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OPCIÓN DE EXAMEN Nº 1

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Academic year: 2018

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(1)

OPCIÓN DE EXAMEN Nº 1

1) Sean las matrices

=

=

=

0

5

13

,

5

1

2

,

1

1

1

C

B

a

c

b

c

b

a

A

, con a, b y c números reales

.

a) [1,75 PUNTOS] Calcule los valores de a, b y c para que AB = C

.

b) [1,5 PUNTOS] Calcule la inversa de A cuando a = 0, b = 1, c = −1

( )

(

,

,

) (

1

,

2

,

3

)

1

11

2

5

2

5

10

10

5

4

6

5

4

3

2

5

3

11

33

33

11

33

4

11

11

0

0

2

5

0

0

5

1

53

4

11

1

25

0

2

5

0

0

5

1

2

4

11

1

0

5

2

5

0

0

5

1

2

5

4

2

5

11

5

0

5

13

5

2

5

1

2

5

2

0

5

13

5

1

2

1

1

1

)

=

=

=

+

=

=

=

=

=

+

=

=

=

=

+

=

+

=

+

=

+

+

+

+

+

+

=

c

b

a

Solución

a

a

b

b

b

b

c

c

c

a

c

b

b

a

a

c

b

c

b

a

a

c

b

c

b

a

a

b) Una matriz tiene inversa si su determinante no es nulo

=

=

=

=

=

=

+

=

=

=

=

− − −

3

1

3

1

3

2

3

2

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

3

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

3

2

1

1

1

2

1

1

1

1

0

2

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1 1 1

A

A

adj

A

A

adj

A

A

A

Existe

A

t t t 2)

Sea la función dada por

( )

<

<

+

+

<

+

=

x

si

x

x

si

bx

ax

x

si

x

x

f

3

5

3

1

3

1

3

3

2 2

1) [1 PUNTO] Calcule a y b para que la función f sea continua en todo R.

2) [2,5 PUNTOS] Si a =1 y b = 2, calcule el área encerrada bajo la gráfica de f(x) entre

las rectas y = 0, x = 0 y x = 3

1) Estudiaremos la continuidad de f en x = 1 y x = 3

(2)

2

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

(

)

(

)

(

) (

)

( )

2 2 2 3 3 2

2

3 1 3

1 2 3

1 3 1

0 1

0 2 3

1 2 1

0

2

2 2

2

2 2

2 2

6

145

6

52

102

9

3

26

17

2

3

6

8

3

26

3

2

3

1

3

3

1

3

1

3

3

1

0

1

3

0

1

2

3

3

2

1

2

3

1

3

2

1

3

3

2

3

3

0

11

3

2

2

2

2

3

,

1

2

0

2

3

3

2

1

3

2

1

1

,

0

2

1

,

3

5

5

0

5

0

5

0

8

3

1

4

2

0

3

2

1

,

1

3

3

0

3

3

0

3

5

3

1

3

2

1

3

3

)

2

u

A

A

x

x

x

x

x

dx

x

x

dx

x

A

positiva

es

x

f

f

x

Si

positiva

es

x

f

f

x

Si

x

x

x

x

corte

de

puntos

Sin

x

x

x

x

x

y

OX

con

corte

de

Puntos

x

si

x

x

si

x

x

x

si

x

x

f

=

+

+

=

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

>

=

+

+

=

=

>

=

+

=

=

±

=

=

=

=

<

=

=

=

+

+

=

=

=

+

=

<

<

+

+

<

+

=

3) Considere los puntos A = (1 , 1 , 1) , B = (0 , -1 , 1) y C = (2 , -1 , 2) en

3 1) [1,5 PUNTOS] Calcule P, la proyección ortogonal del punto A sobre la recta BC. 2) [1 PUNTO] Calcule la distancia de A a la recta BC.

3) [0,75 PUNTOS] Compruebe que

2 2

2 2

PB

CP

AB

CA

=

.

1) Hallaremos un plano

π

que conteniendo al punto A es perpendicular a la recta BC, siendo su vector director el de la recta que es perpendicular al vector AG, G el punto generador del plano, y cuyo producto escalar es nulo y la ecuación del plano.

La intersección de la recta BC con el plano hallado nos determinará el punto P

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

+

=

=

=

=

=

=

=

+

+

=

+

+

=

+

=

+

=

=



=

=

=

+

=

=

=

=

=

=

5

7

,

1

,

5

4

5

2

1

1

5

2

2

5

2

2

5

0

2

5

0

3

1

4

0

3

1

2

2

sec

0

3

2

0

1

1

2

0

1

,

1

,

1

1

,

0

,

2

0

1

,

0

,

2

1

,

1

,

1

1

,

1

,

1

,

,

1

1

2

1

,

0

,

2

1

,

1

,

0

2

,

1

,

2

P

z

y

x

P

ción

Inter

z

x

z

x

z

y

x

AG

BC

AG

BC

BC

z

y

x

z

y

x

AG

z

y

x

BC

BC

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

(3)

