Ampliación de Álgebra Lineal y Geometría
Resumen
1 Elementos de Álgebra Lineal
Modos de determinar un subespacio:
Generado por k vectores linealmente independientes: S=< u1, u2, . . . , uk >
Ecuación vectorial de S:S=λ1u1+. . .+λkuk (siendou1, . . . , uk los vectores generadores de S)
Ecuación paramétrica de S:
x1=λ1α11+· · ·+λnαn1
. . .
xn=λkαk1+· · ·+λαnk
donde cada αij sale de las coordenadas de
cadaui vector generador de S pasando de una ecuación vectorial a un sistema de ecuaciones en el cuerpo.
Ecuación cartesiana de S: Si, ahora, se impone que la matriz
x1 ... ... xn
α11 ... ... α1n
... ... ... ... αk1 ... ... αkn
tenga rango n-k (o
euqivalentemente, que el determinante sea 0) se obtienen las ecuaciones cartesianas.
Dimensión: Número de vectores que engendran el subesapcio vectorial. Si un subespacio tiene k ecuaciones cartesianas, su dimensión siempre será de n-k.
Recta vectorial: Subespacio de dimensión 1 Plano vectorial: Subespacio de dimensión 2
Hiperplano: Subespacio de dimensión n-1 (en un espacio vectorial de dimensión n)
Retículo de subespacios
S(V): Familia de subespacios de un espacio vectorial V. Con la relación de inclusión se forma un retículo, dondeinf{S, T}=S∩T ysup{S, T}=S+T
S+T :es la suma de subespacios. Se halla uniendo las bases de ambos subespacios S y T
S∩T :es la intersección de subespacios. Se halla imponiendo que se cumplan las ecuaciones cartesianas de
ambos supespacios S y T
Fórmula de Grassman: dim(S+T) =dim(S) +dim(T)−dim(S∩T)
S⊕T: es la suma directa de subespacios. Es una suma de subespacios en la queS∩T = 0.
Suplemento: Se dice que S es suplemento de T cuandoS∩T = 0yS⊕T =V (es decir, engendran todo
Aplicaciones lineales
Aplicación lineal: es una apliación f : V → V0 entre espacios vectoriales que conserva combinaciones
lineales, es decir: f(λ1x1+λ2x2) =λ1f(x1) +λ2f(x2)
Matriz asociada a una aplicación lineal: será una matriz compuesta por las imágenes de los vectores de la base de V escritos en la base V'.
Propiedades de las aplicaciones lineales: Seaf :V →V0 una aplicación lineal y A su matriz asociada
(1)Ker(f)≤V yIm(f)≤V0
(2) f es monomorsmo (aplicación lineal inyectiva)⇐⇒Ker(f) = 0⇐⇒conserva independencia lineal
(3) Sidim(V) =dim(V0); f es monomorsmo ⇐⇒f es epimorsmo (aplicación lineal sobreyectiva)
(4)rango(A) =dim(f(V))
(5) Sidim(V) =dim(V0);f es isomorsmo (aplicación lineal biyectiva) ⇐⇒A es inversible
Cambio de base: Para hacer un cambio de base se debe multiplicar el vector x por la matriz del cambio de base que no es más que las imágenes de los vectores de la primera base puestos en la.
