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INTRODUCCI ´

ON A LA MEDIDA

Con el objeto de medir regiones m´as complicadas que rect´angulos con lados paralelos a los ejes coordenados, se hace necesario aproximar las regiones por medio de rect´angulos. SiA ⊆_Rn_{, diremos que una familia} Bi∈I de conjuntos es un cubrimiento deAsiA ⊆

[

i∈I

Bi. Veamos ahora los cubrimientos m´as usados y sus notaciones.

8.1 Definici´on: SeaA ⊆_Rn _yA

i∈I un cubrimiento de Apor rect´angulos

i A_i∈I se dice un cubrimiento de Jordan de A (o unJ cubri-miento de A) siI es finito.

ii Ai∈I se dice un cubrimiento de Lebesgue de A (o un L cubri-miento de A) siI es contable.

iii Se denotaJc(A) ={I/I esJ cubrimiento de A} iv Se denota Lc(A) ={I/I esLcubrimiento de A}. 2

8.2 Nota:

Un cubrimiento finito se puede extender a uno infinito repitiendo el ´

ultimo t´ermino del mismo. Uno infinito no se puede cambiar a uno finito, en general. Los conjuntos para los cuales cualquiera de sus cubrimientos abiertos, de cualquier cardinalidad, tienen incluido un cubrimiento finito se llaman conjuntoscompactos. Estos son exacta-mente los conjuntos cerrados y acotados enRn.

A continuaci´on deseamos sumar las medidas de los rect´angulos que son cubrimientos. En el caso de J cubrimientos, como son finitos,

X

S∈Γ

m(S) es una suma com´un de n´umeros reales. En el caso de L

cubrimientos hay dos problemas: primero que la suma tenga sentido y que converja. En cuanto a lo primero sif, g:N→Γ son dos equipoten-cias, es decir dos ´ordenes de los elementos de Γ, se sabe que

∞ X

n=1

m(f(n))

converge si y solo si

∞ X

n=1

m(g(n)) converge. Adem´as, si la

conver-gencia es finita, es decir, un n´umero real, entonces X i=1

m(f(n)) =

X

i=1

m(g(n)).

Ahora bien es claro que P

X

n=1

m(f(n)) forma una sucesi´on creciente de n´umeros reales tomandoP = 1,2, . . .y entonces converge a un n´umero real oa infinito. En este ´ultimo caso igual cosa pasa con

P

X

n=1

m(g(n)).

Contenido, Medida

8.3 Definici´on: SeaA ⊆_Rn

i Llamamos el contenido de Jordan deAa

J(A) =Inf (

X

S∈Γ

m(S)|Γ∈Jc(A)

)

ii Llamamos la medida de Lebesgue de Aa

L(A) =Inf (

X

S∈Γ

m(S)|Γ∈Lc(A)

iii A se dice de contenido cerosi J(A) = 0 iv A se dice de medida cerosi L(A) = 0. 2

En la figura se considera como A el ´area sombreada en R2. Se mues-tra un cubrimiento finito por rect´angulos. En la definici´on 8.3 no se imponen condiciones al cubrimiento por rect´angulos. En particular no dice que un rect´angulo no pueda, por ejemplo, quedar sobre otro. Tampoco dice que no puedan sobrar rect´angulos. Dice simplemente que para medir Aen el sentido de Jordan (contenido) se aproximade todas las maneras posiblespor medio de rect´angulos y en cada una de esas maneras debe haber un n´umero finito de rect´angulos. Se suman todas las ´areas de los rect´angulos que aproximan (superiormente) para obtener un ´area aproximada (superiormente). Se hace esto con cada manera posible de aproximar. Esto d´a un conjunto de n´umeros cada uno de los cuales es una aproximaci´on al ´areade la figura.

El ´ınfimo de ese conjunto se toma comoel contenidode la figura. En cuantoa la medida de Lebesguela diferencia estriba en que deben usarse tambi´en aquellos cubrimientos con un n´umero de rect´angulos (as´ı sean triviales) igual al cardinal de los n´umeros naturales. En los dos casos en cambio de rect´angulos cerrados se puede usar cubri-mientos de rect´angulos abiertos

cosas distintas, en general. El conjuntoA=Q∩[0,1] tiene contenido de Jordan y medida de Lebesgue distintos.

Resumamos ahora las partes de contenido y medida que nos interesan.

8.4 Proposici´on: EnRn se tiene

i Para cada A ⊆_Rn_,Jc_(A)⊆Lc_(A). ii Para cada A ⊆_Rn_{,J(A)≥L(A).}

iii Si A ⊆ B →J(A)≤J(B) y L(A)≤L(B).

iv Si L(A_i) = 0 para cada i∈I,I numerable, entonces

L [

i∈I Ai

!

= 0

v Si Aes numerable entonces L(A) = 0.

vi J(A) =J(A) en donde A denota a A reunido con su borde (A es llamada la adherencia deA).

vii SiAes compacto enRn, entoncesJ(A) =L(A). (Aes compacto si es acotado y cerrado, es decir contiene a su borde)

Demostraci´on:

i Todo conjunto finito es contable. As´ı que, para un conjunto dado, todo cubrimienton (finito) de Jordan es un cubrimiento de Lebesgue. De ah´ı queJc(A)⊆Lc(A).

ii SiAyBson subconjuntos deRyA⊆B entoncesInf B≤Inf A. Ahora bien comoJc(A)⊆Lc(A) entonces tambi´en:

{X S∈Γ

m(S)|Γ∈Jc(A)} ⊆ {X S∈Γ

m(S)|Γ∈Lc(A)}

iii Sigue una l´ınea similar a ii y es dejado como ejercicio.

iv Denotemos por A=S

Ai. Sea >0. Recuerde que

∞ X

i=1 1 2i = 1. Veremos que L(A) < . Como es arbitrario y mayor que cero, entonces ₂i >0. ComoL(Ai) es un ´ınfimo entonces

L(A_i) + 2i >

X

Si∈Γi

m(Si)

donde Γi es alg´un cubrimiento Lebesgue de Ai. Es claro que, como I es numerable (y la reuni´on numerable de conjuntos nu-merables es numerable), entonces [

i∈I

Γi es un cubrimiento Le-besgue de [

i∈I

A_i =A.

