Apuntes de Matem´
atica Discreta
8. Relaciones de Equivalencia
Francisco Jos´
e Gonz´
alez Guti´
errez
Lecci´
on 8
Relaciones de Equivalencia
Contenido
8.1 Generalidades . . . 199
8.1.1 Definici´on . . . 200
8.1.2 Digrafo asociado a una Relaci´on de Equivalencia . . . 201
8.2 Clases de Equivalencia . . . 201
8.2.1 Definici´on . . . 201
8.2.2 Lema . . . 202
8.3 Conjunto Cociente . . . 203
8.3.1 Teorema . . . 203
8.3.2 Definici´on . . . 204
8.3.3 Teorema . . . 208
La verdad no es un objeto que se encuentre al cabo de una cadena l´ogica r´ıgida; tampoco est´a indeterminada en todas las direcciones del discurso. En una regi´on limitada por contornos excepcionales: descubrir estos contornos es iluminar esa regi´on, es explorar lo posible y precisar lo probable, es aplicar a las cosas la potencia de la claridad y de orden del esp´ıritu; en una palabra es comprender
Jean Ullmo
8.1
Generalidades
Este tipo de relaciones binarias juegan un papel importante en todas las ciencias porque permiten clasi-ficar los elementos del conjunto en el que est´an definidas.
Muchas veces trataremos a los elementos de un conjunto m´as por sus propiedades que como objetos individuales. En tales situaciones, podremos ignorar todas las propiedades que no sean de inter´es y tratar elementos diferentes como “equivalentes” o indistinguibles, a menos que puedan diferenciarse utilizando ´unicamente las propiedades que nos interesen.
La noci´on de “equivalencia” tiene tres caracter´ısticas importantes:
(i) Todo elemento es equivalente a s´ı mismo. (Reflexividad).
(iii) Siaes equivalente ab ybes equivalente ac, entoncesaes equivalente ac. (Transitividad).
Estas propiedades son la base para una clase importante de relaciones binarias sobre un conjunto.
8.1.1
Definici´
on
Una relaci´on binariaRdefinida sobre un conjuntoAse dice que es de equivalencia cuando es reflexiva, sim´etrica y transitiva.
Ejemplo 8.1 SeaA={1,2,3,4} y
R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(3,3),(4,4)}.
Ver siR es de equivalencia.
Soluci´on
Reflexividad. En efecto,
(1,1)∈R, (2,2)∈R, (3,3)∈R y (4,4)∈R luego,
∀x(x∈A=⇒xRx)
es decir,R es reflexiva.
Simetr´ıa. En efecto,
(1,2)∈R y (2,1)∈R
(3,4)∈R y (4,3)∈R luego,
∀x, y∈A[(x, y)∈R=⇒(y, x)∈R]
es decir, la relaci´on propuesta es sim´etrica.
Transitividad. En efecto,
(1,1)∈Ry (1,2)∈R =⇒ (1,2)∈R
(1,2)∈Ry (2,1)∈R =⇒ (1,1)∈R
(1,2)∈Ry (2,2)∈R =⇒ (1,2)∈R
(2,1)∈Ry (1,1)∈R =⇒ (2,1)∈R
(2,1)∈Ry (1,2)∈R =⇒ (2,2)∈R
(2,2)∈Ry (2,1)∈R =⇒ (2,1)∈R (3,4)∈Ry (4,4)∈R =⇒ (3,4)∈R
(3,3)∈Ry (3,4)∈R =⇒ (3,4)∈R
(4,3)∈Ry (3,3)∈R =⇒ (4,3)∈R
(4,4)∈Ry (4,3)∈R =⇒ (4,3)∈R
luego,
∀x, y, z∈A[(x, y)∈R ∧ (y, z)∈R=⇒(x, z)∈R]
y la relaci´on es, por tanto, transitiva.
Ejemplo 8.2
(b) La relaci´on vac´ıa ∅es una relaci´on de equivalencia sobre el conjunto vac´ıo∅. No es, sin embargo, una relaci´on de equivalencia sobre cualquier conjunto no vac´ıo ya que no es reflexiva.
(c) La relaci´on de igualdad sobre cualquier conjunto es una relaci´on de equivalencia.
8.1.2
Digrafo asociado a una Relaci´
on de Equivalencia
El digrafo asociado a una relaci´on de equivalencia,R, tiene algunas caracter´ısticas que lo distinguen.
− Como R es reflexiva, cada v´ertice tiene un bucle.
− La simetr´ıa implica que si existe un arco desde ahasta b, tambi´en existe un arco desde b hasta
a.
− La transitividad implica que si existe un camino desde ahasta b, entonces existe un arco desde
a hastab.
Consecuentemente, cada una de las componentes del digrafo de una relaci´on de equivalencia es un digrafo completo.
8.2
Clases de Equivalencia
8.2.1
Definici´
on
Sea R una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto A. Para cada a ∈ A, llamaremos clase de equivalencia dea, al conjunto formado por todos los elementos de Aque est´en relacionados con ´el. La notaremos[a], es decir,
[a] ={x∈A:xRa}
Obs´ervese que la clase de equivalencia de un elemento a nunca es vac´ıa, ya que la reflexividad de R implica quea∈[a].
Ejemplo 8.3 SeaA={a, b, c, d}yR el conjunto
R={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c),(c, d),(d, c),(d, d)} Representar el digrafo deR y calcular las clases de equivalencia.
Soluci´on
•
a
•
b
•
c
•
d
[a] ={a, b}
[b] ={a, b}
[c] ={c, d}
[d] ={c, d}
Digrafo Clases
Ejemplo 8.3
8.2.2
Lema
SeaR una relaci´on de equivalencia sobre el conjunto A. Entonces,
(i) [a] = [b] si, y s´olo siaRb.
(ii) Si [a]6= [b], entonces[a]∩[b] =∅
Demostraci´on
(i) [a] = [b] si, y s´olo siaRb.
