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As matemáticas do veciño

Iniciación á Investigación Actas do Seminario de

2 2 019 020

Editores

L. Davila Pena I. Márquez Albés D. Mosquera Lois M. P. Páez Guillán

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A CTAS DO S EMINARIO DE

I NICIACI ´ ON ´ A I NVESTIGACI ´ ON

CURSO 2019 – 2020

Editores:

Laura Davila Pena Ignacio M´arquez Alb´es David Mosquera Lois Ma Pilar P´aez Guill´an

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Coordina:

Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on (SII) seminarios3c@gmail.com

Edita:

Instituto de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Imprenta Universitaria Pavill´on de Servizos s/n

Campus Vida

15782 Santiago de Compostela A Coru˜na

ISSN: 2171-6536 Dep´osito Legal:C 1117-2020

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You know, people think mathematics is complicated. Mathe- matics is the simple bit. It’s the stuff we can understand. It’s cats that are complicated. I mean, what is it in those little molecules and stuff that make one cat behave differently than another, or that make a cat? And how do you define a cat? I have no idea.

John Horton Conway (1937 – 2020)

It is impossible to be a mathematician without being a poet in soul.

Sofya Vasilyevna Kovalevskaya (1850 – 1891)

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Prefacio

Confinar: obrigar [a algu´en] a permanecer nun lugar ou nun espazo limitado.

(Dicionario da Real Academia Galega) A ti, que tiveches a curiosidade de consultar estas actas do Seminario de Ini- ciaci´on ´a Investigaci´on (SII), supo˜no que agardar´as que esta p´axina che presente brevemente o compendio de traballos que se dan cita neste volume... Ao igual que nas edici´ons anteriores (e xa van quince), estas Actas do SII volven a estar cheas de comezos de cami˜nos que levar´an ´as s´uas autoras e autores a onde elas e eles queiran chegar. Estas son as Actas dun (SII), con par´enteses. Son as Actas dun SII acoutado involuntariamente na s´ua actividade pero que malia estas circunstancias, segue a ser quen de recoller a afouteza de quen bota a andar porque albisca os l´ımites do co˜necemento, e cara al´ı emprende rumbo.

Estas breves li˜nas son escritas dende a vivencia dunha situaci´on desco˜necida para a nosa xeraci´on (e para moitas outras), na que nos vimos obrigadas e obrigados a reducir os nosos espazos f´ısicos de convivencia, a distancia entre n´os, as apertas e os bicos. Parou o mundo. Confinamento ´e a palabra destes d´ıas. E resulta complexo atopar algo m´ais antag´onico ao SII que o feito de v´ermonos obrigados a permanecer nun espazo limitado.

Se ti, que est´as a ler estas p´axinas, pertences ´a comunidade matem´atica, concor- dar´as en que somos especialistas en sinalar a nosa zona de confort, identific´andonos co ´ambito onde desenvolvemos a nosa investigaci´on. Chegamos a definirnos por onde nos situamos e non polo co˜necemento que atesouramos e que compartido, multipli- ca o seu valor. Endexamais clasificariamos os libros das nosas bibliotecas pola cor da cuberta ou pola altura do estante no que se atopan; pero si nos po˜nemos eti- quetas absurdas que nos limitan no espazo. En certo modo, temos tendencia ao confinamento...

O SII leva quince anos abrindo espazos de convivencia e constru´ındo un lugar com´un, hoxe solidamente asentado na Facultade de Matem´aticas e apadri˜nado polo Instituto de Matem´aticas, no que o sentido de pertenza agroma de xeito natural, porque os que al´ı habitan son compa˜neiras e compa˜neiros que queren o mesmo:

avanzar no co˜necemento matem´atico, reco˜necendo as m´ultiples perspectivas dende as que botar luz sobre un problema. Por iso, agardamos impacientes a nova edici´on, quizais nunha “nova normalidade”, pero mantendo a esencia das s´uas orixes. O espazo est´a aberto e a luz segue acesa.

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Santiago de Compostela, maio de 2020 Rosa Mar´ıa Crujeiras Casais

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´ Indice xeral

Introduci´on 1

Alberto Rodr´ıguez V´azquez

“M´etricas trapalleiras en R3” 3

Mar´ıa Alonso Pena

“Regresando ao toro e ao cilindro” 9

Daniel Cao Labora

“O Teorema de Cauchy-Lindel¨of-Lipschitz-Picard” 15

Marcos Fern´andez Criado

“Introducci´on a la geometr´ıa algebraica mediante bases de Gr¨obner” 21 Sandro Caeiro Oliveira

“M´etricas cr´ıticas para funcionales cuadr´aticos de curvatura” 27 Erika Diz Pita´

“Blow up’s, compactificaciones y otros ingredientes de un retrato de fases” 33 Eduardo Loureiro Novo

“Introduci´on ´a teor´ıa de categor´ıas” 39

Javier Rey Ram´ırez

“Contrastes de equivalencia para la media de dos poblaciones” 45 Sara Costa Faya

“Valoraci´on de opciones financieras mediante el modelo de Tremor” 51 Gabriel Mart´ınez de Cestafe Pumares

“El grupo libre y sus automorfismos” 57

Agradecementos 67

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Introduci´ on

A nave do Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on, dese˜nada coma unha platafor- ma para intercambiar co˜necemento e ideas entre a mocidade investigadora, izou as s´uas velas por primeira vez no ano 2005, capitaneada por alumnos do Terceiro Ciclo da Facultade de Matem´aticas. Estes intr´epidos navegantes pretend´ıan amosar que as distintas ´areas de co˜necemento das matem´aticas non son illas independentes sen´on que forman un arquip´elago conexo, ´a vez que aspiraban a involucrar activamente ao estudantado, profesorado e investigadores na s´ua expedici´on.

Os anos foron pasando e novos alumnos de Terceiro Ciclo asumiron o mando da nave, pero o esp´ırito dos primeiros mari˜neiros perdurou nas distintas viaxes do SII, chegando intacto ata este curso 2019/2020. A mediados deste ´ultimo ano tivo que enfrontarse a unha terrible tempestade que o deixou varado durante m´ais de tres meses, forz´andoo a interromper a s´ua ruta e limitando a s´ua actividade. A principal tarefa do Comit´e Organizador do SII, e a que m´ais afectada se viu por mor desta situaci´on, foi a de organizar e coordinar charlas sobre diversos aspectos das matem´aticas. Estes relatorios adoitan ser impartidos por novos grumetes que est´an a comezar a s´ua andaina investigadora nesta ciencia, brind´andolles deste modo a oportunidade de desenvolver competencias transversais fundamentais para as s´uas carreiras.

Rematamos esta traves´ıa pas´andolle o tim´on a un novo cadro de mando e confian- do en que poida devolver o buque ´as augas tranquilas da Facultade de Matem´aticas, sempre guiado pola luz do faro do Instituto de Matem´aticas.

Do mesmo xeito que ningunha viaxe est´a completa sen o seu caderno de bit´a- cora, ning´un co˜necemento est´a totalmente aproveitado se non se difunde. Con esta finalidade, presentamos este volume onde se recolle o labor de toda a tripulaci´on que tomou parte nesta nova singradura do Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on, continuando as´ı as ideas orixinais dos seus fundadores: compartir o co˜necemento.

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Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN: 2171-6536

M´ etricas trapalleiras en R

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Area de Xeometr´ıa e Topolox´ıa´

Alberto Rodr´ıguez V´azquez

Universidade de Santiago de Compostela 18 de setembro de 2019

Xeometr´ıa de Riemann

A xeometr´ıa de Riemann constit´ue unha das ramas m´ais importantes da xeo- metr´ıa diferencial. ´E com´un sinalar como feito fundacional da mesma, a lecci´on inaugural pronunciada por Bernhard Riemann en 1854, ¨Uber die Hypothesen, wel- che der Geometrie zu Grunde liegen [6]. Esta contribu´ıu ´o avance de diversas ´areas das matem´aticas como a teor´ıa de grupos, a ´analise e a topolox´ıa alx´ebrica e dife- rencial. Al´en das matem´aticas, a xeometr´ıa de Riemann ´e co˜necida por ser o marco matem´atico sobre o que se constru´ıu a teor´ıa da relatividade de Einstein.

Para unha visi´on global sobre os temas tratados e problemas abertos no eido da xeometr´ıa de Riemann, p´odese consultar [2]. Para unha introduci´on m´ais detallada p´odese consultar [3].

