BIBLIOTECA DE POSGRADO

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Universidad Nacional de Trujillo

Escuela de Postgrado

Programa de Doctorado en Ciencias e Ingenier´ıa

Simulaci´

on Num´

erica del Flujo de un Fluido en

un Acu´ıfero Confinado utilizando Elementos

Finitos

Tesis para optar el grado de doctor en Ciencias

e Ingenier´ıa

Autor : Ms. Luis Alberto Lara Romero Asesor : Dr. Obidio Rubio Mercedes

Co-Asesor: Dr. Adriano Da Silva Carvalho Trujillo, Per´u, 2009

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Dedicatoria

Deseo dedicar esta Tesis Doctoral a mis padres Alberto y Yolanda, a mi esposa Teresa y a mis hijos Luis David, Alyssa Nicolle y Diego Andre.

Luis Lara Romero UNT, Octubre, 2009 ————————————————————————

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Agradecimientos

Los resultados de esta tesis fueron obtenidos durante mis estudios de doctorado en la Universidad de Porto, Portugal. Quiero expresar profundo agradecimiento a mi super-visor y amigo Adriano Carvalho cuya orientaci´on y apoyo han sido cruciales para el ´exito de este proyecto.

Quiero dar las gracias al profesor Obidio Rubio, mi supervisor y amigo, por sus numerosas sugerencias y apoyo constante en esta investigaci´on.

Por supuesto, agradezco a mi esposa Teresa, mis hijos Luis David, Alyssa Nicolle y Diego Andre por la paciencia y amor. Sin ellos este trabajo nunca hubiera llegado a existir (literalmente).

Por ´ultimo, quiero agradecer a Alberto (mi padre) y Yolanda (mi madre).

Luis Lara Romero UNT, Octubre, 2009

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_{Indice general}

Resumen 7 Abstract 8 Introducci´on 9 1. Material y M´etodos 19 1.1. Material de Estudio . . . 19

1.2. Parámetros Hidráulicos, Base de Datos y Medios de Simulación Numérica 22 1.3. Métodos y Técnicas . . . 23

2. Resultados y Discusi´on 31 2.1. Modelo Continuo del Acu´ıfero del Valle de Moche . . . 31

2.2. Modelo Discreto por Elementos Finitos . . . 35

2.2.1. Caso Estacionario . . . 54

2.2.2. Caso Din´amico . . . 57

2.3. Validaci´on del Programa EFMAS . . . 59

2.4. Resultados de la Simulaci´on Num´erica . . . 68

Conclusiones 80

Trabajos Futuros y Recomendaciones 82

Referencias 87

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Anexo A 95

Anexo B 102

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_{Indice de figuras}

1. Puerto de Veracruz, Golfo de M´exico, 2009 . . . 10

2. Laguna artificial en el palacio de Tschudi ( Chan Chan, 2002). . . 11

3. Laguna artificial en el palacio de Tschudi ( Chan Chan, 2007 ). . . 12

4. Sistema de acu´ıfero costero formado por tres capas. . . 17

1.1. Mapa de localizaci´on de la zona de estudio, valle de Moche, Norte(Huanchaco), Sur(Salaverry), Trujiillo, Per´u. Fuente: Municipalidad Provincial de Tru-jillo(2006). . . 21

1.2. Zona de estudio, valle de Moche. Fuente: Google Earth (2009). . . 22

1.3. Zona de estudio, Bah´ıa de Apalachicola, Florida, USA. Fuente Google Earth(2009). . . 27

1.4. Modelo discretizado en elementos finitos triangulares de 6915 elementos y 3949 nodos. . . 28

2.1. Esquema para el modelo matem´atico continuo del acu´ıfero costero del valle de Moche, Trujillo, Per´u. . . 32

2.2. Perfil del esquema para el modelo matem´atico del valle de Moche. . . . 33

2.3. Modelo cilindro espacio-tiempo . . . 35

2.4. Modelo discreto de la zona de estudio, Bah´ıa de Apalachicola, discreti-zado en 8 521 nodos y 15 784 elementos triangulares. . . 60

2.5. Niveles piezom´etricos para una componente de marea diurna para 5, 6 y 10 horas de simulaci´on, respectivamente. . . 64

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2.6. Niveles piezométricos para una componente de marea semidiurna para 3, 5 y 10 horas de simulación, respectivamente. . . 65 2.7. Niveles piezométricos para una componente de marea mixta para 3, 5

y 10 horas de simulaci´on, respectivamente. . . 66 2.8. Niveles piezom´etricos afectado por una marea abierta diurna cuando la

filtraci´on vertical es de 0/h, 0.005/h y 0.01/h, respectivamente, trans-curridas 18 horas de la simulaci´on. . . 67 2.9. Modelo discreto de la geometr´ıa del valle de Moche en 1 543 nodos y

2 694 elementos. . . 69 2.10. Niveles m´aximos de las alturas piezom´etricas para una componente de

marea diurna en el litoral costero desde Huanchaco(Norte) hasta Sala-verry (Sur). . . 70 2.11. Movimiento de las aguas subterr´aneas en la regi´on del valle de Moche

afectado por una marea diurna para los primeros 40 dias de simulación desde Huanchaco(Norte) a Salaverry (Sur). . . 74 2.12. Movimiento de las aguas subterráneas en la región del valle de Moche

afectado por una marea diurna para los primeros 180 dias de simulaci´on desde Huanchaco(Norte) a Salaverry (Sur). . . 77 2.15. Movimiento de las aguas subterr´aneas en el acu´ıfero del valle de Moche

para una condici´on de marea de flujo aislado. . . 78 2.16. Movimiento de las aguas subterr´aneas del acu´ıfero del valle de Moche

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2.17. Movimiento de las aguas subterráneas del acu´ıfero del valle de Moche para una condición de marea de flujo entrante en dirección a la costa. . 78 2.18. Superficie piezométrica del acu´ıfero del valle de Moche para una

condi-ci´on de marea de flujo aislado. . . 79 2.19. Superficie piezom´etrica del acu´ıfero del valle de Moche para una

condi-ción de marea de flujo saliente en dirección al mar. . . 79 2.20. Superficie piezométrica del acu´ıfero del valle de Moche para una

condi-ción de flujo entrante en dirección a la costa. . . 79 2.21. Superficie piezométrica de las aguas subterráneas contenidas en un

sis-tema de acu´ıfero anisotr´opico semipermeable costero. . . 85 2.22. Acu´ıfero con fronteras de geometr´ıa irregular y zonas aisladas en el

in-terior. . . 85 2.23. Modelo discretizado del acu´ıfero por elementos finitos en 6 915 elementos

triangulares y 3 949 nodos. . . 86 2.24. Flujo de las aguas subterráneas contenidas en el acu´ıfero anisotrópico. . 86 2.25. Superficie piezométrica de las aguas subterráneas contenidas en un

acu´ıfe-ro anisotrópico. . . 86 2.26. Tipos de acu´ıferos según sus caracter´ısticas hidrodinámicas. . . 97 2.27. Acu´ıfero: formación geológica que es capaz de almacenar y transmitir el

agua subterránea a través de ella en cantidades significativas. . . 98 2.28. Región de control para la ecuación de continuidad para un medio poroso 110

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_{Indice de tablas}

2.1. Comparación entre las soluciones numéricas para una componente de marea diurna. . . 63 2.2. Comparación entre las soluciones numéricas para una componente de

marea mixta. . . 63

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Resumen

En este trabajo de tesis doctoral se ha investigado el comportamiento dinámico del nivel piezométrico de las aguas subterráneas en un sistema de acu´ıfero confinado semi-permeable costero homogéneo e isotrópico a través de un modelo matemático discreto de elementos finitos con condiciones de contorno de marea a lo largo del litoral costero. El sistema de acu´ıfero esta formado por tres capas, un acu´ıfero no confinado en la parte superior, una capa semipermeable en centro y un acu´ıfero confinado en el fondo. La capa semipermeable permite filtraciones verticales hacia el acu´ıfero confinado. El modelo matemático discreto se ha utilizo para calcular los niveles piezométricos en el acu´ıfero costero del valle de Moche, localizado en la costa norte de Perú. El modelo discreto de la geometr´ıa del acu´ıfero del valle de Moche se ha obtenido con el generador de mallas de elementos finitos llamado mesh generate2d cuyo código se ha escrito en matlab. Los niveles piezométricos de las aguas subterráneas en el acu´ıfero costero del valle de Moche fueron calculadas con el programa llamado Elementos Finitos

para el Modelamiento de Aguas Subterr´aneas (EFMAS), escrito en el

len-guaje de programación Fortran. Las simulaciones numéricas para el acu´ıfero del valle de Moche mostraron que los niveles piezométricos se encuentran en niveles altos en la zona urbana de la ciudad de Trujillo y en sus alrededores.

Palabras claves: Aguas subterr´aneas, acu´ıferos confinados, m´etodo de los elemen-tos finielemen-tos, flujo de fluidos.

