Tema 4 Sistemas Particulas

Sistemas de Partículas

1. Sistemas de partículas. Fuerzas interiores y exteriores.

2. Centro de masas.

a) Propiedades dinámicas del CM

b) Principio de conservación del momento lineal de un sistema de

partículas.

3. Momento angular de un sistema de partículas.

4. Energía de un sistema de partículas. Energía interna.

1. Sistemas de Partículas. Fuerzas interiores y exteriores.

Modelos Mecánicos

• _{Partícula o punto material}

• _{Sistemas de} partículas

Discretos

Continuos

o Deformables

o Deformables o Indeformables

o Sólido rígido

Desde otro punto de vista distinguiremos entre dos tipos de sistemas de partículas: 1. Cerrados: grupo de partículas que interaccionan entre si pero no con otros posibles

elementos de su entorno. Es decir, en ellos sólo existen las denominadas Fuerzas Interiores.

2. Abiertos: es aquél sobre el que ejercen interacciones otros agentes exteriores o ajenos al propio sistema. Estas son las llamadas Fuerzas Exteriores.

Cualquier partícula del sistema, podrá estar sometida a la acción de fuerzas interiores y exteriores, por lo que su ecuación dinámica vendrá dada por:

(

∑

F

interiores

+

∑

F

exteriores

)

_i

=

m a

i i

2. Centro de masas de un sistema de partículas (I).

Consideremos un sistema de

n

partículas, cada una de masa

m

_i, y cuya posición respecto a un sistema de referencia O viene dada por el vector de posición

r

_i, como indica la figura.

O

m

₁ 1

r

z

y

x

2

r

3

r

4

r

_m

2

m

₃

m

₄

M

R

Definimos el centro de masas (CM), como un punto donde consideramos concentrada la masa total del sistema,

M,

dado por su vector de posición:

R

=

X i

+

Y j

+

Z k

tal que:*

1 1 2 2 1 1

1 2

1

...

...

n n

i i i i n n

m n

i

m r

m r

m r m r

m r

R

m

m

m

_m

M

+

+

+

=

=

=

+

+

+

∑

∑

∑

* _{Los sistemas de partículas obedecen la ley de conservación de la materia:} n

i

m

=

M

∑

Esta igualdad vectorial puede expresarse como tres igualdades escalares que proporcionan las coordenadas del CM.

n n n

i i i i i i

i i i

m x

m y

m z

X

Y

Z

M

M

M

= = =

∑

∑

∑

2. Centro de masas de un sistema de partículas (II).

En el caso de un sistema de partículas CONTÍNUO:

O

x

M

R

z

y

r dm

r dm

R

M

dm

=

∫

=

∫

∫

que, asimismo, puede escribirse como:

;

;

;

x dm

y dm

z dm

X

Y

Z

M

M

M

=

∫

=

∫

=

∫

Como veremos más adelante el estudio del movimiento del CM es siempre más sencillo que el de las diversas partículas que componen el sistema y, en la práctica, demostraremos que el movimiento del sistema de partículas se puede estudiar a través del movimiento de su CM, como si se tratara de un punto dotado de la masa total del sistema y sobre el que actúan las fuerzas exteriores a él.

dm

r

Ejemplo 1.

Determinar la posición del CM de un aro semicircular homogéneo y uniforme de radio

R.

Tomemos un elemento de masa

dm

como indica la figura. Si llamamos λ _{a su densidad lineal de}

masa ( ), podemos escribir que:

dm

=

λ

ds

=

λ

R d

θ

Las coordenadas del CM serán:

dm ds

λ

=

;

;

x dm

y dm

X

Y

M

M

=

∫

=

∫

Por razones de simetría es evidente que

X

= 0. Calculemos por tanto la coordenada

Y.

2 0

sen

sen

y

R

_R

_{R d}

_R

dm

R d

Y

R

M

R

π

θ

θ λ

θ

λ

θ

λ π

λ π



=



=

_

⇒

=

=



=

_

∫

λ

0

sen

d

π

θ

θ

λ

∫

R

π

R

cos

0

π

θ





=

_

−

_

2

0

1

1

cos

cos

R

R

R

y

π

π





π





π

2a. Propiedades dinámicas del CM (I).