Espacio dual
Forma lineal: Es una aplicación linealφ:V →K dondeV es un espacio vectorial sobre el cuerpoK que
también es espacio vectorial sobre sí mismo
V∗: Es el espacio dual a V. Se dene como el espacio vectorial sobre K constituido por todas las formas
lineales provisto de las operaciones φ+ψ: v 7→φ(v) +ψ(v)y λφ:v 7→ φ(v)λ. A V∗ también se le llama
ortogonal. Dado un subespacioS ≤V se obtieneS∗ ={f ∈V /f(S) = 0}. Dado un subespacio S ≤V∗ se
obtiene queS∗=∩f∈Sker(f)
2 Elementos de Geometría Afín y Proyectiva
Retículo de subespacios
Espacio afínA: Es un espacio vectorialV sobreK al que a los vectores se les llama puntos
Subespacio afín: Es un subespacio vectorial trasladado. T ≤ A ⇐⇒ T =τa(S). Además, se verica que
dim(S) =dim(T)
Espacio proyectivo: SiV es un espacio vectorial cuyadim(V) =n+ 1sobre K, con n≥ −1, P(V)es el
conjunto de los subespacios deS≤V condim(S) = 1. Se tiene quedim(P(V)) =n
Subespacio proyectivo: P(S)será un subespacio proyectivo deP(V)siS es subespacio vectorial deV
Puntos: Son los elementos deP(V)
Rectas: Son los subespaciosS≤P(V)tales quedim(S) = 1
Planos: Son los subespaciosS≤P(V)tales quedim(S) = 2
Hiperplanos: Son los subespaciosS≤P(V)tales quedim(S) =n−1(en un espacioP(V)condim(P(V)) =
n)
Fórmula de Grassman: se sigue vericando en espacios proyectivos de la siguiente maneradim(P(S) +
P(T)) =dim(P(S)) +dim(P(T))−dim(P(S)∩P(T)). Como observación de esta fórmula se puede decir
Independencia
Puntos independientes: Si tenemos queP1 =< v1> . . . Pn =< vn >. P1. . . Pn son independientes en el
espacio proyectivo si, y sólo si,{v1,. . . vn}son linealmente independientes
P(S) :Subespacio engendrado porS. Es el subespacio más pequeño que contiene aS={P1. . . Pn}. Se halla
encontrando una base de dicho subespacio, es decir, encontrando el máximo número de puntos linealmente independientes deS.
Observaciones:
(1) Un punto es independiente
(2) Dos puntos son independientes ⇐⇒los puntos son distintos
(3) Tres puntos son independientes ⇐⇒los puntos no están sobre la misma recta
(4) En P(V) con dim(P(V)) = n caben, a lo sumo, n+ 1 puntos independientes. Además n+ 1 puntos
independientes generan la totalidad del espacioP(V)
Subespacios por sus ecuaciones: Se hace de manera similar al espacio vectorial
Coordenadas homogéneas
Coordenada homogénea de P: Es lan+ 1−upla(λ0, . . . , λ1)siendo esta la clase de equivalencia de las
coordenadas de los vectores que engendran el punto P. Es decir,(λ0, . . . , λ1)y sus múltiplos (exceptuando el
0)
Número de puntos deP(V)sobre un cuerpo K conq elementos: qn+1q−−11
Sistema de coordenadas homogéneo: Es equivalente a una base en un espacio vectorial. Se puede dar de dos formas:
(1) Por las clases de equivalencia: {v0, v1, . . . , vn}
(2) Tomandon+ 1 puntos independientes y añadiéndole uno, llamado unidadU,que no esté en ninguno de
los hiperplanos engendrados por los primerosn+ 1 puntos{P0, P1, . . . , Pn;U}
Cambio de base: Si A es la matriz del cambio de base, entonces la ecuación: λx0 =xAes la del cambio
de base, siendo, x' el nuevo vector en las nuevas coordenadas, x el vector en las primeras coordenadas y A la matriz cuyas las son las imágenes de los vectores de la base con respecto al segundo sistema de coordenadas.
