Uso de software educativo en la enseñanza aprendizaje del álgebra escolar

200  Descargar (0)

Texto completo

(1)

USO DE SOFTWARE EDUCATIVO EN LA

ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA ESCOLAR

LUZ ANGELA CRISTANCHO CONTRERAS

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN EN TECNOLOGÍA

BOGOTÁ

(2)

USO DE SOFTWARE EDUCATIVO EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA ESCOLAR

LUZ ANGELA CRISTANCHO CONTRERAS

Trabajo de Grado para optar por el título de

Magister en Educación en Tecnología

Director

Pablo Alexander Munevar García

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN EN TECNOLOGÍA

BOGOTÁ

(3)
(4)

Dedicatoria

Este trabajo te lo dedico Dios por ayudarme a ser lo que soy hoy, por guiar mis pasos, por darme fuerzas cada vez que he sentido desfallecer, por amarme incondicionalmente, por ser mi ayudador, por proveerme cada vez que lo necesito, por darme sabiduría, por guardar mi vida, por iluminarme cuándo no sabía que más hacer y por estar siempre a mi lado.

(5)

Agradecimientos

Qué bello es saber que siempre tendremos a nuestro lado seres tan maravillosos que iluminan cada día nuestra existencia con su presencia, que nos levantan cuando sentimos desmayar y que con una palabra de aliento fortalecen nuestra vida y nos enseñan que cuando se quiere algo con el alma se lucha por ello, se deja el aliento y el corazón en cada detalle que hará que ese sueño o deseo se haga realidad.

Así que, ¿Qué puedo decir?... Gracias papito Dios por acompañarme en este camino que continúa, por ayudarme, fortalecerme, levantarme cada una de las veces que pensé que ya no podía más, por darme la mejor familia, por aconsejarme a través de ellos, por bendecirme con sus palabras, caricias y disciplina…en fin por todas las grandes y pequeñas cosas que has hecho por mí.

Gracias mami por ayudarme a hacer realidad éste sueño, por ser tan dedicada, fuerte y enseñarme a ser esforzada y a terminar cada una de las cosas que inició. Quedarían cortas estas palabras sino te agradeciera papá por ser tan dulce, fuerte y esforzado por enseñarme el valor que tiene cada una de las cosas que me rodea independientemente de lo grandes o pequeñas que sean. También agradezco a mis hermanos por apoyarme en todas las cosas que he decidido hacer y por brindarme sus manos y hombros cada vez que algo no salía como lo esperaba.

No podría dejar a un lado a mi director Pablo Munévar quién con sus comentarios, sugerencias y ayuda me brindó herramientas importantes y valiosas que hicieron que hoy mi sueño de ser magister se haga realidad.

(6)

Resumen

1.Información General

Tipo de documento Trabajo de grado para optar al título de magister en educación en tecnología.

Acceso al documento Universidad Distrital Francisco José de Caldas – RIUD-

Título del documento Uso de Software educativo en la enseñanza-aprendizaje del álgebra escolar.

Autor(es) Luz Angela Cristancho Contreras Director Pablo Alexander Munevar García

Publicación Digital

Unidad Patrocinante Maestría en Educación en Tecnología

Palabras Claves Software educativo, álgebra, aprendizaje, aritmética

2.Descripción

En este trabajo de grado, se da a conocer la forma en la que el uso de software educativo potencia el aprendizaje del álgebra por parte de los estudiantes. Mostrando aspectos importantes para su selección, en cuanto al establecimiento de unas categorías, dando como resultado la escogencia del software articulate story line 3, en el cual se hace el diseño de las actividades, que buscan potenciar en los estudiantes la interpretación de la letra como número generalizado, incógnita específica y relación funcional.

En este documento también se puede encontrar el soporte teórico que fundamentó el diseño de las actividades, con respecto al recorrido histórico del álgebra, el reconocimiento de los errores y dificultades que suelen presentar los estudiantes en el paso de la aritmética al álgebra, la necesidad de fortalecer los diferentes significados de la letra y lo establecido en los estándares de calidad y en los lineamientos curriculares con respecto a esta temática.

También se encuentran el diseño de las actividades en el software, con su respectiva aplicación y los resultados obtenidos.

3.Fuentes

(7)

http://sedici.unlp.edu.ar/bitstream/handle/10915/24867/Documento_completo.pdf?sequence =1

Acosta, Macías, y Martínez (2009). La enseñanza de Álgebra con NTIC en la universidad. Revista Iberoamericana de Educación, ISSN-e 1681-5653, Vol. 48, Nº. 5, 2009.

Artigue (1998). Ingeniería Didáctica. Recuperado de

http://www.cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/CIFEM/article/viewFile/12/17

Artigue, Douady, Moreno y Gómez (1995). Ingeniería Didáctica en educación matemática.

México: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A de C.V

Barón (1997). Dificultades de los estudiantes en la resolución de problemas donde se involucra la generalización concreta. Tesis para optar al Título de licenciado en Educación Básica con Énfasis en matemáticas, Facultad de Ciencias y Educación, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia.

Bandler y Grinder. Programación neurolingüística. (s.f). Recuperado de http://piagetanos.blogspot.com.co/p/bandler-y-grinder.html

Bolívar y Ontiveros (2006). Propuesta de un software educativo, para la enseñanza de la geometría en la universidad Simón Bolívar. (Tesis de especialización). Universidad Simón Bolívar. Cúcuta. Colombia.

Brousseau (1986). Fundamentos y métodos de la didáctica. [archivo PDF]. Argentina. Universidad Nacional de Córdoba. Recuperado de http://www.famaf.unc.edu.ar/wp-content/uploads/2015/03/BEns05.pdf

Calderón y León (2005). La ingeniería didáctica como metodología de investigación del discurso

en el aula. Recuperado de

http://die.udistrital.edu.co/sites/default/files/doctorado_ud/publicaciones/ingenieria_didactic a_como_metodologia_investigacion_del_discurso_en_aula.pdf

(8)

Cárdenas y Sarmiento (2010). Elaboración de un software educativo de matemática para reforzar la enseñanza – aprendizaje mediante el juego interactivo, para niños de tercer año de educación básica. (Tesis de pregrado). Universidad Politécnica Salesiana. Cuenca. Ecuador. Carvajal y Robles (2003). Procesos de generalización en la transición de la aritmetica al álgebra:

reporte de una experiencia basada en una propuesta para la comprensión de la noción de variable. Tesis para optar al Título de licenciado en Educación Básica con Énfasis en matemáticas, Facultad de Ciencias y Educación, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia.

Chevallard (1988). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. (3ra edición).

[archivo PDF]. Argentina. Aique (Psicología cognitiva y educación). Recuperado de

http://cesee.edu.mx/assets/plan-de-la-ens.-y-ev.-del-aprend.-i.pdf

Cristancho y Medina (2012). Tipos de problemas propuestos en una secuencia didáctica que favorecen el aprendizaje en la transición aritmética-álgebra en estudiantes de grado octavo.

(Tesis de pregrado). Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá, Colombia. Cuestionario de HONEY-ALONSO de estilos de aprendizaje. (s.f). Recuperado de

http://biblio.colmex.mx/curso_formacion_formadores/chaea.pdf

D´ Amore y Fandiño (2002). Un acercamiento analítico al “triángulo de la didáctica”. [archivo

PDF]. México. Educación Matemática. Recuperado de

http://www.dm.unibo.it/rsddm/it/articoli/damore/443%20triangulo%20de%20la%20didactic a.pdf

Farfán (1997). Ingeniería didáctica: Un estudio de la variación y el cambio. [archivo PDF]. México.

Grupo Editorial Iberoamérica. Recuperado de

https://www.researchgate.net/publication/31673962_Ingenieria_didactica_un_estudio_de_la _variacion_y_el_cambio_RM_Farfan_Marquez

Fernández (1997). Aspectos históricos del paso de la aritmética al algebra. Revista de Didáctica de las matemáticas UNO. Vol. 14, octubre. Barcelona: Editorial GRAO

Figueroa (2009). Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Una propuesta para el cuarto año de secundaria desde la teoría de situaciones didácticas.

(9)

http://tesis.pucp.edu.pe/repositorio/bitstream/handle/123456789/4736/FIGUEROA_VERA_ ROCIO_RESOLUCION_DIDACTICAS.pdf?sequence=1

Forero, Cataño y Medina (2016). Teorías y modelos de aprendizaje. Estilos de aprendizaje para la educación en línea. Recuperado de http://piagetanos.blogspot.com/p/bandler-y-grinder.html

Gascón (1999). La naturaleza prealgebraica de la matemática escolar. Educación Matemática, 11 (1), 77 – 88. Recuperado de http://funes.uniandes.edu.co/10170/1/Naturaleza1999Gazcon.pdf Giraldo (2006). Del paso de la aritmética al álgebra para un psicólogo cognitivo: más investigación y menos temas. Revista de la facultad de psicología Universidad Cooperativo de Colombia, vol. 2; número 2.

Gobierno de España, Ministerio de Educación. (s.f). Qué es MALTED. Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado INTEF. Recuperado de

http://malted.cnice.mec.es/presentacion/QMalted.htm

Gómez (1995). Los métodos de cálculo mental en el contexto educativo: un análisis en la formación de profesores. Mathema. Granada: Comares.

