Traslaciones, Simetrías, Rotaciones y Homotecias. Traslaciones:
Una traslación es una transformación geométrica que transforma al punto P (x, y) en el punto P (x , y ) mediante la ley: T (x+k, y+z).
Ejemplo:
¿Cuáles serán las coordenadas del triángulo cuyos vértices son los puntos A (1,1) B (7,5) y C (3,6) si se le aplica la ley de traslación: T (x, y)= (x+3, y+6)
Solución:
, ,
,
A = (1+3, 1+6)= (4, 7) B = (7+3, 5+6)= (10, 11) C = (3+3, 6+6)= (6, 12)
,
,
,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -2 -1
1 2 3 4
X
-3 -2 -1
5 6 8
7
9 10 11
12
Y
Rotaciones.
Una rotación es una transformación isométrica que transforma al punto P (x, y) en el punto P (x , y ) mediante la ley o regla:
R: (x, y)= (x cos y sen , x sen +y cos ) Ejemplo:
Aplique una rotación de 900 grados al triangulo cuyos vértices son los puntos A (1,2), B (5,2) y C (3,5).
Solución:
, ,
A = (1cos 900 – 2 sen 900, 1 sen 900+2 cos 900) A = [1(0) 2(1), 1(1)+2(0)]= (0 2, 1+0) = ( 2, 1) B = (5 cos 900 – 2 sen 900, 5 sen 900+2 cos 900) B = [5(0) 2(1), 5(1)+2(0)]= (0 2, 5+0)= ( 2, 5) C = (3 cos 900 – 5 sen 900, 3 sen 900+5 cos 900) C = [3(0) 5(1), 3(1)+5(0)]= (0 5, 3+0)= ( 5, 3)
,
,
,
,
,
,
1 2 3 4 5 6 7 8 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4
X
-3 -2 -1
5 6 8 7
9
-5 -4
Simetrías.
Una simetría es una transformación geométrica que conserva la forma y el tamaño de una figura, pero no conserva, en general su orientación.
Existen dos tipos de simetrías en el plano: la simetría central y la simetría axial. La simetría axial puede ser con relación al eje x y con relación al eje y.
Una simetría central equivale a un giro o rotación de 1800 y en ella cambian de signo las dos coordenadas.
Por otro lado en la simetría axial con relación al eje x solo cambia de signo la ordenada (y), mientras que en la simetría axial con relación al eje y cambian de signo la abscisa.
Ejemplo:
Aplique una simetría axial con relación al eje x y con relación al eje y a los vértices del triángulo cuyos puntos son: A (1,2), B (5,2) y C (3,5).
Solución:
Eje x
Como se dijo anteriormente, en
la simetría axial con relación al eje x cambia de signo la
ordenada, tendremos que: A = (x, y)= (1, 2) B = (x, y)= (5, 2) C = (x, y)= (3, 5)
,
,
,
1 2 3 4 5 6 7 8 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4
X
-3 -2 -1
5 6 8 7
9
-5 -4
En la simetría axial con relación al eje y cambia de signo la abscisa, por lo que: A = ( x, y)= ( 1, 2)
B = ( x, y)= ( 5, 2)
C = ( x, y)= ( 3, 5)
,
,
,
Y
Homotecias.
Las homotecias son transformaciones geométricas que transforman al punto Q en Q de tal forma que el cociente OQ/OQ es siempre constante, si O es un punto cualquiera del plano.
Las homotecias nos permiten aumentar o disminuir una figura en el plano. Ejemplo:
Obtenga la imagen del triangulo ABC cuyos puntos son A (1,1), B (5,1) y C (3,5) aplicando la ley de homotecia H (0, 3)
Solución:
,
,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4
-1 5 6 8 7 9
10 11 12 13 14 15
A = (3(1), 3(1))= (3, 3) B = (3(5), 3(1))= (15, 1) C = (3(3), 3(5))= (9, 15)
,
,
,
Resumen.
