sistemas con parametros soluciones selectividad 0

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(1)Modelo 2014. Ejercicio 3B. Calificación máxima 2 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales (a + 2)x + (a + 1)y = − 6  + 5y = a  x  x + y = −5  se pide: a) (1,5 puntos) Discutir el sistema según los valores de a. b) (0,5 puntos) Resolverlo cuando sea posible. Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas.  a + 2 a + 1 a + 2 a + 1 − 6     A= 1 5  A* =  1 5 a   1  1 1  1 − 5    Si A * ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A ≤ 2 y por tanto, el sistema será incompatible. Teniendo en cuenta esto, el sistema se discute para los valores del parámetro que anulen el terminante de la matriz ampliada. a + 2 a +1 − 6. A* =. 1 1. 5 1. a = −21a − 21 = 0 : a = −1 −5. Discusión: 1. Si a ≠ ‒1. A * ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A ≤ 2 . Sistema incompatible 2.. b.. 1 0   1 0 = 5 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 = rg A* = n Sistema Si a = ‒1. A * = 0 ⇒ rg A* < 3 . A = 1 5  1 1  1 5   compatible determinado. = −6 x = − 6  x = −6  Equivalente x a = ‒1: x + 5y = − 1   → : x + 5y = − 1  y = 1 x + y = − 5 . Septiembre 2013. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales: + λy + = 1− λ λz  2x  + y + (λ − 1)z = − 2λ  x (λ − 1)x + y + z = λ −1  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro λ. b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso λ = 1. c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso λ = ‒1. Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, definido por las matrices: λ λ  λ λ 1− λ  2  2     A= 1 1 λ − 1 A* =  1 1 λ − 1 − 2λ  λ −1 1  λ −1 1 1  1 λ − 1   A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 Si A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. El sistema será compatible determinado, por tanto, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes (A).. 1.

(2) 2 λ λ det A = 1 1 λ − 1 = 2 + λ ⋅ (λ − 1) ⋅ (λ − 1) + λ − (λ ⋅ (λ − 1) + λ + 2 ⋅ (λ − 1)) = λ3 − 3λ2 + 4 = 0 λ −1 1 1 Factorizando el polinomio mediante el método de Ruffini:  λ = −1 det A = (λ + 1) ⋅ (λ − 2)2 = 0 :  λ=2. i. ii.. iii.. Discusión: Si λ ≠ ‒1, 2. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado..  2 −1 −1   2 −1 Si λ = −1 . A =  1 1 − 2  A = 0 ⇒ rg A < 3 = 3 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 1 1 − 2 1  1    2 −1 −1 2    2 −1 A* =  1 1 − 2 2  Partiendo del menor ≠ 0 , solo estudian sus menores 1 1 − 2 1  1 − 2  orlados, de los que uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, y el otro es 2 −1 2 1 1 2 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A ≠ n = 3 . Sistema compatible indeterminado. −2 1 −2  2 2 2   Si λ = 2 . A =  1 1 1  A = 0 ⇒ rg A < 3 En la matriz solo existen menores de orden 1 1 1   2 2 2 −1   uno distintos de cero, por lo tanto rg A =1. A* =  1 1 1 − 4  se busca un menor de 1 1 1 1    orden dos distinto de cero. 2. −1. 1 −4. ≠ 0 ⇒ rg A* = 2 ≠ rg A = 1 . Sistema incompatible.. b. Para λ = 1 , teniendo en cuenta el apartado a, el sistema es compatible determinado, y la solución se puede calcular mediante el método de Cramer. 2 x + y + z = 0 Ay A A  x= x ; y= = −2 ; z= z x + y + A A A  y + z = 0  λ =1. A = (λ + 1) ⋅ (λ − 2)2 = (1 + 1) ⋅ (1 − 2)2 = 2. x=. 0 1 1 −2 1 0 0 1 1 2. =. 0 =0 2. y=. 2 0 1 1 −2 0 0 0 1 2. =. −4 = −2 2. z=. 2 1 0 1 1 −2 0 1 0 A. =. 4 =2 2. c. Para λ = ‒1, teniendo en cuenta el apartado a, el sistema es compatible indeterminado, además como el rango del sistema es dos, el sistema solo tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Se toman como linealmente independientes las ecuaciones que contienen los términos del menor  2 −1  de orden dos distinto de cero  ≠ 0  , la primera y la segunda. 1 1  2 x − y − z = 2   x + y − 2z = 2. 2.

(3) Para resolver el sistema se necesita un parámetro, se toma como parámetro la variable cuyos  2 −1  coeficientes no forman el menor de orden dos distinto de cero  ≠ 0  , la z. 1 1  2x − y − z = 2 z = µ 2x − y = 2 + µ  →   x + y − 2z = 2  x + y = 2 + 2µ Una vez igualado el número de ecuaciones e incógnitas (2×2), se resuelve aplicando el método de Cramer u otro cualquiera. 2 + µ −1 2 2+µ. x=. 2 + 2µ 1 4 + 3µ = 2 −1 3 1 1. y=. 1 2 + 2µ 2 + 3µ = 2 −1 3 1 1. 4  x = 3 + µ  2 Solución:  y = + µ ∀ µ ∈ R 3  z = µ  . Septiembre 2013. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dadas las matrices:. 1  a A= a  a . 1 1 a a. a 1 1 a. a  a , 1  1 . x   y X=  , z   w  .  0    0 O=  0    0  . se pide: a) (1,5 puntos) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a. b) (0,5 puntos) Resolver el sistema homogéneo AX = O en el caso a = 1. c) (1 punto) Resolver el sistema homogéneo AX = O cuando a = ‒1. Solución. a. Para calcular el determinante de la matriz A, se hacen ceros en una línea(fila o columna), utilizando las propiedades de los determinantes y se reduce a uno de orden tres. F2 = F2 − a ⋅F1. 1 a det A = a a. 1 1 a a. a F3 = F3 − a ⋅F1 1 1 a F = F − a ⋅ F 1 0 1− a 1− a2 a 4 4 = 1 0 0 1− a2 1 0 0 a − a2. a 1 1 a. = (1 − a ) ⋅ (− 1)1+1. (. ). ii.. (. ). 1 1− a2 1− a2 = (1 − a ) ⋅ 1 − a 2 ⋅ 2 2 a ⋅ (1 − a ) a − a 1− a. = (1 − a ) ⋅ 1 − a 2 ⋅ (1 − a ) ⋅. i.. a 1− a 1− a2 1− a2 a − a2 = 1 ⋅ (− 1)1+1 ⋅ 0 1− a2 1− a2 = 1− a2 0 a − a2 1− a2 1− a2. (. 1 = (1 − a ) ⋅ (1 + a ). ). 1 1 = (1 − a )2 ⋅ 1 − a 2 ⋅ (1 − a − a ) = (1 − a )3 ⋅ (1 + a ) a 1+ a. Rango de A: Si a ≠ ± 1, A ≠ 0 ⇒ rg A = 4. 1  1 Si a = 1, A = 0 ⇒ rg A < 4. A =  1  1  uno distintos de cero, rg A = 1. 1 1 1 1. 3. 1 1 1 1. 1  1 , en la matriz A solo hay menores de orden 1  1.

(4) iii..  1 1 − 1 − 1   −1 1 1 1 − 1 −1 1 Si a = ‒1, A = 0 ⇒ rg A < 4. A =  − 1 − 1 1 = −4 ≠ 0 ⇒ rg A = 3. −1 −1 1 1   −1 −1 −1 1  −1 −1 −1  . Para a = 1, A ⋅ X = 0 1 1 1 1  x   0  x + y + z + t = 0        1 1 1 1  y   0  x + y + z + t = 0 Equivalent →{x + y + z + t = 0 1 1 1 1 ⋅  z  =  0  ⇒ x + y + z + t = 0           1 1 1 1  t   0  x + y + z + t = 0        Sistema de una ecuación y cuatro incógnitas, para resolver, se toman tres variables como parámetros y se resuelve en función de ellos. y=λ  x = −λ − µ − ω  z =µ   y=λ t =ω  x y z t 0 + + + =    → ∀ λ, µ, ω ∈ R   z=µ     t=ω  b.. Para a = ‒1, A ⋅ X = 0  1 1 − 1 − 1  x   0   x + y − z − t = 0       1 − 1  y   0  − x + y + z − t = 0 −1 1 ⋅ = ⇒ −1 −1 1 1   z   0  − x − y + z + t = 0        − 1 − 1 − 1 1   t   0  − x − y − z + t = 0        Teniendo en cuenta el rango de A para a = ‒1, y el menor de orden tres distinto de cero:  x+y−z−t =0 − x + y + z + t = 0 − x + y + z − t = 0  Equivalent     →− x − y + z + t = 0  − x − y + z + t = 0 − x − y − z + t = 0  − x − y − z + t = 0 Sistema de tres ecuaciones y cuatro incógnitas, para resolver, se transforma una variable en parámetro, teniendo en cuenta el menor de orden tres distinto de cero, se toma como parámetro t. E 2 = E 2 − E1 x = λ − x + y + z + t = 0 − x + y + z = − λ  x − y − z = λ E = E − E  x − y − z = λ  3 3 1   y = 0 t =λ  →− x − y + z = −λ =  x + y − z = λ = ∀λ∈R − x − y + z + t = 0   2y = 0 =  − x − y − z + t = 0 − x − y − z = −λ x + y + z = λ  2 y + 2z = 0  z = 0      t = λ c.. Junio 2013. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales: ax + 7 y + 5z = 0   x + ay + z = 3  y + z = −2  Se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores de a. b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso a = 4. c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso a = 2. Solución.  a 7 5 a 7 5 0      a. A =  1 a 1  A* =  1 a 1 3  A ⊂ A* ⇒ rgA ≤ rgA* ≤ 3 ; n = 3 0 1 1 0 1 1 − 2     Si A ≠ 0 ⇒ rgA = rgA* = n = 3 , sistema compatible determinado. Se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.. 4.

