Sucesiones y series de funciones

(1)

Sucesiones y series de funciones

Renato ´Alvarez Nodarse

Departamento de Análisis Matemático Facultad de Matemáticas. Universidad de Sevilla

http://euler.us.es/˜renato/

(2)

Sucesiones y series de funciones.

En este apartado vamos a considerar una extensi´on obvia de la teor´ıa de las sucesiones y series n´umericas:sucesiones y series de funciones.

Es decir, vamos a considerar un conjunto de funciones

fn(x) : X_→R

(3)

Sucesiones y series de funciones.

En este apartado vamos a considerar una extensi´on obvia de la teor´ıa de las sucesiones y series n´umericas:sucesiones y series de funciones.

Es decir, vamos a considerar un conjunto de funciones

fn(x) : X_→R

que dependan de un par´ametron _∈N.

Por ejemplo fn(x) : R→R

fn(x) =

xn

n!, fn(x) =x

n_, _f n(x) =

(4)

Sucesiones y series de funciones.

Una sucesi´on de funciones (fn(x))n, es una aplicaci´on que a cada

n´umero natural le hace corresponder una funci´on

(5)

Sucesiones y series de funciones.

Una sucesi´on de funciones (fn(x))n, es una aplicaci´on que a cada

n´umero natural le hace corresponder una funci´on

fn(x) : Dn→R

As´ı mismo, podremos hablar de una serie de funciones ∞

X

n=1

fn(x)

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Sucesiones y series de funciones.

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Sucesiones y series de funciones.

Es evidente que la sucesión (fn(x))n tendrá sentido si podemos definir fn(x), para todon∈N, es decir, si existen las sucesiones númericas (fn(x0))n para al menos unx0.

Esto no siempre ocurre. Por ejemplo, para la sucesi´on

f1(x) =x, f2(x) =√x, f3(x) =

1

x,

√

−x, _{· · ·} .

(8)

Sucesiones y series de funciones.

Es evidente que la sucesión (fn(x))n tendrá sentido si podemos definir fn(x), para todon∈N, es decir, si existen las sucesiones númericas (fn(x0))n para al menos unx0.

Esto no siempre ocurre. Por ejemplo, para la sucesi´on

f1(x) =x, f2(x) =√x, f3(x) =

1

x,

√

−x, _{· · ·} .

cuyos dominios son R, [0,+_∞), R_\{0_}, (_−∞,0], etc..

En adelante asumiremos que existe un conjunto m´ınimo Dno vac´ıo donde est´a definida la sucesi´on completa: D_⊂T∞

(9)

Definiciones

D1: La sucesi´on de funciones (fn(x))n tiene l´ımite para cierto

x0 ∈Dom(fn) si la sucesi´on n´umerica (fn(x0))n converge para

dicho x0. En este caso diremos que la sucesi´on converge

(10)

Definiciones

puntualmente en x0,

D2: ElconjuntoX de todos los puntosx_∈Dom₍_f_n_{) donde la} sucesi´on (fn(x))n converge se denominaconjunto de convergencia de la sucesi´on de funciones.

(11)

Definiciones

puntualmente en x0,

D2: ElconjuntoX de todos los puntosx_∈Dom₍_f_n_{) donde la} sucesi´on (fn(x))n converge se denominaconjunto de convergencia de la sucesi´on de funciones.

Como _∀x _∈X, existe un ´unico valor del l´ımite de (fn(x))n, entonces podemos definir una funci´on f(x) sobre X, i.e.,

D3: En el conjuntoX de convergencia de (fn(x))n la funci´onf(x) definida para cada x_∈Xde la forma f(x) = l´ım

n→∞fn(x) se

(12)

Ejemplos

◮ E1: Definamos en [0,∞) la sucesión f_n(x) =xn,n∈N. Es fácil comprobar que la sucesión de funciones converge si y sólo si x_∈[0,1], además

l´ım n→∞x

n₌_f_{(x) =} (

1, x= 1 0 0_≤x<1

,

(13)

Ejemplos

l´ım n→∞x

n₌_f_{(x) =} (

1, x= 1 0 0_≤x<1

,

es la funci´on l´ımite. N´otese que si escogemos X= [0,q], 0_≤q <1, entonces f(x) = 0.

