4x−16y +4=0 Respuesta (x+2)2 =16y V(−2,0),F(−2,4)
0 25
2
2 + − =
y
x y2 =4x
. Determine además los puntos de intersección entre ellas
22) Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el vértice de la cónica de ecuación y2 −4y −4x+8=0 y que tiene radio 10
23) Un punto se mueve de tal manera que su distancia desde el eje Y es siempre igual a su distancia desde el punto (4, 0). Determine la ecuación que satisface estas condiciones e identifique
Respuesta Parábola, V(2,0), p =2, eje focal el eje X
28) Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto que está dos veces más alejado del punto (4,4) que del punto (1,1)
Respuesta Circunferencia centro (0,0) y radio 2 2
29) Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto tal que la distancia al punto (5,0) es igual a la abscisa del punto Respuesta 2 −10 +25=0
x y
30) La suma de los cuadrados de las distancias desde el punto P(x,y)a los puntos (4,2) y (-3,1) tiene valor 50. Determine la ecuación e identifique Respuesta Circunferencia centro ( ,23)
2
1 y radio 2
2 5
31) El punto P está tres veces más alejado de (1,1) que de (-3,4). Determine la ecuación e identifique Respuesta 8x2 +8y2 +56x−70y +223=0
32) Determine la ecuación que satisfacen los puntos cuya distancia a la recta de ecuación x =−3 es dos unidades mayor que su distancia al punto (3,2),
Identifique Respuesta ( −2)2 =8( −1) x y
33) El punto P(x,y) es el vértice de un triangulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento de recta que une los puntos (-2,-1) y (3,5). Determine la ecuación e identifique Respuesta x2 +y2 −x−4y −11=0
34) Considere los puntos A(−2,4) ,B(4,6), C(2,−2)
a) Determine la ecuación de la altura h a b) Calcule la longitud de dicha altura
las intersecciones con los ejes coordenados
36) Identifique la cónica de ecuación 2 −8 −8 +32=0 y
x
x , considerando las intersecciones con los ejes coordenados
37) Encuentre la ecuación de la circunferencia tangente a la recta de ecuación 0
32 4
3x− y− = y cuyo centro está en el punto C(0,-7)
38) Si los puntos A(−2,4),B(6,6),C(4,−3)son los vértices de un triángulo
d) determine la ecuación de la altura bajada desde el vértice A
e) calcule la longitud de tal altura
f) Si el segmento AB se prolonga, más halla de B, dos veces su longitud original, ¿Cuáles son las coordenadas del nuevo extremo?
39) Grafique, en un único sistema coordenado las siguientes relaciones 2 + 2 −2 +6 +6=0
y x y
x y x−y −4=0, considerando: intersección con los ejes coordenados e intersección entre ellas
40) Identifique la cónica de ecuación x2 −8x−8y +32=0, determinando la intersección con los ejes coordenados. Considere además la recta de ecuación
0 1=
− −y
x y encuentre la intersección con la cónica anterior. Grafique ambas en un único sistema
41) Determine los valores de c∈R para que 3x2+6x+3y2 +22y+c=0
represente una circunferencia y para esos c determine el centro y el radio
Respuesta , 150
3 50 ) 7 ( ) 1
(x+ 2 + y+ 2 = −c c>
42) P(7,5)∈L:3x+4y−41=0. Determine otro punto Q∈L que diste 5 unidades de P Respuesta (11,2) y (3,8)
43) Determine k∈Rpara que la recta de ecuación 2x+3y+k =0 forme con los ejes coordenados un triangulo de área 12, en el primer cuadrante Resp. -12
44) Determine la ecuación de la circunferencia que circunscribe al triangulo cuyos lados están en las rectas de ecuación L1:x−2y+9=0,
0 42 7
:
2 x+y− =
45) Demuestre que las diagonales de un paralelogramo se bisectan recíprocamente
46) Demuestre que las diagonales del rectángulo tiene igual longitud
47) Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es equidistante de los tres vértices
48) Hállese la ecuación del lugar geométrico de un punto que esta dos veces mas alejado de (4,4) que del punto (1,1)
Respuesta. 2 + 2 =8
y
x
49) Traslade los ejes coordenados de modo que la nueva ecuación de la circunferencia de ecuación x2 −6x+y2 +10y+11=0 no tenga términos de primer grado Respuesta ′2 + ′2 =23
y x
50) Determine la ecuación de la elipse con focos (4,-2) y (10,-2) y un vértice
en el punto (12,-2) Respuesta 1 16
) 2 ( 25
) 7
(x− 2 + y+ 2 =
51) Identifique 4y2 +9x2 −24y−72x+144=0 considerando todos sus elementos
52) Determine el lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve de modo que su distancia desde (5,0) es la mitad de su distancia a la recta x = 20
Respuesta 1
75 100
2 2
= + y
x
53) Un punto se mueve de modo que la suma de sus distancias desde (-4,3) y
(4,3) es 12. Determine la ecuación de la trayectoria Resp. 1 20
) 3 ( 36
2 2
= −
+ y
x
54) Bosqueje la grafica de 1 36 64
2 2
= − y
x
55) Identifique 12y2 −4x2 +72y+16x+44=0 Resp. 1 12
) 2 ( 4
) 3