A xeometr´ıa de Riemann consiste en considerar un espazo, M , e introducir nel un obxecto co˜necido como m´etrica de Riemann que denotamos por g.

Este espazo M ´e unha variedade diferenciable, concepto que definiremos a con- tinuaci´on. Unha variedade topol´oxica ´e un espazo topol´oxico Haudorff, localmente euclideano e cunha base numerable. Unha variedade diferenciable def´ınese como unha variedade topol´oxica dotada dun atlas diferenciable [3]. Ademais, ´e posible definir para cada p∈ M un espazo vectorial que chamamos espazo tanxente e de- notamos por TpM . Un exemplo sinxelo de variedade diferenciable ´e R3, que satisfai TpR3 = R3 para cada p∈ R3. A meirande parte destas li˜nas van xirar ´o redor deste espazo. Polo tanto, o lector que non estea familiarizado coa noci´on de variedade diferenciable pode supo˜ner sen ning´un temor que M = R3.

Doutra banda, unha m´etrica de Riemann, g, en M ´e un produto escalar, h·, ·i, en TpM que depende diferenciablemente de p∈ M. Volvendo ´o caso M = R3,

´e doado ver que podemos identificar todo produto escalar de R3cunha matriz de orde 3, sim´etrica e definida positiva. Polo tanto, unha m´etrica de Riemann en R3 pode identificarse cunha matriz de orde 3, sim´etrica e definida positiva cuxas entradas son funci´ons diferenciables de R3 en R.

A continuaci´on, explicaremos algunhas das cousas que podemos facer cando contamos cunha m´etrica de Riemann.

Palabras Clave: superficies con curvaturas principais constantes; superficies isoparam´etricas;

xeometr´ıa de Riemann.

3

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Sexa γ : [a, b]→ M unha curva definida en M. A lonxitude desta curva v´en dada pola seguinte f´ormula

L(γ) :=

Z b

a ph ˙γ(t), ˙γ(t)idt, (1)

onde ˙γ(t) denota a derivada de γ(t) con respecto a t. Co cal, ´e natural introdu- cir unha distancia en M definida do seguinte xeito. Dados p, q ∈ M, denotamos por L(p, q) o conxunto de cami˜nos (aplicaci´ons, γ : [0, 1] → M, diferenciables con extremos p e q). Definimos a distancia:

d(p, q) := ´ınf

γ ∈ L(p, q){L(γ)}.

Denotemos porF(M) e X(M) o conxunto das funci´ons diferenciables de M en R e o conxunto dos campos de vectores en M , respectivamente. Unha conexi´on af´ın ´e unha aplicaci´on ∇: X(M) × X(M) → X(M) que ´e R-linear na segunda compo˜nente e F(M)-linear na primeira. Ademais, diremos que unha conexi´on af´ın

´e unha conexi´on de Levi-Civita se satisfai:

[X, Y ] =∇XY − ∇YX

XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi,

onde X, Y, Z∈ X(M) e [·, ·] denota o corchete de Lie de campos de vectores.

Dada unha m´etrica de Riemann, g, existe unha ´unica conexi´on de Levi-Civita que proporciona un xeito natural de tomar derivadas direccionais en M . Deste xeito,

XY ∈ X(M) interpr´etase como “a derivada de Y na direcci´on de X”.

Tendo en conta o anterior, podemos definir as xeod´esicas como aquelas cur- vas γ : [a, b]→ M que satisfan ∇γ˙˙γ = 0. Escribindo esta ecuaci´on en coordenadas obtense un sistema de ecuaci´ons diferenciais ordinarias de segunda orde. Ent´on, em- pregando resultados de existencia e unicidade de soluci´ons de ecuaci´ons diferenciais, podemos conclu´ır que, fixados p∈ M e v ∈ TpM , existe unha ´unica xeod´esica γ con condici´ons iniciais γ(0) = p∈ M e ˙γ(0) = v ∈ TpM .

Para rematar esta secci´on, describiremos como son as xeod´esicas do espazo eu- clidiano e do espazo hiperb´olico de dimensi´on tres. Sexa E3 o espazo euclidiano tridimensional. Isto ´e, R3 dotado coa m´etrica de Riemann que se corresponde coa matriz identidade en cada punto. As xeod´esicas desta variedade de Riemann son as rectas. Outro exemplo de variedade de Riemann v´en dado polo espazo hiperb´olico tridimensional. Consideremos R2× (0, +∞), o semiespazo superior delimitado polo plano z = 0 en R3, e a m´etrica de Riemann, g, con entradas

gij(x, y, z) = 1

z2δij, (x, y, z)∈ R2× (0, +∞),

onde δij denota a delta de Kronecker. Ent´on, o espazo hiperb´olico tridimensional RH3 p´odese definir como R2×(0, +∞) equipado coa m´etrica anteriormente descrita.

As xeod´esicas deste espazo son as rectas ortogonais ´o plano z = 0 e as semicircun- ferencias con centro nalg´un punto dese plano.

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Alberto Rodr´ıguez V´azquez SII 5

Superficies en (R

3

, g)

A continuaci´on introduciremos algunhas definici´ons sobre superficies no espazo euclideano tridimensional dotado dunha m´etrica arbitraria, (R3, g). Consideremos S unha superficie en (R3, g). Denotemos por TpS o espazo tanxente a S en p∈ S. Este ´e un subespazo vectorial de dimensi´on dous en R3. Empregando a m´etrica de Riemann, g, podemos definir o complemento ortogonal a TpS en S, o que nos permite definir un vector normal unitario en p, que denotamos por N (p). Ademais, podemos definir o operador de configuraci´on asociado a S mediante Ap: TpS → TpS, definido como

Ap(v) =−∇vN|p, v∈ TpS.

Este ´e un endomorfismo lineal autoadxunto respecto da restricci´on de g a TpS.

Co cal, polo teorema espectral, os autovalores do operador de configuraci´on son funci´ons reais definidas en S, que chamaremos curvaturas principais. Polo tanto, ten sentido definir a curvatura media de S mediante H : S→ R, onde H(p) = trAp

para cada p ∈ S. Consecuentemente, estamos en condici´ons de introducir as d´uas definici´ons m´ais importantes neste texto.

Definici´on 1. Sexa S ⊂ (R3, g) unha superficie. Diremos que S ten curvaturas principais constantes se os autovalores deAp e Aq coinciden para todo p, q∈ S.

E doado comprobar que o plano, a esfera ou o cilindro son superficies con cur-´ vaturas principais constantes en E3. De feito, o rec´ıproco tam´en ´e certo.

Teorema 1 (Levi–Civita, [5]). Sexa S ⊂ E3 unha superficie. Ent´on os seguintes enunciados son equivalentes:

1. S ten curvaturas principais constantes.

2. S ´e un subconxunto aberto dun plano, unha esfera ou un cilindro.

Definimos a aplicaci´on exponencial de Riemann de (R3, g) en p∈ R3, denotada por expp: TpR3 → R3, e dada por expp(v) = γv(1) para v ∈ TpR3, onde γv ´e a xeod´esica con condici´ons iniciais p∈ R3 e v∈ TpR3. Agora diremos que

Sr:={expprN (p) : p∈ S}

´e a superficie paralela a distancia r > 0. Por ser a aplicaci´on exponencial de Riemann un difeomorfismo local, tense que Sr ´e difeomorfa a S para r > 0 suficientemente pequeno.

Definici´on 2. Sexa S ⊂ (R3, g) unha superficie. Diremos que S ´e isoparam´etri- ca se tanto S como as superficies paralelas pr´oximas a S te˜nen curvatura media constante.

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De novo, ´e sinxelo comprobar que o plano, a esfera ou o cilindro son superficies isoparam´etricas en E3. Ademais, temos a seguinte relaci´on entre superficies con curvaturas principais constantes e superficies isoparam´etricas nos chamados espazos de curvatura constante. Estes son: o espazo euclidiano E3, o espazo hiperb´olico RH3 e a esfera redonda S3, que non ´e m´ais que o conxunto de vectores unitarios de E4 dotado da m´etrica inducida.

Figura 1: As superficies isoparam´etricas en E3 son o plano, a esfera e o cilindro.

Teorema 2 (´Elie Cartan, [2]). Sexa S unha superficie en E3, RH3 ou S3. Ent´on, equivalen:

S ten curvaturas principais constantes.

S ´e isoparam´etrica.

M´ etricas trapalleiras

A vista do Teorema 2, p´´ odese pensar que ter curvaturas principais constantes e ser isoparam´etrica son conceptos equivalentes en calquera variedade de Riemann.

