Hasse-Minkowski
Ramiro Lafuente
Estructuras Algebraicas
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de La Plata
Mayo de 2008
1. Introducci´on 3
2. Los N´umeros p-´adicos 4
2.1. La valuaci´on, la normap-´adica y la m´etrica p-´adica: Primera definici´on . . 4
2.2. Segunda definici´on: Zp y Qp . . . 5
2.3. Polinomios y ecuaciones p-´adicas . . . 7
2.4. Unidades y cuadrados enQp . . . 10
3. El s´ımbolo de Hilbert 14 3.1. Definici´on, propiedades b´asicas y c´alculo del s´ımbolo . . . 14
3.2. Propiedades globales . . . 18
4. Formas cuadr´aticas 22 4.1. M´odulos cuadr´aticos . . . 22
4.2. Propiedades generales . . . 28
4.3. Formas cuadr´aticas sobreFq . . . 31
4.4. Formas cuadr´aticas sobreQp . . . 32
4.5. Formas cuadr´aticas sobreR . . . 36
5. Teorema de Hasse-Minkowski 38 5.1. Demostraci´on del Teorema . . . 38
5.2. Algunos comentarios interesantes . . . 41
6. Ap´endices 42 6.1. Algunos resultados en Teor´ıa de N´umeros . . . 42
6.1.1. Ecuaciones sobre cuerpos finitos . . . 42
6.1.2. Ley de reciprocidad cuadr´atica . . . 43
6.2. Sistemas y L´ımites proyectivos . . . 44
1.
Introducci´
on
Se podr´ıa haber incluido en el t´ıtulo de este trabajo el nombre de”formas cuadr´aticas”, puesto que nos ocupamos del estudio de estos objetos en gran medida. Sin embargo, esto ha quedado impl´ıcito al mencionar el Teorema de Hasse-Minkowski, el cual es conocido por dar una muy buena clasificaci´on de las formas cuadr´aticas sobre Q. Para llegar a este resultado, uno de nuestros objetivos, se deber´a recorrer un largo camino, a trav´es del cual ser´an presentados el cuerpo de los n´umerosp-´adicos, el s´ımbolo de Hilbert, y numerosos re-sultados algebr´aicos (muchos de ellos relacionados directamente con la Teor´ıa de N´umeros), entre otras cosas.
Adem´as de apuntar al ya mencionado Teorema de Hasse-Minkowski y a clasificar las for-mas cuadr´aticas sobre los distintos cuerpos en cuesti´on, nos interesaremos bastante en los n´umeros p-´adicos y en algunas de sus propiedades y aplicaciones para resolver problemas. Es curiosa la gran diversidad de maneras que existen para presentar al cuerpo Qp de los n´umeros p-´adicos. Algunas de ellas son mas bien desde el punto de vista .anal´ıtico”(como
la completaci´on de Q respecto de cierta norma, o ciertas series formales de potencias de p), otras son puramente algebr´aicas (”el cuerpo de cocientes del l´ımite proyectivo de los enteros m´odulo pn”). Presentaremos dos de ellas en la primer secci´on, pero a lo largo del trabajo ser´an de mayor utilidad las ideas del tipo algebr´aico (incluso en algunos resultados en los que aparecen derivadas!).
En la tercer secci´on se estudiar´a el S´ımbolo de Hilbert, que ser´a una herramienta funda-mental para construir invariantes para las formas cuadr´aticas tanto en Qp como en Q.
La secci´on de formas cuadr´aticas se ocupar´a de presentar estos objetos matem´aticos, y finalmente llegar a una minuciosa clasificaci´on de ellas (no sobre las racionales), la cual uti-lizaremos en la secci´on siguiente para probar la relaci´on global-local que vincula los cuerpos
Qp y R con Q.
2.
Los N´
umeros p-´
adicos
En esta secci´on se har´a una introducci´on a la teor´ıa de los n´umeros p-´adicos. Hay varias formas equivalentes de definir este conjunto de n´umeros; a continuaci´on mostraremos dos de ellas. La primera es m´as ´util para comprender realmente qu´e estamos haciendo al construir los n´umeros p-´adicos, mientras que la segunda es una presentaci´on m´as algebr´aica que, si bien un tanto m´as complicada de entender, nos permite manejarlos con mayor simplicidad y m´as formalmente.
2.1.
La valuaci´
on, la norma
p-´
adica y la m´
etrica
p-´
adica: Primera
definici´
on
Sea p un n´umero primo fijo. Sabemos, por el TFA, que para cadaa ∈Zexiste un ´unico n ∈Z≥0 tal que a =pnr, con (r, p) = 1. Esto nos permite, siguiendo las ideas en [1], hacer
la siguiente definici´on:
Definici´on 2.1. Se define la valuaci´on p-´adica de un n´umero racional como:
vp(x) = m´ax{n∈Z:pn|x} ≥0, si x∈Z\ {0}
vp(q) =vp(a)−vp(b), si q =a/b ∈Q. Por convenci´on se toma vp(0) =∞.
Notemos quevp :Q→Z, y adem´as est´a bien definida, pues sia/b=a0/b0entoncesab0 =a0b,
y claramente vp(a) +vp(b0) =vp(a0) +vp(b) de dondevp(a/b) = vp(a0/b0).
Proposici´on 2.2. Sean x, y ∈Q. Entonces valen:
(a) vp(x) = ∞ ⇐⇒ x= 0 (b) vp(xy) =vp(x) +vp(y)
(c) vp(x+y)≥m´ın{vp(x), vp(y)}, y si vp(x)6=vp(y) se da la igualdad.
Demostraci´on: Probaremos ´unicamente el item (c) que es el no trivial. Para eso, supong-amos que x, y son no nulos (si alguno de ellos lo fuera, se da la igualdad trivialmente). Entonces podemos escribir
x=pra
b, y =p sc
d
con r, s ∈ Z, y a, b, c, d ∈ Z no divisibles por p. Es claro que vp(x) = r, vp(y) = s. Supongamos sin p´erdida de generalidad que s≥r, y sea t=s−r≥0. Entonces,
x+y =pr
a b +p
tc d
=pr
ad+ptbc bd
de donde se deduce inmediatamente la desigualdad a probar. Si suponemos vp(x)6=vp(y), es equivalente a tomar t ≥1 con lo cual se ve claramente que pno divide ni al numerador ni al denominador de la fracci´on que acompa˜na a pr (pues por hip´otesis p no divid´ıa a ninguno de los enteros a, b, c, d.
Definici´on 2.3. Si p es un n´umero primo fijo, se define en Q la norma p-´adica como
kxkp =p−vp(x).
Obviamente, definimos k0kp = 0. Es f´acil verificar que es efectivamente una norma en
Q. En particular, se ve que k · kp : Q→ R≥0. Valen las siguientes propiedades, an´alogas a
las que val´ıan para la valuaci´on:
Proposici´on 2.4. Si x∈Q, entonces se verifican:
(a) kxkp = 0 ⇐⇒ x= 0 (b) kxykp =kxkpkykp
(c) kx+ykp ≤m´ax{kxkp,kykp}, y si kxkp 6=kykp se da la igualdad. 1 La demostraci´on se deduce inmediatamente de 2.2.
Como bien es sabido, toda norma N en un espacio induce una distancia, mediante la definici´ond(x, y) = N(x−y). As´ı, suena l´ogico presentar la siguiente definici´on:
Definici´on 2.5. Se define en Q la m´etrica p-´adica, como dp(x, y) =vp(x−y).
Es usual interpretar a los n´umeros reales Rcomo la completaci´on de Qde acuerdo a la m´etrica estandardd(x, y) =|x−y|. Inspirados en esta interpretaci´on, se define lo siguiente:
Definici´on 2.6. El cuerpo den´umeros p-´adicos Qp es la completaci´on deQcon respecto
a la m´etrica p-´adica.
EnQp se considera la topolog´ıa inducida por la m´etricap-´adica, seg´un la cual resulta un espacio de Hausdorf localmente compacto. Obviamente, considerado como espacio m´etrico,
Qp resultar´a completo.
2.2.
Segunda definici´
on:
Z
py
Q
pComo se ha mencionado mas arriba, trabajaremos con una nueva definici´on de los n´umeros p-´adicos, vi´endolos ahora desde el punto de vista algebr´aico (como son presen-tados en [2]).
Para cada n≥1, denotemos por An al anillo de enteros m´odulopn, es decir,An:=Z/pnZ. Claramente a cada elemento a ∈An se le puede asociar uno en An−1 tomando resto en la
divisi´on porpn−1. De esta forma queda siempre definido un epimorfismo φ
n :An → An−1,
cuyo n´ucleo espn−1A
n.
Con estos epimorfismos, resulta evidente que la sucesi´on
. . .→An →An−1 →. . .→A2 →A1
conforma unsistema proyectivo. De esta observaci´on surge la idea para la segunda definici´on de los n´umerosp-´adicos.
Definici´on 2.7. Se define el anillo deenteros p-´adicos Zp como el l´ımite proyectivo del
sistema (An, φn) definido previamente. Es decir,
Zp := lim←−(An, φn)
Por definici´on de l´ımite proyectivo, un elemento deZpes una sucesi´onx= (. . . , xn, . . . , x1)
con xn ∈ An, y xn ≡ xn−1 mod pn−1. La suma y el producto en este anillo se definen
co-ordenada a coco-ordenada, es decir, se interpreta a Zp como un subanillo del anillo producto
Q
n≥1An.
Antes de llegar a la definici´on de Qp, veamos algunas propiedades de los enterosp-´adicos.
Proposici´on 2.8. Sea εn : Zp → An la proyecci´on de la n-´esima coordenada xn de cada
entero p-´adico x. Entonces, la sucesi´on de grupos abelianos
0→Zp pn
−→Zp εn
−→An→0
es exacta.