Grupo Pretexto (2002). La transición aritmética-álgebra. Bogotá: Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Grupo GAIA.

Inventario de Felder (Modelo de Felder y Silverman) (s.f). Recuperado de

https://www.orientacionandujar.es/wp-content/uploads/2015/11/Test-de-estilos-de-aprendizaje-de-Felder-Felder-y-Silverman.pdf

Kieran y Filloy (1989) El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica.

México: Centro de investigación y estudios avanzados del IPN.

Knuth, Alibali, Mc Nei, Weinberg & Stephens (2005). Middle School Students Understanding of Core Algebraic Concepts: Equivalence & Variable. Zentralblattfür Didaktik der Mathematik [International Reviews on Mathematics Education], 37(1), pp. 68-76.

(10)

Lastra (2005). Propuesta metodológica de enseñanza y aprendizaje de la geometría, aplicada en escuelas críticas. (Tesis de maestría). Universidad de Chile. Santiago. Recuperado de

http://www.tesis.uchile.cl/tesis/uchile/2005/lastra_s/sources/lastra_s.pdf

Legorreta (s.f). Estilos de aprendizaje. Recuperado de

http://cvonline.uaeh.edu.mx/Cursos/BV/Docentes/pdf/Tema2_estilos_aprendizaje.pdf

Malisani (1999). Los obstáculos epistemológicos en el desarrollo del pensamiento algebraico.

Revista IRICE N° 13. Instituto Rosario de Investigaciones en Ciencias de la Educación.

Ministerio de Educación Nacional (1998). Serie Lineamientos curriculares. Recuperado de

http://cmap.upb.edu.co/rid=1HQVXB4Q7-KVRV2Z-7H9/LINEAMIENTOS%20CURRICULARES.pps

Ministerio de Educación Nacional (2003). La revolución educativa estándares básicos de matemáticas y lenguaje, educación básica y media. Recuperado de

http://74.125.47.132/search?q=cache:Gpot_P3e8pEJ:www.colombiaaprende.edu.co/html/me

diateca/1607/articles-70799_archivo.pdf+EST%C3%81NDARES+DE+MATEMATICAS&cd=2&hl=es&ct=clnk &gl=co&client=firefox-a.

Moncada (2008). Tipos de muestreo – Caucasia. Antioquia: Aprende en línea. Recuperado de

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/forum/discuss.php?d=16644&parent=53 026

Montiel (2002). Una caracterización del contrato didáctico en un escenario virtual. (Tesis de maestría). Centro de Investigación y de Estudios Avanzados de Instituto Politécnico Nacional. México. Recuperado de https://didacticaycurriculum.files.wordpress.com/2010/08/montiel-contrato-didc3a1ctico.pdf

Nasheli (2014). Ventajas de utilizar software libre en la educación. Hipertextual. Recuperado de

https://hipertextual.com/archivo/2014/10/ventajas-utilizar-software-libre-educacion/

Olfos (2004). Aportes de la investigación a la enseñanza del álgebra elemental. XII Jornadas Nacionales de Educación Matemática. SOCHIEM Valparaíso. Recuperado de

(11)

Osorio (S.F.). Breve reseña histórica del desarrollo curricular en Colombia. Recuperado de

https://es.calameo.com/read/001567527754aebde2a5d

Oviedo y Arias (2005). Aproximación al uso del coeficiente alfa de Cronbach. Recuperado de

http://www.redalyc.org/pdf/806/80634409.pdf

Parra (2017). Matemáticas como saber escolar en Colombia (1845-1906): gobierno, razón y utilidad. Revista Pedagogía y Saberes. N° 47. Universidad Pedagógica Nacional. Facultad de Educación.

Peral y Díaz (2003). Concepto de variable: Dificultades de su uso a nivel universitario. Revista Mosaicos Matemáticos, N° 11. Universidad de Sonora. Departamento de Matemáticas. Pizarro (2009). Las TICs en la enseñanza de las matemáticas. Aplicación al caso de métodos

numéricos. Recuperado de

http://postgrado.info.unlp.edu.ar/Carreras/Magisters/Tecnologia_Informatica_Aplicada_en_ Educacion/Tesis/Pizarro.pdf

Quintana (2015). Tecnología, sociedad y cultura. (Documento de seminario dentro de la Maestría en Educación en Tecnología. Inédito). Bogotá: Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Rabino, Cuello y De Munno (s.f.). Aprender álgebra utilizando contextos significativos.

Recuperado de http://www.soarem.org.ar/Documentos/22%20Rabino.pdf.

Radford (1997). Una incursión histórica por la cara oculta del desarrollo primitivo de las ecuaciones. Revista de Didáctica de las matemáticas UNO. Vol. 14, Octubre. Barcelona: Editorial GRAO.

Reverte (2014). Diseño, implementación y validación de un ambiente enriquecido con TIC para el

aprendizaje del álgebra en de ESO. Recuperado de

http://www.tdx.cat/handle/10803/283194

Rojas (2010). Iniciación al Álgebra Escolar: Elementos para el Trabajo en el Aula. Memoria 11°. Encuentro Colombiano de Matemática Educativa. Recuperado de

http://funes.uniandes.edu.co/1168/1/115_Iniciacin_al_lgebra_Escolar_Elementos_para_el_T rabajo_en_el_Aula_Asocolme2010.pdf

(12)

Socas, Camacho, Hernández y Paralea (1996). Iniciación al álgebra. Madrid: editorial Síntesis, S.A. Socas (2011). La enseñanza del álgebra en la educación obligatoria. Aportaciones de la

investigación. Revista de Didáctica de las Matemáticas. Números; vol. 77, julio de 2011. Test de dominancia cerebral (s.f). Recuperado de

https://www.psicoactiva.com/tests/herrmann/test-herrmann.htm

Test de estilos de aprendizaje de Kolb (s.f). Recuperado de

https://www.psicoactiva.com/tests/kolb/test-kolb.htm

Trejo (2008). Material de apoyo para la enseñanza del concepto de variable en el álgebra elemental. Tesis para optar al título de licenciado en Matemáticas, Facultad de Matemáticas, Universidad de Veracruzada.

Trigueros, Reyes, Ursini y Quintero (1996). Diseño de un cuestionario de diagnóstico acerca del manejo del concepto de variable en el álgebra. México: revista enseñanza de las ciencias Vol. 14 N° 3

Trigueros y Ursini (1999) La conceptualización de la variable en la enseñanza media. México: revista Educación Matemática Vol. 12 Nº 2.

Trigueros y Ursini (2006). ¿Mejora la comprensión del concepto de variable cuando los estudiantes cursan matemáticas avanzadas? México: Revista Educación Matemática Vol. 18 N° 003

4.Contenidos

Este trabajo se divide en cuatro capítulos, en el primero se muestra la delimitación del problema, los objetivos general y específicos; en el segundo se encuentra la construcción del marco teórico en el que se muestran los antecedentes y el marco teórico, los cuales se fundamentan en dos aspectos relevantes: el software educativo y la transición aritmética-álgebra; en el tercero está el diseño metodológico, enfatizando en la metodología de investigación, la población escogida para la aplicación del trabajo con el software y el diseño de la secuencia de actividades; en el cuarto se dan a conocer los resultados obtenidos de la aplicación de los test de estilos de aprendizaje, del cuestionario diagnóstico con respecto a las interpretaciones de la letra como número generalizado, incógnita específica y relación funcional y de la aplicación de la secuencia de actividades.

Por último, se muestran las conclusiones obtenidas en este ejercicio de investigación y las referencias bibliográficas que fueron el soporte del trabajo realizado.

(13)

La metodología de investigación que se utilizó en este trabajo de grado es una ingeniería didáctica, que entrelaza la trasposición didáctica de Chevallard (1988) y la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau (1998), y que se caracteriza por ser un esquema experimental basado en la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza; la cual se caracteriza por cuatro fases, la de Análisis Preliminar, la de Concepción y Análisis A- Priori, mostrando la manera en la que cada una de estas fases se relacionan con el proyecto de investigación.

Con respecto al diseño de la secuencia de actividades, como se mencionó anteriormente se tiene en cuenta la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau, divididas en Situaciones a-Didácticas (Acción, formulación, validación) y a-Didácticas Institucionalización), haciendo uso del software educativo escogido, de la interpretación de la letra cómo incógnita específica, cómo número generalizado y como relación funcional.

Es importante enfatizar que antes del diseño de las actividades se muestra la selección de un cuestionario diagnóstico elaborado por Trigueros, Reyes, Ursini y Quintero (1996), con el fin de determinar la manera en la que los estudiantes interpretan la letra, de ahí que en la selección de preguntas se tiene en cuenta la letra como incógnita específica, como número generalizado y como relación funcional.

6.Conclusiones

Del proceso de investigación realizado se muestran las conclusiones encaminadas a tres factores relevantes que hicieron parte fundamental de este trabajo. El primero con respecto a la construcción del marco teórico, centrado en la indagación del software educativo, del recorrido histórico de la enseñanza del álgebra y el sustento de la ingeniería didáctica como metodología de investigación. El segundo, con respecto a la metodología de investigación escogida y el tercero, referido al diseño de la secuencia de actividades en el software seleccionado con su respectiva implementación y validación.