Espacio afín dentro del proyectivo
Construcción del espacio afín: Sea H un hiperplano del espacio vectorial V sobre K. Al conjunto de
puntosA(V, H)que quedan en el epacio proyectivoP(V)al eliminarP(H)se le denomina espacio afín sobre
K. Es decir, A(V, H) = P(V)−P(H). Dos hiperplanos diferentes H y H0 del espacio proyectivo P(V)
generan dos espacios anes diferentes, pero, en esencia son el mismo
Envolvente proyectiva deA(V, H): es el espacio proyectivoP(V)en el que está insertado
Puntos del innito: Los puntosP deP(V)tales queP ∈P(H)
Hiperplano del innito o impropio: Es el hiperplano proyectivoP(H)
Subespacio afín: T ≤ A(V, H) ⇐⇒ ∃S∈V /S*H tal que T =P(S)−P(H)
Dimensión deA(V, H): coincide con la dimensión del espacio vectorialV y es una menos que la dimensión
de su envolvente proyectiva
Cambio de coordenadas homogéneas a cartesianas: Si tenemos un punto expresado en las coordenadas homogéneas (x0, x1, . . . , xn), sus coordenadas cartesianas serán (y1, . . . , yn) donde cada yi = xxi
0 para i =
1, . . . , n
Cambio de coordenadas cartesianas a homogéneas: Si tenemos un punto expresado en las coordenadas cartesianas(y1, . . . , yn), sus coordenadas homogéneas serán(1, y1, . . . , yn)
Principio de dualidad
Correlación estándar: Son las aplicacionesS 7→S∗y su inversaS∗7→Sque resulta ser un antiisomorsmo
de retículos (cambia de sentido las inclusiones y, por consiguiente, cambia sumas en intersecciones y viceversa) Principio de dualidad: Todo teorema en espacios proyectivos con dim(P(V)) = n sobre un cuerpo K,
enunciado en términos de inclusiones, sumas, e intersecciones de subespacios proporciona un teorema dual, igualmente válido en espacios proyectivosn−dimensionalessobre el mismo cuerpo K, obtenido mediante
la inversión de las inclusiones, la sustitución de sumas por intersecciones y viceversa y los subespacios de dimensiónrporn−r−1. Esto se debe fundamentalmente a la correlación estándar
3 Proyectividades, Involuciones y Anidades
Proyectividades
Transformación regular: Es una aplicación linealf :V →V0 en la queKer(f) = 0(equivalentemente, f
es inyectiva)
Proyectividad: Es una aplicaciónP(f) :P(V)→P(V0)denida como P(f)< v >=< f(v)>donde f es
una transofrmación regular Propiedades:
(1) Tiene carácter functorial: P(1v) = 1P(V)yP(f◦g) =P(f)◦P(g)
(2)dim(P(V))≤dim(P(V0)); la igualdad se produce cuando hay proyectividad
(3) Las proyectividades conservan subesapcios: SiP(S)≤P(V)⇒f(P(S))≤f(P(V))
(4) La inversa de una proyectividad es una proyectividad
(5) Una proyectividad conserva: inclusiones, sumas e intersecciones (6) SiA∈BC⇒σ(A)∈σ(B)σ(C)dondeσes una proyectividad
Ecuación de una proyectividad: λx=x0Adonde x es el vector la de coordenadas homogénas de P en
la base B, x' es el vector imagen respecto al sistema B', y A es la matriz cuyas las son las imágenes del sistema B en coordenadas B'
Anidades
Anidad: Es la aplicación restricción de una proyectividad al dominioA(V, H) y a la imagen A(V0, H0).
No hay problema porque se sabe que una proyectividad conserva dimensiones, por tanto, transforma un hiperplanoH en otro hiperplanoH0
Ecuación de una anidad: Existen dos formas:
(1) (1, y10, . . . , yn0) = (1, y1, . . . , yn)
1 α01 ... α0n
0 α11 ... α1n
... ... ... ...
0 αn1 ... αnn
donde, y son las coordenadas cartesianas de un
porque comouo∈/P(H);P(F)< uo> /∈P(H0)(es decir, el primer vector de la base cae fuera del hiperplano
impropio) y los demás caen dentro y por esoαi0= 0con i >0
(2) También puede escribirse como: y0=a+yAdondea= (α01, . . . , α0n)yA=
α11 ... α1n
... ... ...
