Guía 2 (Funciones vectoriales)

Gu´ıa 02

Matem´

aticas 30.

Profesor: Pedro Alexander Abreu

Semestre A-2017

1. En cada caso, determine el dominio de la funci´on vectorial.

a) R(t) = (t2+ 3)i+ 1

t−1j.

b) R(t) = √1−ti+√1 +tj+ (1−t)−1_k.

c) R(t) = 2

t−4i+ √

3−tj+ ln|4−t|k.

d) R(t) = [[t2]]i−√20−tj+ 3k, ([[·]] denota la funci´on parte entera).

e) R(t) = cos(t)i+ sin(t)j +√9−t2_k.

f) R(t) = √ 1

1−t2j + 1 √

9−t2k.

g) R(t) = arc cos(t)i+arcsec(t)j.

h) R(t) = √t2_{−9i+ ln|t−3|j+ (t}2_{+ 2t−8)k.}

i) R(t) = et_{(i−j) +e}−2t_(j−k). j) R(t) = tan(t)i+√4−t2_j+ 1

2 +tk.

k) R(t) = 2 sin(t)i+

1 cos(t)j−

3 tan(t)k.

l) R(t) = arcsin(t)i+ cos(t)j+ ln(2t−1)k.

2. En cada caso, encuentre una funci´on vectorialR que parametrice la curva en la direcci´on indicada.

a) 4x2+ 9y2 = 36; a) antihorario; b) horario.

b) (x−1)2_+y2 _{= 1; a) antihorario; b) horario.}

c) El segmento dirigido desde (1,4,−2) a (3,9,6).

d) El segmento dirigido desde (3,2,−5) a (7,2,9).

3. En cada caso, hallar una ecuaci´on vectorial de la curva C.

b) C es la intersecci´on del paraboloide z =x2+y2 con el plano y+x= 0

c) C es la intersecci´on del cilindro x2_+y2 _{= 9 con el plano 2x−z = 0.}

d) C es la intersecci´on de la esfera x2_+y2_+z2 _{= 2 con el paraboloide z =x}2_+y2_.

e) C es la intersecci´on de la esfera x2_+y2_+z2 _{= 6 con el planox+z = 2.}

f) Ces la intersecci´on del paraboloidez = 8x2_+y2 _{con el cilindro parab´olicoz = 9−x}2_.

4. Muestre queR(t) =ati+bt2_{j parametriza una par´abola. Encuentre una ecuaci´on enx e}

y para esta par´abola.

5. Muestre queR(t) = 1 2a(e

ωt_+e−ωt_)i+1

2a(e

ωt_−e−ωt_{)iparametriza la rama derecha (x >0)}

de la hip´erbola x2_−y2 _=a2_.

6. En cada caso, calcule: (F +G)(t), (F ·G)(t), (F ×G)(t), (F ◦f)(t) y (G◦g)(t).

a) F(t) = (4−t2)i+ 4j−(4−t2)k;G(t) = t2i+ (t2−4)j−4k;f(t) = 1

2−t;g(t) = 2−t. b) F(t) = sec(t)i+ tan(t)j −2k; G(t) = sec(t)i−tan(t)j +tk; f(t) = cos(t); g(t) =

arc cos(t).

7. En cada caso, calcule el l´ımite indicado, si existe.

a) R(t) = t 2₋₁

t+ 1i+

t+ 1

t−1j+|t+ 1|k; l´ımt→−1R(t).

b) R(t) = 3(t2_{−1)i+ cos(t)j +} t

|t|k; l´ımt→0R(t).

c) R(t) = t−1

t2₋₁i+

t2_{+ 2t−3}

t−1 j; l´ımt→1R(t).

d) R(t) = tln(t)i+ln(t)

t2 j +

p

ln(t2_{)k; l´ım}

t→e2R(t).

e) R(t) = 1−cos(t)

t i+e

t_j+e−t_{k; l´ım} t→0R(t).

