01. Una onda transversal y A sen
t k x
tiene una frecuencia de 50 Hz y se desplaza con una velocidadde 0,32 m/s. En el instante inicial la velocidad de la partícula situada en el origen tiene un valor de 4 m/s. Calcular:
a) Sentido de propagación de la onda a lo largo del eje X. b) La amplitud, el número de onda y la frecuencia angular ω.
1 v 0,32 3 2 1
2 f 100 rad·s vT 6,4·10 m k 981,75m
f 50
La onda se propaga hacia la izquierda (+) y su ecuación es y A sen 100 t 981,8 x
la velocidad de vibración es v dy A100 cos 100 t 981,8 x
dt , como v=4 para t=0 y x=0
2
v 4 A100 A 1,27·10 m
02. Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje X con una velocidad de propagación de 4,8 m/s. El foco emisor vibra con una frecuencia de 12 Hz y una amplitud de 2 mm. Determina:
a) La longitud de onda, frecuencia angular y número de ondas b) La ecuación de la onda considerando la fase inicial nula
c) La velocidad de vibración de un punto situado en x=2 m en el instante t=0,5 s d) La velocidad y aceleración máxima de un punto cualquiera del medio
1 1
3 1
f 12s T 0,083s 2 f 24 rad·s
y 2·10 sen(24 t 5 x) 2
v f 0,4m k 5 m
La velocidad de vibración de cualquier punto es v dy 2·10 ·24 cos(24 t 5 x)3
dt
; en el punto indicado
3 3 1
dy
v 2·10 ·24 cos(12 10 ) 48 ·10 m·s
dt
La velocidad máxima de vibración es 3 1 MAX
v 48 ·10 m·s
La aceleración es 3 2
MAX
dv
a 2·10 ·24 ·24 cos(24 t 5 x) a 11,37m·s
dt
03. Una onda armónica que se propaga por una cuerda tiene una amplitud de 0,015 m, una longitud de onda de 2,4 m y una velocidad de 3,5 m/s. Calcular:
a) El período, la frecuencia y el número de ondas.
b) La función de onda, si se desplaza en el sentido positivo del eje X.
1 1
1
T 0,686 s f 1,46 s 2 f 9,173rad·s
v y 0,015sen 9,173t 2,617 x
2
k 2,617 m
04. La ecuación de una onda armónica viene dada por y(x,t) 4 sen(20 t x 2) S.I. Calcular:
a) El periodo, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación b) El tiempo que tardará la onda en llegar a un punto que dista 10 m del foco emisor c) La velocidad y aceleración de vibración de dicho punto en el instante t = 0,5 s
1
1 1
20 rad·s T 0,1s
v 20m·s
k m 2m
La velocidad y la aceleración de vibración de un punto x=10 en el instante t=0,5 s es:
1 PTO
2 2 2
PTO
2
2
v 80 cos(20 t x ) v 0m·s
a 6400 sen(20 t x ) a 6400 m·s
05. Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Y, según la expresión: y = 2 sen(0,25πt+0,5π) ( y en cm; t en s),originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 20 cm, determine:
a) La amplitud y la frecuencia de la onda armónica.
b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. c) La expresión matemática que representa la onda armónica.
d) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X de coordenada x=80 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t=20 s.
La oscilación del punto en el SI es y 0,02sen(0,25 t 0,5 ) y tiene desfase inicial.
Sabemos que 0,4m k 5 m1 y que 0,25 2 f f 0,125s1 T 8scon lo que la velocidad
de la onda es v0,05ms1
La ecuación de la onda producida es y A sen t kx
0,02sen(0,25 t 5 x 0,5 ) La velocidad de vibración es vVIB dy 0,02·0,25 cos (0,25t 5x 0,5) dt
y para el punto x=0,80 en el
instante t=20 es 1
VIB
v 0,02·0,25 cos (0,25·20 0,5 5·0,80) 0ms
06. Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda horizontal, en el sentido negativo del eje de abscisas, siendo 10 cm la distancia mínima entre dos puntos que oscilan en fase. Sabiendo que la onda está generada por un foco emisor que vibra con un movimiento armónico simple de frecuencia 50 Hz y una amplitud de 4 cm, determine:
a) La velocidad de propagación de la onda.
b) La expresión matemática de la onda, si el foco emisor se encuentra en el origen de coordenadas, y en t = 0 la elongación es nula.
c) La velocidad máxima de oscilación de un punto cualquiera de la cuerda. d) La aceleración máxima de oscilación en un punto cualquiera de la cuerda.