O

m

₁

1

r

z

y

x

2

r

3

r

4

r

_m

2

m

₃

m

₄

M

R

Consideremos nuestro sistema de partículas sometido a la acción de una serie de fuerzas exteriores, además de las correspondientes fuerzas interiores.

La posición del sistema, y la de su centro de masas, cambiará en el transcurso del tiempo, por tanto:

( )

1

( )

n

i i

m r t

R t

M

=

∑

Si derivamos respecto del tiempo tenemos la velocidad con que se desplaza el CM, es decir:

( )

1

( )

1

( )

CM

n n

i

i i i

dr t

m

m v t

dR t

_dt

v

dt

M

M

=

=

=

∑

∑

Que puede expresarse también como:

( )

( )

1 1

CM CM

n n

i i i

M v

t

=

∑

m v t

⇒

p

=

∑

p

Lo que significa que el momento lineal del CM representa, efectivamente, el momento

2a. Propiedades dinámicas del CM (II).

Para obtener la aceleración del CM sólo tenemos que derivar nuevamente su ecuación de velocidad con respecto del tiempo:

( )

( )

( )

( )

1 1

CM CM

n n

i

i i i

dv t

m

m a t

dv

t

_dt

a

t

dt

M

M

=

=

=

∑

∑

que también puede expresarse como:

( )

( )

1

CM

n

i i

M a

t

=

∑

m a t

Cada sumando del segundo miembro equivale a la fuerza neta ejercida sobre cada partícula del sistema, fuerza neta que es la resultante de las fuerzas interiores y exteriores sobre cada partícula, es decir:

( )

CM interiores exteriores

M a

t

=

∑

F

+

∑

F

Pero como la suma de las fuerzas interiores es nula, la ecuación anterior queda como:

( )

CM exteriores resultante

M a

t

=

∑

F

=

F

2b. Principio de conservación del momento lineal.

La ecuación dinámica del centro de masas puede expresarse también como:

CM exteriores resultante

dp

F

F

dt

=

=

∑

Si el sistema de partículas es CERRADO, es decir, no existen fuerzas exteriores al sistema, es evidente que:

1

0

CM

CM

constante

n i

dp

p

p

dt

=

⇒

=

∑

=

Resultado que constituye el principio de conservación del momento lineal para un sistema de partículas: en un sistema de partículas CERRADO su momento lineal total permanece constante.

Obsérvese que el principio de conservación del momento lineal implica, al mismo tiempo, la conservación del momento lineal del CM. Esto significa que, al mantenerse constante la masa del CM, la velocidad del CM debe permanecer también constante.

Ejemplo 2.

Se dispara un proyectil con un ángulo de elevación y una velocidad inicial calculadas para batir un blanco situado a 55 m situado en la horizontal del punto de disparo. En el punto más alto de su trayectoria el proyectil hace explosión dividiéndose en dos fragmentos idénticos, uno de los cuales cae verticalmente con velocidad inicial nula. ¿A qué distancia del punto de disparo caerá el segundo fragmento si el terreno es horizontal? (

g

=10 m/s2_).

Nótese que las fuerzas que participan en la explosión del proyectil son todas fuerzas interiores y, por

tanto, no modifican el momento lineal del sistema. Por la misma razón estas fuerzas no modifican el

movimiento del CM del sistema, como se refleja en el esquema adjunto.

La posición del CM, en particular la componente

X

: 1 1 2 2

1 2

m x

m x

X

m

m

+

=

+

Dando valores a cada variable, tenemos que:

55

m

=

55

2

+

m

x

2

m

+

m

2 2

55

2 55

110

27 5

82 5

2

x

x

,

, m

⇒

⋅

=

+

⇒

=

−

=

x

y

10

Ejemplo 3.

La figura muestra el aspecto de un proyectil un instante después de haber estallado en tres fragmentos. ¿Cuál era la velocidad del proyectil un instante antes de la explosión?

