OPCIÓN DE EXAMEN Nº 1
1) Sean las matrices
=
=
−
=
0
5
13
,
5
1
2
,
1
1
1
C
B
a
c
b
c
b
a
A
, con a, b y c números reales.
a) [1,75 PUNTOS] Calcule los valores de a, b y c para que AB = C
.
b) [1,5 PUNTOS] Calcule la inversa de A cuando a = 0, b = 1, c = −1( )
(
,
,
) (
1
,
2
,
3
)
1
11
2
5
2
5
10
10
5
4
6
5
4
3
2
5
3
11
33
33
11
33
4
11
11
0
0
2
5
0
0
5
1
53
4
11
1
25
0
2
5
0
0
5
1
2
4
11
1
0
5
2
5
0
0
5
1
2
5
4
2
5
11
5
0
5
13
5
2
5
1
2
5
2
0
5
13
5
1
2
1
1
1
)
−
=
⇒
⇒
=
⇒
=
⋅
+
=
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
=
−
⋅
+
⇒
−
=
−
=
⇒
−
=
⇒
−
−
−
≡
⇒
=
+
=
+
=
+
⇒
=
+
+
−
+
+
+
+
⇒
=
⋅
−
c
b
a
Solución
a
a
b
b
b
b
c
c
c
a
c
b
b
a
a
c
b
c
b
a
a
c
b
c
b
a
a
b) Una matriz tiene inversa si su determinante no es nulo
−
−
−
−
=
−
−
−
−
⋅
=
⇒
−
−
−
−
=
⇒
−
−
−
=
⋅
=
⇒
⇒
≠
=
+
=
−
⋅
=
−
=
−
−
−
=
− − −3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
3
2
1
1
1
2
1
1
1
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1 1 1A
A
adj
A
A
adj
A
A
A
Existe
A
t t t 2)Sea la función dada por
( )
<
−
<
≤
+
+
<
+
−
=
x
si
x
x
si
bx
ax
x
si
x
x
f
3
5
3
1
3
1
3
3
2 21) [1 PUNTO] Calcule a y b para que la función f sea continua en todo R.
2) [2,5 PUNTOS] Si a =1 y b = 2, calcule el área encerrada bajo la gráfica de f(x) entre
las rectas y = 0, x = 0 y x = 3
1) Estudiaremos la continuidad de f en x = 1 y x = 3
2
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(
)
(
)
(
) (
)
( )
2 2 2 3 3 2
2
3 1 3
1 2 3
1 3 1
0 1
0 2 3
1 2 1
0
2
2 2
2
2 2
2 2
6
145
6
52
102
9
3
26
17
2
3
6
8
3
26
3
2
3
1
3
3
1
3
1
3
3
1
0
1
3
0
1
2
3
3
2
1
2
3
1
3
2
1
3
3
2
3
3
0
11
3
2
2
2
2
3
,
1
2
0
2
3
3
2
1
3
2
1
1
,
0
2
1
,
3
5
5
0
5
0
5
0
8
3
1
4
2
0
3
2
1
,
1
3
3
0
3
3
0
3
5
3
1
3
2
1
3
3
)
2
u
A
A
x
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
A
positiva
es
x
f
f
x
Si
positiva
es
x
f
f
x
Si
x
x
x
x
corte
de
puntos
Sin
x
x
x
x
x
y
OX
con
corte
de
Puntos
x
si
x
x
si
x
x
x
si
x
x
f
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
+
+
−
=
−
⋅
+
−
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
−
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
−
=
+
+
+
+
−
=
⇒
>
=
+
⋅
+
=
⇒
∈
=
⇒
>
=
+
⋅
−
=
⇒
∈
=
∞
⇒
∉
±
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
<
−
=
⋅
⋅
−
=
∆
⇒
=
+
+
∞
−
∉
=
⇒
=
⇒
=
+
−
⇒
=
⇒
<
−
<
≤
+
+
<
+
−