“S´olo si”. En efecto, supongamos que [a] = [b]. Comoa∈[a] y [a] = [b], entoncesa∈[b] de aqu´ı queaRb.
“Si”. Supongamos queaRby seaxcualquiera deA, entonces
x∈[a] ⇐⇒ xRa
=⇒ xRb {Hip´otesis y transitividad deR}
⇐⇒ x∈[b]
tenemos, pues, que
∀x∈A(x∈[a] =⇒x∈[b])
es decir, [a]⊆[b].
Por otra parte,
x∈[b] ⇐⇒ xRb
=⇒ xRa {Simetr´ıa de la hip´otesis y transitividad deR} ⇐⇒ x∈[a]
tenemos, pues, que
∀x∈A(x∈[b] =⇒x∈[a])
es decir, [b]⊆[a].
De la doble inclusi´on hallada se sigue el resultado.
(ii) Si [a]6= [b], entonces [a]∩[b] =∅
Probaremos la contrarrec´ıproca. Es decir,
[a]∩[b]=6 ∅=⇒[a] = [b]
En efecto,
[a]∩[b]6=∅ =⇒ ∃x∈A:x∈[a] ∧ x∈[b]
⇐⇒ ∃x∈A:xRa ∧ xRb
=⇒ ∃x∈A:aRx ∧ xRb {Simetr´ıa}
=⇒ aRb {Transitividad}
⇐⇒ [a] = [b] {Apartado (ii)}
8.3
Conjunto Cociente
8.3.1
Teorema
Si R es una relaci´on de equivalencia en un conjunto A, entonces la familia de todas las clases de equivalencia de los elementos deA produce una partici´on deA.
Demostraci´on
Dado que cada clase de equivalencia es un subconjunto deA, el conjunto de todas ellas ser´a una familia de subconjuntos deA.
Veamos que, en efecto, es una partici´on deA.
1. [a]6=∅, ∀a∈A
En efecto, como ya dijimos antes, al menos a pertenece a su clase de equivalencia, luego son no vac´ıas.
2. Si [a]6= [b], entonces [a]∩[b] =∅
Directamente de (ii) en el lema anterior.
3. [
a∈A [a] =A
Veamos que la uni´on de todas las clases de equivalencia es el conjuntoA. En efecto,
x∈ [
a∈A
[a] =⇒ ∃a∈A:x∈[a][a=]⊆⇒Ax∈A
luego,
∀x x∈ [ a∈A
[a] =⇒x∈A
!
es decir,
[
a∈A [a]⊆A
Por otra parte,
x∈A=⇒x∈[x] =⇒x∈ [ a∈A
[a]
luego,
∀x x∈A=⇒x∈ [ a∈A
[a]
!
es decir,
A⊆ [
a∈A [a]
de la doble inclusi´on se sigue el resultado,
A= [
a∈A [a]
8.3.2
Definici´
on
Dada una relaci´on de equivalencia sobre un conjuntoA, llamaremos conjunto cociente al formado por todas las clases de equivalencia, lo notaremos por A/R, indicando as´ı que es el conjunto A partido por la relaci´on de equivalenciaR.
A/R={[a] :a∈A}
Ejemplo 8.4 Determinar el conjunto cociente A/R siendoR la relaci´on de equivalencia del ejemplo 8.1
Soluci´on
A={1,2,3,4}
[1] ={x∈A:xR1}={1,2}
[2] ={x∈A:xR1}={1,2}
[3] ={x∈A:xR1}={3,4}
[4] ={x∈A:xR1}={3,4}
Consecuentemente,
A/R={[1],[3]}={{1,2},{3,4}}
Ejemplo 8.5 Sea el conjuntoZ+×
Z+ y consideremos en ´el la relaci´on
(a, b)R(c, d) si, y s´olo sia+d=b+c
cualesquiera que sean (a, b) y (c, d) deZ+×
Z+.
(a) Probar que la relaci´on propuesta es de equivalencia.
(b) Hallar las clases de equivalencia.
(c) Obtener el conjunto cociente.
(d) Escribir el conjunto cociente que se obtiene en el caso de que la relaci´on se defina en el conjunto
A×AsiendoA={1,2,3,4,5}.
(e) Construir una gr´afica que represente al conjunto cociente paraA={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Soluci´on
(a) Probaremos queR cumple las condiciones exigidas para ser de equivalencia.
Reflexividad. En efecto, para cada par (a, b) deZ+×
Z+ se verifica que
a+b=b+a
de aqu´ı que
(a, b)R(a, b) y la relaci´on es, por tanto, reflexiva.
Simetr´ıa. En efecto, si (a, b) y (c, d) son cualesquiera deZ+×
Z+ tales que
tendremos que
a+d=b+c
de donde por la conmutatividad de la suma enZ+ se sigue que
d+a=c+b
luego
(c, d)R(a, b)
yRes, por tanto, sim´etrica.
Transitividad. Sean (a, b),(c, d) y (e, f) tres elementos arbitrarios deZ+×
Z+, tales que
(a, b)R(c, d) y (c, d)R(e, f)
es decir, tales que
a+d=b+cyc+f =d+e
si sumamos miembro a miembro ambas igualdades obtendremos
a+d+c+f =b+c+d+e
de donde se sigue que
a+f =b+e
luego
(a, b)R(e, f)
y, consecuentemente,R es transitiva.
Por ser reflexiva, sim´etrica y transitiva,R ser´a una relaci´on de equivalencia
(b) Hallemos las clases de equivalencia.
Sea (a, b) un par de enteros positivos cualesquiera. Entonces,
[(a, b)] = {(x, y)∈Z+×Z+: (x, y)R(a, b)}
= {(x, y)∈Z+×Z+:x+b=y+a}
= {(x, y)∈Z+×Z+:x−y=a−b}
= {(x, y)∈Z+×Z+:x−y=d}
dondedes la diferencia entreayb. Cuando el par (a, b) recorra todo el conjuntoZ+×
Z+, su diferencia,d,
recorrer´a el conjuntoZde los n´umeros enteros ya que ser´a un entero negativo, cero o positivo dependiendo de queasea menor, igual o mayor queb.