Por´en, Wang [8], probou que existen variedades de Riemann que admiten superfi- cies isoparam´etricas con curvaturas principais non constantes. Sen embargo, non se co˜nec´ıan exemplos de superficies con curvaturas principais constantes que non fosen isoparam´etricas. ´E dicir, que a xeometr´ıa das superficies paralelas a unha superfi- cie con curvaturas principais constantes fose estragada pola m´etrica da variedade ambiente. Isto motiva a seguinte definici´on.

Definici´on 3. Sexa g unha m´etrica de Riemann en R3. Diremos que g ´e trapa- lleira se existe algunha superficie S⊂ (R3, g) non isoparam´etrica e con curvaturas principais constantes.

A continuaci´on, describiremos brevemente un exemplo de m´etrica trapalleira en R3 obtido en [7]. Por unha banda, consideremos a m´etrica g en R3 con entradas

gij(x, y, z) = (2 + cos(πx))(2 + cos(πy))δij, (x, y, z)∈ R3 e i, j ∈ {1, 2, 3}.

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Alberto Rodr´ıguez V´azquez SII 7

Por outra banda, consideremos a superficie S :={(x, y, z) ∈ R3 : z = 0}, ´e dicir, o plano z = 0. Reparando no feito de que g non depende da coordenada z, ´e f´acil comprobar que o operador de configuraci´on de S ´e a matriz nula en cada punto. Polo tanto, a superficie S ten curvaturas principais constantes. Sexa α = (α1, α2) ∈ Z2. Ent´on, p´odese probar que a traza de γα(t) = (α1, α2, t) ´e unha xeod´esica ortogonal a S.

Empregando a ecuaci´on de Riccati, co˜necida no eido da xeometr´ıa de Riemann (ver [3, Ecuaci´on 3.8]), obtemos

d

dr|r=0Hrα(r)) = π2(2− 4/3(# entradas pares de α)),

onde Hr denota a curvatura media de Sr, a superficie paralela a S a distancia r > 0.

Polo tanto, tendo en conta que H0 = H = 0, escollendo α = (0, 0) e β = (1, 1) obtemos que Hrα(r)) < 0 e Hrβ(r)) > 0. Co cal Sr non ten curvatura media constante para r > 0 pequeno. Ent´on, S non ´e isoparam´etrica e g ´e unha m´etrica trapalleira.

Bibliograf´ıa

[1] Berger, M. (2003). A panoramic view of Riemannian geometry, Springer-Verlag, Berlin.

[2] Cartan, E. (1938). Familles de surfaces isoparam´etriques dans les espaces `a courbure constante, Ann. Mat. Pura Appl., 17, pp. 177–191.

[3] Gray, A. (2004). Tubes, Birkh¨auser Basel, Boston.

[4] Lee, J. M. (1997). Riemannian geometry. An introduction to curvature, Springer-Verlag, New York.

[5] Levi-Civita, T. (1937). Famiglie di superficie isoparametriche nell’ordinario spazio euclideo, Att. Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 26(6), pp. 355–362.

[6] Riemann, B. (2013). ¨Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Historisch und mathematisch kommentiert von J¨urgen Jost, Springer Spektrum, Berlin.

[7] Rodr´ıguez-V´azquez, A. (2019). A non isoparametric hypersurface with constant principal curvatures, Proc. Amer. Math. Soc., 147, pp. 5417–5420.

[8] Wang, Q. M. (1983). Real hypersurfaces with constant principal curvatures in complex projective spaces. I., Sci. Sinica Ser. A., 26, pp. 1017–1024.

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Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN: 2171-6536

Regresando ao toro e ao cilindro

Area de Estat´ıstica e Investigaci´´ on Operativa

Mar´ıa Alonso Pena

Universidade de Santiago de Compostela 2 de outubro de 2019

Introduci´ on

Os modelos de regresi´on serven para estudar a dependencia entre unha variable resposta e unha variable explicativa. Xeralmente, as variables de estudo est´an defi- nidas na recta real, pero os modelos de regresi´on poden estenderse a contextos onde algunha das variables sexa de natureza circular. Os datos circulares son observa- ci´ons definidas na circunferencia do c´ırculo unidade e que podemos expresar como

´

angulos (direcci´ons ou observaci´ons que sexan peri´odicas). A periodicidade dos da- tos fai que non poidan ser tratados con t´ecnicas estat´ısticas usuais; por exemplo, se supo˜nemos que 0 representa a direcci´on norte e dispo˜nemos das observaci´ons 5 e 355, resulta evidente que ambas apuntan a unha direcci´on cercana ao norte.

Por´en, cando facemos a media aritm´etica entre as observaci´ons, obtemos un valor de 180, que trivialmente apunta en sentido contrario. Debido a isto, nos ´ultimos anos t´e˜nense proposto diferentes t´ecnicas estat´ısticas espec´ıficas para datos circulares.

No contexto da regresi´on, cando unha das variables ´e circular e a outra ´e linear, podemos representar a funci´on de regresi´on na superficie dun cilindro. Por outra banda, se ambas variables son circulares, a curva de regresi´on pode ser representada na superficie dun toro. Estimar a funci´on de regresi´on nalg´un destes contextos pode resultar de gran interese cient´ıfico. Por exemplo, no caso de explicativa circular e resposta linear (regresi´on circular-linear), [1] estuda a relaci´on entre a medida de peso necesaria para corrixir un desequilibrio en volantes de inercia (pezas met´alicas presentes nos sistemas de transmisi´on dos coches) e o ´angulo de desequilibrio. No escenario de regresi´on linear-circular, [5] estuda a direcci´on de escape de pulgas de praia en funci´on da temperatura. No contexto circular-circular, [5] tam´en estuda a direcci´on das pulgas en funci´on do ´angulo solar. Estas relaci´ons de dependencia p´odense estudar mediante modelos de regresi´on param´etricos, nos que asumimos que a funci´on de regresi´on segue unha forma concreta que depende duns par´ametros. Con todo, sucede habitualmente que estes modelos non son o suficientemente flexibles para describir a relaci´on entre as variables. Para emendar este problema podemos recorrer a m´etodos de regresi´on non param´etrica, nos que non asumimos a forma da funci´on a estimar.

Palabras Clave: datos circulares; non efecto; bootstrap.

9

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Neste traballo, o obxectivo ´e chegar a contrastes de hip´oteses baseados en mo- delos non param´etricos para determinar se a variable explicativa realmente ten un efecto sobre a variable resposta, cando algunha das variables (ou ambas) son de na- tureza circular. En primeiro lugar abordaremos t´ecnicas b´asicas para explorar datos circulares. En segundo lugar estudaremos os modelos de regresi´on non par´ametricos e, a continuaci´on, presentaremos os test de non efecto baseados nestes modelos. Por

´

ultimo, aplicaremos os contrastes aos datos dos volantes de inercia e das pulgas de praia mencionados anteriormente.

Explorando datos circulares

Dada unha mostra de datos circulares, Θ1, ..., Θn, o primeiro paso antes de reco- rrer a ferramentas para realizar regresi´on ou inferencia ´e unha an´alise exploratoria.

En variables continuas definidas sobre a recta real, o histograma ´e un recurso moi utilizado para representar os datos e dar unha idea inicial sobre a s´ua distribuci´on.

Non obstante, en variables definidas sobre o c´ırculo debemos ter en conta a perio- dicidade dos datos, polo que un histograma non resultar´ıa axeitado. No seu lugar, recorremos a un diagrama de rosa (tam´en chamado histograma circular), que se mostra na Figura 1 (esquerda) cos datos das direcci´ons das pulgas de praia. En dita figura apreciamos que a meirande parte dos animais se moven cara ao cuarto cuadrante (270-360).

Para estudar a direcci´on preferida das pulgas podemos calcular a direcci´on media dos crust´aceos, que como vimos na introduci´on, non coincide coa media aritm´etica das observaci´ons. Para unha variable circular, a media mostral calc´ulase obtendo a media aritm´etica dos senos e dos cosenos das observaci´ons, e calculando o ´angulo que devolven esta media de senos e media de cosenos. Polo tanto, def´ınese a media mostral circular como

Θ = atan2¯

 1 n

n

X

j=1

sen(Θj),1 n

n

X

j=1

cos(Θj)

,

onde atan2 ´e o operador que, aplicado ao valor (a, b), devolve o ´angulo entre o eixo das x e o punto (b, a). Para os datos das pulgas obtemos que a direcci´on media mostral ´e 310.