Continuación del problema 3 de la Opción de Examen nº 1

2) Es la distancia del punto A al punto P, o sea el modulo del vector AP

(

)

(

A

BC

)

d

(

A

P

)

AP

( )

u

d

AP

5

105

25

4

100

1

25

4

4

25

1

5

2

2

5

1

,

,

5

2

,

2

,

5

1

1

,

1

,

1

5

7

,

1

,

5

4

2 2

2

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=

=

=

=

3)

(

) (

) (

)

( ) ( )

(

) (

) (

)

( )

( )

(

)

(

)

( ) ( )

comprobada

Igualdad

PB

CP

AB

CA

CP

PB

CP

CP

CA

CA

AB

AB

25

25

1

25

20

25

45

5

6

5

20

5

45

5

6

5

20

5

2

0

5

4

5

2

,

0

,

5

4

5

7

,

1

,

5

4

1

,

1

,

0

5

45

5

3

0

5

6

5

3

,

0

,

5

6

2

,

1

,

2

5

7

,

1

,

5

4

6

1

2

1

1

,

2

,

1

2

,

1

,

2

1

,

1

,

1

5

0

2

1

0

,

2

,

1

1

,

1

,

1

1

,

1

,

0

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2 2

=

=

=

=

=

+

+

=

=

=

=

+

+

=

=

=

=

+

+

=

=

=

=

+

+

=

=

(4)

4

1) Considere el sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro:

=

1

5

1

3

0

1

1

2

3

3

0

z

y

x

a

a

a

1) [3,25 PUNTOS] Estudie el comportamiento del sistema dependiendo del valor del parámetro a R.

Calcule todas sus soluciones cuando el sistema sea compatible.

(

)

( )

(

)

( ) (

)

( ) (

)

(

)

{ }

( )

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=

=

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

<

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

+

=

=

=

a

a

a

z

y

x

Solución

x

x

a

a

x

a

a

y

a

a

a

y

a

a

y

a

a

y

a

z

a

z

a

a

a

z

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

ado

Deter

Compatible

Sistema

es

Cuando

ado

er

In

Compatible

Sistema

incógnitas

de

Número

B

A

rang

A

rang

a

Si

le

Incompatib

Sistema

B

A

rang

A

rang

a

Si

ado

Deter

Compatible

Sistema

incógnitas

de

Número

A

rang

A

a

a

a

a

a

a

a

a

A

Si

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

3

1

,

6

1

15

,

0

,

,

0

1

1

1

3

1

3

6

1

15

3

9

1

6

2

3

9

1

2

2

2

3

1

9

1

2

3

1

1

1

3

1

3

3

1

2

1

3

0

1

9

1

2

0

3

3

0

0

1

5

1

3

0

1

1

2

3

3

0

min

min

det

2

/

0

2

1

0

0

0

8

2

0

3

0

1

1

5

1

3

0

1

1

2

3

3

0

1

1

3

/

2

1

5

1

0

0

1

1

2

3

0

0

0

0

min

3

0

1

,

0

1

0

1

0

0

1

0

1

6

0

1

6

6

3

3

2

3

1

3

2

3

0

1

1

2

3

3

0

2 2

(5)

Continuación del problema 1 de la Opción de Examen nº 2

(

,

,

) (

1

3

λ

,

1

4

λ

,

λ

)

4

1

8

2

2

2

8

2

3

1

1

3

0

2

1

0

0

0

8

2

0

3

0

1

min

det

1

+

=

+

=

+

=

=

=

=

+

=

z

y

x

Solución

z

y

z

y

z

y

z

x

z

x

ado

er

In

Compatible

Sistema

es

a

Cuando

2) Sea

( )

4

2

+

=

x

x

x

f

1) [2,5 PUNTOS] Estudie el dominio de f, corte con los ejes, simetrías respecto del eje OY, y respeto del

origen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales y asíntotas de la función f(x).

2) [1 PUNTO] Dibuje un esbozo de la gráfica de

f

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)(

)

)

( )

(

)(

)

(

)

(

)

( )

( )

f

( )

x

Simétrico

respecto

al

origen

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

Creciente

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

y

OX

eje

el

con

Corte

f

x

OY

eje

el

con

Corte

x

f

Dom

en

solución

Sin

x

x

x

=

+

=

+

=

>

+

>

>

+

<

>

>

>

+

+

>

+

+

=

+

=

+

+

=

+

+

=

=

+

=

=

=

=

+

=

=

=

±

=

=

=

+

4

4

0

4

2

0

2

2

2

0

2

0

4

2

2

0

'

4

2

2

4

4

4

2

4

4

2

4

'

0

4

0

0

0

4

0

4

0

0

0

0

4

4

0

4

)

1

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

-2 2

x > -2 ( - ) ( + ) ( + )

x < 2 ( + ) ( + ) ( - )

(x2 + 4)2 > 0 ( + ) ( + ) ( + )

Solución ( - ) ( + ) ( - )

Creciente

x

/

2

<

x

<

2

Decreciente

x

/

(

x

<

2

) (

x

>

2

)

Mínimo relativo

( )

( )