Con respecto al diseño de la secuencia de actividades para estudiantes de grado octavo, haciendo uso de software educativo para favorecer el aprendizaje del álgebra fue pertinente, pues los escolares aumentaron su motivación en el trabajo algebraico, además, fue sorprendente ver como aquellos estudiantes que generalmente han presentado dificultad en el trabajo en matemáticas, podían acercarse a sus compañeros para explicarles la manera en la que debían desarrollar las actividades.

Elaborado por: Luz Angela Cristancho Contreras Revisado por: Pablo Alexander Munevar García

Fecha de elaboración del

(14)

Tabla de contenido

Lista de tablas ...16

Lista de figuras ...17

Introducción ...20

Capítulo 1: Delimitación de la investigación ...22

1.1 Planteamiento del problema ... 22

1.2 Objetivos ... 25

1.2.1 General ...25

1.2.2 Específicos ...25

Capítulo 2: Marco teórico ...25

2.1 Antecedentes ... 25

2.1.1 Software educativo ...25

2.1.2 Transición Aritmética-álgebra ...27

2.2 Marco teórico ... 31

2.2.1 SOFTWARE EDUCATIVO ...32

2.2.1.1 ¿Qué es el software educativo? ...32

2.2.1.2 ¿Para qué sirve el software educativo? ...33

2.2.1.2.1 Impacto en la enseñanza ...34

2.2.1.2.2 Impacto en la enseñanza de la matemática ...35

2.2.1.2.1 Impacto en el trabajo de la aritmética y el álgebra ...36

2.2.1.3 Características del software educativo ...37

2.2.1.3.1 Tipos de software educativo en el ámbito matemático ...37

2.2.1.3.1.1 Malted ...37

2.2.1.3.1.2 Squeak ...38

2.2.1.3.1.3 Edilim ...39

2.2.1.3.1.4 E-adventure...39

2.2.1.3.1.5 Articulate Story Line 3 ...40

2.2.1.3.2 Categorías para escoger el software educativo ...40

2.2.2 TRANSICIÓN ARITMÉTICA-ÁLGEBRA ...41

2.2.2.1 Caracterización de la transición aritmética-álgebra ...42

2.2.2.2 Desarrollo histórico de la transición aritmética-álgebra ...43

2.2.2.2.1 El antiguo oriente próximo ...43

2.2.2.2.2 Las escuelas de la “arithmetica” de Diofantes ...44

(15)

2.2.2.2.4 La construcción del álgebra simbólica ...45

2.2.2.2.5 La consolidación del álgebra ...47

2.2.2.3 Definición de variable (letra para Küchemann) ...49

2.2.2.4 Errores y dificultades ...51

2.2.2.4.1 En la transición aritmética-álgebra ...51

2.2.2.4.2 En la enseñanza y aprendizaje del álgebra ...53

2.2.2.4.3 En la enseñanza del concepto de variable ...55

2.2.2.5 Elementos para un mejor tránsito algebraico ...56

2.2.2.6 Estructuración del currículo en Colombia ...59

2.2.3 INGENIERÍA DIDÁCTICA ...62

2.2.3.1 Teoría de situaciones didácticas (TSD) ...62

2.2.3.2 Fases de la ingeniería didáctica...65

2.2.3.2.1 Análisis preliminares ...65

2.2.3.2.2 Concepción y análisis a priori ...66

2.2.3.2.3 Experimentación, análisis a posteriori y validación ...66

Capítulo 3: Diseño metodológico ...67

3.1 Metodología de investigación ... 67

3.1.1 Vinculación de cada una de las fases de la metodología de investigación con el proyecto ...67

3.2 Población ... 69

3.3 Diseño de la secuencia de actividades ... 70

3.3.1 Estructuración test de estilos de aprendizaje ...70

3.3.2 Cuestionario diagnóstico ...71

3.3.3 Estructura del diseño de la secuencia de actividades ...72

3.3.3.1 Situaciones a-didácticas...74

3.3.3.1.1 Situación de acción: Cambio entre lenguajes (Letra como número generalizado) ...74

3.3.2.1.2 Situación de formulación: Encuentra el número desconocido (Letra como incógnita específica) ...79

3.3.2.1.3 Situación de validación: Estableciendo relaciones (Letra como relación funcional) ...81

3.3.2.2 Situaciones didácticas ...83

3.3.2.2.1 Situación de institucionalización: Evaluación ...83

Capítulo 4: Resultados ...86

4.1 Aplicación test de estilos de aprendizaje ... 86

4.1.1 Estilos de aprendizaje según Kolb (1984) ...86

(16)

4.1.3 Estilos de aprendizaje de Honey y Mumford (1992)...88

4.1.4 Modelo de programación neurolingüística de Bandler y Grinder (1988) ...90

4.1.5 Modelo de Felder y Silverman (1988)...90

4.2 Aplicación del cuestionario diagnóstico ...93

4.2.1 Análisis estadísticos...102

4.2.1.1 Letra como incógnita específica ...102

4.2.1.2 Letra como número generalizado...103

4.2.1.3 Letra como relación funcional ...105

4.3 Aplicación secuencia de actividades ... 106

4.3.1 Situación de acción: Cambio entre lenguajes (Letra como número generalizado) estadísticos ...106

4.3.2 Situación de formulación: Encuentra el número desconocido (Letra como incógnita específica) ...130

4.3.3 Situación de validación: Estableciendo relaciones (Letra como relación funcional) ...140

4.3.4 Situación de institucionalización: Evaluación ...152

Conclusiones ...162

Referencias bibliográficas ...166

Anexos ...172

Lista de tablas Tabla 1: Selección software educativo ... 41

Tabla 2: Escalares y magnitudes ... 46

Tabla 3: Evolución de la representación simbólica de las ecuaciones ... 47

Tabla 4: Fases de la evolución del lenguaje algebraico ... 48

Tabla 5: Clasificación de los usos de los literales ... 50

Tabla 6: Fases de la ingeniería didáctica y su vinculación con cada una de las etapas del proyecto... 67

Tabla 7: Fiabilidad del cuestionario diagnóstico ... 67

Tabla 8: Actividad partes de una expresión algebraica ... 73

Tabla 9: Actividad variables dependientes e independientes parte 1 ... 82

Tabla 10: Actividad variables dependientes e independientes parte 2 ... 83

Tabla 11: Resultados estilos de aprendizaje según Kolb ... 87

Tabla 12: Resultados aplicación test de dominancia cerebral de Herrmann ... 87

Tabla 13: Clasificación de los estilos de aprendizaje de Honey y Mumford (1992) ... 88

Tabla 14: Resultados estilos de aprendizaje de Honey y Mumford (1992) ... 89

Tabla 15: Resultados del test de programación neurolinguistica de Bandler y Grinder.. 90

(17)

Tabla 17: Resultados del test de aprendizaje del modelo de Felder y Silverman (1988) 92

Tabla 18: Distribución de los usos de la variable en el cuestionario diagnóstico ... 93

Tabla 19: Resultados obtenidos luego de la aplicación del cuestionario diagnóstico ... 94

Tabla 20: Contraste entre el cuestionario diagnóstico inicial y el modificado ... 95

Tabla 21: Análisis estadísticos de los diferentes usos de la letra ... 102

Tabla 22: Análisis estadístico letra como incógnita ... 103

Tabla 23: Análisis estadístico letra como número generalizado... 104

Tabla 24: Análisis estadístico letra como relación funcional ... 105

Tabla 25: Análisis de fiabilidad alfa de Cronbach Situación de acción ... 121

Tabla 26: Análisis estadístico situación de acción: Cambio entre lenguajes 701, 702, 801, 802... 122

Tabla 27: Análisis estadístico situación de acción. Actividad 1 frecuencia y porcentaje 701, 702, 801, 802... 123

Tabla 29: Análisis estadístico situación de acción. Actividad 2 frecuencia y porcentaje 701, 702, 801, 802... 126

Tabla 30: Análisis estadístico situación de acción. Actividad 3 frecuencia y porcentaje 701, 702, 801, 802... 126

Tabla 31: Análisis estadístico situación de acción. Actividad 4 frecuencia y porcentaje 701, 702, 801, 802... 127

Tabla 32: Análisis estadístico situación de acción. Actividad 5 frecuencia y porcentaje 701, 702, 801, 802... 128

Tabla 33: Análisis de fiabilidad alfa de Cronbach Situación de formulación ... 135

Tabla 34: Análisis estadístico situación de formulación 701, 702, 801, 802 ... 135

Tabla 35: Análisis estadístico situación de formulación. Actividad 1 frecuencia y porcentaje 701, 702, 801, 802 ... 136

Tabla 36: Análisis estadístico situación de formulación. Actividad 2 frecuencia y porcentaje 701, 702, 801, 802 ... 138

Tabla 37: Análisis de fiabilidad alfa de Cronbach Situación de validación ... 144

Tabla 38: Análisis estadístico situación de Validación. 701, 702, 801, 802 ... 145

Tabla 39: Análisis estadístico situación de Validación. Actividad 1, 701, 702, 801, 802 ... 146