=
∫
∫
3) Considere los puntos A = (1 , 1 , 1) , B = (0 , -1 , 1) y C = (2 , -1 , 2) en
ℜ
3 1) [1,5 PUNTOS] Calcule P, la proyección ortogonal del punto A sobre la recta BC. 2) [1 PUNTO] Calcule la distancia de A a la recta BC.3) [0,75 PUNTOS] Compruebe que
2 2
2 2
PB
CP
AB
CA
−
=
−
.1) Hallaremos un plano
π
que conteniendo al punto A es perpendicular a la recta BC, siendo su vector director el de la recta que es perpendicular al vector AG, G el punto generador del plano, y cuyo producto escalar es nulo y la ecuación del plano.La intersección de la recta BC con el plano hallado nos determinará el punto P
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
−
⇒
+
=
−
=
⋅
=
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
=
−
+
+
⇒
=
−
+
+
⋅
⇒
=
−
+
≡
⇒
=
−
+
−
⋅
⇒
=
−
−
−
⋅
⇒
=
⋅
⇒
⊥
⇒
=
−
−
−
=
−
=
⇒
+
=
−
=
=
=
⇒
=
−
−
−
=
5
7
,
1
,
5
4
5
2
1
1
5
2
2
5
2
2
5
0
2
5
0
3
1
4
0
3
1
2
2
sec
0
3
2
0
1
1
2
0
1
,
1
,
1
1
,
0
,
2
0
1
,
0
,
2
1
,
1
,
1
1
,
1
,
1
,
,
1
1
2
1
,
0
,
2
1
,
1
,
0
2
,
1
,
2
P
z
y
x
P
ción
Inter
z
x
z
x
z
y
x
AG
BC
AG
BC
BC
z
y
x
z
y
x
AG
z
y
x
BC
BC
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Continuación del problema 3 de la Opción de Examen nº 1
2) Es la distancia del punto A al punto P, o sea el modulo del vector AP
(
)
(
A
BC
)
d
(
A
P
)
AP
( )
u
d
AP
5
105
25
4
100
1
25
4
4
25
1
5
2
2
5
1
,
,
5
2
,
2
,
5
1
1
,
1
,
1
5
7
,
1
,
5
4
2 2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
−
+
−
=
=
=
−
−
=
−
−
=
3)
(
) (
) (
)
( ) ( )
(
) (
) (
)
( )
( )
(
)
(
)
( ) ( )
comprobada
Igualdad
PB
CP
AB
CA
CP
PB
CP
CP
CA
CA
AB
AB
25
25
1
25
20
25
45
5
6
5
20
5
45
5
6
5
20
5
2
0
5
4
5
2
,
0
,
5
4
5
7
,
1
,
5
4
1
,
1
,
0
5
45
5
3
0
5
6
5
3
,
0
,
5
6
2
,
1
,
2
5
7
,
1
,
5
4
6
1
2
1
1
,
2
,
1
2
,
1
,
2
1
,
1
,
1
5
0
2
1
0
,
2
,
1
1
,
1
,
1
1
,
1
,
0
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2 2
=
⇒
−
=
−
⇒
−
=
−
⇒
−
=
−
⇒
=
−
+
+
−
=
⇒
−
−
=
−
−
−
=
=
−
+
+
−
=
⇒
−
−
=
−
−
−
=
=
−
+
+
−
=
⇒
−
−
=
−
−
=
=
+
−
+
−
=
⇒
−
−
=
−
4
1) Considere el sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro:
−
=
−
−
1
5
1
3
0
1
1
2
3
3
0
z
y
x
a
a
a
1) [3,25 PUNTOS] Estudie el comportamiento del sistema dependiendo del valor del parámetro a ∈ R.
Calcule todas sus soluciones cuando el sistema sea compatible.