f) R(t) = sin(t) cos(t)

t i+

7t3

et j+ t

t+ 1k; l´ımt→0R(t).

g) R(t) = t2_i+ 1−cos(t)

3t j+

t

t+ 1k; l´ımt→0R(t).

h) R(t) = 1 + cos(t) 1−sin(t)i+

1−cos2_(t) 1−cos(t)j+

t2

sin(t)k; l´ımt→0R(t).

i) R(t) = ln(t3_)i+t2_{ln(t)j+tk; l´ım}

t→0+R(t).

j) R(t) = sin(2t) sin(t) i+

cos(3t) cos(t) j+

sin(4t)

tan(t)k; l´ımt→0R(t).

a) todas la funciones del ejercicio (1).

b) R(t) = (t−1)i+ 1

et₋₁j+

|t−1|

t−1 k.

c) R(t) = sin(πt)i−tan(πt)j+ cot(πt)k.

d) R(t) =

  

e−1/t2

i+t2_{j +k si t 6= 0}

0 si t = 0

e) R(t) =

    

sin(t)

t i+

1−cos(t)

t j+

1−et

t k si t 6= 0

i−k si t = 0

9. Dada la funci´on vectorial R(t) = ln(t)i+ e

t_−e t−1j+

t3₋₁

t−1 k, defina R(1) de tal manera que la funci´on sea continua ent= 1.

10. Hallar los puntos donde la funci´on R(t) =

t

2

i+etj + sin(t)k es discontinua.

11. En cada caso, dibuje la gr´afica de la funci´on vectorial e indique la direcci´on que recorre la curva cuando t crece.

a) R(t) = 4

t2i+ 4

tj. b) R(t) = t3_{i+ 2tj; t≥0.}

c) R(t) = (t−2)i+ (t2_{+ 4)j+k.}

d) R(t) = 2ti+ (5−2t)j+ 3tk;t ≥0.

e) R(t) = cos(t)i+ sin(t)j + 3k.

f) R(t) = 3 cos(t)i+ 3 sin(t)j+ 2tk; 0≤t≤4π.

g) R(t) = 4 cos(t)i+ sin(t)j+ 1

2tk; 0≤t≤2π.

h) R(t) = ti+t2_j+ 3 2t

3_{k; 0≤t≤2.}

12. Demuestre que si la funci´on vectorial V es continua en un n´umero a, entonces||V(t)|| es continua en a.

13. En cada caso, calcular la derivada de la funci´on vectorial.

a) R(t) = 2i−cos(t)k.

b) R(t) = sin2(t)i+ cos(3t)j +t2_k.

c) R(t) = arctan(t)(i−j).

d) R(t) = et_(i+tj+t2_k).

e) R(t) = et_{(i−j) +e}−2t_(j−k).

g) R(t) = (e2ti+e−2tj+k)×(e2ti−e−2tj +k). 14. En cada caso, calcule R00(t0).

a) R(t) = e−t2

i+e−t_j;t

0 = 0.

b) R(t) = t2_e−t_i+te−t_{j; t}

0 = 0.

c) R(t) = tan(2t)i+ arctan(t)j;t0 = 0.

d) R(t) = ln(sin(t))i+ ln(cos(t))j+ (2 sin(t)−3 cot(t))k;t0 =

π

4.

e) R(t) = tln(t)i+ ln2(t)j+pln(t)k; t0 =e. 15. Seav(t) =<cos(t),sin(t), t > y ϕ(t) =e−2t_{. Hallar:}

a) d

dt||v(t)||.

b) d

dt[v(ϕ(t))].

c) d

dt[ϕ(t)v(t)].

