UT VIII : EQUILIBRIO ESTATICO DE UN CUERPO RIGIDO

(1)

(2)

• Equilibrio estático de un

cuerpo rígido.

• Momento de una fuerza

con respecto a un eje.

• Condiciones para el

equilibrio estático.

• Centro de gravedad.

• Momento de una fuerza y

el producto vectorial

(3)

Introducción:

Un cuerpo en equilibrio estático es un cuerpo que esta en reposo, es decir NO SE MUEVE.

El estudio de esta condición de equilibrio nos da información

acerca de las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. En el caso de un ediﬁcio o un puente, nos indica que tipo de materiales debe emplearse en su construcción.

Un cuerpo extenso se encuentra en equilibrio estático cuando todos los puntos del objeto están en reposo y permanecen en ese estado.

(4)

Centro de gravedad

El centro de gravedad de un sistema de partículas es el punto en que puede considerarse que actúa el peso total del mismo. Si consideramos a un cuerpo extenso de masa M como compuesto de N partículas de masa m_i tal que M = Σ m_i , las coordenadas del c.g están dadas por

1 1 1 1 1 1 = = = = = = ⎧ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪⎩

∑

N

i i i

i

c g _N

i i

i N

i i i

i

c g N

i i

i N

i i i

i

c g _N

i i

i

x m g x

m g

y m g y

m g

z m g z

m g

Componentes

(5)

1 m 1 1 1 m 1 1 1 m 1 1

1

N

i i _N i

c cg _N i i

i i

i N

i i _N i

c cg _N i i

i i

i N

i i _N i

c cg _N i i

i i

i

x m

x

x m

M

m

y m

y

y m

M

m

z m

z

z m

M

m

= = = = = = = = =

⎧

⎪

≡

=

⎪

⎪⎪

≡

=

⎨

⎪

≡

=

⎪

⎪⎩

∑

Si g puede considerarse constante, puede sacarse factor común y cancelarse. En este caso el centro de gravedad c.g coincide con el centro de masa c.m del cuerpo.

(6)

Equilibrio traslacional no implica reposo, pues el cuerpo puede estar rotando respecto del CM, que si esta en reposo.

Un cuerpo en equilibrio rotacional no rota.

Equilibrio estático = Equilibrio traslacional + Equilibrio rotacional Equilibrio traslacional: la aceleración del CM es nula.

0 0 pues

CM externas CM externas

(7)

a)  Puerta rotatoria en equilibrio traslacional.

b) Dos personas aplican fuerzas iguales y opuestas.

0

externas

F

₌

_⇒

∑

Equilibrio traslacional, pero la puerta gira. No hay equilibrio rotatorio.

c) En este caso la puerta no rota y está en equilibrio estático. d) En este caso la experiencia indica que hay equilibrio estático

si las fuerzas son inversamente proporcionales a las distancias de sus puntos de aplicación al eje de la puerta.

1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 1

0 F

x

F x

F

=

x

⇒

=

−

=

(8)

En este ultimo caso la suma vectorial de F₁ y F₂ no se cancela, pero la suma de las fuerzas externas se anula por las fuerzas que ejercen los soportes de la puerta.

Momento de una fuerza con respecto a un eje.

Torque. _{Al analizar el giro de una puerta}

alrededor de un eje, vimos la importancia del punto de aplicación de la fuerza. La magnitud física que tiene en cuenta este echo se denomina momento de fuerza o torque. Esta producido por una fuerza con respecto a un eje, y su efecto sobre el cuerpo al que se aplica la fuerza es que el mismo tienda a girar respecto del eje. Se deﬁne como:

[ sin( )]

sin( )

r F

r

F r F

r F

(9)

El momento es una magnitud vectorial, la ecuación

deﬁnida da su módulo.

(10)

CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO ESTATICO

Equilibrio traslacional

0

externas externos

F

τ

→ →

⇒

=

⇒

=

∑

Equilibrio rotacional

Seis

ecuaciones

0

x externas y externas z externas

F

→ → →

⎧

₌

⎪

⎪⎪

=

⎨

⎪

₌

⎪⎩

∑

Equilibrio

traslacional

0

x externas y externas z externas

τ

→ → →

⎧

₌

⎪

⎪⎪

=

⎨

⎪

₌

⎪⎩

∑

Equilibrio

(11)

0

x externas

y externas

externos

F

τ

→

⎧

=

⎪

⎪⎪

=

⎨

⎪

₌

⎪⎩

∑

Si el plano que contiene a las fuerzas externas es el

x-‐y

3 ecuaciones 3 incógnitas

_→

(12)

Momento de una fuerza y producto vectorial

Dados dos vectores A y B, deﬁnimos al producto vectorial A x B como un vector C tal que su magnitud es A B sin (θ) donde θ es el

ángulo entre A y B, su dirección es perpendicular al plano determinado por A y B, y su sentido dado por la regla del tirabuzón o de la mano derecha.

sin( )

C

A B

C

A B

_θ

→ → →

→

=

×

=

El ángulo θ es el menor desde

(13)

(14)

[ sin( )]

sin( )

r F

r

F r F

r F

τ

=

_⊥

=

θ

=

θ

=

_⊥

=

θ

Podemos deﬁnir al vector momento de la fuerza F

respecto del punto O como el producto vectorial del vector posición r del punto de

aplicación de la fuerza

respecto de O por la fuerza F.

sin( )

r F

τ

θ

→ → →

⎧⎪

₌

_×

⎨

=

⎪⎩

(15)

Dos fuerzas

F

₁

y

F

₂

son equivalentes si

F

₁

= F

₂

y sus

momentos con respecto a cualquier eje son iguales

En la ﬁgura de la izquierda

F

₁

= F

₂

pero los momentos con respecto a

O no son iguales.