Al triángulo cuyos puntos son A (1,1), B (5,1) y C (3,4) aplique: Una traslación definida por: T (x, y)=(x+6, y+3)
Una rotación de 900
Una simetría axial con relación al eje x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 X -3 -2 -1 5 6 8 7 9 10 11 12 Y -6 -5 -4 Traslación
T (x, y)=(x+6, y+3)
A = (1+6, 1+3)= (7, 4)
B = (5+6, 1+3)= (11, 4)
C = (3+6, 4+3)= (9, 7)
,
,
,
Rotación
A = [1(cos 900) 1(sen 900), 1(sen 900)+1(cos 900)] = (1(0) 1(1), 1(1)+1(0))
= (0 1, 1+0) = ( 1, 1)
B = [5(cos 900) 1(sen 900), 5(sen 900)+1(cos 900)] = (5(0) 1(1), 5(1)+1(0))
= (0 1, 5+0) = ( 1, 5)
C = [3(cos 900) 4(sen 900), 3(sen 900)+4(cos 900)] = (3(0) 4(1), 3(1)+4(0))
= (0 4, 3+0) = ( 4, 3)
,
,
,
SimetríaA = (x, y)=(1, 1)
B = (x, y)=(5, 1)
C = (x, y)=(3, 4)
Progresiones aritméticas.
Una progresión aritmética es aquella progresión en la cual cada término después del primero se obtiene sumándole una constante al término anterior.
Ejemplos.
a. 3, 6, 9, 12, 15, 18,………. b. 2, 9, 16, 23, 30,………… c. 1, 5, 9, 13, 17, 21,……..
Término n-ésimo de una progresión aritmética
Para hallar el término n-ésimo de una progresión aritmética usamos la fórmula An= a1+(n-1) d, donde a1 es el primer término, n es la cantidad de términos que
tiene la progresión y d es la constante que se suma a cada término después del primero.
Ejercicios resueltos
1. Halle el término número 126 de la P. A. 3,6,9,12,15,18,………. Datos: Solución:
a1= 3 An= 3+(126-1)3 d= 3 An= 3+(125)3 n=126 An=3+375 An= 378
2. Halle el término número 324 de la P. A. 2,9,16,23,30,……. Datos: Solución:
a1=2 An= 2+(324-1)7 d=7 An= 2+(323)7 n=324 An=2+2,261
An= 2,263
3. Halle el término número 138 de una P. A. de 138 términos si la diferencia entre sus términos es igual a 4 y el primero es 8.
Datos: Solución:
a1= 8 An= 8+(138-1)4 d= 4 An= 8+(137)4
n= 138 An= 8+548 An= 556
4. Hallar el término número 89 de la P. A. 4,10,14,18,…….. Datos: Solución:
a1= 4 An= 4+(89-1)6 d= 6 An= 4+(88)6 n= 89 An= 4+528 An= 532
Resolución de problemas aplicando progresiones aritméticas
1. Juan inicia un plan de ahorros con 500 pesos y por cada día transcurrido ahorra 300 pesos más que el día anterior.
¿Cuánto tendrá que ahorrar los 31 días? Datos: Solución:
a1= 500 An= 500+(31-1)300 d= 300 An= 500+(30)300 n= 31 An= 500+ 9,000 An= 9,500
A los 31 días Juan tendrá que ahorrar $ 9,500 pesos. Suma de los términos de una P. A.
Para hallar la suma de los términos de una P. A. usamos la fórmula Sn =
o Sn = n 2a1 2n 1 d
Ejemplos.
1. Halle la suma de los primeros 150 términos de la P. A. 4,12,20,28,…….. Datos: Solución:
a1= 4 Sn = n 2a1 2n 1 d
d=8
n=150 Sn = 150 2 4 2149 18 Sn = 150 8 21498
Sn = 150 8 1,192 2
Sn = 150 1,200 2 = 180,0002
Sn = 90,000
2. ¿Cuánto tendrá Pedro ahorrado en 29 días si empezó ahorrando 800 pesos y por cada día transcurrido ahorró 400 pesos más que el día anterior? En este problema a1= 800, n= 29 y d= 400
Solución: Sn = n 2a1 2n 1 d
Sn = 29 2 800 229 1 400
se multiplica 2x800 y se resta 29-1
Sn = 29 1,600 2 28400
se multiplica 28x400 y se suma el resultado a 1,600
Sn = 29 1,600 11,200 2
Sn = 29 12,800 2 = 371,2002
se multiplica 29x12,800 y se divide entre 2 Sn = 185,600
Evaluación.
Calcule el término número 258 de las siguientes progresiones aritméticas.
1. 3, 8, 13, 18, 23,………. 2. 4, 10, 16, 22, 28,……… 3. 6, 9, 12, 15, 18, 21,……. 4. 7, 15, 23, 31, 39,……… 5. 9, 4, 1, 6, 11, 16,……….
Calcule la suma de los primeros 170 términos de las siguientes progresiones aritméticas.
1. 5, 12, 19, 26, 33,………….. 2. 2, 11, 20, 29, 38,…………. 3. 10, 15, 20, 25, 30,………. 4. 1, 7, 13, 19, 25,………….. 5. 3, 10, 17, 24, 31,………… Resuelve los siguientes problemas.
