Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matem ´atica II
´Indice
1 Matrices y vectores
Operaciones b ´asicas
Producto entre una matriz y un vector
2 Operaciones con matrices
´Indice
1 Matrices y vectores
Operaciones b ´asicas
Producto entre una matriz y un vector
¿Qu ´e es una matriz?
Tenemos dos vectores columnauyv.
Estos producen unamatriz de dos columnas y tres filasA.
Matriz A= u v = u1 v1
u2 v2
u3 v3
=
a11 a12
a21 a22
a31 a32
= e f g
ConstruimosAapilandodos vectores columna.
¿Qu ´e es una matriz?
Tenemos dos vectores columnauyv.
Estos producen unamatriz de dos columnas y tres filasA.
Matriz A= u v = u1 v1 u2 v2 u3 v3
=
a11 a12 a21 a22 a31 a32
= e f g
ConstruimosAapilandodos vectores columna.
¿Qu ´e es una matriz?
Tenemos dos vectores columnauyv.
Estos producen unamatriz de dos columnas y tres filasA.
Matriz A= u v = u1 v1 u2 v2 u3 v3
=
a11 a12 a21 a22 a31 a32
= e f g
ConstruimosAapilandodos vectores columna.
¿Qu ´e es una matriz?
Tenemos dos vectores columnauyv.
Estos producen unamatriz de dos columnas y tres filasA.
Matriz A= u v = u1 v1 u2 v2 u3 v3
=
a11 a12 a21 a22 a31 a32
= e f g
ConstruimosAapilandodos vectores columna.
Pero esigualmente correctopensar enAcomo unapila de tres vectores filae= (u1v1),f= (u2v2)yg= (u3v3).
¿Qu ´e es una matriz?
Tenemos dos vectores columnauyv.
Estos producen unamatriz de dos columnas y tres filasA.
Matriz A= u v = u1 v1 u2 v2 u3 v3
=
a11 a12 a21 a22 a31 a32
= e f g
ConstruimosAapilandodos vectores columna.
Pero esigualmente correctopensar enAcomo unapila de tres vectores filae= (u1v1),f= (u2v2)yg= (u3v3).
Notaci ´on matricial
La primera fila de una matriz de 2×2 contienea11 ya12.
La segunda fila tienea21ya22.
El primer sub´ındice da la fila:aij est ´a en la filai.
El segundo da la columna:aij est ´a en la columnaj.
Puede pensarse enAcomo una funci ´on dedos variables, que a cadaiy a cadajles asigna un escalar (un n ´umero).
A=
a11 a12
a21 a22
=
A(1,1) A(1,2) A(2,1) A(2,2)
Notaci ´on matricial
La primera fila de una matriz de 2×2 contienea11 ya12. La segunda fila tienea21ya22.
El primer sub´ındice da la fila:aij est ´a en la filai.
El segundo da la columna:aij est ´a en la columnaj.
Puede pensarse enAcomo una funci ´on dedos variables, que a cadaiy a cadajles asigna un escalar (un n ´umero).
A=
a11 a12
a21 a22
=
A(1,1) A(1,2) A(2,1) A(2,2)
Notaci ´on matricial
La primera fila de una matriz de 2×2 contienea11 ya12. La segunda fila tienea21ya22.
El primer sub´ındice da la fila:aij est ´a en la filai.
El segundo da la columna:aij est ´a en la columnaj.
Puede pensarse enAcomo una funci ´on dedos variables, que a cadaiy a cadajles asigna un escalar (un n ´umero).
A=
a11 a12
a21 a22
=
A(1,1) A(1,2) A(2,1) A(2,2)
Notaci ´on matricial
La primera fila de una matriz de 2×2 contienea11 ya12. La segunda fila tienea21ya22.
El primer sub´ındice da la fila:aij est ´a en la filai.
El segundo da la columna:aij est ´a en la columnaj.
Puede pensarse enAcomo una funci ´on dedos variables, que a cadaiy a cadajles asigna un escalar (un n ´umero).
A=
a11 a12
a21 a22
=
A(1,1) A(1,2) A(2,1) A(2,2)
Notaci ´on matricial
La primera fila de una matriz de 2×2 contienea11 ya12. La segunda fila tienea21ya22.