La longitud de onda es 0,1m, el periodo T 0,02s , la velocidad de la onda v0,5ms1, la pulsación 1
2 ·f 100 rad·s
y el número de ondas k20 m 1 con lo que la ecuación de la onda es
y 0,04 sen 100 t 20 x
La velocidad de vibración es
1MAX
dy
v 4 cos 100 t 20 x v 4 ms
dt
y la aceleración 2
2 2MAX
dv
a 400 sen 100 t 20 x a 400 ms
dt
07. La ecuación de una onda es: y 0,02sen t 0,25 x
SI. Calcular:a) La frecuencia de la onda y su velocidad de propagación.
b) La distancia entre dos puntos consecutivos que vibran con 120º de diferencia de fase.
De la ecuación de la onda: 1
2 f 1 T 2 s
v 4m·s
2 T
k 0,25 8 m
y la distancia entre los dos puntos más próximos desfasados en 120º es 8 m
3 3
08. Se zarandea uno de los extremos de una cuerda de 8 m de longitud, generándose una perturbación ondulatoria que tarda 3 s en llegar al otro extremo, la longitud de onda mide 65 cm. Calcular:
a) La frecuencia del movimiento ondulatorio.
b) La diferencia de fase (en grados sexagesimales) entre los dos extremos libres de la cuerda.
La velocidad de propagación es v 8 2,66ms1
3
y la frecuencia v f v 4,10s1
f
El desfase entre los extremos es d 8 m 360º 4430,77º 110,77º 0,65 m
09. A una playa llegan 15 olas por minuto y se observa que tardan 5 minutos en llegar desde un barco anclado en el mar a 600 m de la playa.
a) Tomando como origen de coordenadas un punto de la playa, escribir la ecuación de onda, en el SI, si la amplitud de las olas es de 50 cm.
b) Si sobre el agua a una distancia 300 m de la playa hay una boya, que sube y baja según pasan las olas, calcular su velocidad en cualquier instante de tiempo. ¿Cuál es su velocidad máxima?.
La frecuencia es f 15min 10,25s1, el periodo T 4 s ,
2
, la velocidad de propagación
1
600
v 2m·s
5·60
, la longitud de onda v T 8m , y el número de ondas k 2 m1
4
con estos datos la ecuación de onda es y 0,50sen(0,5 t 0,25 x)
La velocidad de vibración de la boya en cualquier instante es v 0,25· cos(0,5 t 0,25 x)
La velocidad máxima de vibración es 1 MAX
v 0,25 m·s
10. El periodo de una onda que se propaga a lo largo del eje X es de 3·10-3 s, y la distancia entre los dos
puntos más próximos cuya diferencia de fase es π/2 es de 20 cm. a) Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación.
b) Si el periodo se duplicase, ¿qué ocurriría a las magnitudes del apartado anterior?.
La longitud de onda es la distancia entre los dos puntos más próximos que tienen un desfase de 2π, es
decir 4·0,20 0,80m , y la velocidad v 266,67m·s1
T
.
Si el periodo se duplica la longitud de onda no cambia y la velocidad se reduce a la mitad.
11. La ecuación de una onda que se propaga en una cuerda es: y(x,t) 0,5sen (8t 4 x) (SI)
a) Calcula la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de un punto de la cuerda y explicar el significado de cada una de ellas.
b) Representa gráficamente la posición de los puntos de la cuerda en el instante t=0, y la elongación en x=0 en función del tiempo.
La velocidad de propagación de la onda es constante v 2m·s1
k
mientras que la velocidad de
vibración de un punto cualquiera es variablev dy 0,5·8 cos
8t 4x
dt
En el instante inicial no hay perturbación y la representación de la onda es el eje X.
12. La ecuación de una onda en una cuerda es: y(x,t) 10 cos 3xsen2 t (SI)
a) Explica las características de la onda y calcular periodo y longitud de onda. ¿Cuál es la velocidad de propagación?.
b) Determina la velocidad de una partícula situada en el punto x=1,5 m, en el instante t=0,25 s.