1. ¿Cuál es el primer término de una progresión aritmética de 30 términos si el último es 90 y la diferencia común entre sus términos es 3?
2. ¿Cuál es la diferencia común entre los términos de una P. A. de 21 términos si el primero es 3 y el último es 63?
Resuelve los siguientes problemas aplicando progresiones aritméticas. 1. José empezó ahorrando $425 pesos y por cada día transcurrido ahorró
$275 pesos más que el día anterior. ¿Cuánto tendrá que ahorrar el día 34?
2. Marcos decide iniciar un plan de ahorro diario con $800 pesos y al día
siguiente ahorra $975 pesos. Si cada ahorro supera al anterior en $175 pesos. ¿Cuánto tendrá ahorrado a los 45 días?
3. Pedro empezó sacando 20 huevos de su gallinero, si por cada día
transcurrido saca 5 huevos más que el día anterior ¿Cuántos huevos sacará a los 28 días?
Progresiones Geométricas.
Una progresión geométrica es aquella en la que cada término después del primero se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón.
Ejemplos.
a. 2, 10, 50, 250,………… b. 3, 9, 27, 81, 243,……... c. 5, 15, 45, 135,……….... d. 7, 21, 63, 189,………....
Término N-ésimo de una progresión geométrica.
Para hallar el término n-ésimo de una progresión geométrica usamos la fórmula: An=a1 (Rn-1), donde a1es el primer término, R es la razón y n es la cantidad de
términos de la progresión.
Ejemplo 1.
Halle el término número 20 de la P. G. 3, 6, 12, 24,……. Solución:
En este caso a1=3, para obtener la razón se divide un término cualquiera entre su
anterior, por lo que R= = 2 y n= 20. Datos: Solución: a1=3 An=a1 (Rn-1)
R= 2 An=3(220-1)
n= 20 An=3(219)
An=3(524,288) An=1, 572, 864
Ejemplo 2.
Halle el décimo término de la progresión: 3, 9, 27,………. Datos: An=a1 (Rn-1)
a1=3 An=3(310-1)
R= 3 An=3(39)
n= 20 An=3(19,683) An=59,049.
Ejemplo 3.
Si el primer término de una P. G. de 11 términos es 5, halle el último término sabiendo que la razón es 3.
Datos: Solución: a1=3 An=a1 (Rn-1)
R= 3 An=3(311-1)
n=20 An=5(310)
Fórmulas que se usan en las progresiones geométricas.
Si en la formula An=a1 (Rn-1) se despeja a a1tendremos que:
a1=
Esta fórmula se utiliza para hallar el primer término.
Ahora despejaremos a R.
An=a1 (Rn-1) Se divide todo por a1
Rn-1 =
ahora se busca la
y Ana1 por lo que:
= An
a1
luego:
R= Ana1 Esta fórmula se utiliza para hallar la razón.
De igual forma, si queremos saber la cantidad de términos que tiene una P. G. se despeja a n.
An=a1 (Rn-1) En este caso:
Rn-1 =
para despejar a n aplicamos la operación de logaritmación. Log (Rn-1)=Log
[
(n 1) Log R= Log
[
ahora dividimos por Log R en ambos lados.
n 1=
n=
+1 Con esta fórmula se calcula el número de términos.
Ejemplo 4.
¿Cuántos términos tiene una P. G. si el primero es 3, la razón es 4 y el último es 196,608?
Solución: Datos:
a1= 3
R=4
An=196,608
n=?
n=
+1
n=
,
+1 =
, +1=
. . +1
n= 8+1 n= 9
Ejemplo 5.
Halle el primer término de una P. G. de 11 términos sabiendo que la razón es 3 y que el último es 295,245.
Solución: Datos:
An=295,245
R= 3 n=11 a1=?
Ejemplo 6.
Halle la razón de una P. G. de 9 términos sabiendo que el primero es 7 y el último es 458,752.
Solución: Datos:
a1=7
An=458,752
n=9 R=?
Suma de los términos de una progresión geométrica.
Para hallar la suma de los términos de una P. G. usamos la fórmula:
Sn=
Ejemplo 1.
Halle la suma de los primeros 12 términos de la progresión: 3, 12, 48, 192,……….. Datos: Solución:
a1=3
n=12 R=4 Sn=?
a1=
a1= , =
,
,
a1= 5
R=
R=
,
R= 65,536 R=4
Sn=
Sn=
Sn= , ,
Sn= , , = , ,
Ejemplo 2.