(5) a 7 5 a = −1 det A = 1 a 1 = a 2 − a − 2 = (a + 1)(a − 2) A = 0: a=2 0 1 1 Discusión. i. Si a ≠ ‒1, 2; A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Si a = ‒1.. ii..  −1 7 5   −1 A =  1 − 1 1  A = 0 ⇒ rgA < 3 1  0 1 1   0   3  rgA* ≥ 2 . De los menores orlados a − 2 . 7 = −6 ≠ 0 ⇒ rgA = 2 . −1.  −1 7 5  −1 7 A* =  1 − 1 1 , solo que queda por estudiar 1 −1 0 1 1  −1 7 0 el formado por 1 − 1 3 = 15 ≠ 0 ⇒ rgA* = 3 ≠ rgA Sistema incompatible 0 1 −2 iii.. 2  A* =  1 0 .  2 7 5   1 2 Si a = 2, A =  1 2 1  A = 0 ⇒ rgA < 3 = 1 ≠ 0 ⇒ rgA = 2 0 1  0 1 1   7 5 0   1 2 , solo que queda por estudiar el 2 1 3  rgA* ≥ 2 . De los menores orlados a 0 1 1 1 − 2  2 7. 0 3 = 0 ⇒ rgA* = 2 = rgA < n = 3 Sistema compatible indeterminado. 0 1 −2. formado por 1 2. b.. a = 4. Sistema compatible determinado, se puede resolver por el método de Cramer.  4 x + 7 y + 5z = 0 a =4  A = a 2 − a − 2 = 4 2 − 4 − 2 = 10  x + 4y + z = 3  y + z = −2  0 7 5 4 0 5 4 7 0. 3 x=. Ax A. =. 4 1. −2 1 1 10. 1 =. Ay. 20 =2; y= = 10 A. 3. 1. 0 −2 1 10. 1 4 =. Az. 10 =1; z = = 10 A. 3. 0 1 −2 10. =. − 30 = −3 10. Solución: (2, 1, − 3). c. a = 2. Sistema compatible indeterminado. Teniendo en cuenta que el rango del sistema es 2, el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes, para seleccionar estas, se toman las ecuaciones que contienen los coeficientes del menor de orden 2 distinto de cero que utilizamos en el estudio del rango (2ª y la 3ª ecuaciones). x + 2 y + z = 3   y + z = −2 Como el número de incógnitas es superior al de ecuaciones, se transforma una incógnita en parámetro y se resuelve el sistema en función del parámetro. Se toma como parámetro la incógnita cuyos coeficientes nos formaron parte del menor de orden dos ( en este caso z). x + 2 y + z = 3 z = λ x + 2 y = 3 − λ  →   y + z = −2  y = −2 − λ Resolviendo por sustitución: x + 2 ⋅ (− 2 − λ ) = 3 − λ x =7+λ. 5.

(6) Solución: (7 + λ, − 2 − λ, λ ) ∀ λ ∈ R. Modelo 2013. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema.  x + 2y +  x + y + 2 x + 4 y + . (m + 3)z. = 3 4+m−m z = 3 3(m + 2 )z = 8. (. 2. ). Se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro m. b) (1 punto) Resolverlo para m = 2. Solución. a. El sistema viene definido por las matrices de coeficientes (A) y la ampliada (A*). m+3  m+3 3 1 2 1 2    2 2 A = 1 1 4 + m − m  A* =  1 1 4 + m − m 3  2 4 2 4 3(m + 2)  3(m + 2) 8    A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 ; n = 3 Si el A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = 3 = n , sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro m que anulen el determinante de A. 1 2 m+3. (. [. ). (. )]. A = 1 1 4 + m − m 2 = 3(m + 2) + 4 4 + m − m 2 + 4(m + 3) − 2(m + 3) + 6(m + 2) + 4 4 + m − m 2 = −m 2 4 3(m + 2 ) i. ii.. b.. Discusión. Si m ≠ 0. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = 3 = n Sistema compatible determinado.. 1 2 3   1 2 Si m = 0. A =  1 1 4  A = 0 ⇒ rg A < 3 = −1 ≠ 0 rg A = 2. El rango de la matriz 1 1  2 4 6   ampliada se estudia a partir del menor de orden dos distinto de cero. De sus dos menores orlados, uno es el determinante de la matriz de coeficientes y por tanto solo queda or estudiar el menor formado por las dos primera columnas y la cuarta columna. 1 2 3 1 1 3 = −2 ≠ 0 rg A* = 3. rg A ≠ rg A * Sistema incompatible 2 4 8  x + 2 y + 5z = 3   x + y + 2z = 3 Sistema compatible determinado. Se puede resolver por cualquier 2x + 4 y + 12z = 8 . método. Método de Cramer:. x=. Ax A. ; y=. Ay A. ; z=. Az A. m=2. A = −m = − 2. x=. 3 2 5 3 1 2 8 4 12 −2. =4 ; y=. 1 3 5 1 3 2 2 8 12 −2. Solución (‒2, ‒2, 1). 6. = −3 ; z =. 1 2 3 1 1 3 2 4 8 −2. =1.

(7) Septiembre 2012. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales + ay + 4z = 6  3x  + (a + 1)y + z = 3  x (a − 1)x − ay − 3z = − 3  Se pide: c) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores de a. d) (1 punto) Resolverlo para a = ‒1. Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene definido por las matrices de coeficientes(A) y ampliada(A*). a 4  a 4 6   3  3     A= 1 a + 1 1  A* =  1 a +1 1 3   a − 1 − a − 3  a − 1 − a − 3 − 3     A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 Si el determinante de A es distinto de cero, el rango de A coincide con el de A* y con el número de incógnitas, el sistema será compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro “a” que anulen el determinante de la matriz de coeficientes ( A = 0) .. 3 a 4 A= 1 a + 1 1 = −9 ⋅ (a + 1) + a ⋅ (a − 1) − 4a − 4 a 2 − 1 − 3a − 3a = −3a 2 − 8a − 5 a −1 − a − 3. ((. ). ).  a = −1 A = −(a + 1) ⋅ (3a + 5) = 0 :  5 a = − 3 Discusión: i.. ii.. 5 . A ≠ 0 , rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. 3  3 −1 4    Si a = ‒1. A = 0 ⇒ rg A < 3. A =  1 0 1  Se busca un menor de orden 2 distinto  − 2 1 − 3  . Si a ≠ −1, −. de cero.. 3 −1 1. 0. = 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. Para calcular el rango de la matriz ampliada (A*), se. tiene en cuenta que rg A* ≥ rg A = 2. Partiendo del menor de orden dos distinto de cero, es estudian sus menores orlados, uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, que para a = ‒1 es nulo, por lo que solo queda por estudiar el menor formado por las dos 3 −1 6 primera columnas y la cuarta columna. 1. −2. iii.. 0 1. 3 = 0 ⇒ rg A* < 3. −3. Conclusión: rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado. −5 3 4   3   5 Si a = − . A = 0 ⇒ rg A < 3. A =  1 − 2 3 1  Se busca un menor de orden 2 3  − 8 3 5 3 − 3   3 4 distinto de cero. = −1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. Para calcular el rango de la matriz ampliada 1 1 (A*), se tiene en cuenta que rg A* ≥ rg A = 2. Partiendo del menor de orden dos distinto de cero, es estudian sus menores orlados, uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, que para a = ‒5/3 es nulo, por lo que solo queda por estudiar el menor formado. 7.