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Abstract

In this doctoral thesis investigated the dynamic behavior of the piezometric level of the groundwater in a confined aquifer system homogeneous and isotropic coastal leaky trough a discrete mathematical model of finite element with boundary conditions along the coastline. The aquifer system consists of three layers, an unconfined aquifer on the top, a leaky layer in the center and a confined aquifer in the bottom. The layer leaky allows vertical filtration into the confined aquifer. The discrete mathematical model was used to calculate the piezometric levels in the coastal aquifer of the Moche Valley, located on the north coast of Peru. The discrete model of the geometry of the Moche valley aquifer was obtained by the mesh generator of element finite named mesh generate2d whose code was written in matlab. The piezometric levels of the groundwater in the coastal aquifer in the Moche valley were calculated with the program named Finite Element for the Groundwater Modeling (FEGM), written in Fortran programming language. The numerical simulations for the Moche valley aquifer showed that the piezometric levels is at high levels in the urban zone of the Trujillo city and its neighborhood.

Keywords: Groundwater, confined aquifers, finite element method, fluid flow.

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Introduction

El agua es un recurso vital que requiere de la atención inmediata para asegurar su conservación en términos de cantidad y calidad. El crecimiento de la demanda y el desconocimiento de las condiciones de la reserva hidrológica son factores amenazantes para la conservación del recurso para los años futuros. En general, para las regiones donde la precipitación es poca, y por lo tanto, el desarrollo de fuentes de agua superficial es muy limitado, los recursos hidráulicos subterráneos adquieren relevancia. En las ´

areas costeras se presenta el problema del crecimiento de zonas urbanizadas de manera intensiva, debido a la presi´on creciente de la gente que quiere vivir y trabajar en estos sitios. Los terrenos arrebatados a las zonas pantanosas y los edificios de gran altura, son las respuestas comunes para satisfacer las necesidades de mas vivienda y usos nuevos para el suelo, Figura (1).

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Figura 1: Puerto de Veracruz, Golfo de M´exico, 2009

Las áreas costeras son comúnmente las zonas de descarga final de los sistemas de agua subterránea. Uno de los grandes problemas que afronta la sociedad en estas zonas costeras es el crecimiento o disminución de la napa freática o la existencia de zonas saturadas muy cerca a la superficie de la tierra. En las zonas costeras se concentran actividades de una gran intensidad, en particular la agricultura y el desarrollo urbano y tur´ıstico. En muchos casos, los recursos h´ıdricos para el abastecimiento proceden de los acu´ıferos costeros, que son intensamente explotados a falta de otros recursos h´ıdricos convencionales. En consecuencia, los patrones de circulación de las aguas subterráneas se ven altamente modificados con respecto a la situación natural. Esto tiene repercu-siones importantes sobre la calidad del agua y del medioambiente, siendo uno de los efectos más relevantes la contaminación causada por la mezcla con agua marina. Las relaciones agua salada agua dulce en los acu´ıferos costeros introducen circunstancias especiales a tener en cuenta, dado que no toda la recarga de los acu´ıferos costeros pue-de aprovecharse. La evolución de la salinidad es a menudo un proceso lento, que pasa

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costera en el norte del Perú, espec´ıficamente en el valle de Moche, Trujillo, mas preci-samente la zona de Victor Larco (Buenos Aires) y la zona arqueológica de la ciudadela de Chan Chan donde se presenta el problema del aumento de los niveles piezométricos (Portal del Proyecto Especial de Irrigación Chavimochic y Municipalidad Provincial de Trujillo), como se muestra en las Figuras (1.3) y (3) que corresponden a antes y después de la llegada de las aguas del proyecto especial de irrigación Chavimochic. Esta problemática es debido a la falta de explotación de las aguas subterráneas, principal-mente a la puesta en funcionamiento de la planta de tratamiento de agua potable del proyecto especial Chavimochic, al crecimiento de zonas agr´ıcolas en todo el valle de Moche y al fen´_{omeno de el ni˜}no que ha producido una recarga de agua en todo el valle a través de lluvias y del r´ıo Moche; de ah´ı la importancia de su estudio, empleando para ello modelos matemáticos discretos con la ayuda de los métodos numéricos como Diferencias Finitas (DF) o Elementos Finitos (EF).

Figura 2: Laguna artificial en el palacio de Tschudi ( Chan Chan, 2002).

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Figura 3: Laguna artificial en el palacio de Tschudi ( Chan Chan, 2007 ).

Para los conceptos y términos usados en Hidrolog´ıa de Aguas Subterráneas puede consultar el Anexo A, mientras que la ecuación de continuidad adaptada para acu´ıferos regionales se muestra en el Anexo B.

Bergamaschi (1999), desarrolló un modelo matemático bidimensional basado en el Elemento Finito Mixto H´ıbrido (EFMH) para modelar la solución de la ecuación no lineal de Richard de flujo saturado variable en aguas subterráneas sobre mallas triangu-lares no estructuras. Chuang y Yeh (2006), desarrollaron un modelo matemático para calcular las cargas hidráulicas en un sistema de acu´ıfero confinado semipermeable cerca a la l´ınea costera que se extiende a una distancia infinita bajo el mar y tiene conexión hidráulica con un acu´ıfero no confinado situado en la parte superior del sistema de acu´ıferos. Crowe et.al. (2004), desarrollaron un m´_{etodo conocido como gw-werland,} usado para simular el flujo de aguas subterráneas en estado dinámico y el transporte de contaminantes en una gran variedad de ambientes de aguas subterráneas pantano-sas. Dogrul y Kadir (2006), dieron la ecuación de conservación de profundidad para el

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al menos en principio, es reducido a isotrópico usando una transformación conforme del espacio métrico euclidiano y la teor´ıa de la geometr´ıa diferencial en variedades diferenciables.

Farthing et.al. (2003), presentaron la ecuación de Richard (ER) para modelar el flu-jo en un medio poroso saturado variable. Entre las diversas discretizaciones temporales aplicadas a (ER), se aplicó el método de l´ıneas (MDL) para introducir aproxima-ciones temporales robustas, precisas y eficientes. Al mismo tiempo, usó un Método de Elementos Finitos Mixto H´ıbrido (MEFM) combinado con una discretización en el tiempo adaptativa y de alto orden donde mostraron las ventajas sobre la tradicional aproximación para modelar el flujo de agua subterránea monofásico en medios porosos heterogéneos.

Guarracino y Quintana (2004, 2006), plantearon una herramienta computacional para simular el flujo de aguas subterráneas en variabilidad saturada fractura no defor-mable en un medio poroso en la cual se incluye un modelo numérico para resolver la ecuación de Richards. Hubbell et.al. (1997), presentaron la técnica de superposición pa-ra resolver el flujo de aguas subterráneas en un medio confinado para el caso lineal. Jeng et.al. (2005), trabajaron con fluctuaciones de marea en acu´ıferos costeros, homogéneos e isotrópicos donde el modelo matemático es gobernado por la ecuación del flujo de aguas subterráneas bajo las hipótesis de Dupuit. Lapen et.al. (2005), presentaron un modelo matemático de flujo bidimensional estable de elementos finitos, debido a que reproduce geometr´ıas de complicada geometr´ıa y los gradientes hidráulicos pequeños son mejor aproximados que en el método de diferencias finitas.

Li y Chen (1991), estudiaron el grado de intrusión salina dentro de un acu´ıfero confinado para determinar la posición de la interface agua-dulce-salada. Li et.al. (2001), realizaron un estudio para investigar el comportamiento de las cargas hidráulicas en un sistema de acu´ıfero costero en respuesta a variaciones de la marea. El sistema consiste de un acu´ıfero no confinado, un acu´ıfero semiconfinado y una unidad confinada semipermeable entre ellos. Li et.al. (2002), presentaron una solución anal´ıtica para

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describir el nivel de fluctuaciones del agua subterr´anea en un acu´ıfero limitado por dos fronteras terrestres que forman un ´angulo recto.

Li y Jiao (2003), investigaron la influencia de la marea sobre el nivel medio de la superficie freática para el caso que el acu´ıfero costero sea no confinado, no homogéneo y anisotrópico. El sistema de acu´ıfero esta formado por un acu´ıfero no confinado, un acu´ıfero confinado y una capa semipermeable entre ambos. Se presentaron solucio-nes perturbadas asintóticas y soluciones aproximadas para una componente multi-sinusoidal de marea.

Li et.al. (2006), presentaron un método eficiente para analizar la respuesta de un acu´ıfero a fuerzas periódicas. Utilizaron una transformación compleja para cambiar el modelo del acu´ıfero lineal de tiempo-dependiente en un problema equivalente de tiempo-independiente. Consideraron el modelo matemático de acu´ıfero lineal bidimen-sional.

Maskey (2002, 2003), presentaron un modelo matemático tridimensional de movi-miento de aguas subterráneas asumiendo constante la densidad, un acu´ıfero freático e isotrópico satisfaciendo las hipótesis de Dupuit y la ley de Darcy.

Robinson (1999), planteo un modelo matemático bidimensional de aguas subterráneas desarrollado para simular el proceso de descarga de aguas subterráneas dentro de un acu´ıfero costero no confinado. El modelo desarrollado fue basado en la aproximación del flujo de fluido de densidad dependiente con la superficie del agua subterránea y las condiciones de marea dinámicas.

Smith y Griffiths (2004), mostraron una serie de programas y librer´ıas totalmen-te actualizados al Fortran90, los cuales están a disposición para solucionar una gran variedad de problemas, incluyendo problemas de viscosidad, elasticidad, plasticidad, procesos de construcción en geomecánica, flujo de fluidos en estado estable y transien-te, lineal y no lineal. Una de las mayores caracter´ısticas que presento Smith es que incluye programas en paralelo para todos los tipos de elementos finitos, mostrando que

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Tang et.al. (2007), desarrollaron un método de integración semianal´ıtico dependien-te del tiempo para las ecuaciones diferenciales ordinarias producidas por la semidiscre-tización de la ecuación de flujo de agua subterráneas en estado dinámico, en lugar de aproximar la derivada temporal con diferencias finitas, el método propuesto, aproxima la solución exacta de la ecuación diferencial ordinaria.

