Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato

Actividad 10. Geometría básica.

Introducción

Durante toda nuestra vida hemos estado en contacto con la Geometría, hemos tenido innumerables juegos de corte geométrico, ¿alguien recuerda los juegos de Lego, o una esfera de plástico hueca por donde (en su superficie) se debían introducir objetos los cuales debían coincidir con la figura geométrica para que pudieran entrar?

Introducción

El contacto con figuras geométricas es constante, observa a tu alrededor. El pizarrón de esta clase ¿qué figura es? ¿Las ventanas? ¿Las mesas? Pero todo esto que mencionamos son figuras planas ¿Qué significa, figuras planas? Todos estos conceptos los estudiaremos en esta actividad. El salón de clase ¿es una figura plana? El contorno de la puerta ¿es una figura plana? ¿Un cuerpo? ¿Qué es?

Introducción

¿Para qué me sirve conocer una figura geométrica?

Hay infinidad de situaciones que requieren del conocimiento de la Geometría, de hecho el estudio de las matemáticas comenzó por la necesidad de medir tierras, de ahí viene el origen de la palabra Geometría. ¿Alguno de ustedes ha tenido la oportunidad de estar al pendiente cuando se requiere hacer una remodelación o construcción de su casa? Si se quiere cambiar el piso lo primero que debo saber es cuántos metros cuadrados de mosaico se requieren.

Introducción

Si necesitas pintar tu casa y vas a comprar la pintura, el asesor te dice la pintura rinde 8 metros cuadrados por 1 litro de producto, por lo que requieres, otra vez, saber ahora cuántos metros cuadrados de superficie necesitas pintar.

Ahora imagina que se va a llenar la alberca de una quinta campestre, y te pide tu papá que llames a un distribuidor de agua y el asesor te pregunta ¿cuántos litros de agua requieres? Por lo que debes calcular la capacidad de la alberca (volumen).

Objetivos

Al finalizar la actividad serás capaz de:

• Reconocer los conceptos básicos de la geometría plana: la línea, el ángulo, el plano, perímetro y áreas.

• Reconocer los conceptos de cuerpos geométricos: volumen.

• Aplicar los conceptos de geometría en la solución de problemas razonados.

Concepto de Geometría

El estudio de las matemáticas comenzó por la necesidad de medir la tierra, terrenos, canales, edificios… por lo que a esta rama de las matemáticas se le conoce como

Geometría.

La Real Academia Española define el concepto como: “Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio”.

En este curso veremos dos áreas básicas dentro de la Geometría:

a) Planimetría. b) Estereometría.

Planimetría

La planimetría es parte de la topografía (medición de la superficie terrestre) que se ocupa de la representación de la superficie terrestre sobre un plano.

Conceptos básicos: a) Puntos. b) Líneas. c) Ángulos. d) Plano. e) Poligonal. f) Polígonos. g) Perímetro. h) Áreas.

Estereometría

La estereometría es parte de la Geometría que trata de la medida de los cuerpos sólidos.

Cuando hablamos de cuerpos, nos referimos a objetos que poseen 3 dimensiones (volúmenes), observa la siguiente tabla:

¿Existen más? ¿Qué otros ejemplos podrías dar?

Dos dimensiones Figuras planas Tres dimensiones Cuerpos Círculo Esfera Cuadrado Cubo Triángulo Pirámides

Conceptos de Planimetría

Vamos a estudiar cada uno de los conceptos más importantes de la Planimetría.

a) El punto:es el elemento mínimo de la geometría ( • ). Carece de dimensión o magnitud, generalmente se le identifica con una letra mayúscula.

A •

b) La línea recta: es un conjunto de puntos que se suceden ilimitadamente en dos sentidos.

Según su posición ésta pueden ser:

Vertical

Horizontal

Las líneas

Dentro de las líneas tenemos otros conceptos importantes como lo son:

El segmento: es parte de una recta limitado por dos puntos y siempre tiene magnitud o sea medida.

A B

Rayo o semirecta: es parte de una recta, tiene principio mas no tiene fin. El inicio se marca con un punto y el otro extremo con flecha.

A

Rectas paralelas y perpendiculares.

Existen relaciones importantes que se suceden entre las líneas rectas.

Rectas Paralelas: Son las líneas rectas que nunca llegan a intersecarse (cruzarse).

Rectas Perpendiculares: Son líneas rectas que se cruzan entre sí formando 4 ángulos rectos.

El ángulo

c) El ángulo: es la abertura comprendida entre dos rayos o semirectas que parten de un punto en común.