Si llamamos Γ = [ i∈I

Γi se tiene que

X

S∈Γ

m(S)≤X i∈I

X

si∈Γi

m(Si)≤

∞ X

i=1

2i = As´ı puesL(A)≤X

S∈Γ

m(S)≤como se deseaba.

v Es claro de la parte iv y se deja como ejercicio. Pero se hace incapi´e aqu´ı en lo que no dice esta parte. La afirmaci´on no es cierta para el contenido de Jordan. As´ı si Q denota a los n´umeros racionales e I = [0,1], entonces Q∩I es numerable, pero J(Q∪I) = 1.

vi Si A y B son conjuntos, entonces A∪B = A ∪B y adem´as si A es cerrada A = A. Como en general A ⊆ A entonces

J(A) ≤ J(A). Ahora bien, todo cubrimiento Jordan de A es un cubrimiento de Jordan de A, por que siSi es un rect´angulo cerrado entonces Si = Si as´ıA ⊆

n

[

i=1

Si → A ⊆

[

i=n

tanto Jc(A) ⊆ Jc(A), luego J(A) ≥J(A) y se completa as´ı la igualdadJ(A) =J(A).

vii Suponga que A es compacto. La caracter´ıstica fundamental de A por ser compacto es que s´ı se d´a un cubrimiento de A por abiertos, entonces, de ese cubrimiento se puede extraer uno finito. Por otra parte siS =

n

Y

i=1

(ai, bi) entonces

m(S) = n

Y

i=1

(bi−ai)

por la definici´on y, como se mencion´o, tanto la medida de Le-besgue, como el contenido de Jordan se puede desarrollar usan-do rect´angulos abiertos. Esto equivale a que cada cubrimiento Lebesgue de A tiene un subcubrimiento Jordan de A. Si al primero lo denotamos con Γ, al segundo lo denotaremos con Γ0. Es claro que X

S0_∈Γ0

m(S0) ≤ X S∈Γ

m(S). Por tanto el ´ınfimo,

calculado sobre las sumas del tipo X S∈Γ

m(S) debe ser mayor

o igual al ´ınfimo calculado sobre X S0_∈Γ0

m(S0) con Γ0 ∈ Jc(A). As´ı pues L(A) ≥ J(A) y como adem´as J(A) ≥ L(A) entonces

L(A) =J(A). 2

Comentario sobre la proposici´on 8.4

intuitivamente, no pueden dar un resultado menor que el resul-tadoreal. As´ı pues intuitivamente la aproximaci´on de Lebesgue est´a entre el resultado real y la aproximaci´on de Jordan y en ese sentido es mejor aproximaci´on.

ii En iv se hace notar c´omo, por lo menos en una situaci´on, la me-dida de Legesgue rinde informaci´on sobre una reuni´on numerable de conjuntos a partir de la informaci´on de la medida de cada con-junto. Ese no es el caso de la medida de Jordan con la cual no hay sentido de medida para Nen R, por ejemplo.

iii La parte v completa este punto estimando la medida de una reuni´on numerable en la cual cada conjunto es unitario.

iv En iv y v no es mencionado el caso de Jordan, pero es claro que Q∩I es una reuni´on numerable de conjuntos unitarios de medida de Jordan (contenido) iguales a cero y ya sabemos que Q∩I no tiene contenido cero. Pero es un hecho que la medida de Lebesgue y el contenido de Jordan coinciden en algunos conjuntos. Es posible tener un criterio para decidir si en un conjunto dado los dos coinciden? Esto es lo que se responde en la parte vii. As´ı en el plano y en el espacio, mientras la figura est´a al alcance de la vista y no sea “porosa” la medida de Lebesgue y el contenido de Jordan de la misma coinciden.

8.5 Nota: La igualdad [

i=n

A_i = [ i=n

A_i (*) no se extiende al caso infinito, as´ı por ejemplo, para I = [0,1], [

x∈_Q∩I

{x} = Q∩I. Adem´as {x} = {x}

por tanto [ x∈Q∩I

{x}= [ x∈Q∩I

{x}=Q∩I. Pero

[

x∈Q∩I

{x}=Q∩I =I.

en el caso Jordan J(A) = J(A), en el caso Lebesgue en general esto no es cierto.

Podemos ahora dar una condici´on de integrabilidad muy ´util pero no la demostraremos.

8.6 Proposici´on:

Sea f : A → _R acotada y sea B el conjunto de puntos de discon-tinuidad def enA,f es integrable si y solo siL(B) = 0. 2

Note que A es cerrada y nosotros requerimos para continuidad en un punto que este fuera interior. Los puntos de la frontera de A no son por supuesto interiores. Para corregir este punto decimos que f

es continua en A si existe una bola B(A, ) y una funci´on continua

F :B(A, )→_R, tal que si D=B(A, )T_A,

F |D=f. Es decir, si

f se puede extender a una funci´on continua en una vencindad deA. Tomemos por ejemplo la funci´on f : [0,1]→_R con

f(x) =

(

10 si x= 1_n,n∈N 1 si x6= 1

n,n∈N

Esta funci´on es discontinua en {_n1 | n ∈ _N} que es numerable y por tanto tiene medida cero. As´ı que es entonces integrable. Pero si con-sideramosg(x) = 0 sixes racional yg(x) = 1 sixes irracional en [0,1], entoncesg es discontinua en todo punto de [0,1] y comoL([0,1]) = 1, entoncesf no es integrable.