O diagrama de rosa presentado na Figura 1 (esquerda) danos unha aproxima- ci´on da densidade que seguen os datos. Non obstante, se queremos modelizar a distribuci´on de probabilidade, podemos utilizar modelos de densidade circular pa- ram´etricos. No c´ırculo, a densidade m´ais utilizada ´e a densidade de von Mises, que tam´en ´e chamada ocasionalmente a normal circular. Isto ´e debido a que comparte certas propiedades coa distribuci´on normal, e ambas modelan unha gran cantidade de fen´omenos f´ısicos. A funci´on de densidade da von Mises ´e

f (θ) = 1

2πI0(κ)exp{κ cos(θ − µ)}, (1)

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Mar´ıa Alonso Pena SII 11

onde µ e κ son par´ametros que representan, respectivamente, a direcci´on media e a concentraci´on dos datos. O par´ametro de concentraci´on, κ, act´ua de xeito oposto ´a desviaci´on t´ıpica na normal: a maior valor de κ, m´ais concentrados estar´an os datos con respecto a µ, mentres que se κ ´e pequeno, os datos estar´an m´ais esparexidos sobre a circunferencia. Na Figura 1 (dereita) tam´en se representa a densidade de von Mises axustada aos datos das pulgas, onde os par´ametros foron estimados mediante o m´etodo de m´axima verosimilitude.

Figura 1: Representaci´on das direcci´ons de movemento das pulgas de praia mediante un diagrama de rosa (esquerda) e estimaci´on da densidade dos datos mediante unha densidade de von Mises (dereita).

Regresi´ on non param´ etrica circular

Nesta secci´on estudaremos os modelos de regresi´on non param´etrica para datos circulares. Dada unha variable explicativa circular, Θ, e unha variable resposta linear, Y , podemos supo˜ner o seguinte modelo de regresi´on:

Yj = m(Θj) + εj, j = 1, ..., n,

onde n ´e o tama˜no da mostra e os εj son erros de media cero. Coa ´unica condici´on de que m sexa unha funci´on suave, ´e dicir, de clase suficientemente alta, [3] prop´on estimala a partir dos propios datos mediante un axuste trigonom´etrico local. Deste xeito, para cada θ∈ [0, 2π), ax´ustase o polinomio trigonom´etrico β01sen(θ−·) ´as observaci´ons Θj, onde, mediante uns pesos, se dar´a m´ais importancia ´as observaci´ons m´ais cercanas ´a direcci´on θ. As´ı, a estimaci´on da funci´on de regresi´on na direcci´on θ ser´a ˆm(θ) = ˆβ0, onde

( ˆβ0, ˆβ1) = arg m´ın

a,b∈R n

X

j=1

Kκ(θ− Θj)[Yj− (a + b sen(θ − Θj))]2, (2) sendo Kκ unha funci´on de densidade circular con media cero e que depende dun par´ametro de concentraci´on κ (na pr´actica, utilizarase xeralmente a densidade (1)).

(23)

As´ı, en cada punto θ ∈ [0, 2π), a funci´on m ser´a estimada como unha media pon- derada dos datos, onde as observaci´ons m´ais pr´oximas a θ ser´an as que te˜nan m´ais peso. O n´umero de observaci´ons que tomemos para estimar m(θ) depender´a de κ:

canto menor sexa, m´ais observaci´ons ser´an tomadas para a estimaci´on. Polo tanto, a suavidade da curva estimada variar´a con κ; esta ´e a raz´on pola que tam´en se lle chama par´ametro de suavizado.

No caso onde a variable resposta sexa circular (denotada ent´on como Φ), o modelo de regresi´on non param´etrica ser´a o mesmo tanto se a explicativa ´e linear coma se ´e circular. De forma xen´erica, denotarase a variable explicativa como ∆.

Supo˜namos que

Φj = m(∆j) + εj, j = 1, ..., n,

onde m ´e unha funci´on suave e εj ∈ [0, 2π) son ´angulos con direcci´on media cero.

Nun determinado punto δ, [4] estima a curva de regresi´on como ˆ

m(δ) = atan2 (ˆg1(δ), ˆg2(δ)), (3) onde

ˆ

g1(δ) = 1 n

Xsen(Φj)W (∆j− δ), gˆ2(δ) = 1 n

Xcos(Φj)W (∆j− δ),

e W ´e unha funci´on de densidade circular (se ∆ ´e circular) ou linear (se ∆ est´a defi- nida na recta real). No caso circular ad´oitase usar, igual que no caso anterior, unha densidade de von Mises, mentres que se ∆ est´a definida na recta real, a funci´on de densidade m´ais utilizada ser´a unha normal. En ambos casos a densidade depender´a dun par´ametro de suavizado que deberemos seleccionar: a concentraci´on, κ, no caso da von Mises, e a desviaci´on t´ıpica no caso da normal.

Test de non efecto

Cando aplicamos t´ecnicas de regresi´on non param´etrica, ´as veces non est´a claro se a variaci´on na curva de regresi´on ´e debida realmente ao efecto da variable ex- plicativa ou simplemente ´a variabilidade dos datos. Por ese motivo, propo˜nemos un contraste de hip´oteses que nos permita discernir se a variable explicativa realmente afecta ´a resposta.

No caso da regresi´on circular-linear, constru´ımos o noso test coas seguintes hi- p´oteses:

H0 : Yj = γ + εj, γ ∈ R, H1 : Yj = m(Θj) + εj,

onde m(Θj) 6= m(Θl) para alg´uns j, l ∈ {1, ..., n}. Asumiremos que os erros εj

seguen unha distribuci´on normal con media cero e varianza constante. As´ı, podemos constru´ır o estat´ıstico de contraste como

C1 = RSS0− RSS

RSS ,

(24)

Mar´ıa Alonso Pena SII 13

onde

RSS0 =

n

X

j=1

(Yj− ˆγ)2, e RSS =

n

X

j=1

(Yj− ˆm(Θj))2.

O par´ametro constante γ est´ımase coa media mostral das respostas, mentres que a curva baixo H1 est´ımase co estimador non param´etrico para regresi´on circular- linear ( ˆβ0 en (2)). Seguindo as ideas de [2], podemos aproximar a distribuci´on de C1

baixo H0 mediante unha χ2 recentrada e reescalada. O resultado do test depender´a da selecci´on do par´ametro de concentraci´on ou de suavizado que fagamos para a estimaci´on da curva de regresi´on m.

Se a variable resposta ´e circular, podemos plantexar o seguinte contraste de hip´oteses para determinar o efecto da variable explicativa:

H0 : Φj = [γ + εj]mod 2π, γ ∈ [0, 2π), H1 : Φj = [m(∆j) + εj]mod 2π,

onde m(∆j)6= m(∆l)mod 2π para alg´uns j, l∈ {1, ..., n}. Asumiremos que os erros te˜nen direcci´on media cero e concentraci´on constante. No caso anterior, regresi´on circular-linear, o estat´ıstico de contraste constru´ıase utilizando a distancia cadr´atica para medir as diferenzas entre as estimaci´ons e as respostas baixo cada unha das hip´oteses. Neste caso, non ´e posible utilizar dita distancia, xa que non est´a ben definida no c´ırculo. Polo tanto, utilizaremos unha distancia circular: d(θ, φ) = 1− cos(θ− φ). As´ı, consideramos o estat´ıstico de contraste

C2 = RSD0− RSD

RSD ,

onde

RSD0 =

n

X

j=1

[1− cos(Φj− ˆγ)] e RSD =

n

X

j=1

[1− cos(Φj − ˆm(∆j))].

Aqu´ı, ˆγ ´e a direcci´on media mostral das respostas, e ˆm ´e o estimador non param´etrico para respostas circulares dado en (3). Dado que non ´e sinxelo calcular a distribuci´on de C2 baixo a hip´otese nula, aplicamos t´ecnicas de remostraxe (t´ecnicas bootstrap) nas que aproximamos a distribuci´on do estat´ıstico cos propios datos. De novo, o resultado do test estar´a influenciado pola selecci´on do par´ametro de suavizado ´a hora de estimar a curva de regresi´on m.