(8) 3 4 6 por la primera, tercera y cuarta columna. 1 1 3 = −4 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3. −8 3 −3 −3 Conclusión: rg A = 2 ≠ rg A* = 3. Sistema incompatible. b. Para a = ‒1, sistema compatible indeterminado de rango dos, su sistema equivalente está formado por dos ecuaciones. Para escoger las linealmente independientes se toman las ecuaciones que  3 −1  contienen los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero  ≠ 0  1 0  3x − y + 4z = 6 S' :  + z = 3 x El sistema se resuelve mediante un parámetro. Para evitar errores se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no se utilizaron en el menor de orden dos (x = λ) 3x − y = 6 − 4λ S' :  = 3−λ x x = 3 − λ  Resolviendo por sustitución:  y = 3 + λ ∀ λ ∈ R  z=λ . Septiembre 2012. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 2 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales − 2z = 2 x   ax − y + z = − 8 2 x + az = 4  Se pide: a) (2,5 puntos) Discutir el sistema según los valores de a. b) (0,5 punto) Resolverlo para a = ‒5. Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene definido por las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*). 1 0 − 2 1 0 − 2 2      A = a −1 1  A* =  a − 1 1 − 8  2 0 2 0 a  a 4    A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 Si el determinante de A es distinto de cero, el rango de A coincide con el de A* y con el número de incógnitas, el sistema será compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro “a” que anulen el determinante de la matriz de coeficientes ( A = 0) .. 1 0 −2 A = a − 1 1 = −a + 0 + 0 − (4 + 0 + 0) = −a − 4 2 0 a. A =0. a = ‒4. Discusión: i. Si a ≠ ‒4. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 . Sistema compatible determinado. ii.. Si a = ‒4. A = 0 ⇒ rg A < 3 . Ase busca un menor de orden 2 distinto de cero para saber si. 0 −2 = −2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para estudiar el rango de la ampliada se −1 1 parte del menor de orden dos anterior y se estudian sus menores orlados. De los dos. el rango es dos.. 8.

(9) menores orlados del menor. 0. −2. , uno de ellos es el determinante de la matriz de −1 1 coeficientes, que sabemos que es cero para a = ‒4, por lo tanto solo que queda por estudiar 0 −2 2 el menor formado por las columnas 2ª, 3ª y 4ª. − 1. 0. 1 − 8 = 0 ⇒ rg A* < 3 . −4 4. rg A = rg A* = 2 < n = 3 Sistema compatible indeterminado. − 2z = 2  x  b. Para a = ‒5: − 5x − y + z = − 8 sistema compatible determinado, se puede resolver  2x − 5z = 4  por el método de Cramer. x=. Ax. Ay. y=. A. z=. A. Az A. a = −5. A = −a − 4 = − (− 5) − 4 = 1. x=. 2 0 −2 − 8 −1 1 4 0 −5 1. =2. y=. 1 2 −2 −5 −8 1 2 4 −5 1. = −2 z =. 1 0 2 − 5 −1 − 8 2 0 4 1. =0. Junio 2012. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dadas las matrices. k k k 2   A =  1 −1 k  ,    2k − 2 2   . 12    B= 6 , 8  .  4   C =  3 ,  3  . x   D =  y z  . Se pide: a) (1,5 puntos) Hallar el rango de A en función de los valores de k b) (0,75 puntos) Para k = 2, hallar, si existe, la solución del sistema AX = B c) (0,75 puntos) Para k = 1, hallar, si existe, la solución del sistema AX = C. Solución. a. Si el A ≠ 0 , el rg A = 3. Se estudia el rango para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz. k k k2 1 1 k det A = 1 − 1 k = k ⋅ 1 − 1 k = k ⋅ − 2 + 2k 2 − 2k − − 2k 2 − 2k + 2 = k ⋅ 4k 2 − 4 2k − 2 2 2k − 2 2. [. A =0 :. (. )]. (. k=0  k 4k − 1 = 4k (k + 1)(k − 1) = 0 :  k = 1 k = −1 . (. 2. ). Discusión: i. Si k ≠ 0, -1, 1. A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 ii.. 0 0 0   1 −1 Si k = 0, A =  1 − 1 0  , A = 0 ⇒ rg A < 3. = −2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 0 −2 0 − 2 2  . 9. ).

(10)  −1 −1 1    −1 −1 Si k = ‒1, A =  1 − 1 − 1 , A = 0 ⇒ rg A < 3. = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 1 −1 − 2 − 2 2    1 1 1   1 1 Si k = 1, A =  1 − 1 1  , A = 0 ⇒ rg A < 3. = −2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 1 −1  2 − 2 2  . iii.. iv..  2 2 4   x  12        b. Para k = 2:  1 − 1 2  ⋅  y  =  6  . Teniendo en cuenta que el A ≠ 0 , rg A = rg A*  4 − 2 2  z   8        = n = 3, sistema compatible determinado, se puede resolver por el método de Cramer o mediante la inversa de A. Cramer: Ay Ax Az x= ; y= ; z= A A A. (. ). (. k=2. ). A = k 4k 2 − 1 = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 2 − 4 = 24. 12. x=. 6 8. 2. 4. −1 2 −2 2 24. =. 16 2 = ; y= 24 3. 2 12 4. 2. 1 4. 1 −1 4 −2. 6 8. 2 2. 24. =. 0 =0 ; z= 24. 2. 12 6 8. 24. =. 64 8 = 24 3. Matriz inversa: AX = B ; A −1 ⋅ AX = A −1 ⋅ B ; I ⋅ X = A −1 ⋅ B ; X = A −1 ⋅ B.  −1 +  −2 1  2 − = 24  − 2  2 +  −1 . t. 1 −1   + 4 −2 t 6 2   2    2 2 1 1  = − A −1 = (adj A )t  − 12 − 12 12  = 2 4 −2  24  A 0 − 4   8 4 2 2   + 2 1 − 1   2 − 12 8   1  =  6 − 12 0  24    2 12 − 4  16  2 − 12 8  12   24 − 72 + 64   16   24   2 3          1 1 1 X = A −1 ⋅ B =  6 − 12 0  ⋅  6  =  72 − 72 + 0  =  0  =  0 24  =  0  24  24 24     24 + 72 − 32   64   64   8   2 12 − 4   8       24   3 . c.. 2 2 4. 1 2 − 4 2 2 4 + 4 2 2 4 − 1 2.  1 1 1   x  12        1 1 Para k = 1,  1 − 1 1  ⋅  y  =  6  , A = 0 ⇒ rg A < 3. = −2 ≠ 0 , rg A = 2 1 −1  2 − 2 2  z   8       . 10.

(11) 1 1 12  1 1 1 12    A* =  1 − 1 1 6  rg A* ≥ 2. 1 − 1 6 = 8 ≠ 0 , rg A* =3 2 − 2 2 8  2 −2 8   rg A ≠ rg A* Sistema incompatible Modelo 2012. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema lineal de ecuaciones: + y + 2z = 2  x  − 3x + 2 y + 3z = − 2  2x + my − 5z = − 4  se pide: a) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores de m. b) (1 punto) Resolverlo para m = 1.. Solución. a. Al sistema lo definen las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*): 2   1 1 2   1 1 2     A = − 3 2 3  A* =  − 3 2 3 − 2  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 : n = 3  2 m − 5  2 m − 5 − 4     Si el |A| ≠ 0, el rango de de la matriz de coeficientes es 3 y por tanto el sistema es compatible determinado, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que no anulen el determinante. 1 1 2 SARRUS det A = − 3 2 3 = − 9m − 27 2 m −5 A = 0 : − 9m − 27 = 0 : m = −3 Discusión. i. Si m ≠ ‒3. |A| ≠ 0. rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. 1 2 ii. Si m = ‒3. |A| = 0. rg A < 3. = 8 ≠ 0 rg A = 2. Para estudiar el rango −3 2 de la ampliada se estudian los menores orlados al menor de orden 2 anterior. 1 1 2 − 3 2 − 2 = −20 ≠ 0 , rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible 2 −3 −4 b. Para m = 1. Sistema compatible determinado. Se puede resolvr por cualquier método. Cramer: x =. Ax A. ; y=. Ay A. ; z=. Az A m =1. A = − 9 ⋅ 1 − 27 = −36. x=. 2 1 2 −2 2 3 −4 1 −5 − 36. =. − 36 =1 ; y = − 36. 1 2 2 −3 −2 3 2 −4 −5 − 36. Solución (1, ‒1, 1). 11. =. 36 = −1 ; z = − 36. 1 1 2 −3 2 −2 2 1 −4 − 36. =. − 36 =1 − 36.