◮ E2a: Sea f_n(x) :R7→R,f_n(x) = senn

2_x

n . Es evidente que

(14)

Ejemplos

l´ım n→∞x

n₌_f_{(x) =} (

1, x= 1 0 0_≤x<1

,

es la funci´on l´ımite. N´otese que si escogemos X= [0,q], 0_≤q <1, entonces f(x) = 0.

◮ E2a: Sea f_n(x) :R7→R,f_n(x) = senn

2_x

n . Es evidente que

X=Ryf(x) = 0.

◮ E2b: Seafn(x) :_R7→R,f_n(x) = sennx

n2 . Como en el ejemplo

(15)

Ejemplos

◮ E3: Sea fn(x) : [0,1]7→R,f_n(x) = 2(n+ 1)x(1−x2)n. Evidentemente si x= 0 o x = 1,fn(x) = 0. Six∈(0,1) entonces (1₋x2₎_<_{1, luego}_f

(16)

Ejemplos

n(x)→0 cuando n→ ∞. Por tanto, X= [0,1] y f(x) = 0.

◮ E4: Seann,m∈_Ny sea f_m(x) = l´ım

n→∞(cosm!πx) 2n_.

(17)

Ejemplos

Si m!x _∈Z=_⇒fm(x) = 1, sim!z 6∈Z=⇒fm(x) = 0. Veamos el l´ımite cuando m_{→ ∞} defm(x).

Si x_6∈Q=_{⇒ ∀}m_∈N,m!x_6∈Z, por tantofm(x) = 0 y

f(x) = l´ım

(18)

Ejemplos

f(x) = l´ım

m→∞fm(x) = 0.

Si x_∈Q=_⇒ a partir de ciertom_∈N,m!x_∈Z, por tanto, a partir de dicho m,fm(x) = 1 =⇒ f(x) = l´ım

(19)

Ejemplos

f(x) = l´ım

m→∞fm(x) = 0.

Si x_∈Q=_⇒ a partir de ciertom_∈N,m!x_∈Z, por tanto, a partir de dicho m,fm(x) = 1 =⇒ f(x) = l´ım

m→∞fm(x) = 1. As´ı, tenemos que X=R yf(x) =D(x), es la funci´on de Dirichlet

D(x) =

1, x _∈Q

(20)

Objetivo fundamental

Nuestro objetivo fundamental NO es estudiar cuando las

(21)

Objetivo fundamental

Nuestro objetivo fundamental NO es estudiar cuando las

sucesiones funcionales convergen o no–pues eso ya lo hemos visto antes pues para cada x la sucesión (fn(x))n es una sucesión numérica– sino decidir en que condiciones las propiedades defn se traspasan a la función l´ımite.

¿Hereda f(x) todas las propiedades de las fn(x)?

(22)

Ejemplos

E1: fn(x) =xn,n ∈N. EnD= [0,1]

l´ım n→∞x

n₌_f_{(x) =} (

1, x = 1 0 0_≤x <1

,

es la funci´on l´ımite.

Si escogemos X= [0,q], 0_≤q <1, entonces f(x) = 0.

Aqu´ı las funciones xn _{son continuas en [0,}_{1] pero la funci´on l´ımite}

f(x) no lo es. No ocurre lo mismo en el intervaloX= [0,q]. Adem´as

Z 1

0

fn(x)dx = Z 1

0

xndx = 1

n+ 1 →0 = Z 1

0

0dx = Z 1

0

(23)

Ejemplos

E2a: Sea fn(x) :R7→R,fn(x) =

senn2_x

n . Es evidente que X=R

yf(x) = 0.

Aqu´ı la funci´on fn(x) = senn

2_x

n es derivable en todo R, y su

función l´ımite también, pero por ejemplo, la sucesión de sus derivadas f′

n(x) =ncosn2x no tiene l´ımite excepto cuando

n2_x ₌_k_π/2,_k _∈_{Z. Es decir la sucesi´on de derivadas no converge}

(24)

Ejemplos

E2a: Sea fn(x) :R7→R,fn(x) =

senn2_x

n . Es evidente que X=R

yf(x) = 0.