Kamp (1972), presenta un sistema de acu´ıfero costero de tres capas consistente de un acu´ıfero acotado por dos capas semipermeables, una arriba y la otra abajo del acu´ıfero. Jiao y Tang (1999), derivó una solución anal´ıtica para estudiar las variaciones de las cargas hidráulicas en el acu´ıfero confinado en un sistema de acu´ıfero costero de tres capas. Hantush y Jacob (1995), ignoraron el almacenamiento elástico de la capa semipermeable y asumieron que las variaciones del nivel freático de las aguas subterráneas en el acu´ıfero no confinado superficial es casi nula.

Jiao y Tang (1999, 2001), encontraron que la filtración vertical es generalmente muy pequeña para un sistema de acu´ıfero semipermeable real y no existe problema pa-ra usar estas hipótesis en los modelos matemáticos. Li (1991, 2001), utilizó un método de perturbación para investigar la interferencia de la onda de marea entre los acu´ıferos confinados y no confinados, pero ignoraron los efectos de almacenamiento elástico de la capa semipermeable. Jeng et.al (2005), presentaron una solución anal´ıtica para des-cribir la propagación de la onda de marea en los acu´ıferos confinados y no confinados separados por una delgada capa semipermeable sin almacenamiento. Li y Jiao (2001), presentaron una solución anal´ıtica completa para describir la propagación de las ondas de marea de las aguas subterráneas en dos sistemas de acu´ıferos costeros.

Utilizar modelos matemáticos discretos implementado en programas en computado-ras es una técnica utilizada en la actualidad para estudiar el comportamiento de las aguas subterráneas contenidas en los acu´ıferos a lo largo del tiempo cuando son explo-tados por pozos o drenes para fines agr´ıcolas y de consumo doméstico. Los procesos de simulación numérica han ido evolucionando rápidamente y hoy en d´ıa es posible simular el movimiento de las aguas subterráneas contenidas en cualquier medio poroso.

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En este trabajo de tesis doctoral se utilizó la simulación numérica para estudiar el comportamiento dinámico de los niveles piezométricos de las aguas subterráneas contenidas en un sistema de acu´ıfero confinado semipermeable costero homogéneo e isotrópico a través de un modelo matemático discreto de elementos finitos con con-diciones de contorno de marea diurna y semidiurna a lo largo del litoral costero. Se eligió para la discretización del modelo matemático continuo el Método de los Ele-mentos Finitos (MEF) (Brenner y Scott 2008, Cuvilier 1986, Gallagher et. al. 1978 ) debido a que tiene gran flexibilidad para trabajar con dominios de frontera irregular y da la posibilidad de utilizar elementos de tamaño y de forma variable, lo que permite representar zonas de mayor interés o de caracter´ısticas distintas donde los datos tienen una mayor variación. Esto hace que disminuya el número de incógnitas en los sistemas ecuaciones algebraicas en comparación con el Método de Diferencias Finitas (MEF), lo que reduce considerablemente los requerimientos de memoria en las computadoras, el volumen de información a manipular y los tiempos de maquina para obtener la misma precision.

El sistema de acu´ıfero confinado esta formado por tres capas, un acu´ıfero no confi-nado en la parte superior a presión atmosférica, en el centro una capa semipermeable que deja pasar agua desde la parte superior, un acu´ıfero confinado en el fondo y una capa impermeable rocosa que no deja pasar agua a través de ella. La capa semipermea-ble permite filtraciones verticales hacia el acu´ıfero confinado sobre todo en épocas de lluvias, Figura (4).

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Figura 4: Sistema de acu´ıfero costero formado por tres capas.

El modelo matemático discreto fue utilizado para calcular las alturas piezométricas en el acu´ıfero costero del valle de Moche, localizado en la costa norte del Perú, apro-ximadamente a 580 Km al norte de la ciudad de Lima con una extension de 20 081 Ha. Abarca desde Huanchaco por el norte hasta Salaverry por el sur. Pol´ıticamente pertenece a la provincia de Trujillo y al departamento de La Libertad.

Para los procesos de simulación numérica fue necesario construir dos programas computacionales. El primer programa construido es un generador de mallas autom´ ati-co de elementos finitos designado ati-como mesh generate2d cuyo código fue escrito en matlab y utilizado para obtener un modelo discreto de la geometr´ıa del acu´ıfero del valle de Moche. El segundo programa llamado Elementos Finitos para el

Modela-miento de Aguas Subterr´aneas (EFMAS) fue escrito en el lenguaje de

programa-ción Fortran y ejecutado bajo la plataforma Windows XP en una PC Intel(R)(TM) 2 Duo Pro CPU y calcula las alturas piezométricas de las aguas subterráneas contenidas en un acu´ıfero confinado. El programa EFMAS validó sus resultados numéricos con los resultados dados para la Bah´ıa de Apalachicola, Florida, USA (Jiao, 2001) en las

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mismas condiciones hidrodin´amicas.

El modelo matemático discreto de elementos finitos fue implementado en el pro-grama EFMAS para simular el movimiento de las aguas subterráneas en el acu´ıfero costero y predecir el comportamiento de la napa freática. Los datos para la simulación como conductividad hidráulica, coeficiente de almacenamiento, alturas piezométricas medias, etc. han sido obtenidas del Portal del Proyecto Especial de Irrigaci´_on cha-vimochic (Portal de Proyecto 2007). Los parámetros hidráulicos como la velocidad de marea, cambio de fase, coeficiente de separación, etc. fueron extra´ıdas de los datos referentes a la Bah´ıa de Apalachicola (Jiao, 2001). Las simulaciones numéricas han demostrado que la napa freática se encuentra en niveles altos en la zona urbana de la ciudad de Trujillo, Quinta Etapa de San Andrés, Buenos Aires, Moche, Huanchaco debido principalmente a la no explotación de las aguas subterráneas para uso agr´ıcola y de consumo doméstico llegándose a predecir que si no se tiene condiciones de drenaje adecuados, la ciudad de Trujillo se empantanará en poco tiempo.

Cabe señalar que la parte más alta del área de estudio está casi en su estado natural, mientras que la parte baja probablemente una de las áreas más desarrolladas en la costa del Perú esta sufriendo constantes cambios. Es evidente que el sistema de flujo del agua subterránea en la zona costera del valle de Moche ha sido cambiado a lo largo de los ´

ultimos 10 años. Los piezómetros en la zona han comenzado a variar considerablemente con las llegadas de las aguas provenientes del proyecto de irrigación Chavimochic.

Esperamos que los alcances que se dan en esta tesis doctoral puedan servir a las autoridades para tomar decisiones sobre el manejo h´ıdrico en el acu´ıfero del valle de Moche y la metodolog´ıa desarrollada en este trabajo se pueda aplicar en otras cuencas hidrogr´

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aficas de inter´es similar a la estudiada.

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Cap´ıtulo 1

Material y M´

etodos

1.1. Material de Estudio

El material de estudio en la presente investigación fue el sistema de acu´ıfero del valle de Moche, Trujillo, Perú donde se ha incrementado las actividades agr´ıcolas, urbanas e industriales, lo que implica un conocimiento de los niveles piezométricos del acu´ıfero. La ciudad de Trujillo se caracteriza por su clima árido y semicálido, con una temperatura media máxima de 22,7o C (72, 9o) F, y una m´ınima de 15,8o C (60, 4o) F con ausencia de lluvias durante todo el año. No obstante, cuando se presenta el fen´_{omeno de el} Niño, el clima var´ıa, aumenta el nivel de precipitaciones y la temperatura se eleva. En el valle existen aproximadamente 400 fuentes de agua subterránea tales como pozos, norias y/o manantiales, de los cuales aproximadamente 150 son pozos tubulares siendo su función la extracción de agua subterránea para satisfacer tanto las necesidades agr´ıcolas del propio valle, as´ı como para consumo humano en la ciudad de Trujillo y zonas periféricas urbanizadas. El acu´ıfero tiene zonas impermeables por donde no transcurre el agua subterránea como son los cerros Pesqueda y La Virgen, y la parte alta del valle pues esta formado por una zona rocosa impermeable. En la parte costera el acu´ıfero tiene unidades geológicas con diferentes propiedades agrupadas en tres capas perfectamente definidas. En la parte superior tiene una capa no confinada a presión