(12) Modelo 2012. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema. + 2y = 1  x   3x + y = − a − 3x + 2ay = 7  se pide: a) (1'5 puntos) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. b) (1'5 puntos) Resolver el sistema cuando sea compatible.. Solución. a. Al sistema lo definen las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*): 2 2 1   1  1     A= 3 1 A* =  3 1 − a  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ 2 ; rg A* ≤ 3 : n = 2  − 3 2a   − 3 2a 7      Si el |A*| ≠ 0, el rango de de la matriz de ampliada es 3 y por tanto el sistema es incompatible, la matriz de coeficientes como máximo puede tener rango 2, por lo tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulen el |A*|. 1 2 1 SARRUS A* = 3 1 − a = 2a 2 + 12a − 32 = 2(a + 8)(a − 2 ) − 3 2a 7 a = −8 A * = 0 : 2(a + 8)(a − 2) = 0 :  a=2. Discusión. i. Si a ≠ ‒8, 2, |A*| ≠ 0, rg A* = 3. Sistema incompatible. 1 2 ii. Si a = ‒8, |A*| = 0, = −5 ≠ 0 ; rg A* = rg A = n = 2. Sistema compatible 3 1 determinado. 1 2 iii. Si a = , |A*| = 0, = −5 ≠ 0 ; rg A* = rg A = n = 2. Sistema compatible 3 1 determinado.. b.. RESOLVIENDO POR CUALQUIER MÉTODO.  x + 2y = 1  x =3 a = ‒8:      → 3x + y = 8  y = −1 RESOLVIENDO POR CUALQUIER MÉTODO.  x + 2y = 1 x = −1 a = 2:      → 3x + y = − 2  y =1. Septiembre 2011. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales + 4y = 4k  2x  3 2 − k x + k y + kz = 0  x + ky = k2  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo en función del valor del parámetro k. b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para k = 1. c) (0,5 puntos) Resolver el sistema para k = 2. Solución. a. El sistema está definido por las matices de coeficientes (A) y ampliada (A*).. 12.

(13)  2  A = − k3  1 . 4 k2 k. 0  2   k  ; A* =  − k 3  1 0  . 0 4k   k k  0 k 2 . 4 k2 k. A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A * ≤ 3 ; n = 3 Si el A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n , el sistema será compatible determinado, por lo tanto se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 2 4 0. det A = − k 3 1. k2 k. (. ). k = 0 + 4k + 0 − 0 + 0 + 2k 2 = 4k − 2k 2 = 2k (2 − k ) 0 k = 0 A = 0 : 2k (2 − k ) = 0 :  k = 2. Discusión: i. Si k ≠ 0, 2. A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n Sistema compatible determinado.  2 4 0 2 4 0 0     Si k = 0. A =  0 0 0  ; A* =  0 0 0 0  . La matriz de coeficientes y la ampliada solo 1 0 0 1 0 0 0     se diferencian en una columna de ceros, por lo tanto tendrán el mismo 2 4 rango. A = 0 ⇒ rg A < 3 . = −4 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 = rg A * < n = 3 . Sistema compatible 1 0 indeterminado. ii..  2 4 0   Si k = 2. A =  − 8 4 2  . A = 0 ⇒ rg A < 3 .  1 2 0    2 4 0 8   4 A* =  − 8 4 2 2  . Partiendo del menor 4  1 2 0 4   4 0 8. iii.. 4 0 4 2 0 2. = 8 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 .. , el único menor orlado que queda por. estudiar es 4 2 2 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A < n = 3 . Sistema compatible indeterminado.. 2 0 4 b.. Para k = 1, sistema compatible determinado, se puede resolver por el método de Cramer. = 4  2x + 4 y  − x + y + z = 0 x + y = 1  k =1. A = 4k − 2k 2 = 4 ⋅1 − 2 ⋅12 = 2 4 4 0. 2. x=. A. =. 1 1 0 1. 2. −1 0 1. 0 1 1 Ax. 4 0. =. Ay. 0 =0; y= = 1 A. 1. 1 0 1. 4 4. −1 1 0 =. 1 1 1 −1 1 =1; z = = = = −1 1 1 1 A Az. Solución: (0, 1, ‒1). c. k = 2. Sistema compatible indeterminado de rango dos, lo cual indica que en el sistema solo hay dos ecuaciones linealmente independientes.. 13.

(14) Para seleccionar las ecuaciones linealmente independiente se escogen las que contengan al 4 0 . menor de orden dos distinto de cero que estableció el rango del sistema   4 2   = 8  2x + 4 y  − 8 x + 4 y + 2 z = 4 El sistema se resuelve en función de una de sus variables que previamente convertimos en parámetro. Para evitar confundirnos en la elección del parámetro, se toma como tal la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2, en este caso la x. = 8 x = λ 2 y = 4−λ  2x + 4 y  →  − 4 x + 2 y + z = 4 2 y + z = 4 + 4 λ Resolviendo el sistema por cualquier método: x = λ  1 Solución :  y = 2 − λ ∀ λ ∈ R 2   z = 5λ. Junio 2011. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la matriz.  2a − 2 a 2    A =  − 1 a −1   2 1 a    a) (1 punto) Calcular el rango de A en función de los valores de a.  x   2     b) (1 punto) En el caso de a = 2, discutir el sistema A ⋅  y  =  1  en función de los valores  z  b     de b, y resolverlo cuando sea posible.  x   − 1     c) (1 punto) En el caso de a = 1, resolver el sistema A ⋅  y  =  2  z  2     . Solución. a. El rango de una matriz es el orden del mayor menor distinto de cero que exista en la matriz. Por ser una matriz cuadrada de orden tres, si su determinante es distinto de cero, el rango es 3, por lo tanto se discute el rango para los valores del parámetro que anulen el determinante de la matriz 2a − 2 a 2 a = −2 A = −1 a −1 = 4 − a2 : A = 0 : 4 −a2 = 0:  2. i. ii.. iii.. 1. a=2. a. Discusión: Si a ≠ ‒2, 2; |A| ≠ 0. rg A = 3 − 4 − 2 4    −4 −2 Si a = ‒2; |A| = 0. rg A < 3. A =  − 1 − 2 − 1  = 6 ≠ 0 . rg A = 2 −1 − 2  2  1 − 2   4 −2 4    4 −2 Si a = 2; |A| = 0. rg A < 3. A =  − 1 2 − 1 = 6 ≠ 0 . rg A = 2 −1 2  2  1 2 . 14.

(15)  4 − 2 4   x   2       b.  − 1 2 − 1 ⋅  y  =  1  Para a = 2, rg A = 2. El tipo de solución del sistema se  2 1 2   z   b   discute en función del rango de la matriz ampliada.  4 − 2 4 2   A* =  − 1 2 − 1 1   2 1 2 b   4 −2 Orlando el menor de orden 2 de la matriz A = 6 ≠ 0 , en la ampliada solo −1 2 queda un menor de orden 3 por estudiar, formado por las dos primeras columnas y la cuarta. 4 −2 2 18 − 1 2 1 = 6b − 18 ; 6b − 18 = 0 ; b = = 3 6 2 1 b. Discusión: b ≠ 3 . En la ampliada existe un menor de orden 3 en la distinto de cero, rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible ii. b = 3 . En la ampliada no existen menores de orden 3 distintos de cero, rg A* = 2 = rg A. Sistema compatible indeterminado. i.. Para b = 3 , el sistema equivalentes esta formado por las dos ecuaciones que contienen 4 x − 2 y + 4 z = 2 al menor de orden 2 distinto de cero:   − x + 2y − z = 1 El sistema se resuelve en función de un parámetro. Se recomienda tomar como parámetro la variable que no se utilizo en el menor de orden 2 distinto de cero (z = λ). 4 −2 4 x − 2 y = 2 − 4 λ : =6  −1 2  − x + 2y = 1 + λ Utilizando el método de Cramer: 2 − 4λ − 2 4 2 − 4λ 1+ λ 2 −1 1+ λ x= =1− λ ; y = =1 6 6 Solución: (1‒λ, 1, λ) ∀ λ ∈ R  2 − 2 1   x   − 1       c.  − 1 1 − 1 ⋅  y  =  2  Sistema compatible determinado. Se resuelve por el  2 1 1   z   2   método de Cramer. a =1. A = 4 − a 2 = 4 − 12 = 3. x=. −1 − 2 1 2 1 −1 2 1 1 3. 2 −1 1 −1 2 −1 =. 2 6 =2 ; y= 3. 2. 1. 3. Solución: (2, 1, − 3). 15. 2 − 2 −1 −1 1 2 =. 2 3 =1 ; z = 3. 1 3. 2. =. −9 = −3 3.

(16) Junio 2011. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde 1 m − 1  0 x  m        A= 0 m −1 1  , X =  y , B =  m  m − 2 z  m + 2 0 0       según los valores de m. b) (1 puntos) Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.. Solución. a. El sistema viene definido por la matriz de coeficientes (A) y la ampliada (A*). 1 m − 1 1 m −1 m   0  0     A= 0 m −1 1  ; A* =  0 m −1 1 m  m − 2 m − 2 0 0 m + 2  0 0    A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A * Si el |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado. Por lo tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro m que anulan el determinante de la matriz. 0 1 m −1 det A = 0 m −1 1 = −m ⋅ (m − 2 )2 m−2. 0. 0. m = 0 A = 0 ; − m ⋅ (m − 2 )2 = 0 :  m = 2. Discusión: Si m ≠ 0, 2. |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado 1 − 1  0   0 −1 ii. Si m = 0. |A| = 0, rg A < 3. A =  0 − 1 1  = −2 ≠ 0 rg A = 2 −2 0 − 2 0  0  1 −1 0  0   0 −1 A* =  0 − 1 1 0  De los menores orlados a , solo queda por −2 0 − 2 0  0 2  i.. 0 estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna: 0 −2. iii.. 1 0 − 1 0 = 0 rg A* = 2. 0. 2. rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado. 0 1 1  0 1 1 2     Si m = 2. |A| = 0, rg A < 3. A =  0 1 1  rg A = 1. A* =  0 1 1 2   0 0 0  0 0 0 4     1 2 =4≠0 0 4 rg A* = 2 ≠ rg A. Sistema incompatible. b. m = 0. Las ecuaciones que forman el sistema equivalente son las que contienen al menor de orden 2 distinto de cero (la 2ª y la 3ª).. 16.