Integraci´on Sobre Regiones Generales

cambio en la regi´on. Recordemos que si A ⊆_Rn _{entonces se llama la} funci´on caracter´ıstica deAy se denotaχA a la funci´on deR

n _a R donde

χA(x) =

0 si x /∈ A 1 six∈ A

Si queremos extender la funci´on f : Γ→_R, (Γ⊆ A) a todo A nos es suficiente considerar f χ_Γ. En efecto

f χ_Γ(A) =

f(A) si A∈Γ 0 si A /∈Γ

Note que f χΓ es solo una notaci´on puesto que f precisamente no est´a

definida en todoA. Pero indica claramente su efecto y nos evita nuevos s´ımbolos para denotar la extensi´on.

Como uno puede esperar que la parte de valor cero no contribuye en la integral def χΓ entonces solo se integra sobre la otra parte y sobre ella

actua f. As´ı pues la integral es la de f. El conocimiento de χ_Γ es de ayuda en el integral del tipo que proponemos, en el problema 10, que el lector debe tener muy presente, se muestran dos de sus aspectos.

8.7 Definici´on:

SeaA un rect´angulo. Seaf :A →_Runa funci´on y Γ⊆ A.

i Decimos quef es integrable en Γ sif χ_Γ es integrable enA. ii Sif es integrable en Γ se define

Z

Γ

f =

Z A

f χ_Γ. 2

Recuerde queR

Γf = sup_p

Z

Γ

f χ_Γpdondeprecorre las particiones de Γ. Siχ /∈ A, entoncesf χΓp(x) = 0 y el valor de

R

Γf depende unicamente de los valores de f en A. Como en caso de que f χ_Γ sea integrable

Z

Γ

f =

Z

Γ

f entonces

Z

Γ

f depende ´unicamente del valor de f en Ay no del Γ por que lo cubre.

i

Z

Γ

αf =α Z

Γ

f.

ii

Z

Γ

(f+g) =

Z

Γ

f +

Z

Γ

g.

iii Si Γ3= Γ1∪Γ2, entonces

Z

Γ3

f =

Z

Γ1

f+

Z

Γ2

f.

Lo hecho hasta ahora no menciona precedimientos aceptables para cal-cular integrales de campos escalares. Sin embargo, como en el caso de derivaci´on, existe un mecanismo que permite llevar a cabo el c´alculo pasando al caso de funcionesR→R. Es lo que veremos en seguida.

El Teorema de Fubini











En C´alculo I para calcular el ´area bajo una curva determinada por una funci´onf, de manera intuitiva, se pensaba en la integral

Z b

a

como un proceso desumaespecializada de cantidades muy peque˜nas. Bajo ese principio, en la figura de arriba se tiene una parte muy peque˜na relati-vamente, la cual, por lo peque˜no de la base se puede considerar como rect´angular. Su ´area se denotar´a dAy es igual, con esa consideraci´on af(x)dx. Como dA=f(x)dx, sumando en los dos lados dentro de los l´ımites se recibe

Z b

a

dA=

Z b

a

















_



En la segunda figura, en el caso de dos dimensiones, la medida buscada es el vol´umen bajo la figura. En este caso podemos pensar, por ejemplo que a una distanciaydel origen tenemos una figura recta cuyo vol´umen queremos calcular. Pensando como antes si el ´area de la pared esA(y) y el grosor es dy, entonces dv = A(y)dy y por tantoV =

Z d

c

A(y)dy. Ahora bien, por calculo I podemos hallar A(y), y como la suma de las ´

areas se asimilaba como el ´area total, se recibe A(y) =

Z b

a

f(x, y)dxy por tanto se tendr´ıa

V =

Z d

c

Z b a

f(x, y)dx

dy

Si detr´as del concepto de integral de funcionesRn→R est´a la “gene-ralizaci´on” de ´area bajo la curva, y as´ı es, entonces lo calculado arriba debe ser la integral de f. As´ı pues:

Z A

f =

Z d

c

Z b a

f(x, y)dx

dy

Veamos primero que la igualdad superior no es cierta en general. Note que el raciocinio de arriba no determin´o preponderancia del orden y por tanto estamos pensando la igualdad tambien como:

Z A

f =

Z b

a

Z d

c

f(x, y)dy

dx

Tomemos

f(x, y) =

  

1 si x es irracional

1 si x es racional,y es irracional 1−1

q si x= p

q reducido,y racional yA= [0,1]×[0,1].

Se puede ver que f es discontinua donde (x, y) tiene coordenadas racionales. Este conjunto tiene medida cero, por tantof es integrable. As´ı que, para calcular la integral, es suficiente calcular la integral su-perior. Pero en cualquier rect´angulo no trivial el supremo de la funci´on es 1. As´ı, la integral def es el mismo que el de la funci´on constante y de valor 1, que es vol´umen del cubo de lado 1. Es decir

Z A

f = 1.

Ahora bien, siyes racional, entonces la funci´on con variablex,f(x, y) no es integrable. En efecto, excepto por 0 tiene los mismos puntos de discontinuidad de χ_Q∩I. Como L(∂Q∩I) = 1 la funci´on de x no es integrable yA(y) no existe.

En el teorema general que se demuestra a continuaci´on se ver´a que cuando la funci´onf es continua entonces el paso a integrales inferiores por cortes es v´alido. Cuandof es discontinua pero integrable todav´ıa existe una versi´on v´alida para coincidencia de resultados, que adem´as es la m´as general de las conocidas.

8.8 Notaci´on:

SeanAyBrect´angulos. DigamosAde dimensi´onnyBde dimensi´on

m. Entonces, esencialmente, A × B es un rect´angulo en dimensiones

variable independiente con X en A y Y en B. Ahora para X ∈ A fijo denotamos f_X : B → _R a la funci´on Y → f(X, Y) similarmente

f_Y :A →R,X→f(X, Y). Si P es una partici´on de A × B existe un refinamiento del tipo PA×PB en donde PA es una partici´on de A y

PB es una partici´on deB. En efectoPA×PB es una partici´on del tipo

SA×SB en dondeSA es un rect´angulo dePA ySB es uno de PB.

Con esta notaci´on tenemos.

8.9 Proposici´on:

Sea f : A × B → _R una funci´on con dominio un rect´angulo cerrado A × B y sea P =PA×PB una partici´on deA × B. Seani:A →_Ry

s:A →_R dados pori(X) =

Z B

f_X ys(X) =

Z B

f_X. Entonces:

i I(f, P)≤I(i, PA)

ii S(s, PA)≤S(f, P)

Demostraci´on: Veamos i. Por definici´on I(f, P) es igual a

= X

SA×B∈PA×PB

Inf f(SA×SB)m(SA×SB)

= X

SA∈PA

 

X

SB∈PB

Inf f(SA×SB)m(SA)m(SB)

 

= X

SA∈PA

 

X

SB∈PB

Inf f(SA×SB)m(SB)



m(SA)

Ahora bien, como I(i, PA) = X SA∈PA

Inf i(SA)m(SA), entonces se debe

demostrar que X SB∈PB

SA entonces {X} ×SB ⊆ SA×SB y por tanto Inf f({X} ×SB) ≥

inf f(SA×SB) es decir que

Inf f×(SB)≥Inf f(SA×SB) As´ı queI(fX, PB) es igual que

X

SB∈PB

Inf f×(SB)m(SB)≥ X SB∈PB

Inf f(SA×SB)m(SB)

PeroI(f_X, PB)≤Sup I(f_X, PB) =

Z B

f_X =i(X).

De modo quei(X)≥ X SB∈PB

Inf f(SA×SB)m(SB) lo cual concluye la

demostraci´on de i. Ahora, para ii

S(f, P) = X SA×SB∈PA×PB

Sup f(SA×SB)m(SA×SB)

= X

SA∈PA

 

X

SB∈PB

Sup f(SA×SB)m(SB)



m(SA)

ComoS(s, PA) = X SA∈PA

Sups(SA)m(SA) entonces ii queda demostrada

siSup(SA) es menor o igual que

X

SB∈PB

Sup f(SA×SB)m(SB)

La demostraci´on es la misma que el caso precedente pero notando que

Sup f_X(SB) es igual aSup f({X} ×SB)≤Sup f(SA×SB) para todo

X ∈ SA. Multiplicando por m(SB) y sumando se recibe S(f_X, PB) igual a

X

SB∈PB

Sup f_X(SB)m(SA)≤ X SB∈PB

Como s(X)≤S(fX, PB) la demostraci´on ha terminado. 2

8.10 Teorema (Fubini):

Si f :A × B → _Res integrable entonces tambi´en lo son las funciones

i yS de la proposici´on precedente y se tienen las igualdades

Z A×B f = Z A i= Z A " Z B

f(X, Y)dy # dx = Z A s= Z A Z B

f(X, Y)dy dx = Z B Z A

f(X, Y)dx dy= Z B " Z A

f(X, Y)dx #

dy

en donde, por ejemplo

Z B

f(X, Y)dy=

Z B

f_X.

Demostraci´on: Para PA×PB se tiene:

I(f, P)≤I(i, PA)≤S(i, PA)≤S(s, PA)≤S(f, P)

y por tanto tambi´en se tiene que,en cuanto cada una de las inte-grales exista, entonces

Z A×B f ≤ Z A i≤ Z A i≤ Z A s≤ Z A×B f

Cuando, adem´as,f es integrable, entonces todas estas integrales coin-ciden. As´ı pues ies integrable y adem´as

Z A×B f = Z A i

De igual manera para el caso de S, se tiene una sucesi´on de desigual-dades I(f, P) ≤I(i, PA) ≤ I(s, PA) ≤ S(s, PA) ≤S(f, P) de lo cual se recibe Z A×B f ≤ Z A i≤ Z A s≤ Z A s≤ Z A×B

f, cuando cada una de las integrales existe. As´ı que S es integrable y adem´as

Con esto se demostraron dos de las igualdades. Las dem´as se dejan como ejercicio. 2

8.11 Corolario:

Seaf :A × B →_Rintegrable. Entonces:

i Si para cadaX,f_X es integrable, entonces

Z A×B

f =

Z A

Z B

f_XdY

dX

ii Si para Y, fY es integrable, entonces

Z A×B

f =

Z B

Z A

fYdX

dY

iii Sea A × B= n

Y

i=1

[ai, bi], entonces, si cada uno de los integrandos son integrables se tiene

Z A×B

f =

Z bn an

. . .

Z b2

a2

Z b1

a1

f(X)dx1

dx2

. . .

dxn

iv SupongaC ⊆ A × B y f integrable en C.









Sea CX ={Y ∈ B | (X, Y)∈ C} y CY ={X ∈ A |(X, Y)∈ C}. Entonces Z C f = Z A Z CX

f_X(Y)dY dX = Z B Z CY

f_Y(X)dX

dY

Cuando quiera que los integrales existan.

v Sif(X, Y) =H(X)G(Y) entonces

Z A×B f = Z A H× Z B G. Z C f = Z A×B

f·χ_C =

Z A

Z B

(f·χ_C)XdY

dX

Por otro lado

Z A

Z CX

f_XdY dX = Z A Z B

(f_X·χC_X)dY

dX

por tanto es suficiente demostrar que (f ◦χC)X es igual a fX ◦χC_X.

Pero como, claramente (h ◦g)X = hX ·gX entonces solo debemos mostrar que (χC)X = χC_X. Para ello sea Y ∈ B. Entonces Y ∈ CX

o no. Si Y ∈ C_X entonces χC_X(Y) = 1 y (χC)X(Y) = χC(X, Y) y

como Y ∈ C_X ↔ (X, Y) ∈ C el resultado tambi´en es 1. Similar-mente si Y /∈ CX entonces χC_X(Y) = 0 y (χC)X(Y) = χC(X, Y) = 0.

Se tiene pues que (f ◦χC)X = fX ◦χC_X que es lo que ten´ıamos que

demostrar . 2

8.12 Nota:

i Se usa tambi´en la notaci´on

Z A×B

f =

Z A×B

f(X, Y)dXdY.

ii Sif es continua entonces

Z A×B

f(X, Y)dXdY =

Z A

Z B

f(X, Y)dY dX = Z B Z A

f(X, Y)dX

iii Si f es continua,f : n

Y

i=1

[ai, bi]→R, entonces

Z

S

f(x1, x2, . . . , xn)dx1dx2. . . dxn≡

Z

S

f(X)dX

=

Z bn an

. . .

Z b1

a1

f(x1, . . . , xn)dx1

. . .

dxn

iv El teorema de Fubini NO asegura que si

Z A

Z B

f(X, Y)dX

dY =

Z B

Z A

f(X, Y)dY

dX

entoncesf es integrable ni que el valor com´un coincida con

Z A×B

f(X, Y)dXdY

Los ejemplos en este sentido son muy elaborados y no los daremos aqu´ı.

8.13 Ejemplo:

Halle al integral def(x, y, z) =xy+xz+yz en la regi´on acotada por los planosz= 0, z= 3 y por x2+y2 = 25 en R3.

aparece en la figura )



















figura 1

C_z ={(x, y)|(x, y, z)∈ C}={(x, y)|(x2+y2 = 25)}































figura 2 As´ı pues

Z C

f =

Z

[0,3]

Z Cz

f(x, z)dx

Deseamos calcular

Z Cz

f(x, z)dx. Es claro quex var´ıa entre−5 y 5 y para cada x se tiene que (Cz)x = {y ∈ _R | (x, y) ∈ Cz} = {y ∈ R |

x2+y2= 25}= [−√25−x2_,√_25−x2_{]. As´ı pues}

Z Cz

f(x, z)dx =

Z

[−5,5]

" Z

(Cz)x

f(x, y, z)dy #

dx

=

Z

[−5,5]

" Z

[−√25−x2_,√_25−x2_]

(xy+xz+yz)dy # dx = Z 5 −5 " Z √

25−x2

−√25−x2

(xy+xz+yz)dy #

dx

= −z Z 5

−5

(−2x)(25−x2)12dx= 0

Por tanto Z C f = Z 3 0

0dz = 0.

El segundo m´etodo ser´a fijando x. C_x aparece en la figura 1 y es Cx = {(y, z) | (x, y, z) ∈ C} = {(y, z)|x2+y2 = 25 y 0 ≤ z ≤ 3} = [−√25−x2_,√_25−x2_{]×[0,3]. Se tiene entonces}

Z C f = Z 5 −5 Z Cx

f(x, y)dy

dx

Calculamos la integral interior

Z Cx

f(x, y)dy. Esta es igual a

Z √

25−x2

−√25−x2

Z 3 0

f(x, y, z)dz

dy=

Z √

25−x2

−√25−x2

3xy+9

2(x+y)dy= 0

As´ı que, de nuevo

Z C

La tercera manera

Z C

f =

Z Z Z

C

(xy+xz+yz)dxdydz=

Z Z Z

C

xydxdydz

+

Z Z Z

C

xzdxdydz+

Z Z Z

C yzdxdydz = Z 5 0 " Z √

25−x2

−√25−x2

ydy· Z 3 0 dz # xdx + Z 5 0 " Z √

25−x2

−√25−x2

dy· Z 3 0 zdz # xdx + Z 5 0 " Z √

25−x2

−√25−x2

ydy· Z 3 0 zdz # dx

= 0 + 3R₀52x√25−x2_{dx+ 0 = 0}

La F´ormula de Cambio de Variable

En par´agrafos precedentes tuvimos la oportunidad de estudiar los bios que sufre el gradiente, el rotacional y la divergencia bajo un cam-bio de coordenadas. En esta parte estudiaremos el camcam-bio sufrido por la integral bajo un cambio de coordenadas. Recordemos el caso de una variable pero con orientaci´on a lo que ahora deseamos: una f´ormula para el caso general de funciones Rn→R.

8.14 Proposici´on:

Sean R1 y R2 regiones en R (intervalos abierto). Sea g : R2 → R1 un cambio de coordenadas de tipo C1. Sea f : R1 → R una funci´on integrable. Entonces Z R1 f = Z R2

(f◦g)|J(g)|=

Z

R2

Demostraci´on: g debe ser entonces una funci´on estrictamente cre-ciente o estrictamente decrecre-ciente. Aqu´ı haremos el primer caso. El segundo es id´entico.

g(a, b) → (g(a), g(b)) con x = g(t), entonces se trata de mostrar que (reemplazando con la notaci´on de c´alculo I la f´ormula (*))

Z g(b)

g(a)

f(x)dx=

Z b

a

f(g(t))|(g0(t)|dt=

Z b

a

f(g(t))g0(t)dt

Para demostrar esto, seaF una primitiva def. EntoncesF◦g es una primitiva de (f◦g)◦g0 (verif´ıquelo) luego

Z g(b)

g(a)

f(x)dx= F(g(b))−

F(g(a)) y

Z b

a

f(g(t))g0(t)dt= (F◦g)(b)−(F◦g)(a) =F(g(b))−F(g(a))

Se recibe pues la igualdad pedida. 2

Para el caso general la situaci´on no es tan simple. De hecho es lo suficientemente complicada como para que no hagamos aqu´ı la de-mostraci´on. Pero daremos una idea de la demostraci´on cuando g : Rn→Rn es una funci´on lineal.