Aqu´ı la funci´on fn(x) = senn

2_x

n es derivable en todo R, y su

función l´ımite también, pero por ejemplo, la sucesión de sus derivadas f′

n(x) =ncosn2x no tiene l´ımite excepto cuando

n2_x ₌_k_π/2,_k _∈_{Z. Es decir la sucesi´on de derivadas no converge}

a la derivada de la funci´on l´ımite.

E2b: Sea fn(x) :R7→R,fn(x) =

sennx

n2 . Como en el ejemplo

anterior X=Ryf(x) = 0.

En este caso, a diferencia del anterior la sucesi´on de sus derivadas f′

n(x) = cosnx

n converge a cero que justamente es la derivada de la funci´on l´ımite. Es decir, en este ejemplo s´ı que tenemos

f′

n(x)→f ′

(25)

Ejemplos

E3: Sea fn(x) : [0,1]_7→R,fn(x) = 2(n+ 1)x(1−x2)n. Como

vimos l´ımn→∞fn(x) =f(x) = 0.

La funci´on fn(x) = 2(n+ 1)x(1₋x2)n _{es integrable en [0,}_{1] y} adem´as

Z 1

0

fn(x)dx = 2(n+1) Z 1

0

x(1₋x2)n_dx _{= 2(}_n₊₁₎ 

−

(1₋x2₎n+1

n+ 1 1 0 

= 1,

pero Z 1

0

f(x)dx = Z 1

0

0dx = 0, luego Z 1

0

fn(x)dx 6→ Z 1

0

(26)

Ejemplos

E4: Sean n,m_∈Ny sea fm(x) = l´ım

l´ım

m→∞fm(x) =D(x) =

1, x_∈Q

0, x_∈I .

(27)

Ejemplos

l´ım

m→∞fm(x) =D(x) =

1, x_∈Q

0, x_∈I .

Nótese que la función fm(x) vale cero en [0,1] excepto un número finito de puntos, luego fm es integrable y su integral vale cero, pero su función l´ımite es una función no integrable.

(28)

Ejemplos

l´ım

m→∞fm(x) =D(x) =

1, x_∈Q

0, x_∈I .

Nótese que la función fm(x) vale cero en [0,1] excepto un número finito de puntos, luego fm es integrable y su integral vale cero, pero su función l´ımite es una función no integrable.

Todo lo anterior nos dice que dada una sucesi´on (fn(x))n cuyas funciones tienen determinadas propiedades como la continuidad, derivabilidad o integrabilidad, la funci´on l´ımite puede o no tenerlas.

(29)

Convergencia

puntual

y uniforme

Definici´on 4: Una sucesi´on de funciones (fn(x))n definidas en

I _⊂Rconverge puntualmentea f(x) enI, i.e., fn→f si

(30)

Convergencia

puntual

y uniforme

I _⊂Rconverge puntualmentea f(x) enI, i.e., fn→f si

(31)

Convergencia puntual y

uniforme

I _⊂Rconverge uniformementea f(x) enI, i.e., fn⇒f, si

(32)

Convergencia puntual y

uniforme

I _⊂Rconverge uniformementea f(x) enI, i.e., fn⇒f, si

(33)

Convergencia puntual y uniforme

fn−→f converge puntualmente af(x) enI si

∀ǫ >0 y _∀x0∈I,∃N≡ N(ǫ,x0) ∈N t.q. ∀n>N, |fn(x0)−f(x0)|< ǫ

fn⇒f converge uniformementea f(x) enI si

(34)

Convergencia puntual y uniforme

(35)

Convergencia puntual y uniforme

(36)

Ejemplos de convergencias

Ejemplo: xn _⇒_{0 en [0,}_q_{], con 0}_<_q_<_1.

Efectivamente, cualquiera sea ǫ >0, si escogemos N = logǫ/logq, entonces para todo n>N y todo x _∈[0,q], xn_≤_qn_{< ǫ, es decir}

(37)

Ejemplos de convergencias

xn _⇒_{0 en [0,}_q_].

(38)

Ejemplos de convergencias

xn _⇒_{0 en [0,}_q_].

