SOLUCIONES_1º BB__19/4/2017
1.- Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: (2 puntos)
a) Un astronauta que da vueltas en un centrifugador de entrenamiento con movimiento circular uniforme tiene aceleración tangencial, pero no aceleración centrípeta.
Falsa. En el movimiento circular uniforme no hay aceleración tangencial, no cambia el módulo de la velocidad, pero sí hay aceleración normal o centrípeta, puesto que cambia la dirección de la velocidad.
b) Mientras una lavadora aumenta las revoluciones que da para centrifugar la ropa describe un movimiento periódico.
Falsa. Mientras la lavadora aumenta las revoluciones no dará cada vuelta en el mismo tiempo y, por tanto, la ropa no describe un movimiento periódico.
c) Al duplicar la amplitud del movimiento de un objeto que oscila verticalmente con un muelle, se reduce a la mitad su velocidad máxima.
Falsa. Al duplicar la amplitud del movimiento de un objeto que oscila verticalmente con un muelle, su velocidad máxima también se duplica puesto que esta se relaciona directamente con la amplitud, .
d) En un movimiento rectilíneo puede haber tanto aceleración tangencial como normal.
Falsa. En un movimiento rectilíneo puede cambiar el módulo de la velocidad, puede haber aceleración tangencial, pero no se produce cambio en la dirección de la velocidad y, por lo tanto, no puede habar aceleración normal o centrípeta
e) Un cuerpo que describe un movimiento armónico simple alcanza su máxima velocidad cuando se encuentra en los extremos del mismo.
Falsa. Un cuerpo que describe un movimiento armónico simple alcanza su máxima velocidad cuando transita por la posición de equilibrio y, de hecho, cuando se encuentra en los extremos se detiene y su velocidad es nula.
2.- Io es el satélite galileano más cercano a Júpiter. Es el cuarto satélite por su tamaño, tiene la más alta densidad entre todos los satélites y, en proporción, la menor cantidad de agua entre todos los objetos conocidos del sistema solar. Sabiendo que gira en una órbita circular de 421600 km de radio y que su velocidad lineal es de 17 km·s-1, calcula: a) la aceleración centrípeta del satélite; b) el período de su movimiento y su velocidad angular de Io; c) el número de vueltas que da alrededor de Júpiter en un “año joviano”, sabiendo que este tiene una duración de unos 11,86 años terrestres. (2 puntos)
Estrategia de resolución. Antes de proceder a calcular lo que nos piden vamos a expresar las magnitudes en el SI:
- Radio de la órbita = r = 421600 km = 4,216 · 108 m; - Velocidad lineal = v = 17 km·s-1 1
.
También podemos hacer un dibujo de la trayectoria de Ío para comprender mejor el movimiento que describe (MCU):
a) A partir de la velocidad lineal, v, y del radio de la órbita, r, obtendremos la aceleración centrípeta, = :
b) El periodo, tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta alrededor de Júpiter y su velocidad angular los podemos hallar a partir de la relación entre la velocidad lineal y el radio de la órbita,
y , o una vez hallada la velocidad angular, :
1º. A partir de la velocidad lineal y la distancia que recorren en una vuelta, la longitud de la circunferencia:
2º. A partir de la velocidad angular:
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O también podemos hallar estas vueltas relacionando el tiempo que se pide con el tiempo que el satélite en dar una vuelta, el periodo, T:
3.- En un experimento para hallar la aceleración de la gravedad en la Luna, un astronauta lanzó un martillo hacia arriba a una velocidad de 72 km·h-1 desde la superficie de nuestro satélite y midió el tiempo que tardó en regresar a ella. Sabiendo que el tiempo medido fue de 24,5 s, determina: a) la aceleración de la gravedad lunar buscada; b) la altura máxima que alcanzó el martillo; c) la altura a la que se cruzó con una llave inglesa lanzada desde el suelo, verticalmente hacia arriba, por otro astronauta, dos segundos después, con una velocidad de 25 m·s-1. (2 puntos)
Estrategia de resolución. En primer lugar haremos un dibujo y elegiremos un sistema de referencia: el origen de coordenadas lo situaremos en el suelo, mientras que tomaremos el eje Y en la vertical del lanzamiento del objeto con el sentido positivo hacia arriba; el origen de tiempos lo elegiremos en el instante en que se lanza el objeto.