(
)
( )
(
)
( ) (
)
( ) (
)
(
)
{ }
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
=
⇒
⇒
=
⇒
−
=
−
−
⇒
−
=
⋅
−
−
⇒
−
=
⇒
+
−
=
⇒
−
−
=
⇒
=
⋅
−
+
⇒
=
⇒
−
=
−
⇒
−
=
−
⇒
−
−
−
−
−
−
≡
−
−
−
⇒
<
=
=
⇒
−
≡
−
−
−
=
⇒
=
≠
=
⇒
−
−
=
⇒
=
=
⇒
≠
⇒
−
ℜ
∈
∀
=
⇒
=
−
=
⇒
=
−
⇒
=
−
−
⇒
=
=
⇒
−
−
=
−
−
=
+
−
⋅
=
−
−
⋅
=
−
−
=
a
a
a
z
y
x
Solución
x
x
a
a
x
a
a
y
a
a
a
y
a
a
y
a
a
y
a
z
a
z
a
a
a
z
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ado
Deter
Compatible
Sistema
es
Cuando
ado
er
In
Compatible
Sistema
incógnitas
de
Número
B
A
rang
A
rang
a
Si
le
Incompatib
Sistema
B
A
rang
A
rang
a
Si
ado
Deter
Compatible
Sistema
incógnitas
de
Número
A
rang
A
a
a
a
a
a
a
a
a
A
Si
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
3
1
,
6
1
15
,
0
,
,
0
1
1
1
3
1
3
6
1
15
3
9
1
6
2
3
9
1
2
2
2
3
1
9
1
2
3
1
1
1
3
1
3
3
1
2
1
3
0
1
9
1
2
0
3
3
0
0
1
5
1
3
0
1
1
2
3
3
0
min
min
det
2
/
0
2
1
0
0
0
8
2
0
3
0
1
1
5
1
3
0
1
1
2
3
3
0
1
1
3
/
2
1
5
1
0
0
1
1
2
3
0
0
0
0
min
3
0
1
,
0
1
0
1
0
0
1
0
1
6
0
1
6
6
3
3
2
3
1
3
2
3
0
1
1
2
3
3
0
2 2
Continuación del problema 1 de la Opción de Examen nº 2
(
,
,
) (
1
3
λ
,
1
4
λ
,
λ
)
4
1
8
2
2
2
8
2
3
1
1
3
0
2
1
0
0
0
8
2
0
3
0
1
min
det
1
+
−
=
⇒
⇒
+
=
⇒
+
=
⇒
=
−
⇒
−
=
⇒
=
+
⇒
−
=
z
y
x
Solución
z
y
z
y
z
y
z
x
z
x
ado
er
In
Compatible
Sistema
es
a
Cuando
2) Sea
( )
4
2+
=
x
x
x
f
1) [2,5 PUNTOS] Estudie el dominio de f, corte con los ejes, simetrías respecto del eje OY, y respeto del
origen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales y asíntotas de la función f(x).
2) [1 PUNTO] Dibuje un esbozo de la gráfica de
f
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)(
)
)
( )
(
)(
)
(
)
(
)
( )
( )
f
( )
x
Simétrico
respecto
al
origen
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Creciente
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
y
OX
eje
el
con
Corte
f
x
OY
eje
el
con
Corte
x
f
Dom
en
solución
Sin
x
x
x
⇒
−
=
+
−
=
+
−
−
=
−
ℜ
∈
∀
⇒
>
+
−
>
⇒
>
+
<
⇒
−
>
−
⇒
>
−
⇒
>
+
+
−
⇒
>
⇒
⇒
+
+
−
=
+
−
=
+
−
+
=
+
⋅
−
+
=
=
⇒
+
=
⇒
=
⇒
=
=
+
=
⇒
=
⇒
ℜ
∈
∀
=
⇒
ℜ
⇒
−
±
=
⇒
−
=
⇒
=
+
4
4
0
4
2
0
2
2
2
0
2
0
4
2
2
0
'
4
2
2
4
4
4
2
4
4
2
4
'
0
4
0
0
0
4
0
4
0
0
0
0
4
4
0
4
)
1
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
−
∞
-2 2∞
x > -2 ( - ) ( + ) ( + )
x < 2 ( + ) ( + ) ( - )
(x2 + 4)2 > 0 ( + ) ( + ) ( + )
Solución ( - ) ( + ) ( - )
Creciente
∀
x
∈
ℜ
/
−
2
<
x
<
2
Decreciente∀
x
∈
ℜ
/
(
x
<
−
2
) (
∪
x
>
2
)
Mínimo relativo( )
( )
4
1
8
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
=
−
+
−
−
=
−
⇒
−
=
f
x
de Decrecimiento pasa a CrecimientoMáximo relativo