Tabla 40: Análisis estadístico situación de Validación. Actividad 2, 701, 702, 801, 802 ... 148

Tabla 41: Análisis estadístico situación de Validación. Actividad 3, 701, 702, 801, 802 ... 149

Tabla 42: Análisis estadístico situación de Validación. Actividad 4, 701, 702, 801, 802 ... 151

Lista de figuras Figura 1: Estructura del marco teórico ... 31

Figura 2: Representación gráfica del software MALTED... 36

Figura 3: Representación gráfica del software SQUEAK ... 37

Figura 4: Representación gráfica del software EDILIM ... 38

(18)

Figura 6: Representación gráfica del software ARTICULADE STORY LINE 3 ... 39

Figura 7: Representación de la palabra griega arithmos... 43

Figura 8: Triángulo isósceles ... 54

Figura 9: Módulo de inicio del software ... 68

Figura 10: Selección del avatar ... 68

Figura 11: Módulo de organización de los temas del software ... 68

Figura 12: Fiabilidad del cuestionario diagnóstico con el alfa de Cronbach ... 82

Figura 13: Resultados de la letra como incógnita... 90

Figura 14: Análisis estadístico letra como número generalizado ... 91

Figura 15: Análisis estadístico letra como relación funcional ... 92

Figura 16: Explicación ingreso al software ... 93

Figura 17: Explicación de los pantallazos tomados por los estudiantes en el desarrollo de la primera actividad... 94

Figura 18: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Recorrido histórico del uso de la letra .... 94

Figura 19 : Modulo 1 cambio entre lenguajes: De la edad media al renacimiento parte 1 ... 95

Figura 20 : Modulo 1 cambio entre lenguajes: De la edad media al renacimiento parte 2 ... 95

Figura 21: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Construcción del álgebra simbólica ... 95

Figura 22: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Consolidación del álgebra ... 96

Figura 23: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Actividad 1 ... 96

Figura 24: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Pantallazos de los resultados de la primera actividad por parte de un estudiante... 96

Figura 25: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Actividad 2 ... 97

Figura 26: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Resultados de la actividad 2 por parte de uno de los estudiantes ... 97

Figura 27: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Partes de una expresión algebraica ... 98

Figura 28: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Actividad 3 ... 98

Figura 29: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Cuadro para completar las partes de expresiones algebraicas dadas... 99

Figura 30: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Del lenguaje algebraico al cotidiano ... 99

Figura 31: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Actividad 4 ... 100

Figura 32: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Relacionando expresiones matemáticas con enuncuiados verbales ... 100

Figura 33: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Actividad 5 ... 100

Figura 34: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Solución antividad paso del lenguaje algebraico al cotidiano ... 101

Figura 35: Modulo Inicial: Temas del software educativo ... 101

Figura 36: Interacción de los estudiantes con el software ... 102

Figura 37: Muestra del trabajo de los estudiantes primera y segunda actividad ... 104

Figura 38: Muestra trabajo de los estudiantes tercera actividad parte 1 ... 105

Figura 39: Muestra trabajo de los estudiantes tercera actividad parte 2 ... 105

Figura 40: Muestra trabajo de los estudiantes tercera actividad parte 3 ... 105

(19)

Figura 42: Muestra trabajo de los estudiantes cuarta actividad parte 1 ... 106

Figura 43: Muestra trabajo de los estudiantes cuarta actividad parte 2 ... 106

Figura 44: Muestra trabajo de los estudiantes quinta actividad parte 1 ... 107

Figura 45: Muestra trabajo de los estudiantes quinta actividad parte 2 ... 108

Figura 46: Modulo de inicio a la sesión de encuentra el número desconocido ... 117

Figura 47: Modulo 2 encuentra el número desconocido: ecuaciones ... 117

Figura 48: Modulo 2 encuentra el número desconocido: partes de una ecuación ... 117

Figura 49: Modulo 2 encuentra el número desconocido: vídeo explicativo ecuaciones 118 Figura 50: Modulo 2 encuentra el número desconocido: Actividad 1 ... 119

Figura 51: Modulo 2 encuentra el número desconocido: Actividad 2 ... 119

Figura 52: Muestra del trabajo realizado por los estudiantes del módulo 2 encuentra el número desconocido ... 120

Figura 53: Muestra del trabajo realizado por los estudiantes del módulo 2 encuentra el número desconocido. Actividad 1... 121

Figura 54: Muestra del trabajo realizado por los estudiantes del módulo 2 encuentra el número desconocido. Actividad 2... 121

Figura 55: Ingreso módulo 3 ... 125

Figura 56: Módulo 3: Estableciendo relaciones. Explicación variables dependientes e independientes... 125

Figura 57: Módulo 3: Estableciendo relaciones. Vídeo explicativo ... 126

Figura 58: Módulo 3: Estableciendo relaciones. Actividad ... 127

Figura 59: Módulo 3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes ... 127

Figura 60: Módulo 3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes. Actividad 1 ... 128

Figura 61: Módulo 3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes. Actividad 1a ... 128

Figura 62: Módulo 3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes. Actividad 1b ... 129

Figura 63: Módulo 3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes. Actividad 1c ... 129

Figura 64: Módulo 3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes. Actividad 1d ... 129

Figura 65: Evaluación final ... 137

Figura 66: Evaluación final pregunta 1 ... 138

Figura 67: Evaluación final pregunta 2 ... 139

Figura 68: Evaluación final pregunta 3 ... 139

Figura 69: Evaluación final pregunta 4 ... 139

Figura 70: Evaluación final pregunta 5 ... 141

Figura 71: Evaluación final pregunta 7 ... 143

Figura 72: Evaluación final pregunta 8 ... 144

Figura 73: Evaluación final pregunta 9 ... 145

(20)

INTRODUCCIÓN

La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas exige, que los alumnos interactúen entre sí, con el medio que les rodea y con el profesor, de ahí que el docente debe ser creativo para captar la atención de sus estudiantes, presentarles tareas y actividades que sean de su agrado y que permitan que la clase sea diferente para que el ambiente no se torne monótono, de esta manera Duarte (2004) menciona que:

Dentro del mundo de la escuela, tal vez es en el aula de clases donde se ponen en escena las más fieles y verdaderas interacciones entre los protagonistas de la educación intencional, maestros y estudiantes. Una vez cerradas las puertas del aula se da comienzo a interacciones de las que sólo pueden dar cuenta sus actores. Es aquí donde el maestro se hace y se muestra, aquí ya los deseos se convierten en una realidad, ya no es el mundo de lo que podría ser, sino el espacio de lo que es. (p. 9)

Es por esta razón que en este proyecto de grado se plantea la necesidad de diseñar una secuencia de actividades, tomando como fundamento el uso de software educativo que favorezcan la transición de la aritmética al álgebra en estudiantes de grado octavo, teniendo en cuenta la construcción de un medio de aprendizaje donde los protagonistas sean los estudiantes interactuando con los demás compañeros y el maestro. Así, el presente trabajo se divide en cuatro capítulos distribuidos de la siguiente manera:

En el capítulo 1 o Delimitación de la investigación se mostrará el porqué del problema de investigación con su respectiva justificación, cuatro preguntas orientadoras y los objetivos que se derivaron de ello.

Así, en el capítulo 2 o Marco teórico se muestran los antecedentes que aportaron al problema de investigación y la construcción del marco teórico en el que se tienen en cuenta tres grandes categorías, la primera refiere al software educativo, dando respuesta a interrogantes como: ¿Qué es el software educativo?, ¿Para qué sirve? y mostrando las características que este posee; Haciendo la selección minuciosa del software educativo con el que se va a trabajar en este proyecto.

(21)

interpretaciones que se tienen de la variable (letra para Küchemann), además se muestran los elementos necesarios para que exista un mejor transito algebraico.

Y la tercera con respecto al sustento teórico que fundamenta a la ingeniería didáctica como metodología de investigación, en la cual se entrelazan la transposición didáctica de Chevallard y la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau. Se caracteriza por ser un esquema experimental basado en la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza; La cual se caracteriza por tres fases, la de análisis Preliminar y la de Concepción y Análisis A- Priori y la de experimentación, análisis a posteriori y validación.

En el Capítulo 3 o Diseño metodológico, partiendo de la ingeniería didáctica, como metodología de investigación se muestra la manera en la que cada una de las fases que la conforman se vinculan con las etapas a desarrollar en este trabajo de investigación. Se da a conocer la selección de un cuestionario diagnóstico elaborado por Trigueros, Reyes, Ursini y Quintero (1996), con el fin de determinar la manera en la que los estudiantes interpretan la letra, de ahí que en la selección de preguntas se tiene en cuenta la letra como incógnita específica, como número generalizado y como relación funcional.

Además, se muestra el diseño de la secuencia de actividades teniendo en cuenta la teoría de situaciones didácticas de Brousseau, divididas en Situaciones a-Didácticas, acción, formulación, validación y Didácticas de Institucionalización, haciendo uso del software educativo escogido, de la interpretación de la letra cómo incógnita específica, cómo número generalizado y como relación funcional.