El primer sub´ındice da la fila:aij est ´a en la filai.
El segundo da la columna:aij est ´a en la columnaj.
Puede pensarse enAcomo una funci ´on dedos variables, que a cadaiy a cadajles asigna un escalar (un n ´umero).
A=
a11 a12 a21 a22
=
A(1,1) A(1,2) A(2,1) A(2,2)
Notaci ´on matricial
La primera fila de una matriz de 2×2 contienea11 ya12. La segunda fila tienea21ya22.
El primer sub´ındice da la fila:aij est ´a en la filai.
El segundo da la columna:aij est ´a en la columnaj.
Puede pensarse enAcomo una funci ´on dedos variables, que a cadaiy a cadajles asigna un escalar (un n ´umero).
A=
a11 a12 a21 a22
=
A(1,1) A(1,2) A(2,1) A(2,2)
Suma de matrices
Podemossumar dos matricesAyB.
Los coeficientesnuncase mezclan.
Suma de matrices
A=
a11 a12
a21 a22
yB=
b11 b12
b21 b22
sumanA+B=
a11+b11 a12+b12
a21+b21 a22+b22
Suma de matrices
Podemossumar dos matricesAyB. Los coeficientesnuncase mezclan.
Suma de matrices
A=
a11 a12 a21 a22
yB=
b11 b12 b21 b22
sumanA+B=
a11+b11 a12+b12 a21+b21 a22+b22
Suma de matrices
Podemossumar dos matricesAyB. Los coeficientesnuncase mezclan.
Suma de matrices
A=
a11 a12 a21 a22
yB=
b11 b12 b21 b22
sumanA+B=
a11+b11 a12+b12 a21+b21 a22+b22
Multiplicaci ´on por un escalar
La otra operaci ´on b ´asica es lamultiplicaci ´on por un escalar
Las matrices pueden ser multiplicadas por 2, por−1 o por cualquier otro n ´umeroc.
Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumarA+Ao (m ´as f ´acil) multiplicar cada coeficiente por 2.
Multiplicaci ´on escalar
2A=
2a11 2a12 2a21 2a22
−A=
−a11 −a12 −a21 −a22
Multiplicaci ´on por un escalar
La otra operaci ´on b ´asica es lamultiplicaci ´on por un escalar
Las matrices pueden ser multiplicadas por 2, por−1 o por cualquier otro n ´umeroc.
Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumarA+Ao (m ´as f ´acil) multiplicar cada coeficiente por 2.
Multiplicaci ´on escalar
2A=
2a11 2a12 2a21 2a22
−A=
−a11 −a12 −a21 −a22
Multiplicaci ´on por un escalar
La otra operaci ´on b ´asica es lamultiplicaci ´on por un escalar
Las matrices pueden ser multiplicadas por 2, por−1 o por cualquier otro n ´umeroc.
Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumarA+Ao (m ´as f ´acil) multiplicar cada coeficiente por 2.
Multiplicaci ´on escalar
2A=
2a11 2a12
2a21 2a22
−A=
−a11 −a12 −a21 −a22
Multiplicaci ´on por un escalar
La otra operaci ´on b ´asica es lamultiplicaci ´on por un escalar
Las matrices pueden ser multiplicadas por 2, por−1 o por cualquier otro n ´umeroc.
Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumarA+Ao (m ´as f ´acil) multiplicar cada coeficiente por 2.
Multiplicaci ´on escalar
2A=
2a11 2a12
2a21 2a22
−A=
−a11 −a12 −a21 −a22
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de−AyAes la matriz cero.
¡Esto es la matriz0, que es distinto del n ´umero 0!
El orden de la suma no altera el resultado:A+Bes igual aB+A.
A+B= 1 2 3 1 + 1 0 0 1 = 2 2 3 2
B+A= 1 0 0 1 + 1 2 3 1 = 2 2 3 2
Si la cantidad de filasmy de columnasnson iguales (m=n) se dice queAes unamatriz cuadrada.
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de−AyAes la matriz cero. ¡Esto es la matriz0, que es distinto del n ´umero 0!
El orden de la suma no altera el resultado:A+Bes igual aB+A.
A+B= 1 2 3 1 + 1 0 0 1 = 2 2 3 2
B+A= 1 0 0 1 + 1 2 3 1 = 2 2 3 2
Si la cantidad de filasmy de columnasnson iguales (m=n) se dice queAes unamatriz cuadrada.
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de−AyAes la matriz cero. ¡Esto es la matriz0, que es distinto del n ´umero 0!
El orden de la suma no altera el resultado:A+Bes igual aB+A.
A+B= 1 2 3 1 + 1 0 0 1 = 2 2 3 2
B+A= 1 0 0 1 + 1 2 3 1 = 2 2 3 2
Si la cantidad de filasmy de columnasnson iguales (m=n) se dice queAes unamatriz cuadrada.
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de−AyAes la matriz cero. ¡Esto es la matriz0, que es distinto del n ´umero 0!
El orden de la suma no altera el resultado:A+Bes igual aB+A.
A+B= 1 2 3 1 + 1 0 0 1 = 2 2 3 2
B+A= 1 0 0 1 + 1 2 3 1 = 2 2 3 2
Si la cantidad de filasmy de columnasnson iguales (m=n) se dice queAes unamatriz cuadrada.
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de−AyAes la matriz cero. ¡Esto es la matriz0, que es distinto del n ´umero 0!
El orden de la suma no altera el resultado:A+Bes igual aB+A.
A+B= 1 2 3 1 + 1 0 0 1 = 2 2 3 2
B+A= 1 0 0 1 + 1 2 3 1 = 2 2 3 2
Propiedades de la suma de matrices
Propiedades de la suma de matrices
A+B=B+A ley conmutativa
Propiedades de la suma de matrices
Propiedades de la suma de matrices
A+B=B+A ley conmutativa c(A+B) =cA+cB ley distributiva
Propiedades de la suma de matrices
Propiedades de la suma de matrices
´Indice
1 Matrices y vectores Operaciones b ´asicas
Producto entre una matriz y un vector
Matriz multiplicando un vector columna (m ´etodo 1)
Definici ´on 1 (una matrizAmultiplicando un vectorx)
Ax=
u v w
x1 x2 x3
=x1u+x2v+x3w=b
dondeu,vywson los vectores columna deA, y se utiliza la operaci ´oncombinaci ´on linealde vectores.
Matriz multiplicando un vector columna (m ´etodo 1)
Definici ´on 1 (una matrizAmultiplicando un vectorx)
Ax=
u v w
x1 x2 x3
=x1u+x2v+x3w=b
dondeu,vywson los vectores columna deA, y se utiliza la operaci ´oncombinaci ´on linealde vectores.
Matriz multiplicando un vector columna (m ´etodo 2)
Definici ´on 2 (una matrizAmultiplicando un vectorx)
Ax=
e
f g
x1 x2 x3
=
e·x
f·x g·x
=b
dondee,fygson los vectores fila deA, y se utiliza la operaci ´onproducto puntode vectores.
Matriz multiplicando un vector columna (m ´etodo 2)
Definici ´on 2 (una matrizAmultiplicando un vectorx)
Ax=
e
f g
x1 x2 x3
=
e·x
f·x g·x
=b
dondee,fygson los vectores fila deA, y se utiliza la operaci ´onproducto puntode vectores.
Ejemplo 1
Encontrar el vectorbresultante de combinar linealmente los vectores columnai= (1,0,0),j= (0,1,0)yk= (0,0,1)con los escalaresx1=0,x2=2 yx3=0.
Fabricando la matrizAy el vectorxresulta
Ax=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 2 0
=2 0 1 0 = 0 2 0
=b
Ejemplo 1
Encontrar el vectorbresultante de combinar linealmente los vectores columnai= (1,0,0),j= (0,1,0)yk= (0,0,1)con los escalaresx1=0,x2=2 yx3=0.
Fabricando la matrizAy el vectorxresulta
Ax=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 2 0
=2 0 1 0 = 0 2 0
=b
¡Aact ´ua sobrexy regresa unbque es id ´entico ax!
Ejemplo 1
Encontrar el vectorbresultante de combinar linealmente los vectores columnai= (1,0,0),j= (0,1,0)yk= (0,0,1)con los escalaresx1=0,x2=2 yx3=0.
Fabricando la matrizAy el vectorxresulta
Ax=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 2 0
=2 0 1 0 = 0 2 0
=b
¡Aact ´ua sobrexy regresa unbque es id ´entico ax!
Ejemplo 1
Encontrar el vectorbresultante de combinar linealmente los vectores columnai= (1,0,0),j= (0,1,0)yk= (0,0,1)con los escalaresx1=0,x2=2 yx3=0.
Fabricando la matrizAy el vectorxresulta
Ax=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 2 0
=2 0 1 0 = 0 2 0
=b
Ejemplo 2
Dados la matrizA=
1 0 2 3
y el vector columnax=
2 1
,
calcularAx=b:
1 como combinaci ´on lineal de las columnas deA. 2 como productos punto de las filas deA.
1 La combinaci ´on lineal de columnas deAresulta
Ax= 1 0 2 3 2 1 =2 1 2 +1 0 3 = 2 7 =b
2 Los productos punto con las filas deAresultan
Ax= 1 0 2 3 2 1 =
Ejemplo 2
Dados la matrizA=
1 0 2 3
y el vector columnax=
2 1
,
calcularAx=b:
1 como combinaci ´on lineal de las columnas deA. 2 como productos punto de las filas deA.
1 La combinaci ´on lineal de columnas deAresulta
Ax= 1 0 2 3 2 1 =2 1 2 +1 0 3 = 2 7 =b
2 Los productos punto con las filas deAresultan
Ax= 1 0 2 3 2 1 =
Ejemplo 2
Dados la matrizA=
1 0 2 3
y el vector columnax=
2 1
,
calcularAx=b:
1 como combinaci ´on lineal de las columnas deA. 2 como productos punto de las filas deA.
1 La combinaci ´on lineal de columnas deAresulta
Ax= 1 0 2 3 2 1 =2 1 2 +1 0 3 = 2 7 =b
2 Los productos punto con las filas deAresultan
Ax= 1 0 2 3 2 1 =
Repaso de ideas clave
1 Una matrizAdemfilas yncolumnas tienemn
coeficientes (se dice queA∈Rm×n)
2 Las operaciones b ´asicas son
A+B=
a11+b11 a12+b12 a13+b13
a21+b21 a22+b22 a23+b23
a31+b31 a32+b32 a33+b33
cA=
ca11 ca12 ca13
ca21 ca22 ca23
ca31 ca32 ca33
3 Ax=bes una combinaci ´on lineal de las columnas deA.
Repaso de ideas clave
1 Una matrizAdemfilas yncolumnas tienemn coeficientes (se dice queA∈Rm×n)
2 Las operaciones b ´asicas son
A+B=
a11+b11 a12+b12 a13+b13 a21+b21 a22+b22 a23+b23 a31+b31 a32+b32 a33+b33
cA=
ca11 ca12 ca13 ca21 ca22 ca23 ca31 ca32 ca33
3 Ax=bes una combinaci ´on lineal de las columnas deA.
Repaso de ideas clave
1 Una matrizAdemfilas yncolumnas tienemn coeficientes (se dice queA∈Rm×n)
2 Las operaciones b ´asicas son
A+B=
a11+b11 a12+b12 a13+b13
a21+b21 a22+b22 a23+b23
a31+b31 a32+b32 a33+b33
cA=
ca11 ca12 ca13
ca21 ca22 ca23
ca31 ca32 ca33
Repaso de ideas clave
1 Una matrizAdemfilas yncolumnas tienemn coeficientes (se dice queA∈Rm×n)
2 Las operaciones b ´asicas son
A+B=
a11+b11 a12+b12 a13+b13
a21+b21 a22+b22 a23+b23
a31+b31 a32+b32 a33+b33
cA=
ca11 ca12 ca13
ca21 ca22 ca23
ca31 ca32 ca33
3 Ax=bes una combinaci ´on lineal de las columnas deA.
´Indice
1 Matrices y vectores Operaciones b ´asicas
Producto entre una matriz y un vector
2 Operaciones con matrices
Producto de matrices
¿C ´omo pueden multiplicarse dos matrices?
Definici ´on 3 (la matrizAmultiplicando a la matrizB)
a11 a12 a21 a22
b11 b12 b21 b22
=
a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 a21b11+a22b21 a21b12+a22b22
Definici ´on 4 (utilizando el producto punto)
Condici ´on necesaria para multiplicar dos matrices
Dadas matricesAdem×nyBdep×q, pueden multiplicarse comoABsolamentesin=p.
O sea, solamente si el n ´umero de columnas deAes igual al n ´umero de filas deB.
Condici ´on necesaria para multiplicar dos matrices
Dadas matricesAdem×nyBdep×q, pueden multiplicarse comoABsolamentesin=p.
O sea, solamente si el n ´umero de columnas deAes igual al n ´umero de filas deB.
Condici ´on necesaria para multiplicar dos matrices
Dadas matricesAdem×nyBdep×q, pueden multiplicarse comoABsolamentesin=p.
O sea, solamente si el n ´umero de columnas deAes igual al n ´umero de filas deB.
Ejemplo 3
Matrices cuadradas pueden multiplicarsesolamentesi tienen el mismo tama ˜no
1 1 2 −1
2 2 3 4
=
5 6 1 0
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tres productos punto dan 6, 1 y 0.
SiAyBson den×n, tambi ´enABes den×n.
ABcontienen2productos punto, y cada producto punto requierenmultiplicaciones.
Ejemplo 3
Matrices cuadradas pueden multiplicarsesolamentesi tienen el mismo tama ˜no
1 1 2 −1
2 2 3 4
=
5 6 1 0
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tres productos punto dan 6, 1 y 0.
SiAyBson den×n, tambi ´enABes den×n.
ABcontienen2productos punto, y cada producto punto requierenmultiplicaciones.
Ejemplo 3
Matrices cuadradas pueden multiplicarsesolamentesi tienen el mismo tama ˜no
1 1 2 −1
2 2 3 4
=
5 6 1 0
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tres productos punto dan 6, 1 y 0.
SiAyBson den×n, tambi ´enABes den×n.
ABcontienen2productos punto, y cada producto punto requierenmultiplicaciones.
Ejemplo 3
Matrices cuadradas pueden multiplicarsesolamentesi tienen el mismo tama ˜no
1 1 2 −1
2 2 3 4
=
5 6 1 0
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tres productos punto dan 6, 1 y 0.
SiAyBson den×n, tambi ´enABes den×n.
ABcontienen2productos punto, y cada producto punto requierenmultiplicaciones.
El c ´omputo deABrequieren3multiplicaciones.
Ejemplo 3
Matrices cuadradas pueden multiplicarsesolamentesi tienen el mismo tama ˜no
1 1 2 −1
2 2 3 4
=
5 6 1 0
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tres productos punto dan 6, 1 y 0.
SiAyBson den×n, tambi ´enABes den×n.
ABcontienen2productos punto, y cada producto punto requierenmultiplicaciones.
Propiedades del producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
AB6=BA ley conmutativa no funciona C(A+B) =CA+CB ley distributiva a izquierda
Propiedades del producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
AB6=BA ley conmutativa no funciona C(A+B) =CA+CB ley distributiva a izquierda (A+B)C=AC+BC ley distributiva a derecha
Propiedades del producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
Ejemplo 4
SeaAuna matriz fila de 1×3 y seaBuna matriz columna de 3×1. EntoncesABser ´a una matriz de 1×1, mientras queBA
ser ´a una matriz de 3×3.
A= 1 2 3
B= 0 1 2
AB= 1 2 3 0 1 2
BA=
0 1 2
1 2 3
= 8
=
0 0 0 1 2 3 2 4 6
Ejemplo 4
SeaAuna matriz fila de 1×3 y seaBuna matriz columna de 3×1. EntoncesABser ´a una matriz de 1×1, mientras queBA
ser ´a una matriz de 3×3.
A= 1 2 3
B= 0 1 2
AB= 1 2 3 0 1 2
BA=
0 1 2
1 2 3
= 8
=
0 0 0 1 2 3 2 4 6
´Indice
1 Matrices y vectores Operaciones b ´asicas
Producto entre una matriz y un vector
2 Operaciones con matrices Producto de matrices
Convirtiendo las columnas en filas y viceversa
Definimos una matrizAT llamadatranspuestadeA.
Las columnas deAson las filas deAT. SiAes dem×n, la transpuesta es den×m.
Definici ´on 5 (traspuesta de una matriz)
El coeficiente de la filaiy la columnajdeAT corresponde al de la filaj y la columnai deA
aT
ij =aji
A=
1 2 3 0 0 0
AT =
1 0 2 0 3 0
Convirtiendo las columnas en filas y viceversa
Definimos una matrizAT llamadatranspuestadeA.
Las columnas deAson las filas deAT.
SiAes dem×n, la transpuesta es den×m.
Definici ´on 5 (traspuesta de una matriz)
El coeficiente de la filaiy la columnajdeAT corresponde al de la filaj y la columnai deA
aT
ij =aji
A=
1 2 3 0 0 0
AT =
1 0 2 0 3 0
Convirtiendo las columnas en filas y viceversa
Definimos una matrizAT llamadatranspuestadeA.
Las columnas deAson las filas deAT. SiAes dem×n, la transpuesta es den×m.
Definici ´on 5 (traspuesta de una matriz)
El coeficiente de la filaiy la columnajdeAT corresponde al de la filaj y la columnai deA
aT
ij =aji
A=
1 2 3 0 0 0
AT =
1 0 2 0 3 0
Convirtiendo las columnas en filas y viceversa
Definimos una matrizAT llamadatranspuestadeA.
Las columnas deAson las filas deAT. SiAes dem×n, la transpuesta es den×m.
Definici ´on 5 (traspuesta de una matriz)
El coeficiente de la filaiy la columnajdeAT corresponde al de la filaj y la columnai deA
aT
ij =aji
A=
1 2 3 0 0 0
AT =
1 0 2 0 3 0
Transponiendo vectores columna y vectores fila
Un vector columnavsetransponeen uno filavT. Un vector filawse transpone en uno columnawT.
Transpuesta de un vector
v=
1 0 2 0
vT = 1 0 2 0
w= π π2
wT =
π
π
Propiedades de la transposici ´on
Propiedades de la transposici ´on
Suma: la transpuesta deA+BesAT +BT.
Propiedades de la transposici ´on
Propiedades de la transposici ´on
Repaso de ideas clave
1 El(ab)ij deABes (filai deA)·(columnaj deB). 2 El productoABsolo puede calcularse si el n ´umero de
columnasndeAes igual el n ´umero de filasp deB.
Repaso de ideas clave
1 El(ab)ij deABes (filai deA)·(columnaj deB).
2 El productoABsolo puede calcularse si el n ´umero de
columnasndeAes igual el n ´umero de filasp deB.
Repaso de ideas clave
1 El(ab)ij deABes (filai deA)·(columnaj deB).
2 El productoABsolo puede calcularse si el n ´umero de columnasndeAes igual el n ´umero de filasp deB.
´Indice
3 Ejemplos con Sage
Hacer combinaciones lineales de matrices
# crear una matriz A∈R2×2, con filas (1,2) y (3,1)
A = matrix([(1,2),(3,1)])
# crear una matriz B∈R2×2, con filas (1,0) y (0,1)
B = matrix([(1,0),(0,1)])
# calcular la suma y la resta
C = A + B D = A - B
print C
print D
# calcular la combinaci´on lineal E =2A+0,5B
E = 2*A + 1/2*B
Producto entre una matriz y un vector
# crear una matriz A∈R2×2, con filas (1,0) y (2,3)
A = matrix([(1,0),(2,3)])
# crear un vector x= (2,1)∈R2
x = vector((2,1))
# calcular el producto b=Ax
b = A*x
Producto entre dos matrices
# crear una matriz A∈R3×2, # con filas (2,2), (0,1) y (7,9)
A = matrix([(2,2),(0,1),(7,9)])
# crear una matriz B∈R2×3, # con filas (1,2,3) y (4,0,1)
B = matrix([(1,2,3),(4,0,1)])
# calcular el producto AB
print A*B
# calcular el producto BA
print B*A
# comprobar que AB6=BA
Transpuesta de una matriz
# crear una matriz A∈R3×2
A = matrix([(2,2),(0,1),(7,9)])
# crear una matriz B∈R2×3
B = matrix([(1,2,3),(4,0,1)])
# calcular la transpuesta del producto (AB)T
C = (A*B).transpose()
print C
# calcular el producto BTAT
D = B.transpose()*A.transpose()
print D
# comprobar que (AB)T ==BTAT