αn1 ... αnn
Teorema fundamental de la Geometría proyectiva
Símplex: Sonn+ 2puntos de un plano proyectivoP(V)condim(P(V)≥1sobreKde manera que los n+1
primeros son independientes y el último no pertenece a ninguno de los hiperplanos engendrados por los n+1 primeros. Tiene la misma construcción que un sistema de coordenadas homogéneo{Po, P1, . . . , Pn;U}
Teorema fundamental de la Geometría Proyectiva: Dados {Pi},{Qi} dos símplex de dos espacios
proyectivosP yP0 condim(P) =dim(P0)>0sobreK,∃!σ:P →P0 proyectividad tal queσ(Pi) =Qi para
cadai. Observación: Se deduce de este teorema que basta dar la imagen del simplex para determinar por
completo una proyectividad
Proyectividades entre rectas en un plano
Perspectividad de centro O de r sobre s: es una aplicaciónπo:r→sdenida comoA7→A0=S∩OA
Punto doble: es un punto que se aplica sobre sí mismo a través de una aplicación. Punto jo Propiedades inmediatas:
(1)πO es biyectiva
(2)M =r∩ses un punto doble
(3)r=s ⇐⇒ πO =id
(4)πO−1 es otra perspectividad con el mismo centro
Abcisa: Es el número λ ∈ K tal que en una perspectividad πO, dadas las imágenes de un sistema de
coordenadas{A, B;C}de la recta s, dondeA=< a >,B=< b >, C =< a+b >,sobre la recta r{A0, B0;C0}
existe un único escalarλ∈Ktal que si se tomaD∈rconD6=A,D=< λa+b >en el sistema de coordenadas
{A, B;C}en el queAestá en el innito,Ben el origen yCes el punto unidad. λes la coordenada cartesiana
en la recta afínr−A
Razón doble de cuatro puntos: (ABCD) =λsiendoA, B, C, D∈P1(V)conA6=B6=C6=AyD6=A
Propiedades de la razón doble:
(1) Las perspectividades conservan la razón doble (2)(ABCB) = 0
(3)(ABCC) = 1
(4) (ABCD) = λ1µo
λ0µ1 donde A, B, C, D ∈ P1(V) y {a, b} es base de V; A =< λ0a >, B =< λ1b > y
D=< µ0a+µ1b > elegido el par(λ0, λ1)para queC sea el punto unidad.
(5)(ABCD) = (δ(γ−−α)(γα)(δ−−β)β) dondeA, B, C, Dtienen abcisaα, β, γ, δen un sistema de coordenadas prejado
Ecuación explicita de una perspectividad: x0 = λ0+λ1x
µ0+µ1x dondeλ0, λ1, µ0, µ1 son escalares que vienen
dados al manipular la fórmula obtenida de la razón doble(ABCX) = (σ(A)σ(B)σ(C)X0) despejando x0 y
se conocen las abcisas de dichos cuatro puntos.
Teorema: Sea σ : r → s una biyección entre rectas de un mismo plano proyectivo. Entonces: σ
con-serva razones dobles ⇐⇒ σ es una proyectividad ⇐⇒ σ se descompone, a lo sumo, en producto de 3
proyectividades
Teorema: σ:r→ses una perspectividad entre rectas del mismo plano ⇐⇒M =r∩ses un punto doble
Teorema: Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos dos a dos de una recta proyectiva con (ABCD) = λ.
Se tiene que se reducen a 6 las posibles razones dobles de 4 puntos distintos (que pueden ordenarse de 4! maneras)
Involuciones
Ecuación implícita deσ:λxx0+µx+νx0+ζ= 0(operando desde la ecuación explícita) dondeλζ−µν6= 0y
los puntos límite se pueden hallar dividiendo por x y x' y hallando límite cuando tienden a∞respectivamente
Hallar puntos dobles: Se pueden obtener los puntos dobles de una proyectividad tomandox=x0 en la
ecuación implícita y hallando sus raíces
Proyectividad hipérbolica: Es una proyectividad que posee dos puntos jos Proyectividad parabólica: Es una proyectividad que posee un punto jo Proyectividad elíptica: Es una proyectividad que no posee puntos jos Involución: Es una proyectividad de una recta r en sí misma conσ2= 1 r
Lema: Si∃A∈r/σ(A)6=Ayσ2(A) =A⇒σes una involución conσ6=id
Cuadrivértice: Es un símplex en el plano proyectivo{A, B, C, D}
Vértices: Cada uno de los puntos que forman un cuadrivértice Puntos diagonales: E=AB∩CD,F =AC∩BD,G=AD∩BC
Cuadrilátero: Son cuatro rectas{a, b, c, d}tales que no haya tres de ellas concurrentes. Es el concepto dual
de cuadrivértices
Lados: Son las rectas que forman el cuadrilátero
Diagonales: Las tres rectas distintas de los lados que determinan los siete puntos de intersección de los cuatro lados
Segundo teorema de Desargues: Sea{A, B, C, D} un cuadrivértice de un plano proyectivo y r una recta
del plano que no contiene a ninguno de los vértices y que corta aBC en P,ADen P', aABenQ, aCDen Q0, aBD en R y a AC enR0. Entonces, la única proyectividad σ:r→rtal queσ(P) =P0,σ(Q) =Q0 y σ(R) =R0 es una involución. Esto quiere decir que una recta corta a los lados opuestos de un cuadrivértice
según parjeas de puntos que están en involución
Teorema de Fano
Teorema de Fano: Los tres puntos diagonales de un cuadrivértice sobre un plano proyectivo están alineados
⇐⇒ la característica del cuerpo base es 2. Dice lo mismo que su dual.