Comprobemos que xn_⇒₆ _{0 en [0,}_1).

Sea ǫ >0 t.q. 0< ǫ <1. Como l´ım

x→1x

n_{= 1} _{ello indica que}

cualquiera sea n_∈Nsiempre existe un xǫ ∈(0,1) tal quexǫn≥ǫ

basta escoger, por ejemplo, xǫ =√nǫ.

Luego dado un ǫ_∈(0,1), cualquiera seaN_∈Nsiempre existe un

x _∈(0,1) tal que fn(x) =xn_≥_{ǫ, por tanto} _f

(39)

(40)

(41)

Ejemplos de convergencias: Simulaci´on

(42)

Principales teoremas

T1:(Condici´on necesaria y suficiente de convergencia uniforme para una sucesi´on de funciones)

Dada una sucesi´on de funciones fn(x))n definidas en I ∈ X,fn(x) converge uniformementeaf(x) enI si y s´olo si

l´ım

(43)

Principales teoremas

l´ım

n→∞sup_x_∈_I|fn(x)−f(x)|= 0.

Corolario: Para que una sucesión de funcionesfn(x))n definidas en I _{∈ X},fn(x) converja uniformemente a f(x) enI esnecesario y suficiente que exista una sucesión (an)n de términos no

negativos con l´ım

n→∞an= 0 y un n´umeroN ∈N tal que

(44)

Principales teoremas

l´ım

n→∞sup_x_∈_I|fn(x)−f(x)|= 0.

Corolario: Para que una sucesión de funcionesfn(x))n definidas en I _{∈ X},fn(x) converja uniformemente a f(x) enI esnecesario y suficiente que exista una sucesión (an)n de términos no

negativos con l´ım

n→∞an= 0 y un n´umeroN ∈N tal que

∀n >N, |fn(x)−f(x)| ≤an

(45)

Principales teoremas

T2:(Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme para una sucesi´on de funciones)

Dada una sucesi´on de funciones fn(x))n definidas en I ∈ X,fn(x) converge uniformemente a f(x) enI si y s´olo si_∀ǫ >0,

(46)

Principales teoremas

T2:(Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme para una sucesi´on de funciones)

Dada una sucesi´on de funciones fn(x))n definidas en I ∈ X,fn(x) converge uniformemente a f(x) enI si y s´olo si_∀ǫ >0,

∃N_∈Ntal que _∀n>N,_∀p _∈N y_∀x_∈I,_|fn+p(x)−fn(x)|< ǫ.

Corolario: Si (fn(x))n y (gn(x))n son dos sucesiones de funciones uniformemente convergentes en I a las funcionesf(x) y g(x), respectivamente, entonces

αfn(x) +βgn(x)⇒_α_f₍_x_{) +}_β_g₍_x_), _{en I,} _∀_{α, β} _∈R,

(47)

Convergencia de series de funciones

D6: Dada una sucesi´on de funciones (an(x))n, la expresi´on

∞ X

k=1

ak(x) =a1(x) +a2(x) +a3(x) +· · ·+ak(x) +· · ·

se denomina serie funcional o serie de funciones y las

Sn(x) = n X

k=1

ak(x) =a1(x) +a2(x) +a3(x) +· · ·+an(x),

(48)

Convergencia de series de funciones

D6: Dada una sucesi´on de funciones (an(x))n, la expresi´on

∞ X

k=1

ak(x) =a1(x) +a2(x) +a3(x) +· · ·+ak(x) +· · ·

se denomina serie funcional o serie de funciones y las

Sn(x) = n X

k=1

ak(x) =a1(x) +a2(x) +a3(x) +· · ·+an(x),

se denominan sumas parciales de la serie de funciones.

D7: Una serie de funciones ∞ X

k=1

ak(x) converge puntualmente

(49)

Convergencia de series de funciones

Si definimos el resto de la serie

rn(x)≡S(x)−Sn(x) = ∞ X

k=n+1

ak(x),

(50)

Convergencia de series de funciones

Si definimos el resto de la serie

rn(x)≡S(x)−Sn(x) = ∞ X

k=n+1

ak(x),

entonces, la serie converge uniformemente si y s´olo sirn(x)⇒0, en caso contrario la convergencia no es uniforme.