16. En cada caso, hallar las ecuaciones param´etricas de la recta tangente a la curva dada en el punto P0 correspondiente al valor de t0 indicado.

a) R(t) = (1−t2_{)i+ sin(t)j+ (t+ cos(t))k; t} 0 = 0.

b) R(t) = et_i+e−t_j−ln(t)k;t

0 = 1.

c) R(t) = (t+ 1)i+ (t2_{+ 1)j+ (t}3_{+ 1)k; t} 0 = 0.

d) R(t) = 2 cos(t)i+ 3 sin(t)j+tk; t0 =π/4.

e) R(t) = tsin(t)i+tj+tcos(t)k; t0 =π/2.

17. En cada caso, las curvas se intersectan en el punto. Encuentre la medida en radianes del ´

angulo de intersecci´on.

a)

  

R1(t) = ti+t2j+t3k

P = (0,0,0)

R2(u) = sin(2u)i+ucos(u)j +uk

b)

  

R1(t) = (et−1)i+ 2 sin(t)j + ln(t+ 1)k

P = (0,0,0)

R2(u) = (u+ 1)i+ (u2−1)j+ (u3+ 1)k

c)

  

R1(t) = e−ti+ cos(t)j+ (t2+ 4)k

P = (1,1,4)

R2(u) = (2 +u)i+u4j + 4u2k

a)

(

R1(t) = (2−t)i+t2j+ 1

tk R2(u) = eui+e2uj+ cos(u)k

b)

R1(t) = sin(t)i+ 2 cos(t)j+ (3 sin(t)−1)k

R2(u) = cos(u)i+ tan(u)j+ cos(u)k

c)

(

R1(t) = eti+ 2 sin

t+π 2

j+ (t2_−2)k

R2(u) = ui+ 2j+ (u2−3)k

19. Muestre que la curva

R(t) = (t2−t+ 1)i+ (t3−t+ 2)j+ sin(πt)k

se intersecta a s´ı misma en el punto (1,2,0); es decir, muestre que existen n´umeros t1 y

t2, distintos, tal que R(t1) =R(t2). Luego encuentro los vectores tangentes a la curva en el punto (1,2,0).

20. Probar que la recta tangente en cualquier punto de la h´elice

R(t) =acos(αt)i+asin(αt)j+bαtk, α >0

forma con el eje Z un ´angulo constante θ = arc cos

b

√

a2_+b2

.

21. Muster que, si R(t) = sin(t)i+ cos(t)j, entonces R(t) y R00(t) son paralelos. ¿Existe un valor detpara el cualR(t) yR00(t) tengan la misma direcci´on? Adem´as, calculeR(t)·R0(t) y R(t)×R0(t).

22. Suponga que la funci´on vectorial R(t) es dos veces diferenciable en un intervalo I.

De-muestre que d

dt[R(t)×R

0_{(t)] =R(t)×R}00_{(t) para todo t en I.}

23. Pruebe que, siR(t) es paralelo a R00(t) para todot es alg´un intervalo, entoncesR×R0 es constante en ese intervalo.

24. En cada caso, determine el triedro m´ovil y obtenga ecuaciones de los planos osculador, rectificador y normal para la cuerva en t =t1.

a) R(t) = ti+t2_{j+ 2t}2_{k; t} 1 = 1

b) R(t) = i+1 2t

2_j+ 1 3t

3_k;t 1 = 1.

c) R(t) = (sin(t)−tcos(t))i+ (cos(t) +tsin(t))j+ 2k; t1 =

π

2.

d) R(t) = sin(3t)i−cos(3t)j+ 4tk; t1 =

π

3.

e) R(t) = etcos(t)i+etsin(t)j +etk; t1 = 0.

f) R(t) = cos3_{(t)i+ sin}3_{(t)j+ 2k; t} 1 =

π

25. Obtenga el coseno del ´angulo entre los vectoresR

π

6

y T

π

6

para la curva

R(t) = 2 sin(t)i+ sin(2t)j+ cos(3t)k.

26. Determine el coseno del ´angulo entre el vectorj y el vector tangente unitario en el punto donde t=π de la curva R(t) = cos(2t)i−3tj+ 2 sin(2t)k.