( )
4
1
8
2
2
2
2
2
2
2 2=
=
+
=
⇒
=
f
6
Asíntotas verticales
No existen asíntotas verticales
Asíntotas horizontales
( )
( )
−∞
→
=
⇒
=
∞
−
=
=
→
=
∞
∞
=
+
=
=
∞
→
=
⇒
=
∞
=
=
→
=
∞
∞
=
+
=
=
−∞ → −∞
→ −∞
→
∞ → ∞
→ ∞
→
x
cuando
y
horizontal
asíntota
Existe
x
x
x
x
f
y
x
cuando
y
horizontal
asíntota
Existe
x
x
x
x
f
y
x Hopital L Aplicando x
x
x Hopital L Aplicando x
x
,
0
,
0
1
2
1
lim
4
lim
lim
,
0
,
0
1
2
1
lim
4
lim
lim
' 2
' 2
Asíntotas oblicuas
( )
( )
−∞
→
=
+
=
∞
+
∞
=
−
=
+
=
∞
−
∞
−
=
+
=
+
=
=
∞
→
=
+
=
∞
+
∞
=
−
=
+
=
∞
∞
=
+
=
+
=
=
−∞ → −∞
→ −∞
→ −∞
→ −∞
→
∞ → ∞
→ ∞
→ ∞
→ ∞
→
x
cuando
oblicua
asíntota
existe
No
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
m
x
cuando
oblicua
asíntota
existe
No
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
m
x x
x x
x
x x
x x
x
0
0
1
0
1
1
1
4
1
1
lim
4
lim
4
lim
4
lim
lim
0
0
1
0
1
1
1
4
1
1
lim
4
lim
4
lim
4
lim
lim
2 2
3 3 3
3
3 2
2 2
3 3 3
3
3 2
2)
Y
3.- Sean P = (1 , −1 , 1) , Q = (0 , 1 , 3) , R = (1 , 2 , 2) tres puntos de R3.
1) [1 PUNTO] Calcule un vector v con la misma dirección y sentido que
PQ
y con el mismo módulo queQR
.2) [1 PUNTO] ¿Están los puntos P, Q y R alineados? En caso negativo, calcule el área del triángulo PQR. 3) [1’25 PUNTOS] Calcule una recta perpendicular a
PQ
que pase por el puntoR(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
( )
( )
−
=
⋅
=
⇒
−
=
⇒
=
=
+
+
−
=
⇒
=
−
+
+
=
⇒
−
=
−
=
−
=
−
−
=
3
3
2
,
3
3
2
,
3
3
3
3
2
,
3
2
,
3
1
3
9
2
2
1
3
1
1
1
1
,
1
,
1
3
,
1
,
0
2
,
2
,
1
2
,
2
,
1
1
,
1
,
1
3
,
1
,
0
)
1
2 2 2
2 2
2
PQ
v
PQ
PQ
PQ
unitario
Vector
QR
QR
PQ
b) El vector PQ es igual o proporcional al vector PR si los puntos están alineados
(
)
(
) (
) (
)
Los
puntos
no
están
alineados
PR
PQ
⇒
−
≠
⇒
=
−
−
=
−
=
3
2
0
1
1
,
3
,
0
1
,
1
,
1
2
,
2
,
1
2
,
2
,
1
)
2
El área del triángulo que forman los dos vectores, que tienen el mismo origen, es la mitad del módulo de su producto vectorial
( )
2 2( )
2 22
26
26
2
1
2
1
26
3
1
4
3
4
6
3
2
1
3
0
2
2
1
2
1
u
A
PR
PQ
A
PR
PQ
k
j
i
j
i
k
i
k
j
i
PR
PQ
PR
PQ
A
=
⋅
=
=
∧
=
⇒
=
−
+
+
−
=
∧
⇒
−
+
−
=
+
−
−
=
−
=
∧
⇒
∧
=
3) Se hallará un plano
π
que contenga el punto R. que tendrá como vector director el vector PQ que al serperpendicular al vector RG, donde G es el punto genérico del plano ,siendo el producto escalar de ambos nulo y la ecuación que se quería hallar.
Una vez hallado una recta s que tenga como vector director PQ, hallaremos su punto de intersección T con el plano hallado, el vector RT es el director de la recta pedida y con uno de los puntos (R o T) queda definida la recta t.