El punto en común se le conoce como vértice, y se le asigna una letra mayúscula. Para nombrar el ángulo se nombran 3 de sus puntos, dejando en medio la letra del

vértice. A

B

C

Su notación es: < ABC, significa el ángulo formado por AC con vértice en B.

Clasificación de ángulos

Los ángulos se clasifican según su abertura (amplitud) en: Recto: Mide exactamente 90.

Agudo: Mide entre 0°y menos de 90. Llano o colineal: mide exactamente 180.°

Entrante: Mide más de 180° pero menos de 360. Perigonal: Mide exactamente 360.

Clasificación de ángulos

Otra clasificación por la relación que guardan los ángulos al hacer operaciones con ellos son:

Complementarios: son aquellos que su suma es de 90°

Suplementarios: son aquellos que su suma es de 180°

a

b a + b=90°

a

b a + b = 180°

Ángulo complementario y suplementario

Ejemplo 1:

Encuentra el ángulo complementario a 32°.

Planteamos la siguiente operación para encontrar el ángulo complementario:

Por lo que 32°y 58° son complementarios entre sí. Ejemplo 2:

Ahora vamos a buscar el ángulo suplementario a 68° Por lo que 68°y 112° son suplementarios entre sí.











32

58

90

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo, el cual establece que la suma de sus catetos (lados) al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

Si se requiere obtener algún lado en específico quedará:

2 2 2

c

b

a





El plano

d) El plano: es una superficie que tiene dos dimensiones, largo y ancho y carece de espesor.

Para formar una figura plana se necesitan de por lo menos 3 puntos no colineales entre sí. Es decir que no estén los 3 sobre una misma recta.

A

C B

Poligonal y Polígono

e) La poligonal: es una línea quebrada que está formada por varios segmentos que tienen distintas direcciones, y mantienen una continuidad con el anterior segmento.

A C E

B D

f)Polígono:Es una poligonal cerrada. Y se clasifican en: • Polígonos regulares.

• Polígonos irregulares.

Polígonos regulares e irregulares

Los polígonos regulares, son los que tienen sus lados iguales, por ejemplo:

- Triángulo equilátero. - Cuadrado.

- Pentágono.

Los polígonos irregulares, son los que tienen sus lados diferentes, por ejemplo:

- Triángulo isósceles. - Triángulo escaleno. - Rectángulo.

Triángulos

El triángulo es un polígono de 3 lados, y tiene su clasificación:

Equilátero (3 lados iguales) Según sus lados Isósceles (2 lados iguales)

Escaleno (los 3 lados diferentes)

Acutángulos (3 ángulos < 90°) Según sus ángulos Rectángulos (1 ángulo = 90°)

Obtusángulo (1 ángulo > 90°)

Polígonos según sus lados

Los polígonos reciben su nombre según sus lados.

¿Cómo se le llamaría al polígono de doce lados? Nombre Número de lados

Triángulo 3 Cuadrilátero 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octágono 8 Nonágono o Eneágono 9 Decágono 10

El perímetro

g) El perímetro:el significado de la palabra perímetro viene de su raíz griega que significa “alrededor de medida”, quiere decir la medida del contorno de una figura.

Ejemplo: Obtén el perímetro del pentágono irregular mostrado.

El perímetro se representa con la letra P, por lo que la operación será: _P₅₆₄₈₃_26cm 5cm 3cm 8cm 6cm 4cm

El perímetro

El perímetro de la circunferencia es la medida del contorno y su formula es:

El radio es la distancia del centro de la circunferencia hacia cualquier parte de la circunferencia.

Y dado que dos radios equivale a un diámetro la fórmula se puede expresar:

r

P



2



d

P





1416

.

3





El perímetro

Ejemplo:

Calcula el perímetro de una circunferencia de 25 cm. de radio . Si empleamos el radio  Si empleamos el diámetro 

cm

P



2



(

25

)



157

.

08

cm

P





(

50

)



157

.

08

El área

h) El área: es la medida de la superficie de una figura. Tiene 2 dimensiones.

Vamos a recordar las fórmulas más empleadas de los polígonos.

Cuadrado

Todos sus lados miden lo mismo.

Rectángulo

Tiene dos pares de lados paralelos formando ángulos rectos.

2 l A l l bh A b h

El área

Ejemplo:Obtén el área del siguiente rectángulo .

El área se representa con la letra A, por lo que la operación será:

Las unidades del área siempre son unidades cuadradas por lo que le corresponde cm2_. 5cm 18cm 2

90

)

5

)(

18

(

cm

bh

A







Áreas

Tiene dos pares de lados paralelos pero no forman ángulos de 90°

Trapecio

Tiene dos lados paralelos. bxh A _b h h b B A         2 b B h

Áreas

Triángulo

El área de un triángulo es:

No importa el tipo de triángulo que sea, equilátero, isósceles o escaleno cualquiera de sus lados se puede considerar su base, y la altura será la recta perpendicular que parte de su base hacia el vértice opuesto.