Aplicaci´ on a datos reais

Aplicamos os nosos test aos datos reais dos volantes de inercia e das pulgas de praia, representados na Figura 2. No primeiro caso, queremos averiguar se o

´

angulo de desequilibrio ten un efecto sobre a medida de peso corrector, do xeito que se mostra no panel esquerdo da Figura 2 en li˜na continua, mentres que a li˜na

(25)

discontinua mostra o modelo baixo a hip´otese de “non efecto”. Aplicamos o test de non efecto para respostas lineais considerando unha secuencia de par´ametros de suavizado, obtendo p-valores moi pequenos para todos os par´ametros. Por tanto, temos evidencias para rexeitar que o ´angulo de desequilibrio non afecta ao peso corrector.

En segundo lugar, aplicamos o test de non efecto para respostas circulares aos datos das pulgas. O estimador non param´etrico das funci´ons de regresi´on est´a repre- sentado como unha li˜na continua nos paneis centro e dereita da Figura 2. Facemos dous contrastes diferentes: un para determinar se a temperatura afecta ´a direcci´on de escape e outro para estudar se esta direcci´on se ve influenciada polo ´angulo solar.

En ambos casos utilizamos unha secuencia de par´ametros de suavizado e obtemos, para todos eles, que existen evidencias para afirmar que tanto a temperatura como o ´angulo solar afectan ´a direcci´on de escape das pulgas.

Figura 2: Representaci´ons de medida correctora fronte ao ´angulo de desequilibrio (esquerda), direcci´on de escape fronte ´a temperatura (centro) e fronte ao ´angulo solar (dereita) coa estimaci´on non param´etrica (li˜na continua) e estimaci´on da media (li˜na discontinua).

Bibliograf´ıa

[1] Anderson-Cook, C. M. (1999). A tutorial on one-way analysis of circular-linear data, Journal of Quality Technology, 31, pp. 109–119.

[2] Bowman, A. W. e Azzalini, A. (1997). Applied Smoothing Techniques for Data Analysis: the Kernel Approach with S-Plus illustrations, OUP, Oxford.

[3] Di Marzio, M., Panzera, A. e Taylor, C. C. (2009). Local polynomial regression for circular predictors, Statistics & Probability Letters, 798, pp. 2066–2075.

[4] Di Marzio, M., Panzera, A. e Taylor, C. C. (2012). Non-parametric regression for circular responses, Scandinavian Journal of Statistics, 40, pp. 238–255.

[5] Marchetti, G. e Scapini, F. (2003). Use of multiple regression models in the study of sandhopper orientation under natural conditions, Estuarine, Coastal and Shelf Science, 58, pp. 207–215.

(26)

Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN: 2171-6536

O Teorema de Cauchy-Lindel¨ of-Lipschitz-Picard

Area de An´´ alise Matem´atica

Daniel Cao Labora

Universidade de Santiago de Compostela 16 de outubro de 2019

Introduci´ on

Un dos primeiros pasos en calquera curso de Ecuaci´ons Diferenciais Ordinarias (EDO) ´e prover ao alumnado de resultados que atinxan a existencia e unicidade de soluci´on dos problemas estudados na materia. Mentres que para a existencia o resultado singular ´e o Teorema de Cauchy-Peano, para o caso da unicidade cabe destacar o rol primordial do Teorema de Cauchy-Lindel¨of-Lipschitz-Picard.

A proba cl´asica deste ´ultimo resultado ´e, ´as veces, considerada como t´ecnica e non queda clara a intuici´on subxacente ´as hip´oteses do teorema. En particular, moi- tas veces non resulta claro que idea leva a impo˜ner unha condici´on tipo Lipschitz na funci´on que define a ecuaci´on diferencial. Foi o obxectivo da charla, e ´e o obxectivo deste pequeno resumo, propo˜ner uns argumentos alternativos para deducir a unici- dade de soluci´on establecida polo Teorema de Cauchy-Lindel¨of-Lipschitz-Picard.

Enunciado e bosquexo da proba cl´ asica

Como xa comentamos, o Teorema de Cauchy-Lindel¨of-Lipschitz-Picard ten un papel senlleiro dentro dos resultados cl´asicos do eido das ecuaci´ons diferenciais. De xeito m´ais concreto, establece unhas condici´ons que garanten a existencia e unicidade de soluci´on local dun problema de valor inicial. Especificamente, o teorema enuncia o seguinte.

Teorema 1(Cauchy-Lindel¨of-Lipschitz-Picard). Consideremos a ecuaci´on diferen- cial

x0(t) = f (t, x(t)), (1)

un punto p = (t0, x0) ∈ Dom(f) ⊂ R × Rn e un conxunto aberto Ω tal que temos p∈ Ω ⊂ Dom(f). O seguinte conxunto de hip´oteses ´e suficiente para ter existencia e unicidade de soluci´on (local) pasando por p.

Nunha veci˜nanza dep, f ´e continua (garante a existencia).

Nunha veci˜nanza dep, f ´e Lipschitz respecto ´a segunda variable (garante a unicidade).

Palabras Clave: ecuaci´ons diferenciais; unicidade; Lipschitz; Picard.

15

(27)

O noso obxectivo ´e falar acerca da unicidade de soluci´on e, polo tanto, podemos obviar a cuesti´on da existencia. De feito, o Teorema de Cauchy-Peano afirma preci- samente que a continuidade de f ´e suficiente para asegurar a existencia de soluci´on nunha veci˜nanza de p. Iso parece coherente coa a seguinte observaci´on.

Observaci´on 1. A EDOx0(t) = f (t, x(t)) at´opase tremendamente ligada ao campo vectorialV (t, x) = (1, f (t, x)). Para convencerse disto, simplemente, basta observar que as soluci´ons ´a EDO definida por f son curvas integrais do campo vectorial definido porV e, reciprocamente, as curvas integrais do campo vectorial definido por V son soluci´ons ´a EDO definida porf . Este feito ´e evidente, posto que, nunha certa abscisa t, unha funci´on continuamente diferenciable, x, ten como vector tanxente (1, x0(t)).

Ademais,f e V comparten moitas propiedades de relevancia para o noso estudo.

Por exemplo, ´e evidente comprobar que f ´e continua en (t, x) se e soamente se V ´e continua no mesmo punto. Isto mesmo sucede coa condici´on Lipschitz.

Ent´on, o feito de que f sexa continua quere dicir que o campo de vectores aso- ciado,V , ´e continuo. Parece xeometricamente intuitivo que, se este campo var´ıa de xeito continuo, te˜namos existencia de soluci´on local pasando por un punto. De feito, esta intuici´on formal´ızase a trav´es de t´ecnicas de aproximaci´on mediante poligonais, producindo o que se chaman “soluci´ons ε-aproximadas”, para logo tomar l´ımites e producir unha soluci´on ao problema e, polo tanto, unha demostraci´on do Teorema de Cauchy-Peano.

Non obstante, o Teorema de Cauchy-Peano non outorga unicidade de soluci´on e, de feito, ´e doado imaxinar un campo vectorial continuo que te˜na m´ais dunha curva integral pasando pola veci˜nanza dun punto.

Bosquexo da proba cl´ asica

Unha das probas m´ais est´andar para o Teorema de Cauchy-Lipschitz-Lindel¨of- Picard pode resumirse na seguinte concatenaci´on de argumentos.

Observamos que x(t) soluciona (1) se e s´o se ´e suficientemente regular e x(t) = x0+

Z t t0

f (s, x(s)) ds.

Consideramos o operador funcional Γ(y) = x0+

Z t t0

f (s, y(s)) ds

e buscamos un dominio axeitado de funci´ons onde o operador estea ben defi- nido (esencia do asunto: por continuidade, f ´e limitada en compactos).

Restrinximos o dominio previo para que Γ sexa contrativa (esencia do asunto:

f ´e Lipschitz respecto ´a segunda variable) e utilizamos o Teorema de Punto Fixo de Banach para conclu´ır a existencia e unicidade.

(28)

Daniel Cao Labora SII 17

Intuici´ on para unha proba alternativa

Como xa comentamos, temos que comprobar como a hip´otese de que f sexa Lipschitz respecto ´a segunda variable implica que (1) te˜na s´o unha soluci´on. Obser- vemos con m´ais detemento o que sucede cando temos d´uas soluci´ons e procuremos entender por que a condici´on Lipschitz falla.

t x

Figura 1: Obs´ervese que, se temos d´uas funci´ons que cumpren a mesma condici´on inicial, a lonxitude dos segmentos punteados decrece de modo s´uper-linear cando nos aproximamos ao punto de coincidencia.

Observaci´on 2. En base ´a Figura 1, ten bastante xeito supo˜ner que existen d´uas soluci´ons distintas cumprindo a mesma condici´on inicial e estudar a diferencia entre elas nunha mesma abscisa, procurando contradicir a condici´on tipo Lipschitz.