Demostraci´on: Es claro queεnes un epimorfismo. Veamos entonces que la multiplicaci´on por pn es inyectiva en Zp. Para eso, basta con ver que multiplicar por p lo es (luego com-ponemos esta funci´on n veces). Sea x = (xn) ∈ Zp tal que px = 0. Mirando coordenada a coordenada, se tiene que pxn+1 = 0 (en An+1) para todo n. Luego, xn+1 = pnyn+1, para
cierto yn+1 ∈ An+1. Pero por definici´on de Zp, xn = φn+1(xn+1), luego xn tambi´en es
di-visible por pn, y por estar en A
n, xn = 0. Esto vale para todo n, luego x = 0 y entonces multiplicar por p es una aplicaci´on inyectiva.
Para completar la demostraci´on, resta ver que pnZp es igual al n´ucleo de εn. Es claro que dicho n´ucleo contiene a pn
Zp (ya que todo m´ultiplo de pn tiene en su n-´esima coordenada un 0). Ahora tomemos un elemento x = (xm) ∈ ker(εn). Entonces, xn = 0, y luego por definici´on de Zp tenemos que pn | xm para todo m ≥ n. Escribamos xm = pnym−n, con
ym−n∈Am−n(se puede suponer esto puesto que pnAm ∼=Am−n). Entonces estos elementos yi definen en Zp = lim←−Ai un elemento y (esto se deduce de que x satisface las condiciones para estar en Zp), el cual verifica claramente (coordenada a coordenada) x = pny. Luego x∈pn
Zp, y en conclusi´on, la sucesi´on es exacta.
Notemos que esto nos permite pensar aZp/pnZp comoAn, que a su vez es igual aZ/pnZ.
Proposici´on 2.9. Un elemento de An o de Zp es una unidad si y s´olo si no es divisible por p. Adem´as, todo elemento no nulo deZp se escribe de forma ´unica comopnu, con u∈ U(Zp)
y n≥0.
Demostraci´on: Probemos la t´esis primero paraAn. Es claro que six∈An es una unidad entonces no es divisible por p, pues si as´ı fuera, entonces p | xx−1 = 1 +mpn ⇒ p | 1, absurdo. Rec´ıprocamente, supongamos que x∈An\pAn no es m´ultiplo de p. Entonces la imagen de x en A1 = Z/pZ es no nula, luego es invertible. Tomemos entonces y tal que
xy= 1−pz, y podemos pensar que y, z ∈An. As´ı,
xy(1 +pz+. . .+pn−1zn−1) = (1−pz)(1 +pz+. . .+pn−1zn−1) = 1−pnzn por lo tanto x es invertible enAn.
Para ver el resultado en Zp, basta con observar que six∈Zp no es m´ultiplo de pentonces su imagenxn en cadaAn tampoco lo es, con lo cual es invertible. Y como la multiplicaci´on en Zp se define coordenada a coordenada, esto implica que el mismo x es invertible en Zp y listo.
x=pnuy adem´asp
-u. Por el resultado anterior, u∈ U(Zp), con lo cual queda probada la existencia de la descomposici´on.
La unicidad se deduce del hecho de que eln fue elegido de manera ´unica, y la multiplicaci´on por pn es inyectiva (proposici´on anterior), o sea que no pueden existir dos udistintos.
De la ´ultima parte de la proposici´on se puede definir, como en 2.1, la valuaci´onp-´adica, pero esta vez directamente para Zp.
Teniendo en cuenta queZp resulta un anillo (es incluso un dominio de integridad), sabemos que podemos construir un cuerpo que lo contenga de forma “razonable”. Es decir, el cuerpo de cocientes del anillo. Y al igual que deZobtenemos el cuerpoQ, podemos hacer lo mismo con Zp para obtener as´ı el conjunto de n´umeros en cuesti´on:
Definici´on 2.10. El conjunto de losn´umeros p-´adicos Qp se define como el cuerpo de
cocientes del anillo Zp.
Podemos pensar que Qp = Zp[p−1]. Y al igual que en Zp, todo elemento de Q∗p puede escribirse de forma ´unica como pnu, con u ∈ U = U(
Zp) y n ∈ Z. Esto da lugar a la
generalizaci´on de la valuaci´onp-´adica para todoQp, y obviamente se verifica quevp(x)≥0 si y s´olo si x∈Zp.
Al igual que en la primer definici´on de los n´umerosp-´adicos, se puede definir la distancia (o m´etrica) p-´adica, bas´andose en la valuaci´on p-´adica ya definida. 2 Esta distancia define la
topolog´ıa enZp yQp, seg´un la cual el anilloZp resulta ser un espacio m´etrico completo, que contiene como subconjunto denso en ´el aZ. Adem´as, como ya se ha mencionado, el cuerpo
Qp resulta ser localmente compacto con la topolog´ıa mencionada, y el anillo Zp resulta ser un subanillo abierto. Obviamente, Q es denso en Qp.
A pesar de que ya hemos definido a los n´umeros p-´adicos desde dos puntos de vista diferentes, a´un hay una forma m´as de pensar en ellos. K. Hensel, quien fue el primero en introducir la idea de n´umero p-´adico, trabaj´o mucho con ellos para resolver problemas de la teor´ıa de n´umeros, y utilizaba en sus trabajos un desarrollo en serie de los n´umeros p-´adicos, conocido como desarrollo de Hensel. En [3] se menciona dicho desarrollo, y se prueba la siguiente proposici´on:
Proposici´on 2.11. Todo x∈Qp admite un ´unico desarrollo de Hensel, es decir, se puede
escribir de forma ´unica como x=P
n≥noanp
n, con 0≤a
n < p, an0 6= 0 yn0 ∈Z.
Claramente, n0 es lo que nosotros hemos llamado vp(x). En esta forma de ver a los n´umerosp-´adicos se ve mucho mejor la idea de completaci´on (pues en realidad los elemen-tos de Qson precisamente aquellos cuyo desarrollo de Hensel se hace peri´odico a partir de un punto; por ejemplo, que se haga cero a partir de n1).
2.3.
Polinomios y ecuaciones p-´
adicas
En esta secci´on veremos algunos resultados importantes sobre las ra´ıces de polinomios con coeficientesp-´adicos. A pesar de que la mayoria de ellos s´olo ser´an usados para el caso de
2Vale la pena mencionar que algunos autores utilizan la definici´on dp(x, y) :=e−vp(x−y), sin embargo
grado 2 (formas cuadr´aticas), vale la pena mencionarlos en general ya que la demostraci´on es casi id´entica en ambos casos.
Antes que nada, algo de notaci´on: Si f ∈ Zp[X1, . . . , Xm] es un polinomio con coefi-cientes en Zp, llamaremos fn al polinomio obtenido de f tomando m´odulopn (n∈N). Y si x = (x1, . . . , xm)∈ (Zp)m (resp. en (An)m) , diremos que x es primitivo si alguno de los xi es inverible en Zp (resp. en An). O sea, si alguna de sus coordenadas no es m´ultiplo de p.
Proposici´on 2.12. Sean f(i) ∈
Zp[X1, . . . , Xm] polinomios con coeficientes enteros p-´
adi-cos. Son equivalentes:
(i) Todos los f(i) tienen una ra´ız en com´un en (Zp)m.
(ii) Para cada n >1, los polinomios fn(i) tienen una ra´ız en com´un en (An)m.
Demostraci´on: Esto es una consecuencia inmediata del Lema 6.9. En efecto, si se toma como Dn al conjunto de ra´ıces en com´un de los fn(i), se ve que los Dn son finitos y adem´as forman un sistema proyectivo (puesto que ser raiz m´odulo pn+1 implica serlo m´odulo pn). Pero aparte, D := lim←−Dn es el conjunto de ra´ıces del polinomio en Zp, ya que ser raiz m´odulo pn para todo n implica que es raiz en Zp. O sea que se puede aplicar el Lema, que nos dice que si los Dn son no vac´ıos entonces D lo es, y esto es precisamente lo que quer´ıamos probar (el hecho de queD no vac´ıo implica que losDn lo son sale por reducir la ecuaci´on m´odulo pn).
Proposici´on 2.13. Sean f(i) ∈
Zp[X1, . . . , Xm] polinomios homog´eneos con coeficientes
enteros p-´adicos. Son equivalentes:
(a) Los f(i) tienen una ra´ız no trivial en com´un en (
Qp)m. (b) Los f(i) tienen una ra´ız primitiva en com´un (
Zp)m.
(c) Para cada n >1, los polinomios fn(i) tienen una ra´ız primitiva en (An)m.
Demostraci´on: Es claro que (b)→(a). Para ver la vuelta, seax= (x1, . . . , xm)∈(Qp)m es una raiz no trivial de los f(i), y llamemos h := inf(vp(x1), . . . , vp(xm)), y = p−hx. As´ı definido, resulta que vp(yj) = vp(xj)−h ≥ 0 ∀j, y adem´as en un ´ındice j se da la igualdad, con lo cual y∈Zp y es primitivo. Como los polinomios son homogeneos, al eval-uarlos en y=p−hx el factorp−hdeg(f(i))
sale en com´un, y lo restante queda 0 por serxraiz. Entonces y es raiz primitiva en com´un de los f(i) enZp.
Para finalizar, vemos que podemos imitar la prueba de la proposici´on anterior (utilizando el mismo Lema) para probar que (b)↔ (c), poniendo Dn como el conjunto de ra´ıces prim-itivas en com´un de los f(i) en An y observando que forman un sistema proyectivo, cuyo l´ımite es el conjunto D de ra´ıces en com´un de los polinomios en Zp.
A continuaci´on veremos como est´an relacionadas las soluciones a ecuaciones polinomi-ales m´odulo pn con soluciones en
Zp (es evidente como obtener las primeras sabiendo las segundas, el problema es conseguir soluciones en Zp a partir de soluciones en cada An).