A continuación escribiremos las ecuaciones que describen el movimiento del mismo (MRUA), teniendo en cuenta que, según el sistema de referencia elegido, yo = 0 m; to = 0; vo
= 72 km·h-1 = 20 m/s; y = 0; t = 24,5 s:
a) De este modo podemos hallar la aceleración de la gravedad lunar:
En consecuencia, la aceleración de la gravedad lunar es .
b) La altura máxima que alcanzó el martillo la podemos determinar de dos modos diferentes:
* En primer lugar considerando que, si ha tardado 24,5 s en volver al suelo lunar, habrá necesitado la mitad de tiempo, 12,25 s, en alcanzar la altura m xima. Esta altura coincidir con la posición “y”:
* En segundo lugar, podríamos hallar esa altura máxima teniendo en cuenta que en ese momento la velocidad del martillo es nula, v = 0, hallando el tiempo que tarda en llegar a esa situación para después sustituirlo en la expresión de la posición “y”:
Así, la altura máxima que alcanza el martillo es de 123 m.
c) La altura a la que se cruzará con la llave inglesa que ha sido lanzada desde el suelo, verticalmente hacia arriba, por otro astronauta, dos segundos después, con una velocidad de 25 m·s-1, la obtendremos escribiendo la ecuación de la posición (y2)
del segundo objeto, e igualándola a la del martillo (y1). Hallaremos el instante en el que se produce el cruce y lo sustituiremos
en cualquiera de las dos ecuaciones de las posiciones de los objetos:
Así:
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Por tanto, los objetos se cruzan a una altura de 95 m.
4.- El pasado domingo 9 de abril, el jugador de golf español Sergio García ganó uno de los torneos de golf más importantes del mundo, el Masters de Augusta (Estados Unidos). Durante el transcurso del campeonato, realizó un golpe magnífico imprimiéndole a la bola una velocidad de 126 km·h-1 que forma ángulo de 30º con la horizontal. Calcula: a) el punto del campo de golf en el que cayó la bola; b) si superó unos árboles de 20 m de altura que se encontraban a 60 m del punto de lanzamiento (tee del hoyo 12); c) la posición de la bola 0,75 segundos después del golpe; d) la velocidad de la bola cuando impactó contra el suelo. DATO: aceleración de la gravedad, g = 10 m·s-2. (2 puntos)
Estrategia de resolución. Para resolver el problema seguiremos el procedimiento habitual: * Primero, haremos un dibujo de la situación.
* Segundo, elegiremos un sistema de referencia: origen de coordenadas en el tee, eje X el suelo horizontal y sentido positivo hacia el hoyo, eje Y vertical, perpendicular al suelo, sentido positivo hacia arriba y origen de tiempos, to = 0, en el momento
del golpe con velocidad inicial de 126 km·h-1 (35 m·s-1 en el SI).
* Tercero, descompondremos la velocidad inicial en el sistema de referencia elegido, escribiendo las magnitudes que sirven
como datos en el SI:
* Cuarto, escribiremos las ecuaciones de la velocidad y de la posición de los movimientos descompuestos, MRU en el eje X y MRUA en el eje Y con aceleración igual a la de la gravedad, a = – 10 m/s2
*Quinto, analizaremos lo que se pide y lo resolveremos.
a) Para determinar el punto del campo de golf en el que cayó la bola, hallaremos el tiempo que la bola tarda en llegar a ese punto en el que y = 0, para sustituirlo en la posición del eje X:
De este modo la posición o el punto en el cae la bola:
b) Para saber si superó la bola un árbol de 20 m de altura que se encuentra en su trayectoria a 60 m del punto de lanzamiento. Obtendremos el tiempo que la bola ha tardado en alcanzar esa posición horizontal, para sustituir ese tiempo en la posición vertical “y” y compararla con la altura del rbol:
Por tanto, la bola no superará el árbol de 20 m de altura (15 m < 20 m).
c) La posición de la bola 0,75 segundos después del golpe la hallaremos sustituyendo por t = 0,75 s en las ecuaciones escritas:
d) Para hallar la velocidad de la bola cuando impactó contra el suelo, sustituiremos en la expresión de la misma el tiempo que la bola tardó en llegar al suelo:
Por tanto, la bola golpeará el suelo con una velocidad de , es decir, .
5.- En una pruebade un nuevo vehículo eléctrico y no contaminante se pretende comprobar cómo es capaz de acelerar. Para ello, una moto también eléctrica se adelanta 250 m en una carretera recta moviéndose a una velocidad constante de 61,2 km·h
-1
. Si el automóvil parte del reposo y alcanza a la moto en 25 s, a) ¿cuál ha sido su aceleración? b) ¿Dónde y con qué velocidad lo habrá alcanzado? c) ¿Cuándo, dónde y con qué velocidad lo habría alcanzado si su aceleración hubiese sido de 2,0 m·s-2? (2 puntos)
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dirección y el sentido en que se mueven los dos vehículos; el origen de tiempos lo elegiremos en el instante en que ambos están separados los 250 m.
Pasaremos las unidades al S. I.: 61,2 km·h-1 = 17 m·s-1.
a) Para determinar la aceleración del vehículo eléctrico para atrapar a la moto escribiremos las ecuaciones de la posición de ambos móviles en el sistema de referencia elegido, y las igualaremos:
Moto: MRU .