(17) x = −1 − y + z = 0 y = λ   → y = λ   − 2x = 2  z=λ   y =1  m = 1. Sistema compatible determinado.  z = 1 − x = 3  Solución: (‒3, 1, 1). Modelo 2011. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema:. + λz = 2 λx   x + λy − z = 1  x + 3 y + z = 2λ  se pide: a) (1,5 puntos). Discutir el sistema según los valores del parámetro λ. b) (1,5 puntos). Resolver el sistema para λ = 1. Solución. a. El sistema esta definido por las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*). 2 λ 0 λ  λ 0 λ     A =  1 λ − 1 ; A* =  1 λ − 1 1  1 3 1   1 3 1 2λ      Por dimensiones de la matrices, se puede establecer: A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 ; n = 3 Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, su rango será tres, igual al rango de la ampliada e igual número de incógnitas, siendo el sistema compatible determinado, y habrá que discutir el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulen determinante de la matriz de coeficientes. λ 0 λ. (. ). det A = 1 λ − 1 = λ2 + 0 + 3λ − λ2 + 0 − 3λ = 6λ 1 3 1. A = 0 : 6λ = 0 : λ = 0 i.. ii.. Discusión. Si λ ≠ 0. A ≠ 0 ⇒ ra A = 3 = rg A* = n . Sistema compatible determinado. Las soluciones en estos casos se pueden resolver por el método de Cramer. 0 0 0    Si λ = 0: A =  1 0 − 1 A = 0 , rg A < 3. Se busca un menor de orden dos distinto 1 3 1    1 0 de cero: = 3 ≠ 0 rg A = 2. 1 3. 0 0 0 2   rg A* = rg  1 0 − 1 1  ≥ rg A = 2 . Partiendo del menor de orden dos distinto de 1 3 1 0   cero, el único menor orlado que queda por estudiar es el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna. 0 0 2 1 0 1 = 6 ≠ 0 rg A* = 3 1 3 0 rg A ≠ rg A* Sistema incompatible. 17.

(18) b.. +z = 2 x  λ = 1 : x + y − z = 1 Sistema compatible determinado. Método de Cramer.  x + 3y + z = 2  λ =1. A = 6λ = 6 2 0. 1. 1 2. 1 1 −1 x=. Ax A. =. 2 3 6. 1. 1. 1 1 −1 =. 1 0 2 1 1 1. Ay Az 1 3 2 1 1 2 1 3 ; y= = =0; z= = = 2 6 6 2 A A. Septiembre 2010 FM. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos. El sistema AX = B, donde. 1 0 1 x     A = 0 2 0 , X =  y a 5 a  z     tiene diferentes soluciones según sea la matriz B. a) (1 punto) Determinar, si existen, el valor o valores de a para los que el sistema es compatible determinado (independientemente del valor de B) 0   b) (0,5 puntos) Si a = 4, y B =  − 1 , determinar, si existen, el valor o valores de b para los que el b   sistema es incompatible. 0   c) (1,5 puntos) Si a = 4, y B =  c  , determinar, si existe, el valor o valores de c para los que el 10    sistema es compatible indeterminado. Resolver el sistema. Solución. a. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado, es que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero 1 0 1 1 1 det A = 0 2 0 = 2 ⋅ (− 1)2 + 2 =0 a a a 5 a No existe ningún valor de a que haga que el sistema sea compatible determinado.. 1 0 1  x   0        b.  0 2 0  ⋅  y  =  − 1 . Como todo sistema, viene definido por la matriz de coeficientes (A) y  4 5 4  z   b        la matriz ampliada (A*). 1 0 1 1 0 1 0      A =  0 2 0  : A* =  0 2 0 − 1 . A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A *  4 5 4 4 5 4 b      Para que un sistema sea incompatible rg A ≠ rg A * Rango de A:. 1 0 1 0 2 0 =0: 4 5 4. 1 0 0 2. = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. 18.

(19) Rango de A*: Partiendo del menor de orden dos distinto de cero, se estudian su menores orlados.. 1  0 1 0  4 : 0 2 1 0   4. 0 1 2 0 =0 5 4 0 0 2 − 1 = 2b + 5 5. 1 0 0 5 : Si b ≠ − : 0 2 − 1 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A 2 4 5 b. b. Sistema incompatible.. c.. 1 0 1  x   0         0 2 0  ⋅  y  =  c  Para que el sistema sea compatible indeterminado: rg A = rg A* ≠ n  4 5 4   z  10        1 0 1 1 0 1 0      A =  0 2 0  : A* =  0 2 0 c  . A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A *  4 5 4  4 5 4 10      Rango de A. 1 0 1 1 0 0 2 0 =0: = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 0 2 4 5 4 Rango de A*. 1 0 1  0 2 0 =0 1 0 0 1 0  4 5 4 : : Si c = 4 : 0 2 4 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A < n = 3 0 2 1 0 0 4 5 10  0 2 c = 20 − 5c   4 5 10. Sistema compatible indeterminado. Que el rango del sistema sea 2, indica que el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Tomando las ecuaciones que contienen a los coeficientes del menor de orden 2, aseguramos la elección. x + z = 0   y=4 Para resolver el sistema se transforma una variable en parámetro, lo mas conveniente es tomar como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden dos (z = λ).  x + z = 0 z =λ  x = −λ  →   y=4  y=4 Solución: (−λ, 4, λ) ∀ λ ∈ R. Septiembre 2010 FM. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones:.  x + y + kz = k  2  x + ky + z = k kx + y + z = 1  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro k. b) (1 punto) Resolverlo para k = 0. 19.

(20) Solución.. 1 1 k 1 1 k k      A =  1 k 1  : A* =  1 k 1 k 2  . A ⊂ A * ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 a. k 1 1 k 1 1 1      Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinando. Hay que estudiar el tipo de solución para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 1 1 k det A = 1 k 1 = k + k + k − k 3 − 1 − 1 = − k 3 − 3k + 2 = −(k + 2)(k − 1)2 k 1 1. (. ). k = −2 det A = 0 : −(k + 2)(k − 1)2 = 0 :   k =1 Discusión: i. Si k ≠ −2, 1. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. 1 − 2  1   1 1 ii. Si k = −2. A =  1 − 2 1  : A = 0 ⇒ rg A < 3. = −3 ≠ 0. rg A = 2 . Para estudiar 1 −2 − 2 1  1   el rango de la matriz ampliada se parte de un menor de orden dos distinto de cero y se estudian sus menores orlados.  1 1 −2   1 −2 1 =0  − 2 1 1 1 1 ≠ 0: ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible 1 1 − 2 1 −2   1 − 2 4 = −9 ≠ 0  1  − 2 1 1 1 1   1 1 = 0. rg A < 2. 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 1. iii. Si k = 1. A = 1 1 1 : A = 0 ⇒ rg A < 3. 1 1 1 1 1   1 1 1 1    A* = 1 1 1 1 , solo tiene menores de orden uno distintos de cero. rg A = rg A* =1 ≠ n 1 1 1 1    = 3. Sistema compatible indeterminado.. b.. x +  k = 0: x  + . = 0. y. + z = 0 . Sistema compatible determinado. Método de Cramer. y + z = 1 k =0. A = −(k + 2)(k − 1)2 = − (0 + 2)(0 − 1)2 = −2 0 1 0 0 0 1 x=. Ax A. =. 1 1 1 −2. =−. 1 0 0. 1 1 0. 1 0 1. 1 0 0. Ay. 0 1 1 1 Az 0 1 1 1 1 ; y= = = ; z= = = 2 −2 2 −2 2 A A. 20.