Lema 2.14. (M´etodo de Newton aplicado a n´umeros p-´adicos) Sea f ∈Zp[X], y sea f0 su
vp(f0(x)) = k, entonces existe y∈Zp tal que
f(y)≡0 mod pn+1, vp(f0(y)) =k, y ≡x mod pn−k
Demostraci´on: Propongamos un y de la forma y = x+pn−kz como soluci´on, z ∈ Zp. Tomando el polinomio de Taylor de grado 2 para f centrado en x, y evaluandolo en y, obtenemos que
f(y) = f(x) + (y−x)f0(x) + (y−x)2a=f(x) +pn−kzf0(x) +p2n−2kza
con a ∈ Zp. Pero por hip´otesis, f(x) = pnb, f0(x) = pkc con b ∈ Zp y c ∈ U. Sea c−1 el inverso de cm´odulop (pensando quec−1 ∈Zp), y consideremos entonces z =−bc−1. Se ve que b+zc es m´ultiplo de p, entonces pn(b+zc) es m´ultiplo de pn+1. Por lo tanto, tenemos
que
f(y) = pnb+pn−kzpkc+p2n−2kza =pn(b+zc) +p2n−2ka≡0 mod pn+1 pues 2n−2k > n por hip´otesis.
Finalmente, como el y elegido satisface y ≡ x (modpn−k), aplicamos f0 a ambos lados y obtenemos f0(y)≡pkc(modpn−k), con cno divisible porp. Peron−k > k, luego la mayor potencia de pque puede dividir a f0(y) es pk (pues sinop dividir´ıa ac), y esto es decir que vp(f0(y)) = k.
Teorema 2.15. Sean f ∈Zp[X1, . . . , Xm], x= (x1, . . . , xm)∈ (Zp)m, n, k, j ∈ Z tales que 0≤j ≤m y 0≤2k < n. Supongamos que
f(x)≡0 mod(pn), vp
∂f ∂Xj
(x)
=k
Entonces, existe una ra´ız y ∈ (Zp)m de f tal que y ≡ x mod(pn−k) (coordenada a
coorde-nada).
Demostraci´on: Probemos el Teorema primero para el caso m = 1. Seg´un el Lema del m´etodo de Newton podemos encontrar un x(1) ∈
Zp tal que x(1) ≡ x mod(pn−k) y tal que f(x(1)) ≡ 0 mod(pn+1) y v
p(f0(x(1))) = k. De la misma forma, y en general, pode-mos reemplazar n por n + 1 y volver a aplicar el Lema, consiguiendo as´ı una sucesi´on x, x(1), . . . , x(q), . . . tal que para todo q x(q+1) ≡x(q) mod(pn+q−k) y f(x(q))≡0 mod(pn+q). Como n+q−k tiende a infinito, la norma p-´adica de x(q+r)−x(q) tiende a 0, con lo cual
la sucesi´on construida es de Cauchy. Sea y su l´ımite (recordar que Zp es completo). Por continuidad, la norma def(y) es 0 entoncesf(y) = 0. Y al tener que todos los t´erminos de la sucesi´on son congruentes con x m´odulo pn−k, lo mismo ocurre con y.
Para probar el caso m > 1 simplemente fijamos en el polinomio todas las variables que no tengan ´ındice j, y les damos el valor xi correspondiente. As´ı obtenemos un polinomio
˜
f ∈Zp[Xj] que est´a en las condiciones anteriores, y podemos entonces hallaryj congruente a xj m´odulo pn−k tal que ˜f(yj) = 0. Poniendo yi = xi para i 6=j, obtenemos el elemento y= (yi) buscado.
Corolario 2.16. (Lema de Hensel) Sea f ∈Zp[X1, . . . , Xm] un polinomio con coeficientes
en Zp, y a= (a1, . . . , am)∈(Zp)m una ra´ız simple de f(x)≡0 mod(p)
(i.e., ∂X∂f
i(a)6= 0 mod (p) para alg´un i, 1≤i≤m). Entonces existe y ∈Zp tal que y≡a0
mod p y f(y) = 0.
(Esto es exactamente el teorema paran = 1,k = 0. En efecto, el hecho de que ∂X∂f
i(a)6= 0
mod (p) implica que vp ∂X∂f
i(a)
6
= 0).
Corolario 2.17. Seana∈Zp, yf(X) =Pi,jaijXiXj, conaij =aji, una forma cuadr´atica
con coeficientes en Zp tal que det(aij) es invertible. Entonces,
(i) Si p6= 2, toda soluci´on primitiva de f(X)≡a mod(p) da lugar a una soluci´on en Zp. (ii) Si p= 2, toda soluci´on de f(X)≡a mod(8) da lugar a una soluci´on en Z2
Demostraci´on: Seax una soluci´on primitiva def(X)≡a mod(p). Para probar (i) basta con demostrar que hay alguna derivada parcial que no se anula enx, m´odulop(por Lema de Hensel). SeaA= (aij). Vemos que ∂X∂fi = 2
P
jaijXj = 2(AX)i (dondeX = (X1, . . . , Xn)). Si todas las derivadas parciales fueran cero, entonces el vector AX ser´ıa cero m´odulo p. Y esto es absurdo puesto que X no es cero m´odulo p (pues es primitivo), y A es invertible mod (p). Por lo tanto hay alguna no nula, y se puede aplicar el Lema.
Con el mismo razonamiento que recien, pero teniendo en cuenta el 2 que acompa˜na a (AX)i en la f´ormula de la derivada parcial, se ve que en el caso p = 2 el hecho de que A sea in-vertible implica que las derivadas parciales no son todas nulas mod(4). Pero entonces el resultado a probar no es otra cosa que aplicar el Teorema con n = 3, k = 1.
2.4.
Unidades y cuadrados en
Q
pEl objetivo de esta secci´on es caracterizar de cierta forma los grupos multiplicativos y, con esta informaci´on, los diferentes tipos de restos cuadr´aticos en cada uno de los cuerpos
Qp.
LlamaremosU =Z∗p al grupo multiplicativo (o de unidades) de los enterosp-´adicos. Para cada n≥1, notamosUn = 1 +pnZp, es decir, el n´ucleo de la aplicaci´onεn:U →(Z/pnZ)∗
definida en la Proposici´on 2.8. En particular, comoU1 =ker(ε1) y (Z/pZ)∗ =Im(ε1),U/U1
se puede pensar como (Z/pZ)∗ ∼= Fp∗ (grupo multiplicativo del cuerpo de p elementos), y luego es c´ıclico y de orden p− 1. Adem´as, es claro que los Un forman una sucesi´on ”decreciente”(seg´un inclusi´on) de subgrupos abiertos de U (pues U/Un ∼= (Z/pnZ)∗), y se tiene que U = lim←−U/Un.
Consideremos ahora para cadan ≥1 el morfismo de grupos abelianosφ:Un→Z/pZ, dado
por (1 +pnx) 7→ x modp. Entonces U
n/ker(φ) ∼= Im(φ). Pero ker(φ) = Un+1, Im(φ) =
Z/pZ, luegoUn/Un+1 ∼=Z/pZ. As´ı, se puede ver por inducci´on queU1/Untiene ordenpn−1. Veamos ahora el siguiente Lema de teror´ıa de grupos:
Lema 2.18. Sea 0 → A → E → B → 0 una sucesi´on exacta de grupos abelianos, a, b
Demostraci´on: Comoa y b son coprimos, existenr, s∈Ztales quear+bs= 1. Veamos primero queA∩B0 = 0. Seax∈A∩B0. Entonces por serael orden deA,ax= 0. Y bx= 0 por definici´on deB0, luegox= (ar+bs)x=r(ax) +s(bx) = 0 y entonces A∩B0 = 0. Ahora bien, tomemos x∈E y escribamoslo como x=arx+bsx. Sean f el monomorfismo de A a E y g el epimorfismo de E a B. Entonces g(bsx) = bg(sx) = 0 ya que g(sx) ∈ B y b es el orden de ese grupo. Luego, bsx ∈ kerg = Imf ∼= A pues f es mono. Entonces, bsx ∈ A (abuso de notaci´on; en realidad est´a en un subgrupo de E isomorfo a A). Resta ver que arx ∈ B0, pero para esto hacemos b(arx) = a(brx), se ve de forma an´aloga a la anterior que brx∈A, y luegoabrx= 0 con lo cual arx∈B0. Por lo tanto, E ∼=A⊕B0. El epimorfismog :E 7→B define un isomorfismo entreB yB0, puesto que en los elementos deA da 0. Si tuvieramos un B00 ⊆E isomorfo a B entonces por una cuesti´on de orden (de este subgrupo), bB00 = 0 luego B00 ⊆ B0 por definici´on de B0. Y al tener el mismo orden, resulta que B0 =B00.
Proposici´on 2.19. Si V :={x∈ U : xp−1 = 1}, entonces este es el ´unico subgrupo de U
isomorfo a Fp∗, y U =V ×U1
Demostraci´on: Consideremos la sucesi´on de grupos abelianos
1→U1/Un →U/Un→Fp∗ →1 Es exacta, ya que U/Un
U1/Un
∼
= U/U1 por el segundo Teorema del isomorfismo, y hemos visto
que este ´ultimo grupo es isomorfo a Fp∗. Pero adem´as, el orden de U1/Un es pn−1 y el de Fp∗ esp−1: son coprimos. Por lo tanto se aplica el Lema anterior, y podemos concluir que U/Un contiene un ´unico subgrupo Vn isomorfo a Fp∗. Por el mismo Lema, podemos decir que Vn es exactamente {x ∈ U/Un|xp−1 = 1}. Pensando el epimorfismo φn : An 7→ An−1
como φn : U/Un 7→ U/Un−1 (se puede porque estos conjuntos son isomorfos) tenemos un
sistema proyectivo cuyo l´ımite es U. Y como cada morfismo lleva Vn a Vn−1 de manera
isomorfa, obtenemos pasando al l´ımite un ´unico subgrupo V deU isomorfo a Fp∗. El hecho de queV sea de la forma explicitada en la Proposici´on se deduce de c´omo son losVn, y por otra parte como U/U1 ∼=Fp∗, se deduce inmediatamente que U =V ×U1. 3
Veamos ahora qu´e ocurre con el grupoU1:
Lema 2.20. Si x∈Un\Un+1, con n ≥1 (y n≥2 si p= 2), entonces xp ∈Un+1\Un+2.