Cuaterna armónica
Cuaterna arnmónica: Es una cuaternaA, B, C, Dtal que(ABCD) =−1
Cuarto armónico: Es el puntoD que produce una cuaterna armónica en la terna(A, B, C)
Conjugados armónicos: A los puntos C y D se les denomina conjugados armónicos de A y B de una
cuaterna armónicaA, B, C, D
Punto medio R del segemento P Q: R= P+Q2 . Sólo tiene sentido en el espacio afín
Lema: Cuatro puntosA, B, C, D de una recta proyectiva se encuentran en cuaterna armónica ⇐⇒ B se
localiza, cuandoAestá en el innito, en el punto medio del segmentoCD
Lema: Las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio
Transformaciones entre haces de rectas (concepto dual)
Lápiz(a, b, c, d): Son cuatro rectas distintas dos a dos y concurrentes de un plano proyectivo
Lápiz armónico: Es un lápiz en el que existe un cuadrilátero que integre aaybcomo dos de sus lados, ac
como una de sus diagonales y adque pase por el punto de corte de las otras dos rectas diagonales. Observación:
Si una recta cualquierarcorta al lápiz en A, B.C, D, estos puntos forman una cuaterna armónica A∗:Es el haz de rectas que pasa porA∈ P(V)
Perspectividad de eje r: Es la aplicación π : A∗ → B∗, denida como: πr(a) = a0 = (a∩r)B donde
a∈A∗ ya0∈B∗
Razón doble de un lápiz: Concepto dual de la razón doble de cuatro puntos(ABCD)
Teorema: Sea (a,b,c,d) un lápiz de un plano P y r una recta arbitraria de P que no pase pora∩b⇒(abcd) = (ABCD), dondeA=a∩r,B=b∩r,C=c∩r,D=d∩r
Teorema (de dualizaciones):
(1) Toda proyectividad entre haces del mismo plano factoriza en producto de, a lo sumo, tres perspectividades (2) Las proyectividades entre haces de recta de un mismo plano que conserve dobles de lápices es una proyectividad
(3) Toda biyección entre haces de rectas de un mismo plano que conserve razones dobles de lápices es una proyectividad
(4) Una proyectividad entre haces de rectasA∗ yB∗ de un plano es una perspectividad ⇐⇒ la recta AB
es doble
(5) El lápiz(a, b, c, d)es armónico ⇐⇒(abcd) =−1
(6) Una proyectividadσ6=idde un haz en sí mismo es una involución ⇐⇒ existe una rectaadel haz tal
queσ(a)6=ayσ2(a) =a
(7) Una involución en un haz distinta de la identidad tiene, a lo sumo, 2 rectas dobles
4 Teoremas de conguración
Homologías, homotecias y traslaciones
Observación: Los puntos que forman la recta no tienen por qué ser dobles. Ahora bien, siP=r∩sentonces
sí que es doble. Además toda recta determinada por dos puntos dobles es doble
Proyectividad central: proyectividadσ:P → P tal que existe un puntoC∈ P tal que cada recta porC
es doble, es decir, siX 6=C⇒XC=σ(XC). Además,C es el centro de la proyectividad
Propiedades:
(1) Si hay enP dos rectas distintas llenas de puntos dobles⇒σ=id
(2) SiC es el centro de una proyectividad⇒C es doble
(3) Si existenC yC0 centros de una proyectvidad⇒σ=id
(4) Siσes central con centroCyres una recta doble que no pasa por C ⇒todo punto deres doble
Homología: Es una proyectividad central de un plano en sí mismo distinta de la identidad Teorema: Toda homología posee una única recta con todos sus puntos dobles
Eje de homología: Es la única recta del plano cuyos puntos son dobles por la homología
Observación: Una homología queda determinada por su centroC, su ejer, y un par de puntosA yσ(A).