Se trata de una onda estacionaria. 1 1 1
3
2 rad·s k m v 6m·s
La velocidad de vibración es v dy 10cos( x)cos2 t3 dt
, sustituyendo los valores, tenemos
2 2
v 10 cos cos 0. La velocidad de vibración es siempre cero, independientemente del valor del tiempo por lo que se trata de un nodo.
13. La cuerda de una guitarra vibra de acuerdo con la ecuación: y(x,t) = 0,01sen(10πx)cos(200πt) (SI). Indicar de qué tipo de onda se trata y calcular la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición puede dar lugar a dicha onda.
1
200 T 0,01s
v 20ms
k 10 0,2m
, la amplitud de la onda es A 0,01sen10 x
Se trata de una onda estacionaria producida por superposición de
1
y 0,005sen(200 t 10 x) e y20,005sen(200 t 10 x)
14. Dos ondas armónicas que se propagan por una cuerda interfieren produciendo una onda estacionaria. Si las ondas que interfieren, expresadas en el S.I. de unidades, son:
y1(x,t) = +0,3sen(100t+20x) y2(x,t) = −0,3sen(100t −20x) Determina:
a) La ecuación de la onda estacionaria resultante de su interferencia. b) La amplitud de la onda.
c) El valor de la longitud de onda.
d) La distancia que separa dos vientres consecutivos.
La onda resultante es y 2A coskx sen t 0,6cos20x sen100t , k 2 m·s1
10
La amplitud de la onda resultante es variable: A 0,6cos20x y la distancia entre dos vientres es media
longitud de onda.
15. En una cuerda tensa de 16 m de longitud, con sus extremos fijos, se ha generado una onda de ecuación: y(x,t)=0,02 sen(πx/4) cos(8πt)
a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia.
b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran a 4 m y 6 m, respectivamente, de uno de los extremos y comente los resultados.
Es una onda estacionaria con 8 2 f f 4 s1 k 8m
4
y las ondas que la producen son y10,01cos 8 t 0,25 x
e y2 0,01cos 8 t 0,25 x
La velocidad de vibración de cualquier punto es v dy 0,02·8 sen(0,25 x)sen8 t dt
16. Al esperar a que pase una onda transversal, una persona nota que pasan 12 crestas en un tiempo de 3 s. Si la distancia entre dos crestas sucesivas es de 0,8 m y la amplitud es de 0,5 m.
a) Escribe la ecuación de esa onda. b) ¿Cuál es la velocidad de la onda?
El periodo es T 0,25s , la longitud de onda 0,8m, la pulsación 8 rad·s1 y el número de ondas
1
k2,5m . La velocidad de propagación es v 3,2ms1
T
y la ecuación de la onda, suponiendo que se
desplaza hacia la derecha, y 0,5sen 8 t 2,5x
17. Dos ondas vienen representadas por las ecuaciones: y1 = 8 cos (150 t – 25 x) y2 = 8 cos (150 t + 25 x)
Al interferir producen una onda estacionaria. Calcular la ecuación de la onda resultante y la distancia que hay entre dos vientres consecutivos.
La onda estacionaria es: yy1y2 2·8 cos(25 x)sen(150 t)
El número de ondas es: k 2 2 2 m
k 25
y la distancia entre dos vientres es media longitud de
onda.
18. Una onda plana viaja a través de un medio absorbente, observándose que tras avanzar una distancia de 2 m su amplitud decrece de 10 cm a 4 cm. Calcular:
a) El coeficiente de absorción del medio.
b) La amplitud que tendrá la onda tras avanzar otros 6 m.
Cuando una onda atraviesa un medio absorbente sabemos que x
F 0
I I e y como la intensidad de una onda
es proporcional al cuadrado de la amplitud 2 2 x
F 0
A A e luego el coeficiente de absorción es
2
2 2 2 1 0,04 1
0,04 0,10 e Ln 0,916m
2 0,10
si avanza otros 6 m 2 2 x 2 2 0,916·8 3
F 0 F F
A A e A 0,10 e A 2,6·10 m
19. Una fuente puntual esférica emite sonido uniformemente en todas las direcciones. A una distancia de 10 m el nivel acústico es 80 dB. ¿Cuál es la intensidad sonora en ese punto? ¿Cuál es
la potencia del sonido emitida por la fuente?