Demostraci´on: Por hip´otesis, podemos escribir x = 1 +kpn, con k no m´ultiplo de p. Desarrollando por binomio de Newton, tenemos que
xp = 1 +kpn+1+. . .+kppnp
y en todos los t´erminos que faltan el exponente de pes al menos 2n+ 1≥n+ 2. M´as aun, np≥n+ 2 (para esto se pide la hip´otesis de que sip= 2 entonces n ≥2). Luego
xp ≡1 +kpn+1 modpn+2 y entonces x∈Un+1\Un+2.
3Notar que en el Lema se utiliz´o la notaci´on aditiva, mientras que al aplicarlo a la Proposici´on se
Proposici´on 2.21. El grupo U1 es isomorfo a...
(i) Zp, si p6= 2.
(ii) {±1} ×U2 ∼={±1} ×Z2, si p= 2.
Demostraci´on: (i) Sea α ∈ U1 \ U2, por ejemplo α = 1 + p. Por el Lema anterior,
αpi ∈ Ui+1 \Ui+2. Sea αn la imagen de α en U1/Un. De lo mencionado anteriormente
(tomando i = n −2 y i = n −1) se deduce que αpn−2 ∈ U
n−1 \Un y αp
n−1
∈ Un, luego (αn)p
n−2
6
= 1 y (αn)p
n−1
= 1 (recordar que los grupos se notan multiplicativamente). Al ser U1/Un un grupo de ordenpn−1, resulta que el orden deαnes exactamentepn−1, con lo cual
es un generador. Esto implica que se puede definir un isomorfismo θn,α entre Z/pn−1Z y U1/Un. Es claro, por la definici´on de dichos isomorfimos, que el diagrama
Z/pnZ −→ U1/Un+1
↓ ↓
Z/pn−1Z −→ U1/Un
conmuta. Pasando al l´ımite, queda entonces definido un isomorfismo θ entre Zp = lim
←−Z/pn−1Z y U1 = lim←−U1/Un, con lo cual queda probado el caso p6= 2.
(ii) Tomando α ∈ U2\U3 obtenemos de la misma forma que antes los isomorfimos θn,α :
Z/2n−2Z → U2/Un, y por lo tanto se tiene un isomorfismo θ : Z2 → U2. Por otro lado,
como U1/U2 ∼=Z/2Z∼={±1} se ve inmediatamente que U1 ∼={±1} ×U2.
Con estos resultados, ya estamos en condiciones de caracterizar el grupo multiplicativo de Qp de la siguiente manera:
Teorema 2.22. El grupo Q∗p es isomorfo a Z×Zp ×Z/rZ, donde r =p−1 si p 6= 2, y r = 2 si p= 2.
Demostraci´on: Sabemos que todo elemento x ∈ Qp∗ se escribe de forma ´unica como x = pnu, con n ∈ Z y u ∈ U. Luego, Qp∗ ∼= Z×U. Pero adem´as, U ∼= V ×U1 por la
Proposici´on 2.19, y V ∼= Z/(p− 1)Z si p 6= 2 (V es trivial si p = 2), luego usando la estructura para U1 probada en la Proposici´on anterior se deduce inmediatamente lo que
queremos probar.
Con esta caracterizaci´on, y utilizando el s´ımbolo de Legendre (ver Ap´endice 6.1.2) pode-mos conocer mas profundamente los cuadrados perfectos en Qp, mediante los siguientes resultados, que eran el objetivo principal de esta secci´on.
Teorema 2.23. Si p 6= 2, entonces para que un elemento x = pnu ∈
Q∗p, con n ∈ Z y u∈U 4, sea un cuadrado perfecto, es necesario y suficiente que n sea par, y que la imagen
de u en Fp∗ =U/U1 sea un cuadrado perfecto (resto cuadr´atico).5
Demostraci´on: Escribamos u = vu1, con v ∈ V y u1 ∈ U1. Como Qp∗ ∼= Z×V ×U1,
entonces xes cuadrado perfecto si y s´olo sin es par, y v y u1 son cuadrados en sus
respec-tivas ubicaciones. Pero U1 es isomorfo a Zp (este ´ultimo con notaci´on aditiva), y como 2 es
4Ver comentario posterior a la Definici´on 2.10
5Al decir ”la imagen deuenF∗
invertible en Zp, todos los elementos son cuadrados, luegou1 siempre es cuadrado perfecto.
Al ser V isomorfo a Fp∗, queda probado el teorema. 6
Corolario 2.24. Si p6= 2, el grupo Q∗p/Q∗p2 es isomorfo a Z2×Z2, y se puede representar
mediante {1, p, u, up}, siendou∈U un elemento tal que su imagen u˜ en Fp∗ verifica u˜p=
−1 (es decir, no es un resto cuadr´atico mod p).
Demostraci´on: Esto es obvio, ya que si cocientamos con el cuerpo de cuadradosQ∗p2 en-tonces de los elementos de Q∗p, que pueden pensarse como pnu, s´olo nos interesa la paridad den y el s´ımbolo de Legendre u˜p (el cual toma valores en {±1}). Luego tomando 1 = p0,
p=p1,u y pu tenemos representantes de dicho cociente.
Teorema 2.25. Para que un elementox=pnu∈Q∗
2 sea un cuadrado perfecto, es necesario
y suficiente que n sea par y que u≡1 mod 8.
Demostraci´on: La descomposici´on del Teorema 2.22 nos dice que x =pnu es cuadrado perfecto si y s´olo si n es par, y u es un cuadrado en U. Pero U = {±1} ×U2, luego esto
´
ultimo pasar´a si y s´olo si u∈U2 y adem´as u es un cuadrado all´ı. Considerando el
isomor-fismo θ definido en la Proposici´on 2.21, vemos que este env´ıa al conjunto 2nZ2 enUn+2. En
particular, para n= 1, el conjunto 2Z2 es isomorfo aU3. Pero 2Z2 son los cuadrados enZ2,
y Z2 es isomorfo aU2, luego u ser´a un cuadrado en U2 siiu∈U3. Es decir, si y s´olo siu es
congruente con 1 m´odulo 8.
Corolario 2.26. El grupo Q∗2/Q∗22 es isomorfo a Z2 ×Z2 ×Z2, y se puede representar
mediante {±1,±5,±2,±10}.
Demostraci´on: Este Corolario se deduce inmediatamente del hecho de queU/U3se puede
caracterizar mediante el conjunto {±1,±5}.
Nota: Los Teoremas 2.23 y 2.25 dicen queQ∗p2 es un subgrupo abierto deQ∗p, para todo p primo.
6Cabe mencionar que en las estructuras notadas aditivamente tambi´en consideramos los cuadrados
3.
El s´ımbolo de Hilbert
Para trabajar con formas cuadr´aticas, y mas precisamente si estamos estudiando cu´ando una ecuaci´on cuadr´atica tiene soluci´on, es sumamente ´util introducir la noci´on del s´ımbolo de Hilbert. Adem´as ´este nos permitir´a, en la pr´oxima secci´on, hacer la clasificaci´on de formas cuadr´aticas.
En [4] se presenta al s´ımbolo de Hilbert definido sobre cualquier cuerpo local 7, lo cual
servir´ıa para demostrar la versi´on general del Teorema de Hasse-Minkowski. Sin embargo, para entender y probar los resultados se requiere un buen manejo de la Teor´ıa de Cuerpos, raz´on por la cual nos limitamos a hacer las cosas enR y Qp.
En general en esta secci´on cuando se hable de cuerpo nos estaremos refiriendo a Qp o a R.
3.1.
Definici´
on, propiedades b´
asicas y c´
alculo del s´ımbolo
Definici´on 3.1. Sea k un cuerpo. Si a, b∈k∗, se define el s´ımbolo de Hilbert entre a y
b con respecto a k como el n´umero (a, b) dado por:
(a, b) =
1, si la ecuaci´on z2−ax2−by2 = 0 tiene soluci´on no trivial en k3;
−1, en caso contrario.
Al ser invariante bajo multiplicaciones de a y b por cuadrados (i.e., (a, bc2) = (a, b)), el
s´ımbolo de Hilbert define una aplicaci´on entre k∗/k∗2×k∗/k∗2 y {±1}.
Proposici´on 3.2. Sean a, b ∈ k∗, y kb := k(√b). Si N kb∗ es el conjunto de normas de elementos en k∗b, entonces (a, b) = 1 sii a ∈N k∗b.
Demostraci´on: Sib =c2 para ciertoc∈k∗, entonceskb =k y la terna (c,0,1) es soluci´on de z2 −ax2 −by2 = 0. Luego (a, b) = 1, pero adem´as a ∈ N k∗
b pues N k
∗
b = N k
∗ = k∗, y
entonces vale la Proposici´on.
Si no ocurriera eso, sea β una raiz cuadrada de b. Todo elemento ξ ∈ kb se puede escribir de la forma ξ =z +βy, con y, z ∈k. Se tiene que N(ξ) =z2 −by2. Entonces, si a ∈N k∗
b, podremos escribirlo comoa=z2−by2con lo cual (z,1, y) es raiz de la ecuaci´on y (a, b) = 1.
Rec´ıprocamente, si (a, b) = 1, tomemos una raiz (z, x, y) de la ecuaci´on. Debe ocurrir que x 6= 0 pues si lo fuera entonces b ser´ıa un cuadrado y supusimos que no lo era. Entonces, z/x,1, y/x) es tambi´en soluci´on de la ecuaci´on, y deducimos que
a= z
2
x2 −b
y2
x2 ∈N k ∗
b.
Proposici´on 3.3. El s´ımbolo de Hilbert satisface las siguientes propiedades ∀a, b, c∈k:
(i) (a, b) = (b, a) y (a,1) = 1 (luego (a, c2) = 1);
(ii) (a,−a) = (a,1−a) = 1;
(iii) Si (a, b) = 1 entonces (ac, b) = (c, b) (m´as a´un,(ac, b) = (a, b)(c, b));
(iv) (a, b) = (a,−ab) = (a,(1−a)b).