F

₁

y

F

₂

no son

equivalentes

En la ﬁgura de la izquierda

F

₁

= F

₂

y los momentos con respecto a O

son iguales.

F

₁

y

F

₂

son

(16)

Independientemente del número de fuerzas que actúen sobre un objeto, si esta en equilibrio traslacional y el momento neto respecto de un eje es cero, entonces el momento neto es cero respecto de cualquier otro eje.

1 1 2 2 3 3 4 4

' ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃ ₄ ₄

1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4

1 1 2 2

' ' ' '

'

O

r F r F r F r F

r r F r r F r r F r r F

r F r F r F r F r F F F F

r F r F

τ

→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → = × + × + × + × ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟× + _⎜ − _⎟× +_⎜ − _⎟× + _⎜ − _⎟× ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ × + × + × + × _⎟ − _⎢ ×_⎜ + + + _⎟_⎥ ⎝ ⎠ _⎣ ⎝ ⎠_⎦ = × + × +

∑

'

3 3 4 4 O O

r F r F→× → + →× → ⇒

∑

_τ

→ =

∑

_τ

→

4

1

1 2 3 4 0 i

i

F F F F

(17)

El cg tal como lo definimos verifica que

la fuerza peso aplicada en dicho punto

tiene el mismo efecto rotatorio (torque)

que los torques individuales de las

partículas que constituyen el cuerpo.

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

N N N

x Peso x i cg i i i

i i i

N N N N

Peso i _{y Peso} _{y i} _cg _i _i _i

i i i i

N N N

z Peso z i cg i i i i i i

x

m g

x m g

y

m g

y m g

z

m g

z m g

τ

= = =

→ →

= = = =

= = =

⎧

=

⇒

=

⎪

=

⇒

_⎨

=

⇒

=

⎪

=

⇒

=

⎪

⎩

∑

(18)

Cancelando g y pasando

M

=

Σ m

_i

dividiendo

obtenemos para las coordenadas del

c.m

:

1

N

cg i i

i N

cg i i

i N

cg i i

i

x

x m

M

y

y m

M

z

z m

M

=

⎧

=

⎪

=

⎨

⎪

=

⎪

⎩

∑

(19)

Problema: Un sube y baja de peso 40 N soporta a padre e hija que pesan 800 N y 350 N respectivamente. Si el apoyo esta en el CM y el padre esta a 1 m del mismo, determine: a) la magnitud de la fuerza n ejercida por el soporte sobre el sube y baja; b) donde debe estar

sentada la hija para que el sistema este en equilibrio rotacional; c) repita b) para otro eje.

0

ext

F

→

₌

∑

0

ext

τ

→

=

∑

800

40

350

0 n

−

N

−

N

−

N

=

1190

n

=

N

800 N m

_⋅

1 ₋

350 N x

_⋅

₌

0

800

1 2, 29

350 N

x

m

N

=

⋅

=

a)

(20)

Problema: Un andamio horizontal de peso 200N y 8m de largo esta sujeto a una pared. Su otro extremo esta soportado por un cable que forma un ángulo de 53º con la horizontal. Si una persona de 600N esta a 2m de la pared, determine la tensión del cable y la magnitud y dirección de la fuerza ejercida por la pared sobre el andamio.

cos( )

cos(53º ) 0

x

F

₌

R

_θ

₋

T

₌

∑

sin( )

sin(53º )

600

200

0

y

F

R

T

N

θ

=

+

−

=

(21)

Consideremos un eje que pasa por el punto de apoyo en la

pared

0

ext

τ

→

=

∑

⇒

T

sin(53º )8

m

−

200 4

N m

−

600 2

N m

=

0

313

T ₌ N

cos( ) 188

sin( ) 550

R

N

R

N

θ

=

⎧

⇒ ⎨

=

⎩

550 tan( )

2,93

188 71,1º

N

θ

⎧

=

⎪

⇒ ⎨

⎪

₌

⎩

188

580 cos( )

cos(71,1º )

N

R

N

θ

(22)

Problema: Una escalera de longitud L y peso mg = 50N esta apoyada sobre una suave pared vertical sin rozamiento. Si el coeﬁciente de rozamiento estático entre la escalera y el piso es μe = 0,40, halle el mínimo ángulo θ_min para el cual la escalera no desliza.