Se x(t) e y(t) cumpren (1) e comparten condici´on inicial, x(t0) = y(t0), obtemos que existe M ∈ R+ tal que:

|x0(t)− y0(t)| = |f(t, x(t)) − f(t, y(t))| ≤ M |x(t) − y(t)|.

Tras denotar g(t) = x(t)− y(t) e usando x(t0) = y(t0), ter´ıamos unha certa funci´on g6≡ 0 cumprindo g(t0) = 0 e|g0(t)| ≤ M |g(t)|. Se utilizamos a notaci´on Bachmann- Landau, simplemente estariamos a dicir g0(t) =O (g(t)) preto de t = t0.

Observaci´on 3. Notemos que, en particular,g6≡ 0 non pode ser un polinomio. O motivo ´e obvio pois, se g fose un polinomio, g0 ter´ıa menor multiplicidade en t = t0 ca g, dando unha contradici´on. Ent´on, ten xeito conxecturar o seguinte lema, ben co˜necido para o caso dos polinomios.

Lema 1. Consideremosg : I −→ Rn, conI un intervalo contendo a t0. Seg ´e unha funci´on continuamente derivable tal que g(t0) = 0 e g0(t) =O(g(t)) preto de t = t0, ent´ong≡ 0 nunha veci˜nanza de t = t0.

Observaci´on 4. O Lema 1 implica o Teorema de Cauchy-Lindel¨of-Lipschitz-Picard!

(29)

Un par de probas para o Lema 1

A continuaci´on, destacamos un par de probas para o Lema 1 nas cales asumi- remos, sen perda de xeneralidade, que t0 = 0. A primeira utiliza argumentos m´ais previsibles e intuitivos e recorda, en certo sentido, a un caso particular do Lema de Gr¨onwall. Respecto ´a segunda proba, a clave radica nun uso moi h´abil do Teore- ma do Valor Medio do C´alculo Diferencial (no caso multivariable, do Teorema dos Incrementos Finitos).

Primeira proba. Elaboramos a proba primeiro para o caso de n = 1. A condici´on g0(t) =O(g(t)) preto de t = 0 implica que existe M > 0 tal que

−M ≤ g0(t)

g(t) ≤ M (2)

no conxunto S = J− g−1{0}, onde J ´e unha veci˜nanza de t = 0. Sen perda de xeneralidade, podemos asumir que g6≡ 0 en calquera veci˜nanza dereita de t = 0. En consecuencia, S ser´a un conxunto non baleiro e podemos considerar un subintervalo (a, b)⊂ S, onde g non se anula e g(a) = 0. De feito, (a, b) pode ser elixida coma unha compo˜nente conexa de S∩ R+. Se fixamos un punto c∈ (a, b) e integramos (2) en (a + ε, c), obtemos

Z c a+ε

g0(t) g(t) dt

=|ln(|g(c)|) − ln(|g(a + ε)|)| ≤ M(c − (a + ε)).

Isto da unha contradici´on cando ε ´e suficientemente pequeno, por ser g continua en t = a con g(a) = 0.

Observaci´on 5. Se n > 1, precisamos facer un paso adicional. Primeiro deduci- riamos a existencia de M > 0 tal que

kg0(t)k

kg(t)k ≤ M, (3)

pero non resulta doado de integrar o lado esquerdo. Ent´on, ´e moito m´ais axeitado utilizar a sobreestimaci´on

kg(t)k0

kg(t)k ≤ M, (4)

que pode ser deducida de (3) a partir da definici´on de derivada coma cociente in- cremental e da desigualdade triangular

kg(t + h) − g(t)k ≥ kg(t + h)k − kg(t)k.

Resulta providencial notar que, en (4), a derivada do numerador est´a ben definida en calquera punto onde o denominador non se anula.

Como kgk ´e unha funci´on con imaxe contida en R1, podemos partir de (4) e aplicar a deduci´on anterior para derivar o resultado para o caso xeral con n > 1.

(30)

Daniel Cao Labora SII 19

Unha segunda proba

Outra posible forma de probar o Lema 1 ´e utilizar a seguinte idea suxerida polo profesor Rodrigo L´opez Pouso.

Segunda proba. En caso de ter g0(t) = O(g(t)) preto de t = 0, estariamos a dicir que existe M > 0 tal que

kg0(t)k ≤ M · kg(t)k

nalgunha veci˜nanza de t = 0, chamada J. Agora aplicamos o Teorema de Incremen- tos Finitos nun intervalo arbitrario [0, t]⊂ J e a nosa hip´otese g0(t) = O(g(t)) en t = 0. Deducimos que existe γ∈ (0, t) tal que

kg(t)k = kg(t) − g(0)k ≤ kg0(γ)k · t ≤ M · t · kg(γ)k ≤ kg(γ)k, (5) onde o ´ultimo paso queda garantido cando t ´e suficientemente pequeno: m´ais con- cretamente, sempre que t ∈ 0,M1. Temos que probar como isto implica que g ´e nula sobre0,M1 . Podemos amosar isto tras elixir un valor axeitado para t.

Consideramos o valor t= m´ın

( s∈

 0, 1

M



:kg(s)k = m´ax

r∈[0,M1]kg(r)k )

,

o cal est´a definido pola continuidade de g e a compacidade de 0,M1. Notemos que non ´e posible que t > 0, pois o valor kg(t)k ser´ıa unha cota superior estrita para calquera valor de kgk sobre (0, t) e, en particular, ter´ıamos a contradici´on kg(t)k > kg(γ)k en (5).

Ent´on, a ´unica posibilidade que evita a contradici´on ´e t = 0. En consecuencia, por construci´on de t, deducimos que a m´axima norma de g en0,M1 ´e kg(0)k = 0 e, as´ı, g ´e identicamente nula en0,M1 .

Alg´ uns resultados m´ ais xerais

Da Observaci´on 2 e a Figura 1, un pode preguntarse que sucede en caso de mudar a familia de hiperplanos normais a (1, (0, ... , 0)), onde se imp´on a condici´on Lipschitz (notemos que esa familia de hiperplanos son os de primeira variable fixa e segunda variable libre), por outra familia de hiperplanos paralelos diferente. Isto non reporta ning´un problema, sempre e cando o vector (1, f (p)) non sexa unha direcci´on da nova familia de hiperplanos. Pode probarse o seguinte teorema.

Teorema 2(Cauchy-Lindel¨of-Lipschitz-Picard direccional). Consideremos a ecua- ci´on diferencial (1), un punto p = (t0, x0)∈ Dom(f) ⊂ R×Rne un conxunto aberto Ω tal que p∈ Ω ⊂ Dom(f). O seguinte conxunto de hip´oteses ´e suficiente para ter existencia e unicidade de soluci´on (local) pasando por p.

Nunha veci˜nanza dep, f ´e continua (garante a existencia).

(31)

Nunha veci˜nanza de p, f ´e Lipschitz respecto a perturbaci´ons no argu- mento nunha direcci´on de Π⊂ R×Rn(conΠ un hiperplano de dimensi´on n) e temos a hip´otese adicional de que(u1, u2) non ´e unha direcci´on de Π (ga- ranten a unicidade).

Observaci´on 6. Cando eliximos comoΠ o plano normal a (1, (0, ... , 0)) como con- xunto de direcci´ons para a condici´on Lipschitz recuperamos o resultado orixinal.

t x

t x

Figura 2: Se o conxunto de direcci´ons indicado polo hiperplano de li˜nas punteadas non cont´en a (1, f (p)) estamos na situaci´on da esquerda. Noutro caso, estamos na situaci´on da dereita.

Intuitivamente, podemos adaptar a proba da unicidade a unha situaci´on coma a da esquerda e derivar o Teorema 2, pois se houbese d´uas soluci´ons poder´ıamos conectalas a trav´es de hiperplanos e contradicir a condici´on Lipschitz ao tender cara p. Para os lectores interesados en versi´ons m´ais xerais do resultado, recomendamos a lectura do artigo [1].

Agradecementos especiais

Pola s´ua axuda na discusi´on das ideas aqu´ı expostas: ´Angel Jos´e Cid Ara´ujo e Rodrigo L´opez Pouso.

Bibliograf´ıa

[1] Cid, J. A. e F. Tojo, F. A. (2018). A Lipschitz condition along a transversal foliation implies local uniqueness for ODEs, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 13, pp. 1–14.