27. Calcule la medida en radianes del ´angulo entre los vectores N(1) y R00(1) para la curva

R(t) = (4−3t2)i+ (t3 −3t)j.

28. En cada caso, calcule la integral definida.

a) R₀1(et_i+e−t_j)dt b) Rπ

0 (sin(t)i+ cos(t)j+tk)dt.

c) R₀1e−t(ti+ 4e3tj +k)dt.

d) R₁3

1

ti+

ln(t)

t j+e

−2t_k

dt.

29. SeaR(t) =ti+f(t)j. Calcule:

R0(t0),

Rb

a R(t)dt,

Rb

a R

0_(t)dt,

dado que f0(t0) =m, f(a) =c,f(b) = d,

Rb

a f(t)dt =A.

30. En cada caso, encuentre R(t) desde la informaci´on dada.

a) R0(t) = ti+t(1 +t2₎−1/2_{j +te}t_{k; R(0) =i+ 2j+ 3k.} b) R0(t) = sin2(t)i+ 2 cos2_{(t)j; R(π) =<0,0,0>.}

c) R0(t) = 1

t+ 1i−tan(t)j +

t

t2₋₁k; R(0) = 4i−3j+ 5k.

d) R0(t) = 2R(t); R(0) =j −k.

e) R00(t) = cos(2t)i+ sin(2t)j; R0(0) = 2i− 1

2j;R(0) = 3 4i+j.

31. En cada caso, determine la longitud de la curva con la ecuaci´on vectorial dada.

a) R(t) = t2i−2t3j + 6t3k; 0≤t≤1.

b) R(t) = √7t7i−√2t7j+ 6t7k; 0≤t ≤1.

c) R(t) = t2_i+

t2₊ 1 3t

3

j+

t− 1 3t

3

k; 0≤t≤1.

e) R(t) = 5 cos(t)i+ (1 + 5 sin(t))j+ 12tk; 0≤t≤3.

f) R(t) = sin(2t)i+ cos(2t)j+ 2t3/2_{k; 0≤t≤1.}

g) R(t) = (sin(t)−tcos(t))i+ (cos(t) +tsin(t))j+√2t2_{k; 0≤t≤π.}

h) R(t) = ti+ arcsin(t)j− 1 4ln

1−t

1 +t

k; 0≤t≤1/2.

i) R(t) = ti+ ln(sec(t))j + 3k; 0≤t ≤π/4.

j) R(t) = arctan(t)i+ 1

2ln(1 +t

2_{)j; 0≤t ≤1.}

k) R(t) = 5etcos(t)i+ 5etsin(t)j+ 5√2etk; 0≤t≤1.

32. En cada caso, para la curva dada, exprese la longitud de arco L como una funci´on de t, donde Lse mide a partir del punto donde t= 0.

a) La cicloide R(t) = 2(t−sin(t))i+ 2(1−cos(t))j.

b) R(t) = ti+t3/2j.

33. Para las curvas del ejercicio (24), obtenga una ecuaci´on vectorial de la curva que tiene la longitud de arco Lcomo par´ametro, donde L se mide a partir del punto donde t= 0.

34. Hallar el punto en la h´elice R(t) = 4 cos(t)i+ 4 sin(t)j+ 3tk que est´a a una distancia de 10π a lo largo de la curva, desde el punto P0 = (4,0,0) en la direcci´on en que crece la longitud de arco.

35. Hallar el punto en la h´elice R(t) = 15 cos(t)i+ 15 sin(t)j + 8tk que est´a a una distancia de 34π a lo largo de la curva, desde el punto P0 = (15,0,0) en la direcci´on opuesta en que crece la longitud de arco.

36. Demuestre que el vector tangente unitario de la h´elice circular

R(t) =acos(t)i+asin(t)j +tk, a >0,

forma un ´angulo de medida constante, en radianes, con el vector unitario k.