4

1

8

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=

+

=

=

f

x

de Decrecimiento pasa a Crecimiento

Máximo relativo

( )

4

1

8

2

2

2

2

2

2

2 2

=

=

+

=

=

f

(6)

6

Asíntotas verticales

No existen asíntotas verticales

Asíntotas horizontales

( )

( )

−∞

=

=

=

=

=

=

+

=

=

=

=

=

=

=

=

+

=

=

−∞ → −∞

→ −∞

∞ → ∞

→ ∞

x

cuando

y

horizontal

asíntota

Existe

x

x

x

x

f

y

x

cuando

y

horizontal

asíntota

Existe

x

x

x

x

f

y

x Hopital L Aplicando x

x

x Hopital L Aplicando x

x

,

0

,

0

1

2

1

lim

4

lim

lim

,

0

,

0

1

2

1

lim

4

lim

lim

' 2

' 2

Asíntotas oblicuas

( )

( )

−∞

=

+

=

+

=

=

+

=

=

+

=

+

=

=

=

+

=

+

=

=

+

=

=

+

=

+

=

=

−∞ → −∞

→ −∞

→ −∞

→ −∞

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞

→ ∞

x

cuando

oblicua

asíntota

existe

No

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

m

x

cuando

oblicua

asíntota

existe

No

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

m

x x

x x

x

x x

x x

x

0

0

1

0

1

1

1

4

1

1

lim

4

lim

4

lim

4

lim

lim

0

0

1

0

1

1

1

4

1

1

lim

4

lim

4

lim

4

lim

lim

2 2

3 3 3

3

3 2

2 2

3 3 3

3

3 2

2)

Y

(7)

3.- Sean P = (1 , −1 , 1) , Q = (0 , 1 , 3) , R = (1 , 2 , 2) tres puntos de R3.

1) [1 PUNTO] Calcule un vector v con la misma dirección y sentido que

PQ

y con el mismo módulo que

QR

.

2) [1 PUNTO] ¿Están los puntos P, Q y R alineados? En caso negativo, calcule el área del triángulo PQR. 3) [1’25 PUNTOS] Calcule una recta perpendicular a

PQ

que pase por el puntoR

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

( )

( )

=

=

=

=

=

+

+

=

=

+

+

=



=

=

=

=

3

3

2

,

3

3

2

,

3

3

3

3

2

,

3

2

,

3

1

3

9

2

2

1

3

1

1

1

1

,

1

,

1

3

,

1

,

0

2

,

2

,

1

2

,

2

,

1

1

,

1

,

1

3

,

1

,

0

)

1

2 2 2

2 2

2

PQ

v

PQ

PQ

PQ

unitario

Vector

QR

QR

PQ

b) El vector PQ es igual o proporcional al vector PR si los puntos están alineados

(

)

(

) (

) (

)

Los

puntos

no

están

alineados

PR

PQ



=

=

=

3

2

0

1

1

,

3

,

0

1

,

1

,

1

2

,

2

,

1

2

,

2

,

1

)

2

El área del triángulo que forman los dos vectores, que tienen el mismo origen, es la mitad del módulo de su producto vectorial

( )

2 2

( )

2 2

2

26

26

2

1

2

1

26

3

1

4

3

4

6

3

2

1

3

0

2

2

1

2

1

u

A

PR

PQ

A

PR

PQ

k

j

i

j

i

k

i

k

j

i

PR

PQ

PR

PQ

A

=

=

=

=

=

+

+

=

+

=

+

=

=

=

3) Se hallará un plano

π

que contenga el punto R. que tendrá como vector director el vector PQ que al ser

perpendicular al vector RG, donde G es el punto genérico del plano ,siendo el producto escalar de ambos nulo y la ecuación que se quería hallar.

Una vez hallado una recta s que tenga como vector director PQ, hallaremos su punto de intersección T con el plano hallado, el vector RT es el director de la recta pedida y con uno de los puntos (R o T) queda definida la recta t.

(

)

(

) (

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

9

8

8

9

0

8

9

0

7

4

2

4

2

1

0

7

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

,

1

,

1

2

,

2

,

1

sec

0

7

2

2

0

7

2

2

0

2

2

2

2

1

2

,

2

,

1

2

,

2

,

1

0

2

,

2

,

1

2

,

2

,

1

,

,

2

,

2

,

1

=

=

=

+

=

+

+

=

+

+

+

+

=

+

=

=



=

=

+

=

+

+

=

+

+

=

=



=

=

=

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

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π

z

y

x

s

P

PQ

Siendo

ción

Inter

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

RG

PQ

RG

PQ

z

y

x

z

y

x

RG

(8)

8

3) Continuación

(

)

(

)

=

+

=

+

=

=

=



+

=

+

=

=

µ

µ

µ

7

2

11

2

8

1

7

,

11

,

8

9

7

,

9

11

,

9

8

2

,

2

,

1

9

25

,

9

7

,

9

1

9

25

,

9

7

,

9

1

9

8

2

1

9

8

2

1

9

8

1

z

y

x

t

RT

z

T

y

x

Referencias

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