En el capítulo 4 o Resultados, se muestran los resultados que se obtuvieron de la aplicación del cuestionario diagnóstico, mostrando el resultado obtenido del índice de confiabilidad de Cronbach, la reestructuración del cuestionario y el análisis estadístico de los diferentes usos de la letra, como incógnita específica, número generalizado y relación funcional.

(22)

En las conclusiones, se muestran los aprendizajes obtenidos en este ejercicio de investigación, los avances que tuvieron los estudiantes luego de su acercamiento al software educativo, el impacto que tuvo en ellos y la importancia de hacer uso de este tipo de estrategias en el aula de clase.

CAPÍTULO 1: DELIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El Grupo Pretexto1 (2002), menciona que al comenzar el estudio del álgebra los educandos traen consigo las nociones que usaban en aritmética, lo cual requiere de ellos un cambio en la estructura de las situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales sobre números y operaciones, pues continúan realizando los métodos que les funcionaban en aritmética, presentando dificultades con la interpretación del signo igual, pues lo continúan viendo como el encargado de dar un resultado final y no como una relación de equivalencia entre las dos partes que están involucradas en él.

Además, al encontrar la unión de un número y una letra, presentan problemas de concatenación pues en la aritmética la operación matemática que se encontraba implícita era una adición, lo que ahora en álgebra es una multiplicación. Ocasionando que presenten dificultad con algunas convenciones que se trabajan en álgebra.

También, es importante resaltar que carecen de la habilidad para expresar formalmente los métodos que usan para resolver problemas. Por lo que nace la necesidad de crear una propuesta en la que se haga uso de software educativo en el aula con el fin de realizar un acercamiento más significativo entre el uso del lenguaje cotidiano y su transformación al algebraico.

Además, Balacheff & Kaput (citados por Abrate & Pochulu, 2005) han señalado que: el impacto de las herramientas computacionales se encuentra en el carácter epistemológico, ya que éstas han generado un nuevo realismo matemático. Puesto que los objetos virtuales que aparecen sobre la pantalla se pueden manipular de forma tal que se genera una sensación de existencia casi material, dando la posibilidad de introducir cambios y comprobar el efecto de los mismos. En otras

1 Es un grupo de investigación de la universidad distrital, conformado por los docentes

(23)

palabras, podemos decir que estos objetos sobre la pantalla son modelos manipulables de objetos matemáticos. Estos modelos, contribuyen a una mayor interrelación entre la exploración y la sistematicidad, ya que ofrecen mayor capacidad de cálculo, y mayor poder expresivo y flexibilidad en la transferencia entre sistemas de representación. (p.5)

De acuerdo con lo mencionado anteriormente, se puede establecer que el uso de herramientas computacionales, ayuda a que los estudiantes al tener la oportunidad de interactuar con elementos que dejan de ser abstractos para convertirse en manipulables, logren apropiarse del objeto de enseñanza que se está trabajando con ellos en el aula y puedan potenciar sus capacidades de cálculo y análisis matemático.

También, Calles (2015), resalta que en el campo del álgebra diversos autores han realizado numerosos estudios sobre la influencia de las TIC en su aprendizaje. Señalando los siguientes puntos en el empleo de las TIC aplicadas a la enseñanza:

→ Elevan la motivación y mejoran la comunicación de los estudiantes.

→ Mejoran la eficacia comunicativa entre profesores(as) y alumnos(as), al crearse un diálogo que permite romper las barreras espacio-temporales.

→ El aprendizaje se interioriza de un modo más eficiente y duradero.

→ Creación de una atmósfera cálida para el aprendizaje.

→ Mejora en la organización del conocimiento, de forma que permiten crear interrelaciones entre los distintos conceptos. (P.37)

Ahora bien, es importante resaltar que el uso de las TIC en el aula de clase “permite a los estudiantes con pocas destrezas simbólicas y numéricas desarrollar estrategias para poder resolver situaciones problemáticas” (Calles, 2005, p.37). Lo que nos lleva a potenciar dichas habilidades y a centrar nuestra atención en el uso efectivo que se puede hacer de los recursos digitales en la escuela.

Además, es importante tener en cuenta la evolución del currículo con respecto a la enseñanza de las matemáticas, específicamente en la iniciación del álgebra, dado que históricamente no era necesario fortalecer el paso de la aritmética al álgebra, pues hacía los años 1810 - 1819 en Colombia, seguía el modo de enseñanza escolástico heredado de la colonia, el cual se centraba en la enseñanza de “la lectura, la escritura dibujos

(24)

infantil” (Parra, 2017, p. 99). Cabe resaltar que se impartía la enseñanza del álgebra de una manera formal y científica. Fue a partir de la carta constitucional de 1991, que se abre un espacio importante para la renovación educativa en Colombia y se centra la atención en el estudiante como constructor del conocimiento y no como un receptor pasivo.

Según lo mencionado anteriormente se puede evidenciar que el paso de la aritmética al álgebra no se evidencia en la construcción de los currículos educativos que se han manejado en Colombia, pues estos han sido construidos por las necesidades que se van presentando en la sociedad. Lo cual se sigue viendo reflejado en los estándares y en los lineamientos curriculares de matemáticas; Pues, aunque se intentan mostrar los aprendizajes que deben obtener los estudiantes en cada ciclo, no se evidencia de forma clara la manera en la que se debe hacer dicha transición.

De ahí que, el Ministerio de Educación Nacional (2003) en los estándares de calidad, establecidos para grado octavo en el pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos, menciona que: “los estudiantes deben construir expresiones algebraicas equivalentes a otra dada y utilizar métodos informales (ensayo y error, complementación)” (p.85), lo cual lleva a que para el desarrollo de este trabajo de grado, se considere relevante la implementación de situaciones problema enfocadas en la construcción de expresiones que permitan a los escolares hacer procesos de razonamiento, tomando como base fundamental el uso de software educativo en el aula de clase.

Preguntas orientadoras:

1. ¿Cuáles serán las pautas que guiarán la selección de software educativo que permita hacer un paso exitoso de la aritmética al álgebra?

2. ¿Cómo construir el marco de referencia que satisfaga el diseño de una secuencia de actividades, haciendo uso de software educativo y que potencie en los estudiantes el aprendizaje del álgebra?

3. ¿Cómo seleccionar la información pertinente que evidencie el recorrido histórico de la transición aritmética-álgebra?

(25)

1.2.OBJETIVOS

1.2.1. GENERAL

Diseñar y evaluar una secuencia de actividades para estudiantes de grado octavo, haciendo uso de software educativo que favorezca el aprendizaje del álgebra.

1.2.2. Específicos

• Construir un marco referencial evidenciando las dificultades que se presentan en la transición aritmética – álgebra; que soporte y oriente el diseño de la secuencia de actividades y el establecimiento del uso de software educativo que permita superarlas.

• Seleccionar software educativo pertinente para el aprendizaje del álgebra en el contexto escolar.

• Implementar y evaluar una secuencia de actividades bajo la teoría de situaciones didácticas, haciendo uso de software educativo.

CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO

2.1.ANTECEDENTES

Tomando como referencia que el objetivo general de este trabajo de grado es diseñar una secuencia de actividades para estudiantes de grado octavo, haciendo uso de software educativo que favorezca el aprendizaje del álgebra, a continuación se mostrará una caracterización del uso de software educativo que se abordará en el diseño metodológico de éste trabajo, así como aspectos relevantes y característicos en torno a la transición aritmética-álgebra, exponiendo parte del desarrollo histórico del lenguaje y notación matemática, la concepción del álgebra y la noción de variable y letra para el Grupo Pretexto. Para finalizar, se presentarán algunos aportes legales en cuanto a la transición aritmética-álgebra. De esta manera el énfasis del proyecto se centra en la notación y el lenguaje, ya que es relevante en el inicio del aprendizaje del álgebra.

2.1.1. Software educativo

(26)

(2007) (citado por Reverte, 2014) tras realizar una experiencia con el ordenador y nuevos materiales interactivos, afirma que: “En el empleo de una metodología basada en las TIC, el alumnado responde de una forma muy positiva en todos los niveles educativos, aumentando su interés y motivación en las clases de esta asignatura” (p. 7)

Además, Llorens & Capdeferro (2011), (citados por Reverte, 2014) resaltan que el

elevado uso de las redes sociales por parte de los adolescentes, junto a las posibilidades pedagógicas para el aprendizaje y el trabajo cooperativo:

→ Favorece la cultura de comunidad virtual y el aprendizaje social.

→ Soporta enfoques innovadores para el aprendizaje.

→ Motiva a los estudiantes.

→ Permite la presentación de contenidos significativos a través de materiales auténticos.