7Los cuerpos locales son aquellos cuerpos que poseen una funci´on valor absoluto no trivial, y son
Demostraci´on: (i) (a, b) = (b, a) es trivial; para ver que (a,1) = 1 basta notar que (c,0, c) es soluci´on de la ecuaci´on para cualquier c∈k∗.
(ii) Si b=−a, (0,1,1) es soluci´on. Y si b= 1−a, (1,1,1) lo es.
(iii) Si (a, b) = 1 entoncesa∈N kb∗ por la Proposici´on anterior. Como N kb∗ es un subgrupo dek∗ (multiplicativo), resulta que c∈N kb∗ siiac∈N kb∗, lo cual traducido en t´erminos del s´ımbolo de Hilbert es justamente lo que quer´ıamos probar.
(iv) Como (a,−a) = 1, usando (iii) obtenemos que (a, b) = (a,−ab). Y usando que (a,1−a) = 1 y (iii) se llega a que (a, b) = (a,(1−a)b).
A continuaci´on presentamos un resultado muy importante a los efectos de calcular el s´ımbolo (a, b). Pero antes, necesitaremos el siguiente Lema:
Lema 3.4. Sea v ∈ U. Si la ecuaci´on z2−px2−vy2 = 0 tiene soluci´on no trivial en Qp,
entonces tiene una soluci´on (z, x, y) que verifica z, y ∈U, x∈Zp.
Demostraci´on: Por la Proposici´on 2.13 sabemos que existe una soluci´on primitiva de la ecuaci´on (z, x, y), en (Zp)3. Si no cumpliera las condiciones que queremos, entonces yoz es divisible por p. Pero por ser soluci´on, sabemos que z2−vy2 es m´ultiplo de p, y v no, luego
deber´ıa ocurrir que ambos (z ey) sean m´ultiplos dep. Entonces,p2 |(z2−vy2) = px2 luego
p| x, absurdo pues la soluci´on era primitiva. Por lo tanto, (z, x, y) verifica las condiciones buscadas.
Teorema 3.5. Si k =R, se tiene que
(a, b) =
1, si a >0 ´o b >0;
−1, si a, b <0.
Si k=Qp y escribimos a a y b en la forma pαu, pβv, con u, v ∈U, entonces se tiene que
(a, b) =
(−1)αβε(p)(up) β(v
p) α
, si p6= 2;
(−1)ε(u)ε(v)+αω(v)+βω(u), si p= 2.
donde u
p
denota el s´ımbolo de Legendre de urespecto de p, y las expresiones ve(x), ω(x), representan el resto m´odulo dos de las expresiones x−12 , x28−1, respectivamente. 8
Demostraci´on: El caso k = R es trivial, se deduce del hecho de que un n´umero es un cuadrado en R si y s´olo si es positivo.
Supongamos ahora k =Qp, p 6= 2. Es claro que s´olo nos interesa el resto de α, β m´odulo 2. Pero adem´as, como el s´ımbolo de Hilbert es sim´etrico, basta con considerar s´olo 3 casos: 1) α= 0, β = 0:
Resulta evidente, por la paridad de los exponentes, que (a, b) = (pαu, pβv) = (u, v). Y el
8De hecho, una versi´on m´as general de este Teorema vale tambi´en: Si k es cualquier cuerpo local, tal
que su cuerpo de residuos tiene caracter´ıstica impar, sean a, b ∈ k∗. Escribimos a = πmu, b = πnv con m, n∈Zyu, v∈ O∗. Entonces se tiene que
(a, b) = (−1)mn(q−1)/2χ(˜u)χ(˜v)
lado derecho de la igualdad a probar es claramente 1; veamos entonces que (u, v) = 1. Como Corolario del Teorema de Chevalley-Warning en 6.1, se obtiene que toda forma cuadr´atica sobre 3 o m´as variables tiene una soluci´on no trivial m´odulo p. Al ser el discriminante de esta forma una unidad, por el Corolario 2.17 obtenemos a partir de dicha soluci´on una en
Qp. Luego (u, v) = 1. 2) α= 1, β = 0:
Reemplazando con estos valores en la f´ormula a probar, basta ver que (pu, v) = vp
. Pero ya hemos visto que (u, v) = 1, entonces (pu, v) = (p, v) por la propiedad (iii) del s´ımbolo de Hilbert. Debemos probar entonces que
(p, v) = v p
Recordemos, por el Teorema 2.23, que v es un cuadrado sii v p
= 1. Si v fuera cuadrado perfecto, entonces (p, v) = 1 por la propiedad (i) del s´ımbolo, y vp = 1 por lo recien mencionado; se da la igualdad. En caso contrario, tenemos que vp = −1. Mirando la ecuaci´onz2−px2−vy2 = 0 vemos que si tuviera soluci´on no trivial, entonces por el Lema
anterior tendr´ıa una con z, y ∈ U. Esto implicar´ıa que v ≡ z y
2
modp, absurdo pues v no era cuadrado. Por lo tanto la ecuaci´on no tiene soluci´on, y luego (p, v) =−1 = vp. 3) α= 1, β = 1:
Este caso se reduce a probar la f´ormula (pu, pv) = (−1)(p−1)/2 up vp. Por la propiedad (iv) del s´ımbolo, tenemos que (pu, pv) = (pu,−pupv) = (pu,−p2uv) = (pu,−uv), y −uv ∈ U.
Usando el caso 2) llegamos a que (pu, pv) = (pu,−uv) = −puv. Finalmente,
− uv p = − 1 p u p v p
= (−1)(p−1)/2
u p v p
como quer´ıamos ver.
Ahora sea p= 2. Como en el caso anterior, s´olo consideraremos tres posibilidades: 1) α= 0, β = 0:
Traduciendo la f´ormula a probar, hay que ver que (u, v) = (−1)u−12 v−1
2 . Es decir, que
(u, v) = 1 si u o v es congruente a 1 mod 4, y -1 en caso contrario. Supongamos que u ≡ 1 mod 4, entonces u ≡ 1 o 5 mod 8. En el primer caso, por el Teorema 2.25 ten-emos que u es un cuadrado, luego (u, v) = 1. Si u ≡ 5 mod 8, como v es coprimo con 2 resulta que 4v ≡ 4 mod 8. Entonces u+ 4v ≡ 1 mod 8, luego u+ 4v es un cuadrado. Supongamos que w2 = u+ 4v, w ∈ U; se ve en este caso que (w,1,2) es soluci´on de la
ecuaci´on z2 −ux2−vy2 = 0, con lo cual (u, v) = 1. Finalmente, si u ≡ v ≡ −1 mod 4,
supongamos que (u, v) = 1. Entonces existe una soluci´on primitiva (z, x, y) de la ecuaci´on z2 −ux2 −vy2 = 0. Reduciendo m´odulo 4, x2 +y2 +z2 ≡ 0 mod 4, y como los ´unicos
cuadrados m´odulo 4 son 0 y 1, esto implica que x2, y2 y z2 son 0 mod 4. Pero entonces
los 3 elementos de la terna (z, x, y) son m´ultiplos de 2, contradiciendo el hecho de que era primitiva. Absurdo; por lo tanto (u, v) =−1.
2) α= 1, β = 0:
Dados los valores deα y β, hay que probar que (2u, v) = (−1)u−12 v−1
2 + v2−1
8 . Primero
probe-mos que (2, v) = (−1)v
2−1
8 , es decir, que (2, v) = 1 siiv ≡ ±1 mod 8:
Si (2, v) = 1 entonces por el Lema anterior existen x, y, z ∈Z2 tales que z2−2x2−vy2 = 0
mod 8. Pero los ´unicos cuadrados m´odulo 8 son 0, 1 y 4; deducimos de esto que v ≡ ±1 mod 8. Rec´ıprocamente, si v ≡ 1 mod 8, es un cuadrado y luego (2, v) = 1; y si v ≡ −1 mod 8, la ecuaci´on z2 −2x2 −vy2 = 0 tiene a (1,1,1) como soluci´on m´odulo 8. Por el Corolario 2.17 tenemos que esta soluci´on da lugar a una enZ2, entonces (2, v) = 1.
Probemos ahora que (2u, v) = (2, v)(u, v), suficiente para lo que necesitamos puesto que por el caso 1), (u, v) = (−1)u−12
v−1
2 . Si (2, v) = 1 o (u, v) = 1, esto vale por la Propiedad
(iii) del s´ımbolo. En caso contrario, supongamos que (2, v) = (u, v) = −1. De los resultados anteriores, y del caso 1), esto equivale a decir que v ≡ 3 mod 8 y u ≡ 3 o −1 mod 8. Luego la ecuaci´on z2−2ux2−vy2 = 0 se lee m´odulo 8 como
z2+ 2x2−3y2 ≡0 ´o z2−6x2+ 5y2 ≡0
Ambas tienen como soluci´on a (1,1,1); como antes, esta da lugar a una soluci´on enZ2, por
lo tanto (2u, v) = 1 = (−1)(−1) como quer´ıamos ver. 3) α= 1, β = 1:
Debemos ver que
(2u,2v) = (−1)u−12 v−1
2 + v2−1
8 + u2−1
8
Por la Propiedad (iv) del s´ımbolo de Hilbert, sabemos que (2u,2v) = (2u,−4uv) = (2u,−uv). Pero adem´as, por el caso anterior sabemos que como −uv ∈U,
(2u,2v) = (2u,−uv) = (−1)u−12 −uv−1
2 +
(−uv)2−1 8
Resta observar que, si hacemos las cuentas,
(u−1) 2
(v−1)
2 +
v2−1
8 +
u2−1 8
−
(u−1) 2
(−uv −1)
2 +
(−uv)2−1 8
=
u2 −1 8
(1+2v−v2)
lo cual resulta evidentemente ≡ 0 mod 2 (ya que como v ≡1 mod 2, entonces (1 + 2v−
v2)≡0 mod 2 ). Y esto implica la f´ormula que se deb´ıa probar, pues la resta en la ecuaci´on
de arriba es entre los dos exponentes en cuesti´on (el que quer´ıamos probar, y el que ten´ıamos como v´alido).