La conecci´on fundamental est´a en cambiar los cubrimientos Jordan (y las particiones) por rect´angulos en cubrimientos y particiones por paralelotopos.

Si A1, A2, ..., An son elementos de Rn, el paralelotopo generado por ellos es

P L(A1, A2, ..., An) =

( _n X

i=1

tiAi |0≤ti≤1

)















 _{}

 

En el primer gr´afico se muestra adem´as un elemento t´ıpico del par-alelotopo generado por AyB.

Note adem´as que sig es una funci´on lineal y 1-1 entonces

g(P L(A1, A2, ..., An)) =P L(g(A1), g(A2), ..., g(An)) Esto se basa en el hecho de que g es lineal y 1−1 si y s´olo si

X= n

X

i=1

tiAi ↔g(X) = n

X

i=1

tig(Ai)

Si consideramos, por ejemplo, Rn cuadriculado con rect´angulos, en-tonces su im´agen aparece cuadriculada por paralelotopos con lados paralelos a los ejes αg(E1) y βg(E2). Si A es un subconjunto de Rn, entonces cada cubrimiento Jordan, por rect´angulos, deA, corresponde de manera biun´ıvoca a un cubrimiento, por paralelotopos, de g(A). Note que en el caso de R2

Similarmente, en el caso deR3

m(P L(A, B, C)) =|det(A, B, C)| En el caso deRn a´un se tiene

m(P L(A1, A2, ..., An)) =|det(A1, A2, ..., An)|

Si A ⊆ g(Rn) podemos medir su contenido de Jordan por J(A) =

Inf{X s∈C

m(s0)| Ces un cubrimiento deApor paralelotopos deg(Rn)}. Es decir, es id´entica que en el caso corriente de medida de Jordan, pero hemos cubierto con paralelotopos (de los cuales sabemos c´omo calcular su medida) en cambio de rect´angulos. Esto hace que uno pueda calcular f´acilmente la medida de Asi sabe la medida de donde proviene (la figura) porg. En efecto, note la relaci´on entre ellos.

i m(P L(E1, E2, ..., En)) = 1. Ahora:

mg(P L(E1, E2, ..., En)) = mP L(g(E1), g(E2), ..., g(En)) = |det(g(E1), g(E2), ..., g(En))| = |detM(g)|

en dondeM(g) denota la matriz deg en las bases can´onicas. De ahora en adelante denotaremos |det(g(E1), ..., g(En)|= |detg|. Se tiene que mg(P L(E1, ..., En)) = |detg|m(P L(E1, ..., En)) o, si denotamos A=P L(E1, ..., En), tenemos que

mg(A) =|detg|m(A)

ii Si A1, ..., An∈Rn yA=P L(A1, ..., An) podemos de nuevo dar

mg(A). Para eso sea L1 la (´unica) aplicaci´on lineal Rn → Rn que env´ıa Ei en Ai para cadai. Entonces

mg(A) = mg(P L(A1, A2, ..., An)) = mP L(g(A1), ..., g(An))

= mP L(g(L1(E1), g(L1(E2), ..., g(L1(En)) = mP L(g◦L1(E1), ..., g◦L1(En))

iii Finalmente paraA ⊆_Rn

J(g(A)) = inf{X S∈C

m(g(S))| C ∈JC(A)}

= inf{X S∈P

|detg|m(S)|P partici´on de A}

= |detg|inf{X S∈P

m(S)|P partici´on de A}

= |detg|J(A)

En resumen, sea cual fuere A ⊆Rn (acotada) se tiene

J(g(A)) = |detg|J(A)

Veamos ahora cual es el efecto en la integral. Iniciemos con la integral

Z

g(A)

f = inf{X

S∈P

Sup f(g(S))mg(S)|P partici´on de A}

= inf{X

S∈P

Sup(f◦g)(S)|detg|m(S)|P partici´on de A}

= inf{X

S∈P

Sup(|detg|(f ◦g))(S)m(S)|P partici´on de A}

=

Z

A

(f◦g)|detg0|

Por id´enticas razones

Z

g(A)

f =

Z A

(f◦g)|detg0|.

As´ı que si f es integrable, entonces

Z

g(A)

f =

Z A

(f◦g)|detg0|.

demostramos) es el siguiente:

8.15 Teorema: (F´ormula de cambio de variable)

SeanR1 yR2 regiones deRn, y seag:R2 →R1 es un cambio de coor-denadas, conC₁⊆R1,C2⊆R2 J-medibles y C1=g(C2). Entonces

Z C1

f =

Z C2

(f ◦g)|J(g)| =

Z C2

(f ◦g)|detg0|. 2

8.16 Ejemplo:

i Sea R2 el rect´angulo de R2, 0≤µ≤1, 0 ≤ν ≤π yg:R2→R2 dado por (µ, ν)7→(eµcosν, eµsenν)

a Determine sig:R2→g(R2) es un cambio de coordenadas. b Use el cambio de coordenadasgpara calcular

Z C1

fen donde

f(x, y) =x2_. Soluci´on:

a Si g(µ, ν) = g(µ1, ν1) entonces |g(µ, ν)|2 = |g(µ1, ν1)|2 as´ı

e2µ = e2µ1_{. Por tanto µ = µ}

1 Adem´as, como e2µ 6= 0 entonces (cosν, senν) = (cosν1, senν1) y como 0≤ν1,ν≤π se recibeν =ν1. Note que

|J(g)| = det

∇g1 ∇g2

= det

" _∂g

1

∂µ ∂g1

∂ν ∂g2

∂µ ∂g2

∂ν

#

=e2µ6= 0

b





 





 























En la figura se nota que g(t,0) = (etcosθ, etsenθ) = (et,0) y 0 ≤ t≤ 1. As´ı la base inferior del rect´angulo es la base derecha de la corona. Ahora g(1, α) = (e cosα, e senα) =

e(senα, cosα), la cual es la ecuaci´on de la circunferencia de radio e, pero aqu´ı tiene limites 0≤α≤π y por tanto es la semicircunferencia superior.