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atmosférica; en la parte del centro tiene una capa semipermeable que deja pasar agua a un nivel inferior; en la parte de abajo se tiene una capa confinada y en el fondo una capa impermeable que no deja pasar agua a través de ella. Las fuentes principales de recarga del acu´ıfero lo constituye las descargas del r´ıo Moche donde parte de estas descargas se infiltran a través del lecho permeable del r´ıo con intensidades diferentes a lo largo de su trayectoria. El r´ıo Moche atraviesa todo el valle desde su naciente hasta su descarga en el mar. Las descargas del r´ıo constituyen la respuesta de la cuenca frente a intensidades de precipitación, principalmente en las épocas de lluvia. El canal madre del proyecto de irrigación Chavimochic en la zona no constituye una fuente de recarga artificial pues se encuentra revestido. La agricultura en el valle es intensa y los sistemas de riego son por gravedad (surcos, pozas), los excedentes de las láminas de riego, necesariamente constituyen una fuente de recarga hacia la napa freática. Por otro lado, con la llegada de las aguas del r´ıo Santa a través del ”canal madre” se ha comenzado a practicar el riego por goteo lo cual si bien es cierto no constituye una fuente de recarga inmediata a la napa freática si ha modificado el clima en la zona afectando principalmente el periodo y la intensidad de las lluvias lo cual se agraba por la presencia del fen´_{omeno de el ni˜}no en la zona. Se ha detectado que en la ciudad de Trujillo y sus alrededores se esta dejando de utilizar las aguas subterráneas para fines domésticos debido a la construcción de una planta de tratamiento de agua en la parte alta de la ciudad. La parte alta del valle tiene zonas impermeables formado por rocas. A pesar de su importancia, en la actualidad no existe una evaluación hidrogeológica integral que determine la condición real del agua subterránea y que permita planear un manejo integral del acu´ıfero del valle de Moche. La zona de estudio (parte baja de la cuenca hidrográfica), está ubicado en la costa norte del pa´ıs, aproximadamente a 580 Km al norte de la ciudad de Lima y a 140 Km de la ciudad de Chimbote. Pol´ıticamente pertenece a la provincia de Trujillo y al departamento de La Libertad. Las Figuras (1.1) y (1.2) muestran la localización de la zona de estudio - acu´ıfero del valle de Moche,

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Figura 1.1: Mapa de localizaci´on de la zona de estudio, valle de Moche, Nor-te(Huanchaco), Sur(Salaverry), Trujiillo, Per´u. Fuente: Municipalidad Provincial de Trujillo(2006).

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Figura 1.2: Zona de estudio, valle de Moche. Fuente: Google Earth (2009).

1.2. Par´

ametros Hidr´

aulicos, Base de Datos y

Me-dios de Simulaci´

on Num´

erica

Los parámetros hidráulicos y la base de datos para el sistema de acu´ıfero confinado semipermeable del valle de Moche, tales como conductividad hidráulica, coeficiente de almacenamiento, recargas diarias del r´ıo Moche, niveles medios piezométricos, etc.,

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Especial Chavimochic, 2007). La velocidad de marea, coeficiente de humedad, cambio de fase, etc,. de los datos referentes a la Bah´ıa de Apalachicola, Florida, USA, (Jiao, 2001).

La simulación numérica fue a través del programa llamado Elementos Finitos

para la Modelaci´on de Aguas Subterr´aneas (EFMAS), construido para el

pro-ceso de simulación numérica en esta investigación siguiendo los lineamientos de Alberty (1999) y Person (2004). El programa EFMAS fue escrito en el lenguaje de programa-ción Fortran y ejecutado bajo la plataforma Windows XP en una PC Intel(R) Corel (TM) 2 Duo CPU. Para la visualizar los resultados numéricos se utilizó el Matlab y el graficador de superficies surfer.

Para generar el modelo discreto en elementos finitos de la geometr´ıa del valle de Moche y de la Bah´ıa de Apalachicola se utiliz´_{o el programa generador de mallas mesh} generate2d cuyo c´odigo fuente fue escrito en matlab.

1.3. M´

etodos y T´

ecnicas

El trabajo de investigación se inició construyendo el modelo matemático continuo del sistema de acu´ıfero confinado semipermeable costero del valle de Moche, Trujillo, Perú. Para construir el modelo se hicieron importantes suposiciones y simplificaciones durante el diseño debido a que una reconstrucción completa del sistema de acu´ıfero costero no es posible. Para su construcción, fue aplicado el principio de simplicidad de modo que fue lo mas simple posible, manteniendo la suficiente complejidad para la representación adecuada de los elementos f´ısicos del sistema de acu´ıfero y reproducir su comportamiento hidrodinámico.

Para deducir el modelo matemático se ha utilizado la ley de conservación de masa y de movimiento, la ley de Darcy que relaciona el caudal que circula por una sección de área del acu´ıfero y el gradiente hidráulico bajo una constante de proporcionalidad llamada conductividad hidráulica (Figuereido, 2001; Kazda 1990), la variable

incog-BIBLIOTECA

(27)

nita es la altura piezométrica y el dominio es una región de geometr´ıa irregular, con dos tipos de condiciones de frontera, la condición de Neumann o de flujo, dado sobre una parte del dominio y la condición de Dirichelt o altura piezométrica conocida, sobre la parte complementaria del dominio. Las condiciones de contorno en la parte superior del acu´ıfero son incorporadas en el término fuente el cual es el resultado de promediar verticalmente las alturas piezométricas desde el fondo hasta un nivel de re-ferencia, esta condición incorpora los pozos de observación y de extracción. La ley de Dupuit-Forchheimer se utiliza para justificar de la ecuacion diferencial tridimensional en una bidimensional ignorando la componente vertical del flujo debido a que el flujo vertical es lento en comparación con el flujo horizontal (Delleur, 1999). Como condición inicial se tomo como referencia el nivel medio del mar. La ecuación diferencial parcial parabólica, junto con las condiciones de contorno y condición inicial representan el mo-delo matemático en estudio, disponible para hacer un estudio matemático y numérico. Se utilizó el Método de los Elementos Finitos (MEF)(Brenner, 2008; Cuvilier, 1986; Elmar, 2005; Gallagher, 1978; Schewchar, 2002; Salsa, 2008) para obtener el modelo matemático discreto del acu´ıfero del valle de Moche. Para aplicar el Método de los Ele-mentos Finitos fue necesario primero obtener la formulación variacional del problema continuo del valle de Moche consistente en una ecuación diferencial parcial, condiciones de contorno y la condición inicial. Esto fue hecho para cuatro casos, para el problema de Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, Cauchy-Robin y el problema Mixto donde se demostró para cada caso la existencia y unicidad de un tipo de solución, llamada so-lución débil del problema continuo (Salsa 2008). Se aproximó el problema variacional siguiendo la metodolog´ıa siguiente:

1. Se seleccion´o una sucesi´on de funciones lo suficientemente diferenciables {wk} ∞ k=1,

base ortogonal de V = H₀1(Ω) y ortonormal de H = L2(Ω).

2. Se construy´o una sucesi´on de subespacios finito dimensionales Vm = span {w1, w2, ..., wm} ,

V ⊂ V tal que S V = V

BIBLIOTECA

(28)

3. Para cada m fijo, se defini´o la aproximaci´on de Galerkin um(t) = m X k=1 ck(t)wk y Gm = m X k=1 gkwk (1.1)

Se planteo entonces el siguiente problema de aproximaci´on a resolver

Hallar um ∈ H1(0, T ; V ), tal que se cumple, para cada s = 1, 2, ..., m,

   ( ˙u(t), ws)₀+ a (um(t), ws) = (f (t), ws)₀, c.t.p t ∈ [0, T ] um(0) = Gm, (1.2)

4. Se demostr´o que las sucesiones {um} y { ˙um} son acotados en L2(0, T ; V ) y

L2(0, T ; V∗), respectivamente.

5. Se demostró que existe una subsucesión {umk} que converge débilmente en L

2_{(0, T ; V );}

mientras { ˙umk} converge d´ebilmente en L

2_{(0, T ; V}∗_{) para ˙u.}

6. Se demostró que u obtenida en el paso anterior es la única solución débil del problema (1.2).

El modelo matemático discreto finito dimensional asociado al problema (2.18) fue ob-tenido seleccionando espacios finitos dimensionales de aproximación cuyas funciones bases son funciones diferenciables por partes y de soporte compacto, es decir, aquellas que se anulan fuera de un compacto. El modelo matemático discreto esta formado por una ecuación diferencial parcial parabólica discreta, condiciones de contorno e iniciales discretas definidas en espacios finitos dimensionales. El dominio del acu´ıfero fue discre-tizado en una malla de elementos finitos triangulares para lo cual se utilizo el algoritmo de Delaunay (Borouchaki, 1996, 1997; Chang, 1997; Du, 2003, 2004; Jin, 2005; Jones, 1997; Kwork, 2005; Lohner, 1998; Nithiarasu, 2000; Rassineux, 1998; Ruppert, 1995; Shephard, 1991; Shewchuk, 1999) implementado en el programa generador de mallas adaptativas mesh generate2d cuyo código se ha escrito en Matlab. En esta malla triangular se definió las ecuaciones discretas del modelo, la ecuación diferencial parcial,

BIBLIOTECA

(29)

las condiciones de contorno y la condici´on inicial generando un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden a ser resueltas en cada nivel de tiempo.

Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se utiliz´o diferencias finitas en cada nivel de tiempo y en cada nodo de la discretizaci´on. Para hacer esta

tarea se construy´o el programa llamado Elemento Finito para el Modelamiento

de Aguas Subterráneas (EFMAS) que implementa numéricamente el Método de

los Elementos Finitos de Faedo-Galerkin, cuyo código fuente fue escrito en Fortran. Se determino entonces las alturas piezométricas de las aguas subterráneas contenidas en el acu´ıfero confinado del acu´ıfero del valle costero de Moche. Para esto fue necesa-rio introducir al programa EFMAS los parámetros hidráulicos como transmisividad, conductividad hidráulica, coeficiente de almacenamiento.