Observar que la generalizaci´on de la propiedad (iii) en la Proposici´on 3.3 implica que el s´ımbolo de Hilbert es bilineal. Pero de hecho vale lo siguiente:
Teorema 3.6. El s´ımbolo de Hilbert es una forma bilineal sim´etrica no degenerada sobre el F2-espacio vectorial k∗/k∗2
Nota: Fq representa un cuerpo de q elementos.
Demostraci´on: El hecho de que sea bilineal se deduce inmediatamente de la expresi´on probada en el Teorema anterior, y del hecho de que las aplicaciones ε, ω:U →Z/2Zdadas por ε(u) = u−12 ,ω(u) = u28−1 (que son las que aparecen en los exponentes) son morfismos. La no degeneraci´on se prueba tomando un sistema de representantes para el grupoQ∗p/Q∗p2 seg´un los Corolarios 2.24 y 2.26, y encontrando para cada uno de los elementos no neutros a alg´un otro elemento b tal que (a, b) =−1. Esto se puede hacer f´acilmente dado que los grupos en cuesti´on tienen 4 u 8 elementos (dependiendo de si p 6= 2 o p = 2), es por eso que consideramos innecesario presentar los detalles aqu´ı. .
Corolario 3.7. Si b /∈k∗2 entonces N k∗b es un subgrupo de ´ındice 2 de k∗.
Demostraci´on: Simplemente definimos el morfismo φb : k∗ → {±1} mediante φb(a) = (a, b), y resulta evidente queN k∗b = kerφb. El hecho de que el s´ımbolo sea no degenerado im-plica queφb sea suryectiva. Luego por el Primer Teorema del Isomorfismo,k∗/N kb∗ ∼={±1}, y esto implica lo que quer´ıamos probar.
Si escribimos (a, b) = (−1)[a,b], entonces [a, b] es una forma bilineal sim´etrica sobrek∗/k∗2,
con valores enZ/2Z, y podemos conocer (mediante el Teorema 3.5) su matriz en cierta base para k∗/k∗2:
Si k=R, la matriz es (1).
Si k = Qp, p 6= 2, y consideramos la base {p, u} (tal que u no sea resto cuadr´atico mod p) entonces la matriz es
0 1 1 0
, si p≡1 (mod 4);
1 1 1 0
, si p≡3 (mod 4).
Si k=Q2, fijando la base{2,−1,5} la matriz resulta ser
0 0 1 0 1 0 1 0 0
3.2.
Propiedades globales
Como hemos notado anteriormente, el cuerpo de los n´umeros racionalesQse puede con-siderar como un subcuerpo de todos losQp y deR. Entonces, dadosa, b∈Q∗, denotaremos (a, b)p al s´ımbolo de Hilbert respecto deQpde sus im´agenes all´ı (y an´alogamente con (a, b)∞
para R). Por comodidad de notaci´on, definimos tambi´en V como el conjunto de n´umeros primos junto con el s´ımbolo ∞, llamando naturalmente Q∞ = R; as´ı notamos a todas las
extensiones de Q aqu´ı consideradas como Qv, para alg´un v ∈V.
El que sigue es un resultado fundamental del s´ımbolo de Hilbert que, junto con otro teorema a continuaci´on conforman lo que hemos llamado Propiedades Globales del s´ımbolo de Hilbert (la palabra globales surge de considerar todos los s´ımbolos de Hilbert de los distintos cuerpos en cuesti´on y relacionarlos).
Teorema 3.8 (Hilbert). Sia, b∈Q∗, entonces(a, b)
v = 1 ∀v ∈V salvo finitos, y adem´as
Y
v∈V
Nota: Esta es la llamada f´ormula del producto para el s´ımbolo de Hilbert.
Demostraci´on: 9 Por la bilinealidad del s´ımbolo de Hilbert (bilinealidad ”multiplicativa”),
basta con probar el Teorema para el caso en el quea,bson -1 o un n´umero primo. Entonces, por simetr´ıa, basta con considerar s´olo 3 casos, y en cada uno de ellos podremos calcular los s´ımbolos de Hilbert mediante el Teorema 3.5 (ser´ıa util tener presentes las f´ormulas que dicho Teorema da para el c´alculo del s´ımbolo de Hilbert):
1)a = −1, b = −1: Es claro que (−1,−1)∞ = −1. Para los dem´as v, vemos que la
escritura de a, b en la forma vαu, respectivamente, est´a dada por α = 0, u = −1. Luego (−1,−1)v = 1 si v 6= 2. Y como ε(−1) = 1, resulta que (−1,−1)2 = −1; se verifica
inmediatamente el enunciado del Teorema.
2) a = −1, b = l, con l primo: Si l = 2, es claro que (−1,2)v = 1 cuando v 6= 2 (pues la descomposici´on de l en la forma vαu se da con α = 0). Y siv = 2, α= 1 y u= 1, pero como ω(−1) = 0 y ε(u) = 0 resulta tambi´en que (−1,22 = 1.
Paral 6= 2, si tuvi´eramos quev 6= 2, l entoncesα= 0 yu=l, luego (−1, l)v = 1. O sea que son todos 1, salvo tal vez para v = 2 ´o v =l. Pero en esos casos uno ve que α= 0, u=l si v = 2, en cuyo caso (−1, l)2 = (−1)ε(l); o bienα= 1, u= 1 cuandov =l, se tiene entonces
que (−1, l)l = (−1)ε(l). Se verifica luego que (−1, l)2 = (−1, l)l, por lo tanto el producto sobre todos los v da efectivamente 1.
3) a =l, b =l0, con l, l0 primos: Si l =l0 entonces por la Propiedad (iv) del s´ımbolo de Hilbert se ve que (l, l)v = (l,−l2) = (l,−1), y queda reducido al caso anterior. Supongamos entonces que l 6= l0. En general escribiremos l = vαu, l = vβu0 para v 6= ∞ (es claro que (l, l0)∞ = 1), la descomposici´on usual. Si alguno de ellos fuera 2, por ejemplo l0 = 2,
entonces puede pasar que:
(i) v 6= 2, l: En este casoα =β = 0 y luego (l,2)v = 1 para todos esos v;
(ii) v = 2: Esto implica α = 0, β = 1, u0 = 1, y tenemos ε(u0) = 0 con lo cual (l,2)2 =
(−1)ω(l)
(iii) v = l: Aqu´ı se tiene α = 1, β = 0, u0 = 2, entonces (l,2)l = 2l
= (−1)ω(l) (para justificar la ´ultima igualdad, ver Ap´endice sobre Teor´ıa de n´umeros, m´as especificamente las propiedades del s´ımbolo de Legendre)
Se ve entonces que (l,2)2 = (l,2)l, y el producto da 1.
Finalmente, cuando l6=l0 y ninguno de ellos es 2, se tiene parav 6= 2, l, l0 queα =β = 0, luego (l, l0)v = 1. Para v = 2, tambi´en vale que α = β = 0, luego (l, l0)2 = (−1)ε(l)ε(l
0)
. Y en los otros casos, resulta evidente que α = 0, β = 1 o viceversa, de donde (l, l0)l = l
0
l
, (l, l0)l0 = l
l0
. Utilizando la ley de reciprocidad cuadr´atica de Gauss, tenemos que
(l, l0)l(l, l0)l0 =
l0 l
l
l0
= (−1)ε(l)ε(l0)
Por lo tanto al multiplicar con (l, l0)2 da 1.
A continuaci´on plantearemos una especie de ecuaci´on, cuyos ´unicos datos son ciertos s´ımbolos de Hilbert, y hallaremos (bajo ciertas hip´otesis que son obligadas) condiciones necesarias y suficientes para su soluci´on. (Notar que el resultado siguiente esta muy
rela-9El ´unico caso realmente interesante de la demostraci´on es cuandoayb son primos impares distintos,
cionado con hallar una soluci´on enQ para cierta forma cuadr´atica, dado que existen solu-ciones en cada Qv):
Teorema 3.9. Sea (ai)i∈I una familia finita de elementos en Q∗, y sea (εi,v)i∈I,v∈V una
familia de n´umeros en {±1}. Entonces existir´a un x∈Q∗ tal que(a
i, x)v =εi,v ∀i∈I, v∈ V si y s´olo si se satisfacen las siguientes tres condiciones:
(i) Los εi,v son todos iguales a 1, salvo finitos. (ii) Para todo i∈I se tiene que Q
v∈V εi,v = 1
(iii) Para todo v ∈V existe un xv ∈Q∗v tal que (ai, xv)v =εi,v para todo i∈I. Para la demostraci´on necesitaremos dos lemas, a saber:
Lema 3.10. (Teorema de aproximaci´on) Sea S un subconjunto finito de V. Entonces la
imagen de Q en Q
v∈SQv es densa en dicho producto.
Lema 3.11 (Dirichlet). Si a, m ∈ N son coprimos, entonces existen infinitos primos p
tales que p≡a (mod m).
Demostraci´on: (del Teorema) Es claro que las condiciones son necesarias: las primeras dos por la f´ormula del producto del s´ımbolo de Hilbert, la tercera tomando por ejemplo xv = x. Probemos entonces la vuelta: sean (εi,v) que satisfacen las hip´otesis del Teorema, y supongamos que los ai son todos enteros (se puede, pues podemos multiplicarlos por su denominador al cuadrado, lo cual deja invariante los s´ımbolos de Hilbert). Definamos S como el conjunto de los factores primos de los ai junto con 2 y ∞, y T :={v ∈ V :∃i ∈ I con εi,v =−1}.