(21) Septiembre 2010. F.G. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la matriz:. 1 m 1   m −1   A= 1 m −1 m 1   1 1 2 m − 1  se pide: a) (2 puntos) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro m. b) (1 punto) En el caso de m = 0, resolver el sistema x    0  y   A ⋅  =  0 z    0  t   Solución. a. Por dimensiones de la matriz, rg A ≤ 3. Como la matriz tiene términos numéricos distintos de cero, rg A ≥ 1. Si se toma el término a3.1 como menor de orden 1 distinto de cero y se orla, todos sus menores orlados son función del parámetro. Tomando uno cualquiera (a2.1, a2.2, a3.1, a3.2): 1 m −1 = 2−m 1 1 Si m ≠ 2: el menor de orden dos será distinto de cero y por tanto rg A ≥ 2. 1 1 2 1   Si m = 2: A = 1 1 2 1 no existen menores de orden dos distintos de cero y por tanto rg A 1 1 2 1   =1. Si orlamos el menor de orden dos anterior, aparecen dos menores de orden tres.  m −1 1 m  m −1 m = 0  1  1 m −1  1 1 2 : m − 1 1 1 1 1   1 m −1 1 = m 3 − 3m 2 + 4 = (m + 1)(m − 2 )2  1 m −1  1 Discusión: i. Sí m ≠ −1, 2: Existen menores de orden tres distintos de cero. rg A = 3.  − 2 1 −1 1    ii. Sí m = −1: A =  1 − 2 − 1 1  Todos los menores de orden tres son nulos, rg A < 3.  1 1 2 − 2   −2 1 = 3 ≠ 0 rg A = 2 1 −2 iii. Sí m = 2. Como se vio inicialmente, rg A = 1. x + t = 0  − 1 1 0 1     0  − x + y    y    b. + t = 0  1 −1 0 1  ⋅   =  0 :  x − y  1 1 2 − 1  z   0   x + y + 2 z − t = 0   t      Sumando las dos primeras ecuaciones: 2t = 0: t = 0 = 0 − x + y  = 0 Como las dos primeras Sustituyendo el valor de t obtenido:  x − y  x + y + 2z = 0  ecuaciones son proporcionales, los criterios de equivalencia permiten eliminar una de ellas.. 21.

(22) = 0 x − y   x + y + 2z = 0 Para resolver el sistema se transforma una cualquiera de las variables en parámetro (x = λ). = λ y : {λ + 2z = −λ : z = −λ   y + 2z = − λ Solución: (λ, λ, − λ, 0) ∀ λ ∈ R. Septiembre 2010 FG. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 2 puntos. Dado el sistema:.  x + 2y − z = 0  2 x − y + z = 3 se pide: a) (1 punto) Estudiar la compatibilidad del sistema. b) (0,5 puntos) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta. c) (0,5 puntos) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta. Solución. a. La clasificación de un sistema según el tipo de solución se hace a partir de los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.  1 2 − 1 1 2 −1 0  : A* =   A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 2 ; n = 3 A =   2 −1 1   2 −1 1 3. 1. 2. 2 −1. = −5 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 = rg A* < n = 3 . Sistema compatible indeterminado.. b. Para que un sistema de ecuaciones sea compatible determinado, rg A = rg A* = n. Teniendo en cuenta que el número de incógnitas es tres, habrá que añadir a la matriz de coeficientes (A) una fila de tal forma que el determinante de la nueva matriz de coeficientes sea distinto de cero, teniendo en cuenta que la matriz de coeficientes es una submatriz de la ampliada, si la matriz de coeficientes tiene rango tres, la ampliada también tendrá rango tres. Si tenemos en cuenta que el menor. 1. 2. 2 −1. ≠ 0 bastara con añadir la fila 0, 0, 1.. 1 2 −1  1 2 − 1   1 2 A =  2 − 1 1  : A = 2 − 1 1 = 1 ⋅ (− 1)3+3 ⋅ = 5 ≠ 0 ⇒ rg A = 3 2 −1 0 0 1  0 0 1   El término 3.4 de la matriz ampliada puede ser cualquier número debido a que su rango es tres independientemente del valor de ese término.  1 2 −1 0   A* =  2 − 1 1 3  : rg A* = 3  0 0 1 0   x + 2 y − z = 0   S : 2x − y + z = 3 : rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado  z = 0  c. Para que el sistema sea incompatible, rg A ≠ rg A*. para conseguir que los rangos sean distintos, se añade una tercera ecuación en la que los coeficientes de las variables sean una combinación lineal de los coeficientes de las dos primeras ecuaciones (lo mas sencillo es que sean la suma), y el termino independiente cualquier otro valor excepto el que le correspondería por la combinación lineal.. 22.

(23)  x + 2y − z = 0  S : 2 x − y + z = 3 3x + y = 0  1  A = 2 3  1 2   A* =  2 − 1 3 1 . 2 − 1 1 2  −1 1  : 2 −1 1 0  3 1 −1 0 1 2 0  1 3 : 2 −1 3 0 0  3 1 0. −1 1 2 1 = 0: ≠ 0 ⇒ rg A = 2 2 −1 0 = 3 ⋅ (− 1)2+3 ⋅. 1 2 = 5 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 3 1. rg A ≠ rg A * Sistema incompatible.. Junio 2010 F.M. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 2 puntos. Se considera el sistema de ecuaciones: my + 3z = 3 2 x +  y − 2z = 0 x + 5x + (m + 1)y + z = 9  se pide: a) (1 punto) Discutir el sistema según los valores de m. b) (1 punto) Resolver el sistema para el caso de m = 0. Solución. a. Al sistema lo describen las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*). m 3  m 3 3 2 2     A = 1 1 − 2  A* =  1 1 − 2 0  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 ; n = 3 5 m +1 1   5 m +1 1 9     Si el A ≠ 0 , rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 2 m 3. A =1 1 − 2 = 2 − 10m + 3m + 3 − (15 + m − 4m − 4) = −6 − 4m 5 m +1 1 A = 0 : −6 − 4m = 0 : m = −. 6 3 =− 4 2. Discusión.. 3 . A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 . Sistema compatible determinado. 2  3 − y + 3z = 3 2 x +  4 x − 3y + 6z = 6 2  2E   3  ii. Si m = − .  x + y − 2z = 0 :  1  :  x + y − 2z = 0 2  2E 3  10x − y + 2z = 18  3   5 x + − + 1 y + z = 9     2    4 −3 6    4 −3 A =  1 1 − 2  : A = 0 ⇒ rg A < 3 . = 7 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . 1 1 10 − 1 2    Para estudiar el rango de la matriz ampliada, se parte del menor de orden dos distinto de cero anterior y se estudian sus menores orlados. De los dos menores orlados, uno es de determinante de la matriz de coeficientes, que para a = −3/2 es nulo, por lo tanto soo nos queda poe estudiar el menor formado por la 1ª, 2º y 4ª columna. i.. Si m ≠ −. 23.

(24) 4 −3 6 1 1 0 = 60 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A = 2 . Sistema incompatible 10 − 1 18. b.. 2 x +  Para m = 0. Sistema compatible determinado.  x + 5x + . + 3z = 3 y − 2z = 0 . Cramer y + z = 9. A = −6 − 4m = {m = 0} = −6 − 4 ⋅ 0 = −6. 3 0. 3. 2 3. 0 1 −2 x=. Ax 9 1 A. −6. 1. 3. 2 0 3. 1 0 −2 =3: x=. Ay 5 9 A. −6. 1. 1 1 0 = −5 : x =. Az 5 1 9 A. −6. = −1. Junio 2010 (FG). Ejercicio 3A.Calificación máxima: 2 puntos. Dado el sistema homogéneo de ecuaciones:  x + ky − z = 0  2 x − y + 2 z = 0  x − 4 y + kz = 0  se pide: a) (1 punto) Determinar para que valores del parámetro k el sistema tiene soluciones distintas de x =y=z=0 b) (1 punto) Resolverlo para el caso k = 3. Solución.  A ≠ 0 ⇒ S.C.D. (x = y = z = 0) a. Sistema homogéneo A = A* ⇒ rg A = rg A* ⇒ S. C.   A = 0 ⇒ S.C.I. 1 k −1 5  A = 2 − 1 2 = −2k 2 + k + 15 = −2 k + (k − 3) 2  1 −4 k. k = − 5 2 A = 0:  k = 3 El sistema tendrá solución distinta a la trivial para k = −. b.. 5 y k = 3. 2.  x + 3y − z = 0  Para k = 3: 2x − y + 2z = 0 Sistema compatible indeterminado.  x − 4 y + 3z = 0  1. 3. 2 −1. = −7 ≠ 0 : rg A = rg A* = 2. El sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes.. −5  x = 7 λ   x + 3y − z = 0 4 z = λ  x + 3y = λ S' :   → : Cramer :  y = λ 2 x − y + 2 z = 0 2 x − y = − 2 λ 5     z=λ . 24.

(25) Junio 2010 (FG). Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones:.  x + ay − z = a  + 2z = − 2 ax x + z = −2  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro a. b) (1 punto) Resolverlo en el caso de a = 0. Solución. a. El sistema viene definido por la matriz de coeficientes (A) y por la matriz ampliada (A*).  1 a − 1  1 a −1 a      A =  a 0 2  A* =  a 0 2 − 2 1 0 1  1 0 1 − 2     La matriz A es una submatriz de la ampliada (A ⊂ A*), y por tanto el rango de A no puede ser mayor que el de la A* (rg A ≤ rg A*), y por dimensiones de las matrices, como máximo pueden ser tres. Si el determinante de la matriz de coeficientes (A) es distinto de cero, los rangos de las matrices son tres, coinciden con el número de incógnitas y el sistema será compatible determinado, por lo tanto, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes (A). 1 a −1 a = 0 det A = a 0 2 = 0 + 2a − 0 − 0 + a 2 + 0 = 2a − a 2 = a ⋅ (2 − a ) = 0 :  2 − a = 0 : a = 2 1 0 1. (. ). Discusión: i. ii.. Si a ≠ 0, 2 : A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A * = n = 3. Sistema compatible determinado.  1 0 − 1   1 −1 Si a = 0 : A =  0 0 2  : A = 0 ⇒ rg A < 3; = 2 ≠ 0 : rg A = 2 . 0 2 1 0 1     1 0 −1 0   *  A =  0 0 2 − 2  , teniendo en cuenta que rg A = 2, rg A* ≥ 2. Para estudiar si la 1 0 1 − 2   matriz ampliada (A*) tiene rango tres, solo es necesario estudiar los menores orlados a 1 −1 . De los dos menores orlados, uno de ellos corresponde al formado por la 1ª, 2ª y 3ª 0 2 columna, que es el determinante de la matriz de coeficiente y sabemos que vale cero, por lo tanto, solo nos queda por estudiar el formado por la 1ª, 3ª y 4ª columna, si es distinto de cero el rango será tres y si es cero el rango será 2. 1 −1 0. 0. 2. − 2 = 0 ⇒ rg A * = 2. 1. 1. −2. rg A = rg A * = 2 < n = 3 . Sistema compatible indeterminado. iii.. 1  Si a = 2 : A =  2 1   1 2 −1  A* =  2 0 2 1 0 1 . 2 − 1  1 2 0 2  : A = 0 ⇒ rg A < 3; = −4 ≠ 0 : rg A = 2 . 2 0 0 1  2   − 2  , al igual que en el apartado anterior, de los dos menores orlados a − 2 . 25.

(26) 1 2. solo tenemos que estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna, el otro orlado es el 2 0 determinante de la matriz de coeficiente que es cero para a = 2. 1 2 2. 2 0 − 2 = 8 ≠ 0 ⇒ rg A * = 3 ≠ rg A = 2 Sistema incompatible. 1 0 −2 − z = a x +  b. a = 0:  + 2z = − 2 . Sistema compatible indeterminado de rango 2. Como marca x + z = −2  su rango, el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Para asegurar la elección de las ecuaciones linealmente independiente se escogen las ecuaciones que contienen a los términos del menor 1 −1 de orden 2 distinto de cero , en este caso la 1ª y la 2ª. 0 2  x − z = 0  x = −1 :   2 z = −2  z = −1 El hecho de que en el sistema no aparezca la variable “y” indica que puede tomar cualquier valor, y por tanto se toma como parámetro, siendo la solución: x =1  y = λ : ∀ λ ∈ R z =1 . Modelo 2010.Ejercicio 4A. Calificación máxima: 2 puntos. Discutir razonadamente, en función del parámetro k, el siguiente sistema:  x + ky + z = k + 2   kx + y + z = k x + y + kz = −2(k + 1)  Solución. El sistema lo describen la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*). k+2  1 k 1 1 k 1     A =  k 1 1  A* =  k 1 1 k  1 1 k  1 1 k − 2(k + 1)     A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 Si el |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 1 k 1. (. ). det A = k 1 1 = k + k + k − 1 + 1 + k 3 = −k 3 + 3k − 2 1 1 k A = 0 : − k 3 + 3k − 2 = 0. i..  x =1 A = −(x − 1)2 (x − 2 ) = 0 :  Ruffini x = −2. :. Discusión. Si k ≠ −2, 1 : |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado.. 26.

(27) ii..  1 −2 1    1 −2 Si k = −2: A =  − 2 1 1  |A| = 0, rg A < 3. = −3 ≠ 0 ; rg A = 2. −2 1  1  1 − 2   0   1 −2 1   1 −2 A* =  − 2 1 1 − 2  rg A* < 2. Los menores orlados a , son el − 2 1  1  1 −2 2   1 determinante de la matriz de coeficientes (que es cero) y − 2. 1. −2 1 1. 0 − 2 = 0 , por lo tanto, 2. rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado.. iii.. 1 1 1 1 1 1 3      Si k = 1: A = 1 1 1 , sin necesidad de cálculo: rg A = 1. A* = 1 1 1 1  , 1 1 1 1 1 1 − 4      1 3 = −2 ≠ 0 ; rg A* = 2. rg A ≠ rg A*. Sistema incompatible 1 1. Modelo 2010. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema: + z = 2  x  + λy − z = 4  x − λ x − y − z = − 5  se pide: a) (1 punto). Discutirlo para los distintos valores del parámetro /\. b) (1 punto). Resolverlo cuando el sistema sea compatible indeterminado. c) (1 punto). Resolverlo para λ = −2. Solución. a. El sistema viene definido por dos matrices, A (matriz de coeficientes) y A* (matriz ampliada). 0 1 0 1 2   1  1     A= 1 λ − 1 A* =  1 λ −1 4   − λ − 1 − 1  − λ − 1 − 1 − 5     A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 Siendo n el nº de incógnitas. Si el |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior, el tipo de solución del sistema se discute para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 1 0 1. det A = 1. λ. (. ). − 1 = −λ + 0 − 1 − − λ2 + 0 + 1 = λ2 − λ − 2 = (λ + 1) ⋅ (λ − 2 ). − λ −1 −1. λ + 1 = 0 : λ = −1 A = 0 : (λ + 1) ⋅ (λ − 2) = 0 :  λ − 2 = 0:λ = 2 i.. Discusión: Si λ ≠ −1, 2. |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado.. 27.

(28) ii.. 1 0 1    1 0 Si λ = −1. A = 1 − 1 1  |A| = 0 ⇒ rg A < 3. = −1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. 1 −1 1 − 1 − 1   2  1 0 1   1 0 A* = 1 − 1 − 1 4  De los dos menores orlados a , uno es el determinante de la 1 −1 1 − 1 − 1 − 5    1. 0. matriz de coeficientes, que es cero, y el otro es: 1 − 1. 2 4 = 9 ⇒ rg A* = 3.. 1 −1 − 5 rg A = 2 ≠ rg A* = 3. Sistema incompatible.. iii.. 0 1  1   1 0 Si λ = 2. A =  1 2 1  |A| = 0 ⇒ rg A < 3. = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. 1 2  − 2 − 1 − 1   0 1 2   1   1 0 A* =  1 2 − 1 4  De los dos menores orlados a , uno es el determinante de 1 2  − 2 − 1 − 1 − 5   1. 0. 2. la matriz de coeficientes, que es cero, y el otro es: 1. 2. 4 = 0 ⇒ en la matriz. − 2 −1 − 5 ampliada no existen menores de orden tres distintos de cero, rg A* = 2. rg A = rg A* = 2 ≠ n = 3. Sistema compatible indeterminado. Para λ =2, el rango del sistema es 2, lo cual indica que el sistema solo tiene dos ecuaciones linealmente independientes, que son las necesarias para resolver el sistema. Para seleccionar las ecuaciones linealmente independientes que nos permitan resolver el sistema, se escogen las ecuaciones que contienen los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero que nos ha 1 0   , en este caso la 1ª y la 2ª. permitido definir el rango del sistema   1 2  +z =2 x S' :  x + 2 y + z = 4 Para resolver el sistema es necesario transformar una de las incógnitas en parámetro y resolver las otras dos en función del parámetro. Para evitar equivocaciones, recomiendo que se tome como parámetro la incógnita de los coeficientes que no se utilizaron en el menor de orden dos, en este caso la z. + z = 2 z =µ  x = 2−µ x S' :   → x + 2 y − z = 4 x + 2 y = 4 + µ Para resolver el sistema recomiendo el método de Cramer, aunque hay casos como este que el método de sustitución es bastante sencillo (la x está despejada en la 1ª ecuación y solo haría falta sustituirla en la segunda para despejar y). 2−µ 0 Ax 4 + µ 2 (2 − µ ) ⋅ 2 − 0 ⋅ (4 + µ ) 4 − 2µ x= = = = = 2−µ ; 1⋅ 2 − 0 ⋅ 2 2 A 1 0. b.. 1 2 1 2−µ y=. Ay A. =. 1 4+µ 1 0. =. 1⋅ (4 + µ ) − (2 − µ ) ⋅1 2 + 2µ = = 1+ µ 2 2. 1 2. 28.