Por lo tanto, la clase de equivalencia de cualquier elemento tendr´a la forma:
(x, y)∈Z+×
Z+:x−y=d, cond∈Z
Por ejemplo,
(x, y)∈Z+×Z+:x−y= 0
ser´a la clase de equivalencia del par (1,1) y del (2,2), del (3,3), etc..., en general de todos los pares de la forma (a, a). Tomando como representante el (1,1),
[(1,1)] =(x, y)∈Z+×Z+:x=y ={(1,1),(2,2),(3,3), . . . .}
y el conjunto
ser´a, por ejemplo, [(1,9)], clase de equivalencia del par (1,9).
(c) Obtengamos el conjunto cociente.
Z+×Z+/R = { · · · {(x, y)∈Z+×Z+:x−y=−2},
{(x, y)∈Z+×Z+:x−y=−1},
{(x, y)∈Z+×Z+:x−y= 0},
{(x, y)∈Z+×Z+:x−y= 1},
{(x, y)∈Z+×Z+:x−y= 2}, · · · }
es decir,
Z+×Z+/R = {(x, y)∈Z+×Z+:x−y=d}d∈Z−,
{(x, y)∈Z+×Z+:x−y= 0},
{(x, y)∈Z+×Z+:x−y=d}d∈Z+
= {(x, y)∈Z+×Z+:x−y=−d}d∈Z+,
{(x, y)∈Z+×Z+:x−y= 0},
{(x, y)∈Z+×Z+:x−y=d}d∈Z+
= {(x, x+d)∈Z+×Z+}d∈Z+,{(x, x)∈Z+×Z+},{(y+d, y)∈Z+×Z+}d∈Z+
= {[(x, x+d)],[(x, x)],[(y+d, y)], con d∈Z+}x∈Z+,y∈Z+
y como x−(x+d) =−d, x−x= 0 y d+y−y=dindependientemente de los valores que tomenxe
y, podemos tomarx= 1 ey = 1, es decir elegir como representante de cada clase a los pares (1,1 +d), (1,1) y (1 +d,1), respectivamente. Entonces,
Z+×Z+/R =[(1,1 +d)],[(1,1)],[(1 +d,1)], con d∈Z+
y haciendo 1 +d=p,
Z+×Z+/R =[(1, p)],[(1,1)],[(p,1)], conp∈Z+\ {1} =[(1, p)],[(p,1)], con p∈Z+
(d) Escribiremos el conjunto cociente para el subconjunto deZ+,A={1,2,3,4,5}
A×A/R = {[(1, p)],[(p,1)], conp∈A}
= {[(1,5)],[(1,4)],[(1,3)],[(1,2)],[(1,1)],[(2,1)],[(3,1)],[(4,1)],[(5,1)]}
= {{(1,5)},{(1,4)(2,5)},{(1,3),(2,4),(3,5)},{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)},
= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)},{(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)},{(3,1),(4,2),(5,3)},
= {(4,1),(5,2)},{(5,1)}}
(e) Construiremos una gr´afica representativa del conjunto cociente para el subconjunto deZ+,
[(1, 10)]
(1,10) (2,10) (3,10) (4,10) (5,10) (6,10) (8,10) (7,10) (9,10) (10,10)
(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9) (9,9) (10,9)
[(1, 9)]
(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (8,8) (9,8) (10,8)
[(1, 8)]
(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (7,7) (8,7) (9,7) (10,7)
[(1, 7)]
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (7,6) (8,6) (9,6) (10,6)
[(1, 6)]
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (7,5) (8,5) (9,5) (10,5)
[(1, 5)]
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (7,4) (8,4) (9,4) (10,4)
[(1, 4)]
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3) (9,3) (10,3)
[(1, 3)]
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) (9,2) (10,2)
[(1, 2)]
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1) (10,1)
[(1, 1)]
[(2, 1)]
[(3, 1)]
[(4, 1)]
[(5, 1)]
[(6, 1)]
[(7, 1)]
[(8, 1)]
[(9, 1)]
[(10
,1)]
Conjunto cociente
Ejemplo 8.6 En el conjuntoA={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} se considera la relaci´on
aRb si, y s´olo sia−bes m´ultiplo de 3
Probar que es de equivalencia, hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
Soluci´on
Obs´ervese que
a−bes m´ultiplo de 3⇐⇒a−b= 3k; k∈Z.
luego la relaci´on puede escribirse en la forma
aRb⇐⇒a−b= 3k; k∈Z Reflexiva. Para cadaadeAse verifica que
a−a= 0
lo cual puede escribirse en la forma
luegoaRa.
Sim´etrica. Siaybson cualesquiera deAtales queaRb, entonces
a−b= 3k; k∈Z de aqu´ı que
b−a= 3(−k); −k∈Z y por tanto,bRa.
Transitiva. En efecto, sia, bycson cualesquiera deAtales queaRbybRc, entonces
a−b= 3k1; k1∈Zyb−c= 3k2; k2∈Z
y si sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones, tendremos que
a−c= 3(k1+k2); k1+k2∈Z
luegoaRc.
Clases de equivalencia. Siaes cualquiera deA, entonces
x∈[a] ⇐⇒ xRa
⇐⇒ x−a= 3k; k∈Z ⇐⇒ x=a+ 3k; k∈Z
luego
[a] ={x:x=a+ 3k; k∈Z}.
As´ı pues,
[0] ={x:x= 3k; k∈Z}={0,3,6,9}
[1] ={x:x= 1 + 3k; k∈Z}={1,4,7}
[2] ={x:x= 2 + 3k; k∈Z}={2,5,8}
El conjunto cociente ser´a, por tanto,
A/R={{0,3,6,9},{1,4,7},{2,5,8}}
8.3.3
Teorema
Dada una partici´on de un conjunto A, puede definirse en ´el una relaci´on de equivalencia R tal que el conjunto cocienteA/R coincida con la partici´on dada.