De manera similar se demuestra que la base superior del rect´angulo va en la base izquierda de la corona y el lado izquierdo en el semic´ırculo inferior. Un poco m´as de l´ıneas nos convence que el interior del rect´angulo va en el inte-rior de la corona (por ejemplo halle la im´agen de la cruz punteada en el ret´angulo).

Z C1

f =

Z C2

(f◦g)|J(g)|

=

Z C2

2e2µcos2ν= 2

Z 1

0

e2µdµ Z π

0

cos2νdν

= (e2−1)[1 2ν+

1 4sen2ν]

π 0

= ν 2(e

ii Dar la f´ormula de cambio de variable para las coordenadas esf´ericas

g(ρ, θ, γ) = (ρsenγcosθ, ρsenγsenθ, ρcosγ)

paraC₂ en la regi´on 0≤ρ, 0≤γ <2π, 0≤θ≤π

Soluci´on:

|J(g)| =

det  

∇g1 ∇g2 ∇g3

  = det    ∂g1 ∂ρ ∂g1 ∂γ ∂g1 ∂θ ∂g2 ∂ρ ∂g2 ∂γ ∂g2 ∂θ ∂g3 ∂ρ ∂g3 ∂γ ∂g3 ∂θ   

= |∂g1

∂ρ( ∂g2 ∂γ ∂g3 ∂θ − ∂g3 γ ∂g2 ∂θ)− ∂g1 ∂γ( ∂g2 ∂ρ ∂g3 ∂θ − ∂g3 ∂ρ ∂g2 ∂θ) + ∂g1

∂θ ( ∂g2 ∂ρ ∂g3 ∂γ − ∂g3 ∂ρ ∂g2 ∂γ)|=ρ 2_senθ

Por tanto la f´ormula de cambio de variable queda

ZZZ

g(C)

f(x, y, z)dxdydz=

ZZZ

C

f(ρsenγcosθ, ρsenγsenθ, ρcosγ)ρ2senθdρdγdθ

iii Dar la f´ormula de cambio de variable para la funci´on que cambia coordenadas esf´ericas a cil´ındricas.

Soluci´on: Con el fin de obtener una f´ormula lo menos restringida iniciamos con la composici´on de las f´ormulas y hallamos un do-minio adecuado.

En coordenadas cil´ındricas se tienex=rcosφ,y=rsenφ,z=z

por tanto x2+y2 =r2 yr=px2_+y2_{. Adem´as} y

x =tgφ y por tantoφ=arctgy_x.

Denotemos las coordenadas esf´ericas por (ρ, θ, γ). Entonces te-nemos

r = px2_+y2

= p(ρsenγcosθ)2_{+ (ρsenγsenθ)}2 = pρ2_sen2_γ

φ=arctgy

x =arctg

ρsenγsenθ

ρsenγcosθ =arcctg(tgθ) =θ z=ρcosγ

Se nota que (ρ, θ, γ) 7→ (r, φ, z) no es derivable en el dominio de los coordenadas esf´ericas. Se debe pues hacer una restricci´on o un cambio. Nosotros simplemente restringimos γ y tomamos 0 < γ < π. De modo que en el dominio 0 ≤ ρ, 0 ≤ θ ≤ π y 0< γ < π se tiene

g(ρ, θ, γ) = (r, φ, z) = (ρsenγ, θ, ρcosθ)

Ahora

∂g1

∂ρ =senγ;

∂g1

∂θ = 0;

∂g1

∂γ =ρcosγ ∂g2

∂ρ = 0;

∂g2

∂θ = 1;

∂g2

∂γ = 0 ∂g3

∂ρ = cosθ;

∂g3

∂θ =−ρsenθ;

∂g3

∂γ = 0

As´ı pues

J(g) = det

 

senγ 0 ρcosγ

0 1 0

cosθ −ρsenθ 0



=ρcosθcosγ

La f´ormula de cambio de variable es pues

Z Z

g(C) Z

f(r, φ, z)drdφdz=

Z Z

C Z

PROBLEMAS

1 Si A∈_Rn _{muestre que J({A}) = 0 y L({A}) = 0.}

2 SiA={A1, A2, . . . , An} ⊆RnentoncesJ(A) = 0 ym(A) =L(A). 3 Muestre que si Aes un rect´angulo J(A) =m(A).

4 Considere enRlos n´umeros racionales entre cero y uno, es decir A=Q∩[0,1].

i Muestre que cualquier recubrimiento de Jordan deAcubre tambi´en a [0,1].

ii Muestre que el contenido de A es entonces mayor o igual que 1.

iii Muestre que para cada >0 hay un cubrimiento deA con medidam igual a 1 +.

iv Muestre queJ(A) = 1.

v Mueste que hay un cubrimiento Lebesgue, de A, cada uno de cuyos rect´angulos tiene medidamigual a cero. Muestre queL(A) = 0

5 Muestre que si A = Q∩I, (I = [0,1]) entonces Int(A) = φ (Int(A) igual al conjunto de los puntos interiores);δA=I (δA la frontera deA); A=I

6 Halle Int(A), δAy AcuandoA es la l´ıneay =x enR2.

7 D´e ejemplos de conjuntosAtales queL(A) =L(Int(A));J(A) =

J(Int(A)); L(A) =L(A); L(Int(A)) =L(δA), en_R2 _y R3

8 Sean f :A →_Ryg:B →_Rfunciones tales que i AT

B 6=φ.

ii f |A∩B=g |A∩B; f |A−A∩B= 0 = g |A−A∩B= 0, dondeA y

Bson rect´angulos.