La intensidad sonora es 8 4 2
12 12
0
I I I
10·log 8 log 10 I 10 W·m
I 10 10
La potencia es P I·S I·4 x 210 ·4 ·1004 4 ·10 W2
20. Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de un foco sonoro puntual, siendo la primera de 100 dB a una distancia x del foco, y la segunda de 80 dB al alejarse en la misma dirección 100 m más.
a) Obtenga las distancias al foco desde donde se efectúan las mediciones. b) Determine la potencia sonora del foco.
La intensidad sonora es
0
I 10·log
I
, a una distancia x del foco X 2 2
X 12
I
100 10·log I 10 Wm
10
y para x+100 X 100 4 2
X 100 12
I
80 10·log I 10 Wm
10
como la intensidad varía con la distancia
2
1 2
2
I r
I r tenemos
2 X
2
I 100 (x 100)
I x
2 4
2 2 4 2 4 200 200 4·99·10
100x x 10 200x 99x 200x 10 0 x 11,1m
2·99
La potencia del foco es 2 2 2
X
P I·S I ·4 x 10 ·4 ·11,1 15,48 W
21. En una cuerda de 2,5 m de longitud, sujeta por sus dos extremos, se genera una onda estacionaria. La cuerda posee seis nodos contando los dos extremos. En los vientres la amplitud es de 10 cm. Si la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda es de 10 m/s. Determinar la amplitud, la longitud de la onda y el período de las ondas que al superponerse originan la onda estacionaria.
La cuerda tiene seis nodos y la longitud de onda es 1 m. La amplitud de la onda en los vientres es 0,10 m y la amplitud de las ondas que originan la estacionaria es 0,05 cm.
1 1
ONDA
2 2
v T 0,1s 20 s k 2 m
T T
y las ondas que dan lugar a la estacionaria son: y10,05sen(20 t 2 x) y2 0,05sen(20 t 2 x)
22. Dos altavoces A y B están alimentados por el mismo amplificador y emiten ondas sinusoidales en fase. El altavoz B está a 2,00 m del altavoz A. La frecuencia de las ondas producidas por los altavoces es 700 Hz y su velocidad en el aire es de 350 m/s. Considerar el punto P entre los altavoces y a lo largo de la línea que los conecta, a una distancia x hacia la derecha del altavoz A. ¿para qué valores de x se producirán interferencias destructivas en el punto P?
1 1
3 3 1
f 700 s 2 f 1400 s
2 1
T 1,43·10 s 350·1,43·10 0,5m k 4 m
700
Las ondas que interfieren son: yA A sen(1400 t kx ) A yB A sen(1400 t kx ) B
y sabemos que se produce interferencia destructiva en aquellos puntos en los que la diferencia de camino es igual a un número impar de semilongitudes de onda:
A B A A A A
A A A A
A A A A
x x (2n 1) x (2 x ) (2n 1)·0,25 2 x 2 (2n 1)·0,25 x 1 (2n 1)·0,125
2
n 0 x 1,125m n 1 x 1,375m n 2 x 1,625m n 3 x 1,875m
n 1 x 0,875m n 2 x 0,625m n 3 x 0,375m n 4 x 0,125m
La interferencia destructiva se producirá en cada uno de esos ocho puntos.
23. El ladrido de un perro supone alrededor de 1 mW de potencia. Si esta potencia se distribuye uniformemente en todas las direcciones, ¿cuál es el nivel de intensidad sonora a una distancia de 5 m? ¿Y si estuvieran dos perros ladrando al mismo tiempo?
La intensidad sonora es
3
6 2
2 2
1·10 P
I 3,18·10 W·m
4 r 4 5
y el nivel de intensidad sonora
6 12 0
3,18·10 I
10·log 10·log 65,02dB
I 1·10
Si hay dos perros la intensidad se duplica 6 2 2
I 6,36·10 W·m y el nivel de intensidad sonora aumenta en
tres decibelios (10·log2)
A
A B
P