Automóvil: MRUA
Se encontrarán, el vehículo alcanza a la moto, cuando xA = xM, y, en este caso, a los 25 s:
Por tanto, el vehículo debe acelerar con para alcanza a la moto.
b) La posición en la que estarán entonces la obtendremos sustituyendo el tiempo considerado, 25 s, en cualquiera de las dos expresiones de las posiciones de los vehículos:
Luego los vehículos se encuentran a 675 m de la posición de la que partió el automóvil.
La velocidad del automóvil en ese momento la hallaremos a partir de la expresión de la velocidad del mismo que corresponde a la de un MRUA, :
Es decir, en el momento del encuentro el vehículo eléctrico lleva una velocidad de .
c) En este apartado debemos repetir los pasos dados en los apartados a) y b), pero conociendo la aceleración del automóvil y, en consecuencia, determinando el tiempo que transcurre hasta que se produce el encuentro:
Moto: MRU .
Automóvil: MRUA
Se encontrarán, el vehículo alcanza a la moto, cuando xA = xM,
Sólo podemos aceptar la solución 26,45 s, porque no es posible pensar que el automóvil alcance a la moto antes de comenzar a moverse.
De esta manera, el encuentro se produce 26,45 s después de que los vehículos se encuentran distanciados 250 m.
La posición del encuentro sería:
Por tanto, el vehículo alcanza a la moto a los 700 m medidos desde el punto del que parte.
La velocidad que llevará el automóvil:
Es decir, en el momento del encuentro el vehículo eléctrico lleva una velocidad de .
* PARA SUBIR NOTA
6.- En un desafío circense, un jugador de baloncesto debe introducir la pelota en un aro en movimiento. La cesta, que se encuentra a su altura reglamentaria de 3,05 m, se mueve a velocidad constante horizontal de 5,0 m·s-1. El jugador tiene que lanzar la pelota formando un ángulo de 37º con la horizontal cuando el aro se halla a una distancia en la misma horizontal de 6 m. ¿Con qué velocidad debería lanzar el balón y dónde lo encestaría si la pelota sale de sus manos a una altura de 2,0 m? (0,5 puntos)
SOLUCIONES_1º BB__19/4/2017 Estrategia de resolución.- En primer lugar haremos un dibujo y elegiremos un sistema de referencia: el origen de coordenadas lo situaremos en el suelo, mientras que tomaremos el eje X en sentido positivo la dirección y el sentido en que se lanzan el balón y se mueve la canasta; el eje Y lo tomaremos en la vertical del lugar en el que se haya el jugador con el sentido positivo hacia arriba; el origen de tiempos, to = 0, lo elegiremos en el instante en que se produce el lanzamiento del
balón.
Pasaremos las unidades al S. I.: ya están expresadas en el SI.
Para saber con qué velocidad deberá lanzarse el balón, , y dónde lo encestaría, escribiremos las ecuaciones de la posición, x e y, de dicho objeto y de la canasta en el sistema de referencia elegido e igualarlas:
Balón: Movimiento parabólico, ángulo 37º, EjeY: MRUA
Eje X: MRU
Canasta: Movimiento rectilíneo y uniforme: EjeY: reposo
Eje X: MRU
Debemos igualar las posiciones x e y del balón y de la canasta:
Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, y t. Despejaremos el tiempo de la primera ecuación y lo llevaremos a la segunda para obtener la velocidad inicial del balón:
Por tanto, el módulo de la velocidad con que el jugador de baloncesto debe lanzar el balón es de .
Para determinar el punto donde se encesta la bola hallaremos el tiempo que tarda en producirse dicho encuentro, para sustituirlo en las expresiones de la posición de cualquiera de los dos cuerpos:
Esto quiere decir que la pelota se encesta en la posición . A 12,5 m del punto de lanzamiento y a 3,05 m del suelo.
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a) Estrategia de resolución.- La ecuación del movimiento de una partícula que oscila con movimiento armónico simple se escribe en general como: x(t) = A sen (·t + φ) ó x(t) = A cos (·t + φ).
De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener A, y φ:
* La frecuencia angular, , la hallaremos a partir del dato de la frecuencia, f = 10 Hz:
* La amplitud nos la indican directamente: A = 2,5 cm = 0,025 m.
* La constante de fase, φ, se obtiene a partir de las condiciones iniciales, en el instante inicial t = 0 la elongación es 0,020m. - para la función seno:
- para la función coseno:
Vamos a quedarnos con los primeros datos relacionados para ambas expresiones:
b) Estrategia de resolución.- Para determinar la velocidad del objeto en el instante t = 1,5 s, tendríamos que derivar la ecuación del movimiento, la posición en función del tiempo, y después sustituir t por 0,15 s.
Con la expresión en función del coseno:
Para t = 1,5 s
Con la expresión en función del seno:
Para t = 1,5 s