Otra vez en este caso las fuerzas que participan en la explosión son interiores y, por tanto, se ha de cumplir el principio de conservación del momento lineal, es decir:

1 2 3

antes total antes despues

despues

p

m

v

p

p

p

p

p

p



₌



=

⇒

_

=

+

+



1

p

3

p

2

p

Después de la explosión

(

2

m m m v

+

+

)

= −

2

m v j

1

+

m v j

2

+

m v i

3

4

m

v

_{= −}

2

m

1

v j

+

m

2

v j

₁

₊

m

3

v i

3 3

4

4

v

v

=

v i

⇒

v

=

i

antes

p

Antes de la explosión

3. Momento angular de un sistema de partículas.

Se define el momento angular de un sistema de partículas como la suma (vectorial) de los momentos angulares de todas las partículas que componen el sistema, tomando siempre como origen el mismo punto O.

n i i

L

=

∑

L

Estudiemos la variación del momento angular con el tiempo, para ello:

1 1 1

n n n

i

i i

dL

dL

d

L

M

dt

=

dt

∑

=

∑

dt

=

∑

siendo

M

_i el momento resultante respecto del punto de referencia O de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula

i

. En estas fuerzas estarán incluidas tanto los momentos ejercidos por las fuerzas interiores y exteriores. Sin embargo, es posible demostrar que el momento neto realizado por las fuerzas internas es nulo. De forma que:

1

exteriores resultante

n

dL

M

M

dt

=

∑

=

Si el momento resultante de las fuerzas exteriores es cero, se deduce que el momento angular permanece CONSTANTE, esto constituye el principio de conservación del

12

4. Energía de un sistema de partículas. Energía interna.

Se define la energía cinética de un sistema de partículas como la suma de las energías cinéticas de todas las partículas que integran el sistema, es decir:

2

1

1

2

n

c i i

E

=

∑

m v

O

x

m

_i i

r

CM CM

r

z

y

i

r

′

_{Consideremos un sistema de partículas, cuyo} movimiento analizaremos desde un SRI (O) y un sistema de referencia ligado al CM del sistema. Para una partícula de masa

m

_i del sistema :

CM

CM CM

i i

i i i i

dr

dr

dr

r

r

r

v

v

v

dt

dt

dt

′

′

′

=

+

⇒

=

+

⇒

=

+

La energía cinética del sistema de partículas con respecto al sistema O será:

(

)

2

2 2

2 2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

₂

CM

CM

c i i i i i i

i i i

E

m v

m v

m v

v

m v

m v

′

=

=

=

+

=

′

=

+

+

∑

∑

∑

∑

∑

2

i

m

2 0

1

2

CM CM i c

v v

′

=

E

′

+

M v

∑

2

0

cos

i i i i i

v v

⋅

=

v v

=

v

4. Energía de un sistema de partículas. Energía interna (II).

¿Es el Teorema del Trabajo y la Energía válido para un sistema de partículas?

O

x

m

₂

1

r

2

F

z

y

2

r

m

₁

1

F

12

F

21

F

2

v

1

v

Considerando el teorema del trabajo y la energía para cada partícula, podemos escribir:

(

)

(

)

1

2

1 21 1

2 12 2

c c

dE

F

F

dr

dE

F

F

dr



=

+

⋅

_



=

+

⋅

_

Y para el sistema:

1 2

c c c

dE

=

dE

+

dE

(

1 21

)

1

(

2 12

)

2 1 1 2 2 12 12

c

dE

=

F F

+

⋅

dr

+

F

+

F

⋅

dr

=

F dr F dr

⋅

+

⋅

+

F dr

⋅

Trabajo realizado por las fuerzas exteriores

Trabajo realizado por las fuerzas interiores

Este resultado es el Teorema del trabajo y la energía para un sistema de partículas y pone de manifiesto que no sólo el trabajo realizado por las fuerzas exteriores, sino también el realizado por las fuerzas interiores puede modificar al energía cinética del sistema de partículas. En su forma integrada puede expresarse como:

exteriores interiores

c c c

E

E

E

W

W

∆

=

−

=

+

4. Energía de un sistema de partículas. Energía interna (III).

Si las fuerzas interiores del sistema son CONSERVATIVAS existirá una función energía potencial asociada al campo vectorial, a la que llamamos energía interna, tal que:

interiores interna

W

= −∆

U

Y, por tanto:

W

_exteriores

− ∆

U

_interna

= ∆

E

_c

⇒

W

_exteriores

= ∆

(

U

_interna

+

E

_c

)

= ∆

U

_propia

Energía propia del sistema Esta última expresión indica que el trabajo realizado por las fuerzas

exteriores al sistema se invierte en modificar su energía propia.

Caben algunas consideraciones particulares:

Si el sistema es cerrado ⇒

W

_exteriores = 0 ⇒

U

_propia = constante

Si las fuerzas exteriores son también conservativas, existirá una función energía potencial asociada a cada una de ellas, en tal caso:

exteriores exteriores

Por tanto

propia exteriores

W

= −∆

U

∆

U

= −∆

U

O bien:

₍

₎

propia exteriores 0 propia exteriores constante

U

U

U

U

∆ + = ⇒ + =

Es decir, la ENERGÍA TOTAL (

E

) de un sistema de partículas sometido exclusivamente a la acción de fuerzas exteriores conservativas se mantiene constante.

5. Colisiones.

Cuando dos cuerpos colisionan entran en juego una serie de interacciones que actúan

durante un corto periodo de tiempo que, en general, son difíciles de analizar. Sin embargo, este tipo de problemas pueden resolverse utilizando otros tipos de enfoques.

Distinguiremos tres tipos de choques o colisiones:

a. Choque elástico: este tipo de choque se caracteriza porque en él se conserva tanto el momento lineal como la energía.

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

m v

m v

m v

m v

v

v

v

v

m v

m v

m v

m v



′ ′

+ = + _

′ ′

⇒ + = +



′ ′

+ = + 



b. Choque inelástico o plástico: este tipo de choque ambos cuerpos quedan unidos

después del choque y se caracteriza porque en él sólo se conserva el momento lineal.

(

)

1 1 2 2 1 2

m v

+

m v

=

m

+

m v

c. Choque parcialmente elástico: este tipo de choque los cuerpos que colisiona se separan después del choque, pero no se conserva la energía, sólo se conserva el momento

lineal.

1 1 2 2 1 1 2 2

m v

+

m v

=

m v

′ +

m v

′

En este tipo de choques se define el denominado coeficiente de restitución (K), que para un impacto directo viene dado por:

1 2 _{donde 0 1}

v

v

K

K

v

v

′ ₋ ′

= − ≤ ≤

Ejemplo 4.

Se dispara una bala de 50 g de masa sobre un bloque de madera de 2 kg de masa suspendido por dos hilos, como muestra la figura. La bala queda incrustada en el bloque y el conjunto se eleva una altura de 20 cm. Determinar la velocidad con que impacta la bala en el bloque.

Distinguiremos entre dos fases en el proceso: 1) el choque propiamente dicho y 2) el movimiento que lleva a cabo el sistema después del choque.

1) Se trata de un choque inelástico y, por tanto:

(

)

(

)

1 1i 2 2i 1 2 f 0

1 1i 1 2 f

m v

m v

m

m v

m v

m

m v

+ = +

= +

2) El movimiento del sistema después del choque vendrá regido por el principio de conservación de la energía, ya que sólo actúan fuerzas conservativas, es decir:

(

_{1 2}

)

abajo arriba

1 2

E

=

E

⇒

m

+

m

v

_f2 =

(

m

₁ +

m

₂

)

g h

⇒

v

_f = ₂

g h

= _{2 10 0,2}⋅ ⋅ = _{2 m/s}

Resolviendo la ecuación de conservación del momento lineal, tenemos que:

(

)

1i 1i

4,1

0, 05 0, 05 2 2 82 m/s 0, 05

v

= + ⇒

v

= =