Para validar los resultados computacionales generados con el programa EFMAS fue seleccionado el modelo hidrodin´amico de la Bah´ıa de Apalachicola, Florida, USA, Figura (1.3), con una extensi´on de 50 km2 _{y una longitud a lo largo de l´ınea costera de}

10 km. El modelo hidrodinámico esta formado por tres capas, un acu´ıfero no confinado en la parte superior, una capa semipermeable en el centro y un acu´ıfero confinado en el fondo. Existe filtración vertical a través de la capa semipermeable al acu´ıfero confinado. La l´ınea costera esta afectada por cambios de marea diurna y semidiurna. En la parte norte y sur de la zona de estudio no existe un intercambio de flujo con el medio y en la parte de la costa los niveles piezométricos no cambian durante el periodo de simulación. Para los datos iniciales del modelo hidrodinámico fue considerado en nivel medio del mar. Los resultados de las simulaciones efectuadas fueron mostradas a través de figuras generadas en subrutinas de programaci´_{on en matlab y Surfer.}

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(30)

Figura 1.3: Zona de estudio, Bah´ıa de Apalachicola, Florida, USA. Fuente Google Earth(2009).

Presentamos en seguida los principales aspectos del algoritmo computacional para el programa mesh generate2d y EFMAS.

Algoritmo para el programa mesh generate2d

El programa mesh generate2d implementa numéricamente el algoritmo de trian-gulación de Delaunay, que tiene la propiedad de maximizar el menor ángulo de la triangulación (Shewchuk 1999).

Dado un conjunto P de puntos en el plano, entonces la triangulaci´on de Delaunay

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(31)

genera una subdivisión de su cápsula convexa en triángulos:

Cada triángulo está formado por tres puntos de la triangulación P.

La intersecci´on de dos tri´angulos distintos: es nula; consistente en un punto de P; o consiste en el segmento que une dos puntos de P.

Nungún punto está dentro de la circunferencia que contiene a un triángulo de la triangulación.

Figura 1.4: Modelo discretizado en elementos finitos triangulares de 6915 elementos y 3949 nodos.

La Figura (1.4), muestra el modelo discretizado en elementos finitos triangulares de un dominio de geometr´ıa irregular bidimensional generado con el programa mesh generate2d.

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(32)

Entrada de datos :

contorno-omega n : (xi, yi) matriz de orden N1×2 que contiene las xy-coordenadas

para cada uno de los N1 nodos en la frontera del dominio.

Procedimiento:

generación de la malla de elementos finitos triangulares usando triangulación de Delaunay. Para el refinamiento se usa el método de paso incremental.

Salida de datos :

coordenadas: matriz de orden M1×2 que contiene las coordenadas de los elementos

de la triangulaci´on.

elementos3: matriz de orden P1× 3 que contiene la matriz de conectividad de los

M1 nodos.

Algoritmo Computacional del Programa EFMAS

El algoritmo computacional para el programa EFMAS consta de las siguientes partes:

Datos de entrada

coordenadas: coordenadas de los nodos de la triangulaci´on de Delaunay : (x1, y1),

(x2, y2), (x3, y3),...

elementos3 : matriz de conectividad de nodos de la triangulaci´on : ni1, ni2, ni3,

nj1, nj2, nj3,...

nodos contorno: vector que contiene los nodos sobre el contorno del dominio : ni1, ni2, ni3,...

par´ametros de entrada: tinicial, tf inal, Nitera, Kdry, thks, S, L.

Procedimiento

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(33)

Generaci´on de lo(s) vector(es) nodos dirichlet que contiene la condici´on de con-torno de Dirichlet: nd1, nd2, nd3,...

Generaci´on de la(s) matriz(es) conectividad segmento neumann que contiene la condici´on de contorno de Neumann: (ne1, ne2); (ne3, ne4),...

solve head hydraulic:

• Genera el sistema elemental de ecuaciones diferenciales ae_h0 _{+ b}e_{h = f}e_,

e = 1, ..., M

• Ensamblaje matriz de masa A, rigidez B, vector fuerza F. • Imposici´on de condici´on inicial: Uinitial.

• Incorporación de la condición de contorno al sistema de ecuaciones. ◦ Inicio de la iteración tinicial= 0, ...

◦ Soluci´on del sistema ecuaciones ordinarias para cada nivel de tiempo. ◦ final iteraci´on tmax.

datos de salida

Nivel piezom´etrica hien las coordenadas (xi, yi): (x1, y1, h1), (x2, y2, h2), (x3, y3, h3),

...

Para una descripci´on completa de los c´odigos en Fortran puede consultar Smith(2004) .

————————————————————————

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(34)

Cap´ıtulo 2

Resultados y Discusi´

on

2.1. Modelo Continuo del Acu´ıfero del Valle de

Mo-che

La configuración del modelo del acu´ıfero del valle de Moche, esta formado por un sistema de acu´ıfero confinado semipermeable costero, Figura (2.1). El sistema tiene tres capas: un acu´ıfero confinado en el fondo, una capa semipermeable en el centro y un acu´ıfero no confinado en la parte superior. El origen del sistema es seleccionado en la parte izquierda de abajo de la cara delantera del acu´ıfero confinado semipermeable. El material del acu´ıfero es homogéneo e isotrópico. La velocidad de flujo en el acu´ıfero confinado es esencialmente horizontal y existe una filtración vertical a través de la capa semipermeable. El nivel piezométrico de las aguas subterráneas en un tiempo inicial en todo el sistema es uniforme e igual a hz, el cual es la distancia desde la capa impermeable

en el fondo hasta el nivel medio del mar. Para t > 0, hz en el acu´ıfero no confinado

permanece constante. El coeficiente de almacenamiento de la capa semipermeable es muy pequeña y la filtración vertical es linealmente proporcional a la diferencia entre los niveles piezométricos del acu´ıfero confinado y no confinado (Jacob, 1950; Hantsust, 1995). Bajo estas hipótesis el modelo matemático continuo que describe el flujo de

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(35)

aguas subterráneas a través de sus niveles piezométricos esta dado por una ecuación diferencial parcial parabólica junto a una condición de contorno sobre el litoral costero de marea, mientras que la condición de contorno hacia el fondo del acu´ıfero es nula, la cual afirma que la marea no tiene efecto lejos de la l´ınea costera hacia el interior cuando la distancia es muy grande. En la frontera superior e inferior se asume que no existe flujo. Para la condición inicial se asume que los niveles piezométricos son nulos en toda el área de estudio, (Jiao y Tang, 2001).

Figura 2.1: Esquema para el modelo matem´atico continuo del acu´ıfero costero del valle de Moche, Trujillo, Per´u.

N´

umero de capas del acu´ıfero

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(36)

Figura 2.2: Perfil del esquema para el modelo matem´atico del valle de Moche.

tratigráficas, las cuales son unidades geológicas con similares o diferentes propiedades. En base a la información obtenida en el portal del Proyecto Especial de Irrigación Chavimochic el acu´ıfero costero del valle de Moche tiene tres capas perfectamente de-terminadas cerca al litoral. En la parte superior tiene un acu´ıfero no confinado, en la parte central tiene un acu´ıfero semipermeable que permite que exista filtración vertical y en el fondo una acu´ıfero confinado con una base impermeable de roca.

Par´

ametros de entrada al modelo

En el sistema de acu´ıfero costero con filtración vertical se requiere información referente a sus propiedades, principalmente la conductividad hidráulica (L/T ), el espesor del acu´ıfero (L), transmisividad (L2/T ), coeficiente de almacenamiento y filtración vertical (L).

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno son restricciones impuestas al modelo sobre su frontera a fin de representar una interfase entre el interior del acu´ıfero y el exterior. En el modelo se han considerado dos tipos de condiciones de contorno. La primera es una condición de contorno tipo Dirichlet donde los niveles piezométricos son constantes. Esta condición

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(37)

de contorno se ha impuesto sobre el litoral costero para una sola componente de marea diurna. La segunda condición de frontera que se implementa en el modelo es la condición de condición de flujo o Neumann sobre el litoral costero para indicar un intercambio de flujo de aguas subterráneas entre el mar y el acu´ıfero, que puede ser saliente, entrante o nulo. Esta condición de contorno también se especifica sobre las zonas impermeables (zonas rocosas como los cerros).

Pozos

La explotación del agua subterránea en el acu´ıfero del valle de Moche se realiza median-te pozos tubulares y tajo abierto lo cual ha permitido obmedian-tener la información necesaria para los datos iniciales (condiciones iniciales) para iniciar el proceso de simulación.

Descarga / Recarga

Se ha considerado una recarga que depende de la posici´on y el tiempo para todo el acu´ıfero, estas recargas est´an dadas por las recargas del r´ıo Moche a lo largo de to-do el valle y por condiciones de recarga provenientes de las lluvias, mientras que las descargas son las aguas que se drenan al mar.

