TEMA 2.- CINEMÁTICA
2.1.- ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
2.2.- VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA 2.3.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
2.4.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO 2.5.- CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL
2.6.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME CINEMÁTICA
La cinemática es la parte de la física que se encarga de estudiar los movimientos sin tener en cuenta la causa que los produce. De esta manera, las magnitudes como velocidad, aceleración, posición… son magnitudes características de la cinemática.
2.1.- ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
La ecuación del movimiento es una ecuación que nos proporciona la posición de un cuerpo en función del tiempo, esto es, dado un valor del tiempo, la ecuación del movimiento nos da el lugar en el que se encuentra este cuerpo respecto del origen del sistema de referencia.
Ejemplo 1.- La ecuación del movimiento de un móvil viene dada por la función 𝑠(𝑡) = 2𝑡2+ 3𝑡. Calcula la posición de la partícula en t=0 y en t=5
s.
Para calcular la posición en un determinado instante de tiempo, lo único que tenemos que hacer es sustituir el valor del tiempo en la ecuación:
𝑠(𝑡 = 0) = 2 · 02 + 3 · 0 = 0 𝑚
𝑠(𝑡 = 5) = 2 · 52 + 3 · 5 = 65 𝑚
Con lo que podemos decir, que en t=0 el móvil se encuentra en el origen del sistema de referencia, y en t=5 s el móvil se encuentra a 65 metros de origen de coordenadas.
2.2.- VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Definimos la velocidad media de un cuerpo como el cociente entre el desplazamiento y el tiempo que se ha empleado en dicho desplazamiento:
< 𝑣 >=𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Sin embargo, un móvil no necesariamente se mueve siempre a la misma velocidad. Así, definimos la velocidad instantánea como el valor de la velocidad que tiene el móvil en cada instante de tiempo.
2.3.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
El movimiento rectilíneo uniforme es un movimiento que tiene lugar en línea recta y además la velocidad de dicho movimiento se mantiene constante durante el mismo. Es decir, la velocidad siempre tiene el mismo valor.
Gráficamente, las representaciones que se pueden hacer de este movimiento son:
Las ecuaciones de un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo uniforme son:
𝑣 = 𝑣0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑟(𝑡) = 𝑟0 ± 𝑣0· 𝑡
En las ecuaciones anteriores, r0 representa la posición inicial del móvil y
v0 representa la velocidad del movimiento, el ± indica el sentido del
movimiento. Si el movimiento tiene lugar en la dirección positiva del eje, pondremos signo + y pondremos singo negativo en el caso contrario (movimiento en la dirección negativa del eje)
Ejemplo 2.- Un cuerpo situado inicialmente a 5 m de un árbol que tomaremos como origen se mueve hacia la derecha alejándose del árbol a una velocidad de 5 m/s. Plantea la ecuación del movimiento y calcula la posición del móvil a los 2 s de haberse iniciado el movimiento.
Como la posición inicial nos dicen que está a 5 m del origen asignaremos los siguientes valores:
𝑟0 = 5 𝑚
𝑣0 = +2 𝑚/𝑠
𝑟(𝑡) = 5 + 2 · 𝑡
Para calcular la posición del móvil a los 2 segundos de haber iniciado el movimiento, solamente tenemos que sustituir el tiempo por 2 s:
𝑟(𝑡 = 2) = 5 + 2 · 2 = 9 𝑚
Ejemplo 3.- Desde un punto A parte un coche hacia un punto B situado a 2500 m de A a 15 m/s. Al mismo tiempo, desde B sale una moto hacia A a una velocidad de 20 m/s. Calcular las ecuaciones de ambos cuerpos y el punto de encuentro, así como el tiempo que tardan en encontrarse:
15 m /s 2500 m 20 m/s
La ecuación del cuerpo que sale de A y B será:
𝑟𝐴 = 15 · 𝑡
𝑟𝐵 = 2500 − 20𝑡
El punto de encuentro de ambos cuerpos se obtiene igualando las ecuaciones del movimiento:
𝑟𝐴 = 𝑟𝐵 ⇒ 15 · 𝑡 = 2500 − 20𝑡
𝑡 = 71.43 𝑠
Por lo tanto, se encontrarán al cabo de 71.43 s. El punto de encuentro se obtendrá sustituyendo el tiempo en cualquiera de las ecuaciones anteriores:
𝑟𝐴 = 15 · 𝑡 ⇒ 𝑟𝐴 = 15 · 71.43 = 1071.45 𝑚
Esto quiere decir que se encuentra a 1071.45 m de distancia de A
Ejemplo 4.- Repetir el problema anterior, pero para el caso en el que el cuerpo que sale de B sale 5 segundos más tarde que el que sale de A
En este caso, el cuerpo que sale de B está rodando 5 segundos menos, por lo que, en vez de t, hemos de poner (t-5) en las ecuaciones.
𝑟𝐴 = 15 · 𝑡
𝑟𝐵= 2500 − 20(𝑡 − 5)
Para calcular el tiempo de encuentro y el punto en el que se cruzan:
15 · 𝑡 = 2500 − 20(𝑡 − 5)
𝑡 = 74.28 𝑠 El lugar en el que se encuentran:
𝑟𝐴 = 15 · 𝑡 ⇒ 𝑟𝐴 = 15 · 74.28 = 1114.2 𝑚
2.4.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es aquel en el que la aceleración es constante, por lo que la velocidad no será constante en este caso.
En lo que se refiere a las ecuaciones:
𝑣 = 𝑣0± 𝑎 · 𝑡
𝑟 = 𝑟0 + 𝑣0· 𝑡 ± 1 2⁄ · 𝑎 · 𝑡2
En estas ecuaciones utilizaremos los signos + para movimiento de aceleración y – para los movimientos de frenado.