→ Permite la comunicación síncrona y asíncrona. (p.233)

Por su parte, Acosta, Macías & Martínez (2009), al realizar un estudio con estudiantes de la asignatura Matemática I (Álgebra) correspondiente al 1er año de la Licenciatura en Sistemas de Información, evidenciaron que la problemática que dio origen a su iniciativa fue fundamentalmente la superpoblación de las aulas; en clases de trabajos prácticos de la asignatura, un docente atiende aproximadamente a 120 alumnos, con una totalidad de aproximadamente 1.100 alumnos cursando la asignatura; esta situación instaló el problema de la masividad ante la falta de recursos. Por lo que buscaban resolver este problema con alguna solución innovadora, realizable en corto tiempo y de bajo costo. Por lo que descubrieron, que

las experiencias a nivel nacional e internacional dan cuenta de beneficios de los sistemas educativos virtuales —acortan y mejoran los ciclos de aprendizaje, favorecen nuevas formas de comunicación docente-alumno, minimizan los problemas de espacio físico, favorecen la responsabilidad del alumno y lo independizan del tiempo y del lugar de estudio—, por lo que hicieron la

incorporación de Nuevas Técnicas de Información y Comunicación NTIC. (p.1) También, es importante resaltar que el uso de las NTIC sirve para potenciar en los

(27)

De ahí, que es importante que podamos sacarle el mayor provecho al uso de los recursos digitales y es bajo esta premisa que el uso de software educativo permite facilitar los procesos de enseñanza y de aprendizaje, por lo que Marqués (1996) (citado por Pizarro, 2009) resalta que:

Los softwares educativos pueden tratar temas relacionados a matemática, geografía,

historia, idiomas, entre otras disciplinas. Si bien pueden existir diversas formas de abordar estos contenidos y al mismo tiempo perseguir un fin didáctico, todos comparten, cinco características fundamentales:

• Poseen una finalidad didáctica desde el momento de su elaboración.

• Utilizan la computadora como soporte en el que los alumnos realizan las actividades que ellos proponen.

• Son interactivos. Contestan inmediatamente las acciones de los estudiantes y permiten un diálogo y un intercambio de informaciones entre el ordenador y los estudiantes.

• Individualizan el trabajo de los estudiantes, ya que se adaptan al ritmo de cada uno y pueden modificar sus actividades según las actuaciones de los alumnos.

• Son fáciles de usar. Los conocimientos informáticos necesarios para utilizar la mayoría de estos programas son similares a los conocimientos de electrónica necesarios para usar un vídeo, es decir, son mínimos, aunque cada programa tiene sus propias reglas de funcionamiento que es necesario conocer. (p.15) 2.1.2. Transición aritmética-álgebra

Kieran & Filloy (1989) hacen una investigación respecto al aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica aplicando unos cuestionarios a 2820 estudiantes británicos de secundaria, con el fin de evidenciar que no sólo en ciertos cursos se presentan dificultades, sino que se dan en la mayoría de la secundaria.

(28)

También, Barón (1997), estableció que algunos estudiantes de grado octavo presentan dificultades cuando desarrollan tareas correspondientes al último nivel de las operaciones concretas; tales problemas se refieren a la generalización de patrones y al manejo de conceptos matemáticos acerca de: números, operaciones aritméticas, y su combinación, interpretación de valores literales, necesidad de clausurar operaciones e interpretación de la operación inversa.

A su vez, Kieran (1989) (citado por Barón, 1997) muestra que algunas de las dificultades que presentan los estudiantes que inician en el estudio del álgebra son: El significado de las letras, el cambio a un tipo de convenciones distintas de las que se usan en aritmética, el reconocimiento y uso de una estructura. A partir de este se establecieron unas categorías de análisis: números y operaciones, combinación de operaciones, sustitución por el numeral, operación inversa y necesidad de clausura.

Con esta investigación Barón (1997), evidenció que los estudiantes a los que se le realizó el estudio no relacionaban los diferentes contenidos en el álgebra y debido a ello no tenían una buena compresión de ésta, lo que ocasionaba que se presentarán dificultades en la interpretación de la variable, en sus diferentes usos, ya que esta tiene diferentes significados dependiendo de cómo se utilice; también se presentaron serias dificultades al momento de generalizar los patrones, pues a los estudiantes se les hacía más complicado tomarlo simbólicamente, que de una forma general.

Así mismo Trigueros & Ursini (1999), efectuaron una investigación respecto a la conceptualización de la variable en la enseñanza media, la cual se realizó a 98 alumnos distribuidos en todos los niveles escolares de secundaria con edades comprendidas entre los 12 y los 15 años de edad, de preparatoria entre los 16 y 18 años de edad y un grupo de estudiantes recién ingresados a la universidad, a quienes se les aplicó un cuestionario con el fin de determinar la forma en la que ellos interpretan, simbolizan y manipulan la variable en sus distintos usos.

La clasificación de las respuestas dadas por los estudiantes al cuestionario se dividió en correctas, incorrectas y, no contestadas, con el fin de realizar un análisis cuantitativo global por grupo y por alumno, determinando así la forma en que los docentes influyen en la capacidad que tienen los alumnos para trabajar con los distintos usos de la variable.

Los resultados obtenidos en la conceptualización de la variable como incógnita son:

(29)

analítica y el cálculo, en las que se hace menos énfasis en el uso de la variable como incógnita. Resulta dramática, en general, la poca capacidad de los alumnos para manipular la variable.

En cuanto al número general se concluye que:

• A lo largo de los tres primeros años de secundaria los cambios en la comprensión de la variable como número general son mínimos.

• Se observó que el porcentaje de aciertos logrado por los estudiantes que están por terminar los cursos de álgebra son menores que en los otros grados.

• El uso de la variable como incógnita y número general ha sido firmemente comprendido por los estudiantes, dado que el tipo de respuestas que domina está fuertemente influenciado por el uso de la variable enfatizado en la instrucción en ese momento.

Con esta investigación se da a conocer que cuando los estudiantes se enfrentan por primera vez con el concepto de variable su preocupación fundamental es darle sentido a los símbolos que se usan para representarlo; también se observa que, a lo largo de varios ciclos escolares, la capacidad para simbolizar la variable supera las capacidades para interpretarla y manipularla, mostrando así que a lo largo de la enseñanza del álgebra se resalta la importancia que tiene desarrollar una buena capacidad de manipulación.

(30)

Por otro lado, Carvajal & Robles (2003) realizan una investigación acerca de los

Procesos de generalización en la transición aritmética al álgebra, a partir de un reporte de una experiencia basada en una propuesta para la comprensión de la noción de variable teniendo como referencia los estudios de Mason; muestran que los procesos de generalización pueden ser un camino para la comprensión del álgebra, aplicando de esta manera una serie de instrumentos de recolección de información que les ayudó a concluir que: la producción de lenguajes es un elemento esencial dentro del desarrollo de las actividades, para que los estudiantes logren encontrar las relaciones que se pueden derivar de cada una de ellas.

También, exponen que la manifestación simbólica de estudiantes de grado séptimo surge a lo largo del trabajo desarrollado en las actividades por la necesidad de expresar lo general, mientras, describen una regla general; además dicen que, dentro de los procesos de generalización, la simbolización, surge como estrategia de resolución, contribuyendo a la construcción de argumentos, procedimientos que se han complejizados.

En cuanto al aprendizaje del álgebra Rabino, Cuello, & Munno (s.f.) realizaron un estudio en cuanto a aprender álgebra utilizando contextos significativos proponiendo unas actividades a partir de la teoría expuesta sobre el álgebra y sus dificultades.

Con lo que logran alcanzar que para el éxito en el desarrollo de la resolución de problemas se deben plantear situaciones concretas sobre la cotidianidad, donde el estudiante pueda plantear estrategias a partir de las expresiones coloquiales llegando a las expresiones formales y por ende a la solución de la situación algebraica, y de esta manera se puede llegar a implementar algunas estrategias como el ensayo-error, el razonamiento con los diferentes cambios (trueque), la tabla de combinaciones (tabla de doble entrada) de forma implícita.

(31)

Los aportes obtenidos de las investigaciones de los autores expuestos anteriormente a este proyecto son:

➢ Los procesos de generalización pueden ser un camino para la comprensión del álgebra, por lo que es importante dejar que los estudiantes expresen las generalizaciones a las que llegan en la resolución de un problema, en su lenguaje habitual o con sus propios símbolos y convenciones.

➢ Es necesario que el docente tenga en cuenta para su labor al estudiante, al saber y a las posibles relaciones que se puedan presentar entre ellos y contextualizar los problemas que se le presentan al estudiante al abordar el álgebra, ya que esto le ayudaría a entenderla y aplicarla en situaciones de la cotidianidad.

➢ Se debe tener en cuenta que entre las dificultades que presentan los estudiantes de grado octavo en torno a la transición aritmética-álgebra se encuentran: la generalización de patrones, interpretación de valores literales (letras para Kieran y variable para Ursini y Trigueros), la necesidad de clausurar operaciones, la interpretación de la operación inversa, la interpretación del signo igual, dado que ellos no lo ven como una relación de equivalencia sino como la señal de que debe existir un resultado puntual; de igual forma suelen utilizar la misma letra (variable) al mencionar dos números distintos y no logran relacionar los conocimientos previos y los que se quieren abordar.

2.2.MARCO TEÓRICO

Tomando como referencia lo explicitado en los antecedentes, en la figura 1 se muestra la organización que tiene el marco teórico, en el que se mostrará la definición de software educativo, su funcionalidad y caracterización. Estableciendo los tipos de situaciones que se abordarán en el diseño de la secuencia de actividades, tomando como fundamento la metodología de investigación de la ingeniería didáctica, así como aspectos relevantes y característicos en torno a la transición aritmética-álgebra, exponiendo parte del desarrollo histórico del lenguaje y notación matemática, la concepción del álgebra y la noción de variable (letra para el Grupo Pretexto), se presentarán algunos aportes legales en cuanto a la transición aritmética-álgebra, y para finalizar se muestra la estructuración de la ingeniería didáctica como metodología de investigación, explicando su fundamentación y cada una de sus fases.

(32)

Figura 1. Estructura del marco teórico I. Elaboración propia del autor

2.2.1 SOFTWARE EDUCATIVO

2.2.1.1 ¿Qué es el software educativo?

En primer lugar, se definirá el término software educativo, tomando como referencia lo planteado por Marqués (1996) (citado por Pizarro, 2009) quien resalta que “Con la expresión “software educativo” se representa a todos los programas educativos y didácticos creados para computadoras con fines específicos de ser utilizados como medio didáctico, para facilitar los procesos de enseñanza y de aprendizaje” (p.13)

SOFTWARE EDUCATIVO ¿Para qué sirve? Caracterización TRANSICIÓN ARITMÉTICA-ÁLGEBRA

Caracterización Desarrollo histórico

Definición de variable

Errores y dificultades

Elementos para un mejor

transito algebraico

(33)

2.2.1.2 ¿Para qué sirve el software educativo?

Mucho se ha hablado con respecto a la manera en la que han avanzado las nuevas tecnologías de la información y la comunicación, lo que nos lleva a mirar cuál debería ser el papel que debe tener la escuela, pues se creería que deberíamos encontrarnos a la vanguardia y trabajar de la mano con estos avances. Lo que nos impulsa a mostrar en el aula las grandes ventajas que la tecnología tiene, pues en su gran mayoría los jóvenes suelen hacer uso de las redes sociales y de juegos online, desperdiciando las múltiples ventajas que tiene y ofrece la red.

De ahí que podemos potenciar en nuestros estudiantes hábitos de estudio, que logren desarrollar cursos virtuales, que puedan tener un acercamiento a tutores en línea que les puedan ayudar a solucionar dudas que en el aula por diversas razones no se pueden abordar, que logren potenciar sus habilidades de escritura, lectura y escucha, por medio de los canales cada vez más amplios de comunicación y de participación en la red.

Además, la escuela se muestra como “lugar de encuentro, formación y uso de estas tecnologías, dando un espacio de oportunidad, a la escolaridad, de incidir en la formación y construcción de relaciones de la generación interactiva con el mundo digital” (Quintana, 2015, p.43).

Lo que nos demanda la “obligación” de impactar a las nuevas generaciones desde la escuela para que logren dejar huellas significativas no solo en el campo de la educación sino también en otros ámbitos como el económico y el político.

Pues, así como ha ido evolucionando la tecnología, también lo han hecho las nuevas generaciones, quienes han demarcado nuevas formas de relacionarse y de construir su cultura, por medio del consumo y uso de los nuevos medios de comunicación y de la hiperconectividad.

Además, Marqués (2000) (citado por Bolívar & Ontiveros, 2006) presenta cinco características que distinguen y especifican la función de los softwares educativos las cuales son:

Finalidad didáctica: están elaborados con una intención pedagógica y en función de unos objetivos de enseñanza.

(34)

Interacción: estimulan la participación del estudiante y el intercambio de información entre el estudiante y el ordenador.

Individualización del trabajo: le permiten al estudiante o usuario trabajar de forma individual, de acuerdo con su propio ritmo de aprendizaje.

Facilidad de uso: los conocimientos requeridos para el uso de estos programas son mínimos. El usuario o estudiante, sólo debe seguir las instrucciones que el programa ofrece, tanto para acceder a él como para navegar en él. (p.38)

Ahora bien, bajo este escenario surge la necesidad de hacer un uso efectivo de software educativo en el aula de clase, pues potencia las habilidades de los estudiantes y les ayuda a apropiarse mejor de las temáticas que se trabajan. Por lo que a continuación se mostrará el impacto que tiene tanto para la enseñanza como para el trabajo matemático y en especial para el aprendizaje del álgebra y la aritmética.

2.2.1.2.1 Impacto en la enseñanza

En las últimas décadas se han intentado transformar algunos de los modelos de enseñanza que han sido de utilidad en la escuela pero que no han impactado de manera significativa en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los escolares. Pues en muchos casos lo que se ha venido trasmitiendo es la memorización de conceptos dejando de lado su aplicabilidad en el mundo cotidiano. Razón por la cual surgen los nuevos medios de comunicación e información con el fin de brindarle al docente la posibilidad de repensar sus prácticas en el aula, para que pueda apoyarse en herramientas que aparte de impactar a los estudiantes le ayudan a que su labor sea más amena. Por lo que Cárdenas y Sarmiento (2010) resaltan que:

La tecnología no es una actividad educativa en sí misma, sino una herramienta o un medio para alcanzar el fin de una educación de mayor calidad…La introducción de las tecnologías de la información y la comunicación en los sistemas educativos ofrece gran cantidad de ventajas para la enseñanza como, por ejemplo: Adaptación a la nueva economía; posibilidad de igualar las posibilidades de acceso a la educación; mayor interacción entre los protagonistas de la educación; facilidad en el aprendizaje y la capacitación a lo largo de la vida y la posibilidad de adaptarse a las necesidades e intereses de los estudiantes. (p. 118)

(35)

podemos reforzar los contenidos que necesitamos abordar en el aula y hacerlo de una manera más dinámica.

2.2.1.2.2 Impacto en la enseñanza de la matemática

Generalmente, el estudio de la matemática se concibe por algunos de los estudiantes como algo tedioso y poco entretenido. Pues, por años su estudio se había limitado a la repetición de fórmulas sin sentido para ellos, pues no se les mostraba el origen y necesidad de éstas, sino que se basaba su enseñanza únicamente en su aplicabilidad en el momento de resolver ejercicios o problemas.

Pero al hacer uso de programas de índole matemático se puede involucrar a los estudiantes en la demostración matemática de muchos de los planteamientos que se abordan en esta área, permitiéndoles que puedan comprender el porqué de su uso y la manera en la que se puede aplicar. Pues se cree que para el caso de la educación secundaria el trabajo en el aula debe ser más abstracto y que únicamente en los niveles de preescolar y primaria se debe potenciar el aprendizaje desde lo concreto.

Lo cual conlleva a que los escolares presenten dificultades en su acercamiento matemático en el nivel de secundaria y es ahí donde se puede empezar a hacer uso de los recursos que nos brinda la red, para que se puedan potenciar los aprendizajes.

Por ejemplo, en el caso del trabajo que se realiza en el aula con respecto al reconocimiento de las funciones, el software matemático Geogebra les permite a los estudiantes que puedan aparte de lograr graficar las ecuaciones, hacerles cambios para que logren evidenciar la manera en la que se influye en la gráfica final. Facilitando el acercamiento a las propiedades de la función que se esté trabajando.

Además, permite optimizar los tiempos, pues normalmente en una clase los estudiantes logran graficar entre dos a tres funciones, en cambio con el uso de este software geométrico, pueden abordar mayor cantidad de ejercicios y ejercer de manera inmediata cambios a las ecuaciones iniciales dadas por el docente.

Por lo que Pizarro (2009) resalta que

(36)

estudiante la posibilidad de graficar y, por lo tanto, tratar de visualizar los conceptos en estudio. (p. 32)

De ahí que el trabajo con software educativo en el campo de la enseñanza de las matemáticas a aparte de brindar herramientas al docente les permite a los estudiantes tener un acercamiento a esta asignatura de una manera más dinámica, real y fascinante.

2.2.1.2.3 Impacto en el trabajo de la aritmética y el álgebra

El uso de software educativo como se ha mencionado anteriormente brinda múltiples beneficios en el trabajo que se desarrolla en el aula. Lo que permite que el acercamiento a temáticas que suelen ser complejas, puedan ser abordadas de una manera más accesible por parte de los estudiantes.

Ahora bien, con respecto a la transición aritmética-álgebra, es importante resaltar la necesidad de hacer uso de herramientas digitales que permitan que este tránsito se dé adecuadamente y que no presente mayores dificultades por parte del estudiante.

Pues, el cambio entre lenguajes (del cotidiano al algebraico) hace que los estudiantes sientan confusión, puesto que, pasan de trabajar de una manera concreta a una más abstracta o en pocas palabras pasan de lo específico a lo general. Ya que expresiones como “el doble

de un número aumentado en una decena”, genera en ellos dificultad, porque vienen acostumbrados a establecer un número específico y necesitan entender que en la expresión

un número, se está hablando de cualquiera, lo que conlleva implícitamente a una generalización.

De ahí que el uso de software educativo permite que los estudiantes logren familiariarizarse con el uso de las letras o variables y puedan hacer un uso significativo de los signos que surgen en el estudio del álgebra, por lo que Cárdenas & Sarmiento (2010) resaltan que

El estudio del álgebra no debe limitarse a situaciones simples en las cuales la manipulación simbólica es relativamente sencilla. Utilizando herramientas tecnológicas, los alumnos pueden razonar acerca de asuntos de carácter más general, tales como cambios en los parámetros, y pueden elaborar modelos y resolver problemas complejos que antes no eran accesibles para ellos. (p. 129)

Figure

Figura 1. Estructura del marco teórico I. Elaboración propia del autor  2.2.1  SOFTWARE EDUCATIVO

Figura 1.