(32)

Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN: 2171-6536

Introducci´ on a la geometr´ıa algebraica mediante bases de Gr¨ obner

Area de ´´ Algebra

Marcos Fern´andez Criado

Universidade de Santiago de Compostela 30 de octubre de 2019

Carencias del anillo de polinomios K[x

1

, ... , x

n

]

La geometr´ıa algebraica es una rama de las matem´aticas que combina el ´algebra con la geometr´ıa anal´ıtica y se centra, en un principio, en el estudio de los conjuntos de soluciones de un sistema de ecuaciones algebraicas.

Dado un cuerpo, K, denotaremos por Kn el espacio af´ın de dimensi´on n sobre el cuerpo K, y por K[x1, ... , xn] el anillo de polinomios en las variables x1, ... , xn con coeficientes en K.

Definici´on 1. Si S ⊆ K[x1, ... , xn] es un subconjunto arbitrario del anillo de poli- nomios, se define la variedad algebraica af´ın determinada porS como el conjunto

V (S) :={a ∈ Kn: f (a) = 0 para todo f ∈ S}.

Es inmediato ver que hallar V (S) es equivalente a hallar V (hSi), donde hSi denota el ideal de K[x1, ... , xn] generado por S. Por tanto, determinar propiedades de los ideales nos permitir´a extraer conclusiones acerca del sistema de ecuaciones que determinar´a una variedad.

Uno de los principales problemas que surgen al buscar las soluciones de dicho sistema es que el anillo de polinomios en varias variables no es un dominio de ideales principales, y por tanto no tenemos una forma f´acil de caracterizar sus ideales.

Tampoco podemos determinar mediante una divisi´on si un polinomio pertenece a un ideal dado, ya que no tenemos determinado un algoritmo de la divisi´on.

Algoritmo de divisi´on en K[x1, ... , xn]

Nuestro primer objetivo ser´a, por tanto, establecer un algoritmo de divisi´on an´alogo al del anillo de polinomios en una sola variable. Para ello, lo primero que debemos hacer es determinar cu´al es el t´ermino principal de un polinomio f , que denotaremos porLT(f ). En general, nos interesa definir un orden en los monomios de K[x1, ... , xn]. Para esto, lo ´unico que tenemos que ordenar son las n-tuplas de los exponentes de las variables, lo cual es equivalente a dar un orden en Nn.

Palabras Clave: geometr´ıa; variedad; orden monomial; base de Gr¨obner.

21

(33)

Definici´on 2. Un orden 6 en Nnes monomial si es un buen orden que, adem´as, es compatible con la suma; es decir, para todo α, σ y ν∈ Nn se verifica que si α 6 σ, entonces α+ ν 6 σ + ν.

Algunos de los ´ordenes monomiales m´as comunes son el lexicogr´afico, el graduado lexicogr´afico o el graduado reverso lexicogr´afico ([2]).

El requerimiento de que sea un buen orden es necesario para garantizar que los algoritmos que definamos m´as adelante concluyan en un n´umero finito de pasos. En general, comprobar que un orden posee la propiedad de buena ordenaci´on es dif´ıcil.

Para facilitarlo, se tiene la siguiente caracterizaci´on:

Proposici´on 1. Sea 6 una relaci´on de orden total en Nn, compatible con la suma de Nn. Entonces, 6 es un buen orden en Nn si, y solo si, α > 0 = (0, ... , 0) para cualquier α∈ Nn.

En lo que sigue, emplearemos la notaci´on xα = xα11··· xαnn, con α ∈ Nn, y K[x] = K[x1, ... , xn].

Definici´on 3. Fijado un orden monomial, 6, sea f = P

αaαxα ∈ K[x1, ... , xn] un polinomio no nulo y α∈ Nn. Se define:

El multigrado de f : MGRAD(f ) := m´ax{α ∈ Nn/aα6= 0};

El coeficiente principal de f : LC(f ) := aMGRAD(f ); El monomio principal de f : LM(f ) := xMGRAD(f );

El t´ermino principal de f : LT(f ) :=LC(f )·LM(f ) = aMGRAD(f )· xMGRAD(f ). Con estos elementos, podemos ahora definir un pseudo-algoritmo de la divisi´on para el anillo de polinomios K[x].

Teorema 1 (Algoritmo de la divisi´on). Sea F = (f1, ... , fs) una s-tupla ordenada de polinomios del anillo K[x] y fijemos un orden monomial 6. Cada polinomio f ∈ K[x] se puede escribir de la siguiente forma:

f = h1f1+··· + hsfs+ r,

con hi, r ∈ K[x], tales que r = 0 o r es una combinaci´on K-lineal de monomios, ninguno de los cuales es divisible por ninguno de los LT(fi). Adem´as, si hifi 6= 0, entonces

MGRAD(hifi) 6MGRAD(f ).

Nos referiremos ar como el resto de dividir f por la s-tupla ordenada F = (f1, ... , fs).

La forma de hallar tanto los coeficientes de la combinaci´on lineal, hi, como el resto, es la siguiente:

(34)

Marcos Fern´andez Criado SII 23

Input: f1, ... , fs, f Output: h1, ... , hs, r

h1:= 0; ... ; hs:= 0; r := 0 p := f

WHILE p6= 0 DO i := 1

divisionoccurred:=false

WHILE i 6 s AND divisionoccurred=false DO IFLT(fi) divides LT(p) THEN

hi:= hi+LT(p)/LT(fi) p := p− (LT(p)/LT(fi))fi

divisionoccurred:= true ELSE

i := i + 1

IF divisionoccurred=false THEN r := r +LT(p)

p := p−LT(p)

Notemos que la variable p representa el dividendo, el cual puede ser distinto en cada iteraci´on del algoritmo. La variable l´ogica divisionoccurred nos indica cu´ando el t´erminoLT(fi) divide al t´ermino principal del dividendo p.

Este algoritmo es lo m´as parecido que se puede conseguir a un algoritmo de la divisi´on en K[x]. Sin embargo, no cuenta con las buenas propiedades que tiene dicho algoritmo en K[x]: en este caso, ni los coeficientes ni el resto quedan determinados de forma ´unica, y esto impide determinar un´ıvocamente si un polinomio pertenece a un ideal finitamente generado efectuando una divisi´on. M´as adelante veremos c´omo las bases de Gr¨obner resuelven este problema de unicidad.

K[x] es noetheriano

Nuestro siguiente objetivo consiste en probar que K[x] es un anillo noetheriano, es decir, que todo ideal es finitamente generado. Los resultados que enunciamos a continuaci´on est´an desarrollados con m´as detalle en [2]. De este modo, para hallar los puntos que pertenecen a una variedad af´ın tendremos que resolver un sistema con un n´umero finito de ecuaciones polin´omicas.

En primer lugar, presentaremos una variaci´on del Lema de Dickson ([2]) que nos permitir´a probar este resultado para ideales generados ´unicamente por monomios, y a continuaci´on deduciremos el caso general.

Definici´on 4. Diremos que un ideal I ⊂ K[x] es monomial si posee un sistema de generadores formado por monomios, esto es, si existe un subconjunto A ⊂ Nn tal queI =hxα: α∈ Ai.

Teorema 2. SeaA⊂ NneI =hxα α∈ Ai ⊂ K[x] el ideal monomial determinado porA. Entonces existen α1, ... , αs∈ A tales que I = hxα1, ... , xαsi.

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Ahora podemos introducir, a partir de un ideal cualquiera, I ⊂ K[x], el ideal monomialhLT(I)i, siendoLT(I) el conjunto de los t´erminos principales de elementos de I,LT(I) ={LT(f ) : f ∈ I − {0}}.

En particular, este ideal tiene la siguiente propiedad.

Teorema 3. SeaI ⊂ K[x] un ideal. Para cualquier orden monomial se verifica que si existen g1, ... , gt ∈ I no nulos tales que hLT(I)i = hLT(g1), ... ,LT(gt)i, entonces I =hg1, ... , gti.

De los Teoremas 2 y 3 se desprende el siguiente corolario.

Corolario 1 (Teorema de la Base de Hilbert). El anillo K[x] es noetheriano: para todo ideal I ⊂ K[x] existen g1, ... , gt∈ I tales que I = hg1, ... , gti.

Adem´as de permitirnos concluir que todo ideal en K[x] es finitamente generado, los ideales de t´erminos principales verifican m´as propiedades; por ejemplo, permiten determinar el resto en una divisi´on polin´omica de forma ´unica.

Bases de Gr¨obner

Dado un ideal, I ⊂ K[x], los generadores del ideal de t´erminos principales, hLT(I)i, ser´an lo que llamaremos una base de Gr¨obner.

Definici´on 5. Sea I ⊂ K[x] un ideal. Fijado un orden monomial, 6, se dice que un conjunto de generadoresg1, ... , gt∈ I −{0} es una base de Gr¨obner de I respecto de 6 si

hLT(g1), ... ,LT(gt)i = hLT(I)i.

Proposici´on 2. Sea G = {g1, ... , gt} una base de Gr¨obner de un ideal I ⊂ K[x]

respecto de un orden monomial previamente fijado y sea f ∈ K[x] un polinomio.

Entonces existe un ´unico par de polinomios,r, g∈ K[x], que verifican las siguientes propiedades:

(1) g∈ I, y es tal que f = g + r.

(2) Si r 6= 0, ning´un monomio de r es divisible por ninguno de los monomios

LT(gi), i∈ {1, ... , t}.

Es conveniente observar que en la definici´on de base de Gr¨obner no exigimos a los elementos de dicha base que sean linealmente independientes. Esto da lugar a que dicha base no sea ´unica. Sin embargo, imponiendo algunas condiciones m´as se define lo que se conoce como base de Gr¨obner reducida, que s´ı es ´unica.

Definici´on 6. Una base de Gr¨obner reducida para un ideal de polinomios,I ⊂ K[x], es una base de Gr¨obner, G, tal que:

LC(p) = 1 para todo p∈ G.

• Para todo p ∈ G, ning´un monomio de p pertenece a hLT(G− {p})i.

De la unicidad de la base de Gr¨obner reducida se sigue que dos ideales ser´an iguales si, y solo si, fijado un orden monomial, sus bases de Gr¨obner reducidas coinciden. Una forma de efectuar el c´alculo de dichas bases puede consultarse en [1].

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Marcos Fern´andez Criado SII 25

C´ alculo de variedades algebraicas

Como hemos visto, todo ideal de K[x] es finitamente generado, y por tanto, hallar variedades algebraicas es equivalente a resolver un sistema con un n´umero finito de ecuaciones polin´omicas.

Este c´alculo en general no es sencillo, pero las bases de Gr¨obner permiten sim- plificarlo, reduciendo el n´umero de variables del sistema mediante un proceso deno- minado eliminaci´on. A continuaci´on, mediante sustituci´on de los valores obtenidos, se extiende la soluci´on al resto de variables. Veamos un ejemplo de esta situaci´on:

Ejemplo 1. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones polin´omicas:

x2+ y2 = 0, y2− z2 = 1, x2+ y− z2 = 0, y el idealI =hx2+ y2, y2− z2− 1, x2+ y− z2i.

Una base de Gr¨obner del ideal I respecto al orden lexicogr´afico determinado por el orden de las variablesz < y < x es:

G ={x2+ z2+ 1, y− 2z2− 1, 4z4+ 3z2}.

Las ecuaciones obtenidas igualando los elementos de esta base a cero tienen exacta- mente las mismas soluciones que las iniciales, pues los dos conjuntos de polinomios generan el mismo ideal. Sin embargo, en este ´ultimo caso observamos que la ´ultima ecuaci´on solo involucra a z, lo que hace que sea f´acil de resolver:

4z4+ 3z2 = 0⇒ z ∈ (

0,±

√3 2 i

)

Sustituyendo estos resultados en y− 2z2− 1 = 0 obtenemos los valores de y. Final- mente, sustituimos enx2+ z2+ 1 = 0 y deducimos que x∈ {±i, ±i/2}.

As´ı, las soluciones del sistema ser´ıan:

(

(±i, 1, 0) , ±i 2,−1

2 ,±

3 2 i

!)

Lo que haremos a continuaci´on ser´a formalizar que este proceso puede llevarse a cabo en un caso general.

Definici´on 7. Dado un ideal, I ⊂ K[x], y k ∈ {0, ... , n − 1}, definimos el ideal de K[xk+1, ... , xn]

Ik := I∩ K[xk+1, ... , xn], que recibe el nombre de ideal de eliminaci´onk-´esimo de I.

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Supongamos que queremos resolver un sistema de ecuaciones polin´omicas en n variables. El Teorema de Eliminaci´on nos permitir´a reducir dicho sistema a uno con menos variables, mientras que el Teorema de Extensi´on asegura que podemos recuperar las soluciones del sistema original a partir de las del reducido.

Teorema 4 (Teorema de Eliminaci´on). Consideremos en K[x] el orden monomial lexicogr´afico determinado por el orden de las variables xn < ··· < x1. Para cada k∈ {0, ... , n − 1}, consideremos en K[xk+1, ... , xn] el orden monomial inducido por el de K[x]. Sean I ⊂ K[x] un ideal y G una base de Gr¨obner de I. Entonces, el conjuntoGk= G∩ K[xk+1, ... , xn] es una base de Gr¨obner del ideal de eliminaci´on k-´esimo Ik⊂ K[xk+1, ... , xn].

Teorema 5 (Teorema de Extensi´on). Sean K un cuerpo algebraicamente cerrado, I ⊂ K[x] un ideal, y (a2, ... , an) ∈ V(I1) un cero del primer ideal de eliminaci´on.

Supongamos que existe un polinomiof ∈ I no nulo de la forma

f =

t

X

i=0

ci· xi1

con ci ∈ K[x2, ... , xn] y ct(a2, ... , an) 6= 0. Entonces existe un a1 ∈ K tal que (a1, a2, ... , an)∈ V(I).

La demostraci´on de estos dos ´ultimos resultados se puede consultar en [2] y [3] respectivamente. De esta forma, tenemos resuelto el problema del c´alculo de variedades algebraicas afines.

Bibliograf´ıa

[1] Buchberger, B. (1965). An algorithm for finding a basis for the residue class ring of a zero-dimensional ideal, Tesis doctoral, University of Innsbruck.

[2] Cox, D. A., Little, J. y O’Shea, D. (1992). Ideals, Varieties and Algorithms. An introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer-Verlag, New York.

[3] Schauenburg, P. (2007). A Gr¨obner based treatment of elimination theory for affine varieties, Journal of Symbolic Computation, 42, pp. 859–870.

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Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN: 2171-6536

M´ etricas cr´ıticas para funcionales cuadr´ aticos de curvatura

Area de Geometr´ıa y Topolog´ıa´

Sandro Caeiro Oliveira

Universidade de Santiago de Compostela 13 de noviembre de 2019

Motivaci´ on

Uno de los problemas m´as estudiados en Geometr´ıa de Riemann es el de hallar las m´etricas g que son cr´ıticas para el funcional de Hilbert-Einstein, definido como

SHE : g7→

Z

M

τ dvolg,

donde τ es la curvatura escalar de la variedad de Riemann (M, g). Las m´etricas cr´ıticas para dicho funcional son las m´etricas Einstein, y son aquellas cuyo tensor de Ricci es un m´ultiplo de la m´etrica, es decir,

ρ = λg, λ∈ R.

Dado que el integrando del funcional de Hilbert-Einstein, τ , es el ´unico invarian- te de la curvatura de orden 1, podemos construir funcionales que generalicenSHE

utilizando los invariantes de curvatura de orden superior. As´ı, construiremos funcio- nales de un modo an´alogo al deSHE con los invariantes cuadr´aticos de la curvatura, {∆τ, τ2,kρk2,kRk2}. Dado que la integral de volumen de un laplaciano es nula, ob- tenemos los siguientes funcionales:

S : g 7→

Z

M

τ2dvolg, R : g 7→

Z

MkRk2dvolg, T : g 7→

Z

Mkρk2dvolg.

Generalizando el funcional de Hilbert-Einstein de este modo, surge un nuevo pro- blema a estudiar: hallar las m´etricas cr´ıticas para cualquier funcional cuadr´atico de curvatura, es decir, hallar las m´etricas cr´ıticas para los funcionales de la forma

aS + bR + cT , a, b, c ∈ R.

En 1970, Berger calcul´o las expresiones de las ecuaciones de Euler-Lagrange para los funcionales S, R y T [2], por lo que la expresi´on de las ecuaciones de Euler- Lagrange de una combinaci´on lineal de los funcionales cuadr´aticos viene dada por la combinaci´on lineal de las correspondientes ecuaciones de Euler-Lagrange.

Palabras Clave: geometr´ıa de Riemann; curvatura; m´etrica cr´ıtica; variedades homog´eneas.

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Referencias

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