T3: Si la serie ∞ X

k=1

ak(x) es uniformemente convergente en I,

(51)

Convergencia de series de funciones

T4: (Criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de una serie de funciones)

Sea (an)∞n=0 una sucesi´on de funciones definidas en I ⊂R, y

(bn)∞n=0 una sucesi´on de n´umeros reales no negativos, tales que

|an(x)_{| ≤}bn para todon ∈Nyx ∈I y cuya serie ∞ X

n=1

bn es

convergente. Entonces la serie de funciones ∞ X

n=1

an(x) es

(52)

Convergencia de series de funciones

T4: (Criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de una serie de funciones)

Sea (an)∞n=0 una sucesi´on de funciones definidas en I ⊂R, y

(bn)∞n=0 una sucesi´on de n´umeros reales no negativos, tales que

|an(x)_{| ≤}bn para todon ∈Nyx ∈I y cuya serie ∞ X

n=1

bn es

convergente. Entonces la serie de funciones ∞ X

n=1

an(x) es

uniformemente convergente an I.

(53)

Propiedades de las sucesiones de funciones

T5: (Sobre la conmutatividad del l´ımite de una sucesi´on de funciones)

Sea (fn(x))n una sucesi´on de funciones definidas en I ⊂Rtal que para cada n_∈Nexiste el l´ımite l´ım

x→x0

fn(x) =ln,x0∈I. Si

fn(x)⇒f(x) enI, entonces

l´ım n→∞

l´ım x→x0

fn(x)

= l´ım x→x0

l´ım n→∞fn(x)

(54)

Propiedades de las sucesiones de funciones

T5: (Sobre la conmutatividad del l´ımite de una sucesi´on de funciones)

Sea (fn(x))n una sucesi´on de funciones definidas en I ⊂Rtal que para cada n_∈Nexiste el l´ımite l´ım

x→x0

fn(x) =ln,x0∈I. Si

fn(x)⇒f(x) enI, entonces

l´ım n→∞

l´ım x→x0

fn(x)

= l´ım x→x0

l´ım n→∞fn(x)

Corolario: (Sobre la continuidad de una sucesi´on de funciones)

Sea (fn)∞

(55)

Propiedades de las series de funciones

T6: (Sobre la conmutatividad del l´ımite y la suma para una serie de funciones)

Sea ∞ X

n=1

an(x) una serie de funciones uniformemente convergente

en I tales que l´ım x→x0

an(x) =an, entonces

l´ım x→x0

∞ X

n=1

an(x) ! = ∞ X n=1 l´ım x→x0

an(x) = ∞ X n=1 an.

Si adem´as, las funciones an(x) son continuas, entonces la suma

(56)

Propiedades de las series de funciones

T6: (Sobre la conmutatividad del l´ımite y la suma para una serie de funciones)

Sea ∞ X

n=1

an(x) una serie de funciones uniformemente convergente

en I tales que l´ım x→x0

an(x) =an, entonces

l´ım x→x0

∞ X

n=1

an(x) ! = ∞ X n=1 l´ım x→x0

an(x) = ∞ X n=1 an.

Si adem´as, las funciones an(x) son continuas, entonces la suma

S(x) de la serie es una funci´on continua.

El inverso es falso en general, i.e., si fn(x)→f(x) enI, yfn(x) y

(57)

Propiedades de las series de funciones

T7: (Sobre la integrabilidad de una sucesi´on de funciones)

Sea (fn)∞

n=0 una sucesi´on de funcionesfn: [a,b]⊂R7→R integrables en [a,b] y seafn⇒f en [a,b]. Entonces

l´ım n→∞

Z b

a

fn(x)dx = Z b

a [ l´ım

n→∞fn(x)]dx = Z b

a

(58)

Propiedades de las series de funciones

Sea (fn)∞

l´ım n→∞

Z b

a

fn(x)dx = Z b

a [ l´ım

a

f(x)dx.