Caso 1) S∩T =∅
Sean
a = Y l∈T\{∞}
l
m= 8 Y l∈S\{2,∞}
l
Al ser S y T finitos, estos enteros est´an bien definidos. ComoS∩T =∅se tiene que ay m son coprimos. Luego por Dirichlet, existepprimo tal que p≡a modm, tal quep /∈S∪T. Veamos que x=ap verifica las condiciones requeridas (o sea, que (ai, x)v =εi,v para todos i∈I, v ∈V):
Si v ∈S ⇒ v /∈T ⇒ εi,v = 1; debemos ver que (ai, x) = 1. Para v =∞, esto es verdad pues x >0; si v =l es un n´umero primo, x≡ap ≡a2 mod m, luego por definici´on de m tenemos que: cuando l = 2 x≡ a2 mod 8; y cuando l 6= 2 x ≡ a2 mod l. Notar que x y
a son unidades l-´adicas (ver definici´on de x, a y m). Pero adem´as, si escribimos x = lnu resulta n = 0 y la imagen de u = x en Fl∗ es justamente a2 mod l, un resto cuadr´atico, luego por el Teorema 2.23 xes un cuadrado en Q∗l. Por lo tanto, (ai, x)v = 1 =εi,v en este caso.
Cuando v /∈S (llamemos v =l), se tiene que ai es una unidad l-´adica para cada i∈I. Luego aplicando el Teorema 3.5 se obtiene que
(ai, b)l= ai
l
para cualquier b∈Q∗l.
Si l /∈ T y l 6= p entonces tambi´en resulta que x es una unidad l-´adica, luego vl(x) = 0 y entonces utilizando la f´ormula anterior llegamos a que (ai, x)l = 1, que es igual a εi,v ya que l /∈T.
Si l ∈ T entonces l | a luego vl(x) = vl(a) + vl(p) = 1 + 0 = 1. Utilizando la hip´otesis (iii) tenemos que ∃xl ∈ Q∗l tal que (ai, xl)l = εi,l ∀i ∈ I. Al ser que l ∈ T, existir´a alg´un εi,l =−1, con lo cual vl(xl)≡1 mod 2 (debido a la f´ormula presentada para el c´alculo de (ai, b)l). Pero entonces,
(ai, x)l =
ai l
= (ai, xl)l=εi,l para todoi∈I
como quer´ıamos.
Paral =p, utilizando la f´ormula del producto (y la hip´otesis (ii)) para despejar los t´erminos con v =p, obtenemos que:
(ai, x)p =
Y
v6=p
(ai, x)v =
Y
v6=p
εi,v =εi,p
Luego queda probado el Teorema en el caso S∩T =∅.
Caso 2) S∩T 6=∅
Sabemos que Q∗v2 es un subgrupo abierto de Q∗v. Luego por ser S finito, Q
v∈SQ
∗
v
2 es
abierto en Q
v∈SQ
∗
v. Ahora bien, tenemos xv ∈ Q∗v que verifican la hip´otesis (iii), luego por el Teorema de Aproximaci´on presentado antes de la demostraci´on, como la imagen de
Q∗ es densa en Qv∈SQ
∗
v, existir´a un x
0 ∈
Q∗ tal que x0/xv ∈ Q∗v
2 ∀v ∈ S. En particular
tenemos que (ai, x0)v = (ai, xv)v =εi,v para tovov ∈S. Seanηi,v =εi,v(ai, x0)v. Entonces la familia de n´umeros (ηi,v) verifica claramente las tres hip´otesis (i), (ii), (iii). Pero m´as aun, si v ∈S entonces ηi,v =εi,v(ai, x0)v =εi,b2 = 1. Esto nos dice que si definimos S y T para esta nueva familia, entonces S queda igual ya que son los mismos ai, y T resulta disjunto con S (pues para estar en T deb´ıa ocurrir que para alg´uni, ηi,v =−1). Luego por el caso anterior, existir´ay∈Q∗ tal que (a
i, y)v =ηi,v para todo i∈I y v ∈V. Definimos entonces x=yx0, y luego
4.
Formas cuadr´
aticas
El objetivo de esta secci´on es estudiar y caracterizar las formas cuadr´aticas sobre los cuerposQv yQ. Para eso, estudiaremos las propiedades de losm´odulos cuadr´aticos en
gen-eral, y luego las traduciremos al lenguaje corriente de formas cuadr´aticas. Al terminar con las propiedades b´asicas y los importantes teoremas de representaci´on de un n´umero a trav´es de una forma cuadr´atica, nos dedicaremos a estudiar m´as espec´ıficamente las propiedades de estas sobre Qp y sobre R.
4.1.
M´
odulos cuadr´
aticos
Definici´on 4.1. Sea V un A-m´odulo, con A un anillo conmutativo. Una funci´on Q:V →
A es una forma cuadr´atica sobre V si se satisfacen las siguientes condiciones:
(i) Q(ax) =a2Q(x) ∀a ∈A, x∈V;
(ii) La funci´on B(x, y) =Q(x+y)−Q(x)−Q(y) es una forma bilineal. Un par (V, Q) con dichas propiedades se llama m´odulo cuadr´atico.
En esta secci´on nos limitaremos al caso de que A sea un cuerpo k de caracter´ıstica distinta de 2. Entonces elA-m´oduloV resulta ser unk-espacio vectorial, que supondremos que ser´a de dimensi´on finita.
Vale la pena observar que la definici´on surge de la relaci´on entre la norma y el producto interno en un espacio vectorial: est´an mutuamente determinados, justamente por la f´ormula (ii) de la definici´on (en realidad multiplicando por 1/2 el lado derecho). Y aprovechando esto, definiremos el producto escalarasociado a Qmediante
x.y := (Q(x+y)−Q(x)−Q(y))/2
(tiene sentido dividir por 2 pues excluimos a los cuerpos de caracter´ıstica 2). Observar que con esta definici´on resulta ser efectivamente un producto escalar, ya que al ser + con-mutativa, la forma bilineal de la definici´on es sim´etrica. Y adem´as, se tiene queQ(x) = x.x.
Definici´on 4.2. Si (V, Q) y (V0, Q0) son dos m´odulos cuadr´aticos, una funci´on f : V →
V0 es un morfismo de m´odulos cuadr´aticos (o morfismo m´etrico, para simplificar) si
Q0◦f =Q.
Observar que esta condici´on implica quef(x).f(y) =x.y ∀x, y ∈V.
Si fijamos una base (ei)1≤i≤n para V, llamamos matriz de Q respecto de esta base a la matriz A = (aij) ∈ knxn dada por aij =ei.ej. Es claro que A es sim´etrica, y adem´as si escribimos a x=Pn
i=1xiei en la base fijada, entonces se tiene que Q(x) =X
i,j
aijxixj
En este contexto surge el primer invariante de las formas cuadr´aticas, al cual llamaremos
discriminante deQ y estar´a dado por
d(Q) :=det(A)^ ∈k∗/k∗2
donde la tilde denota la imagen de det(A) en el conjunto de clases de restos cuadr´aticos (para la definici´on estamos suponiendo que det(A) 6= 0; si esto ocurriera, decimos que disc(Q) = 0) . La buena definici´on surge de lo siguiente: si cambi´aramos la base mediante la matriz cambio de base (invertible) X ∈Glk(n), entonces la matriz de Q en esta nueva base no ser´ıa otra cosa que A0 =XAXt. Pero entonces det(A0) = det(A) det(X)2, y justa-mente det(X)2 ∈k∗2 (es no nulo por ser X es invertible).
Diremos que dos elementos x, y ∈ V son ortogonales (respecto a Q) si x.y = 0. Si H ⊆ V, definimos su complemento ortogonal H0 := {y ∈ V : h.y = 0 ∀h ∈ H},
que claramente es un subespacio vectorial de V. Diremos que dos subespacios V1, V2 son
ortogonales si V1 ⊆ V20 (i.e., si dados v1 ∈ V1, v2 ∈ V2 ⇒ v1.v2 = 0). El complemento
ortogonal de todo el espacioV,V0, es llamadoradicaldeV, y se denotarad(V). Definimos
entonces el rango de Q como
rank(Q) := dimV −dim(rad(V))
Diremos que Q es no-degenerada si V0 = 0, lo cual equivale a decir que d(Q)6= 0 (esto se
ver´a despu´es).
Definici´on 4.3. Sean U1, . . . , Um subespacios de V. Diremos que V es la suma directa ortogonal de ellos si son todos ortogonales entre s´ı, y adem´as V es suma directa de ellos. Se nota como:
V =U1⊕ˆ. . .⊕ˆUm En primer lugar, si escribimos x=P
xi, donde xi son sus componentes en Ui, entonces se tiene que
Q(x) = Q1(x1) +. . .+Qm(xm)
donde Qi denotan las restricciones de Q a cada Ui. Pero rec´ıprocamente, si tenemos una familia de m´odulos cuadr´aticos (Ui, Qi), podemos construir la forma cuadr´atica que resulta
suma directade lasQimediante la f´ormula de arriba, obteniendo as´ı el m´odulo cuadr´atico ( ˆL
Ui, Q).
Por otro lado, es claro que si U ⊆ V es sumplementario de rad(V), entonces V = U⊕ˆrad(V).
Proposici´on 4.4. Sea (V, Q) un m´odulo cuadr´atico no degenerado. Entonces,
(i) Todos los morfismos m´etricos que partan de V son inyectivos.
(ii) Para todo subespacio U de V se tiene que
U00 =U,dimU + dimU0 = dimV, rad(U) = rad(U0) = U∩U0.
Adem´as, el m´odulo cuadr´atico U es no-degenerado si y s´olo si U0 lo es, y si esto pasa se tiene que V =U⊕ˆU0.
Demostraci´on:
(i) Sea f : V → V0 un morfismo m´etrico, con (V0, Q0) un m´odulo cuadr´atico. Para ver que f es inyectiva, supongamos que f(x) = 0. Entonces dado y ∈V, x.y =f(x).f(y) = 0 por ser f morfismo. Esto es decir que x∈rad(V) (es ortogonal a todos), pero comoV era no degenerado, x= 0. Luego f es inyectiva.
(ii) SeaU un subespacio deV. Definamos el morfismoqU :V →U∗ (dondeU∗ es el dual deU) que aplicay ∈U al funcional lineal enU g(x) = x.y. Es claro que el n´ucleo de qU es U0. En particular, al ser V no degenerado,q
V :V →V∗ es un isomorfismo (su n´ucleo seria rad(V) = 0).