Si nos danB,σ(B)se obtiene como la intersección deσ(A)P∩CB dondeP =AB∩r
Homotecia de centro C: Es una anidad que es la identidad o una restricción de una homología de la
envolvente proyectiva que tiene aC por centro, y a la recta del innito por eje. C es un punto del afín
Teorema de Tales: Para cada homotecia σ de centro C existe un escalar λ, denominado razón de la
homotecia, tal queσ(X)−C =λ(X−C). Es más, para cualquiera X, Y del plano afín: σ(X)−σ(Y) =
λ(X−Y)
Observación: La restricción al afín en la que el eje es la recta impropia yC es un punto del innito, no es
más que una traslación
Teorema de Pappus
Teorema de Pappus: En un plano proyectivo, dadas dos ternas(A, B, C)y(P, Q, R)de puntos alineados,
los puntosX =AB∩BP , Y =AR∩CP yZ=BR∩CQestán en línea recta. Como observación podemos
decir que se sule usar como regla nemotécnica para recordar las intersecciones que intervienen el colocar
(A, B, C)y(P, Q, R)como si se fuera a hacer el cálculo de un determinante
Teorema: Sean(A, B, C)una terna de puntos distintos de una rectarde un plano afín y(P, Q, R)otra terna
de puntos situados sobre otra rectasdel mismo plano secante con la anterior en un puntoO /∈ {A, B, C} y
tales queAQkBP yARkCP ⇒BRkCQ
Teorema menor de Pappus: SeanA, B, C puntos de una recta r de un plano afín y P, Q, R otros tres
puntos situados sobre una recta s del mismo plano paralela ar. SiAQkBP yARkCP, entoncesBRkCQ
Teorema: En un plano proyectivo, se verica el teorema de Pappus ⇐⇒ un par de homologías son
conmutativas (σ◦τ=τ◦σ)
Teorema de Desargues
Teorema de Desargues: SeanABC yA0B0C0 dos triángulos de un plano proyectivo tales que las rectas AA0, BB0 yCC0concurren en un puntoO ⇒las parjeas de lados (AB, A0B0), (AC, A0C0)y (BC, B0C0)se
cortan según puntos que están alineados
Conguración de Desargues: Es la disposición en la que se encuentran dos triángulos bajo las hipótesis del Teorema de Desargues
Teorema de Desargues (Dual): Sean (A, B, C) y (A0, B0, C0) dos triángulos de un plano proyectivo.
Entonces, las rectas que pasan por vértices homónimos concurren en un punto ⇐⇒ las parejas de lados
homónimos se cortan según puntos que están alineados.
Teorema: Sean(A, B, C)y(A0, B0, C0)dos ternas de puntos de un plano afín tales que, o bienAA0,BB0, CC0
se cortan en un puntoO, o bien las retas son paralelas entre sí:
(1) SiP =AB∩A0B0, Q=AC∩A0C0 yR=BC∩B0C0, entoncesR∈P Q(P, Q, Restán alineados)
(2) SiABkA0B0, entoncesQRkABkA0B0
(3) SiABkA0B0 yACkA0C0, entonces BCkB0C0
(4) El recíproco también es cierto, es decir, Si se verica (1),(2), o (3), entonces se tiene que, o bien
AA0,BB0, CC0 se cortan en un puntoO, o bien las retas son paralelas entre sí
Teorema: Dado un cuadrivértice (A, B, C, D) de un plano proyectivo con puntos diagonales E = AB∩
CD, F =AC∩BD, G=AD∩BC, seaM la intersección de la diagonalEF y el ladoAD.EntoncesG∈P Q
dondeP=AB∩CM yQ=CD∩BM
Teorema: En un plano afín, las medianas de un triángulo concurren en un punto de la envolvente proyectiva, que, además reside en el afín a partir de caracterísitca 3.