Ecuaci´

on del Modelo Continuo

Bajo estas condiciones la ecuación diferencial parcial parabólica que gobierna el flujo de las aguas subterráneas en el acu´ıfero costero del valle de Moche esta dado por

S∂h ∂t = ∂ ∂x Tx ∂h ∂x + ∂ ∂y Ty ∂h ∂y + L(hz− h) (2.1)

con una condici´on de marea sobre el litoral costero dada por

h = hz+ A.e(−p.x−m.y)cos(at + by − (aS + 2bmT )/(2pT )x + c) (2.2)

donde hz es la condici´on inicial, S coeficiente de almacenamiento, T transmisividad,

L coeficiente de filtraci´on, A amplitud de marea, a velocidad de marea, t0 periodo de

marea, b coeficiente de separaci´on, m coeficiente de humedad de la amplitud de marea, c cambio de fase (Sun, 1997). En las dem´as fronteras se han impuesto condiciones de

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(38)

2.2. Modelo Discreto por Elementos Finitos

Sea Ω un dominio acotado en Rn _{y sea el cilindro espacio-tiempo Q}

T = Ω × (0, T ),

Figura (2.3). Sea A = A (x, t) es una matriz cuadrada de orden n, b = b (x, t), c = c (x, t) vectores en Rn_{, a}

0 = a0(x, t) y f = f (x, t) funciones reales. Sea la ecuaci´on

diferencial parcial en su forma de divergencia dada por

ut− div (A∇u − u) + c.∇u + a0u = f (2.3)

parab´olica en QT pues

A(x, t)ξ · ξ > 0 ∀ (x, t) ∈ QT, ∀ ξ ∈ Rn, ξ 6= 0 (2.4)

Figura 2.3: Modelo cilindro espacio-tiempo

Para ecuaciones parab´olicas del tipo (2.3) podemos repetir los argumentos concer-nientes a ecuaciones el´ıpticas (Bre´zis, 1984; Brenner y Scott, 2008; Elmar, et.al., 2005). En este caso, usaremos pasos similares a los dados para problemas el´ıpticos con las modificaciones de las ecuaciones debido a la naturaleza din´amica del problema (2.3). Desarrollamos esta teor´ıa para ecuaciones en la forma de divergencia. Esto es,

u = −div (A∇u − bu) + c · ∇u + a0u (2.5)

dado f definida en QT, se quiere determinar una soluci´on u, de la ecuaci´on (2.3),

ut+ u = f en QT (2.6)

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(39)

satisfaciendo una condici´on inicial

u (x, t) = u0(x) en QT (2.7)

y una condici´on de contorno sobre la superficie lateral ST = ∂Ω × [0, T ].

Usamos en primer lugar el problema Cauchy-Dirichlet para introducir una formu-lación variacional del problema (2.6)-(2.7) junto con la condición de contorno lateral y determinar la existencia de una solución llamada solución generalizada asociada al problema de Cauchy-Dirichelt.

Caso 1: El Problema Cauchy-Dirichlet

El problema que modela el movimiento de las aguas subterr´aneas en un medio

poroso homogéneo e isotrópico con filtración vertical y con condiciones de Cauchy-Dirichlet esta dado por (PCD):

         S ut+ b u = T ∆u + f, en QT u(x, 0) = g(x), en Ω u(x, t) = 0 sobre ST (2.8)

donde Ω un dominio acotado en Rn_.

El objetivo aqu´ı es hallar una formulación variacional del problema (PCD) siguien-do los mismos pasos que para problemas el´ıpticos. Para esto multiplicamos la ecuación del flujo de aguas subterráneas en (2.8) por una función prueba v = v(x) en D(Ω)1_{, es}

decir, una funci´on infinitamente diferenciable que se anula en la frontera de Ω y luego integramos sobre Ω, S Z Ω ut(x, t) v(x)dx + Z Ω b u (x, t) v(x)dx = Z Ω T ∆u (x, t) v(x)dx + Z Ω f (x, t) v(x)dx (2.9)

1_{conjunto de funciones infinitamente diferenciable, con derivadas continuas de todos los ordenes} en Ω y con soporte compacto en Ω, es decir, C₀∞(Ω)

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(40)

Aplicando la primera Identidad de Green a la primera integral del lado derecho de (2.9) Z Ω ∇u.∇v dΩ = Z ∂Ω (∇u.n) v dS − Z Ω ∆u v dΩ (2.10) se tiene S Z Ω ut(x, t) v(x)dx + Z Ω b u (x, t) v(x)dx = Z ∂Ω T (∇u (x, t) .n) v(x)dx − Z Ω T ∇u (x, t) .∇v(x)dx + Z Ω f (x, t) v(x)dx Pero como v ∈ D(Ω) se tiene

S Z Ω ut(x, t) v(x)dx + Z Ω b u (x, t) v(x)dx = − Z Ω T ∇u (x, t) .∇v(x)dx + Z Ω f (x, t) v(x)dx Ordenando se tiene S Z Ω ut(x, t) v(x)dx | {z } Derivada temporal + Z Ω T ∇u (x, t) .∇v(x) dx + Z Ω b u (x, t) v(x)dx | {z } F orma bilineal = Z Ω f (x, t) v(x)dx | {z } F orma lineal (2.11)

Nota 2.2.1 Esto es semejante a lo hecho para ecuaciones el´ıpticas, excepto por la presencia de ut. Aqu´ı hay que tener en cuenta adem´as la condici´on inicial.

En primer lugar, puesto que estamos trabajando con una ecuación diferencial par-cial parabólica, es conveniente adoptar un procedimiento similar que para problemas el´ıpticos y considerar a u = u(x, t) como una función de t con valores en un espacio de Hilbert V . Entonces escribimos u(t) en lugar de u (x, t), ˙u en lugar de ut(x, t) y f (t) en

lugar de f (x, t). Por la densidad de D(Ω) en H₀1(Ω) la ecuaci´on (2.11) toma la forma: S Z Ω ˙u(t) v dx + Z Ω T ∇u(t).∇v dx + Z Ω b u(t) v dx = Z Ω f (t) v dx (2.12)

La condici´on homog´enea de Dirichlet, es decir, u(t) = 0 sobre ∂Ω para t ∈ [0, T ], sugiere que el espacio natural para u(t) es H₀1(Ω), al menos casi para todo t ∈ [0, T ].

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(41)

Utilizando el producto interno de H1

0(Ω) y la correspondiente norma k.k1 se tiene

que la segunda integral en (2.12) puede ser escrita en la forma (∇u(t), ∇v)₀ y como ˙u(t) ∈ H−1(Ω) la primera integral en (2.12) puede ser interpretada como h ˙u(t), vi_∗ donde h., .i_∗ denota la relaci´on de debilidad entre H−1(Ω) y H₀1(Ω).

Notar que f ∈ L2_(Q

T), en las nuevas notaciones se tiene f ∈ L2(0, T ; L2(Ω))2.

De igual forma se tiene que u ∈ L2(0, T ; H₀1(Ω))3 y ˙u ∈ L2(0, T ; H−1(Ω)) entonces u ∈ C ([0, T ] ; L2(Ω))4 donde u(0) = g con g ∈ L2(Ω).

Consideramos el triple espacio de Hilbert (V, H, V∗), donde V = H1

0(Ω), H = L2(Ω)

y V∗ = H−1(Ω).

Resumiendo podemos hacer las siguientes notaciones: a(u, v) = T (∇u, ∇v)₀+ b (u, v)_L2_(Ω)

| {z } F orma bilineal (2.13) L(v) = (f (t), v)₀ | {z } F orma lineal (2.14) b( ˙u, v) = S h ˙u(t), vi_∗ | {z } F orma bilineal (2.15)

Finalmente podemos formular el problema variacional en la forma siguiente:         

Hallar u ∈ L2_{(0, T ; V ) tal que ˙u ∈ L}2_{(0, T, V}∗_{) y :}

h ˙u(t), vi_∗+ a(u(t), v) = (f (t), v)₀ ∀ v ∈ H1

0(Ω), c.t.p t ∈ [0, T ]

u(0) = g

(2.16)

Aunque existen variantes del Lema de Lax-Milgram perfectamente adaptable para resolver problemas transientes que permiten demostrar la existencia de una soluci´on

2_{Para 1 ≤ p ≤ ∞, V un espacio de Hilbert y 0 < T < ∞. Se define L}p_{(0, T ; V )} co-mo el espacio de Banach formado por las funciones vectoriales u : (0, T ) → V tales que la aplicaci´on t → ku(t)kV ∈ Lp(0, T ). Cuando 1 ≤ p < ∞ se define Lp(0, T ; Lp(Ω)) = n u : (0, T ) → Lp_(Ω);RT 0 ku(t)k p Lp_(Ω)dt < +∞ o

, con la norma kukLp_{(0,T ;V )}=

h_R_T 0 ku(t)k p Vdt i1/p 3 Lp 0, T ; H₀1(Ω) = ( u : (0, T ) → H₀1(Ω); Z T 0 ku(t)kp_H1 0(Ω) dt < +∞ )

4_{C ([0, T ]; V )} ₌ _{{u : u : [0, T ] → V f unciones continuas}} _con _norma _kuk

L∞_{(0,T ;V )} =

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(42)

generalizada, vamos a utilizar el Método de los Elementos Finitos de Faedo-Galerkin (Salsa 2008; Cuvilier 1986) que es mucho más conveniente cuando se quiere aproximaciones numéricas.

Presentamos los principales pasos a seguir del M´etodo de Faedo-Galerkin:

1. Seleccionar una sucesi´on de funciones lo suficientemente diferenciables5 {wk} ∞ k=1

tal que:

f orma una base ortogonal en V = H₀1(Ω) y

una base ortonormal en H = L2(Ω) En particular, escribimos g = ∞ X k=1 gkwk

donde gk= (g, wk)₀ que converge en H.