Vemos que podemos obtener qU componiendo qV con la proyecci´on can´onica de V∗ a U∗. Luego qU :V →U∗ resulta ser suryectiva. Entonces, considerando la inclusi´on deU0 enV obtenemos la siguiente sucesi´on exacta
0→U0 →V →U∗ →0
de donde dimV = dimU0 + dimU∗ = dimU0 + dimU. Aplicando este proceso para el subespacio U0, se llegar´ıa a la f´ormula dimV = dimU00 + dimU0, la cual junto con la
anterior implica que dimU = dimU00. Pero por definici´on de U0, tenemos que U ⊆ U00
(los elementos deU son ortogonales a los deU0, luego est´an en U00), por lo tantoU =U00. Veamos ahora que rad(U) = U∩U0 (lo cual, junto con el hecho anterior, nos dir´a tambi´en
querad(U0) = U∩U0):x∈rad(U) si y s´olo six∈U yxes ortogonal a todos los elementos
de U. Es decir, si y s´olo si x∈U y x∈U0, y listo.
Un m´odulo cuadr´atico es no degenerado si y s´olo si su rad es nulo. Puesto que rad(U) = rad(U0), la no degeneraci´on de U implica la de U0 y viceversa. En el caso en que lo sean,
tenemos que dimU + dimU0 = dimV, y U ∩U0 = rad(U) = 0 luego V = U ⊕U0. Por definici´on de U0, la suma directa es tambi´en ortogonal.
(iii) Si V = U1⊕ˆU2 entonces U2 ⊆ U10 por ser la suma ortogonal. Pero dimU2 =
dimV −dimU1 = dimU10 luego U2 = U10. Ahora bien, vemos que si x∈ rad(U1) entonces
es ortogonal a todos los de U1. Pero por estar en U1, es ortogonal a todos los deU10. Luego
es ortogonal a todo elemento deU1⊕U10 =V, entoncesx= 0 ya queV era no degenerado.
Definici´on 4.5. Dado un m´odulo cuadr´atico(V, Q), diremos que un elementoxesisotr´ opi-co si Q(x) = 0. Un subespacio U es isotr´opico si todos sus elementos lo son. Finalmente, diremos que el m´odulo cuadr´atico es isotr´opico si existe alg´un elemento isotr´opico no nulo
x∈V.
Es claro que U es isotr´opico si y s´olo siU ⊆U0, lo cual equivale a decir que la restricci´on de Qa U es la forma cuadr´atica nula.
Definici´on 4.6. Un m´odulo cuadr´atico que tiene una base formada por dos elementos isotr´opicos x, y no ortogonales es llamado un plano hiperb´olico.
Se puede suponer sin p´erdida de generalidad que x.y = 1, en cuyo caso la matriz del plano hiperb´olico en la base x, y resulta ser
0 1 1 0
con d(Q) = −1. Observar que es el ejemplo m´as peque˜no posible (no trivial) de un m´odulo cuadr´atico isotr´opico. El siguiente inesperado resultado muestra que todo m´odulo cuadr´atico isotr´opico debe contener un plano hiperb´olico como subespacio:
Proposici´on 4.7. Seax∈V un elemento isotr´opico no nulo, donde(Q, V)es no-degenerado. Entonces existe un subespacio U de V que contiene a x y es un plano hiperb´olico.
Demostraci´on: Al serV no degenerado, existez ∈V tal quex.z 6= 0. Podemos suponer, mediante el producto por un escalar, que x.z = 1. Sea y = 2z −(z.z)x. Entonces, y es isotr´opico, pues
y.y= 4(z.z) + (z.z)2(x.x)−4(z.z)(z.x) = 4(z.z) + 0−4(z.z) = 0
y adem´as, haciendo las cuentas,x.y = 2. Luego el subespaciokx+ky es un plano hiperb´ oli-co.
Corolario 4.8. Si (V, Q) es isotr´opico, entonces Q(V) = k.
Demostraci´on: Por la Proposici´on anterior, basta con demostrarlo para V un plano hiperb´olico. Supongamos que una base para V es x, y, con x, y isotr´opicos y x.y = 1. En-tonces dado a∈k, resulta que a=Q(x+ a2y); por lo tanto Q(V) =k.
Teorema 4.9. Todo m´odulo cuadr´atico (V, Q) admite una base de elementos ortogonales dos a dos (i.e., base ortogonal).
Demostraci´on: Probemos el resultado por inducci´on en n = dimV. El caso n = 1 es trivial. Ahora supongamos que dimV = n. Si V fuera isotr´opico (i.e., todos sus ele-mentos isotr´opicos), entonces cualquier base ser´ıa ortogonal ya que Q ser´ıa id´enticamente cero. Entonces supongamos que V no es isotr´opico, luego existir´a un e1 ∈ V tal que
e1.e1 6= 0. El complemento ortogonal H de {e1} tendr´a entonces dimensi´on n−1, puesto
que e1 ∈/ H por hip´otesis. Al ser el subespacio ke1 no degenerado, resulta (Proposici´on
anterior) que V =ke1⊕ˆH. Luego aplicando la hip´otesis inductiva, tomamos una base
or-togonal (e2, . . . , en) paraH, y la base (e1, e2, . . . , en) de V resulta ser ortogonal.
Este teorema ayuda mucho a comprender qu´e es lo que realmente pasa con las formas cuadr´aticas, puesto que la matriz de Q en una base ortogonal no es otra cosa que una matriz diagonal:
a1 0 . . . 0
0 a2 . . . 0
..
. ... . .. 0 0 0 . . . an
Si escribimos x = P
xiei, entonces Q(x) = a1x12 +. . .+anx2n. Podemos reinterpretar la definici´on de m´odulo cuadr´atico no-degenerado: lo que se est´a diciendo realmente es que ai 6= 0 ∀i= 1, . . . , n(es decir, que la forma cuadr´atica sea efectivamente en n variables). Y ahora resulta evidente que (V, Q) es no degenerada sii d(Q)6= 0, pues d(Q) =Q
Definici´on 4.10. Dos bases ortogonales de un mismo m´odulo cuadr´atico (V, Q) se di-cen contiguas si tienen alg´un elemento en com´un (i.e., si las bases son (e1, . . . , en) y (e01, . . . , e0n), deben existir i, j tal que ei =e0j).
Teorema 4.11. Sea (V, Q) un m´odulo cuadr´atico no degenerado de dimensi´on n ≥ 3, y sean e = (e1, . . . , en) y e’ = (e01, . . . , e0n) dos bases ortogonales de V. Entonces existe una
sucesi´on finita de bases ortogonales e(0),e(1), . . . ,e(m) tales que e(0) =e, e(m) =e’ ye(j) es
contigua a e(j+1) para todo j = 0, . . . , m−1.
Demostraci´on: Dividiremos la prueba en tres casos: 1) (e1.e1)(e01, e
0
1)−(e1.e01)2 6= 0
Claramente, si llamamos P al plano ke1+ke10, la condici´on supuesta nos dice que e1 y e01
no pertenecen a rad(P). Pero adem´as, tambi´en nos dice que e1 no es un m´ultiplo de e01 y
viceversa. O sea que {e1, e01} es base para P, y como ningun de ellos est´a en rad(P), debe
ser que rad(P) = 0. Por lo tanto P es no degenerado. Luego, deben existir complementos ortogonales para e1 y e01 de dimensi´on 1, es decir, ε2, ε02 tales que
P =ke1⊕ˆkε2 =ke01⊕ˆkε 0 2.
Llamemos H al complemento ortogonal de P. Como P es no degenerado, V = H⊕ˆP por la Proposici´on 4.4. Sea (e003, . . . , e00n) una base ortogonal para H. Entonces, podemos hacer contiguas a e y e’ mediante la cadena
e→(e1, ε2, e003, . . . , e 00
n)→(e
0 1, ε
0 2, e
00 3, . . . , e
00
n)→e’ y vale el Teorema.
2) (e1.e1)(e02, e 0
2)−(e1.e02)2 6= 0
La prueba de este caso es exactamente la misma que en el 1), cambiando e01 pore02. 3) (e1.e1)(e0i, e
0
i)−(e1.e0i)2 = 0 para i= 1,2
Probemos primero que la condici´on supuesta implica que existe unx∈ktal que el elemento ex :=e01+xe02 es no isotr´opico, y genera junto cone1 un plano no degenerado:
La condici´on de no isotr´opico se cumplir´a si y s´olo si ex.ex =e01.e 0
1+x2(e 0 2.e
0
2)6= 0, i.e.,
sii x2 6= −(e0 1.e 0 1)/(e 0 2.e 0
2). Y para que el plano que genera con e1 sea no degenerado debe
pasar, como antes, que (e1.e1)(ex, ex)−(e1.ex)2 6= 0. Desarrollando con la f´ormula para ex, y utilizando la condici´on supuesta, llegamos a el plano generado ser´a no degenerado sii
−2x(e1.e01)(e1.e02). Pero la hip´otesis supuesta implica que (e1.e0i) 6= 0 para i = 1,2. O sea que basta con que x6= 0.
As´ı, s´olo tenemos que lograr que x 6= 0 y x2 6=−(e0 1.e 0 1)/(e 0 2.e 0
2). Esto excluye a lo sumo 3
valores de k para elegir, luego si k tiene m´as de 4 elementos, ya est´a. En el caso dek=F3,
como (e1.e0i)6= 0 no queda otra que (e1.e0i)2 = 1. Entonces la hip´otesis 3) se reescribe como (e1.e1)(e0i, e
0
i) = 1, i= 1,2. Pero entonces la expresi´on−(e
0 1.e 0 1)/(e 0 2.e 0
2) es -1, y por lo tanto
basta tomar x= 1 para verificar las propiedades requeridas para ex.
Ahora podemos entonces tomar ex = e01 +xe02 no isotr´opico, y tal que ke1+kex es no degenerado. Como ex es no isotr´opico, existir´a un e002 tal que (ex, e002) es una base ortogonal
para ke01⊕ˆke02. Sea
e”= (ex, e002, e 0
3, . . . , e 0
n)