Demostraci´on
Sea{A1, A2, . . . , An}una partici´on del conjuntoA. Definimos la siguiente relaci´on:
Dos elementos de Aest´an relacionados si, y s´olo si pertenecen al mismo subconjunto de la partici´on.
es decir, siaybson cualesquiera deA, entonces
aRb⇐⇒ ∃Ai⊆A:ayb∈Ai
Veamos queRes de equivalencia.
Reflexividad. Siaes cualquiera deA, como{A1, A2, . . . , An} es una partici´on deA, ser´a
A= n
[
i=1 Ai
luego
a∈ n
[
i=1
Ai=⇒ ∃Ai:a∈Ai =⇒aya∈Ai=⇒aRa
por lo tanto,
∀a(a∈A=⇒aRa)
es decir, la relaci´on es reflexiva.
Simetr´ıa. Seanayb dos elementos cualesquiera deA, entonces
aRb⇐⇒ ∃Ai⊆A:ayb∈Ai =⇒ ∃Ai⊆A:bya∈Ai⇐⇒bRa
o sea,
∀a, b∈A(aRb=⇒bRa)
y la relaci´on es, por tanto, sim´etrica.
Transitividad. En efecto, sia, byc son tres elementos arbitrariamente elegidos enA, entonces
aRb⇐⇒ ∃Ai⊆A:ayb∈Ai y
bRc⇐⇒ ∃Aj ⊆A:byc∈Aj
de donde se sigue que b∈Ai∩Aj, consecuentementeAi∩Aj6=∅y por la definici´on de partici´on tendremos que Ai=Aj.
Resulta, pues, que aycpertenecen al mismo subconjunto de la partici´on y, por lo tanto,aRc. As´ı pues,
∀a, b, c∈A(aRb ∧ bRc=⇒aRc)
es decir, Res transitiva.
Veamos elconjunto cociente.
Por la forma en que hemos definido la relaci´on, se sigue directamente que las clases de equivalencia correspondientes son los subconjuntos de la partici´on, luego
A/R={A1, A2, . . . , An}
Ejemplo 8.7 Sea A = {1,3,3,4} y {{1,2,3},{4}} una partici´on de A. Determ´ınese la relaci´on de equivalencia correspondiente enA.
Soluci´on
Si tenemos en cuenta que las clases de equivalencia son los subconjuntos de la partici´on, tendremos
[1] ={1,2,3} y [4] ={4}
A partir de la definici´on de clases de equivalencia y de queR ha de ser de equivalencia, tendremos:
[1] ={1,2,3}, luego (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)∈R
de aqu´ı que
R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)}
Ejemplo 8.8 Determinar si la relaci´onR cuya matriz se da es una relaci´on de equivalencia sobre el conjuntoA={a, b, c}.
(a) MR=
1 0 0
0 1 1
0 1 1
(b) MR=
1 0 1
0 1 0
0 0 1
Soluci´on
Supongamos querij es un elemento cualquiera de la matriz, dondeiindica la fila a la que pertenece yj la columna.
(a) Veamos si cumple las condiciones para que la relaci´on propuesta sea de equivalencia.
Reflexiva. En efecto lo es ya que todos los elementos de la diagonal principal son unos, lo cual significa que
∀x(x∈A=⇒xRx)
Sim´etrica. Tambi´en lo es, ya que
rij =rji, ∀i, j= 1,2,3; i6=j
lo cual significa que
∀x, y∈A(xRy=⇒yRx)
Transitiva. Se prueba con facilidad que
sirij = 1 ∧ rjk= 1, entoncesrik= 1
y
sirik= 0, entoncesrij= 0 ∨ rjk= 0
lo cual significa que
∀x, y, z∈A(xRy ∧ yRz=⇒xRz)
(b) La relaci´on propuesta no es de equivalencia ya quer13= 1 yr31= 0, lo cual significa que
aRcy, sin embargocR/ a
es decir, la relaci´on propuesta no es sim´etrica.
• 5 •
1 • 2
•
4 • 3
• 6
(a)
• 3 •
1 • 2
(b)
Soluci´on
(a) Veamos si cumple las tres condiciones.
Reflexiva. En efecto lo es, ya que en cada uno de los v´ertices hay un bucle.
Sim´etrica. Tambi´en lo es, ya que entre cada dos v´erticesxey hay dos aristas, una que va desdex
hastay y otra que va desdey hastax.
Transitiva. En efecto, para cada camino entre dos puntos xey del digrafo, hay una arista entre los mismos.
(b) Veamos si cumple las condiciones exigidas para que la relaci´on representada por el digrafo sea de equivalencia.
Reflexiva. En cada uno de los v´ertices hay un bucle, luego la relaci´on es reflexiva.
Sim´etrica. No lo es, ya que por ejemplo entre 1 y 2 hay una arista, pero no as´ı entre 2 y 1.
Consecuentemente, la relaci´on no es de equivalencia.
Ejemplo 8.10 Si{{a, c, e},{b, d, f}}es una partici´on del conjuntoA={a, b, c, d, e, f}, determinar la relaci´on de equivalencia correspondiente.
Soluci´on
SiR es la relaci´on de equivalencia buscada, entonces el conjunto cociente es
A/R={{a, c, e},{b, d, f}}
luego las clases de equivalencia son
[a] ={a, c, e} y [b] ={b, d, f}
Pues bien,
tambi´en,
[b] ={b, d, f}, luego (b, b),(b, d),(b, f),(d, b),(d, d),(d, f),(f, b),(f, d) y (f, f) est´an enR
Consecuentemente, la relaci´on es
R = {(a, a),(a, c),(a, e),(c, a),(c, c),(c, e),(e, a),(e, c),(e, e),
(b, b),(b, d),(b, f),(d, b),(d, d),(d, f),(f, b),(f, d),(f, f)}
Ejemplo 8.11 Sobre el conjuntoZ+×Z+ se define la relaci´on,
(a, b)R(c, d)⇐⇒ad=bc
(a) Probar queR es de equivalencia.
