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UMENES
Clase # 23Universidad Andr´es Bello
Octubre 2014
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AREAS SOMBREADAS (ACHURADAS):
Corresponde esta clase al c´alculo de ´areas de diferentes figuras relacionadas entre s´ı, generando intersecciones y uniones entre ellas. Para distinguir la parte que se debe calcular:
1 Se procede a sombrearla, es decir, se pinta o raya imitando
texturas.
2 Se identifican las figuras simples que componen la figura
original.
3 Se lleva la situaci´on al c´alculo de sumas y restas de ´areas de
cuadrados, rect´angulos, etc.
SUMA DE ´AREAS DE FIGURAS PLANAS
Algunas veces, la parte achurada est´a formada por la uni´on de ´areas de figuras. Por lo tanto, hay que descomponerla, luego hacer el c´alculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el ´area total.
Ejemplo
En la figura,ABCD cuadrado de lado 4cm. yBC es un arco de semic´ırculo de centroO, con OB=OC. Calcule el ´area de la regi´on sombreada
Soluci´on Ejemplo
Esta figura se descompone en un cuadrado y medio c´ırculo.
Lado del cuadrado = 4cm. ´
Area del cuadrado: A= 42= 16cm2. Radio del c´ırculo = 2cm.
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Area del c´ırculo: A=π·22 = 4πcm2 ´
Area del semic´ırculo:A= 1
2 ·4π = 2πcm
2
El ´area de la figura es: ´Area total= 2π+ 16 = 2(π+ 8)cm2.
RESTA DE ´AREAS DE FIGURAS PLANAS
En este tipo de ejercicios hay figuras dentro de otras, produciendo intersecciones entre ellas. La soluci´on se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado. Ejemplo
En la figura siguiente,ABCD rect´angulo de lado AB= 12cm. con semic´ırculo de di´ametroAB inscrito. Calcule el ´area de la regi´on sombreada
Soluci´on Ejemplo
El ´area sombreada es igual al ´area del rect´angulo menos el ´area del semic´ırculo.
El ´area del rect´angulo esAB·BC. Pero BC mide lo mismo que el radio de la semicircunferencia, por lo tanto el ´area es: 12·6 = 72cm2
El ´area del semic´ırculo es: (πr2: 2) = 18πcm2.
El ´area sombreada queda determinada por la diferencia entre el ´area del rect´angulo y el ´area del semic´ırculo:
72−18π= 18(4−π)cm2
INTERSECCI ´ON DE ´AREAS DE FIGURAS PLANAS
Hay casos en los que las intersecciones de figuras determinan sumas y restas de ´areas.
Ejemplo
En la figura,P es el centro del c´ırculo de radioP T yP QRS, cuadrado. Adem´as,P T =ST. SiX representa el ´area del c´ırculo e Y representa el ´area del cuadrado, entonces, la expresi´on, en funci´on deX e Y, que representa el ´area de la superficie sombreada es.
Soluci´on Ejemplo
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Area sombreada = 34 Area c´ırculo + ´´ Area cuadrado -14 Area´ c´ırculo
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Area sombreada = 12 Area c´ırculo + ´´ Area cuadrado . Area Sombreada = 12X+Y. Es la expresi´on solicitada.
RELACIONES EN CUERPOS GEOM´ETRICOS
As´ı como en el caso de las ´areas de figuras planas, es posible estudiar la relaci´on entre cuerpos geom´etricos que generan uniones o intersecciones, como por ejemplo, una esfera inscrita en un cubo. Al igual que en el caso de figuras planas, la estrategia de resoluci´on de problemas de esta ´ındole, es esquematizar y reducir los cuerpos a cuerpos simples, tales como cubos, cilindros, esferas, etc. Ejemplo
Al cubo de10cm. de arista de la figura, se le ha hecho una perforaci´on de secci´on circular, perpendicular a una de sus caras, de6cm. de di´ametro. Si la perforaci´on atraviesa completamente el cubo, encuentre el volumen del cuerpo resultante.
Soluci´on Ejemplo
El volumen del cuerpo resultante es igual al volumen del cubo de arista10, menos el volumen de un cilindro de radio 3cm. y altura 10cm, que es el volumen de la perforaci´on.
El volumen del cubo es: Vcubo = 103 = 1000cm3.
El volumen del cilindro es:Vcilindro=π·32·10 = 90πcm3 . La diferencia es igual aV = 1000−90π = 10(100−9π)cm3.
Ejercicio 1:
En la figura, el ´area del pol´ıgonoABCDE es igual a120cm2, el ´area del tri´anguloABC es igual a50cm2 y el ´area del tri´anguloABE es 75cm2. Entonces, al ´area de la regi´on sombreada es igual a:
A)5cm2
B)15cm2
C)20cm2
D)25cm2
E)45cm2
Soluci´on Ejercicio 1:
Llamandoxa la regi´on sombreada, se pueden trasladar los siguientes datos a la figura:
Sumando las ´areas parciales representadas por los tri´angulos ADE, ABDyBCD, se tiene que:
(75−x) +x+ (50−x) = 120 125−x= 120
x= 5cm2
Ejercicio 2:
En la figura, se ha introducido una esfera de di´ametroden un cubo de aristaa. Es posible determinar la expresi´on num´erica del cuociente entre ambos cuerpos sabiendo que:
(1)d= 10cm
(2)d=a
A) (1) por s´ı sola. B) (2) por s´ı sola. C)Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por s´ı sola (1) ´o (2) E) Se requiere informaci´on adicional
Soluci´on Ejercicio 2: (1)d= 10cm
Se sabe que el di´ametro de la esfera es10cm, lo que permite calcular su volumen, pero no se tienen datos acerca de las medidas del cubo.
Conclusi´on:
Por lo tanto, (1) por s´ı sola, no resuelve el problema planteado.
Soluci´on Ejercicio 2: (2)d=a.
Sid=asignifica que si r es el di´ametro de la esfera y la arista del cubo es2r.
El volumen de la esfera esV = 4 3π·r
3 y el del cubo es
Vcubo = (2r)3= 8r3
Al realizar el cuociente entre ambas expresiones, se simplificar3 , quedando una expresi´on num´erica independiente del valor der. Conclusi´on:
Por lo tanto, (2) por s´ı sola, lleva a la soluci´on, sin necesidad del dato de (1).
Alternativa correcta: B.
Pr´oximo Jueves:
Jueves 30 de Octubre, 17:30 Tipos de Datos y su Tabulaci´on. M´as Informaci´on y Ejercicios :
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