2 bxh A b h b h b h

Áreas

El área de cualquier polígono regular es:

Se lee “Área es igual a Perímetro por apotema sobre 2”. Donde la apotema es la distancia del centro del polígono al centro de uno de sus lados.

2

Pxa

A



Áreas

En la figura anterior tenemos un hexágono (6 lados), con los siguientes datos.

lado = 6 cm apotema = 5.5 cm

a) Calcula el perímetro b) Calcula el área

Observa las unidades del perímetro, son lineales cm. y las del área son cuadradas.

cm P(6)(6)36 5.5 cm L=6 cm 2 99 2 ) 5 . 5 )( 36 ( cm A  2 cm

Áreas

El área del círculo es la medida de su superficie.

Ejemplo: Calcula el área de un círculo de radio igual a 12cm. 2

r

A





Conceptos de estereometría

El volumen es el espacio que ocupa un sólido. Por lo que se presenta en 3 dimensiones Longitud (largo), Altura (h) y Profundidad (ancho).

Las caras se llaman superficies.

A estos volúmenes se les llama prismas regulares.

largo

profundidad altura

Volúmenes

En general los prismas regulares son cuerpos delimitados por 2 polígonos regulares llamados base, su volumen se obtiene de multiplicar su Área (del polígono regular) por la altura del prisma.

L L h V= Ah= (L)(L)(h) Prisma cuadrangular. L h a V=Ah=(L)(a)(h) Prisma rectangular

Volúmenes

Ejemplo: Obtén el volumen de un prisma octagonal donde la longitud de uno de sus lados de su base es de 5cm y su apotema es de 6cm, y la altura del prisma es de 15 cm. Las fórmulas a emplear son:

nl P Pa A Ah V    2 15cm 6cm 5cm

Volúmenes

Empecemos por obtener el perímetro, después el área y por último el volumen. 15cm 6cm 5cm 3 2 1800 ) 15 ( 120 120 2 ) 6 )( 40 ( 2 40 ) 5 ( 8 cm Ah V cm Pa A cm nl P         

Aplicación

En mi casa se va a poner piso cerámico y el azulejero nos cobra la instalación a $60.00 por m2_{, pero el zoclo (mosaico}

que va alrededor entre el piso y la pared) tiene un costo de $85.00 por m.l. ¿Cuánto nos saldrá pagarle al instalador? Las dimensiones del piso son las siguientes:

9.5m 9m 15m 6m 5.5m 3m

Aplicación

Para obtener el zoclo necesito el perímetro:

Para obtener el área puedo dividir la zona, en dos rectángulos.

Calculando los costos será: ml P31599.565.548 2 102 ) 5 . 5 )( 3 ( ) 5 . 9 )( 9 ( m A   ) / 60 )($ 102 ( ) / 85 )($ 48 ( total Costo  ml ml  m2 m2 00 . 200 , 10 $ 120 , 6 $ 080 , 4 $ total Costo   

Aplicación

Ejemplo 2:

¿Cuál es el costo por la cantidad de concreto que requiero para la construcción de una cisterna de agua potable? El costo del concreto por metro cúbico es de $1100 y las dimensiones de la cisterna son las siguientes:

El espesor de los muros y piso es de 0.15 m 6.00 m 4.50m Vista en planta Vista Lateral 2.85 m

Aplicación

Este problema requiere emplear volúmenes y su planteamiento es el siguiente:

Vol. de concreto = Vol. Exterior – Vol. Interior Vol. exterior 4.50 x 6.00 x 2.85 = 76.95 m3 Vol. interior  4.20 x 5.70 x 2.70 = 64.638 m3 Ancho interior 4.50 - 0.15 – 0.15 = 4.20 m Largo interior 6.00 - 0.15 - 0.15 = 5.70 m Altura interior 2.85 -0.15 = 2.70 m Vol. de concreto = 76.95 m3_{– 64.638 m}3_{= 12.312 m}3

Costo total de concreto  ($ 1100/m3_)(12.312

Bibliografía

Gustafson,R. David. Álgebra Intermedia. México:Thomson Editores, 2004. (ISBN 968-7529-07-5).

Créditos

Diseño de contenido:

Ing. Raquel Ramírez Peláez

Coordinador de área:

Lic. José de Jesús Romero Alvarez, MC y MED

Edición de contenido:

Lic. Miriam Gómez Moore, MED

Edición de texto:

Lic. Alejandra Zaragoza Scherman

Diseño Gráfico: