Soluciones de Sistemas en PAU CyL

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(1)

Soluciones de Sistemas en PAU CyL

1.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: 1

0

3 1

x y z

x y z

x m y z m    

 

     

(2,5 puntos) (PAU junio 2011)

Solución

Caso 1º:

 

1 rango( ) 3 rango( ') nº de incógnitas S. Compatible Determinado

1 1

Solución única , 1 , ; 1

2 2

m A A

x y z m

        

  

 

 

.

Caso 2º: 1 rango( ) 2 rango( ') 3 nº de incógnitas . Compatible Indeterminado, con 1 G.L.

1 1

Infinitas soluciones , , ;

2 2

m A A S

x yz  

      

     



 

2.- Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales: 2

2 m x y

x m y m

x y

  

(2,5 puntos) (PAU septiembre 2011)

Solución

Caso 1º: 0 1 rango( ) 1 2 rango( ') S. Incompatible no tiene solución. 1 rango( ) 2 3 rango( ') S. Incompatible no tiene solución.

m A A

m

m A A

      

    

      

Caso 2º: 0 rango( ) 2 rango( ') nº de incógnitas S. Compatible Determinado. Solución única ( 0 , 2).

m A A

x y

     

 

3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:

2 1

1 3

x y a z a

x a y z

x y z a

    

(PAUG junio 2010)

a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a. (2 puntos) b) Resolver el sistema para a1. (0,5 puntos)

Solución

a) Caso 1º:   a

0, 5

rango( )A  3 rango( ')A nº de incógnitasS. Compatible Determinado. Caso 2º: a0 o a 5 rango( )A   2 3 rango( ')A  S. Incompatible

(2)

4.- Discutir según los valores del parámetro, y resolver cuando sea posible, el sistema: 1

( 1) 0

( 1) x z

y a z

x a y a z a  

    

     

(2,5 puntos) (PAUE junio 2010)

Solución

Caso 1º:   a

1 , 2

rango( )A  3 rango( ')A nº de incógnitasS. Compatible Determinado.

Solución única 1 , 1 , 1

2 2 2

a a

x y z

a a a

 

 

 

Caso 2º: a 1 rango( )A  2 rango( ')A  3 nº incógnitas  S. Compatible Indeterminado. Infinitas soluciones

x 1  , y0 , z 

; 

.

Caso 3º: a 2 rango( )A   2 3 rango( ')A  S. Incompatibleno tiene solución.

5.- Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema: 1

2 2

3 0

a x y z

x y z

x y z    

 

 

(2,5 puntos) (PAUG septiembre 2010)

Solución

Caso 1º: 1 rango( ) 3 rango( ') nº de incógnitas S. Compatible Determinado. 5

a   A A

        

 

9 2 4 6 3 1

Solución única , , ;

5 1 5 1 5 1 5

a a

x y z a

a a a

 

 

 

Caso 2º: 1 rango( ) 2 3 rango( ') S. Incompatible 5

a  A    A  .

6.- Sea

1 2

2 0 1

1 2 m

B

m

 

 

  

 

 

la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Hallar razonadamente los valores de m

para los que el sistema es compatible determinado. (1 punto) (PAUE septiembre 2010) Solución

9

0 rango( ) 3 rango( ') nº de incógnitas S. Compatible Determinado 4

m   B B B

          

(3)

7.- Sea el sistema de ecuaciones lineales:

5

2 3

x y

y z

x z

 

  

 

   

(PAU junio 2009)

Se pide:

a) Discutirlo en función del parámetro . (2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible. (1 punto)

Solución

a) Caso 1º: 1 rango( ) 3 rango( ') nº de incógnitas S. Compatible Determinado.

2 A A

  

        

 

Caso 2º: 1 rango( ) 2 3 rango( ') S. Incompatible no tiene solución.

2 A A

        

b) 1 solución única 12 3 , 2 2 , 3

2 x 2 1 y 2 1 z 2 1

  

  

 

   

      

  

   

8.- a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones:

2 4

3 2 5

x y z

x ay z a

x z    

 

(2,5 puntos) (PAU septiembre 2009)

b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las tres ecuaciones del sistema. (0,5 puntos)

Solución

a) Caso 1º:   a

 

1 rango( )A  3 rango( ')A nº de incógnitasS. Compatible Determinado. Caso 2º: a 1 rango( )A  2 rango( ')A  3 nº incógnitasS. Compatible Indeterminado con 1 G.L.

Infinitas soluciones

x 3 2 , y , z   2 3

; 

.

b) Caso 1º: a 1 Los 3 planos se cortan en un punto, cuyas coordenadas son la única solución.

Caso 2º: a 1 Los 3 planos se cortan en una recta r, es decir, pertenecen al haz de planos de base r.

9.- Se considera el sistema

2

1 2 2 x y z y z a

x z a

       

 



donde a es un parámetro real.

a) Discutir el sistema en función del valor de a. (1,5 puntos) (PAU junio 2008) b) Resolver el sistema paraa 0. (0,5 puntos)

c) Resolver el sistema para a1. (1 punto)

Solución

a) Caso 1º: a 1 rango( )A   2 3 rango( ')A  S. Incompatibleno tiene solución.

Caso 2º: a 1 rango( )A  2 rango( ')A  3 nº incógnitasS. Compatible Indeterminado con 1 G.L. b) Si a0  rango( )A   2 3 rango( ')A  S. Incompatibleno tiene solución.

(4)

10.- Sea a un parámetro real. Se considera el sistema

2

(1 ) 2 1

1

x ay z a

a x y z

ax y z a

    

     

     

a) Discutir el sistema en función del valor de a. (2 puntos) (PAU septiembre 2008) b) Resolver el sistema para a0. (0,5 puntos)

c) Resolver el sistema para a1. (0,5 puntos)

Solución

a) Caso 1º:    a

1 , 0

rango( )A  3 rango( ')A nº de incógnitasS. Compatible Determinado. Caso 2º: a  1 rango( )A   2 3 rango( ')A  S. Incompatibleno tiene solución.

Caso 2º: a 0 rango( )A  2 rango( ')A  3 nº incógnitasS. Compatible Indeterminado con 1 G.L. b) Si a 0 Infinitas soluciones

x 2  , y  1  , z 

; 

.

c) Si a  1 Solución única 3 , 2 , 1

2 2

x y z

 

 

 .

11.- Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores de a: 0

2 ( 1) 0

ax y

x a y

  

(1 punto) (PAU septiembre 2008)

Solución

Caso 1º:    a

1 , 2

rango( )A  2 rango( ')A nº de incógnitasS. Compatible Determinado. Como es un sistema homogéneo la solución es la trivial (x0 , y0).

Caso 2º: a  1 rango( )A  1 rango( ')A  2 nº incógnitas  S. Compatible Indeterminado con 1 G.L. Infinitas soluciones

x , y

; 

.

Caso 3º: a 2 rango( )A  1 rango( ')A  2 nº incógnitas  S. Compatible Indeterminado con 1 G.L. Infinitas soluciones

x, y 2

; 

.

12.- Discutir en función de a el sistema

1 ax ay a

x ay   

  

(1 punto) (PAU junio 2007) Solución

Caso 1º:    a

1 , 0

rango( )A  2 rango( ')A nº de incógnitasS. Compatible Determinado. Caso 2º: a  1 rango( )A  1 rango( ')A  2 nº incógnitasS. Compatible Indeterminado con 1 G.L.

Infinitas soluciones

x 1  , y

; 

.

(5)

13.- Se considera el sistema     

  

  

  

2 2

2

0 4

z y x

z y ax

az y x

, donde a es un parámetro real. (PAU septiembre 2007) a) Discutir el sistema en función del valor de a. (2 puntos)

b) Resolver el sistema para a1. (1 punto)

Solución

a) Caso 1º: 1 , 1 rango( ) 3 rango( ') nº de incógnitas S. Compatible Determinado. 2

a   A A

        

 

Caso 2º: 1 rango( ) 2 3 rango( ') S. Incompatible no tiene solución. 2

a   A    A  

Caso 3º: a 1 rango( )A  2 rango( ')A  3 nº incógnitasS. Compatible Indeterminado con 1 G.L. b) Para a 1 Infinitas soluciones

x 2  , y , z2 ;

 

.

14.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales     

  

  

  

4 2

4 )

1 (

3 2

az y x

z y a

z y x

. (PAU junio 2006)

a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. (2 puntos) b) Resuélvase el sistema para a2. (1 punto)

Solución

a) Caso 1º:    a

1 , 1

rango( )A  3 rango( ')A nº de incógnitasS. Compatible Determinado. Caso 2º: a  1 rango( )A   2 3 rango( ')A  S. Incompatibleno tiene solución.

Caso 3º: a 1 rango( )A   2 3 rango( ')A  S. Incompatibleno tiene solución. b) Si a 2 Solución única

x0 , y1 , z1

.