2. Construir una sucesi´on de subespacios finito dimensionales

Vm = span {w1, w2, ..., wm}

donde

Vm ⊂ Vm+1 tal que

[

Vm = V

Para cada m fijo, se define la aproximaci´on de Galerkin

um(t) = m X k=1 ck(t)wk y Gm = m X k=1 gkwk (2.17)

Planteamos entonces el siguiente problema de aproximaci´on a resolver

5_{esto es posible puesto que V es un espacio de Hilbert separable. En particular, es posible elegir a} wk como las autofunciones de Dirichlet del operador de Laplace, normalizado con respecto a la norma en H

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(43)

Hallar um ∈ H1(0, T ; V )6, tal que se cumple, para cada s = 1, 2, ..., m,    ( ˙um(t), ws)0+ a (um(t), ws) = (f (t), ws)0, c.t.p t ∈ [0, T ] um(0) = Gm, (2.18)

Note que la ecuaci´on (2.18) se cumple para cada elemento de la base ws, s =

1, 2, ..., m. Adem´as, desde ˙um ∈ L2(0, T ; V ), se tiene:

( ˙um(t), v)₀ = h ˙u(t), vi∗

donde um es llamada aproximaci´on de Galerkin a la soluci´on u.

3. Demostrar que {um} y { ˙um} son acotados en L2(0, T ; V ) y L2(0, T ; V∗),

respec-tivamente (estimativas de energ´ıa).

4. Demostrar que existe una subsucesi´on {umk} que converge d´ebilmente en L

2_{(0, T ; V )}

para alg´un elemento u, mientras { ˙umk} converge d´ebilmente en L

2_{(0, T ; V}∗_{) para}

˙u.

5. Probaremos que u en el paso anterior es la única solución débil del problema (2.8).

Soluci´

on del problema aproximado

Utilizaremos el siguiente Lema:

Lema 2.2.1 Para todo m, existe una ´unica soluci´on um del problema (2.18). En

par-ticular, si um ∈ H1(0, T ; Vm), se tiene que um ∈ C ([0, T ]; Vm).

Prueba:

Puesto que w1, . . . , wm son mutuamente ortogonales en L2(Ω), tenemos:

( ˙um(t), ws)₀ = m X k=1 ˙c(t)wk, ws ! 0 = ˙cs(t) para k = s 6_H1_{(0, T ; V ) =}_{u ∈ L}2_{(0, T ; V ) : ˙}_{u ∈ L}2_{(0, T ; V )}

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DE

POSGRADO

(44)

y (um(t), ws)0 = m X k=1 c(t)wk, ws ! 0 = cs(t) para k = s

Tambi´en, w1, . . . , wm es un sistema ortogonal en Vm, por lo tanto

a (um(t), ws) = a m X k=1 ck(t)wk, ws ! = α (∇ws, ∇ws)₀cs(t) = αk∇wsk20cs(t) Sea Fs(t) = (f (t), ws) , Fm(t) = (F1(t), . . . , Fm(t)) y Cm(t) = (c1(t), . . . , cm(t)) , gm = (g1, . . . , gm)

Si introducimos la matriz diagonal

W = diagk∇w1k20, k∇w2k20, . . . , k∇wmk20

de orden m, el problema (2.18) es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones dife-renciales ordinarias acoplado de orden m con coeficientes constantes:

˙

Cm(t) = −αWCm− β Cm(t) + Fm(t), c.t.p. t ∈ [0, T ] (2.19)

con la condici´on inicial

Cm(0) = gm.

Puesto que F ∈ L2_{(0, T ; R}m_{), existe una ´}_{unica soluci´}_{on C}

m(t) ∈ H1(0, T ; Rm). Por otro lado de um(t) = m X k=1 ck(t)wk deducimos que um ∈ H1(0, T ; Rm).

Nota 2.2.2 Se ha elegido una base wk ortonormal en L2 y ortogonal en H01 pues con

respecto a esta base, el operador de Laplace llega a ser un operador diagonal, como se visualiza en el problema de aproximaci´on (2.18). Sin embargo, es posible elegir cualquier base enumerable para ambos espacios. Entonces el problema (2.18) se transforma en

˙

Cm(t) = −M−1WCm(t) − β M−1Cm(t) + M−1Fm(t) c.p.t. t ∈ [0, T ]

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(45)

donde7

M = (Msk) , Msk = (ws, wk)₀

y

W = (Wsk) , Wsk = α (∇ws, ∇wk)0.

Esto es particularmente importante en la implementación numérica del método, donde, en general, los elementos de la base en Vm no son mutuamente ortogonales.

Estimativas de la Energ´ıa

Ahora mostraremos que podemos extraer una subsucesión convergente de la aproxi-mación de Galerkin {um}, la cual converge a la solución del problema (2.8). La principal

herramienta es el siguiente teorema.

Teorema 2.2.1 Sea H un espacio de Hilbert y {xm} ⊂ H una sucesi´on acotada.

Entonces, {xm} tiene una subsucesi´on {xmk} que converge debilmente a x ∈ H. Adem´as

kxk ≤ l´ım inf

k→∞ kxmkk

Sea um =

Pm

k=1ck(t)wk soluci´on del problema (2.18), entonces se tiene:

Teorema 2.2.2 (Estimativa de um). Para todo t ∈ [0, T ], se tiene la siguiente

estima-tiva kum(t)k20+ α Z t 0 kum(s)k21ds ≤ kgk 2 0 + C2 P α Z t 0 kf (s)k2 0ds (2.20) Prueba:

Multiplicando la ecuaci´on (2.18) por ck(t)

( ˙um(t), ck(t)wk)₀ + a (um(t), ck(t)wk) = (f (t), ck(t)wk)₀ (2.21)

y sumando para k = 1, . . . , m tenemos

( ˙um(t), um(t))₀+ a (um(t), um(t)) = (f (t), um(t))₀ (2.22)

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(46)

para c.p.t t ∈ [0, T ]. Ahora, se tiene ( ˙um(t), um(t))0 = 1 2 d dtkum(t)k 2 0, c.p.t. t ∈ [0, T ] y

a (um(t), um(t)) = α (∇um, ∇um)₀ = αk∇umk20 = αkum(t)k21

Utilizando la siguiente desigualdad elemental |a b| ≤ a 2 2 + 2b 2 ∀ a, b ∈ R, ∀ > 0 y las desigualdades de Schwarz y Poincar´e con = α, se deduce que

(f (t), um(t))₀ ≤ kf (t)k0kum(t)k0 ≤ CP kf (t)k0kum(t)k1 ≤ C 2 P 2αkf (t)k 2 0+ α 2kum(t)k 2 1 Entonces, de (2.22) se tiene: 1 2 d dtkum(t)k 2 0 + αkum(t)k21 ≤ C_P2 2αkf (t)k 2 0+ α 2kum(t)k 2 1 reduciendo d dtkum(t)k 2 0+ αkum(t)k21 ≤ C2 P 2αkf (t)k 2 0

Ahora integrando sobre (0, t) y utilizando la f´ormula de integraci´on por partes: Z t s 1 2ku(r)k 2 Hdt = ku(t)k 2 H − ku(s)k 2 H tenemos Z t 0 d dtkum(t)k 2 0dt + α Z t 0 kum(s)k21ds ≤ C2 P α Z t 0 kf (t)k2 0ds kum(t)k20− kum(0)k20+ α Z t 0 kum(s)k21ds ≤ C_P2 α Z t 0 kf (s)k2 0ds

Como um(0) = G : m y observando que

kGmk20 ≤ kgk20

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(47)

Adem´as por la ortogonalidad de w1, . . . , wm en L2(Ω), tenemos: kum(t)k20+ α Z t 0 kum(s)k21ds ≤ kGmk20+ C_P2 α Z t 0 kf (s)k2 0ds ≤ kgk2 0+ C2 P α Z t 0 kf (s)k2 0ds

Ahora damos una estimativa para la norma de ˙um en L2(0, T ; V∗)

Teorema 2.2.3 (Estimativa de ˙um) Se tiene la siguiente estimativa para la norma de

˙um Z T 0 k ˙um(t)k2∗dt ≤ 2αkgk20 + 4C 2 P Z T 0 kf (t)k2 0dt (2.23) Prueba: Sea v ∈ V v = w + z donde v ∈ Vm y z ∈ Vm⊥, y sea kwk1 ≤ kvk1 Si v = w en el problema (2.18) se tiene

( ˙um(t), v)0 = ( ˙um(t), w)0 = −a ( ˙um(t), w) + (f (t), w)0

Del hecho que

|a (um(t), w)| ≤ αkum(t)k1kwk1

se tiene de las desigualdades de Schwarz y Poincar´e

≤ αkum(t)k1kwk1+ kf (t)k0kwk0

≤ αkum(t)k1kwk1+ CPkf (t)k0kwk1

≤ {αkum(t)k1+ CPkf (t)k0} kwk1

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(48)

Entonces, por la definici´on de norma en V∗, podemos escribir k ˙um(t)k∗ < αkum(t)k1+ CPkf (t)k0

Elevando al cuadrado ambos lados 8

k ˙um(t)k2∗ ≤ 2αkum(t)k21+ 2CP2kf (t)k20

e integrando sobre (0, T ) se tiene Z T 0 k ˙um(s)k2∗ds ≤ 2α Z T 0 kum(s)k21ds + 2C 2 P Z T 0 kf (t)k2 0ds (2.24)

Ahora usamos (2.20) para estimar la primera integral de la segunda expresi´on α Z T 0 kum(s)k21ds ≤ kum(t)k20+ α Z T 0 kum(s)k21ds ≤ kgk 2 0+ C2 P α Z T 0 kf (s)k2 0ds

multiplicando por 2α y sacando extremos 2α2 Z T 0 kum(s)k21ds ≤ 2αkgk 2 0+ 2 C 2 P Z T 0 kf (s)k2₀ds (2.25) Sustituyendo (2.25) en (2.24) se tiene la (2.23).

