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Los principios de la dinámica

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Un muelle horizontal de longitud l0se comprime aplicando una fuerza de 50 N, hasta que su longitud es de 15 cm.

Si le aplicamos una fuerza de 100 N, su longitud queda reducida a 5 cm.

a)¿Cuál es la longitud inicial del muelle?

b)¿Cuánto vale su constante?

Cuando comprimimos el muelle de constante k, con F = 50 N, hasta que la longitud es l = 0,15 m, tendremos:

F = k · (l0– l) → 50 = k · (l0– 0,15)

Si aplicamos F = 100 N, la longitud queda en l’ = 0,05 m.

100 = k · (l0– 0,05)

Resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones obtenemos:

l0= 0,25 m; k = 500 N/m

Dos cuerpos de igual masa caen desde 1 000 m del suelo lunar y terrestre, respectivamente. Si no se tiene en cuen-ta el rozamiento en la atmósfera terrestre, ¿en qué relación se encuentran las velocidades al llegar al suelo? ¿Influ-ye la masa? (Datos: gT= 9,81 m/s2; gL= 1,63 m/s2).

La velocidad en caída libre desde una altura h es v =s . Por tanto, la relación de las veloci-dades al llegar al suelo en la Tierra y en la Luna será:

=

s

s

s

El resultado es independiente de la masa de los cuerpos.

Viajas en el asiento posterior de un automóvil. De pronto, el conductor toma una curva a la izquierda a gran velo-cidad. ¿Por qué eres desplazado? ¿Hacia dónde?

Porque por la 1.a_{ley de Newton tú tiendes a seguir con MRU mientras que el coche ha girado hacia}

la izquierda. Por eso, tú «chocas» con la puerta derecha.

El cuerpo de la figura tiene una masa de 10 kg. Calcula la aceleración sabiendo que: F1 = 50 N; F2 =75 N;

F3= 20 N; F4= 100 N.

La suma de fuerzas será:

FT= F1+ F2+ F3+ F4

FT= (F1 · cos 30º, F1 · sin 30º) + (0, 75) + (–20, 0) + (0, –100)

FT= (43,30, 25) + (0, 75) + (–20, 0) + (0, –100) = (23,3, 0)

F1

30° F2

F3

F4

4 3

9,81 1,63

gT

gL

2gT· h

2gL· h

vT

vL

2 g · h

Para calcular la aceleración:

FT= m · a → a = = (2,33, 0) m/s2; a = 2,33 m/s

El cuerpo de la figura tiene una masa de 10 kg. Calcula la aceleración sabiendo que: F1= 100 N; F2= 86,6 N y

F3= 30 N.

La suma de fuerzas será:

FT= F1+ F2+ F3

FT= (F1 · sin 30º, –F1 · cos 30º) + (0, 86,6) + (–30, 0)

FT= (50, –86,6) + (0, 86,6) + (–30, 0) = (20, 0)

Para calcular la aceleración:

FT= m · a → a = = (2, 0) m/s2; a = 2 m/s2

Tenemos dos libros colocados uno encima del otro, de masas m1= 0,5 kg y m2= 1,5 kg, ambos sobre una mesa de

masa M = 20 kg.

a)Dibuja, indicando quién la ejerce, cada una de las fuerzas que actúan sobre la mesa y los libros.

b)Calcula cada una de las fuerzas y comprueba que el sistema se encuentra en equilibrio. (Dato: g = 10 m/s2_.)

a) Aplicando el tercer principio de Newton cada pareja de cuerpos interacciona ejerciéndose fuerzas

iguales y de sentidos contrarios.

Las fuerzas sobre el libro 1 serán:

• El peso PL1que ejerce sobre él la Tierra.

• La normal que ejerce el libro de apoyo, NL1.

Sobre el libro 2:

• El peso PL2que ejerce sobre él la Tierra.

• La reacción de NL1, ejercida por el libro L1.

• La normal que ejerce la mesa de apoyo, NL2.

N′L2

NL1

NL2

PL1

PL2

N′L1

PM

NP NP

6

FT

m F1

30° F2 F3

5

FT

Sobre la mesa:

• El peso de la mesa PMejercido por la Tierra.

• Las reacciones del suelo sobre cada una de las cuatro patas de la mesa NM= 4 NP.

• La reacción de NL2, ejercida por el libro L2.

b) Las fuerzas sobre el libro 1 serán:

• El peso: PL1= m1 · g = 0,5 · (0, –10) = (0, –5) N.

• La normal que sujeta al libro 1, será igual y de sentido contrario: NL1= (0,5) N.

De forma que sobre el libro 1 la suma de fuerzas es cero:

PL1+ NL1= 0

Sobre el libro 2:

• El peso: PL2= m2 · g = 1,5 · (0, –10) = (0, –15) N.

• La reacción de N’L1, ejercida por el libro L1, en la misma dirección y

sen-tido contrario que NL1: N’L1= (0, –5) N.

• La normal que ejerce la superficie de apoyo y que sujeta ambos libros:

NL2= (0, 20) N.

De forma que sobre el libro 2 la suma de fuerzas es cero:

PL2+ N’L1+ NL2= 0

Sobre la mesa:

• El peso de la mesa: PM= M · g = 20 · (0, –10) =

= (0, –200) N.

• Las reacciones del suelo que sujetan la mesa y los libros: NM= (0, 4 · NP) = (0, 220) N.

• La reacción de NL2, ejercida por el libro L2, en la

misma dirección y sentido contrario a NL2: N’L2=

= (0, –20) N.

De forma que sobre la mesa la suma de fuerzas es cero:

PM+ NM+ N’L2= 0

La ecuación del movimiento de un cuerpo de 2 kg, expresada en unidades internacionales, es: x = 3 t + 2 t2_.

Calcula:

a)El momento lineal en los instantes t1= 3 s y t2= 5 s.

b)La fuerza neta que actúa sobre él en ese intervalo de tiempo.

a) La ecuación corresponde a un MRUA, donde v0= 3 m/s y a = 4 m/s2. Por tanto, la ecuación de la

velocidad será:

v = 3 + 4 t

La velocidad en los instantes t1= 3 s y t2= 5 s, serán:

v1= 3 + 4 · 3 = 15 m/s; v2= 3 + 4 · 5 = 23 m/s

Los momentos lineales serán respectivamente:

p1= m · v1= 2 · 15 = 30 kg m/s; p2= m · v2= 2 · 23 = 46 kg m/s

b) La fuerza es:

F = = =46 – 30= 8 N

5 – 3

p2– p1

t2– t2

Δp

Δt 7

NL2

PM

NP NP

NL2

N′L1

PL2

NL1

Miguel se encuentra en un lago helado y realiza 20 disparos en 4 s con un fusil de fogueo. Si Miguel con su equi-po tiene una masa de 80 kg y cada proyectil tiene una masa de 40 g, calcula, sabiendo que la velocidad de los pro-yectiles es de 400 m/s:

a)El impulso experimentado por Miguel.

b)La velocidad con que es impulsado.

c)La fuerza media.

a) y b) En los ejercicios de disparos por armas de fuego el momento lineal del sistema se conserva

ya que las fuerzas que actúan son internas al sistema.

En el estado inicial tanto Miguel como los proyectiles están en reposo, por tanto el momento line-al del sistema será:

pi= 0 i

Después del disparo hay dos cuerpos en movimiento, sus momentos lineales serán:

pp= 20 mp· vpi

pMig= –mMig· vMigi

El momento lineal del sistema será:

pf= (20 mp· vp– mMig· vMig) i

El momento lineal del sistema se conserva:

pi= pf → 0 = 20 mp· vp– mMig· vMig

Despejando la velocidad de retroceso de Miguel:

vMig=

La masa de Miguel con su equipo después de haber disparado 20 proyectiles de 0,04 kg cada uno será:

mMig= 80 – 20 · 0,04 = 79,2 kg

vMig= = 4,04 m/s

El impulso tiene que ser igual a la variación del momento lineal de Miguel:

I = ΔpMig= –mMig· vMigi – 0 i = –79,2 · 4,04 i = –320 i N s; I = –320 N s

c) La fuerza media se puede calcular a partir del teorema del impulso mecánico:

F · Δt = ΔpMig → F =

Sustituyendo valores:

F = = –80 i N; F = –80 N

En una mesa de billar, una de las bolas, de 0,2 kg, se impulsa hacia la banda con una velocidad de 0,70 m/s, forman-do un ángulo de 30º con la banda. Rebota, salienforman-do con un ángulo de 15º y con velocidad de 0,20 m/s. Halla:

30° _15°

9

–320 i 4

ΔpMig

Δt

20 · 0,04 · 400 79,2

20 mp· vp

mMig

a)Los momentos lineales de la bola antes y después del choque.

b)La variación del momento lineal de la bola.

c)La fuerza media durante el choque con la banda si la interacción duró 0,13 s. a) Antes de chocar con la banda, el momento lineal de la bola será:

pi= m · vi

El vector velocidad en el sistema de referencia indicado en la figura será:

vi= vi· cos 30° i – vi· sin 30° j

Por tanto, el momento lineal inicial será:

pi= m · vi· cos 30° i – m · vi· sin 30° j

Sustituyendo los datos:

pi= 0,20 · 0,70 · cos 30° i – 0,20 · 0,70 · sin 30° j → pi= 0,12 i – 0,07 j kg m/s

El módulo es:

pi=s = 0,14 kg m/s

Después del choque con la banda, el momento lineal de la bola será:

pf= m · vf

El vector velocidad en el mismo sistema de referencia será:

vf= vf· cos 15° i + vf· sin 15° j

Por tanto el momento lineal final será:

pf= m · vf· cos 15° i + m · vf· sin 15° j

Sustituyendo los datos:

pf= 0,2 · 0,20 · cos 15° i + 0,2 · 0,20 · sin 15° j

pf= 0,04 i + 0,01 j kg m/s

El módulo será:

pf=s = 0,04 kg m/s

b) La variación del momento lineal será:

Δp = pf– pi

Sustituyendo, obtenemos:

Δp = (0,04 – 0,12) i + (0,01 + 0,07) j = –0,08 i + 0,08 j kg m/s

Su módulo será:

Δp =s = 0,11 kg m/s

c) La fuerza media durante la interacción se puede obtener utilizando el teorema del impulso

mecánico:

F ·Δt = Δp → F = = – i + j → F = – 0,62 i + 0,62 j N

Cuyo módulo será:

F =s = 0,88 N

Un cohete que se desplaza en línea recta y con una velocidad uniforme de 2 000 km/h, sufre una explosión, divi-diéndose en dos partes. Una de ellas, de 2/5 de la masa total, se mueve formando un ángulo de 30º por encima de la horizontal y con una velocidad de 1 000 km/h. Calcula la velocidad y la dirección del segundo fragmento.

10

(–0,62)2_{+ (0,62)}2

0,08 0,13 0,08

0,13

Δp Δt

(–0,08)2_{+ (–0,08)}2

El cohete antes de la explosión, se puede considerar como una sola partícula con velocidad v y masa m, después de la explosión se divide en dos pedazos de masas m1= · m y m2= · m, que

se mueven con velocidades u1y u2.

Las fuerzas que producen la explosión del cohete son internas al sistema, por tanto, el momento lineal se conserva:

El momento lineal inicial del sistema es:

pi= m · v

El momento lineal final del sistema será la suma de los momentos lineales de las dos partes que salen de la explosión:

pf= m · u1+ m · u2 Aplicando la conservación del momento lineal del sistema:

m · v = m · u1+ m · u2

De esta ecuación vectorial se obtienen las ecuaciones sobre los ejes:

v = (v, 0)

u1= (u1 · cos 30°, u1 · sin 30°); u2= (u2 · cos α, –u2 · sin α)

Sobre el eje x:

m · v = m · u1 · cos 30° + m · u2 · cos α

Sobre el eje y:

0 = m · u1 · sin 30° – m · u2 · sin α

Simplificando y sustituyendo los datos obtenemos el sistema de ecuaciones:

10 000 = 1 000 ·s + 3 u2 · cos α

0 = 1 000 – 3 u2 · sin α

Despejando los términos en los que están las razones trigonométricas y dividiendo la ecuación del seno entre la del coseno obtenemos:

tan α= = 0,12 → α= 6,9º

Con ese valor, la velocidad se obtiene de cualquiera de las dos ecuaciones:

u2= 2 775 km/h

Lanzamos una pelota de 300 g de masa, de forma que describe un movimiento parabólico cuya ecuación, expresa-da en uniexpresa-dades internacionales, es:

r= 17,32 ti+ (0,5 + 10 t – 4,905 t2_{) j}

Calcula:

a)El momento lineal de la pelota en los instantes t1= 0,5 s y t2= 1,5 s.

b)La fuerza neta que actúa sobre él en ese intervalo de tiempo.

11

sin α cos α

3 3 5 2

5

3 5 2

5

3 5 2

5

3 5 2

5

v

u1

u2

3 5 2

a) La ecuación de la velocidad de este movimiento sería:

v = 17,32 i + (10 – 9,81 t) j

Las velocidades en los instantes indicados serán:

v1= 17,32 i + (10 – 9,81 · 0,5) j = 17,32 i + 5,10 j m/s

v2= 17,32 i + (10 – 9,81 · 1,5) j = 17,32 i – 4,72 j m/s

En consecuencia los momentos lineales serán:

p1= m · v1= 0,3 · (17,32 i + 5,10 j) = 5,20 i + 1,53 j

p2= m · v2= 0,3 · (17,32 i – 4,72 j) = 5,20 i – 1,42 j

b) La fuerza neta será:

F = = = = –2,95 j N

Que coincide con el peso de la pelota.

Al dinamitar una roca, esta sale despedida en tres fragmentos, dos de los cuales, de masas m1= 15 kg y m2= 10 kg,

salen en ángulo recto con velocidades de v1= 10 m/s y v2= 20 m/s respectivamente. El resto sale despedido con

una velocidad de v3= 50 m/s. Determina la dirección y la masa del tercer fragmento.

La roca que en el momento inicial, se puede considerar como una sola partícula en reposo y de masa M, después de la explosión se divide en tres pedazos de forma que en el estado final, el sistema consta de tres partículas de masas m1, m2y m3que se mueven con velocidades u1,

u2y u3.

Las fuerzas que parten la roca en tres pedazos son internas al sistema por tanto el momento line-al se conserva:

El momento lineal inicial del sistema es cero ya que la roca está inicialmente en reposo:

pi= 0

El momento lineal final del sistema será la suma de los momentos lineales de las tres partículas que salen de la explosión:

pf= m1 · u1+ m2 · u2+ m3 · u3

Aplicando la conservación de esta magnitud:

0 = m1 · u1+ m2 · u2+ m3 · u3

De esta ecuación vectorial se obtienen las ecuaciones sobre los ejes:

u1= (u1, 0); u2= (0, u2); u3= (–u3 · cos α, –u3 · sin α)

Sobre el eje x:

0 = m1 · u1– m3 · u3 · cos α

Sobre el eje y:

0 = m2 · u2– m3 · u3 · sin α

u1

u3

u2

12

(5,20 i – 1,42 j) – (5,20 i + 1,53 j) 1,5 – 0,5

p2– p1

t2– t2

Sustituyendo los datos obtenemos el sistema de ecuaciones:

0 = 150 – m3 · 50 · cos α

0 = 200 – m3 · 50 · sin α

Para resolverlo hay que despejar los términos en los que están las razones trigonométricas y divi-dir la ecuación del seno entre la del coseno para obtener la tangente:

tan α= = → α= 53,1º

Con ese valor la masa se obtiene de cualquiera de las dos ecuaciones:

m3= 5 kg

Damos una patada a un balón parado con una fuerza media de 500 N. El balón, después de recibir el golpe, sale lanzado con un ángulo de 45º con la horizontal y vuelve a tocar tierra, después de 20 s, a la distancia de 40 m. Cal-cula el tiempo que dura el golpe dado al balón, cuya masa es de 0,42 kg. Desprecia el rozamiento del aire.

El balón sale del pie del futbolista con una velocidad v0que necesitamos conocer para poder

cal-cular, a partir de la aplicación del teorema del impulso mecánico, el tiempo que dura el golpe. Por consiguiente, lo primero que se plantea es una cuestión puramente cinemática. Si el balón cae a 40 m del lugar del lanzamiento, siguiendo un movimiento parabólico, con qué velocidad debe salir.

La componente del vector velocidad inicial sobre el eje de las x es:

v0x= v0 · cos α

por tanto, la ecuación de la posición del balón en este eje sobre el que describe un movimiento rectilíneo y uniforme es:

x = v0 · cos α· t

despejando el valor de la velocidad inicial:

v0=

y sustituyendo los datos obtenemos:

v0= 2,83 m/s

Con este valor de la velocidad la variación del momento lineal del balón, teniendo en cuenta que inicialmente estaba en reposo será:

Δp = m · v0– 0 = 1,19 kg m/s

utilizando el teorema del momento lineal obtenemos el tiempo que dura el golpe al balón:

F · Δt = Δp → Δt = 0,002 s x

t · cos α 13