15.- Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es

1 1 1

1

2 1 2

A m m

m

 

 

  

 

(1 punto) (PAU septiembre 2006)

Solución

Caso 1º:   m

 

1 rango( )A  3 rango( ')A nº de incógnitasS. Compatible Determinado. Solución única, la trivial

x0 , y0 , z0

.

Caso 2º: m 1 rango( )A  1 rango( ')A  3 nº incógnitasS. Compatible Indeterminado con 2 G.L. Infinitas soluciones

x    , y  , z

;    , 

.

(6)

16.- Discútase, en función del parámetro real k, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3 0

3 2

3 0

kx y

x y k

x ky   

   

   

(3 puntos) (PAU septiembre 2006)

Resuélvase el sistema cuando sea posible.

Solución

Caso 1º:    k

3 , 0 , 3

rango( )A   2 3 rango( ')A S. Incompatibleno tiene solución.

Caso 2º: 3 rango( ) 2 rango( ') nº de incógnitas S. Compatible Determinado.

3 3

Solución única , .

5 5

k A A

x y

      

   

 

 

Caso 3º: 0 rango( ) 2 rango( ') nº de incógnitas S. Compatible Determinado. Solución única ( 0 , 0).

k A A

x y

     

 

Caso 4º: 3 rango( ) 2 rango( ') nº de incógnitas S. Compatible Determinado. Solución única ( 3 , 3).

k A A

x y

     

  

17.-a) Discútase el sistema, en función del valor de a. (2,25 puntos)

    

    

  

  

1 )

1 ( 3

0 2

2

a z y a x

az y x

z ay x

(PAU junio 2005)

b) Para el valor a1, hállese, si procede, la solución del sistema. (0,75 puntos) Solución

a) Caso 1º: 0 , 1 rango( ) 3 rango( ') nº de incógnitas S. Compatible Determinado. 2

a   A A

       

 

Caso 2º: a0  rango( )A   2 3 rango( ')A  S. Incompatibleno tiene solución.

Caso 3º: 1 rango( ) 2 3 rango( ') S. Incompatible no tiene solución. 2

a  A    A  

(7)

18.- Sea k un número real.Considérese el sistema de ecuaciones lineales

2

1 kx y z

x ky z k

x y kz k     

   

. (PAU septiembre 2005)

a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado. (2,25 puntos) b) Resuélvase el sistema para k 2. (0,75 puntos)

Solución

a) Caso 1º:    k

2 , 1

rango( )A  3 rango( ')A nº de incógnitasS. Compatible Determinado. Los 3 planos se cortan en un punto.

Caso 2º: k  2  rango( )A   2 3 rango( ')A  S. Incompatibleno tiene solución. Los planos se cortan dos a dos en una recta, pero no hay puntos comunes a los tres planos. Caso 3º: k  1 rango( )A  1 rango( ')A  3 nº incógnitasS. Compatible Indeterminado con 2 G.L.

Los tres planos son coincidentes, es decir, el mismo plano, de ecuación x  y z 1.

b) Si k  2 Solución única 3 , 1 , 9

4 4 4

x y z

 

 

 .

Los tres planos se cortan en el punto 3 , 1 , 9

4 4 4

P 

 

19.- Se considera el sistema 1 1 x y z

x y z

x y z       

    

    

.

a) Discútase según los valores del parámetro . (1,5 puntos) (PAU junio 2004) b) Resuélvase para 3. (0,75 puntos)

c) Resuélvase para 1. (0,75 puntos)

Solución

a) Caso 1º:   

 

1 rango( )A  3 rango( ')A nº de incógnitasS. Compatible Determinado. Caso 2º:   1 rango( )A  1 rango( ')A  3 nº incógnitasS. Compatible Indeterminado con 2 G.L. b) Si    3 Solución única

x0 , y0 , z 1

.

(8)

20.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales

x y z

x ay z

x a y z

     

    

 

 

2 3 1

3 2

2 (2 ) 6 3

(PAU septiembre 2004) a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea incompatible? (1 punto)

b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado? (1 punto) c) Resuélvase el sistema para a0. (1 punto)

Solución

a) Si a2  rango( )A   1 2 rango( ')A  S. Incompatibleno tiene solución.

b) No, porque si a 2 rango( )A  2 rango( ')A  3 nº incógnitasS. Compatible Indeterminado con 1 G.L.

c) Si a 0 Infinitas soluciones 2 3 , 1, ; 2

xy z  

      



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