Existencia, Unicidad y Estabilidad

Los Teoremas (2.2.2) y (2.2.3) muestran que la sucesi´on de la aproximaci´on de Galerkin {wm} es acotada en L∞(0, T ; V ) y por lo tanto en L2(0, T ; V ), mientras que

{ ˙um} es acotada en L2(0, T ; V∗).

Ahora usamos el Teorema de Compacidad9_{y deducimos que existe una subsucesi´}_on,

la cual por simplicidad la denotaremos por {um}, tal que, cuando m → ∞,

um * u en L2(0, T ; V )

˙um * ˙u en L2(0, T ; V∗)

Por lo tanto u es la ´unica soluci´on del problema (2.8). En efecto,

8_{(a + b)}2

≤ 2a2_{+ 2b}2 9_{Sea {x}

k} ⊂ H tal que xk * x. Entonces {xk} es acotada y kxk ≤ l´ım infk→∞kxkk.

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(49)

Teorema 2.2.4 Sea f ∈ L2_{(0, T ; L}2_{(Ω)) y g ∈ L}2_{(Ω). Entonces, u es la ´}_unica

solu-ci´on del problema (2.8). Adem´as ku(t)k2 0+ α Z T 0 ku(t)k2 1dt ≤ kgk20 + C_P2 α Z T 0 kf (t)k2 0dt (2.26) para todo t ∈ [0, T ], y Z T 0 k ˙u(t)k2 ∗dt ≤ 2αkgk20 + 4C 2 P Z T 0 kf (t)k2 0dt (2.27) Prueba:

Decir que um * u, d´ebilmente en L2(0, T ; V ) cuando m → ∞, significa que

Z T 0 (∇um, ∇v(t))₀ dt → Z T 0 (∇u(t), ∇v(t))₀ dt para todo v ∈ L2_{(0, T ; V ). En forma similar, ˙u}

m * ˙u, d´ebilmente en L2(0, T ; V∗), significa que Z T 0 ( ˙um(t), v(t))₀ dt = Z T 0 h ˙um(t), v(t)i∗ dt → Z T 0 h ˙u(t), v(t)i_∗ dt para todo v ∈ L2_{(0, T ; V ).}

Estas propiedades ser´an usadas para pasar al l´ımite cuando m → ∞ en el problema (2.18), teniendo en cuenta que las funciones prueba tienen que ser elegidas de Vm. Para

un v ∈ L2_{(0, T ; V ) fijo, se puede escribir}

v(t) =

∞

X

k=1

bk(t)wk

con la serie convergente en V , para c.t.p t ∈ [0, T ]. Sea

vN(t) = N

X

k=1

bk(t)wk (2.28)

para un N fijo. Si m ≥ N , entonces vN ∈ L2(0, T ; Vm). Multiplicando (2.18) por bk(t)

y sumando para k = 1, ..., N , se tiene:

( ˙um(t), vN(t))0+ a (um(t), vN(t)) = (f (t), vN(t))0

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(50)

Integrando sobre (0, T ) tenemos Z T 0 {( ˙um, vN)0 + α (∇um, ∇vN)0} dt = Z T 0 (f, vN)0 dt (2.29)

Debido a la convergencia d´ebil de um y ˙um en sus respectivos espacios, para m → ∞

se tiene que Z T 0 ( ˙um, vN)0 dt = Z T 0 h ˙um, vNi∗ dt → Z T 0 h ˙u, vNi∗ dt Z T 0 α (∇um, ∇vN)0 dt → Z T 0 α (∇u, ∇vN)0 dt entonces de (2.29) Z T 0 {h ˙u, vNi∗+ α (∇u, ∇vN)0} dt = Z T 0 (f, vN)0 dt Ahora, si N → ∞, vN → v en L2(0, T ; V ). Entonces Z T 0 {h ˙u, vi_∗+ α (∇u, ∇v)₀} dt = Z T 0 (f, v)₀ dt (2.30)

para todo v ∈ L2_{(0, T ; V ). Entonces se tiene que}

h ˙u(t), vi_∗+ α (∇u(t), ∇v)₀ = (f (t), v)₀ para todo v ∈ V y c.p.t. t ∈ [0, T ]. Por lo tanto u satisface (2.16).

Como u ∈ L2_{(0, T ; V ) y ˙u ∈ L}2_{(0, T ; V}∗_{) entonces u ∈ C ([0, T ] ; H).}

Ahora falta verificar que u satisface la condici´on inicial u(0) = g. En efecto, sea v ∈ C1_{([0, T ] ; V ) con v(T ) = 0. Aplicando integraci´}_{on por partes,}

Z T

0

{( ˙um, vN)0+ (um, ˙vN)0} dt = (um(T ), vN(T ))0− (um(0), vN(0))0 (2.31)

a la primera integral en (2.29) con vN(T ) = 0 y um(0) = Gm,

Z T 0 ( ˙u, vN)0 dt = − (Gm, vN(0))0− Z T 0 (um, ˙vN)0 dt Sustituyendo en (2.29), − Z T 0 {(um, ˙vN)0− α (∇um, ∇vN)0} dt = (Gm, vN(0))0+ Z T 0 (f, vN)0 dt

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DE

POSGRADO

(51)

Si primero m → ∞ y luego N → ∞, obtenemos − Z T 0 {(u, ˙v)₀− α (∇u, ∇v)₀} dt = (g, v(0))₀+ Z T 0 (f, v)₀ dt (2.32)

Por otro lado, integrando por partes en (2.30) se tiene −

Z T

0

{(um, ˙vN)0− α (∇um, ∇vN)0} dt = (u(0), v(0))0+

Z T

0

(f, v)₀ dt (2.33)

Sustrayendo (2.32) de (2.33), obtenemos

(u(0), v(0))₀ = (g, v(0))₀ Como v(0) es arbitrario se tiene que u(0) = g.

Unicidad

Sean u1 y u2 soluciones d´ebiles del problema (2.8)10. Entonces w = u1− u2 tambi´en es

una soluci´on d´ebil del problema (2.8), es decir,

h ˙w(t), vi_∗+ α (∇w(t), ∇v)₀ = 0

para todo v ∈ V y c.p.t. t ∈ [0, T ], con condici´on inicial w(0) = 0. Si elegimos v = w(t) tenemos h ˙w(t), w(t)i_∗+ α (∇w(t), ∇w(t))₀ = 0 lo que es equivalente a 1 2 d dtkw(t)k 2 0 = −αkw(t)k 2 1

Integrando en el intervalo (0, T ) y del hecho que kw(0)k2

0 = 0 se tiene

kw(t)k2₀ = Z T

0

−2αkw(t)k2₁dt < 0

lo cual implica que w(t) = 0 para todo t ∈ [0, T ]. Esto demuestra la unicidad de la soluci´on d´_ebil.

Estimativa de la estabilidad

Si m → ∞ en (2.20) y (2.23) se tiene las estimativas (2.26) y (2.27), respectivamente.

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(52)

Nota 2.2.3 En nuestro trabajo de investigación no tenemos regularidad de la solución debido a la geometr´ıa irregular de los acu´ıferos, por ello hallar de regularidad de la solución no es posible.

Caso 2: El Problema de Cauchy-Neumann

El Método de los Elementos Finitos de Faedo-Galerkin trabaja con otras condiciones de frontera, con pequeños ajustes. Vamos a examinar la formulación débil de la ecuación de difusión,

h ˙u(t), vi_∗+ a (u(t), v) = (f (t), v)₀ (2.34)

la cual es cierto para v ∈ V y c.p.t. t ∈ [0, T ].

Para el problema de Cauchy-Dirichlet, la forma bilineal a es a (w, v) = α (∇w, ∇v)₀

la cual es un m´ultiplo del producto interno en V = H1

0(Ω). Por lo tanto, a es continua

y tambi´en V-coerciva.11 _{Sin embargo una vez que la tripleta Hilbert (V, H, V}∗_{) ha sido}

seleccionada, para la ecuación diferencial parabólica, es suficiente que la forma bilineal a sea débilmente coerciva, es decir, que existan α > 0, λ ≥ 0 tal que

a (v, v) + λkvk2_H ≥ αkvk2

V ∀ v ∈ V (2.35)

De hecho, si se tiene

w(t) = e−λtu(t) (2.36)

donde u es una solución débil del problema de difusión (2.34). Entonces, ˙

w(t) = e−λt˙u(t) − λe−λtu(t) = e−λt˙u(t) − λw(t) La ecuaci´on

h ˙w(t), vi_∗+ a (w(t), v) + λ (w(t), v)_H = e−λtf (t), v_H (2.37)

11_{lo cual es crucial para el m´}_{etodo, como en el caso el´ıptico}