(b) Obtener las clases de equivalencia.
(c) Escribir el conjunto cociente.
(d) Escribir el conjunto cociente y dibujar una gr´afica explicativa del mismo para el conjuntoA×A, siendoA={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Soluci´on
(a) Probaremos queR es de equivalencia. Reflexiva. Sea (a, b) cualquiera de Z+×
Z+A. Por la conmutatividad del producto de enteros, ab=ba,
luego (a, b)R(b, a), es decir,
∀(a, b)
(a, b)∈Z+×
Z+=⇒(a, b)R(a, b)
y la relaci´on es, en efecto, reflexiva.
Sim´etrica. Sean (a, b) y (c, d) dos elementos arbitrarios de Z+×Z+. Entonces,
(a, b)R(c, d)⇐⇒ad=bc⇐⇒bc=ad⇐⇒(c, d)R(a, b)
luego,
∀(a, b),(c, d)∈Z+×
Z+[(a, b)R(c, d) =⇒(c, d)R(a, b)]
es decir,R es sim´etrica.
Transitiva. Si (a, b),(c, d) y (e, f) son cualesquiera deZ+×Z+, entonces
(a, b)R(c, d)⇐⇒ad=bc
y
(c, d)R(e, f)⇐⇒cf =de
=⇒adcf =bcde=⇒af =be⇐⇒(a, b)R(e, f)
(b) Obtengamos las clases de equivalencia.
Sea (a, b) un par de enteros positivos cualquiera. Entonces,
[(a, b)] = {(x, y)∈Z+×Z+: (x, y)R(a, b)}
= {(x, y)∈Z+×Z+:xb=ya}
=
(x, y)∈Z+×Z+: x
y = a b
Por ejemplo,
[(9,15)] =
(x, y)∈Z+×
Z+ :
x y =
9 15
ahora bien, 9 15 = 9 3 15 3 =3
5, siendo 3 = m.c.d.(9,15) y
3 5 =
3k
5k, conk∈Z +
luego,
[(9,15)] =
(x, y)∈Z+×Z+ : x
y =
3 5
= [(3,5)]
y
[(3,5)] =
(x, y)∈Z+×
Z+:
x y =
3 5
= {(x, y)∈Z+×Z+:x= 3key= 5k,conk∈Z+}
= {(3k,5k) :k∈Z+}
= {k(3,5) :k∈Z+}
En general podemos razonar de forma an´aloga.
− Si m.c.d.(a, b) = 1, es decir si la fracci´on a
b es irreducible, entonces
a b =
ka
kb, conk∈Z +
− Si m.c.d.(a, b) =d6= 1, entonces
a b = a d b d
y la fracci´on a d b d
es irreducible, luego
a d b d = k a d
kbd conk∈Z +
Por lo tanto, si llamamosdal m.c.d.(a, b), tendremos
[(a, b)] =
(x, y)∈Z+×
Z+:
x y = a/d b/d =
(x, y)∈Z+×
Z+:x=k
a
d ey=k b
d, conk∈Z +
=
ka d, k
b d
, conk∈Z+
= k a d, b d
, conk∈Z+
Por ejemplo, si queremos calcular la clase de equivalencia del par (3,7), como m.c.d.(3,7) = 1, tendremos que
[(3,7)] = {k(3,7), conk∈Z+}
= {(3,7),(6,14),(9,21),(12,28),(15,35), . . .}
y si queremos calcular la clase del par (16,20), como m.c.d.(16,20) = 4,
[(16,20)] =
k 16 4 , 20 4
, conk∈Z+
= {k(4,5), conk∈Z+}
(c) Escribamos el conjunto cocienteZ+×Z+/R.
Seg´un lo que hemos visto en el punto anterior,
Z+×Z+/R = {{k(a, b),conk∈Z+}(a, b)∈Z+×Z+ y m.c.d.(a, b) = 1}
= {[(a, b)] : (a, b)∈Z+×
Z+ y m.c.d.(a, b) = 1}
(d) Veamos cual es el conjunto cociente paraA={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Por el punto anterior,
A×A/R = {{k(a, b),conk∈Z+}(a, b)∈A×Ay m.c.d.(a, b) = 1}
= {[(a, b)] : (a, b)∈A×Ay m.c.d.(a, b) = 1}
luego tenemos que saber cuantos pares de n´umeros primos entre s´ı hay en el conjunto A×A. En la siguiente tabla figuran los divisores de todos los n´umeros y en los cruces los divisores comunes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1,2 1,3 1,2,4 1,5 1,2,3,6 1,7 1,2,4,8 1,3,9 1,2,5,10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1,2 1 1,2 1 1,2 1 1,2 1 1,2 1 1,2
3 1,3 1 1 1,3 1 1 1,3 1 1 1,3 1
4 1,2,4 1 1,2 1 1,2,4 1 1,2 1 1,2,4 1 1,2
5 1,5 1 1 1 1 1,5 1 1 1 1 1,5
6 1,2,3,6 1 1,2 1,3 1,2 1 1,2,3,6 1 1,2 1,3 1,2
1 1,7 1 1 1 1 1 1 1,7 1 1 1
8 1,2,4,8 1 1,2 1 1,2,4 1 1,2 1 1,2,4,8 1 1,2
9 1,3,9 1 1 1,3 1 1 1,3 1 1 1,3,9 1
10 1,2,5,10 1 1,2 1 1,2 1,5 1,2 1 1,2 1 1,2,5,10
Por lo tanto,
A×A/R = {[(1,10)],[(1,9)],[(1,8)],[(1,7)],[(1,6)],[(1,5)],[(2,9)],[(1,4)],[(2,7)],
