Introducción a la
programación lineal
Antecedentes
• La producción industrial, el flujo de recursos en una economía a gran escala y las actividades militares son ejemplos de sistemas que envuelven un gran numero de actividades.
Antecedentes
• Si el sistema puede representarse mediante un modelo matemático, se puede aplicar un método para seleccionar el mejor programa de actividades dentro de todas las opciones existentes.
• Esto es lo que se conoce como programación matemática.
Más antecedentes
• George Stigler (1911 – 1991): el problema de la dieta, 1er problema de optimización a gran escala (77 variables, 9 ecuaciones incluyendo la función objetivo).
• Wassily Leontief (1905 – 1999): Matriz insumo – producto.
Supuestos
• Proporcionalidad: el consumo de un recurso es
proporcional al nivel de actividad.
• No negatividad: no se permiten cantidades negativas
(actividades).
• Aditividad: la cantidad total consumida de un recurso es
igual a la suma de lo que consumen las actividades.
• Función objetivo lineal.
Elementos de un problema de
programación lineal
1.
Variables de decisión.
2.
Medida de desempeño: Función objetivo.
Ejemplo 1
Un artesano fabrica dos tipos de productos: mesas de centro y esquineros. Los datos de producción se muestran en la siguiente tabla.
El artesano no desea trabajar más de 40 horas a la semana y además, sus recursos no le permiten gastar más de $1000 en materiales a la semana; entonces, ¿cuántas mesas se cada tipo deberá fabricar para obtener la máxima utilidad semanal?
Tipo Horas de fabricación
Costo M.P.
Utilidad ($)
Mesa
centro 6
200 240
Ejemplo 2
Se tienen los siguientes datos
de dos tipos de hospitales que
se proyecta construir.
Se cuentan con 650 equipos
médicos y con 50,000 toneladas
de material.
Formule
el
problema
de
programación
lineal
para
determinar cuantos hospitales
de cada tipo se deben construir
para
atender
al
máximo
número de pacientes
.
Tipo de hospital Datos 1 2 Equipos
médicos(U) 20 30 Cantidad de
materiales de
construcción requeridas (ton)
2500 2100
Cap. de atención.
30,000 pacientes
Ejemplo 3
El gerente de la compañía Aceros BB recibió un pedido para fabricar tubos de acero. Cada tubo requiere la materia prima A que cuesta $3 por unidad y la materia prima B que cuesta $8 por unidad.
Ejemplo 4(Tarea)
Una compañía de juguetes tiene planeado comenzar la producción de dos nuevos lanzamientos: un camioncito que tendrá un precio de venta de $50 y una nueva muñeca que por introducción se venderá a $70. Los costos de producción son$3 y $4 respectivamente. La empresa considera que no tendrá dificultad para vender cualquier cantidad de ambos juguetes, sin embargo, la planta tiene una capacidad limitada.
Ejemplo 5
Una persona recibe $10 millones de pesos gracias a una venta exitosa y le aconsejan que invierta en dos tipos de acciones. Las acciones tipo A tienen un gran nivel de riesgo pero producen una ganancia del 10%, las tipo B, más seguras producen un 7% anual.
Ejemplo 6
Considere una empresa que
elabora dos productos. La
ganancia por cada lote
producido es de $3 por el
producto 1 y $5 por el
producto 2.
El producto 1 se elabora en la
planta A y cada lote consume
1 hr, el producto 2 se elabora
en la planta B y cada lote
requiere 2 hrs (base semanal).
La dirección recientemente
construyó la planta C donde
se pueden elaborar ambos
productos. El producto 1
consume 3 hrs y el producto 2
consume 2 hrs. La capacidad
de las plantas es de 4, 12 y 18
hrs a la semana.
Ejemplo 7
Problema de mezcla(Tarea)
Una dulcería vende 3 presentaciones de cajas de galletas, cada una contiene diferentes cantidades de galletas de almendra, nuez, chocolate y mantequilla. Para preservar la reputación en términos de calidad, existen ciertos porcentajes máximos y mínimos que deben respetarse en la mezcla.
A la dulcería le gustaría determinar la cantidad exacta de cada tipo de galleta que deberá ir en cada mezcla del tal manera que se maximice la ganancia.
Mezcla Requerimientos (% del total)
Precio de venta por kg.
Roja
No más de 20% de nuez. Al menos 40% de mantequilla No más de 25% de chocolate.
$ 590.00
Oro No más de 35% de nuez.
Al menos 25% de almendra. $ 690. 00
Azul nuez, máximo 50%, mínimo 25%.
Al menos 30% almendra $ 850.00
Tipo de galleta Costo ($/ kg)
Existencias (kg)
Ejemplo 8
Problema de transporte
Una fábrica productora de alimentos, realiza cada semana una planeación de los envíos desde las bodegas a sus clientes. En la tabla anexa se muestra el costo de envío desde cada bodega hacia los clientes. Construya un modelo de programación lineal que permita construir el programa de envíos a los clientes desde cada una de las bodegas de tal manera que se minimice el costo total, pero satisfaciendo la demanda de los clientes.
Clientes
Ejemplo 9
Problemas de asignación
Una armadora de vehículos fabrica 6 modelos distintos de autos y cuenta con 6 plantas distintas. La empresa desea dedicar de manera exclusiva una planta a cada modelo. Se cuenta con los datos del costo de producción de los vehículos en cada una de las plantas y que se muestra en la tabla anexa. Construya un modelo de PL que permita determinar la asignación vehículo-planta que minimiza el costo total de producción.
Modelo de vehículo
Geometría de un modelo de
Programación lineal
• Región factible: delimitada por restricciones.
• Solución factible: aquella que cumple con las
restricciones.
• Punto extremo: donde se cortan dos restricciones
(base, solución básica, solución de un sistema de
ecuaciones).
Ejemplo 2
Se tienen los siguientes datos
de dos tipos de hospitales que
se proyecta construir.
Se cuentan con 650 equipos
médicos y con 50,000 toneladas
de material.
Formule
el
problema
de
programación
lineal
para
determinar cuantos hospitales
de cada tipo se deben construir
para
atender
al
máximo
número de pacientes
.
Tipo de hospital Datos 1 2 Equipos
médicos(U) 20 30 Cantidad de
materiales de
construcción requeridas (ton)
2500 2100
Cap. de atención.
30,000 pacientes
Casos
• Solución óptima única.
Conjunto de soluciones factibles.
Casos
• Óptimos alternativos
Conjunto de soluciones factibles.
Casos
• Problema no acotado
Ejemplo 10
Considere el siguiente problema. Una planta armadora de automóviles debe planear la producción de camiones y autos compactos. Existen cuatro departamentos: estampado, armado del motor, armado final de camión, armado final de auto. En el área de estampado tiene capacidad de 25,000 autos al mes, o bien de 35,000 camiones al mes, o bien alguna combinación de ambos
De igual manera, en el área de armado del motos existe capacidad para 33,333 vehículo o bien 16,667 camiones. Finalmente en el área de armado final del auto hay capacidad para 22,500 autos, para el caso de los camiones hay capacidad para 15,000 unidades.
a. Construya el modelo que representa el sistema.