Estructura del marco teórico I. Elaboración propia del autor 2.2.1 SOFTWARE EDUCATIVO p.32
Figura 6: Representación gráfica del software ARTICULADE STORY LINE 3

Figura 6:

Representación gráfica del software ARTICULADE STORY LINE 3 p.40
Figura 10: Selección del avatar

Figura 10:

Selección del avatar p.73
Figura 12: Fiabilidad del cuestionario diagnóstico con el alfa de Cronbach

Figura 12:

Fiabilidad del cuestionario diagnóstico con el alfa de Cronbach p.94
Figura 13: Resultados de la letra como incógnita

Figura 13:

Resultados de la letra como incógnita p.103
Figura 17: Explicación de los pantallazos tomados por los estudiantes en el desarrollo de la primera  actividad

Figura 17:

Explicación de los pantallazos tomados por los estudiantes en el desarrollo de la primera actividad p.107
Figura 20  : Modulo 1 cambio entre lenguajes: De la edad media al renacimiento parte 2

Figura 20 :

Modulo 1 cambio entre lenguajes: De la edad media al renacimiento parte 2 p.108
Figura 18: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Recorrido histórico del uso de la letra

Figura 18:

Modulo 1 cambio entre lenguajes: Recorrido histórico del uso de la letra p.108
Figura 22: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Consolidación del álgebra

Figura 22:

Modulo 1 cambio entre lenguajes: Consolidación del álgebra p.109
Figura 24: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Pantallazos de los resultados de la primera actividad por  parte de un estudiante

Figura 24:

Modulo 1 cambio entre lenguajes: Pantallazos de los resultados de la primera actividad por parte de un estudiante p.110
Figura 25: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Actividad 2

Figura 25:

Modulo 1 cambio entre lenguajes: Actividad 2 p.110
Figura 26: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Resultados de la actividad 2 por parte de uno de los  estudiantes

Figura 26:

Modulo 1 cambio entre lenguajes: Resultados de la actividad 2 por parte de uno de los estudiantes p.111
Figura 27: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Partes de una expresión algebraica

Figura 27:

Modulo 1 cambio entre lenguajes: Partes de una expresión algebraica p.112
Figura 30: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Del lenguaje algebraico al cotidiano

Figura 30:

Modulo 1 cambio entre lenguajes: Del lenguaje algebraico al cotidiano p.113
Figura 29: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Cuadro para completar las partes de expresiones  algebraicas dadas

Figura 29:

Modulo 1 cambio entre lenguajes: Cuadro para completar las partes de expresiones algebraicas dadas p.113
Figura 32: Modulo 1 cambio entre lenguajes: Relacionando expresiones matemáticas con enuncuiados  verbales

Figura 32:

Modulo 1 cambio entre lenguajes: Relacionando expresiones matemáticas con enuncuiados verbales p.114
Figura 46: Módulo de inicio a la sesión de encuentra el número desconocido

Figura 46:

Módulo de inicio a la sesión de encuentra el número desconocido p.131
Figura 47: Módulo 2 encuentra el número desconocido: ecuaciones

Figura 47:

Módulo 2 encuentra el número desconocido: ecuaciones p.131
Figura 51: Módulo 2 encuentra el número desconocido: Actividad 2.  Análisis del trabajo realizado por los estudiantes

Figura 51:

Módulo 2 encuentra el número desconocido: Actividad 2. Análisis del trabajo realizado por los estudiantes p.133
Figura 52: Muestra del trabajo realizado por los estudiantes del Módulo 2 encuentra el número  desconocido

Figura 52:

Muestra del trabajo realizado por los estudiantes del Módulo 2 encuentra el número desconocido p.134
Figura 53: Muestra del trabajo realizado por los estudiantes del Módulo 2 encuentra el número  desconocido

Figura 53:

Muestra del trabajo realizado por los estudiantes del Módulo 2 encuentra el número desconocido p.135
Figura 54: Muestra del trabajo realizado por los estudiantes del Módulo 2 encuentra el número  desconocido

Figura 54:

Muestra del trabajo realizado por los estudiantes del Módulo 2 encuentra el número desconocido p.135
Figura 58: Modulo3: Estableciendo relaciones. Actividad Análisis del trabajo realizado por los estudiantes

Figura 58:

Modulo3: Estableciendo relaciones. Actividad Análisis del trabajo realizado por los estudiantes p.142
Figura 60: Modulo3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes  Actividad 1

Figura 60:

Modulo3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes Actividad 1 p.144
Figura 61: Modulo3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes  Actividad 1a

Figura 61:

Modulo3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes Actividad 1a p.144
Figura 64: Modulo3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes  Actividad 1d

Figura 64:

Modulo3: Estableciendo relaciones. Muestra del trabajo realizado por los estudiantes Actividad 1d p.145
Figura 65: Evaluación final Análisis del trabajo realizado por los estudiantes

Figura 65:

Evaluación final Análisis del trabajo realizado por los estudiantes p.153
Figura 66: Evaluación final pregunta 1

Figura 66:

Evaluación final pregunta 1 p.154
Figura 69: Evaluación final pregunta 4

Figura 69:

Evaluación final pregunta 4 p.155
Figura 70: Evaluación final pregunta 5 Paso del lenguaje algebraico al cotidiano:

Figura 70:

Evaluación final pregunta 5 Paso del lenguaje algebraico al cotidiano: p.157

Referencias

  1. http://sedici.unlp.edu.ar/bitstream/handle/10915/24867/Documento_completo.pdf?sequence=1
  2. http://www.cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/CIFEM/article/viewFile/12/17
  3. http://www.famaf.unc.edu.ar/wp-content/uploads/2015/03/BEns05.pdf
  4. http://www.famaf.unc.edu.ar/wp-content/uploads/2015/03/BEns05.pdf
  5. http://die.udistrital.edu.co/sites/default/files/doctorado_ud/publicaciones/ingenieria_didactica_como_metodologia_investigacion_del_discurso_en_aula.pdf
  6. http://cesee.edu.mx/assets/plan-de-la-ens.-y-ev.-del-aprend.-i.pdf
  7. http://biblio.colmex.mx/curso_formacion_formadores/chaea.pdf
  8. http://www.dm.unibo.it/rsddm/it/articoli/damore/443%20triangulo%20de%20la%20didactica.pdf
  9. https://www.researchgate.net/publication/31673962_Ingenieria_didactica_un_estudio_de_la_variacion_y_el_cambio_RM_Farfan_Marquez
  10. http://tesis.pucp.edu.pe/repositorio/bitstream/handle/123456789/4736/FIGUEROA_VERA_ROCIO_RESOLUCION_DIDACTICAS.pdf?sequence=1
  11. http://piagetanos.blogspot.com/p/bandler-y-grinder.html
  12. http://funes.uniandes.edu.co/10170/1/Naturaleza1999Gazcon.pdf
  13. http://malted.cnice.mec.es/presentacion/QMalted.htm
  14. https://www.orientacionandujar.es/wp-content/uploads/2015/11/Test-de-estilos-de-aprendizaje-de-Felder-Felder-y-Silverman.pdf
  15. http://hemeroteca.unad.edu.co/index.php/book/article/view/1969
  16. http://www.tesis.uchile.cl/tesis/uchile/2005/lastra_s/sources/lastra_s.pdf
  17. http://cvonline.uaeh.edu.mx/Cursos/BV/Docentes/pdf/Tema2_estilos_aprendizaje.pdf
  18. http://cmap.upb.edu.co/rid=1HQVXB4Q7-KVRV2Z-7H9/LINEAMIENTOS%20CURRICULARES.pps
  19. http://74.125.47.132/search?q=cache:Gpot_P3e8pEJ:www.colombiaaprende.edu.co/html/me
  20. http://74.125.47.132/search?q=cache:Gpot_P3e8pEJ:www.colombiaaprende.edu.co/html/me 70799_archivo.pdf+EST%C3%81NDARES+DE+MATEMATICAS&cd=2&hl=es&ct=clnk&gl=co&client=firefox-a
  21. diateca/1607/articles-70799_archivo.pdf+EST%C3%81NDARES+DE+MATEMATICAS&cd=2&hl=es&ct=clnk
  22. http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/forum/discuss.php?d=16644&parent=53026
  23. https://didacticaycurriculum.files.wordpress.com/2010/08/montiel-contrato-didc3a1ctico.pdf
  24. https://didacticaycurriculum.files.wordpress.com/2010/08/montiel-contrato-didc3a1ctico.pdf
  25. https://hipertextual.com/archivo/2014/10/ventajas-utilizar-software-libre-educacion/
  26. http://www.sochiem.cl/sochiem/documentos/XII/Especiales/ces08.pdf
  27. https://es.calameo.com/read/001567527754aebde2a5d
  28. http://www.redalyc.org/pdf/806/80634409.pdf
  29. http://postgrado.info.unlp.edu.ar/Carreras/Magisters/Tecnologia_Informatica_Aplicada_en_Educacion/Tesis/Pizarro.pdf
  30. http://www.soarem.org.ar/Documentos/22%20Rabino.pdf