[(3,10)],[(1,3)],[(3,8)],[(2,5)],[(3,7)],[(4,9)],[(1,2)],[(5,9)],[(4,7)],
[(3,5)],[(5,8)],[(2,3)],[(7,10)],[(5,7)],[(3,4)],[(7,9)],[(4,5)],[(5,6)],
[(6,7)],[(7,8)],[(8,9)],[(9,10)],[(1,1)],[(10,9)],[(9,8)],[(8,7)],[(7,6)],
[(6,5)],[(5,4)],[(9,7)],[(4,3)],[(7,5)],[(10,7)],[(3,2)],[(8,5)],[(5,3)],
[(7,4)],[(9,5)],[(2,1)],[(9,4)],[(7,3)],[(5,2)],[(8,3)],[(3,1)],[(10,3)],
[(7,2)],[(4,1)],[(9,2)],[(5,1)],[(6,1)],[(7,1)],[(8,1)],[(9,1)],[(10,1)]}
= {{(1,10)},{(1,9)},{(1,8)},{(1,7)},{(1,6)},{(1,5),(2,10)},{(2,9)},
{(1,4),(2,8)},{(2,7)},{(3,10)},{(1,3),(2,6),(3,9)},{(3,8)},{(2,5),(4,10)},
{(3,7)},{(4,9)},{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)},{(5,9)},{(4,7)},
{(3,5),(6,10)},{(5,8)},{(2,3),(4,6),(6,9)},{(7,10)},{(5,7)},{(3,4),(6,8)},
{(7,9)},{(4,5),(8,10)},{(5,6)},{(6,7)},{(7,8)},{(8,9)},{(9,10)},{(1,1)},
{(10,9)},{(9,8)},{(8,7)},{(7,6)},{(6,5)},{(5,4),(10,8)},{(9,7)},
{(4,3),(8,6)},{(7,5)},{(10,7)},{(3,2),(6,4),(9,6)},{(8,5)},{(5,3),(10,6)},
{(7,4)},{(9,5)},{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)},{(9,4)},{(7,3)},
{(5,2),(10,4)},{(8,3)},{(3,1),(6,2),(9,3)},{(10,3)},{(7,2)},{(4,1),(8,2)},
{(9,2)},{(5,1),(10,2)},{(6,1)},{(7,1)},{(8,1)},{(9,1)},{(10,1)}}
10• • • • • • • • • • •
[(1
,
10)]
[(3
,10)] [(7,10)] [(9
,10)]
9 • • • • • • • • • • •
[(1
,9)]
[(2
,9)] [(4
,9)] [(5,
9)]
[(7
,9)] [(8,
9)] [(10
,9)]
8 • • • • • • • • • • •
[(1
,8)]
[(3
,8)]
[(5
,8)] [(7,
8)] [(9
,8)]
7 • • • • • • • • • • •
[(1
,7)]
[(2
,7)] [(3 ,7)] [(4,
7)]
[(5
,7)] [(6,
7)] [(8,
7)]
[(9, 7)]
[(10
,7)]
6 • • • • • • • • • • •
[(1
,6)] [(5
,6)] [(7
,6)]
5 • • • • • • • • • • •
[(1
,5)]
[(2
,5)]
[(3
,5)] [(4,
5)] [(6
,5)]
[(7, 5)]
[(8,5)] [(9, 5)]
4 • • • • • • • • • • •
[(1
,4)] [(3
,4)] [(5
,4)]
[(7,4)]
[(9,4)]
3 • • • • • • • • • • •
[(1 ,3)] [(2 ,3)] [(4, 3)]
[(5,3)]
[(7,3)]
[(8,3)] [(10, 3)]
2 • • • • • • • • • • •
[(1
,2)] [(3,
2)] [(5,2)] [(7,2)] [(9,2)]
1 • • • • • • • • • • •
[(1,
1)] [(2,1)] [(3,1)] [(4,1)] [(5,
1)] [(6,1)] [(7,1)] [(8,1)] [(9,1)] [(10,1)]
• 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 Conjunto cociente
Ejemplo 8.12 SobreZ+×
Z+ se define la relaci´on,
(a, b)R(c, d)⇐⇒a+b=c+d
(a) Probar queR es de equivalencia.
(b) Hallar las clases de equivalencia.
(c) Obtener el conjunto cociente.
(a) Probemos queRes de equivalencia.
Reflexiva. Para todo (a, b) deZ+×Z+ se verifica quea+b=a+b, de aqu´ı que (a, b)R(a, b) yR
sea reflexiva.
Sim´etrica. Para todo (a, b) y (c, d) deZ+×
Z+, se verifica,
(a, b)R(c, d)⇐⇒a+b=c+d⇐⇒c+d=a+b⇐⇒(c, d)R(a, b)
luegoR es sim´etrica.
Transitiva. Para todo (a, b),(c, d) y (e, f) deAZ+×Z+, se verifica,
(a, b)R(c, d)⇐⇒a+b=c+d
y
(c, d)R(e, f)⇐⇒c+d=e+f
=⇒a+b=e+f ⇐⇒(a, b)R(e, f)
luegoR es transitiva y, consecuentemente, de equivalencia.
(b) Hallemos las clases de equivalencia.
Sea (a, b) cualquier par de enteros positivos. Entonces,
[(a, b)] = {(x, y)∈Z+×
Z+ : (x, y)R(a, b)}
= {(x, y)∈Z+×Z+ :x+y=a+b}
= {(a+b−y, y)∈Z+×Z+}
= {(a+b−y, y) :a+b−y∈Z+ ey∈Z+}
= {(a+b−y, y) :a+b−y>1 ey>1}
= {(a+b−y, y) :y6a+b−1 ey>1}
= {(a+b−y, y) : 16y6a+b−1}
Por ejemplo,
[(1,1)] ={(1 + 1−y, y) : 16y61 + 1−1}={(2−y, y) :y= 1}={(1,1)}
y
[(5,8)] = {(5 + 8−y, y) : 16y65 + 8−1}
= {(13−y, y) : 16y612}
= {(12,1),(11,2),(10,3),(9,4),(8,5),(7,6),(6,7),(4,9),(3,10),(2,11),(1,12)}
(c) Obtengamos el conjunto cociente.