Corolario: Sea S(x) = ∞ X

n=1

an(x) una serie de funciones

uniformemente convergente en [a,b] t.q.an(x) son integrables en [a,b], entonces S(x) es integrable en [a,b] y

∞ X

n=1

Z b

a

an(x)dx

= Z b a ∞ X n=1

an(x) !

dx = Z b

a

(59)

Propiedades de las series de funciones

Sea (fn)∞

l´ım n→∞

Z b

a

fn(x)dx = Z b

a [ l´ım

a

f(x)dx.

Corolario: Sea S(x) = ∞ X

n=1

an(x) una serie de funciones

uniformemente convergente en [a,b] t.q.an(x) son integrables en [a,b], entonces S(x) es integrable en [a,b] y

∞ X

n=1

Z b

a

an(x)dx

= Z b a ∞ X n=1

an(x) !

dx = Z b

a

S(x)dx.

(60)

Propiedades de las series de funciones

T8: (Sobre la derivabilidad de una sucesi´on de funciones)

Sea (fn)∞n=0 una sucesi´on de funciones definidas en un intervalo

acotado I _⊂R y derivables enI tales que para cierto x0 ∈I se

tiene l´ım

n→∞fn(x0) =l y adem´as la sucesi´on de funciones (f ′ n)∞n=0

converja uniformemente a g enI. Entonces la sucesi´on (fn)∞n=0

converge uniformemente a cierta funci´on f enI y adem´as

f′

(x) =g(x) para todox _∈I, es decir la sucesión se puede derivar término a término, i.e.,

l´ım n→∞fn(x)

′ = l´ım

(61)

Propiedades de las series de funciones

T8: (Sobre la derivabilidad de una sucesi´on de funciones)

Sea (fn)∞n=0 una sucesi´on de funciones definidas en un intervalo

acotado I _⊂R y derivables enI tales que para cierto x0 ∈I se

tiene l´ım

n→∞fn(x0) =l y adem´as la sucesi´on de funciones (f ′ n)∞n=0

converja uniformemente a g enI. Entonces la sucesi´on (fn)∞n=0

converge uniformemente a cierta funci´on f enI y adem´as

f′

(x) =g(x) para todox _∈I, es decir la sucesión se puede derivar término a término, i.e.,

l´ım n→∞fn(x)

′ = l´ım

n→∞f ′ n(x).

(62)

Demostraci´on:

Definamos la sucesi´on de funciones (ϕn(x))n, definidas por

ϕn(x) =   

 

fn(x)₋fn(x0)

x₋x0

, x₆=x0

f′

n(x0), x=x0

Las funciones ϕn(x) son continuas en I –pues las funcionesfn(x) son derivables en I por condici´on del teorema–.

(63)

Demostraci´on:

|ϕn+p(x)−ϕn(x)|=

(fn+p(x)−fn(x))−(fn+p(x0)−fn(x0))

x₋x0

= = f ′

n+p(ξ)−f ′ n(ξ)

,

donde ξ_∈(x,x0). Para obtener la ´ultima igualdad hemos aplicado

el teorema del valor medio de Lagrange a la funci´on

F(x) =fn+p(x)−fn(x), es decir, F(x)−F(x0) =F′(ξ)(x−x0).

Adem´as, por definici´on tenemos ϕn+p(x0)−ϕn(x0)

=f′

n+p(x0)−fn′(x0), luego |ϕn+p(x)−ϕn(x)| =

f_n′₊_p(ξ)−f_n′(ξ) para todo x_∈I. Ahora bien, comof′

n(x)⇒g(x) enI, entonces, para todo ǫ >0 existe unN _∈Ntal que para todo n>N,p _∈Ny para todo x_∈I,

f_n′₊_p(ξ)−f_n′(ξ)

< ǫ, entonces |ϕn+p(x)−ϕn(x)|=

f

′

n+p(ξ)−f ′ n(ξ)

(64)

Demostraci´on:

Probemos ahora que fn(x)⇒f(x) enI. Para ello usamos las identidades fn+p(x) =fn+p(x0) + (x−x0)ϕn+p(x), y

fn(x) =fn(x0) + (x−x0)ϕn(x). Entonces,

|fn+p(x)−fn(x)|= |fn+p(x0)−fn(x0) + (x−x0)[ϕn+p(x)−ϕn(x)]|

≤ |fn+p(x0)−fn(x0)|+|x−x0| |ϕn+p(x)−ϕn(x)|

Ahora bien, como fn(x0)→f(x0), entonces, para todoǫ >0 existe

un N1 ∈N tal que para todon>N1, y p ∈N,

|fn+p(x0)−fn(x0)|< ǫ/2. Adem´as, ϕn(x)⇒ϕ(x) enI, por tanto, para todo ǫ >0 existe un N2 ∈Ntal que para todon>N, p∈N

y para todo x _∈I,_|ϕn+p(x)−ϕn(x)|< ǫ/2(b−a), es decir, para

todo ǫ >0 existe unN _∈N–N= m´ax(N1,N2)– tal que para todo

n >N,p _∈Ny para todo x_∈I, _|fn+p(x)−fn(x)|< ǫ, o sea,

(65)

Demostraci´on:

Para culminar nuestra prueba nos resta demostrar que la funci´on l´ımite f(x) es derivable en I y quef′

(x) =g(x) para todox _∈I, es decir, que f′₍_x_{) = l´ım}

n→∞f_n′(x).

Ante todo, notemos que puesto que fn(x) ⇒f(x) enI, entonces la condici´on l´ım

n→∞fn(x0) =f(x0) se cumple para cualquiera sea x0∈I y no s´olo para elx0 prefijado en el enunciado del teorema. Por

tanto, si probamos que f(x) es derivable en ciertoζ _∈I –en particular x0– y quefn′(ζ)→f

′

(ζ) =g(ζ), entonces f′

(x) =g(x) en todo I. Escojamos por tanto unζ cualquiera y redefinamos las funciones

ϕn(x) =   

 

fn(x)−fn(ζ)

x₋ζ , x6=ζ

f′

(66)

Demostraci´on:

ϕ(x) = l´ım

n→∞ϕn(x) = l´ımn→∞

fn(x)₋fn(ζ)

x₋ζ =

f(x)₋f(ζ)

x₋ζ . Lo anterior junto con el hecho de que todas las funciones ϕn(x) son continuas en I, y que ϕn(x)⇒ϕ(x) enI, nos permiten utilizar el teorema sobre la continuidad de una sucesi´on de funciones para afirmar que ϕ(x) es continua enI as´ı como el teorema sobre el l´ımite que nos da

l´ım x→ζ

f(x)₋f(ζ)

x₋ζ = l´ımx→ζ

l´ım n→∞

fn(x)₋fn(ζ)

x₋ζ = l´ım n→∞ l´ım x→ζ

fn(x)−fn(ζ)

x₋ζ

= l´ım n→∞f

′ n(ζ).

Esta igualdad nos asegura que existe la derivada de f(x) para todo

x _∈I, y adem´as que

f′

(ζ) = l´ım

x→ζϕ(x) = l´ımn→∞f ′

(67)

Aplicaci´on a las series de potencias

T9: (Segundo Teorema de Abel para las series de potencias)

Cualquiera sea la serie de potencias ∞ X

n=0

anzn, an,z ∈C,∃R≥0

´

o R = +_∞t.q. R es el radio de convergencia de la serie. Adem´as, la serie converge absolutamente para todoz tal que _|z_|<R y

(68)

Aplicaci´on a las series de potencias

n=0

´

uniformemente para todo z tal que _|z_{| ≤}r <R.

T10: (Sobre la convergencia uniforme de una serie de potencias)

Sea la serie de potencias ∞ X

n=0

anzn,an,z ∈C. Entonces la serie

converge uniformemente en cualquier regi´on del plano complejo contenida en _|z_{| ≤}r <R, con R= 1

l´ım

n n p

|an|

(69)

Aplicaci´on a las series de potencias

n=0

´

uniformemente para todo z tal que _|z_{| ≤}r <R.

T10: (Sobre la convergencia uniforme de una serie de potencias)

Sea la serie de potencias ∞ X

n=0

anzn,an,z ∈C. Entonces la serie

converge uniformemente en cualquier regi´on del plano complejo contenida en _|z_{| ≤}r <R, con R= 1

l´ım

n n p

|an|

.