Demuestre quef es integrable si y solo sig lo es y

Z A

f =

Z B

9 Recuerde quex∈δAsi y solo si (para todo >0,B(x, )∩A 6=φ

yB(x, )T C(T

)6=φ) dondeC(A) denota el complemento deA en Rn y queAd(A) =Int(A)∪δA.

i Muestre queInt(A)∩δA=φ. ii δA=δ(C(A)).

iii SiA ⊆ B entoncesA ⊆ B. iv AS_B

=AS_B.

v A es abierto ↔C(A) es cerrado.

vi Todo punto de C(δA) es interior aC(δA). vii δA es cerrado.

10 SeaA un rect´angulo y Γ⊆ A. Muestre que

i χ_Γ:A →_Res continua en A∈ A ↔A /∈δΓ. ii χ_Γ:A →_Res integrable↔L(δΓ) = 0.

11 Describa (gr´aficamente) el subconjunto deR2en donde se efectua la integraci´on, en cada caso:

i

Z 2 −6

" Z 2−y

y2

4 −1

f(x, y)dx #

dy

ii

Z 3

1

Z x+9 x2

f(x, y)dy

dx

iii

Z 4

0

Z 10−y y

f(x, y)dx

dy

iv

Z 3

0

" Z

√

25−x2

0

f(x, y)dy #

dx

12 Calcule los integrales en la regi´on C para la funci´on f dada en cada caso.

ii f(x, y, z) = (x+y+z)−3 La figura limitada por los planos coordenados y el planox+y+z= 1.

iii f(x, y) = (a2−x2−y2)−21. Ces la parte del c´ırculo de radio

a(con centro en (0,0)) del primer cuadrante. iv f(x, y, z) =z2. C es la intersecci´on de las esferas

x2+y2+z2≤R2 yx2+y2+z2 ≤2Rz

v f(x, y) = exy_{. C es la regi´on limitada por y}2 _{= x, x = 0,}

y= 1.

vi f(x, y, z) =z. C la figura limitada por z2 = (h_r)2(x2+y2) yz=h.

13 En Rn un conjunto C se dice Jordan medible (J-medible) si

L(∂C) = 0. En tal caso se define la medida de C en el sentido Jordan, porJ∗(C) =

Z C

1.

i Muestre que siC es medible, entoncesJ∗(C) =J(C). ii En cada caso decida si la figura es Jordan-medible y la

me-dida o el contenido de Jordan seg´un el caso (para dimensi´on 2, lamedidade Jordan se llama´area).

a x≥0;y ≥0;x+y ≤1 b x2+y2 ≤a2;x≤y

iii Halle el volumen (medida de Jordan en dimensi´on 3) usando integrales triples, de las figuras descritas.

a Figura limitada pory2 = 4a2−3ax;y2 =ax;z=±h. b Figura limitada porx2+y2 = 2ax;x2+y2= 2az; plano

x o y.

c Figura limitada porx2+y2+z2 =a2y la parte exterior del cono z2 _=x2_+y2_.

14 Sean f, g :A → _R, con A un rect´angulo. Muestre que si f y g

son integrables, entonces tambi´en lo sonαf,∀α∈_R;f+g;f·g; f

g (en este ´ultimo caso siempre que f

g est´e definido en A). 15 Lo mismo pero para un subconjuntoC de A.

16 Demuestre la siguiente versi´on del principio de Cavaliery. Si dos s´olidos (medibles en el sentido de Jordan) son tales que las ´areas de las secciones correspondientes a cortes de la misma altura son iguales, entonces los vol´umenes de los s´olidos son iguales.

17 Generalice el principio de Cavaliery.

18 Ilustre el uso del principio de Cavaliery con un ejemplo no trivial.

19 Sig:R1 →R2 es un cambio de coordenadas (µ, ν, ω)→(x, y, z) y h:R0₁ →R2 es un cambio de coordenadas (η, ξ, λ)7→(x, y, z) muestre que entonces hay un cambio de coordenadas (µ, ν, ω)7→ (η, ξ, λ) y d´e la f´ormula de cambio de variable para integrales.

20 Cu´al es la im´agen de A = {x ∈ _R2 _{| |x| ≤ 1} por la funci´on} (x, y)→(ax, by) (a, b∈_R;a, b >0). C´alcule el ´area deL(A).

21 C´alcule el vol´umen del elipsoide

(x, y, z)| x 2

a2 +

y2 b2 +

z2 d2 = 1

22 C´alcule la medida de Jordan de la esfera s´olida de dimensi´on 4:

{(x, y, z, w)|x2+y2+z2+w2 ≤r2}

23 SeaA el hiper-elipsoide igual a

(x, y, z, w)| x 2

a2 +

y2 b2 +

z2 c2 +

w2 d2 = 1

24 Suponga conocido el material de integrales m´ultiples, medida de Jordan y f´ormula de cambio de variables. Recuerde que el paralelotopo generado porA1, A2, ..., An en Rm es

P L(A1, A2, ..., An) =

( _n X

i=1

αiAi|0≤αi≤1; ∀i= 1, ..., n

)

Muestre que si{A1, ..., Am}es un conjunto linealmente indepen-diente de vectores deRm entonces

J∗(P L(A1, ..., An) = |det(A1, . . . , An)|

En donde falla su procedimiento si{A1, .., An}no es linealmente independiente?

Suponga{A1, ..., An}linealmente independiente en Rm conn6=

m. Muestre queJ∗(P L(A1, ..., An)) = 0 (Sugerencia: Complete una baseA1, ..., An y construya un cambio de variable lineal). 25 Hallar el vol´umen del tetraedro determinado por 0≤x, 0 ≤y,

0≤zyx+y+z≤1 (primero graf´ıquelo).