Z+×Z+/R=[(a, b)] : (a, b)∈Z+×Z+
donde
[(a, b)] = {(a+b−y, y) : 16y6a+b−1}
= {(a+b−1,1),(a+b−1,2), . . . ,(2, a+b−2),(1, a+b−1)}
= [(a+b−1,1)]
es decir, en cada clase habr´a un par cuya segunda componente es 1 y que elegiremos como repre-sentante, luego
Z+×Z+/R=[(a+b−1,1)] :a∈Z+ yb∈Z+ .
Adem´as,
a∈Z+ =⇒ a
>1
y
b∈Z+ =⇒ b>1
es decir, cuando el par (a, b) recorra Z+×Z+,a+b−1 recorrer´a Z+, luego si hacemosa+b−1
igual ak, tendremos que
Z+×Z+/R=[(k,1)] :k∈Z+ .
La gr´afica siguiente es una representaci´on parcial del conjunto cociente.
(1,10)
(1,9) (2,9)
(1,8) (2,8) (3,8)
(1,7) (2,7) (3,7) (4,7)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (7,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) (9,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1) (10,1) [(1
,1)] [(2,1)] [(3,1)] [(4,1)] [(5,1)] [(6,1)] [(7,1)] [(8,1)] [(9,1)]
[(10
,1)]
Conjunto cociente
Ejemplo 8.13 En el conjuntoZ+ se define la siguiente relaci´onR xRy⇐⇒E √x
=E(√y)
dondeE(x) significa “parte entera de x”.
Demostrar que se trata de una relaci´on de equivalencia, hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
R es de equivalencia.
En efecto, para cada entero positivoxse verifica que E(√x) =E(√x), luego,
∀x x∈Z+ =⇒xRx
es decir,R es reflexiva.
Tambi´en es sim´etrica puesto que,
∀x, y∈Z+xRy=⇒E(
√
x) =E(√y)⇐⇒E(√y) =E(√x) =⇒yRx
y transitiva, ya que
∀x, y, z∈Z+xRy∧yRz=⇒ E(
√
x) =E(√y)∧ E(√y) =E(√z)=⇒E(√x) =E(√z) =⇒xRz
Clases de equivalencia.
Seanun n´umero entero positivo cualquiera, entonces
[n] =x∈Z+:xRn
luego,
x∈[n] ⇐⇒ xRn
⇐⇒ E(√x) =E(√n)
⇐⇒ E(√n)6√x < E(√n) + 1
⇐⇒ (E(√n))26x <(E(√n) + 1)2
es decir,
[n] =nx∈Z+: E √n2
6x < E √n
+ 12o
Por ejemplo,
[1] = nx∈Z+: E
√
126x < E √1+ 12o = {x∈Z+: 16x <4} = {1,2,3}
[4] = nx∈Z+: E
√
426x < E √4+ 12o = {x∈Z+: 46x <9} = {4,5,6,7,8}
y as´ı, sucesivamente.
Conjunto cociente. Observemos lo siguiente:
E(√1) = 1, E(√2) = 1, E(√3) = 1,
E(√4) = 2, E(√5) = 2, E(√6) = 2, E(√7) = 2, E(√8) = 2
E(√9) = 3, E(√10) = 3, . . . E(√15) = 3
E(√16) = 4, E(√17) = 4, . . . E(√24) = 4
E(√25) = 4, . . . .
y as´ı sucesivamente, de aqu´ı que el conjunto cociente sea
Z+/R = {[1],[4],[9],[16],[25]. . . .}
=
n2
:n∈Z+
=
x∈Z+:
E√n226x <E√n2+ 12
= x∈Z+:n26x <(n+ 1)2 n∈Z+
= {{1,2,3},{4,5,6,7,8} {9,10,11,12,13,14,15},{16,17,18,19,20,21,22,23,24}, . . .}
Ejemplo 8.14 DadoA=R2, sea Rla siguiente relaci´on enA,
(x1, y1)R(x2, y2)⇐⇒x1=x2
(a) Verificar que es una relaci´on de equivalencia.
(b) Describir geom´etricamente las clases de equivalencia y el conjunto cociente que la relaci´on R de-termina en el conjuntoA.
Soluci´on
(a) Veamos que es una relaci´on de equivalencia.
Reflexiva. Para todo (x, y)∈R2, se verifica quex=xluego (x, y)R(x, y).
Sim´etrica. Dados dos puntos cualesquiera deR2, se verifica que:
(x1, y1)R(x2, y2)⇐⇒x1=x2=⇒x2=x1⇐⇒(x2, y2)R(x1, y1)
Transitiva. Para cada terna de puntos deR2, se verifica: (x1, y1)R(x2, y2)⇐⇒x1=x2
(x2, y2)R(x3, y3)⇐⇒x2=x3
)
=⇒x1=x3⇐⇒(x1, y1)R(x3, y3)
(b) Estudiemos las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
Si (a, b) es cualquier punto deR2, entonces
[(a, b)] =
(x, y)∈R2: (x, y)R(a, b)
luego,
(x, y)∈[(a, b)]⇐⇒(x, y)R(a, b)⇐⇒x=a
de aqu´ı que
[(a, b)] =
(x, y)∈R2:x=a
es decir, la clase de equivalencia de un punto (a, b) es el conjunto formado por todos los puntos del plano cuya primera componente es igual aa, o lo que es igual la recta paralela al eje de ordenadas
x=a.
El conjunto cociente ser´a
R2/R={x=a:a∈R}
es decir el plano queda partido en rectas paralelas al eje de ordenadas.
Ejemplo 8.15 En Rse considera la siguiente relaci´on:
xRy⇐⇒
x = y
´ o
x+y = 3
(a) Probar queR es una relaci´on de equivalencia.
(b) Calcular la clase de equivalencia de 113.
(c) Calcular la clase de equivalencia de un elementox.
(a) Veamos si es de equivalencia.
Reflexiva. Dado cualquier n´umero realx, se verifica quex=x, luegoxRx. Sim´etrica. Dados dos n´umeros reales cualesquiera,xey, se tiene
xRy⇐⇒
x=y
∨
x+y= 3
⇐⇒
y=x
∨
y+x= 3
⇐⇒yRx
Transitiva. Six, y, z son tres n´umeros reales arbitrarios. Entonces,
(xRy) ∧ (yRz) =⇒ [(x=y) ∨ (x+y= 3)] ∧ [(y=z) ∨ (y+z= 3)]
=⇒ [((x=y) ∨ (x+y= 3)) ∧ (y=z)] ∨
[((x=y) ∨ (x+y= 3)) ∧ (y+z= 3)]
=⇒ [((x=y) ∧ (y=z)) ∨ ((x+y= 3) ∧ (y=z))] ∨
[((x=y) ∧ (y+z= 3)) ∨ ((x+y= 3) ∧ (y+z= 3))]
⇐⇒ [(x=z) ∨ (x+z= 3)] ∨ [(x+z= 3) ∨ (x=z)]
=⇒ (x=z) ∨ (x+z= 3)
⇐⇒ xRz
(b) En general,
[a] ={x∈R:xRa}
luego,
x∈[a]⇐⇒xRa⇐⇒
x=a
∨
x+a= 3 =⇒x= 3−a
es decir,
[a] ={x∈R:x=a ∨ x+a= 3}={a,3−a}
de aqu´ı que
[113] ={−110,113}
(c) Del apartado anterior
[x] ={x,3−x}
Ejemplo 8.16 En el conjuntoA={1,2,3, . . . , q}, siendoqun n´umero entero positivo, se define la siguiente relaci´on:
aRb⇐⇒m.c.d.(a, p) = m.c.d.(b, p)
Para cadaa, bdeAyp∈Z+.
(a) Probar queR es una relaci´on de equivalencia.
(b) Calcular el conjunto cociente que la relaci´onRdetermina sobreAparaq= 7 yp= 18.
Soluci´on
(b) Calculamos el conjunto cociente cuando
A={1,2,3,4,5,6,7}
y
aRb⇐⇒m.c.d.(a,18) = m.c.d(b,18).
Por definici´on,
A/R={[a] :a∈A}
y
[a] ={x∈A:xRa}
luego,
x∈[a]⇐⇒xRa⇐⇒m.c.d.(x,18) = m.c.d.(a,18)
de aqu´ı que
[a] ={x∈A: m.c.d.(x,18) = m.c.d.(a,18)}.
Entonces,
[1] = {x∈A: m.c.d.(x,18) = m.c.d.(1,18)}={x∈A: m.c.d.(x,18) = 1}={1,5,7}
[2] = {x∈A: m.c.d.(x,18) = m.c.d.(2,18)}={x∈A: m.c.d.(x,18) = 2}={2,4}
[3] = {x∈A: m.c.d.(x,18) = m.c.d.(3,18)}={x∈A: m.c.d.(x,18) = 3}={3}
[4] = [2]
[5] = [1]
[6] = {x∈A: m.c.d.(x,18) = m.c.d.(6,18)}={x∈A: m.c.d.(x,18) = 1}={6}
[7] = [1]
Por tanto,
A/R={[1],[2],[3],[6]}={{1,5,7},{2,4},{3},{6}}
Ejemplo 8.17 En R\ {0}, se define la relaci´on:
aRb⇐⇒a+1
a =b+
1
b
¿De qu´e tipo de relaci´on se trata?
Soluci´on
Dado que la relaci´on viene caracterizada a trav´es de una igualdad, ser´a reflexiva, sim´etrica y transitiva, luego es de equivalencia.
Clases de equivalencia. Seaacualquiera deR\ {0}, entonces
luego,
x∈[a] ⇐⇒ xRa
⇐⇒ x+1
x =a+
1
a
⇐⇒ x−a+1
x−
1
a = 0
⇐⇒ x−a−x−a
ax = 0
⇐⇒ (x−a)
1− 1
ax = 0 ⇐⇒
x=a
∨
1− 1
ax = 0
⇐⇒
x=a
∨
x= 1
a
Consecuentemente,
[a] =
1
a, a
Conjunto cociente.
(R\ {0})/R={[a] :a∈R\ {0}}
Obs´ervese que∀a∈R, se verifica que
[a] =
1
a
y 1
a = [−1,0)∪(0,1]
luego en este intervalo hay un representante de cada clase, de aqu´ı que
(R\ {0})/R={[a] :a∈[−1,0)∪(0,1]}
Ejemplo 8.18 En el conjuntoA={12,52,16,17,26,29,47,35,53}se define la relaci´on:
aRb⇐⇒ la suma de las cifras deaes igual a la suma de las cifras deb
siendoayb elementos arbitrarios deA. Estudiar la relaci´on.
Soluci´on
Dado que la relaci´on est´a definida por una igualdad, ser´a reflexiva, sim´etrica y transitiva, por tanto es de equivalencia.
Veamos el conjunto cociente.
Los resultados que dan la suma de las diferentes cifras de los n´umeros deA, son:
1 + 2 = 3 5 + 2 = 7 1 + 6 = 7 1 + 7 = 8 2 + 6 = 8 2 + 9 = 11 4 + 7 = 11 3 + 5 = 8 5 + 3 = 8
habr´a, por tanto, cuatro clases de equivalencia:
[12] [52] = [16]
[17] = [26] = [35] = [53] [29] = [47]
y el conjunto cociente ser´a:
A/R = {[12],[52],[17],[29]}
= {{12},{16,52},{17,26,35,53},{29,47}}