(29) x = 2 − µ  Solución:  y = 1 + µ ∀ µ ∈ R  z=µ  +z =2 x  λ = −2:  x − 2 y − z = 4 Sistema compatible determinado. La solución se obtiene por  2 x − y − z = −5  el método de Cramer.. c.. A(λ = −2) = (− 2)2 − (− 2 ) − 2 = 4. 2. x=. Ax A. =. 0. 1. 1. 2. 1. 4. −1. 4. − 2 −1. 1. −5. −1 −1. 2 − 5 − 1 − 24 − 12 = −3 ; y = = = = −6 4 A 4 4. 4. =. Ay. 1. 0. 1 −2 z=. Az A. =. 2. 2 4. −1 − 5 4. =. 20 =5 4. Solución: (−3, −6, 5). Septiembre 2009. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 2 puntos. Dado el sistema:. λx + 2 y + z = 0  λx − y + 2z = 0  x − λy + 2z = 0  se pide: a) (1 punto). Obtener los valores del parámetro A para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x=y=z=0 b) (1 punto). Resolver el sistema para x = 5. Solución. a. Sistema homogéneo, la matriz de coeficientes y la ampliada se diferencia en una columna de ceros, por lo tanto, tienen el mismo rango y como consecuencia el sistema es compatible para cualquier valor real del parámetro λ. Si A ≠ 0 : rg A = rg A* = n = 3. Sist. Compatible determinado (x = y = z = 0) Trivial rg A = rgA* ⇒ Sistema compatible :  Si A = 0 : rg A = rg A* ≠ n. Sist. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones. λ 2 1 A = λ − 1 2 = −2λ + 4 − λ2 − − 1 + 4λ − 2λ2 = λ2 − 6λ + 5 = (λ − 1) ⋅ (λ − 5) 1 −λ 2. (. ). λ −1 = 0 : λ = 1 A = 0 : (λ − 1) ⋅ (λ − 5) = 0 :  λ − 5 = 0 : λ = 5 Para que la solución sea distinta de la trivial (x = y = z = 0), λ =1 ó λ = 5. 5x + 2 y + z = 0 2 1  b. λ = 5 : 5x − y + 2z = 0 A = 0 ⇒ rg A < 3 : = 5 ≠ 0 ⇒ rg A = rgA* = 2 < n = 3 −1 2  x − 5 y + 2z = 0  Sistema compatible indeterminado con dos ecuaciones linealmente independientes, tal y como indica su rango.. 29.

(30) 5x + 2 y + z = 0 Sistema equivalente:  . El sistema se resuelve tomando una de las 5x − y + 2z = 0 variables como constante y transformándola en un parámetro. Es aconsejable tomar como parámetro la variable que no formo parte del menor de orden 2 que define el rango del sistema (x = λ).  2 y + z = −5λ  − y + 2z = −5λ Por el método de Cramer: − 5λ 1 2 − 5λ − 5λ 2 − 10λ + 5λ − 1 − 5λ − 10λ − 5λ y= = = −λ : z = = = −3λ 2 1 2 1 5 5. −1 2. −1 2. Solución: (λ, − λ, − 3λ ) ∀ λ ∈ R. Junio 2009. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema:.  4 x + 4λ y + 2 z = 2λ   λx + y − λz = λ  4λx + 4λy + λz = 9  se pide a) (2 puntos). Discutir el sistema según los valores del parámetro λ. b) (1 punto). Resolverlo para λ = −1. Solución. a. El sistema esta definido por la matrices de coeficientes (C) y ampliada (A).  4 4λ 2   4 4λ 2 2λ      C =  λ 1 − λ A =  λ 1 − λ λ  C ⊂ A ⇒ rg C ≤ rg A ≤ 3 = n  4λ 4λ λ   4λ 4λ λ 9     Si C ≠ 0 ⇒ rg C = rg A = 3 = n Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución para los valores de λ que anulan el determinante de C. 4 4λ 2 2 2λ 1. C = λ 1 − λ = 2λ ⋅ λ 4λ 4λ λ 4. 1 4. (. ). 1  − λ = −4λ ⋅ 5λ2 − 6λ + 1 = −20λ ⋅ (λ − 1) ⋅  λ −  5  1.  λ=0  1  C = 0 : −20λ ⋅ (λ − 1) ⋅  λ −  = 0 :  λ = 1 5  λ = 1 5  Discusión: i). ii). Si a ≠ 0, 1, 1 a ≠ 0 rg C = rg A = n = 3. Sistema compatible determinado. 5  4 0 2   4 0 Si a = 0: C =  0 1 0  = 4 ≠ 0 rg C = 2. Para estudiar el rango de la ampliada 0 0 0 0 1    4 0 2 0   A =  0 1 0 0  se orla el menor de orden dos de la matriz de coeficientes. De los dos 0 0 0 9  . 30.

(31) posibles menores orlados, uno es el determinante de C, que es cero, y el otro es: 4 0 0. 0 1 0 = 36 ≠ 0 por lo tanto rg A = 3 ≠ rg C. Sistema incompatible. 0 0 9 4 4 2    4 2 Si a = 1: C =  1 1 − 1 = −6 ≠ 0 rg C = 2. Para estudiar el rango de la ampliada  4 4 1  1 −1    4 4 2 2   A =  1 1 − 1 1  se orla el menor de orden dos de la matriz de coeficientes. De los dos 4 4 1 9   posibles menores orlados, uno es el determinante de C, que es cero, y el otro es: 4 2 2. iii). 1 − 1 1 = −40 ≠ 0 por lo tanto rg A = 3 ≠ rg C. Sistema incompatible. 4. 1. 9. 2   4 45  20 4 10    1  20 4 Si a = 1 : C =  1 5 1 − 1 5  =  1 5 − 1 = 96 ≠ 0 rg C = 2. Para 5 4 5 4 5 1 5  5  4 4 1  1 5     4 4 5 2 2 5   20 4 10 2    1  estudiar el rango de la ampliada A =  1 5 1 − 1 5 1 5  =  1 5 − 1 1  se orla 5 4 5 4 5 1 5  9    4 4 1 45  el menor de orden dos de la matriz de coeficientes. De los dos posibles menores orlados, 20 4 2. iv). uno es el determinante de C, que es cero, y el otro es: 1. 5. 4. 1 = 4224 ≠ 0 por lo tanto rg. 4 45. A = 3 ≠ rg C. Sistema incompatible.. b.. 4x − 4 y + 2z = −2  Para λ = −1:  − x + y + z = −1 Sistema compatible determinado. Cramer.  − 4x − 4 y − z = 9 . (. (. ). ). C = −4λ ⋅ 5λ2 − 6λ + 1 = {λ = 1} = −4 ⋅ (− 1) ⋅ 5 ⋅ (− 1)2 − 6 ⋅ (− 1) + 1 = 48. x=. Ax C. =. −2 −4. 2. −1. 1. 9. 1. − 4 −1 48. z=. =. Az C. 4. −2. 2. −1. −1. 1. −4 9 − 48 = −1 y = = 48 48 C Ay. =. 4. −4. 4. −1. 1. −1. −4 −4 48. 31. 9. =. − 48 = −1 48. −1. =. − 48 = −1 48.

(32) Junio 2009. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 2 puntos Dado el sistema:.  2x − y = λ  λx − 2 y = 4  3x − y = 2  se pide: a) (1,5 puntos). Discutir el sistema según los valores del parámetro λ. b) (1 punto). Resolver el sistema cuando sea posible Solución. a. Sistema rectangular, 3 ecuaciones con dos incógnitas. Lo definen las matrices:  2 −1  2 −1 λ      rg C ≤ 2 C =  λ − 2  A =  λ − 2 4  C ⊂ A ⇒ rg C ≤ rgA :  :n = 2 rg A ≤ 3  3 −1  3 −1 2      Si el determinante de A es distinto de cero, su rango será 3, y será distinto al rango de la matriz de coeficientes, siendo el sistema incompatible. Se discute el tipo de solución del sistema para los valores de λ que anulan el determinante de la matriz ampliada. 2 −1 λ. A = λ − 2 4 = −λ2 + 8λ − 12 = −(λ − 2) ⋅ (λ − 6) 3. −1 2. λ − 2 = 0 : λ = 2 A = 0 : (λ − 2 ) ⋅ (λ − 6) = 0 :  λ − 6 = 0 : λ = 6 Discusión: i) Si λ ≠ 2, 6. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = 3 ≠ rg C. Sistema incompatible.  2 −1   2 −1 ii) Si λ = 2, A = 0 ⇒ rg A < 3 . C =  2 − 2  = −2 ≠ 0 ⇒ rg C = 2 Teniendo en  3 −1 2 − 2   cuenta que la ampliada no puede tener menor rango que la de coeficientes, se puede concluir que rg C = rg A = n = 2 . Sistema compatible determinado. iii). b..  2 −1   2 −1 Si λ = 6, A = 0 ⇒ rg A < 3 . C =  6 − 2  = 2 ≠ 0 ⇒ rg C = 2 Teniendo en  3 −1 6 − 2   cuenta que la ampliada no puede tener menor rango que la de coeficientes, se puede concluir que rg C = rg A = n = 2 . Sistema compatible determinado.  2x − y = 2 λ = 2:  Se resuelve por cualquier método obteniendo: 2 x − 2 y = 4. x=0   y = −2.  2x − y = 6 λ = 6:  Se resuelve por cualquier método obteniendo: 6x − 2 y = 4.  x = −4   y = −14. 32.