Halle la suma de los primeros 10 términos de una P. G. Sabiendo que el primero es 5, la razón es 3 y el último es 98,415.
Datos: Solución: a1=5
n=10 R=3 Sn=?
Ejemplo 3.
Pedro inicia guardando $20,000 pesos y por cada día que pasa después del primero guarda la mitad de lo que guardó el día anterior.
¿Cuánto tendrá guardado a los 10 días? Datos: Solución:
a1=20,000
n=10 R= = 0.5 Sn=?
Sn=
Sn=
Sn= , ,
Sn= , , = , ,
Sn=24,414,060.
Sn=
Sn= , . .
Sn= , . .
Sn= , .
. =
, . .
Sn= 39,960.94
Aplicación de las progresiones geométricas en la solución de problemas.
Una de las muchas utilidades de las progresiones geométricas es su aplicación en la solución de problemas relacionados con situaciones de nuestra vida cotidiana.
Ejemplo 1.
Juan inicia un plan de ahorro por 20 días.
El primer día ahorra 1 peso con 50 ctvos y por cada día que pasaba ahorraba el doble de lo que había ahorrado el día anterior.
¿Cuánto tendrá que ahorrar el día número 20? A los 20 días ¿Cuánto tendrá ahorrado en total?
Datos: Solución: a1=1.5
n=20 R=2 An=?
A los 20 tendrá que ahorrar $786,432 pesos.
Para responder la segunda pregunta debemos calcular la suma de los términos de la progresión.
Datos: Solución: a1=1.5
n=20 R=2
A los 20 días tendrá un ahorro total de $ 1,572,862.5
An=a1 (Rn-1)
An=1.5(220-1)
An=1.5(219)
An=1.5(524,288)
An=786,432.
Sn=
Sn= .
Sn= . , ,
Interpolación de medios geométricos.
La interpolación es un procedimiento que nos permite, dados los extremos de una P. G. hallar los términos que van ubicados entre el primer termino y el ultimo. Ejemplos 1.
Interpolar 4 medios geométricos entre 5 y 1,215. Datos: Solución.
a1=5
An=1,215. n=6
En este caso la P. G. que se forma es: 5, 15, 45, 135, 405, 1,215.
Ejemplo 2.
Interpolar 6 medios geométricos entre 3 y 49,152.
Datos: Solución.
a1=3
An=49,152. n=8
R=
R= ,
R= 243
R=3
En este problema n=6 ya que tenemos los dos
extremos y en medio de ellos introduciremos 4 términos. Como primer paso debemos calcular la razón para luego determinar los términos que componen la progresión.
R=
R= ,
R= 16,384
Evaluación.
Halle el término número 12 de las P. G. siguientes. a. 2,8,32,128,………..
b. 7,21,63,189,……... c. 4,2,1,0.5,………… d. 3,12,48,192,……. e. 5,15,45,135,…….
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Halle el primer término de una P. G. de 7 términos sabiendo que el primero es 8, el último es 91.125 y la razón es 1.5
2. Si el primer término de una progresión geométrica de 9 términos es 7 y la razón es 2 ¿Cuál es último?
3. ¿Cuál es la razón de una P. G. de 13 términos si el primero es 2 y el último es 8,192?
4. ¿Cuántos términos tiene una progresión geométrica si el primero es 8, la razón es 8 y el último es 32,768?
5. ¿Cuál es la razón de una P. G. de 7 términos si el primero es 9 y el último es 6,561?
Halle la suma de los primeros 10 términos de las P. G. siguientes. a. 9, 27, 81, 243,………
b. 7, 28, 112, 448,……. c. 3, 18, 108, 648,…….
Resuelve los siguientes problemas aplicando progresiones geométricas.
1. Como regalo de cumpleaños el padre de un joven decide regalarle a su hijo un carro valorado en $850,000 pesos, pero el joven se niega a aceptar el regalo pidiéndole a cambio que iniciara dándole 10 centavos y que por cada día transcurrido le diera el doble de lo que le había dado el día anterior hasta completar 25 días.
Sin pensarlo el padre acepta la propuesta del joven. ¿Le convenía más al hijo la oferta de su padre?
¿Qué cantidad de dinero en total recibió el hijo de su padre?
2. Un caracol inicia un recorrido que dura 6 minutos.
En el primer minuto recorre 3.5 cm y luego de manera constante recorre de la distancia que recorrió en el minuto anterior.
¿Qué distancia en metros recorrió en total?