Ejemplo 4.- Un coche se mueve a una velocidad de 20 m/s, decelera a razón de 2 m/s2 hasta que se para. Calcular el tiempo que tarda en
pararse y el espacio que recorre hasta detenerse
Si el coche se para, la velocidad final es cero, con lo cual, las ecuaciones anteriores quedan:
0 = 20 − 2 · 𝑡 ⇒ 𝑡 = 10 𝑠
𝑟 = 0 + 20 · 10 − 1 2⁄ · 2 · 102 ⇒ 𝑟 = 100 𝑚
Es decir, el coche tarda 10 s en detenerse y recorre 100 m hasta que se para del todo.
Ejemplo 5.- Un coche se mueve a una velocidad de 20 m/s, frena y se para utilizando 200 m para pararse del todo. Calcula el valor de la aceleración y el tiempo que tarda en detenerse.
Las ecuaciones anteriores quedan:
0 = 20 − 𝑎 · 𝑡
200 = 20 · 𝑡 − 1 2⁄ · 𝑎 · 𝑡2
Esto forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejando una de ellas de la primera ecuación:
Ahora sustituimos en la segunda:
200 = 20 ·20
𝑎 − 1 2⁄ · 𝑎 · ( 20
𝑎)
2
𝑎 = 1 𝑚/𝑠
Una vez calculada la aceleración, podemos calcular el tiempo empleado en la parada:
𝑡 =20
𝑎 = 20 𝑠 2.5.- CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL
La caída libre y el tiro vertical son movimientos que tienen lugar en el eje vertical sometidos a la aceleración de la gravedad.
Para el tiro vertical, tendremos en cuenta que lanzamos un cuerpo hacia arriba desde una altura h0 determinada a una velocidad inicial v0. Las
ecuaciones del movimiento son:
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔 · 𝑡
ℎ = ℎ0 + 𝑣0· 𝑡 − 1 2⁄ · 𝑔 · 𝑡2
Para la caída libre, tendremos en cuenta, que dejamos caer un cuerpo (con velocidad inicial nula) desde una altura h0. Las ecuaciones del
movimiento son:
𝑣 = −𝑔 · 𝑡
ℎ = ℎ0− 1 2⁄ · 𝑔 · 𝑡2
Ejemplo 6.- Dejamos caer desde una altura de 25 m un cuerpo. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo.
Si llega al suelo, la altura fina será cero, por lo tanto las ecuaciones de la caída libre nos quedará:
ℎ = ℎ0− 1 2⁄ · 𝑔 · 𝑡2
0 = 25 − 1 2⁄ · 9.8 · 𝑡2 ⟹ 𝑡 = 2.26 𝑠
Ejemplo 7.- Lanzamos desde una altura inicial de 5 m un cuerpo hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/s. Calcula la altura máxima que alcanza y el tiempo que tarda en llegar al suelo.
Las ecuaciones del tiro vertical son:
ℎ = ℎ0 + 𝑣0· 𝑡 − 1 2⁄ · 𝑔 · 𝑡2
Sustituyendo los datos que nos da el problema las ecuaciones quedarán:
𝑣 = 12 − 9.8 · 𝑡
ℎ = 5 + 12 · 𝑡 − 4.9 · 𝑡2
Lo primero que nos pregunta el problema es la altura máxima. La altura máxima tiene lugar cuando la velocidad se anula.
12 − 9.8 · 𝑡 = 0 ⟹ 𝑡 = 1.22 𝑠
Este es el tiempo que tarda en llegar al punto de máxima altura. Para calcular el valor de esta altura, tendremos que sustituir este tiempo en la ecuación de la altura
ℎ = 5 + 12 · 1.22 − 4.9 · 1.222 = 12.35 𝑚
Posteriormente nos preguntan el tiempo que tarda en llegar al suelo. Para ello, tendremos en cuenta que cuando llega al suelo h=0. Sustituyendo en la ecuación correspondiente:
0 = 5 + 12 · 𝑡 − 4.9 · 𝑡2
Que tiene como solución positiva (la solución negativa se deshecha por no tener significado físico):
𝑡 = 2.81 𝑠
2.6.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
El movimiento circular uniforme es aquel en el que la trayectoria de la partícula es circular y el módulo de la velocidad es constante.
En el movimiento circular uniforme se define una magnitud llamada velocidad angular:
𝜔 =á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑔𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
En la expresión anterior, el ángulo ha de estar expresado en radianes y el tiempo en segundos, con lo cual, la unidad de la velocidad angular es rad/s.
Relacionado con esta magnitud tenemos el periodo (T). Se define el periodo como el tiempo que tarda el móvil en describir una vuelta entera. Se calcula como:
También se puede calcular la frecuencia. Se define la frecuencia como el número de vueltas que da el cuerpo en 1 segundo. La frecuencia es la inversa del periodo y se puede calcular como:
𝑓 = 𝜔 2𝜋
La unidad de frecuencia en el sistema internacional es el Hercio (Hz)
También se puede calcular la velocidad lineal (v) de un punto que está describiendo una trayectoria circular como:
𝑣 = 𝜔 · 𝑅
Siendo R el radio de la circunferencia que está describiendo el móvil
Ejemplo 8.- Una rueda de una bicicleta está girando a razón de 50 rad/s. Calcula:
a) El periodo b) La frecuencia
c) La velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda si tiene un radio de 20 cm
Para calcular el periodo:
𝑇 =2𝜋 𝜔 =
2𝜋
50 = 0.125 𝑠 La frecuencia es la inversa del periodo:
𝑓 =1 𝑇=
1
0.125= 8 𝐻𝑧
La velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda la calcularemos como:
